DIMENSIONAMENTO DE UM MODELO PROTÓTIPO DE UM VEÍCULO DE LEVITAÇÃO MAGNÉTICA, COM MOTORES LINEARES DE INDUÇÃO TRIFÁSICOS

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DIMENSIONAMENTO DE UM MODELO 
PROTÓTIPO DE UM VEÍCULO DE LEVITAÇÃO 
MAGNÉTICA, COM MOTORES LINEARES DE 
INDUÇÃO TRIFÁSICOS 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Realizado por: 
Rui Agostin Gonçalves Jardim,Nº10239 
 
 
 
 
 
 
 
 Projecto de final de curso 
 
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ÍNDICE 
 
AGRADECIMENTOS....................................................................................................3 
1. INTRODUÇÃO ...........................................................................................................4 
1.1 SUMÁRIO ............................................................................................................................................4 
1.2 HISTÓRIA............................................................................................................................................4 
1.3 DESCRIÇÃO DA LEVITAÇÃO MAGNÉTICA ...........................................................................................6 
1.4 PRINCÍPIO DE FUNCIONAMENTO DO MLI ............................................................................................9 
1.5 TOPOLOGIA DA MÁQUINA LINEAR.....................................................................................................10 
1.6 CLASSIFICAÇÃO DE USO....................................................................................................................10 
1.7 CLASSIFICAÇÃO GEOMÉTRICA ..........................................................................................................11 
1.8 VANTAGENS DOS MOTORES LINEARES ..............................................................................................12 
1.9 MODELO EQUIVALENTE DO MOTOR LINEAR......................................................................................13 
2. PERDAS DO MOTOR LINEAR DE INDUÇÃO ..................................................15 
2.1 INTRODUÇÃO ....................................................................................................................................15 
2.2 PERDAS POR EFEITO DE JOULE ..........................................................................................................17 
2.3 PERDAS POR CORRENTES DE FAUCOULT ...........................................................................................18 
2.4 PERDAS POR HISTERESE MAGNÉTICA................................................................................................20 
3. FACTOR DE QUALIDADE ....................................................................................23 
3.1 DEFINIÇÃO........................................................................................................................................23 
3.2 RELACIONAMENTO DO FACTOR QUALIDADE COM OS PARÂMETROS CONSTRUTIVOS DA MÁQUINA ...25 
4. FORÇAS EXISTENTES NO MOTOR LINEAR DE INDUÇÃO........................27 
4.1 FORÇA LONGITUDINAL .....................................................................................................................27 
4.2 FORÇA DE ATRACÇÃO.......................................................................................................................31 
5. CAMPO VIAJANTE.................................................................................................33 
5.1 CRIAÇÃO DE UM CAMPO GIRANTE MAGNÉTICO NUM ESTATOR TRIFÁSICO ........................................33 
5.2 CAMPO VIAJANTE NUM ESTATOR LINEAR TRIFÁSICO ........................................................................35 
5.3 VELOCIDADE SÍNCRONA DO CAMPO VIAJANTE..................................................................................48 
6. CONTROLO DE VELOCIDADE ...........................................................................50 
6.1 INTRODUÇÃO ....................................................................................................................................50 
6.2 CONTROLO DA TENSÃO DO ESTATOR ................................................................................................51 
6.3 CONTROLO DA TENSÃO DO ROTOR....................................................................................................52 
6.4 CONTROLO DA FREQUÊNCIA .............................................................................................................53 
6.5 CONTROLO DA TENSÃO E FREQUÊNCIA DO ESTATOR.........................................................................54 
6.6 CONTROLO DA CORRENTE ................................................................................................................55 
7. APLICAÇÕES...........................................................................................................56 
7.1 ESTRADAS ELÉCTRICAS ....................................................................................................................56 
7.2 PARQUES DE DIVERSÃO ....................................................................................................................59 
7.3 MONOCARRIL...................................................................................................................................60 
7.4 PORTAS AUTOMÁTICAS COM MOTORES LINEARES.............................................................................61 
7.5 TRANSPORTE AEROESPACIAL ...........................................................................................................62 
7.6 SISTEMA DE EXTRACÇÃO DE PETRÓLEO ............................................................................................64 
7.7 ELEVADORES ....................................................................................................................................64 
7.8 TECNOLOGIAS MAGNETIC LEVITATION (MAGLEV) ..........................................................................66 
8. RESULTADOS EXPERIMENTAIS .......................................................................71 
8.1 ENSAIOS DA FORÇA DESENVOLVIDA PELO MOTOR LINEAR................................................................71 
8.1.1 Resultados experimentais (chapa rotórica de alumínio maciço ) ............................................72 
 Projecto de final de curso 
 
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8.1.2 Resultados experimentais (chapa rotórica de alumínio flexível ) ............................................74 
8.2 ENSAIOS EM VAZIO DO MLI POR ESTATOR .......................................................................................76 
8.2.1 Resultados experimentais em vazio..........................................................................................77 
8.3 ENSAIO COM A CHAPA ROTÓRICA BLOQUEADA DO MLI POR ESTATOR .............................................79 
8.3.1 Resultados experimentais com a chapa rotórica bloqueada....................................................79 
8.4 PERDAS NO MLI ...............................................................................................................................85 
8.4.1 Calculo das perdas por efeito de Joule....................................................................................85 
8.4.2 Calculo das perdas por histerese magnética por estator.........................................................89 
8.4.3 Calculo das perdas por correntes de Foucault por estator .....................................................90 
8.4.4 Perdas totais do MLI ...............................................................................................................918.5 RELAÇÃO FORÇA/PESO-CORRENTE ..................................................................................................92 
8.5.1 Resultados experimentais (com chapa rotórica de alumínio maciço) .....................................94 
8.5.2 Resultados experimentais (com chapa rotórica de alumínio flexível) .....................................96 
8.6 RELAÇÃO FORÇA/ESCORREGAMENTO ..............................................................................................98 
8.6.1 Calculo da resistência equivalente da chapa rotórica por fase (R2) referida ao estator.........98 
8.6.2 Gráfico Força/Escorregamento ...............................................................................................99 
9. CONSTRUÇÃO DO MODELO PROTÓTIPO DE UM VEÍCULO DE 
LEVITAÇÃO MAGNÉTICA.................................................................................... 101 
9.1 MODELO 1 ......................................................................................................................................101 
9.2 MODELO 2 ......................................................................................................................................102 
9.3 COMPARAÇÕES ENTRE OS DOIS MODELOS.......................................................................................102 
10. ESQUEMA ELÉCTRICO DO MODELO PROTÓTIPO DE UM VEÍCULO 
DE LEVITAÇÃO MAGNÉTICA ............................................................................. 104 
11. CONCLUSÕES TÉCNICAS................................................................................105 
12. CONCLUSÕES......................................................................................................107 
13. PERSPECTIVAS FUTURAS...............................................................................110 
14. ANEXOS ................................................................................................................111 
14.1 ANEXO 1.......................................................................................................................................111 
14.2 ANEXO 2.......................................................................................................................................117 
14.3 ANEXO 3.......................................................................................................................................123 
14.4 ANEXO 4.......................................................................................................................................126 
14.5 ANEXO 5 (GALERIA DE FOTOS) .....................................................................................................127 
15. BIBLIOGRAFÍA ...................................................................................................131 
 
 Projecto de final de curso 
 
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Agradecimentos 
 
Ao meu orientador de projecto, Prof. A. Leão Santos Rodrigues, pelo seu apoio, 
incentivo e disponibilidade e pela sua inconfundível qualidade como docente e pessoa, 
que muito contribuiu para que este projecto pudesse ser realizado. 
 
À todos os docentes da secção de Máquinas eléctricas, pelos ensinamentos e 
apoios transmitidos durante este curso. 
 
Aos meus pais, pelo seu incentivo e, ao mesmo tempo, pelo sacrifício que 
suportam devido à minha longa ausência no seio da nossa família. 
 
À minha irmã, Domitilia, pela força e grande coragem que sempre me transmitiu 
em todos os momentos, bons e maus, no decorrer do meu Curso Universitário, bem 
como pela revisão do manuscrito final. 
 
Um agradecimento também especial às instituições que me apoiaram 
financeiramente ao longo destes cinco anos e que muito contribuíram na minha 
formação académica; sem eles não seria possível chegar até onde cheguei: 
 
Câmara Municipal da Calheta, 
Fundação Berardo, 
Governo Regional da Madeira, 
PRODEP III, Programa de Desenvolvimento Educativo para Portugal. 
 
 
A todos o meu reconhecimento sincero e o meu muito obrigado.... 
 
 Projecto de final de curso 
 
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1. INTRODUÇÃO 
 
1.1 Sumário 
 
O projecto desenvolvido, está inserido na disciplina de projecto da Licenciatura 
em Engenharia Electrotecnia de Computadores, da Faculdade de Ciências e Tecnologias 
da Universidade Nova de Lisboa. Tem como objectivo o desenho e concepção de um 
modelo protótipo de um veículo de levitação magnética, através da utilização de 
motores lineares de indução trifásicos. 
 
