Apostila De Matemática Completa

Prévia do material em texto

COMANDO GERAL DE TECNOLOGIA AEROESPACIAL 
GRUPO ESPECIAL DE ENSAIOS EM VÔO 
ESQUADRÃO DE FORMAÇÃO EM ENSAIOS EM VÔO 
CURSO DE PREPARAÇÃO PARA RECEBIMENTO DE AERONAVES 
 
MATEMÁTICA 
 
 
 
AC-02 
 
 
 ii 
CONTROLE DE REVISÕES 
 
 REVISÃO AUTOR(ES) DATA 
 ORIGINAL 
 1ª REVISÃO 
 2ª REVISÃO 
 3ª REVISÃO 
 
 
 4ª REVISÃO 
 
 
 iii 
 SUMÁRIO 
 
1 - NOÇÕES BÁSICAS (I)........................................... 1 
1.1 - OBSERVAÇÕES SOBRE A OPERAÇÃO DIVISÃO....................... 1 
1.2 - PROPRIEDADES DAS OPERAÇÕES ADIÇÃO E MULTIPLICAÇÃO (ENTRE 
NÚMEROS)................................................... 1 
1.3 - PROPRIEDADES DA RELAÇÃO DE IGUALDADE (ENTRE NÚMEROS)....... 2 
1.4 - POTENCIAÇÃO................................................ 3 
1.5 - RADICIAÇÃO................................................. 4 
1.6 - RESOLUÇÕES DE EQUAÇÕES..................................... 5 
1.7 - EQUAÇÕES DO 2o GRAU ........................................ 6 
1.8 - SISTEMAS DE DUAS EQUAÇÕES DO 1o GRAU COM DUAS INCÓGNITAS ... 8 
1.9 - INEQUAÇÕES DO 1o GRAU ..................................... 10 
1.10 - PRODUTOS NOTÁVEIS........................................ 10 
1.11 - FATORAÇÃO DE POLINÔMIOS.................................. 11 
1.12 - RACIONALIZAÇÃO DE DENOMINADORES.......................... 13 
2 - NOÇÕES BÁSICAS (II)......................................... 15 
2.1 - CONJUNTOS................................................. 15 
2.1.1 - Noções Primitivas....................................... 15 
2.1.2 - Definições.............................................. 16 
2.1.3 - Operações com Conjuntos................................. 19 
2.1.3.1 - Reunião (ou união) de conjuntos....................... 19 
2.1.3.2 - Interseção de conjuntos............................... 19 
2.1.3.3 - Diferença de Conjuntos................................ 20 
2.1.3.4 - Complementar de B em A................................ 21 
2.2 - CONJUNTOS NUMÉRICOS....................................... 23 
2.2.1 - Conjunto dos Números Naturais: N........................ 23 
2.2.2 - Conjunto dos Números Inteiros: Z........................ 24 
2.2.3 - Conjunto dos Números Racionais: Q....................... 25 
2.2.4 - Conjunto dos Números Reais: R........................... 26 
2.2.5 - Reta Numérica........................................... 27 
2.3 - MÓDULO.................................................... 29 
2.3.1 - Definição............................................... 29 
2.3.2 - Propriedades............................................ 30 
2.4 - POTÊNCIA DE EXPOENTE REAL................................. 30 
2.5 - LOGARITMOS................................................ 31 
2.5.1 - Definição............................................... 31 
2.5.2 - Propriedades dos Logaritmos............................. 33 
2.5.3 - Logaritmos Especiais.................................... 36 
 iv 
3 - NOÇÕES BÁSICAS (III)........................................ 37 
3.1 - GEOMETRIA................................................. 37 
3.1.1 - Geometria Plana......................................... 37 
3.1.1.1 - Ângulo................................................ 37 
3.1.1.2 - Outras Definições Importantes......................... 38 
3.1.1.3 - Triângulos............................................ 40 
3.1.1.4 - Teorema das Paralelas (ou de Tales)................... 42 
3.1.1.5 - Área dos Principais Polígonos......................... 44 
3.1.2 - Geometria Espacial...................................... 47 
3.2 - TRIGONOMETRIA............................................. 52 
3.2.1 - Trigonometria no Triângulo Retângulo.................... 52 
3.2.2 - Radiano................................................. 55 
3.2.3 - Circunferência Trigonométrica........................... 56 
3.2.4 - Arcos Côngruos.......................................... 58 
3.2.5 - Relações Trigonométricas................................ 60 
3.2.6 - Trigonometria num Triângulo Qualquer.................... 64 
3.2.7 - Adição e Subtração de Arcos............................. 65 
3.2.8 - Arco Duplo.............................................. 67 
3.2.9 - Transformação em Produto (fatoração trigonométrica)..... 68 
3.2.10 - Arcos Complementares................................... 69 
3.2.11 - Redução ao Primeiro Quadrante.......................... 70 
3.3 - GEOMETRIA ANALÍTICA PLANA................................. 73 
3.3.1 - O Ponto................................................. 73 
3.3.2 - A Reta.................................................. 76 
3.3.3 - Coeficiente Angular de uma Reta......................... 77 
3.3.4 - Forma Reduzida da Equação da Reta....................... 78 
3.3.5 - Feixe de Retas Concorrentes............................. 79 
3.3.6 - Paralelismo e Perpendicularismo......................... 81 
3.4 - POLINÔMIOS................................................ 83 
3.4.1 - Introdução.............................................. 83 
3.4.2 - Operações com Polinômios................................ 85 
3.4.3 - Teorema do Resto........................................ 87 
3.4.4 - Teorema de D’Alembert................................... 88 
3.4.5 - Dispositivo Prático de Briot-Ruffini.................... 88 
