Apostila-Álgebra Linear, Geometria Analítica, Cálculo e Equações-UFPR

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UNIVERSIDADE FEDERAL DO PARANÁ 
SETOR DE TECNOLOGIA/SETOR DE CIÊNCIAS EXATAS 
DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA CIVIL/ 
DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA 
PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO EM MÉTODOS NUMÉRICOS 
EM ENGENHARIA 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
TÓPICOS EM MATEMÁTICA AVANÇADA PARA A 
ENGENHARIA: 
Álgebra Linear, Geometria Analítica, Cálculo e Equações 
Diferenciais, 
por 
Lucas Máximo Alves 
 
 
 
 
 
 
 
 
CURITIBA – PARANÁ 
MARÇO – 2007 
 2 
LUCAS MÁXIMOALVES 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
TÓPICOS EM MATEMÁTICA AVANÇADA PARA A 
ENGENHARIA: 
Álgebra Linear, Geometria Analítica, Cálculo e Equações 
Diferenciais, 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
CURITIBA – PARANÁ 
MARÇO – 2007 
 3 
LUCAS MÁXIMOALVES 
 
 
 
 
 
 
 
TÓPICOS EM MATEMÁTICA AVANÇADA PARA A 
ENGENHARIA: 
Álgebra Linear, Geometria Analítica, Cálculo e Equações 
Diferenciais, 
 
 
Apostila organizada como resultado do estudo das aulas 
para obtenção de créditos da Disciplina de TÓPICOS 
EM MATEMÁTICA AVANÇADA PARA A 
ENGENHARIA do curso de Doutorado do Programa de 
Pós-Graduação em Métodos Numéricos do Setor de 
Tecnologia/Setor de Ciências Exatas, Departamento de 
Engenharia Civil/Departamento de Matemática da 
Universidade Federal do Paraná 
 
 
 
 
Orientador: Prof. Dr. Maurício Gobbi 
 
Orientador: Prof. Dr. 
 
 
 
 
CURITIBA – PARANÁ 
MARÇO – 2007 
 4 
Dedicatória 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Dedico, 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 5 
Agradecimentos 
 
 Agradeço a Deus pelo seu imenso amor e misericórdia revelado nas oportunidades 
que a vida me trouxe. Quero também agradecer: 
 À minha Família pelo apoio emocional e espiritual, ao meu orientador o Prof. Dr. 
....., ao meu Co-Orientador o Prof. Dr. .... , a Maristela Bradil pela amizade e dedicação com 
que nos atende, aos amigos, ...., .... ...., ......., e toda a galera do CESEC. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 6 
Epígrafe 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
“Não é possível provar uma verdade a partir 
de uma mentira, mas é possível provar uma 
mentira a partir de uma verdade” (citado por 
Mauricio Gobbi em Março de 2007) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 7 
Sumário 
 
