Principais funções matemáticas

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Conceitos Preliminares Tipos Especiais de Func¸o˜es Func¸o˜es Trigonometricas Equac¸a˜o de Reta
MAT146 - Ca´lculo I - Pre´-Ca´lculo
Alexandre Miranda Alves
Anderson Tiago da Silva
Edson Jose´ Teixeira
MAT146 - Ca´lculo I - Pre´-Ca´lculo UFV
Conceitos Preliminares Tipos Especiais de Func¸o˜es Func¸o˜es Trigonometricas Equac¸a˜o de Reta
Comec¸aremos o curso de Ca´lculo I com uma breve revisa˜o de alguns pre´-
requisitos necessa´rios para um bom desempenho na disciplina.
Definic¸a˜o
Sejam A,B conjuntos na˜o-vazios. Uma func¸a˜o f de A em B, denotada
por f : A → B, e´ uma lei que associa a cada elemento x ∈ A um u´nico
elemento y ∈ B. Denotamos y = f (x).
I O conjunto A e´ chamado dom´ınio de f e sera´ denotado por Dom(f ).
I O conjunto B e´ o contradom´ınio de f .
I A imagem de f e´ definido como
Im(f ) := {f (x) ∈ B; x ∈ A}.
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Observac¸a˜o
Dada uma func¸a˜o real f , o conjunto Dom(f ) sera´ considerado o dom´ınio
ma´ximo da func¸a˜o, ou seja, e´ o conjunto de todos os nu´meros reais onde
f esta´ bem definida. Quando conveniente, poderemos fazer restric¸o˜es no
dom´ınio.
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Exemplo
I Seja f uma func¸a˜o dada por f (x) =
x2 + 1
x2 − 1 . Assim,
Dom(f ) = {x ∈ R; x2 − 1 6= 0} = R \ {−1, 1}.
I Seja g uma func¸a˜o dada por g(x) =
√
x + 1. Temos
Dom(g) = {x ∈ R; x + 1 ≥ 0} = [−1,∞).
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Definic¸a˜o
Seja f : A → B uma func¸a˜o. O gra´fico de f , e´ definido como sendo o
seguinte conjunto
{(x , f (x)) ∈ R2; x ∈ A}.
I O gra´fico de uma func¸a˜o e´ constru´ıdo em um sistema de coordenadas
cartesianas constitu´ıdas por dois eixos coordenados ortogonais.
I O eixo horizontal, ou eixo x , e´ o eixo das abscissas onde marcaremos
a primeira coordenada do gra´fico de f .
I O eixo vertical, ou eixo y , e´ o eixo das ordenadas onde marcaremos
a segunda coordenada do gra´fico de f .
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−2 −1 1 2 3 4 5 6 7 8
x
y
0
f (1)
f (2)
f (x)
x
Figura : Gra´fico de uma func¸a˜o
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Geometricamente, o gra´fico de uma func¸a˜o pode interceptar no ma´ximo
uma u´nica vez cada reta paralela ao eixo−y .
Exemplo
Considere o seguinte subconjunto de R2 dado por
S = {(x , y) ∈ R2; x2 + y2 = 1}.
Este conjunto de pontos na˜o representa o gra´fico de uma func¸a˜o, pois para
um mesmo valor de x , encontramos dois valores distintos de y satisfazendo
a equac¸a˜o x2 + y2 = 1. De fato, para x = 12 , tome y = −
√
3
2 ou y =
√
3
2 .
Graficamente isso significa que a reta vertical x =
1
2
intercepta o conjunto
em mais de um ponto.
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−1 1
x
−1
1
y
0
x = 12
Figura : Curva que na˜o representa gra´fico de func¸a˜o
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Antes de continuar a revisa˜o sobre diferentes tipos de func¸o˜es, definiremos
algumas operac¸o˜es.
Definic¸a˜o
Sejam f , g : A→ R func¸o˜es. Definimos as seguintes operac¸o˜es:
(i) (f + g)(x) := f (x) + g(x);
(ii) (f − g)(x) := f (x)− g(x);
(iii) (f · g)(x) := f (x) · g(x);
(iv)
(
f
g
)
(x) :=
f (x)
g(x)
, desde que g(x) 6= 0;
(v) (k · f )(x) := k · f (x).