4 - FUNÇÕES.................................................... 102 
4.1 - GENERALIDADES SOBRE FUNÇÕES.............................. 102 
4.1.1 - DEFINIÇÕES 1........................................... 102 
4.1.2 - Função Real de Uma variável Real....................... 104 
 v 
4.1.3 - DEFINIÇÕES 2........................................... 106 
4.1.4 - Função Composta e Função Inversa....................... 108 
4.2 - PRINCIPAIS FUNÇÕES ELEMENTARES........................... 113 
4.2.1 - Função Constante....................................... 113 
4.2.2 - Função Identidade...................................... 114 
4.2.3 - Função Afim............................................ 114 
4.2.4 - Função Modular......................................... 115 
4.2.5 - Função Quadrática (ou Função Trinômio do 2o Grau) ...... 115 
4.2.6 - Função f : x → x3 ..................................... 118 
4.2.7 - Função Recíproca....................................... 119 
4.2.8 - Função Exponencial de Base a........................... 120 
4.2.9 - Funções Trigonométricas................................ 121 
4.2.10 - Função Logarítmica.................................... 123 
4.2.11 - Funções Trigonométricas Inversas...................... 124 
4.3 - FUNÇÃO DEFINIDA POR VÁRIAS SENTENÇAS ABERTAS............. 126 
5 - VARIAÇÃO DO SINAL DAS FUNÇÕES.............................. 135 
5.1 - INTRODUÇÃO............................................... 135 
5.2 - EQUAÇÕES................................................. 137 
5.2.1 - Definições............................................. 137 
5.2.2 - Equações Polinomiais................................... 138 
5.2.3 - Equações Trigonométricas............................... 141 
5.2.4 - Exemplos Diversos...................................... 145 
5.3 - INEQUAÇÕES............................................... 148 
5.3.1 - Definições............................................. 148 
5.3.2 - Sinal das Funções Afim e Quadrática.................... 149 
5.3.3 - Solução Geral de Inequação............................. 150 
5.4 - IDENTIDADE............................................... 161 
5.4.1 - Definição.............................................. 161 
6 - LIMITE..................................................... 169 
6.1 - NOÇÃO DE LIMITE DE UMA FUNÇÃO............................ 169 
6.2 - LIMITES LATERAIS......................................... 173 
6.3 - LIMITES INFINITOS........................................ 175 
6.4 - LIMITES NO INFINITO...................................... 180 
7 - CONTINUIDADE...............................................197 
7.1 - NOÇÃO DE CONTINUIDADE.................................... 197 
7.1.1 - Definição.............................................. 197 
7.1.2 - Definição.............................................. 198 
7.1.3 - Definição.............................................. 198 
 vi 
7.1.4 - Definição.............................................. 198 
7.1.5 - Definição.............................................. 198 
7.2 - PROPRIEDADES DAS FUNÇÕES CONTÍNUAS....................... 201 
8 - DERIVADAS.................................................. 204 
8.1 - INTRODUÇÃO - VELOCIDADE INSTANTÂNEA...................... 204 
8.2 - DERIVADA................................................. 208 
8.2.1 - Derivada no Ponto xo ................................... 208 
8.2.2 - Função Derivada........................................ 210 
8.2.3 - Tabela de Derivadas.................................... 211 
8.2.4 - Derivadas Sucessivas................................... 213 
8.2.5 - Equações Diferenciais.................................. 215 
8.3 - GRÁFICOS E DERIVADAS..................................... 216 
8.3.1 - Interpretação Geométrica da Derivada................... 216 
8.3.2 - Derivada e continuidade................................ 217 
8.3.3 - Variação das Funções................................... 219 
9 - NOÇOES DE CÁLCULO INTEGRAL................................. 247 
9.1 - INTRODUÇÃO - ÁREA........................................ 247 
9.2 - A INTEGRAL DEFINIDA...................................... 249 
9.2.1 - Partição............................................... 249 
9.2.2 - Norma.................................................. 249 
9.2.3 - Soma de Riemann........................................ 250 
9.2.4 - Função Integrável...................................... 250 
9.3 - O CÁLCULO DA INTEGRAL DEFINIDA........................... 250 
9.3.1 - PRIMITIVA.............................................. 251 
9.3.2 - CÁLCULO DA PRIMITIVA................................... 251 
9.4 - ALGUMAS TÉCNICAS DE INTEGRAÇÃO........................... 254 
9.4.1 - Integração por Substituição............................ 254 
9.4.2 - Integração por Partes.................................. 255 
9.4.3 - Exemplos:.............................................. 257 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
AC-02 
1 
1 - NOÇÕES BÁSICAS (I) 
1.1 - OBSERVAÇÕES SOBRE A OPERAÇÃO DIVISÃO 
2
6
= 3 pois 3.2 = 6 
2
0
 = pois O.2 = O 
0
6
 = nenhum número (operação inexistente), pois (nenhum 
número) .0 = 6 
0
0
 = qualquer número (resultado indeterminado), pois 
(qualquer número).O = O 
 