Lista de Figuras ........................................................................................................................16 
Lista de Tabelas ........................................................................................................................18 
Lista de Siglas...........................................................................................................................19 
Lista de Símbolos .....................................................................................................................20 
Resumo ...................................................................................................................................21 
Abstract ...................................................................................................................................22 
Capítulo – I ...............................................................................................................................23 
INTRODUÇÃO.......................................................................................................................23 
1. 1 – Apresentação do curso....................................................................................................23 
1. 2 – Introdução a Álgebra e a Teoria de Grupos Algébricos .................................................24 
Capítulo – II..............................................................................................................................26 
SISTEMAS DE EQUAÇÕES ALGÉBRICAS LINEARES...................................................26 
2. 1 – Introdução.......................................................................................................................26 
2. 2 – Definição de um Sistema de Equações...........................................................................27 
2. 3 – Exemplos e Aplicações...................................................................................................28 
2. 4 – Exercícios e Problemas...................................................................................................29 
Capítulo – III ............................................................................................................................30 
MATRIZES .............................................................................................................................30 
3. 1 – Introdução.......................................................................................................................30 
3. 2 – Definição de uma Matriz ................................................................................................31 
3.2.1 - Matriz Linha..................................................................................................................32 
3.2.2 - Matriz Coluna................................................................................................................32 
3.2.3 - Diagonal Principal.........................................................................................................33 
3.2.4 - Diagonal Secundária .....................................................................................................33 
3. 3 – Espaço Algébrico das Matrizes ......................................................................................34 
3.3.1– Igualdade de Matrizes....................................................................................................34 
3. 4 – Operações Simétricas com Matrizes...............................................................................35 
3. 5 – Propriedades das Operações Simétricas com Matrizes ..................................................36 
3. 6 – Definição de Operações Algébricas com Matrizes.........................................................37 
3. 7 – Propriedades do Espaço de Matrizes ..............................................................................38 
3. 8 – Operações Singulares com Matrizes e Invariantes das Matrizes....................................40 
3.8.1 - Definição .......................................................................................................................40 
3.8.2 - Invariante 1 – Operação de Traço de uma Matriz.........................................................40 
3.8.3 - Propriedades do Traço de uma Matriz ..........................................................................40 
3.8.4 – Invariante 2 - Determinante de uma Matriz..................................................................41 
3.8.5 - Propriedades dos Determinantes ...................................................................................42 
3.8.6 – Matriz Inversa...............................................................................................................43 
3. 9 – Tipos de Matrizes ...........................................................................................................45 
3.9.1 – Matriz Simétrica ...........................................................................................................45 
3.9.2 – Matriz Anti-Simétrica...................................................................................................45 
3.9.3 – Matriz Real ...................................................................................................................453.9.4– Matriz Complexa ...........................................................................................................45 
3.9.5 – Matriz Imaginária Pura.................................................................................................46 
3.9.6 – Matriz Hermitiana.........................................................................................................46 
3.9.7 – Matriz Anti-Hermitiana ................................................................................................46 
 8 
3.9.8 – Matriz Normal ..............................................................................................................46 
3.9.9 – Matriz Ortogonal ..........................................................................................................46 
3.9.10 – Matriz Unitária ...........................................................................................................46 
3.9.11 – Matriz Identidade........................................................................................................47 
3.9.12 – Matriz Diagonal ..........................................................................................................47 
3.9.13 – Matriz Adjunta............................................................................................................47 
3.9.14 – Matriz Transposta .......................................................................................................47 
3.9.15 – Matriz Elementar ........................................................................................................47 
3.9.16 – Matriz Complexo Conjugado .....................................................................................47 
3.9.17 – Matriz Associada ........................................................................................................48 
3.9.18 – Matriz Idempotente.....................................................................................................48 
3. 10 – Subdivisão das Matrizes em Bloco de Matrizes Menores ............................................49 
3. 11 – Álgebra dos Comutadores ............................................................................................50 
3. 12 – Exemplos e Aplicações.................................................................................................52 
3. 13 – Exercícios e Problemas.................................................................................................53 
Capítulo – IV ............................................................................................................................54 
ESPAÇO VETORIAL LINEAR .............................................................................................54 
4. 1 – Objetivos do Capítulo.....................................................................................................54 
4. 2 – Introdução.......................................................................................................................54 
4. 3 – Definição de Espaço Vetorial .........................................................................................56 
I) Definição da Operação de Adição de Vetores ......................................................................56 
II) Definição da Operação Produto Escalar com Vetores.........................................................57 
III) Definição da Operação Produto Interno de Vetores...........................................................57 
IV) Definição da Operação Produto Externo de Vetores .........................................................58 
V) Definição da Operação Produto Tensorial de Vetores ........................................................59 
4. 4 – Geradores e Sub-Espaço Vetorial...................................................................................60 
4.4.1 – Geradores......................................................................................................................60 
4. 5 – Dependência Linear........................................................................................................61 
4.5.1 – Dependência e Indepedência Linear.............................................................................61 
4.5.2 - Dimensão de um K-espaço vetorial. .............................................................................62 
4. 6 – Base de um K-espaço Vetorial .......................................................................................63 
4.6.1 - Corolário – 1 .................................................................................................................63 
4.6.2 – Mudança de Base..........................................................................................................64 
4.6.3 – Transformações de Coordenadas..................................................................................67 
4. 7 – Espaço Euclidiano ..........................................................................................................69 
4.7.1 – Produto Escalar.............................................................................................................69 
4.7.2 – Ortogonalidade .............................................................................................................69 
Teorema 1.1 .............................................................................................................................70 
Prova ...................................................................................................................................70 
Teorema 1.2 .............................................................................................................................70 
4.7.3 – Desigualdade de Cauchy-Schwartz ..............................................................................71 
4. 8 – Bases Recíprocas ............................................................................................................72 
4.8.1 – Observação importante .................................................................................................73 
4. 9 – Bases Ortonormais..........................................................................................................75 
4. 10 – ................................................................................................................................76 
4. 11 – Processo de Diagonalização de Gram-Schmidt...........................................................77 
4. 12 – Operadores Lineares ....................................................................................................80 
4.12.1 - Definição .....................................................................................................................80 
 9 
4. 13 – Auto-Valores e Auto-Vetores.......................................................................................89 
4. 14 – Exemplos e Aplicações.................................................................................................96 
4. 15 – Exercícios e Problemas.................................................................................................97 
Capítulo – V .............................................................................................................................98 
ESPAÇO TENSORIAL LINEAR...........................................................................................98 
5. 1 –Introdução........................................................................................................................98 
5. 2 – Definição de Tensores ....................................................................................................99 
5.2.1 - Formas Funcionais Lineares..........................................................................................99 
5. 3 – Cálculo Tensorial de Funções ......................................................................................1015. 4 – Aplicação a Redes-Neurais Matemáticas .....................................................................102 
5. 5 – Exemplos e Aplicações.................................................................................................103 
5. 6 – Exercícios e Problemas.................................................................................................104 
Capítulo – VI ..........................................................................................................................105 
ESPAÇO VETORIAL DE FUNÇÕES .................................................................................105 
6. 1 –Introdução......................................................................................................................105 
6. 2 – Definição de Espaço Vetorial de Funções ou Espaço Funcional Linear ......................106 
6.2.1 – Equivalência entre o Operador Matricial e o Operador Funcional no Espaço de 
Funções ..............................................................................................................................108 
6.2.2 – Notação de Dirac ........................................................................................................109 
6.2.3 – Propriedades do Espaço de Funções...........................................................................110 
6. 3 –Transformações de Coordenadas...................................................................................111 
6. 4 – Ortogonalidade e Espaço Dual de Funções ..................................................................112 
6. 5 – Operadores Lineares, Matrizes e Transformações Lineares.........................................113 
6.5.1 – Operadores no Espaço de Funções .............................................................................113 
6.5.2 – Operadores Lineares no Espaço de Funções ..............................................................116 
6.5.3 – Operadores, Auto-vetores e Auto-valores no Espaço de Funções .............................117 
6.5.4 – Multiplicação de Operadores no Espaço de Funções .................................................117 
6. 6 – Mudança de Base para funções ....................................................................................121 
6. 7 – Transformação de Funções...........................................................................................122 
6. 8 – Processo de Ortogonalização de Gram-Schmidt ..........................................................123 
6. 9 – Auto-Funções e Auto-Valores ......................................................................................124 
6. 10 – Operadores Hermitianos e seus auto-valores .............................................................126 
6.10.1 - Ortogonalidade das Auto-funções que pertencem a auto-valores diferentes. ...........128 
6. 11 – Espaço das Funções Quadráticas L2 ...........................................................................129 
6. 12 – Serie de Funções Ortogonais ......................................................................................130 
6. 13 – Exemplos e Aplicações...............................................................................................131 
6. 14 – Exercícios e Problemas...............................................................................................132 
Capítulo – VII.........................................................................................................................133 
CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL DE FUNÇÕES DE VÁRIAS VARIÁVEIS ..133 
7. 1 – Introdução.....................................................................................................................133 
7. 2 – Funções Pares e Ímpares ..............................................................................................134 
7.2.1 - Operações com funções pares e ímpares.....................................................................135 
7.2.2 - Teorema.......................................................................................................................135 
7.2.3 - Integral de funções pares e ímpares: ...........................................................................136 
7. 3 – Funções Periódicas .......................................................................................................137 
7.3.1 – Teorema de Bloch.......................................................................................................137 
7. 4 – Cálculo em RN ..............................................................................................................138 
7.4.1 - Conectividade..............................................................................................................138 
7.4.2 - Pontos Limítrofes ........................................................................................................138 
 10 
7.4.3 - Derivadas Parciais .......................................................................................................138 
7.4.4 - Exemplo ......................................................................................................................139 
7.4.5 – Série de Taylor no RN .................................................................................................139 
7. 5 – Funções Implícitas ........................................................................................................141 
7.4.1 –Teorema da Função Implicita ......................................................................................141 
7.4.2 - Caso Multivariado .......................................................................................................143 
Análogo para n dimensões......................................................................................................145 
Ex. Sistema de Coordenadas Polares......................................................................................147 
Solução ..............................................................................................................................147 
7.4.3 – Teorema dos Extremos ...............................................................................................150 
7. 6 – Problemas de Máximo e Mínimo com Vínculo ...........................................................151 
7.5.1 – Método de Lavenberg-Marquardt...............................................................................151 
7.5.2 – Método dos Multiplicadores de Lagrange ..................................................................152 
7.5.3 – Exemplo......................................................................................................................154 
7. 7 – Regra de Derivação de Leibnitz ...................................................................................155 
7.6.1 - Exemplos.....................................................................................................................158 
7. 8 – Exemplos e Aplicações.................................................................................................159 
7. 9 – Exercícios e Problemas.................................................................................................160 
Capítulo – VIII .......................................................................................................................161 
CURVAS SUPERFÍCIES E VOLUMES .............................................................................161 
8. 1 - Introdução .....................................................................................................................161 
8. 2 –Diferenciação de funções escalares ...............................................................................162 
8. 3 – Diferenciação de vetores ou funções vetoriais ............................................................163 
8.3.1 - Cálculo do Comprimento de Arco ..............................................................................1648.3.2 - Cálculo da variação da Função R