O presente projecto final de curso encontra-se estruturado em capítulos, 
numerados de 1 a 15. Abordando-se nos capítulos iniciais (1 a 7) os aspectos teóricos 
mais relevantes ao funcionamento do motor linear de indução, bem como a sua história 
e aplicações. Nos capítulos seguintes apresentam-se, aspectos relacionados com os 
ensaios efectuados aos motores (em vazio, em carga e de força), resultados, construção 
da estrutura e conclusões. 
 
1.2 História 
 
 O primeiro conceito de um motor linear eléctrico tem mais de 150 anos. O 
primeiro motor linear foi patenteado em 1841 por Wheatstone. O primeiro MLI foi 
patenteado em 1890. Muitas da patentes que se seguiram foram utilizadas para 
propulsão na industria têxtil, isto entre 1895 e 1940. Em 1905 foram propostos dois 
projectos de tracção onde se utilizavam MLI. Em 1923, foi apresentado, em Nova 
Iorque, um passeio rolante accionado por um MLI, o qual ligava o “Grand Central 
Terminal” á “Times Square”. Em 1945 a “Westing House Company of America” 
construiu um MLI com uma velocidade síncrona de 100m/s, o qual foi utilizado para 
acelerar aviões na sua descolagem, figura 1.1. Este aparelho denominado de 
“Electropult” podia desenvolver uma força de arranque de 75600 N, e tinha a 
capacidade de acelerar uma massa de 5 toneladas aos 185 km/H em apenas 4.2 
segundos. Este motor de rotor longo, tinha um secundário (rotor) de 1600 metros. Para o 
parar, desligava-se o primário da fonte de alimentação trifásica e impunha-se uma 
desaceleração aplicando frenagem dinâmica (introduziam-se 10kA de corrente contínua 
por fase). 
 
Figura 1.1.- “Electropult” construída pela “Westing House Company of America” 
 Projecto de final de curso 
 
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 Os progressos na construção de reactores nucleares exigiam bombas eficientes 
para metais líquidos tais como o sódio, sódio-potássio, etc. Nos finais dos anos 50, 
foram desenhadas as primeiras bombas de indução para metais líquidos. Já no início dos 
anos 60, foram construídos vários dispositivos para simulação de colisões de 
automóveis. Estes dispositivos eram responsáveis pela aceleração do automóvel, 
executando-se nessa altura testes de colisão á velocidade de 100km/h. 
 
 
 Figura 1.2.- Veículo teste pela Universidade de Manchester (1961) 
 
 
 Figura 1.3.- Veículo teste pela “Gorton Loco Works”, Manchester (1962) 
 
 Uma das áreas de maior aplicação do MLI é em sistemas de transporte de alta 
velocidade, sistemas esses denominados de sistemas de levitação magnética. Desde os 
anos 70 que o Japão tem construído protótipos capazes de atingir velocidades elevadas. 
 
Estes veículos, são levitados magneticamente e são capazes de atingir 
velocidades superiores a 500km/h. Num sistema deste tipo, o conjunto linha-veículo 
constitui motor linear de indução. Os comboios de alta velocidadelevitados 
magneticamente são hoje em dia uma realidade, existindo já veículos destes 
desenvolvidos pelo Japão e pela Alemanha. Comercialmente, só agora se começam a 
implementar os primeiros projectos de comboios de alta velocidade, uma vez que só 
agora estão testadas todas as condições técnicas e de segurança para que isso possa 
acontecer. 
 
 Com o avanço verificado nos materiais supercondutores, o avanço na área dos 
dispositivos accionados por motores lineares tem vindo a aumentar, e este é um 
dispositivo com futuro no domínio dos accionamentos. 
 Projecto de final de curso 
 
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1.3 Descrição da Levitação Magnética 
 
 A experiência do “anel saltador” tem sido usada para ilustrar alguns dos 
princípios fundamentais da indução electromagnética. O dispositivo consiste numa 
simples bobina com um núcleo alongado em material ferromagnético laminado, com o 
que esta representado na figura 1.4. 
 
 
Figura 1.4.- Experiência do “anel saltador” 
 
 Quando o anel de material condutor eléctrico e não magnético (cobre ou 
alumínio) é colocado de forma a abraçar o núcleo e uma tensão alternada é bruscamente 
aplicada á bobina observa-se que o anel salta fora do núcleo, atingindo alguns metros de 
altura. 
 
 O fenómeno pode explicar-se atendendo ao teorema da conservação de fluxo. 
Antes de ligar a bobina o fluxo através do anel é φ0=0. Ao ligar a bobina o fluxo φ 
através do anel induz nele uma f.e.m 
 
dt
de Φ= . 
 
Que dá origem no anel de resistência R e auto-indução L a uma corrente i tal que 
 
dt
diLiR
dt
d +=Φ . . 
 
Admitindo que R=0 e L=0 vem 0=Φ
dt
d e portanto φ=Const. 
 
 Deste modo o anel “exige” constantemente um fluxo nulo e como devido ao 
regime transitório o fluxo inicial é elevado, o anel reage afastando-se violentamente da 
fonte que gera o fluxo (bobina) de forma a ser atravessado por um fluxo nulo. Porém, ao 
atingir-se o regime forçado na bobina, se o anel voltar a ser colocado no núcleo ele fica 
a levitar. Isto porque efectivamente o anel tem uma certa resistência e auto-indução (ou 
 
constante de tempo L/R) induzindo-se então nele uma certa corrente necessária para 
cobrir as suas perdas de Joule (Ri2) e criar um fluxo antagónico ao fluxo produzido pela 
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bobina primária. A força de repulsão entre os dois fluxos é tal que equilibra o peso do 
anel. Daqui conclui que as correntes na bobina e no anel estão em oposição, como é 
conhecido da teoria do transformador. 
 
 O anel não fica porém centrado com o eixo do dispositivo, isto é, não é possível 
sustentá-lo sem o contacto físico com o núcleo, apresentando portanto instabilidade. O 
mesmo sucede com a repulsão entre dois magnetos permanentes. A razão desta 
instabilidade pode compreender-se facilmente a partir do dispositivo indicado em (a) da 
figura 1.5, que é em tudo idêntico ao do anel saltador, simplesmente o núcleo central foi 
reduzido. 
 
 
Figura 1.5.- Nova configuração do “anel saltador” 
 
 O anel pode ainda ser substituído por um disco condutor e colocado sobre a 
superfície do ferro continuando a existir força de sustentação como indica em (b) da 
figura anterior. 
 
 Porém, nesta configuração é relativamente fácil demonstrar que o sistema é 
instável. 
 
 A figura seguinte mostra que se o disco não estiver perfeitamente centrado com 
eixo magnético da bobina, as forças exercidas radialmente não são simétricas e o disco 
será projectado lateralmente. O sistema é portanto instável. 
 
 
Figura 1.6.- Demonstração da instabilidade do disco 
 
 A estabilidade do disco pode no entanto ser conseguida á custa de outra bobina 
colocada concentricamente com a primeira e atravessada por uma corrente I2 desfasada 
da corrente I1 de modo a criarem campos viajantes que se propagam radialmente. Tal 
sistema está representado na figura seguinte, na qual a estrutura de ferro é laminada 
radialmente que pode ser construída com laminas em forma de E semelhante á usada em 
pequenos transformadores. 
 
 
 
 
 
 Projecto de final de curso 
 
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Figura 1.7.- Levitador com estabilidade 
 
 A secção recta do sistema está representada em (a) da figura 1.8, que pode ser 
considerada uma estrutura linear. Devido ao desfasamento das correntes I1 e I2 criam-se 
campos viajantes radiais opostos que estabilizam o disco de alumínio. O disco de 
alumínio pode mesmo ser substituída por uma esfera oca de alumínio, como mostrado 
em (b). Os campos viajantes radiais poderão no entanto ser produzidos por uma única 
bobina, substituindo a bobina interior por um tubo em cobre como indicado em (c). 
Desta forma consegue-se a levitação da esfera e com estabilidade (devido ao tudo de 
cobre) só com uma única bobina excitada. 
 
 
Figura 1.8.- Secção recta do levitador circular com estabilidade 
 
 No levitador circular nada impede que a estrutura circular seja alongada de 
forma a ficar com aspecto representado na figura 1.9 . 
 
 
Figura 1.9.- Modificação do levitador circular para o levitador linear 
 
O movimento na direcção xx´ corresponde á rotação do disco na estrutura 
circular. Se as duas bobinas concêntricas da figura (a) forem modificadas de forma a 
 
 
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terem o mesmo número de espiras e serem atravessadas pelas mesma corrente, resulta 
então o sistema representado na figura (b), o qual permite a colocação dos dois blocos 
estatóricos á distância d que se pretenda. 
 
 A figura 1.10 mostra uma secção transversal do sistema equivalente onde estão 
representados os sentidos das correntes induzidas na placa de metal. A altura h de 
levitação depende da f.m.m. do primário, da condutividade da placa e do seu peso. A 
placa fica então estática e suportada em levitação pelo campo magnético do primário. 
 
