AN_exercicios_P1

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INF1608- Exercícios – 17/03/14
Calcule uma aproximação, com a bisseção, de cada raiz real das funções f abaixo:
f(x) = x2 + x - 6
f(x) =
 
Verifique, (TEORICAMENTE !) a convergência das funções de iteração abaixo, para algum de seus pontos fixos. (você deve aplicar o teorema da convergência)
 relativa a f(x) = x2 + x - 6
 “ f(x) = x2 + x - 6
 “ f(x) = x2 + x - 6
 “ f(x) =
Exercícios 
1 Considere a função f ( x ) = e x + ln x .
 
a) com a bisseção, determine um intervalo onde esteja a raiz de f (x ) = 0 e uma aproximação inicial com precisão de 10-1 
determine uma função de iteração linear convergente à única raiz de f (x ) = 0
calcule as duas primeiras iterações com a função e com o valor inicial que você escolheu;
2 Considere a função f (x) = e - x – ln x .
 
a) com a bisseção, determine um intervalo onde esteja a raiz de f (x ) = 0 e uma aproximação inicial com precisão de 10-1 ; 
considere a função de iteração ( (x) = 
. Verifique se ela é convergente à raiz de f (x) = 0 
calcule as quatro primeiras iterações com a função e com o valor inicial que você escolheu; 
3 Considere a função f ( x ) = = 2ln x – e – x /2.
 
a) com a bisseção, determine um intervalo onde esteja a raiz de f (x ) = 0 e uma aproximação inicial com precisão de 10-1 ; 
considere a função de iteração ( (x) = - 2 ln (ln x2 ). Verifique se ela é convergente à raiz de f (x) = 0 
calcule as quatro primeiras iterações com a função e com o valor inicial que você escolheu; 
4 Considere a função f ( x ) = x e –x – e –3 . 
 
Verifique que f (x) tem um zero em I = ( 0 , 1);
Construa uma função de iteração que comprovadamente convirja. Use o teorema de convergência, para verificar esse fato.
5. Sendo 	f(x) = 4 cos x - e x 
 
a) Verifique se os valores iniciais dados são pertinentes (são próximos da raiz do problema)
Verifique a convergência das funções abaixo, com o valor inicial compatível:
 b1) (1 (x) = arc cos ( ex / 4); com x 0 = 0,9 e x 0 = 2,1
 b2) (2(x) = ln ( 4 cos x); com x 0 = 0,9 e x 0 = 2,1
Comente seus resultados.
 Ache todas as raízes reais do sistema 
Obs: Raízes dadas pelo Maple: x = 1.945026819; y = 0.6730071696
 x = 0.6730071698; y = 1.945026819
Aplique Aitken ou Steffensen à função de iteração dos problemas 1 e 2. 
Determine todas as raízes de x6 – x – 1 = 0
 
Verifique se é possível garantir que a função x = 
 seja de contração em I = [0.5 , 1 ].
10. Se a função do exercício convergir, acelere sua convergência.
11. Resolva o sistema 
 y^2-2.*y+9*x=
 x^2-5.*x+3*y= 
com uma função de Iteração que “tire o valor de x” da primeira equação e y da segunda. Use 
 
Soluções dada pelo Maple: 
12. Defina uma função de iteração convergente para uma das raízes de 
 f(x) =
 
 
13. Idem exercício 12 para a função f(x) = x3 – 3x – 1
 
14. Idem exercício 12 para as funções 
P7(x) = 
P6(x) = x 6 – 36 x 5 + 450 x 4 – 2400 x 3 + 5400 x 2 – 4320 x + 720
Para controle: raízes
15,982887
9,837467
5,775144
2,992736
1,188932
0,2228466
15. Sabendo que a ordem de um método iterativo é 
, e usando a definição de ordem de convergência, determine uma aproximação do erro esperado na 3a. aproximação da raiz u = - 3 de uma dada raiz , com esse método. Use: x0 = 
 x2 = 
16. Calcule a taxa de convergência do método de Newton para a raiz dupla u.
17. Considere a função f ( x ) = 4 x2 – e x 
 
com a bisseção, determine um intervalo onde esteja a raiz de f (x ) = 0 e uma aproximação inicial com precisão de 10-1 ; 
determine uma função de iteração linear para aproximar a raiz que você localizou com a bisseção do item (a) {raiz de f (x ) }; 
verifique se essa função é convergente
calcule as três primeiras iterações com a função do item b) e com o valor inicial do item a);
18. A raiz u = 1,23 de uma função f(x) foi aproximada com a iteração de Newton e o resultado dessa aproximação está listado na tabela abaixo. 
O que pode ser garantido, em relação à multiplicidade dessa raiz?
Compare sua resposta com a expressão 
, sendo 
 a função de Newton e p a multiplicidade de u.
	n
	xn
	(*)
	n
	xn
	(*)
	0
	1,0
	
	
	
	
	1
	1,10903
	0,539
	5
	1,22199
	0,506
	2
	1,16773
	0,539
	6
	1,22599
	0,501
	3
	1,19837
	0,513
	7
	1,22799
	0,500
	4
	1,21406
	0,506
	8
	1,22900
	0,500
(*) relação 
_1125758334.unknown
_1125758393.unknown
_1158325675.unknown
_1208172688.unknown
_1145703956.unknown
_1125758366.unknown
_1094287310.unknown
_1111219035.unknown
_1125755226.unknown
_1094287371.unknown
_1037709460.unknown
_1093676513.unknown
_1094287120.unknown
_1030788682.unknown