 ao longo de um comprimento de arco .................165 
8. 4 – Integral de linha de funções escalares e vetoriais.........................................................167 
8.4.1 – Integral de linha de funções escalares ........................................................................167 
8.4.2 – Integral de linha de funções vetoriais .........................................................................168 
8.4.3 - Cálculo do Comprimento de Arco ..............................................................................171 
8.4.4 - Cálculo de Área...........................................................................................................172 
8.4.5 - Cálculo de Volume......................................................................................................173 
8. 5 – Integral de superfície de funções escalares e vetoriais .................................................174 
8.5.1 – Integral de superfícies de funções escalares ...............................................................174 
8.5.2 – Integral de superfície de funções vetoriais .................................................................175 
8.5.3 - Cálculo do Comprimento de Arco ..............................................................................178 
8.5.4 - Cálculo de Área...........................................................................................................179 
8.5.5 - Cálculo de Volume......................................................................................................180 
8. 6 – Integral de volume de funções escalares e vetoriais.....................................................181 
8.6.1 – Integral de volume de funções escalares ....................................................................181 
8.6.2 – Integral de volume de funções vetoriais .....................................................................182 
8.6.3 - Cálculo do Comprimento de Arco ..............................................................................185 
8.6.4 - Cálculo de Área...........................................................................................................186 
8.6.5 - Cálculo de Volume......................................................................................................187 
8. 7 – Exemplos e Aplicações.................................................................................................188 
8. 8 – Exercícios e Problemas.................................................................................................189 
Capítulo – IX ..........................................................................................................................190 
TEORIA DO CAMPO ESCALAR E VETORIAL E TENSORIAL DE FUNÇÕES...........190 
9. 1 - Introdução .....................................................................................................................190 
9. 2 - Gradiente de um Campo Escalar e Vetorial ..................................................................191 
 11 
9.3.1 – Análise e Interpretação do Vetor Gradiente ...............................................................193 
9.3.1 – Derivada Direcional....................................................................................................193 
9.3.1 - Interpretação do Gradiente ..........................................................................................195 
9.3.1 – Vetor normal a um ponto sobre uma superfície .........................................................198 
9. 3 - Divergente de um Campo Vetorial e Tensorial............................................................200 
9.2.1 - Interpretação do Divergente ........................................................................................203 
9. 4 – Rotacional de um Campo Vetorial e Tensorial ............................................................204 
9. 5 – Teorema da Divergência ou de Gauss ..........................................................................205 
9.5.1 - Em 1D .........................................................................................................................205 
9.5.2 - Aplicação.....................................................................................................................205 
9. 6 – Identidades de Green ....................................................................................................208 
9. 7 – Teorema de Stokes........................................................................................................209 
9. 8 – Teorema de Green ........................................................................................................211 
9. 9 – Campos Irrotacionais....................................................................................................212 
9. 10 – Teorema Equivalentes ................................................................................................213 
9. 11 – Exemplos e Aplicações...............................................................................................214 
9. 12 – Exercícios e Problemas...............................................................................................215 
Capítulo – X ...........................................................................................................................216 
SEQUÊNCIAS, SÉRIES DE FUNÇÕES E SUAS TRANSFORMADAS ..........................216 
10. 1 -Introdução ....................................................................................................................216 
10. 2 - Definição de Seqüências, Séries e Transformadas de Funções...................................217 
10. 3 – Seqüência e Sériede e Transformadas de Funções Ortogonais ..................................218 
10.3.1 - Sequência de Funções Ortogonais.............................................................................218 
10.3.2 - Serie de Funções Ortogonais.....................................................................................219 
10.3.3 - Transformada de Funções Ortogonais ......................................................................220 
10. 4 - Série e Transformada de Potência...............................................................................221 
10. 5 - Série e Transformada de Laplace ................................................................................222 
10. 6 - Série e Transformada de Gauss...................................................................................223 
10. 7 - Série e Transformada de Fourier .................................................................................224 
10.7.1 - Série de Fourier .........................................................................................................224 
10.7.2 – Integral de Fourier ....................................................................................................226 
10.7.3 – Transformada de Fourier ..........................................................................................228 
10.7.4 – Propriedades da Transformada de Fourier ...............................................................231 
10. 8 - Exemplos e Aplicações ...............................................................................................232 
10.8.1 - Exemplo – 1 .............................................................................................................232 
10.8.2 - Exemplo – 2 ..............................................................................................................233 
Solução ..............................................................................................................................233 
10.8.3 - Exemplo – 3 ..............................................................................................................236 
10.8.4 - Exemplo - 4 ...............................................................................................................23810. 9 – Exemplos e Aplicações...............................................................................................241 
10. 9 - Exercícios e Problemas ...............................................................................................242 
Capítulo – XI ..........................................................................................................................243 
INTRODUÇÃO AS EQUAÇÕES DIFERENCIAIS ............................................................243 
11. 1 - Objetivos do Capítulo .................................................................................................243 
11. 2 - Introdução ...................................................................................................................243 
11. 3 – Equações Diferenciais, Definição e Classificação .....................................................244 
11.3.1 – Definição de Equações Diferenciais.........................................................................244 
11.3.2 – Classificação das Equações Diferenciais..................................................................245 
11. 4 – Propriedades das Equações Diferenciais ....................................................................249 
 12 
11.4.1 – Existência e Unicidade das Soluções........................................................................249 
11.4.2 - Exemplos...................................................................................................................250 
11.4.3 – O Problema de Valor Inicial .....................................................................................251 
11. 5 – Exemplos e Aplicações...............................................................................................253 
11. 6 – Exercícios e Problemas...............................................................................................254 
Capítulo – XII.........................................................................................................................255 
EQUAÇÕES DIFERENCIAIS ORDINÁRIAS LINEARES ...............................................255 
12. 1 – Introdução...................................................................................................................255 
12. 2 - Equações Diferenciais Ordinárias Lineares ................................................................256 
12.2.1 - Exemplos...................................................................................................................257 
12. 3 - Propriedades das Equações Diferenciais Ordinárias Lineares e Homogêneas ...........258 
12.3.1 - Teorema.....................................................................................................................259 
12. 4 - Equações Diferenciais Lineares com Coeficientes Constantes e Variáveis...............260 
12. 5 - Equações Diferenciais Homogêneas com Coeficiente Constantes .............................261 
12.5.1 – Metodologia de Solução das Equações Diferenciais Homogêneas com Coeficiente 
Constantes ..............................................................................................................................263 
12.5.2 – Solução de algumas das Equações Diferenciais Elementares ..................................265 
12.5.3 – Solução Geral, Solução Particular, Teorema Estratégico.........................................271 
12.5.4 – Equação Diferencial a partir da Solução Geral ........................................................272 
12.5.5 – Teorema Estratégico .................................................................................................274 
12. 6 - Equações Diferenciais Homogêneas com Coeficiente VariáveisErro! Indicador não 
definido. 
12.6.1 – Metodologia de Solução das Equações Diferenciais Homogêneas com Coeficiente 
Variáveis ..............................................................................................................................308 
12. 7 - Problemas que surgem E.D.O. Lineares de 1ª Ordem ................................................285 
12.7.1 – Problema Geométrico ...............................................................................................285 
12.7.2 – Problema Químico....................................................................................................286 
12.7.3 – Problemas Físicos .....................................................................................................287 
12. 8 - Algumas Importantes Equações Diferenciais Ordinárias de 2ª Ordem.......................290 
12.8.1 – O Movimento Harmônico Simples (MHS) ..............................................................290 
Solução ..............................................................................................................................292 
12.8.2 – MHS com Movimento Vertical ................................................................................301 
12.8.3 – Oscilador Harmônico Forçado .................................................................................304 
12.8.4 – O Movimento de um Pêndulo Simples.....................................................................305 
12.8.5 – Circuito Elétrico RLC...............................................................................................306 
12. 9 - Método das Funções de Green ....................................................................................309 
12. 10 - Equações de Sturm-Liouville ....................................................................................310 
12.10.1 - Teorema - 1 .............................................................................................................311 
Prova ..............................................................................................................................311 
Teorema - 2.............................................................................................................................314 
12. 11 - Método de Taylor ......................................................................................................315 
12.11.1 – Equação Diferencial de Euler .................................................................................316 
12. 12 - Método de Frobëniüs.................................................................................................321 
12.12.1 - Teorema de Fucks ...................................................................................................322 
12. 13 - Equações, Polinômios e Funções Especiais que são Soluções de Equações 