 
Figura 1.10.- Levitador linear com estabilidade 
 
 Nos sistemas de voo electromagnético associa-se a levitação magnética á 
utilização de motores de indução linear. Suponha-se então um sistema constituído por 
um certo número de levitadores, mas alimentados por um sistema polifásico de forma a 
criar-se um campo viajante como o que está representado na figura 1.11 . 
 
 
Figura 1.11.- “rio magnético” 
 
 Na placa secundária fica então aplicada uma força com componentes vertical 
(levitação), lateral (estabilização) e longitudinal (propulsora devido ao campo viajante). 
Resulta assim um autêntico voo electromagnético sem qualquer contacto mecânico, cuja 
velocidade depende do passo polar e da sua frequência de alimentação. 
 
 
1.4 Princípio de funcionamento do MLI 
 
 O princípio de funcionamento do motor linear baseia-se no deslocamento de um 
campo magnético que induz correntes numa peça condutora. Da interacção desse campo 
com estas correntes resulta o aparecimento de uma força no sentido de propagação do 
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campo. Se o elemento gerador do campo se encontrar fixo no espaço será a peça 
condutora a deslocar-se. Inversamente, se a peça condutora se encontrarbloqueada, será 
o elemento gerador do campo a deslocar-se. Isto significa que podemos ter um motor 
linear com diferentes elementos a deslocar-se, ou desloca-se o elemento gerador de 
campo ou desloca-se a chapa rotórica. 
 
1.5 Topologia da máquina linear 
 Os motores lineares destinam-se, como os motores rotativos, a transformar a 
energia eléctrica em energia mecânica concebidos segundo o mesmo princípio destes, 
eles produzem uma força electromagnética (f.e.m.) idêntica à que provoca a rotação da 
armadura de um motor eléctrico clássico. 
 Para esquematizar um motor linear basta considerar um motor rotativo assíncrono 
de gaiola de esquilo, em que se desdobrem os enrolamentos de modo a ficarem planos, 
figura 1.12. No motor desenvolvido as ranhuras do estator convertem-se em 
paralelepípedos rectangulares. O rotor e estator ficam separados por um entreferro, que 
possibilita a sua variação, de forma de aumentar ou diminuir a força de deslizamento do 
rotor. O campo girante é transformado num campo viajante e a f.e.m., em vez de 
transmitir um impulso mecânico que faz rodar o veio do motor, exerce uma força de 
sentido linear que desloca o órgão que faz de armadura. 
 
Figura 1.12.- Obtenção de um motor linear de indução a partir do seu homólogo rotativo 
 Se se considerar que o motor de rotação é o motor de indução, então o motor linear 
obtido é um MLI. O estator é agora denominado de primário e o rotor de secundário. O 
secundário de um MLI, em vez de se pensar que é constituído pelo rotor de um motor 
de indução desenrolado, é constituído por um material com alta condutividade eléctrica 
e paramagnético (tipicamente uma chapa de alumínio ou cobre, opta-se normalmente 
por alumínio por rações económicas). 
 
1.6 Classificação de uso 
 
 Os motores lineares podem classificar-se em três categorias diferentes consoante 
o seu propósito de uso: 
 
¾ Máquina de potência – os motores lineares de potência são motores que 
devem desenvolver uma potência elevada e uma velocidade também elevada 
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com a menor quantidade de perdas. Estes motores são geralmente destinados 
á tracção eléctrica. 
 O seu rendimento é definido como sendo a potência mecânica 
desenvolvida por unidade de potência eléctrica consumida. Esta é a definição 
clássica de rendimento. Com esta definição, as máquinas que se seguem 
podem ter um baixo rendimento. No entanto, como o objectivo da máquina é 
outro, o rendimento não é calculado da mesma maneira. 
 
¾ Máquina de energia – este tipo de máquinas tem por finalidade desenvolver 
elevadas energias cinéticas á custa de grandes velocidades. 
O rendimento das máquinas de energia é definido como sendo a energia 
cinética desenvolvida por unidade de potência eléctrica consumida. 
Este tipo de máquinas são basicamente utilizados com aceleradores 
cinéticos, onde a famosa Electropulta representa na integra este tipo de 
máquinas. 
 
¾ Máquinas de força – as máquinas de força são essencialmente vistos como 
accionamentos de baixa velocidade. 
A eficiência deste tipo de máquinas é definida como a força mecânica 
que produzem por unidade de potência consumida. 
 
1.7 Classificação geométrica 
 
 Os MLI podem classificar-se de várias maneiras distintas. Assim, apresenta-se 
na seguinte figura uma classificação geométrica dos diferentes tipos de MLI. 
 
 
 
Figura 1.13.- Classificação geométrica do MLI 
 
 
 Projecto de final de curso 
 
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Na figura 1.14 apresenta as configurações geométricas possíveis do MLI. 
Quanto aos comprimentos do primário e do secundário, o MLI pode ser classificado em 
estator curto ou de rotor curto. 
 
 Como seria de esperar, para que uma das partes se mova (estator ou rotor), a 
outra (rotor ou estator) terá que ser fixa. Este é mais um atributo, sendo assim 
classificados de MLI de estator móvel ou rotor móvel. 
 
 Quanto ao número de estatores, o MLI pode ser classificado em simples estator e 
duplo estator. O MLI de simples estator pode apresentar-se só com o rotor ou com um 
circuito ferromagnético por cima do estator de modo a que o fluxo magnético se feche 
por ele e diminua a dispersão das linhas de fluxo. 
 
 O MLI de duplo estator, tal como o nome indica é constituído por dois estators 
ficando o rotor entre os dois. È importante referir que este tipo de motor a sua força 
mecânica é proporcional ao quadrado da corrente de alimentação do estator. Isto 
significa que, sem saturação magnética, a força desenvolvida por um MLI de duplo 
estator tem um valor quatro vezes superior á força desenvolvida por um MLI de estator 
simples (isto considerando que a corrente de alimentação de um MLI de duplo estator é 
o dobro da corrente de alimentação de um MLI de simples estator). 
 
 
 
 
Figura 1.14.- Configurações geométricas e electromagnéticas dos MLI com chapa rotórica 
 
1.8 Vantagens dos motores lineares 
 O motor linear quando comparado com um motor de indução rotativo 
convencional apresenta as seguintes vantagens: 
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™ Transforma directamente a energia eléctrica em energia mecânica sem qualquer 
contacto mecânico. 
™ A construção é extremamente facilitada devido á sua forma geometricamente 
plana, não havendo a necessidade de veios nem dos convencionais rolamentos 
de apoio, a excepção dos motores em disco. 
™ Os motores lineares evitam os trens de engrenagens e as folgas na inversão, os 
fusos de esferas e as compressões e a elasticidade variáveis em função do 
comprimento envolvido. 
™ Há uma maior rapidez na dissipação do calor pelo facto de apresentar uma 
geometria mais simples, o que permite o seu dimensionamento com, densidades 
de corrente estatóricas mais elevadas. 
™ A quase inexistência de órgãos mecânicos intermédios diminui as inércias, o que 
reduz os tempos de aceleração e desaceleração, melhorando a fluidez de 
funcionamento. 
™ Os custos de produção são bastantes mais reduzidos, permitindo normalizar 
pequenas gamas de fabrico na medida em que, para se conseguirem maiores 
forças de tracção, basta associarem-se geométrica e electricamente várias 
unidades dessas gamas de fabrico. 
™ A supressão dos elementos mecânicos da cadeia cinemática aumenta a rigidez. 
Esta particularidade, ou antes característica, dos motores lineares, é determinante 
para maquinações complexas de precisão que necessitam de uma resolução 
muito fina e interpolações. 
™ Eles suprimem praticamente o atrito, as vibrações e a poluição sonora. 
™ Reduzida manutenção e grande fiabilidade 
 
1.9 Modelo equivalente do motor linear 
 
O motor linear de indução plano pode ser representado por um esquema equivalente, 
por fase e por estator, semelhante ao utilizado para representar o motor de indução 
rotativo convencional. Habitualmente, utiliza-se o circuito equivalente em T, o qual está 
representado na figura 1.15. 
 