 
 
 
 
 
 
 
1.2 - PROPRIEDADES DAS OPERAÇÕES ADIÇÃO E MULTIPLICAÇÃO (ENTRE NÚ-
MEROS) 
 
1) Comutativa (comutar = trocar) 
 
a + b = b + a (a ordem das parcelas não altera a soma) 
a . b = b . a (a ordem dos fatores não altera o produto) 
 
2) Associativa 
(a + b) + c = a + (b + c) 
(a . b) .c = a . (b. c) 
 
3) Elemento neutro 
- da adição é o número zero; 
 a + O = a e O + a = a, ∀a 
Não existe divisão por zero 
 
0
0
 Símbolo de indeterminação 
 
 
 
AC-02 
2 
- da multiplicação é o número um. 
 a . 1 = a e 1 . a = a, ∀a 
 
4) Propriedade distributiva da multiplicação em relação à 
adição 
 x . (a + b) = x . a + x. b 
 
1.3 - PROPRIEDADES DA RELAÇÃO DE IGUALDADE (ENTRE NÚMEROS) 
1) Reflexiva: qualquer número se relaciona com ele mesmo 
através da relação de igualdade (=) 
 
aa =
 ∀a 
 
 
2) Simétrica: se um número se relaciona com outro através 
da relação de igualdade (=) , então a recíproca também 
é verdadeira. 
 
a = b ⇔ b = a ∀a, ∀b 
 
3) Transitiva: se um número se relaciona com outro 
através da relação de igualdade (=) e este outro com 
um terceiro, então o primeiro se relaciona com o 
terceiro através da igualdade (=) 
cb
ba
=
=
 
ca =⇒
 ∀a, ∀b, ∀c 
 
Qualquer relação com estas três propriedades é denominada 
relação de equivalência. Outros exemplos: 
 
a - a relação "ser semelhante" (entre triângulos) é de 
equivalência; 
b - a relação "igualdade" (entre conjuntos) é de 
equivalência; 
c - a relação "ser perpendicular" (entre retas) não é de 
equivalência. 
 