Diferenciais.............................................................................................................................323 
12.13.1 - Função de Hipergeométrica ....................................................................................323 
12.13.2 - Equações, Polinômios e Funções de Lagrange .......................................................324 
12.13.3 - Equações, Polinômios e Funções de Legendre .......................................................325 
12.13.4 - Equações, Polinômios e Funções de Laguerre ........................................................326 
 13 
12.13.5 - Equações, Polinômios e Funções de Hermite .........................................................327 
12.13.6 - Equações, Polinômios e Funções de Gauss.............................................................328 
12.13.7 - Equações, Polinômios e Funções de Laplace.........................................................329 
12.13.8 - Equações, Polinômios e Funções de Bessel ............................................................330 
12.13.9 - Fórmula de Rodrigues para a Função de Bessel .....................................................336 
12.13.10 - Fórmula Integral para a Função de Bessel ............................................................338 
12. 14 – Exemplos e Aplicações.............................................................................................33912. 15 - Exercícios e Problemas .............................................................................................340 
Capítulo – XIII .......................................................................................................................341 
SISTEMAS DE EQUAÇÕES DIFERENCIAIS ORDINÁRIAS LINEARES.....................341 
13. 1 - Introdução ...................................................................................................................341 
13. 2 - Definição de Sistema de Equações Diferenciais Ordinárias Lineares ........................342 
13. 3 -Aplicação do Problema de Auto-Valor na Solução de Sistemas de Equações 
Diferenciais.............................................................................................................................343 
13.3.1 - O Pêndulo Simples ...................................................................................................343 
13.3.2 - O Modelo de Lotka-Volterra....................................................................................348 
13.3.3 - O Sistema de Massas e Molas Acopladas .................................................................353 
13. 4 - Matrizes Simétricas (AT = A)......................................................................................356 
13.4.1 - Teorema.....................................................................................................................357 
Prova: ..............................................................................................................................357 
13. 5 - Solução de Auto-Valores de Equações Diferenciais Não-Homogêneas.....................358 
13. 6 - Diagonalização ............................................................................................................360 
13.6.1 - Teorema.....................................................................................................................361 
Prova ..............................................................................................................................361 
13.6.2 – Exemplo: Cinética Química......................................................................................363 
13.6.3 – Exemplo: Sistema Mecânico ....................................................................................365 
13. 7 - Formas Quadráticas.....................................................................................................367 
13.7.1 – Exemplo:...................................................................................................................368 
13.7.2 – Definição ..................................................................................................................369 
13.7.3 – Teorema ....................................................................................................................369 
13.7.4 – Exemplo – 4 (Flambagem) .......................................................................................369 
13. 8 – Exemplo e Aplicações ................................................................................................371 
13. 9 – Exercícios e Problemas...............................................................................................372 
Capítulo – XIV .......................................................................................................................373 
EQUAÇÕES DIFERENCIAIS ORDINÁRIAS....................................................................373 
NÃO-LINEARES..................................................................................................................373 
14. 1 - Introdução ...................................................................................................................373 
14. 2 - Equações Diferenciais Não-Lineares ..........................................................................374 
14. 3 – Equações Diferenciais Ordinárias Lineares de 1ª Ordem...........................................375 
14.3.1 - Caso - 1 .....................................................................................................................375 
14.3.2 - Caso - 2 .....................................................................................................................376 
14.3.3 - Caso - 3 .....................................................................................................................377 
14.3.4 - Caso – 4.....................................................................................................................378 
14. 4 - Equações Diferenciais Lineares de 2ª Ordem .............................................................379 
14. 5 – Exemplos e Aplicações...............................................................................................385 
14. 6 – Exercícios e Problemas...............................................................................................386 
Capítulo – XV.........................................................................................................................387 
SISTEMAS DE EQUAÇÕES DIFERENCIAIS...................................................................387 
 14 
ORDINÁRIAS NÃO-LINEARES ........................................................................................387 
15. 1 - Introdução ...................................................................................................................387 
15. 2 - Sistema de Equações Diferenciais Ordinárias Não-Lineares......................................388 
15. 3 - Exemplos e Aplicações ...............................................................................................389 
15. 4 - Exercícios e Problemas ...............................................................................................390 
Capítulo – XVI .......................................................................................................................391 
EQUAÇÕES DIFERENCIAIS PARCIAIS LINEARES......................................................391 
16. 1 - Objetivos do Capítulo .................................................................................................391 
16. 2 - Introdução ...................................................................................................................391 
16. 3 - Equações Diferenciais Parciais ...................................................................................392 
16.3.1 – Comentários sobre o Método da Separação de Variáveis ........................................393 
Exemplo ..............................................................................................................................393 
16. 4 - Equação de Difusão.....................................................................................................395 
i) Caso 1D ..............................................................................................................................395 
ii) Caso 2D e 3D .....................................................................................................................396 
Exemplo ..............................................................................................................................400 
Exemplo ..............................................................................................................................402 
16. 5 - Equação de Onda.........................................................................................................405 
i) Caso 1D ..............................................................................................................................405 
Exemplo ..............................................................................................................................410 
ii) Caso 2D e 3D .....................................................................................................................412 
Solução de D’Alambert..........................................................................................................412 
16. 6 - Exemplos e Aplicações ...............................................................................................415 
Solução: ..............................................................................................................................415 
Exemplo ..............................................................................................................................415 
16. 6 – Exercícios e Problemas...............................................................................................416 
Capítulo – XVII......................................................................................................................417 
SISTEMA DE EQUAÇÕES DIFERENCIAIS PARCIAIS LINEARES .............................417 
17. 1 - Objetivos do Capítulo .................................................................................................417 
17. 2 - Introdução ...................................................................................................................417 
17. 3 - Sistema de Equações Diferenciais Parciais Lineares ..................................................418 
17. 4 – Exemplos e Aplicações...............................................................................................419 
17. 5 – Exercícios e Problemas...............................................................................................420 
Capítulo – XVIII.....................................................................................................................421 
EQUAÇÕES DIFERENCIAIS PARCIAIS NÃO-LINEARES............................................421 
18. 1 - Objetivos do Capítulo .................................................................................................421 
18. 2 - Introdução ...................................................................................................................421 
18. 3 - Equações Diferenciais Parciais Não-Lineares.............................................................422 
18. 4 – Exemplos e Aplicações...............................................................................................423 
18. 5 – Exercícios e Problemas...............................................................................................424 
Capítulo – XIX .......................................................................................................................425 
SISTEMA DE EQUAÇÕES DIFERENCIAIS PARCIAIS NÃO-LINEARES ...................425 
19. 1 - Objetivos do Capítulo .................................................................................................425 
19. 2 - Introdução ...................................................................................................................425 
19. 3 - Sistema de Equações Diferenciais Parciais Não-Lineares ..........................................426 
19. 4 – Exemplos e Aplicações...............................................................................................427 
19. 5 – Exercícios e Problemas...............................................................................................428 
Capítulo – XX.........................................................................................................................429 
 15 
TEORIA GERAL DAS DISTRIBUIÇÕES ..........................................................................429 
20. 1 - Objetivos do Capítulo .................................................................................................429 
20. 2 - Introdução ...................................................................................................................429 
20. 3 - Teoria Geral das Distribuições....................................................................................430 
20. 4 – Exemplos e Aplicações...............................................................................................431 
20. 5 – Exercícios e Problemas...............................................................................................432 
Referências Bibliográficas......................................................................................................433 
Apêndices ...............................................................................................................................434 
A. 1 – Estudo de Somatórios ..................................................................................................434 
A. 2 – Estudo de Produtórios..................................................................................................435 
A. 3 – Estudo da Relação entre Somatórios e Produtórios.....................................................436 
Anexos .................................................................................................................................437 
An. 1 – Título do seu primeiro Anexo....................................................................................437 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 16 
 