De maneira sintetizada, os diferentes parâmetros que se apresentam no circuito, são: 
R1- Esta resistência de perdas, representa a resistência dos enrolamentos do estator, por 
fase. É esta a resistência responsável pelas perdas no cobre do estator, por efeito de 
Joule. 
 X1- Reactância de fugas do estator, por fase . Este reactância representa o fluxo 
magnético de dispersão do estator. Como o fluxo é de dispersão, não chegaa atravessar 
a chapa rotórica do rotor. Daí que seja um factor de perdas, uma vez que o fluxo é 
criado pelo estator mas não é aproveitado para nada. 
R0- É a resistência responsável pelas perdas no ferro devido ás correntes de Foucault e 
histerese magnética das chapas ferromagnéticas do estator. Estas perdas são “visíveis” 
devido ao aquecimento do estator. 
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Xm- Este parâmetro tem o nome de reactância de magnetização. Numa máquina 
eléctrica convencional é necessária alguma força magnetomotriz para que o fluxo se 
difunda por todo o circuito magnético. A reactância de magnetização representa a 
quantidade de corrente perdida para “magnetizar” todo o circuito magnético. 
RL- A potência dissipada nesta resistência representa as perdas do motor pelo 
aparecimento de harmónicas indesejadas no rotor e pela acção do efeito final. 
X2- Reactância de fugas do rotor, por fase. 
R2 – Resistência equivalente da chapa rotórica referida ao estator, por fase. Representa 
as perdas por efeito de joule na chapa rotórica por fase. Esta resistência não é constante 
como acontecia no motor de indução convencional mas sim uma função do 
escorregamento do motor. 
Figura 1.15.- Modelo equivalente do motor linear de indução plano, por fase e por estator 
 A corrente que atravessa o estator I1, pode ser decomposta em duas componentes. I’1 
representa a componente da corrente do estator necessária para alimentar a carga e I10 
representa a corrente de magnetização que cria a onda de fluxo viajante. 
 Também a corrente do rotor I2 apresenta duas componentes. I’2 , a qual é igual a I’1 
e I20 que é a corrente de magnetização da onda reflectida pelo efeito final. O valor desta 
corrente vai diminuindo relativamente ao espaço. Este circuito equivalente aqui 
representado é adequado para representar o comportamento de motores lineares 
(simples estator) de baixa velocidade desde que os efeitos finais sejam pequenos. 
 
 
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2. PERDAS DO MOTOR LINEAR DE INDUÇÃO 
 
2.1 Introdução 
 
O motor eléctrico transforma a potência eléctrica fornecida em potência 
mecânica e uma reduzida percentagem em perdas. 
 
 
Figura 2.1.- Transformações do motor eléctrico 
 
As perdas, que são inerentes ao processo de transformação, são quantificadas 
através do rendimento. 
 
As perdas que ocorrem num motor dividem-se em quatro diferentes tipos: 
 
¾ Perdas eléctricas: 
 
As perdas eléctricas são do tipo {RI2}, aumentam acentuadamente 
com a carga aplicada ao motor. Estas perdas, por efeito de Joule podem 
ser reduzidas, aumentando a secção do estator e dos condutores do rotor. 
 
¾ Perdas magnéticas: 
 
As perdas magnéticas ocorrem nas lâminas de ferro do estator e 
do rotor. Ocorrem devido ao efeito de histerese e às correntes induzidas 
(neste caso, correntes de Foucault), e variam com a densidade do fluxo e 
a frequência. Podem ser reduzidas através do aumento da secção do ferro 
no estator e rotor, através do uso de lâminas delgadas e do melhoramento 
dos materiais magnéticos. 
 
¾ Perdas mecânicas: 
 
As perdas mecânicas são devido à fricção dos procedimentos, 
ventilação e perdas devido à oposição do ar. Podem ser reduzidas, usando 
 
 
 Projecto de final de curso 
 
______________________________________________________________________ 
 16 
 
procedimentos com baixa fricção e com o aperfeiçoamento do sistema de 
ventilação. 
 
 
¾ Perdas parasitas: 
 
As perdas parasitas (stray losses) ou perdas extraviadas são 
devidas a fugas do fluxo, distribuição de corrente não uniforme, 
imperfeições mecânicas nas aberturas para escoamento do ar, e 
irregularidades na densidade do fluxo do ar ao ser escoado pelas 
aberturas. Podem ser reduzidas através da optimização do projecto do 
motor e ainda de uma produção ou fabrico cuidadoso. 
 
 
Apresenta-se seguidamente a distribuição das perdas no motor, as perdas 
parasitas não são representadas por terem um valor insignificante. 
 
 Figura 2.2.- Distribuição de perdas no motor 
 
 
Em particular, o motor linear de indução trifásico apresenta perdas por efeito de 
Joule nos condutores eléctricos, perdas por correntes de Foucault e perdas devido á 
histerese magnética, isto é, 
 
HistereseFoucaultJoulermotorlinea PPPP ++= . 
 
 Note-se que não existe nenhum contacto entre o estator e a chapa deslizante e 
portanto não são contabilizadas perdas por atrito, o que não acontece nos motores 
convencionais em que existe atrito entre o veio e a carcaça do motor. 
 
 
 
 
 
 
 
 Projecto de final de curso 
 
______________________________________________________________________ 
 17 
 
2.2 Perdas por efeito de Joule 
A corrente eléctrica é um movimento de cargas eléctricas. Este movimento 
através da estrutura atómica dum material condutor origina choques que produzem 
elevação da temperatura do condutor. 
Considerando um condutor eléctrico de comprimento l , secção S e resistividade 
ρ ( 56/1=ρ mmm /2Ω ), a sua resistência eléctrica é dada por 
S
R l.ρ= ).( 2mmΩ . 
Por definição, as perdas de Joule são dadas pelo produto da resistência do 
condutor pelo quadrado da corrente, isto é 
2.IRPJoule = )(J , 
onde I é acorrente eléctrica que atravessa o condutor. Por outro lado, define-se por 
densidade de corrente eléctrica J o quociente entre a corrente eléctrica I e a secção S do 
condutor, ou seja 
S
IJ = ).( 2mA , 
então, as perdas de Joule podem ser expressas em função da densidade de corrente 
eléctrica 
2)..(. SJ
S
PJoule
lρ= )(J , 
e portanto 
22 ..... JVJSP CobreJoule ρρ == l )(J . 
 Verifica-se então que as perdas de Joule são proporcionais á resistividade, ao 
volume do condutor e ao quadrado da densidade de corrente eléctrica. 
Uma vantagem deste efeito é produzir aquecimento a partir da corrente eléctrica, 
o que é aproveitado nos aquecedores eléctricos. Um inconveniente é produzir perdas de 
energia nos condutores quando não se pretende aquecimento. 
 
Além das perdas no cobre dos enrolamentos (devidas à resistência), o motor 
apresentam perdas magnéticas, das quais serão descritas a seguir. 
 
 Projecto de final de curso 
 
______________________________________________________________________ 
 18 
 
2.3 Perdas por correntes de Faucoult 
 
 A variação no tempo do fluxo magnético dá origem ao aparecimento de um 
campo eléctrico no meio magnético do núcleo (Lei de Faraday). Nesse meio, formam-se 
circuitos fechados, nos quais se induz uma força electromotriz, que é proporcional á 
frequência do fluxo magnético indutor. A presença dessa força electromotriz induzida, 
num circuito fechado, provoca a circulação de uma corrente eléctrica, ver figura 2.3. Ao 
conjunto dessas correntes eléctricas que aparecem no material ferromagnético, 
percorrido por um fluxo magnético variável no tempo, chama-se correntes de Foucault. 
 
Figura 2.3.- Trajectória das correntes de Foucault 
 
 Como os circuitos fechados têm uma dada resistência eléctrica, a circulação da 
corrente eléctrica nesses circuitos traduz-se por uma libertação de calor, por efeito 
Joule. A energia dissipada em calor constitui a energia de perdaspor correntes de 
Foucault. 
 
 Uma forma de diminuir essas perdas de energia consiste na diminuição do valor 
da corrente eléctrica através da diminuição do comprimento dos circuitos fechados onde 
se induz a força electromotriz; o que se consegue com a divisão da área transversa em 
pequenas áreas, por utilização de um material laminado, ver figura 2.4. O valor da 
corrente eléctrica também é diminuído, através do aumento do valor da resistência do 
circuito fechado, por um aumento da resistividade do material ρ, o que se consegue com 
a adição de substâncias (silício) ao ferro em fusão. 
 
Figura 2.4.- Bloco de material ferromagnético laminado 
 
 Projecto de final de curso 
 
______________________________________________________________________ 
 19 
 
 Como consequência do efeito magnético das correntes de Foucault, surge o 
efeito pelicular, que provoca a alteração da distribuição da indução magnética, perto do 
centro da lâmina de material ferromagnético, por acção do campo magnético de reacção 
criado por aquelas correntes parasitas. Este efeito é pronunciado quando o campo 
magnético indutor tem uma frequência elevada (>950Hz; 19º harmónico). 
 
 Quando se procuram reduzir as perdas por correntes de Foucault, por utilização 
de um núcleo formado por empacotamento de lâminas de material ferromagnético, 
surge um outro problema que tem influência no valor da corrente eléctrica de 
magnetização. Devido a forma como é realizado o empacotamento da chapa, 
essencialmente, devido a impossibilidade de se obter um ajuste perfeito entre a chapa 
das colunas e das travessas, surgem pequenos entreferros nos percursos do fluxo 
magnético. São zonas de permeabilidade magnética constante, mas baixa, µo = 4.π.10-7 
H/M, o que cria a necessidade de uma corrente eléctrica de magnetização maior, para 
que nesses percursos o fluxo magnético permaneça com o mesmo valor constante, que 
tem nos percursos feitos no interior do material ferromagnético. Para além deste, 
existem, ainda, outros fenómenos com efeitos cumulativos, como o desenvolvimento de 
correntes de Foucault entre lâminas, que ocorrem devido á execução do empacotamento 
do núcleo. 
 