 
 
AC-02 
3 
 
1.4 - POTENCIAÇÃO 
an = a . a . a ... . a 
n fatores 
 
 
expoente 
 25 = 2 . 2 . 2 . 2 . 2 = 32 
base potência 
 
 
Quando a base e o expoente é par ⇒ potência positiva 
é negativa (-2)4 = 16 
 e o expoente é impar ⇒ potência negativa 
 (-2)3 = -8 
 
- Propriedades 
 
1a) am . an = am+n 27 . 29 = 216 
2a) am : an = am-n 56 : 58 = 5-2 
3a) (a . b)n = an . bn (-2x)4 = 16x4 
4a) (a : b)n = an:bn 9
4)
3
2( 2 =
 
5a) (am)n = amn 1472 5)5( = 
 
- Expoente um: torna a potência igual à base 
 
51 = 5 ; 101 = 10 
 
- Expoente zero: torna a potência igual a um 
 
15o = 1 ; (-2)o = 1 ; 1)
7
3( 0 = 
- Expoente negativo: inverte a base (que não pode ser zero) 
 e torna-se positivo 
 
1515
7
733 2)
2
1(;
3
1
3;)
2
5()
5
2( === −−− 
 
 
 
AC-02 
4 
 
- Expoente racional: o denominador torna-se índice de um 
radical 82/3 = 33;8 2/13 2 = 
 
1.5 - RADICIAÇÃO 
A raiz n-ésima de um número b é um número a tal que 
an = b. 
 
 índice raiz 
 2325 = pois 25 = 32 
 (n ∈ N*) radical radicando 
 
 
Outros exemplos: 
 
283 = pois 23 = 8 
 
283 −=− (-2)3 = - 8 
 
- Propriedades (para a ≥ 0, b ≥ 0 
 
1) m na = p:n p:na 3 215 10 33 = 
2) nnn b.ab.a = 2.36 = 
3) nnn baba :: = (b > 0) 4
4
4
16
5
16
5
= 
4) m nnm a)a( = 3 553 x)x( = 
5) mnm n aa = 105 33 = 
 
- Base negativa e índice par 
 
39e9)3(pois39 2 ==−−=−
 
 
bab nn =⇒= 
 
 
 
AC-02 
5 
- Radicando negativo 
 
8)2(pois28 33 −=−−=−
 
 
16)realnenhum(poisrealnenhum16 44 −==−
 
 
 
 
2)2(;0aseae0aseaa 22 =−<−≥=
 
 
1.6 - RESOLUÇÕES DE EQUAÇÕES 
 
Isola-se a incógnita por transposição dos números (de um 
membro para o outro da equação) e concomitante inversão das 
operações por eles efetuadas: 
 
 
 adição subtração 
multiplicação divisão 
 potenciação radiciação 
 
Exemplos: 
a) x + 2 = 7 ⇒ x = 7 - 2 
 
b) p – 1 = 0 ⇒ p = 0 + 1 
 
c) -2x = 8 ⇒ x = 
2
8
−
 
Não existe raiz real de número negativo se o 
índice do radical for par. 
 
 
 
AC-02 
6 
d) 
2
7n +
 = 1 ⇒ n + 7 = 2 . 1 
 
 
 
e) x3 = 8 ⇒ x = 3 8 
 
 
f) 1x + = 3 ⇒ x + 1 = 32 
x = 2, pois 24 = 16 
g) x4 = 16 ⇒ x = ±4 16 = ±2 
x = -2, pois (-2)4 = 16 
 
1.7 - EQUAÇÕES DO 2o GRAU 
 
São todas as equações na forma ax2 + bx + c= O, onde a, b e 
c são números reais e a ≠ 0. 
Chama-se discriminante da equação do 2o grau o número 
 ∆ = b2 -4ac 
 
- se ∆ < 0, a equação não tem raízes reais. 
- se ∆ = 0, a equação tem duas raízes reais iguais. 
se ∆ > 0, a equação tem duas raízes reais diferentes. 
 
Nos dois últimos casos, as raízes podem ser encontradas 
pela fórmula e resoluçao: a2
b
x
∆±−
=
 
Exemplos: 
 a = 3 
a) 3x2 – x + 2 = 0 b = -1 
 c = 2 
∆ = (-1)2 -4 . 3 . 2 = -23 ⇒ não tem raízes reais 
 
 
 
 
 
AC-02 
7 
 a = 4 
b) 4x2 – 4x + 1 = 0 b = -4 
 c = 1 
∆ = (-4)2 – 4 . 4 . 1 = 0 ⇒ uma raiz real 
x = 
2
1
8
4
4.2
0)4(
==
±−−
 
 
 a = 1 
c) x2 + 2x - 3 = 0 b = 2 
 c = -3 
∆ = 22 – 4 . 1 . (-3)= 16 ⇒ duas raízes reais 
x = 