Lista de Figuras 
 
Figura - 4. 1. .............................................................................................................................77 
Figura - 4. 2. .............................................................................................................................77 
Figura - 4. 3. .............................................................................................................................77 
Figura - 4. 4. .............................................................................................................................78 
Figura - 4. 5. .............................................................................................................................82 
Figura - 4. 6. .............................................................................................................................91 
Figura - 7. 1 ............................................................................................................................134 
Figura - 7. 2 ............................................................................................................................134 
Figura - 7. 3 ............................................................................................................................137 
Figura - 7. 4 ............................................................................................................................138 
Figura - 7. 5 ............................................................................................................................147 
Figura - 8. 1 ............................................................................................................................163 
Figura - 9. 1. Região B do volume envolvido por uma superfície S atravessado por um campo 
de temperaturas u....................................................................................................................191 
Figura - 9. 2. ...........................................................................................................................194 
Figura - 9. 3. ...........................................................................................................................195 
Figura - 9. 4. ...........................................................................................................................196 
Figura - 9. 5. ...........................................................................................................................197 
Figura - 9. 6. Superfície  ,z f x y em um sistema de coordenadas cartesianas. ...............198 
Figura - 9. 7. Região B do volume envolvido por uma superfície S atravessado por um campo 
de velocidades v . ...................................................................................................................200Figura - 9. 8. ...........................................................................................................................202 
Figura - 9. 9. ...........................................................................................................................202 
Figura - 9. 10 ..........................................................................................................................210 
Figura - 10. 1 ..........................................................................................................................232 
Figura - 10. 2 ..........................................................................................................................233 
Figura - 10. 3 ..........................................................................................................................236 
Figura - 10. 4 ..........................................................................................................................238 
Figura - 10. 5 ..........................................................................................................................238 
Figura - 11. 1.Problema de uma viga bi-apoiada e flexionada sobre seu próprio peso. .........245 
Figura - 11. 2 ..........................................................................................................................287 
Figura - 11. 3. Oscilador Harmônico simples.........................................................................291 
Figura - 11. 4 ..........................................................................................................................306 
Figura - 11. 5 ............................................................................. Erro! Indicador não definido. 
Figura - 11. 6 ..........................................................................................................................395 
Figura - 11. 7 ..........................................................................................................................401 
Figura - 11. 8 ..........................................................................................................................402 
Figura - 11. 9 ..........................................................................................................................405 
Figura - 11. 10 ........................................................................................................................412 
Figura - 12. 1. ............................................................................ Erro! Indicador não definido. 
Figura - 12. 2. .........................................................................................................................344 
Figura - 12. 3. .........................................................................................................................345 
Figura - 12. 4. .........................................................................................................................350 
Figura - 12. 5. .........................................................................................................................352 
 17 
Figura - 12. 6. .........................................................................................................................353 
Figura - 12. 7. .........................................................................................................................356 
Figura - 12. 8. .........................................................................................................................365 
Figura - 12. 9. .........................................................................................................................369 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 18 
 