Observac¸a˜o
As operac¸o˜es acima so´ fazem sentido se x ∈ Dom(f ) ∩ Dom(g).
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Definic¸a˜o
Sejam f : A→ B e g : C → D func¸o˜es tais que Im(f ) ⊂ C . Definimos a
composta de g com f , denotada por (g ◦ f ), por
(g ◦ f )(x) = g(f (x)), para todo x ∈ A.
x f (x) g(f (x))
f g
g ◦ f
Figura : Ilustrac¸a˜o de Composta de Func¸o˜es
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Observac¸a˜o
Em geral,
(f ◦ g) 6= (g ◦ f ),
como veremos no pro´ximo exemplo.
Exemplo
Sejam f : R→ R dada por f (x) = 2x + 1 e g : [0,∞)→ R definida por
g(x) =
√
x .
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Vamos calcular as duas composic¸o˜es
(g ◦ f )(x) = g(f (x)) = g(2x + 1) = √2x + 1 :
(f ◦ g)(x) = f (g(x)) = f (√x) = 2√x + 1.
Observe que Dom(f ◦ g) = [0,+∞) e Dom(g ◦ f ) =
[
−1
2
,+∞
)
.
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Definic¸a˜o
Seja f : A→ R uma func¸a˜o. Sejam x1, x2 ∈ A. Diremos que
I f e´ estritamente crescente em A, se
x1 < x2 ⇒ f (x1) < f (x2)
I f e´ estritamente decrescente em A, se
x1 < x2 ⇒ f (x1) > f (x2)
I f e´ crescente (ou na˜o-decrescente) em A, se
x1 ≤ x2 ⇒ f (x1) ≤ f (x2)
I f e´ decrescente (ou na˜o-crescente) em A, se
x1 ≤ x2 ⇒ f (x1) ≥ f (x2)
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Figura : Func¸a˜o Estritamente Decrescente
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Func¸a˜o Constante:
Seja f : R → R dada por f (x) = k , para todo x ∈ R, onde k e´ uma
constante real qualquer.
−2 −1 1 2 3 4 5 6
x
−1
1
2
y
0
} } } }
f (1) f (2) f (3) f (x)
Figura : Func¸a˜o Constante
A func¸a˜o constante e´ um exemplo de func¸a˜o que e´ crescente e decrescente
simultaneamente.
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Func¸a˜o Identidade:
Seja f : R→ R dada por f (x) = x .
x
y
0 x
x
Figura : Func¸a˜o Identidade
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Func¸a˜o Afim:
Seja f : R→ R dada por f (x) = ax + b, onde a, b ∈ R e a 6= 0. O gra´fico
desta func¸a˜o e´ uma reta.
−2 −1 1 2
x
−1
1
y
0
f (x) = x − 1
a > 0
Figura : Func¸a˜o Afim Crescente
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−1 1 2 3
x
−1
1
2
y
0
f (x) = −x + 2
a < 0
Figura : Func¸a˜o Afim Decrescente
A constante a e´ chamada coeficiente angular que e´ a tangente do aˆngulo
formado entre a reta e o eixo x .
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Func¸a˜o Quadra´tica:
Seja f : R→ R dada por f (x) = ax2 + bx + c , onde a, b, c ∈ R e a 6= 0. O
gra´fico desta func¸a˜o e´ uma para´bola. A concavidade da para´bola depende
do sinal da constante a.
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I Se a > 0 a para´bola tem concavidade voltada para cima.
−4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5
x
−1
1
2
3
y
0
f (x) = x2 − x + 1
a > 0
Figura : Para´bola com Concavidade para Cima
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I Se a < 0 a para´bola tem concavidade voltada para baixo.
−4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5
x
−2
−1
1
2
y
0
g(x) = −x2 + x + 2
a < 0
Figura : Para´bola com Concavidade para Baixo
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As coordenadas do ve´rtice da para´bola sa˜o dadas por V = (xv , yv ), onde
xv = − b
2a
e yv = −∆
4a
= −b
2 − 4ac
4a
.
Pela fo´rmula de Bha´skara, temos que
f (x) = 0 ⇔ ax2 + bx + c = 0
⇔ x = −b ±
√
b2 − 4ac
2a
.