Considera-se um bloco de material ferromagnético de resistividade ρ, de secção 
transversal ab constante ao longo do seu comprimento c, e sendo atravessado por um 
campo magnético variável B(t), como ilustra a figura anterior. As perdas por corrente de 
Foucault resultam na seguinte expressão: 
 
222
max
222
max ...3
..
.3
.. bfBVolbfBcbaP F ρρ == . 
 
A expressão anterior mostra que as correntes induzidas de Foucault provocam 
perdas proporcionais ao volume Vol do bloco e ao quadrado da densidade máxima de 
fluxo, da frequência e espessura b do bloco e inversamente proporcional á sua 
resistividade. 
 
Fazendo um bloco com chapas de espessura b/N, as perdas por correntes de 
Foucault passam a ser 
 
FF PN
bfBcba
NN
bfBcaNP .1..
.3
...1..
.3
..´ 2
222
max2
3
22
max ==

= ρρ , 
 
isto é, a perdas por correntes de Foucault reduzem-se de 2
1
N
devido á utilização de 
ferro laminado. 
 
Uma aplicação doméstica destas correntes é nos fogões de cozinha por indução, 
em que é possível cozinhar alimentos sem aquecimento directo do recipiente, como 
acontece nos fogões tradicionais. Desta forma, não é o fogão que aquece directamente o 
recipiente, mas sim o contrário. 
 
 Projecto de final de curso 
 
______________________________________________________________________ 
 20 
 
O mesmo princípio se usa na indústria nos fornos de indução, para fundir metais. 
Também nos veículos móveis motorizados se utilizam as correntes de Foucault, nos 
discos dos travões. 
 
2.4 Perdas por Histerese magnética 
 
 Se o circuito magnético for constituído por um material com uma 
permeabilidade relativa µr , então a densidade de fluxo é relacionada com a intensidade 
do campo da seguinte forma: 
 
HB .µ= , onde or µµµ .= . 
 
 A relação entre B e H descrita desta forma é linear. No entanto, nos materiais 
mais comuns esta relação não é linear, e µ varia com o valor de B. 
 
 Fazendo uma pequena análise quanto a natureza do material, este pode ser 
classificado num dos seguintes materiais: 
ƒ Material ferromagnético, (µr>1), exemplo: Ferro macio, Níquel, Crómio. 
ƒ Material paramagnético, (µr=1), exemplo: Alumínio, Cobre. 
ƒ Material diamagnético, (µr<1), exemplo: Mercúrio, Supercondutores. 
 
Uma vez que os materiais possuem características não lineares, são necessárias 
ferramentas gráficas que auxiliem a descrição dessas características. As duas 
características mais importantes são conhecidas como a característica de magnetização 
ou seja a curva B-H e o ciclo de histerese. 
 
A curva B-H é o resultado das diferentes mudanças de orientações dos domínios 
magnéticos do material. Como se sabe da Engenharia dos Materiais, os materiais 
ferromagnéticos são constituídos por pequenas regiões as quais são denominadas de 
domínios magnéticos (que têm o tamanho de 10-2 a 10-5 cm). Em cada uma dessas 
regiões os dipolos são espontaneamente alinhados. Quando o material se encontra 
completamente desmagnetizado, estes domínios tem uma orientação aleatória 
apresentando a rede de domínios uma densidade de fluxo nula numa amostra de 
material finita. Caso se aplique uma “força” exterior, H, capaz de magnetizar o material, 
os domínios que estejam nesse momento alinhados com a direcção do vector H tendem 
a crescer, aumentando assim B (ver figura 2.5- “região I”). Na região II, H continua a 
ser aumentado. Agora, as fronteiras de cada um dos domínios fundem-se rapidamente 
até que cada cristal do material esteja um único domínio. Na região III, os domínios 
giram para outro sentido até que todos os domínios estejam alinhados com H. Isto 
resulta em saturação magnética (na ordem dos 1,6 T no caso do ferro), e a densidade de 
fluxo magnético no interior do material não pode aumentar além da densidade de 
saturação Bs . 
 
 
 
 
 
 
 Projecto de final de curso 
 
______________________________________________________________________ 
 21 
 
 
Figura 2.5.- Curva de magnetização 
 
 Quanto ao ciclo de histerese, figura 2.6, esta característica é traçada 
depois do material ter sido magnetizado uma série de vezes. 
 
 A partir deste ciclo, podem-se tirar várias conclusões: 
ƒ a remanescência, Br, indica a densidade de fluxo que o material magnético 
conserva depois ter sido completamente magnetizado e o campo de 
magnetização H ter sido reduzido a zero. 
ƒ A coercividade Hc, que quantifica o valor do campo de magnetização negativo 
que deve ser aplicado ao magneto permanente para reduzir a densidade de fluxo 
a zero, ou seja, desmagnetizar o magneto permanente. 
 
 
Figura 2.6.- Ciclo Histerético 
 
 
 A área do ciclo de histerese é então uma medida da energia absorvida por 
unidade de volume e por ciclo, a que chamamos perdas por histerese. Então um material 
que sofra uma magnetização com uma frequência f e tenha um ciclo de histerese de área 
A, apresenta perdas de histerese da forma: 
 
 Projecto de final de curso 
 
______________________________________________________________________ 
 22 
 
AfVolPH ..= , 
 
com o volume Vol dado em m3 , a frequência f dada em Hz e a área A dada em J/m3 
para que as perdas de histerese HP venham em watt. 
 
 A área do ciclo dá-nos a ideia da aplicabilidade do material, bem como a forma 
do ciclo. Assim, na figura 2.7,o material macio (ciclo mais estreito) é indicado para a 
construção de núcleos de transformadores visto que seu ciclo tem uma área pequena e 
apresenta elevada magnetização para um pequeno campo H. Por sua vez, o material 
duro (ciclo mais largo) será indicado para a construção de magnetos permanentes e 
circuitos magnéticos de máquinas de CC em virtude de neste tipo de máquinas ser 
necessário uma magnetização remanescente que não sejam destruídas com baixos 
campos coercivos. Nestas situações, não importa a área ser grande em virtude da 
utilização do material ser feita a baixas frequências. 
 
O melhor material é aquele que tem grande coercividade, para que o material 
não seja desmagnetizado tão facilmente, e alta remanescência para que o material 
conserve a maior densidade de fluxo possível e assim provoque a maior f.m.m. possível. 
 
 
 
Figura 2.7.- Representação dos ciclos de histerese de dois materiais magnéticos diferentes 
 
 
 Podemos concluir de uma forma genérica, que as perdas de histerese são um 
fenómeno em que a energia é transformada em calor na reversão da polaridade 
magnética do núcleo transformador. Os materiais ferromagnéticos são passíveis de 
magnetização, através do realinhamento dos domínios, o que ocorre ao se aplicar um 
campo. Este processo consome energia, e ao se aplicar um campo variável, o material 
tenta acompanhar este, sofrendo sucessivas imantações num sentido e noutro, se 
aquecendo. 
 
 
 
 
 
 Projecto de final de curso 
 
______________________________________________________________________ 
 23 
 
3. FACTOR DE QUALIDADE 
 
3.1 Definição 
 
 O MLI é uma máquina eléctrica constituída por um circuito magnético e um 
circuito eléctrico, figura 3.1.a. Sejam quais forem os aspectos a estudar, estes dependem 
sempre dos factores construtivos da máquina, os quais, depois da máquina construída 
não se poderão alterar. 
 
 
Figura 3.1.- Ligação dos circuitos eléctricos e magnético num dispositivo electromagnético 
 
 As máquinas eléctricas utilizam-se como conversores de energia eléctrica em 
mecânica (motores), ou o inverso (geradores). É importante definir o factor de qualidade 
de uma máquina para que se possa ter noção daquilo que se irá realizar, e saber aquilo 
que se pode alterar de modo a que se tenha uma máquina com um rendimento superior. 
 
 Numa máquina eléctrica como o MLI, sabe-se que o binário é proporcional ao 
produto do fluxo magnético pela corrente eléctrica. Para que a máquina tenha a maior 
qualidade possível, deverá para isso produzir o maior binário possível. Assim, a 
máquina deverá produzir a maior quantidade possível de fluxo para a menor quantidade 
de força magnetomotriz possível. Quanto á parte eléctrica, a máquina deverá ter a maior 
corrente possível para uma dada tensão aos seus terminais. 
 
 Define-se factor de qualidade de uma máquina eléctrica como o produto do 
fluxo magnético pela corrente eléctrica que atravessa a máquina. A máquina será tanto 
melhor quanto maior for o seu factor de qualidade 
 
 
. (1) 
 
 Interessa assim maximizar os valores do fluxo magnético e da corrente eléctrica, 
para um dado valor de força magnetomotriz e de tensão aos terminais da máquina. 
 