Lista de Tabelas 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 19 
 
 
Lista de Siglas 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 20 
 
 
 
Lista de Símbolos 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 21 
 
 
 
 
Resumo 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 22 
 
 
 
 
Abstract 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 23 
 
 
 
 
 
 24 
Capítulo – I 
INTRODUÇÃO 
 
1. 1 – Apresentação do curso 
 A matemática é uma ciência abrangente e pode ser unificada em uma visão 
estruturada dependendo de sua utilização em outras áreas da ciência. Os capítulos deste texto 
seguem a seqüência mais conveniente para o estudo dos tópicos importantes para um curso de 
matemática voltado para aplicações em Física e Engenharia. Ele corresponde a um curso de 
Álgebra Linear, Geometria Analítica, Cálculo e Equações Diferenciais para ser utilizado em 
Física e em Engenharia de uma forma geral. Ele é resultado das anotações de aulas de várias 
disciplinas de matemática como, por exemplo, daquelas de um curso de Bacharelado em 
Física, realizado no Instituto de Física de São Carlos da Universidade de São Paulo durante o 
período de 1980 a 1990. Entre outras anotações de aulas, constam também aquelas de um 
curso de Pós-Graduação em Métodos Numéricos para a Engenharia, realizado na 
Universidade Federal do Paraná durante o período de 2006 a 2009. 
 O curso de Álgebra Linear envolve vetores, matrizes, tensores e funções. Estas 
abordagens são isomorfas e poderiam ser incluídas em uma única Teoria de Grupos 
Matemáticos para estudantes mais avançados sobre o assunto, assim como o cálculo também 
poderia envolver o estudo geral de Cálculo de Variedades Matemáticas. Por outro lado, nós 
apresentamos aqui a cada capítulo o desenvolvimento sistemático de cada parte da álgebra 
linear com suas conseqüentes generalizações como um forma de produzir a fixação dos 
conceitos a cada vez que eles são reutilizados em uma sistematização matemática mais 
abrangente partindo da álgebra e do calculo vetorial até a álgebra e o calculo de tensores. 
 25 
1. 2 – Introdução a Álgebra e a Teoria de Grupos Algébricos 
 Uma álgebra é definida a partir de uma operação fundamental e de propriedades 
básicas concernentes a esta operação dentro de um conjunto previamente estipulado, 
conforme mostra-se abaixo: 
 Usaremos a notação de Dirac para os elementos i, do espaço algébrico que no 
nosso caso tanto pode ser vetores como funções. 
 ket: (vetor ou função) (1. 1) 
No caso do ente abstrato chamado ket for um vetor chamaremos de Espaço Vetorial e no caso 
de ser uma função chamaremos de Espaço Funcional. 
 Seja E um conjunto de ket’s e seja K um campo de escalares do espaço algébrico 
linear, onde está definida uma operação de adição, ou seja, E é aditivo, isto é, existe uma 
operação E x E  E tal que: 
  EEE   , (1. 2) 
Satisfazendo os seguintes axiomas fundamentais: 
i)  um elemento simétrico   E / 
E  0 (1. 3) 
ii) Definição do produto interno do espaço algébrico 
KEE
EEE
EEE
T
T






,),(
,),(
),(
 (1. 4) 
(onde * é o complexo conjugado de  para vetores formados por números complexos e 
no caso particular para números reais temos  * ) com qualquer um dos elementos de 
E. 
iii)  um elemento neutro da operação fundamental, 0  E / 
Ee   000 (1. 5) 
 26 
Ee   000 
iv)  um elemento inverso 
1
e um elemento unitário, 1  E / 
Ee    11 11 (1. 6) 
 Diz-se então que E é um K-espaço vetorial em relação a essas operações se as 
seguintes condições estiverem satisfeitas em que esteja definida uma operação entre os 
elementos de K e os elementos de E (chamada de multiplicação por um escalar) 
EEK   ),( (1. 7) 
 O espaço vetorial é chamado de complexo ou real dependendo se os escalares são 
só números complexos ou só números reais. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 27 
Capítulo – II 
SISTEMAS DE EQUAÇÕES ALGÉBRICAS 
LINEARES 
RESUMO 
 Neste capítulo será visto a origem da problemática de um sistema de equações e 
os métodos de solução mais importantes. Veremos suas características principais e 
propriedades. Estaremos interessados no final deste texto em utilizar os conhecimentos 
adquiridos neste capítulo na resolução de um sistema de equações diferenciais. No final 
introduziremos o conceito de matrizes que será a deixa para uma abordagem mais completa 
no capítulo seguinte. 
 
2. 1 – Introdução 
 Um sistema algébrico nasce como uma extensão natural de uma equação algébrica 
onde o número de variáveis envolvidas cresce de um para dois, três, etc. Neste sentido nasce 
também o conceito intuitivo de matrizes que será visto no capítulo seguinte. A maneira de se 
estudar os sistemas algébricos pode ser feito de diversas formas. Pode-se definir inicialmente 
o que seja uma matriz de números e inserir este conceito dentro do sistema de equações, ou 
pode-se começar com a noção de sistema de equações e extrair o conceito de matriz. Nós 
optaremos pela segunda forma por acharmos mais intuitivo e seguro para o aprendizado em 
linha ascendente de raciocínio e dificuldade, sem dá pulos nem quedas na linha de raciocínio 
lógico. 
 
 
 28 
2. 2 – Definição de um Sistema de Equações 
 Define-se um sistema algébrico de equações como sendo o conjunto de equações 
com várias variáveis do tipo: 
nmnmnn
mm
mm
bxaxaxa
bxaxaxa
bxaxaxa



....
:
....
....
221
22222121
11212111
 (2. 1) 
O qual pode ser colocado na forma de matriz como: 





































nmnmnn
m
m
b
b
b
x
x
x
aaa
aaa
aaa
::
..
::::
..
..
2
1
2
1
21
22221
11211
 (2. 2) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 29 
2. 3 – Exemplos e Aplicações 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 30 
2. 4 – Exercícios e Problemas 
 
 31 
Capítulo – III 
MATRIZES 
RESUMO 
 Neste capítulo veremos a teoria elementar de matrizes, sua aplicação na álgebra 
linear e em problemas práticos que envolvem sistemas de equações lineares. Veremos a 
propriedades e os tipos de matrizes e os teoremas fundamentais da álgebra das matrizes. 
 
 
3. 1 – Introdução 
 O conceito de matriz pode ser extraído de várias formas: a partir de sistemas de 
equações ou a partir de uma extensão de vetores sob o ponto de vista do estudo genérico de 
tensores. No que diz respeito a este capítulo não interessa muito qual é a sua origem, o que 
nos importa é conhecer suas operações e propriedades fundamentais para daí ser utilizados em 
estudos posteriores. 
 