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Logo, definido ∆ = b2 − 4ac , podemos concluir que
I Se ∆ > 0, enta˜o o gra´fico intercepta o eixo x em dois pontos
distintos.
I Se ∆ = 0, enta˜o o gra´fico de f intercepta o eixo x no ponto de
abscissa x = − b
2a
.
I Se ∆ < 0, enta˜o o gra´fico de f na˜o intercepta o eixo x , ou seja, o
gra´fico encontra-se totalmente acima ou totalmente abaixo do eixo
x .
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Func¸a˜o Polinomial:
Uma func¸a˜o polinomial e´ uma func¸a˜o f : R→ R da forma
f (x) = a0 + a1x + a2x
2 + · · ·+ anxn,
onde a0, a1, ..., an ∈ R e n ∈ N.
Quando n = 1, temos uma func¸a˜o afim. Quando n = 2, temos uma func¸a˜o
quadra´tica. O nu´mero natural n e´ chamado grau do polinoˆmio.
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Func¸a˜o Racional:
Uma func¸a˜o f e´ chamada func¸a˜o racional quando ela e´ o quociente de
dois polinoˆmios, ou seja,
f (x) =
p(x)
q(x)
,
onde p e q sa˜o func¸o˜es polinomiais.
Neste caso
Dom(f ) = {x ∈ R; q(x) 6= 0}.
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Func¸a˜o Definida por Partes:
Este e´ um tipo de func¸a˜o definida de forma diversa em diferentes partes
do seu dom´ınio.
Exemplo
Seja f : R→ R definida por
f (x) =
{
x + 1, se x < 1
x2, se x ≥ 1
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O gra´fico desta func¸a˜o e´ dado por
−3 −2 −1 1 2 3
x
−1
1
2
3
4
5
6
7
8
9
y
0
Figura : Func¸a˜o Definida por Partes
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Exemplo
Outro exemplo de func¸a˜o definida por partes e´ a func¸a˜o modular, ou
func¸a˜o valor absoluto f : R→ R definida por
f (x) = |x |.
Utilizando a definic¸a˜o de mo´dulo, podemos escrever
f (x) = |x | =
{
x , se x ≥ 0
−x , se x < 0 .
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−3 −2 −1 1 2 3
x
1
2
3
y
0
Figura : Func¸a˜o Modular
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Propriedades do Mo´dulo
I |x | ≥ 0 e |x | = 0 se e somente se x = 0
I x ≤ |x |
I |x + y | ≤ |x |+ |y | (Desigualdade Triangular)
I ||x | − |y || ≤ |x − y |
Observac¸a˜o
Se conhecermos o gra´fico de uma func¸a˜o f , para construir o gra´fico de
g = |f |, basta refletir a parte negativa do gra´fico de f em torno do eixo x .
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Exemplo
Sejam f , g : R→ R func¸o˜es dadas por
f (x) = x − 1 e g(x) = |f (x)|.
Pela definic¸a˜o de mo´dulo, podemos escrever
g(x) = |x − 1| =
{
x − 1, se x ≥ 1
−x + 1, se x < 1 .
Assim, os gra´ficos de f e g sa˜o ilustrados na figura abaixo.
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−2 −1 1 2 3 4
x
−2
−1
1
2
y
0
|x − 1|
x − 1
Figura : Gra´fico do Mo´dulo de uma Func¸a˜o
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Func¸a˜o Exponencial:
Seja a > 0, a 6= 1. A func¸a˜o exponencial de base a e´ uma func¸a˜o f : R→ R
definida por
f (x) = ax .
−5 −4 −3 −2 −1 1 2 3 4
x
−1
1
2
3
4
5
6
y
0
Figura : Exponencial de Base a > 1.
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−5 −4 −3 −2 −1 1 2 3 4
x
−1
1
2
3
4
5
6
y
0
Figura : Exponencial de Base 0 < a < 1.
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Propriedades:
I a0 = 1
I ax > 0, para qualquer x ∈ R
I ax+y = ax .ay
I (ax)y = axy
I a−x =
1
ax
I f e´ crescente se a > 1
I f e´ decrescente se 0 < a < 1.
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Func¸a˜o Logar´ıtmica:
Seja x > 0. Definimos o logaritmo de x na base a, a > 0, a 6= 1 como
sendo
logax = y ⇔ ay = x .