IKQ ..Φ=
 Projecto de final de curso 
 
______________________________________________________________________ 
 24 
 
Para o circuito eléctrico, sabe-se, pela lei de Ohm, que 
 
I
S
IRU
e
e ..1. 


== lσ . (2) 
 
 Para o circuito magnético, sabe-se, pela lei de Hopkinson, que 
 
Φ


=Φℜ= ..1....
m
m
S
mmf
l
µ . (3) 
 
 Assim pode-se escrever a equação 4 como sendo 
 
ℜ=
mmf
R
EKQ .... . (4) 
 
 Daqui se retira que o factor de qualidade de um MLI é tanto maior quanto menor 
for a resistência dos seus enrolamentos eléctricos e a relutância do circuito magnético, 
mantendo a força magnetomotriz e a tensão aos terminais da máquina constantes. 
 
 Substituindo os valores da resistência eléctrica e da relutância magnética na 
equação 4, obtém-se 
me
me SSKQ ll .
.
..'. µσ= . (5) 
 
 O produto apresentado tem as dimensões de tempo-1 . Para tornar o factor de 
qualidade um produto dimensional, deverá multiplicar-se o produto pela frequência 
angular da máquina ω. O factor de qualidade é agora escrito da seguinte forma: 
 



=
me
me SSQ ll .
.
)...( µσω . (6) 
 
 Da expressão 6 retira-se uma conclusão muito importante. Para se construir uma 
máquina com um bom factor de qualidade é necessário escolher os melhores materiais 
de modo a que µ e σ sejam os maiores possíveis. Seguidamente, terá que se fazer um 
estudo da geometria da máquina, uma vez que para aumentar o factor de qualidade se 
tem que projectar a máquina com a melhor geometria de modo a se maximizar a razão 




me
me SS
ll .
.
. Por aqui se constata que se deseja obter circuitos magnéticos e eléctricos com 
uma grande área e com um baixo comprimento. Um dos problemas é que aumentando a 
área do circuito magnético, diminui-se a área do eléctrico e vice-versa. Assim existe um 
compromisso na geometria da máquina, geometria essa que deve ser estudada de modo 
a maximizar o factor de qualidade. 
 
 
 
 Projecto de final de curso 
 
______________________________________________________________________ 
 25 
 
Imaginando que o circuito eléctrico que enlaça o circuito magnético da máquina 
possui uma só espira, n=1, então o coeficiente de auto-indução L do circuito eléctrico é 
dado por: 
m
mSnL l.
2
µ=ℜ= . 
 
Tendo em atenção a expressão anterior e a expressão 6, pode-se escrever 
 
R
X
R
LQ L== .ω . 
 
 Normalmente, as máquinas eléctricas apresentam dois ou mais circuitos 
eléctricos entrelaçados com um único circuito magnético, daí que seja necessário definir 
a qual dos circuitos se referem os parâmetros R e L. No caso de uma máquina de 
indução, e do acordo com o seu esquema equivalente, a corrente absorvida divide-se 
pelos seguintes ramos: 
 
1- Pelo ramo das perdas no ferro, simbolizado pela resistência de perdas R0. 
2- Pelo ramo constituído pela reactância de magnetização simbolizada por Xm. 
3- Pelo ramo constituído pela resistência do rotor referida ao estator R2, pela 
reactância de fugas referida ao estator, X2, e pela resistência equivalente de 
carga (R2/S)+jX2. 
 
Assim, interessa considerar o circuito eléctrico do secundário, e desprezando a 
reactância X2, o factor de qualidade pode ser escrito como: 
 
2R
X
Q m= . 
 
3.2 Relacionamento do factor qualidade com os parâmetros construtivos da 
máquina 
 
 Este factor, deve definir a qualidade da máquina, portanto interessa exprimi-lo 
em função dos parâmetros construtivos fundamentais da máquina. Os parâmetros 
construtivos fundamentais mais relevantes do motor linear de indução são os seguintes: 
 
τ - passo polar. 
w – largura da chapa rotórica, suposta igual á largura do estator. 
t – espessura da chapa rotórica. 
g – entreferro 
 
 A área efectiva do circuito magnético é proporcional ao passo polar τ e á largura 
da chapa rotórica w, enquanto que o seu comprimento é igual a g. O circuito eléctrico 
secundário tem um comprimento igual a w e a sua secção é proporcional ao produto do 
passo polar τ pela espessura da chapa rotórica t. Desta forma, a expressão final do factor 
de qualidade será 
 
 Projecto de final de curso 
 
______________________________________________________________________26 
 
g
f
Q
..
...2
2
0
2
ρπ
µτ= . 
 
 Portanto, da expressão final do factor de qualidade do motor linear de indução 
resultam as seguintes conclusões: 
 
 
1. O factor de qualidade depende directamente do passo polar, isto significa que, 
quanto maior for o passo polar maior será este factor porque um aumento do 
passo polar repercute-se num aumento da área efectiva dos circuitos magnéticos 
e eléctrico, ou seja, maiores serão o fluxo e a corrente rotórica e, 
consequentemente, força longitudinal. 
2. Por outro lado, o aumento do passo polar repercute-se num aumento da 
velocidade do motor linear de indução, uma vez que esta é dada por v=2.τ.f. 
Portanto, temos que ter um compromisso entre o factor de qualidade e a 
velocidade pretendida para a operação do motor. 
3. Contém o termo frequência f, o que se seria de esperar na medida em que se 
refere a uma máquina de corrente alternada. 
4. O factor de qualidade varia inversamente com a resistividade superficial da 
chapa rotórica, ρs. Verifica-se portanto que quanto menor for esta resistividade 
maior será a intensidade das correntes no rotor e, consequentemente, a força 
longitudinal. 
 
O factor de qualidade também varia inversamente com o entreferro g. Verifica-
se que para um entreferro menor, menor será a relutância do circuito magnético. De 
acordo com a lei de Hopkinson, para a mesma força magnetomotriz, quanto menor for a 
relutância do circuito maior será o fluxo magnético. 
 Projecto de final de curso 
 
______________________________________________________________________ 
 27 
 
4. FORÇAS EXISTENTES NO MOTOR LINEAR DE 
INDUÇÃO 
 
4.1 Força longitudinal 
 
 Considere-se um “dispositivo” linear com rotor de chapa não magnética 
“entalado” entre duas superfícies estatóricas, figura 4.1. Assume-se uma distribuição 
corrente-chapa nas superfícies de intervalo de ar. 
 
 Assume-se também: (i) que o fluxo penetra a superfície rotórica (secundário) 
totalmente, ou seja não existe efeito Kelvin, nem reactância de fugas no secundário. (ii) 
a corrente de indução corre directamente para o secundário (ou seja sem efeitos de 
extremidade transversal). (iii) as correntes de indução passageiras no secundário podem-
se desprezar (ou seja sem efeitos de extremidade longitudinal). 
 
 
Figura 4.1.- Força por unidade de largura 
 
 Considerando uma corrente alternada, a percorrer as bobinas dos estators iS 
 


 −= τ
πω xtIi SS ..2.sin. , 
 
onde τ é o passo polar, x é a distância de deslocamento do campo magnético, w é a 
largura do estator e ω frequência angular, e uma força de magnetização expressa da 
seguinte forma: 
 
Srm iix
HgF .2. +=∂
∂= , 
 
 Projecto de final de curso 
 
______________________________________________________________________ 
 28 
 
onde ir é a distribuição de correntes induzidas na superfície do rotor, 
 
Também, conhecendo a relação existente entre campo eléctrico e o campo de 
indução magnética 
 
)( Srr VVx
B
x
E −∂
∂=∂
∂
, (1) 
 
em que: 
 
fVS ..2τ= , velocidade do campo girante 
)1( sVV Sr −= , velocidade linear do rotor 
 
 Sabendo que a permeabilidade relativa de um material paramagnético é 
aproximadamente a unidade (alumínio, material utilizado na chapa rotórica), e que o 
campo indução magnética relaciona-se com campo magnético e a permeabilidade do 
material 
0.. µµµ r= , HB .µ= , 
 
substituindo os conceitos anteriores na expressão (1), temos 
 
x
Bfs ∂
∂−= ....2 τ 
).2.(
....2 0
Sr iig
fs +−= µτ . 
 
Onde s é o escorregamento do rotor. 
 
Mas, 
 
x
i
gx
E rr
∂
∂=∂
∂
.
´
ρ
, 
uma vez que, 
 
( ) 0.2....2
´
0 =++∂
∂
Sr
r ii
g
fs
x
i
g
µτρ
, 
 
a solução para ir, será a fórmula: 
 


 −+

 −= τ
πωτ
πω xtBxtAir ..2.cos..2.sin , 
 
com substituição e evolução de constantes obtemos: 
 
( )[ ]   −+ −+−= τπωτπω xtxtQsQs QsIi Sr ..2.cos..2.sin..1 ...2 2 , 
 Projecto de final de curso 
 
______________________________________________________________________ 
 29 
 
onde 
ρπ
τµ
.
...2´ 20 f
g
gQ = factor qualidade, 
 
 
 
Figura 4.2 
 
 
Pela simples observação da figura anterior, a corrente do rotor pode ser expressa 
da seguinte forma 
 
( )[ ] 


 

 +−
+
= φτ
πω xt
Qs
QsI
i Sr
..2.sin
.1
...2
2
1
2
, (2) 
 
onde 
( )[ ]212.1
.cos
Qs
Qs
+
=φ . 
 