 
 
 
 
 
 32 
3. 2 – Definição de uma Matriz 
 A representação matricial de números ou operações decorre de sistemas 
algébricos (múltiplas operações) lineares. 
 Uma matriz é um conjunto de números, indexados em linhas e colunas e dispostos 
em uma tabela retangular da seguinte forma: 
A = 
nxmnmnn
m
m
aaa
aaa
aaa
















..
:..::
::::
..
..
21
22221
11211
 (3. 1) 
 As matrizes são usadas para representar múltiplas operações lineares da álgebra. 
 O arranjo horizontal do tipo  1 2 ..i i ina a a da matriz A, chamamos de linha 
de A e ao arranjo na vertical como 
1
2
:
j
j
nj
a
a
a
 
 
 
 
 
  
 chamamos de colunas de A. Os elementos aij são os 
elementos da matriz que ocorrem na i’ésima linha e na j’ésima coluna simultaneamente. 
 A dimensão da matriz é dada por n x m, onde n é o número de linhas da matriz e 
m é o número de colunas. 
 Quando n = m dizemos que a matriz é quadrada, ou seja: 
Matriz A =
nxnnnnn
n
n
aaa
aaa
aaa












..
::::
..
..
21
22221
11211
 (3. 2) 
e se n é diferente de m (m  n) dizemos que a matriz é retangular. De um modo geral, uma 
matriz genuina A, do tipo n x m, onde os elementos ija  , podem ser representados da 
seguinte maneira: 
 33 
Matriz A =
nxmnmnn
m
m
aaa
aaa
aaa
















..
:..::
::::
..
..
21
22221
11211
 (3. 3) 
 A partir desta úlimas duas definições podemos ter: 
3.2.1 - Matriz Linha 
 Chamamos de matriz linha a uma matriz que possui apenas uma única linha. 
Neste caso m = 1. 
Matriz Linha A =   xninii aaa 121 .. (3. 4) 
3.2.2 - Matriz Coluna 
 Chamamos de matriz coluna a uma matriz que possui apenas uma única coluna. 
Nest caso n = 1. 
Matriz Coluna A = 
1
2
1
:
nxnj
j
j
a
a
a












 (3. 5) 
 A operação que transforma uma linha “k” qualquer de uma matriz em uma coluna 
correspondente ao mesmo índice de linha “k” chama-se “transposição”. Logo a matriz 
transposta de A, ou seja, AT é dada por: 
nxnnnnn
n
n
T
aaa
aaa
aaa
A













..
::::
..
..
21
22212
12111
 (3. 6) 
 34 
3.2.3 - Diagonal Principal 
 Chamamos de diagonal principal de uma matriz A qualquer, ao conjunto 
ordenado de elementos da matriz A, cujos índices “i”são iguais aos índices “j”, ou seja: 
Diagonal Principal de A =  nnaaa ...2211 (3. 7) 
Onde j = 1, 2, 3, ....n. ou seja: 
{aij  A/ i = j =  nnaaa ...2211 (3. 8) 
 Vemos, portanto, que a operação de transposição aplicada a uma matriz A 
qualquer não altera os elementos da diagonal principal da matriz transposta em relação a 
matriz original. Para a definição de uma diagonal principal a matriz tem de ser quadrada. 
3.2.4 - Diagonal Secundária 
 Chamamos de diagonal secundária ao conjunto ordenado de elementos, cuja soma 
dos índices i + j = n + 1, ou seja: 
Diagonal Secundária de A =  nnnn aaaa 123121 ... (3. 9) 
onde j = 1, 2, 3, ....n. 
 Para matrizes formadas por números complexos podemos definir uma operação 
com matrizes chamada de “conjugação” representada pelo símbolo asterisco (), onde vale a 
relação A* = -A para número complexos puros ficando o caso particular A* = A para os 
número reais. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 complexo conjugado de um número 
 35 
3. 3 – Espaço Algébrico das Matrizes 
 Definimos o espaço m nK  ao espaço de toda matriz do tipo n x m. Seja A uma 
matriz qualquer, com elementos do tipo Aij, onde os índices i e j representam as linhas e as 
colunas respectivamente, onde se encontra o elemento no arranjo matricial. 
 
3.3.1– Igualdade de Matrizes 
 Dadas duas matrizes A e B  Kmxn dizemos que A = B se e somente todo 
elemento da i’ésima linha e da j’ésima coluna de A for correspondentemente igual ao 
elementoda i’ésima linha e da j’ésima coluna de B, ou seja: 
 
A = B  aij = bij (3. 10) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 36 
3. 4 – Operações Simétricas com Matrizes 
 Chamamos de operações simétricas em matrizes, as operações cuja inversa é a 
própria operação aplicada inicialmente a uma matriz. 
 Seja A uma matriz qualquer, com elementos do tipo Aij, onde os índices i e j 
representam as linhas e as colunas respectivamente, onde se encontra o elemento no arranjo 
matricial. 
1) Operação de Transposição 
AT (Matriz Transposta)  (Aij)T = Aji (3. 11) 
2) Operação de Conjugação 
A* (Matriz Complexa Conjugada)  (Aij)* = A*iji (3. 12) 
Nesta operação troca-se os números imaginários puros dos elementos da matriz de i por i . 
Sendo o complexo conjugado de um número Real igual ao próprio número, *a a a R   
3) Operação de Aadjunção 
A+ (Matriz Adjunta)  (Aij)+ = A*ji (3. 13) 
Esta operação é a operaçào composta pela conjugação e transposição. 
 Prova-se que: 
(AT)* = (A*)T (3. 14) 
Da seguinte forma: 
((Aij) T)* = (Aji)*= A*ji (3. 15) 
e 
((Aij)*)T = (A*ji)T = A*ij (3. 16) 
4) Operação de Paridade (ou Reflexão) 
A (Matriz Imagem de A) (Aij) = -Aij (3. 17) 
5) Operação de Inversão 
A-1 (Matriz Inversa de A) (Aij)-1 ≠ A-1ij (3. 18) 
A operação de inversão so vale para matrizes não-singulares quadradas. E (Aij)-1 = A-1ij 
somente para matrizes diagonais. 
 37 
3. 5 – Propriedades das Operações Simétricas com Matrizes 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 38 
3. 6 – Definição de Operações Algébricas com Matrizes 
 Sejam A e B duas matrizes pertencente a Kmxn, tal que: 
i) Operação de Adição 
 Sejam duas Matrizes A e B  Knxm, define-se a operação de Adição de Matrizes 
como sendo dada por uma matriz S  Knxm tal que: 
S = (A + B) = A + B (3. 19) 
ou em notação indicial, como: 
Sij =   ijijij BABA  (3. 20) 
ii) Operação de Produto Escalar de Matrizes 
 Sejam duas Matrizes A e B define-se a operação de Produto Escalar de Matrizes 
como: 
A.B = (A.B) (3. 21) 
ou em notação indicial, como: 
 ljilijij BABA . (3. 22) 
iii) Operação de Produto Diádico de Matrizes 
 Sejam duas Matrizes A e B define-se um Produto Diádico de Matrizes a operação: 
AB = (AB) (3. 23) 
ou em notação indicial, como: 
       ijijijijijij BAABBAAB  (3. 24) 
iv) Multiplicação por um escalar 
 Seja uma Matriz A define-se a operação de multiplicação de um escalar,  por 
uma Matriz como: 
(A) =.A (3. 25) 
ou em notação indicial, como: 
   ijij AA  . (3. 26) 
 