−=
=
=
±−
=
±−
3x
1x
2
42
1.2
162
2
1
 
 
Vale também a relação: 
 
x2 – Sx + P = 0 onde S = -b/a = x1 + x2 
 P = c/a = x1 . x2 
 
Neste caso a equação pode ser resolvida por tentativa: 
 Exemplo: 
 
a) x2 -5x + 6 = O 
 
 S = -b/a = 5)
1
5( =−− 
 P = c/a = 6
1
6
=)( 



=
=
∴




=
=+
∴
3x
2x
6x.x
5xx
2
1
21
21
 
 
b) 2x2 + 2x - 4 = O ⇔ x2 + x – 2 = O 
 
S = 1
2
2
−=
−
 
P = 2)
2
4( −=− 



−=
=
∴




−=
−=+
∴ 2
1
2
1
2
1
21
21
x
x
x.x
xx
 
 
 
 
AC-02 
8 
 
1.8 - SISTEMAS DE DUAS EQUAÇÕES DO 1o GRAU COM DUAS INCÓGNITAS 
 
Exemplo: 
 
 2x + 3y = 1 
 5x- 4y = 7 
 
Existem vários métodos de resolução, entre os quais: 
 
1) Método de Adição 
 
 Exemplos: 
Somamos as equações membro a membro, desde que isto 
provoque a eliminação de uma das incógnitas e a resolução da 
outra. 
 
3x + 2y = 2 
 x - 2y = -6 
4x = -4 
 
Se, x = -1 então, em qualquer das equações dadas 
(por exemplo, a primeira) : 
 
3(-1) + 2y = 2 ⇒2y = 2 + 3 ⇒ 
 
A solução é o par ordenado (-1 
2
5
, ) 
b) Só nos interessa somar as equações se nelas houver 
termos que só diferem pelo sinal, pois eles serão eliminados na 
soma. Caso contrário, escolhemos uma das incógnitas e, com os seus 
coeficientes, preparamos as equações para serem somadas. 
 





=−
=+
9y6x2
7y4x3
 
diferentealsincomxde
escoeficientostornando
 





=−
=+





− 9y6x2
7y4x3
3
2
 
x = -1 
2
5
y =
 
 
 
 
AC-02 
9 
 
Multiplicando 
26
13
27186
1486
−
=






−=+−
=+
y
yx
yx
 ⇒ 
 
⇒ 
 
Substituindo por 
2
1
− numa das equações dadas (por exemplo, 
a segunda): 
2x – 6(
2
1
− ) = 9 ⇒ 2x + 3 = 9 ⇒ 
 
Solução do sistema: (3, - 
2
1 ) 
 
2) Método da Substituição 
 
Isolamos uma das incógnitas em uma das equações e 
substituímos, na outra equação, essa incógnita pela expressão 
encontrada. 
2x + 3y = 1 
4x – 2y = 0 ⇒ 2
y31
x
−
=
 
 
⇒=−−⇒=−
− 026202
2
314 yyy)y(
 
 
Substituindo esse valor numa das duas equações (por 
exemplo, na segunda) : 
 
4x -2(
4
1 ) = 0 ⇒ 4x -
2
1
 = 0 ⇒ 
 
A solução é o par ).,(
4
1
8
1
 
2
1
−=y
 
8
1
x =
 
4
1
y =
 
3x =
 
 
 
 
AC-02 
10 
 
1.9 - INEQUAÇÕES DO 1o GRAU 
 
São desigualdades relacionadas pelas relações de ordem < e 
≤ e suas respectivas inversas > e ≥. Podem ser resolvidas como as 
equações do 1° grau (isolando-se a incógnita). Mas, se for 
necessário multiplicar ou dividir os membros da inequação por um 
número negativo, devemos inverter a relação de ordem. 
 