Desta forma, podemos falar da func¸a˜o logar´ıtmica g : (0,+∞) → R
definida por g(x) = loga x .
Quando a = e, escreveremos simplesmente
g(x) = ln x .
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Observac¸a˜o
Note que definimos anteriormente a func¸a˜o exponencial de base a
somente para a > 0, a 6= 1. Logo, a base do logaritmo tambe´m deve
satisfazer esta condic¸a˜o.
Propriedades
Sejam a > 0, a 6= 1, b > 0, b 6= 0. Enta˜o
I loga xy = loga x + loga y
I loga x
y = y loga x
I loga
x
y
= loga x − loga y
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Propriedades
I Se a > 1, a func¸a˜o logar´ıtmica e´ estritamente crescente, ou seja,
x < y ⇒ loga x < loga y
I Se 0 < a < 1, a func¸a˜o logar´ıtmica e´ estritamente decrescente, ou
seja,
x < y ⇒ loga x > loga y
I (Mudanc¸a de Base) loga x =
logb x
logb a
.
I loga(a
x) = x , para todo x ∈ R.
I aloga x = x , para todo x > 0.
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Os gra´ficos das func¸o˜es exponencial e logar´ıtmica, de base iguais, sa˜o
sime´tricos em relac¸a˜o a` reta y = x .
1 2 3 4 5 6 7 8 9
x
−3
−2
−1
1
2
y
0
Figura : Func¸a˜o Logar´ıtmica Crescente
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1 2 3 4 5 6 7 8 9
x
−3
−2
−1
1
2
3
y
0
Figura : Func¸a˜o Logar´ıtmica Decrescente
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Func¸o˜es Seno e Cosseno:
Assumiremos o conhecimento do c´ırculo trigonome´trico, onde adotamos
o sentidoanti-hora´rio como o sentido positivo e o sentido hora´rio como
sendo o negativo. Durante todo o curso, a menos que se diga o
contra´rio, todos aˆngulos sera˜o medidos em radianos, lembrando que pi
radianos corresponde a 180 graus, ou seja, a volta completa no c´ırculo
trigonome´trico corresponde a 2pi radianos.
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Considere um ponto P = (x , y) sobre o c´ırculo trigonome´trico de raio 1.
O segmento ligando o ponto P ao centro do c´ırculo forma um aˆngulo α
com o eixo x . Definimos o seno e o cosseno de um aˆngulo α, denotados
por senα e cosα respectivamente, como sendo
senα = y e cosα = x .
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1−1
1
−1
x
y
0
P = (x, y)
α
+
−
x2 + y2 = 1
cosα
sen α
Figura : C´ırculo Trigonome´trico
Desta forma, o dom´ınio de ambas e´ o conjunto dos nu´meros reais R e o
conjunto imagem e´ o intervalo [−1, 1].
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Para quaisquer α, β ∈ R, valem as seguintes identidades
I sen2 α + cos2 α = 1
I sen(α + β) = senα cosβ + senβ cosα
I cos(α + β) = cosα cosβ − senα senβ
I sen(α− β) = senα cosβ − senβ cosα
I cos(α− β) = cosα cosβ + senα senβ
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Exerc´ıcio
Utilizando as identidades acima, verifique que
a) sen(−α) = − senα
b) cos(−α) = cosα
c) sen
(
α +
pi
2
)
= cosα
d) sen
(
α− pi
2
)
= − cosα
e) cos
(
α +
pi
2
)
= − senα
f) cos
(
α− pi
2
)
= senα
g) sen (α + pi) = − senα
h) sen (α− pi) = − senα
i) cos (α + pi) = − cosα
j) cos (α− pi) = − cosα
k) sen(2α) = 2 senα cosα
l) cos(2α) = cos2 α− sen2 α
m) sen2 α =
1− cos(2α)
2
n) cos2 α =
1 + cos(2α)
2
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Func¸a˜o Tangente:
A func¸a˜o tangente
tg : R \ A→ R
e´ definida por
tgα =
senα
cosα
,
onde
A =
{pi
2
+ kpi; k ∈ Z
}
.