Uma expressão para a força desenvolvida é obtida de seguida. Nós temos, 
 
x
Bfs
x
i
g
r
∂
∂−=∂
∂
....2.
´
τρ . 
 
Uma vez que 
´....2
.
gfs
iB rτ
ρ−= , 
 
 
( )[ ] 


 

 +−
+
= φτ
πω
τ
ρ xt
Qsgf
QI S ..2.sin
.1´..
.
2
1
2
 . (3) 
 
Sabendo que a força media por unidade de comprimento é dada 
 
( )maxmax .2
1
rmédia iBF = , (4) 
 Projecto de final de curso 
 
______________________________________________________________________ 
 30 
 
substituindo (2) e (3) em (4), temos 
 
( )
( )[ ] ( )[ ] ( )[ ] ( )[ ]2
2
0
2
22
2
1
22
1
2
maxmax .1.
.....2
.1´..
..
.1
...2
.
.1´..
.
.
2
1.
2
1
Qsg
QsI
Qsgf
QsI
Qs
QsI
Qsgf
QIiBF SSSSrmédia +=+=++
== π
µτ
τ
ρ
τ
ρ
. 
 
Logo a expressão da força longitudinal por unidade de largura do estator é dado 
por 
´1
..2
2
2
2
g
Q
sV
sIF
S
S
long
ρ


 +
= . 
 
Conhecendo o comprimento do estator w , a força longitudinal em Newtons será 
dada por 
w
g
Q
sV
sI
F
S
S
long .´1
..2
2
2
2 ρ


 +
= , 
onde: 
 pnII efS 2.. τ= 
efI - Corrente eficaz 
p2 - Número de pares de pólos 
τn - Número de condutores por pólo, que é dado pela seguinte expressão: 
CPEspBC NNNn ××=τ 
 
Figura 4.3 
 
BCN - Número de bobinas por cava 
EspN - Número de espiras por bobina 
CPN - Número de cavas por pólo 
 
 
 
Da expressão da força podem-se tirar as seguintes conclusões: 
1. a força máxima vária directamente com o factor de Q, ou seja varia 
inversamente com o entreferro. 
2. para um entreferro que leve o factor de qualidade a ser próximo da unidade, a 
força longitudinal que o motor desenvolve no arranque é a máxima possível. 
 
 
 Projecto de final de curso 
 
______________________________________________________________________ 
 31 
 
4.2 Força de atracção 
 
A produção de força em qualquer dispositivo electromagnético tem origem na 
variação da energia magnética armazenada no sistema. Esta variação de energia pode 
ser conseguida á custa da variação da relutância (ou da permeância) do circuito 
magnético (força de relutância) ou á custa da variação do coeficiente de indução mútua 
entre dois ou mais enrolamentos (força de excitação). 
 
O cálculo da força de relutância entre os dois estators, será conseguida á custa da 
variação do coeficiente de indução própria (ou de auto-indução) da bobina pela relação 
Ψ/i (Weber/Ampére=Henry), ou seja 
 
R
nPn
i
L
2
2 . ==Ψ= . (1) 
 
Que é proporcional ao quadrado do número de espiras da bobina e á permeância 
magnética P, ou inversamente proporcional á relutância magnética R=1/P do circuito 
magnético, parâmetros estes, os quais se conseguevariarem a forca de atracção (força 
de relutância) entre dois estator. 
 
Atendendo ao valor de P, escreve-se 
 
Fe
SnL l..
2 µ= . (2) 
 
Se no circuito magnético entre os dois estators existir um entreferro de 
comprimento g e um comprimento médio do ferro Fel 
 
 
Figura 4.4 
 
a relutância do circuito passará a ser 
 
S
g
S
g
R
oor
Fe
...
´ µµµ +
−= l . (3) 
 
E substituindo R’ em (1), resulta 
 
g
SngL
r
Fe
o
+
=
µ
µ
´
.)´( 2 l . (4) 
 
 
 Projecto de final de curso 
 
______________________________________________________________________ 
 32 
 
Onde gFeFe −=ll´ é o comprimento médio do caminho do fluxo magnético 
dos dois estators ao longo do ferro, µr = µ /µo é a permeabilidade magnética relativa do 
material ferromagnético e µo= 4π ×10-7H/m é a permeabilidade magnética do vazio, que 
corresponde, na prática, á do ar. Logo, o coeficiente de auto-indução da bobina L’(g) 
decresce com o aumento do entreferro g. 
 
 Na prática, para um material ferromagnético é µr ≈ 2000 ou mais, de modo que 
( Fe´l /µr)<<g e portanto reduz-se aproximadamente a 
 
g
SngL oµ.)´( 2= . (5) 
 
No entreferro de dispositivos electromagnéticos com um só membro excitado, 
em que o rotor tenha movimento linear ou movimento rotativo, o campo de intensidade 
magnética H pode decompor-se nas suas componentes Ht transversal á direcção do 
movimento e Hn tangente á direcção do movimento. A componente Ht dá origem a uma 
força magnética de relutância transversal e a componente Hn dá origem a uma força de 
relutância normal ás superfícies entre os dois membros. 
 
A força de relutância é dada pela seguinte expressão 
 
dg
gdLiFR
)(..
2
1 2−= . (6) 
Substituindo 
)(
)(
2
gR
ngL = em (6), e efectuando cálculos resulta 
2
2 .).(.
2
1
g
SniF oR µ−= . (7) 
 
Portanto, a força magnética normal ás superfícies do ferro é inversamente 
proporcional ao quadrado da distância que as separa e aponta no sentido de fazer 
diminuir a distância g do entreferro. Esta força é portanto sempre de natureza atractiva. 
 
(Força de atracção) entre as superfícies magnetizadas (os dois estators), e é 
independente do sentido de i. 
 
No caso da permeabilidade da armadura ser infinita, o módulo da força 
magnética normal ás superfícies do ferro, por unidade de área da armadura S (pressão 
magnética), resulta então 
 
2.
.2
1 B
S
F
P
o
R
Mag µ== . (8) 
 
 Projecto de final de curso 
 
______________________________________________________________________ 
 33 
 
5. CAMPO VIAJANTE 
 
5.1 Criação de um campo girante magnético num estator trifásico 
 
 Suponha-se dois cilindros de material ferromagnético concêntricos separados 
por um espaço de ar (entreferro) de um valor g, como mostra a figura 5.1. 
 
Figura 5.1.- Motor de indução de um pólo 
 
 Coloca-se uma bobina com um passo diametral no anel exterior (estator) e faça-
se atravessá-la pela corrente i. Cria-se um campo magnético com uma distribuição 
sinusoidal (quase) com o andamento representado na figura 5.2 planificada. 
 
 
Figura 5.2.- Planificação da máquina de indução 
 
 Se a corrente I for constante no tempo, esta distribuição é constante no tempo 
mas variável no espaço (ao longo do entreferro) da seguinte forma: 
xBxB .cos.)( max τ
π= , 
 Projecto de final de curso 
 
______________________________________________________________________ 
 34 
 
onde τ é o passo polar (igual ao passo da bobina), x é a distância de deslocamento do 
campo magnético. Se a corrente i for alternada sinusoidal 
 
tsenII m .. ω= com f..2πω = , 
 
então a onda é variável no espaço e no tempo e escreve-se: 
 
xtsenBtxB m .cos)..(.),( τ
πω= , 
 
onde mm IKB .= é a intensidade máxima do campo de indução magnética (ou densidade 
de fluxo). 
 
 Se em vez de uma bobina houver 3 bobinas iguais desfasadas no espaço de 120º, 
atravessadas cada uma por um sistema trifásico de correntes, tais que 
 
)º120.(.
)º120.(.
..
3
2
1
+=
−=
=
tsenII
tsenII
tsenII
m
m
m
ω
ω
ω
 
 
criam-se três campos pulsantes (variáveis no tempo e no espaço) dados por 
 
)º120.cos().º120.(.),(
)º120.cos().º120.(.),(
.cos)..(.),(
3
2
1
++=
−−=
=
xtsenBtxB
xtsenBtxB
xtsenBtxB
m
m
m
τ
πω
τ
πω
τ
πω
 
 
 Atendendo á seguinte relação trigonométrica 
 
[ ])()(
2
1cos. βαβαβα −++= sensensen , 
 
as relações anteriores podem escrever-se: 
 
)..(.
2
)º240..(.
2
),(
)..(.
2
)º240..(.
2
),(
)..(.
2
)..(.
2
),(
3
2
1
xtsen
B
xtsen
B
txB
xtsen
B
xtsen
B
txB
xtsen
B
xtsen
B
txB
mm
mm
mm
τ
πωτ
πω
τ
πωτ
πω
τ
πωτ
πω
−+++=
−+−+=
−++=
 
 
 
 
 Projecto de final de curso 
 
______________________________________________________________________ 
 35 
 
 
Num determinado ponto do entreferro a onda resultante corresponde á soma 
destas três ondas pulsantes, ou seja: 
 
)..(.
2
3),(),(),(),( 321 xtsenBtxBtxBtxBtxB m τ
πω −=++= . 
 