 39 
3. 7 – Propriedades do Espaço de Matrizes 
 As operações com matrizes determinam um espaço vetorial linear pois satisfazem 
ao conjunto de condições estabelecidas por um espaço vetorial. O espaço de matrizes satisfaz 
as seguintes propriedades algébricas, para toda Matriz A,B  Knxm: 
i) Comutativa 
A + B = B + A (3. 27) 
Prova 
  ijijijijijij ABABBABA )(  (3. 28) 
ii) Associativa 
A + (B + C) = (A + B) + C (3. 29) 
Prova 
    ijijijijijijij CBACBACBA  (3. 30) 
iii)  uma matriz 0  EMatrizes / 
A + 0 = A  A  EMatrizes (3. 31) 
Prova 
  ijijij AAA  00 (3. 32) 
iv)  uma matriz -A  EMatrizes / 
A + (-A) = 0  A  EMatrizes (3. 33) 
Prova 
  ijijijij AAAA )0()(  (3. 34) 
v) Distribuitiva do escalar 
(A + B) = A + B (3. 35) 
    ijijijijij BABABA   (3. 36) 
vi) Distribuitiva da Matriz com escalar 
 40 
( + )A = A + A (3. 37) 
Prova 
  ijijij AAA   (3. 38) 
vii) Distribuitiva de Matriz com Matriz 
A(B + C) F = ABF + ACF (3. 39) 
Prova 
   
  ijijijijijijijijijijij
ijijijijijijij
FCAFBAFCFBA
FCBAFCBA


 (3. 40) 
viii) Associativa do produto de matrizes 
(A. B).C = A.(B.C) = A.B.C (3. 41) 
Prova 
       ljilkjlkilkjlkilijlkilijij BCACBACBACBACAB  (3. 42) 
ix) 
 (3. 43) 
x) Transposição do produto de matrizes 
A.B = (B.A)T = B T .AT (3. 44) 
Prova 
     Tijijjijilijlljilijij ABABABBABA ...  (3. 45) 
xi) Transposto de multiplicações sucessivas vale: 
ABCD...Z = (Z…DCBA)T = Z T ... DT C T AT (3. 46) 
 41 
3. 8 – Operações Singulares com Matrizes e Invariantes das 
Matrizes 
3.8.1 - Definição 
 Chamamos de Operações Singulares de matrizes as operações as quais só podem 
ser definidas para a representação matricial de quantidades. 
3.8.2 - Invariante 1 – Operação de Traço de uma Matriz 
 O traço de uma matriz é definido como” 
ii
n
i
iinxn Atr 
1
][ AA (3. 47) 
Onde n é a ordem da matriz. 
 
 
 












nnnn
n
n
ij
aaa
aaa
aaa
AA
..
::::
..
..
21
22221
11211
 (3. 48) 
Com as seguintes propriedades. 
3.8.3 - Propriedades do Traço de uma Matriz 
i) O traço da soma é igual a soma dos traços 
][][][ BABA trtrtr  (3. 49) 
Prova 
ijijiiijij trtrBAtr ][][][ BABA  (3. 50) 
 
ii) O produto de um escalar pelo traço de uma matriz é igual ao traço da matriz multiplicada 
pelo escalar 
][][][ BABA trtrtr   (3. 51) 
Prova 
 42 
ijijiiiiij trtrBAtr ][][][ BABA   (3. 52) 
 
iii) O traço de AB é igual ao traço de BA 
][][ BAAB trtr  (3. 53) 
Prova 
ijiikkkkiiij trABBAtr ][][ BAAB  (3. 54) 
iv) O traço de uma matriz é igual ao traço da matriz transposta 
Ttrtr ][][ AA  (3. 55) 
Prova 
  TTiiii trAAtr ][][ AA  (3. 56) 
 
3.8.4 – Invariante 2 - Determinante de uma Matriz 
Definição: 
 Determinante de uma matriz de ordem n é a soma algébrica de todos os produtos 
diferentes obtidos com os n2 elementos de uma matriz quadrada, de modo que cada produto 
tenha um elemento de cada linha e de cada coluna, afetado do sinal positivo ou negativo 
conforme seus elementos pertencerem a permutação par ou ímpar. 
 A cada matriz associamos um determinante A ou  Adet que é um dos 
invariantes de A. 
 O determinante de uma matriz é definido como: 
jmenor
n
j
j Aa 1
1
1 ][det]det[ 

A (3. 57) 
Conforme o esquema abaixo: 
 43 
























nnn
n
n
n
ij
aa
aa
a
a
aaa
AA
2
222
1
21
11211
:::
..
:
..
 (3. 58) 
usando a própria definição de determinante do menor da matriz A, det[Amenor] iterativamente 
para as matrizes menores temos: 
jmenor
n
j
n
j
jj Aaa 1
1
1
1
11 ][det]det[  



A (3. 59) 
Ou iterando sucessivamente temos: 
nn
n
j
n
j j
jj
n
j
jj aaaaa .....]det[
1
2
1
2
1
11
1
1
11  


 


A (3. 60) 
Se uma matriz é quadrada A é um número qualquer, inclusive zero. Se a matriz é retangular 
A é sempre nulo. 
 Se o determinante da matriz A é nulo ( A =0) a matriz é chamada singular. 
 Seja uma matriz de n linhas e n colunas. Formando os determinantes de todas as 
maneiras possíveis, tomando 1,2, ....,n linhas e colunas da matriz, de todas as maneiras 
possíveis, se pelo menos um determinante de ordem r é diferente de zero e se todas os 
determinantes de ordem superior são nulos, a matriz é de graduação r. Se a matriz for de 
ordem n e singular, r < n. Se Não for singular r = n. 
3.8.5 - Propriedades dos Determinantes 
 
i) 
]det[]det[]det[]det[ BABAAB  (3. 61) 
ii) 
 44 
]det[
1]det[
1]det[]det[]det[]det[
1
11
A