Note que ouve a necessidade de excluir o conjunto A do dom´ınio da
tangente, visto que a func¸a˜o cosseno se anula neste pontos. A imagem
desta func¸a˜o e´ todo conjunto dos nu´meros reais R.
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Conceitos Preliminares Tipos Especiais de Func¸o˜es Func¸o˜es Trigonometricas Equac¸a˜o de Reta
−2pi −3pi/2 −pi −pi/2 pi/2 pi 3pi/2 2pi
x
y
0
Figura : Gra´fico da Func¸a˜o Tangente
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Conceitos Preliminares Tipos Especiais de Func¸o˜es Func¸o˜es Trigonometricas Equac¸a˜o de Reta
Func¸o˜es Cotangente, Secante e Cossecante:
As func¸o˜es cotangente, secante e sera˜o definidas respectivamente por
cotgα =
cosα
senα
secα =
1
cosα
cossecα =
1
senα
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Conceitos Preliminares Tipos Especiais de Func¸o˜es Func¸o˜es Trigonometricas Equac¸a˜o de Reta
Note que o dom´ınio da secante coincide com o dom´ınio da tangente. O
dom´ınio da cotangente coincide com o dom´ınio da cossecante e e´ dado por
R \ {kpi; k ∈ Z} .
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Conceitos Preliminares Tipos Especiais de Func¸o˜es Func¸o˜es Trigonometricas Equac¸a˜o de Reta
−2pi −3pi/2 −pi −pi/2 pi/2 pi 3pi/2 2pi
x
y
0
Figura : Gra´fico da Func¸a˜o Cotangente
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Conceitos Preliminares Tipos Especiais de Func¸o˜es Func¸o˜es Trigonometricas Equac¸a˜o de Reta
−2pi −3pi/2 −pi −pi/2 pi/2 pi 3pi/2 2pi
x
y
0
Figura : Gra´fico da Func¸a˜o Secante
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Conceitos Preliminares Tipos Especiais de Func¸o˜es Func¸o˜es Trigonometricas Equac¸a˜o de Reta
−2pi −3pi/2 −pi −pi/2 pi/2 pi 3pi/2 2pi
x
y
0
Figura : Gra´fico da Func¸a˜o Cossecante
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Conceitos Preliminares Tipos Especiais de Func¸o˜es Func¸o˜es Trigonometricas Equac¸a˜o de Reta
Valem as seguintes relac¸o˜es trigonome´tricas
I 1 + tg2 α = sec2 α
I 1 + cotg2 α = cossec2 α
I tg(−α) = − tgα
I sec(−α) = secα
I cossec(−α) = − cossecα
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Conceitos Preliminares Tipos Especiais de Func¸o˜es Func¸o˜es Trigonometricas Equac¸a˜o de Reta
Equac¸a˜o da Reta:
Sejam dois pontos distintos no plano P1 = (x1, y1) e P2 = (x2, y2), com
x1 6= x2. Considere um ponto P = (x , y) qualquer sobre tal reta.
x
y
x1 x x2
y1
y
y2
P1
P
P2
α
α
y2 − y1
y − y1
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Conceitos Preliminares Tipos Especiais de Func¸o˜es Func¸o˜es Trigonometricas Equac¸a˜o de Reta
Por semelhanc¸a de triaˆngulo temos
y2 − y1
x2 − x1 =
y − y1
x − x1 .
Isolando y na equac¸a˜o acima, encontramos
y =
(
y2 − y1
x2 − x1
)
x +
(
y1 − y2 − y1
x2 − x1 x1
)
.
Note que o coeficiente angular da reta acima, dado por a =
y2 − y1
x2 − x1 , e´ a
tangente do aˆngulo α formado entre a reta e o eixo x .
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Conceitos Preliminares Tipos Especiais de Func¸o˜es Func¸o˜es Trigonometricas Equac¸a˜o de Reta
Outra maneira de determinar a equac¸a˜o de uma reta e´ conhecendo um
ponto e o coeficiente angular da mesma. Suponhamos que o coeficiente
angular da reta seja a e P1 = (x1, y1) seja um ponto sobre a mesma. Pelo
mesmo racioc´ınio apresentado anteriormente, temos que
a =
y − y1
x − x1 ,
ou seja, a equac¸a˜o e´ dada por
y = a(x − x1) + y1.
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