 Então a onda resultante é uma onda girante com uma amplitude constante de 
valor 
mB2
3 , 
e uma velocidade dada por 
 
 (fixa o referencial da onda). 
 
Como 
mS Bdt
dx
v = , 
obtém-se 
T
ffvS
ττπ
τππ
τω .2..2...2. ==== 
 
5.2 Campo viajante num estator linear trifásico 
 
 No motor linear de indução trifásico, os enrolamentos do estator também criam 
um campo pulsante que evolui ao longo do tempo. Este campo é semelhante ao 
produzido pelo estator de um motor convencional. Neste caso, como o movimento do 
motor é linear e não circular, o campo é designado de viajante em vez de girante. 
 
 As seguintes figuras mostram a evolução do campo viajante de 8 pólos durante 
12 instantes de tempo, correspondendo a um período completo. Como também, mostra a 
disposição e sentidos das correntes do sistema trifásico que dão origem ao campo 
passeante no estator MLI trifásico. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
0.... =−=

 − dxdtxtd τ
πωτ
πω
 Projecto de final de curso 
 
______________________________________________________________________ 
 36 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 5.3.- Onda viajante de um MLI trifásico no instante de tempo 1t , em que 
01 =I , II .2
3
2 −= e II .2
3
3 += 
 Projecto de final de curso 
 
______________________________________________________________________ 
 37 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 5.4.- Onda viajante de um MLI trifásico no instante de tempo 2t , em que 
II .
2
1
1 −= , II .2
1
2 −= e II =3 
 Projecto de final de curso 
 
______________________________________________________________________ 
 38 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 5.5.- Onda viajante de um MLI trifásico no instante de tempo 3t , em que 
II .
2
3
1 −= , 02 =I e II .2
3
3 += 
 Projecto de final de curso 
 
______________________________________________________________________ 
 39Figura 5.6.- Onda viajante de um MLI trifásico no instante de tempo 4t , em que 
II .1 −= , II .2
1
2 += e II .2
1
3 += 
 Projecto de final de curso 
 
______________________________________________________________________ 
 40 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 5.7.- Onda viajante de um MLI trifásico no instante de tempo 5t , em que 
II .
2
3
1 −= , II .2
3
2 += e 03 =I 
 Projecto de final de curso 
 
______________________________________________________________________ 
 41 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 5.8.- Onda viajante de um MLI trifásico no instante de tempo 6t , em que 
II .
2
1
1 −= , II =2 e II .2
1
3 −= 
 Projecto de final de curso 
 
______________________________________________________________________ 
 42 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 5.9.- Onda viajante de um MLI trifásico no instante de tempo 7t , em que 
01 =I , II .2
3
2 += e II .2
3
3 −= 
 Projecto de final de curso 
 
______________________________________________________________________ 
 43 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 5.10.- Onda viajante de um MLI trifásico no instante de tempo 8t , em que 
II .
2
1
1 += , II .2
1
2 += e II −=3 
 Projecto de final de curso 
 
______________________________________________________________________ 
 44 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 5.11.- Onda viajante de um MLI trifásico no instante de tempo 9t , em que 
II .
2
3
1 += , 02 =I e II .2
3
3 −= 
 Projecto de final de curso 
 
______________________________________________________________________ 
 45 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 5.12.- Onda viajante de um MLI trifásico no instante de tempo 10t , em que 
II =1 , II .2
1
2 −= e II .2
1
3 −= 
 Projecto de final de curso 
 
______________________________________________________________________ 
 46 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 5.13.- Onda viajante de um MLI trifásico no instante de tempo 11t , em que 
II .
2
3
1 += , II .2
3
2 −= e 03 =I 
 Projecto de final de curso 
 
______________________________________________________________________ 
 47 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 5.14.- Onda viajante de um MLI trifásico no instante de tempo 12t , em que 
II .
2
1
1 += , II −=2 e II .2
1
3 += 
 Projecto de final de curso 
 
______________________________________________________________________ 
 48 
 
 
 Observando as figuras, observa-se que o campo viajante se desloca com uma 
velocidade v da esquerda para a direita, dai a designação de campo viajante, do estator 
do motor linear de indução. O fasor apresentado dá uma ideia da corrente máxima que 
percorre cada um dos três enrolamentos do motor. Espacialmente, as ondas 
correspondentes a cada uma das bobinas estão desfasadas, porque as bobinas encontra-
se em diferentes regiões. Assumindo que a contribuição de cada fase no campo 
magnético tem a forma sinusoidal, analisando a onda resultante da soma das três ondas 
respectivas ás três bobinas, observe-se que o resultado é uma onda aproximadamente 
sinusoidal cuja amplitude é uma vez e meia superior a amplitude máxima da densidade 
de fluxo de cada fase. Animação do campo girante pode ser visto em: Campo 
girante.pps 
 
 
 
5.3 Velocidade síncrona do campo viajante 
 
Como foi dito anteriormente, o campo viajante desloca-se com uma velocidade v 
através do estator. 
 
Caso este campo viajante fosse aplicado numa máquina circular, então a sua 
velocidade angular seria 
f..2πω = (1). 
 
 Como se sabe da física 
rv .ω= (2). 
 
 Encontrando um raio um raio de um motor circular cujo o perímetro é igual á 
distância τ.2 , determina-se a velocidade linear do campo: 
 
π
ττπτ =⇔=⇔= rrP .2..2.2 , 
 
assim, substituindo r em (1), obtém-se: 
 
fvS ..2τ= . 
 
 Conclui-se portanto que a velocidade do campo girante é proporcional ao passo 
polar do estator trifásico e á frequência de alimentação. Esta é a velocidade do campo 
viajante no estator do motor linear de indução, e denomina-se de velocidade síncrona. 
Na realidade, o rotor não se move a esta velocidade, este desloca-se a uma velocidade 
inferior que é dada por 
)1.(..2 sfvr −= τ , 
 
em que s é o escorregamento ou deslizamento do rotor e é definido por 
 
 
 Projecto de final de curso 
 
______________________________________________________________________ 
 49 
 
s
rs
v
vv
s
−= . 
 
Concluindo, a velocidade do rotor pode ser controlada através da frequência de 
alimentação, ou por construção, á custa do passo polar. 
O sentido de traslação do campo, que determina o sentido de traslação do rotor 
através do estator, depende da sequência das tensões e das ligações das três fases, que 
na prática poderá ser invertido, invertendo as ligações de duas fases quaisquer do estator 
com a linha de alimentação. 
 Projecto de final de curso 
 
______________________________________________________________________ 
 50 
 
6. CONTROLO DE VELOCIDADE 
 
6.1 Introdução 
 
O problema da regulação da velocidade dos motores eléctricos em geral e dos 
motores de indução em particular, é um assunto importante que deve ser tratado ao 
pormenor, visto que, um bom controlo implica uma maior eficácia da máquina. 
 
 Em vários ramos da indústria, as exigências relativo ás características de 
regulação dos motores são muito rigorosas no que respeita aos limites e á 
progressividade de regulação, assim como seu índice económico. As características de 
regulação dos motores assíncronos são inferiores ás dos motores de corrente contínua, 
verificando-se isto num grau tanto maior quanto mais larga for a banda de regulação. 
 
 Muito se tem feito para melhorar as características de regulação dos motores 
assíncronos, mas até ao presente não se conseguiu que estes substituíssem os motores de 
corrente contínua nas instalações cujas exigências quanto ás propriedades de regulação 
dos motores são rigorosas. 
 
Distinguem-se dois processos fundamentais de regulação caracterizados pela 
parte do motor em que actuam: 
1. Do lado do estator e 
2. Do lado do rotor 
 
Entre os do primeiro grupo é preciso distinguir: 
• Variação da tensão aplicada ao motor 
• Variação do número de pares de pólos 
• Variação da frequência da rede 
 
 Actuando sobre o rotor, podemos regular a velocidade: 
• Fazendo variar a resistência no circuito rotórico 
• Intercalando no circuito rotórico uma f.e.m. complementar da mesma 
frequência que a f.e.m. principal da rede 
 
Para este ultimo processo de regular a velocidade, é preciso dispor de um a ou 
mais máquinas complementares. 
 
Os processos mais comuns de regulação da velocidade e do torque das máquinas 
de indução, são os seguintes: 
 Controlo da tensão do estator (ou estatórica); 
 Controlo da tensão do rotor (ou rotórica);