5 - 3x ≤ 7 + 5x ⇒ -3x -5x ≤ 7 - 5 ⇒ 
 
 8 passa dividindo 
⇒ -8x ≤ 2 X ≥ 
8
2
−
 
 
1.10 - PRODUTOS NOTÁVEIS 
 
Por serem usuais, algumas multiplicações de expressões 
algébricas podem ser efetuadas observando-se os seguintes modelos: 
 
1) Produto da soma pela diferença: 
 
 
 
 
(x3 + 5) (x3 -5) = (x3)2 – 52 = x6 – 25 
 
Quadrado da soma: 
 
 
 
 
(3m + 5n)2 = (3m)2 + 2 . 3m . 5n + (5n)2 = 9m2 + 30mn + 25n2 
4
1
x
−
≥
 
(a + b) (a - b) = a2 – b2 
(a + b)2 = a2 + 2ab + b2 
 
 
 
AC-02 
11 
 
Quadrado da diferença: 
 
 
 
1a
4
a
11.
2
a
2)
2
a()1
2
a(
2
222 +−=+−=−
 
 
1.11 - FATORAÇÃO DE POLINÔMIOS 
 
Podemos transformar polinômios em multiplicações de 
expressões mais simples, aplicando os casos de fatoração, entre os 
quais destacamos: 
1° Caso) Fator comum aos termos: pode ser colocado em 
evidência. 
 
 
Exemplo: 
 
 4x2y + 6xy2 – 2xy = 2.2.x.x.y + 2.3.x.y.y – 2xy = 
 = 2xy . (2x + 3y – 1) 
 
2° Caso) Diferença de dois quadrados: é o produto da soma 
pela diferença (1° produto notável). 
 
 
 
(a - b)2 = a2 - 2ab + b2 
ax + bx = x (a + b) 
a2 – b2 = (a + b) . (a –b) 
 
 
 
AC-02 
12 
Exemplo: 
 9x2 – 4 = (3x + 2) (3x – 2) 
 
 (3x)2 22 
 
3° Caso) Trinômio quadrado perfeito: é o quadrado de uma 
soma ou de uma diferença (2° e 3° produtos notáveis). 
 
 
 
Exemplos: 
a) x2 - 10xy + 25y2 = (x - 5y)2 
 
 (x)2 - 2.(x).(5y) + (5y)2 
 
b) 36a4 + 12a2 + 1 = (6a2 + 1)2 
 
 (6a2)2 + 2.6a2.1 + (1)2 
 
40 Caso) Trinômio do 2º grau: é o primeiro membro de uma 
equação do 2o grau onde x1 e x2 são as raízes da equação 
 
 ax2 + bx + c = 0. 
 
 
 
 
Exemplo: 2x2 - 4x -6 = a (x –x1) (x- x2) 
 
 a = 2 
 2x2- 4x - 6 = b = -4 
 c = -6 
 
4
84
2.2
64)4(
x64)6(.2.4)4( 2 ±=±−−=⇒=−−−=∆
 x1 = -1 
 x2 = 3 
 
Logo 2x2 -4x -6 = 2 .(x + 1) (x- 3) 
a2 ± 2ab + b2 = (a ± b)2 
ax2 + bx + c = a(x – x1) (x – x2) 
 
 
 
AC-02 
13 
 
1.12 - RACIONALIZAÇÃO DE DENOMINADORES 
Consiste em eliminar os radicais do denominador sem alterar 
a fração. 
 
1º Caso) Radical com índice 2: multiplicam-se o numerador e 
o denominador da fração pelo próprio radical a ser eliminado. 
 
Exemplo: 
10
53
52
53
552
53
52
3 .
.
.
.
.
=== 
 
2º Caso) Dois radicais com índice 2: multiplicam-se 
numerador e denominador pelo conjugado do denominador. (Obs: o 
conjugado de a + b é a - b, e vice-versa) . 
 
2
35
35
35
35
35
)notávelproduto1(
)35)(35(
)35(1
35
1
22
o
−
=
−
−
=
−
−
==
−+
−
=
+
 
 
 
 
 
 
AC-02 
14 
SIMBOLOGIA 
 Exemplos 
 
= igual a x . x = x2 
< menor que 4 < 7 
≤ menor ou igual a 8 ≤ 8 
> maior que -3 > -5 
≥ maior ou igual a 6 ≥ 5 
 
 
≅ aproximadamente igual a 
 
 
≠ diferente 532 ≠≠ 
∀ para todo, qualquer que seja ∀x, x - 1 < x 
⇒ implica, então x > 2 ⇒ x > O 
⇔ equivale, se e somente se x > 5 ⇔ 5 < x 
∞ infinito (não é um número 0,1,2,3, ... ∞ 
 tal que 
∃ existe ∃ x 2x = 2 
 não existe xx + 1 = x 
∃ existe um e um só ∃ x x = 4 
⊥ é perpendicular a 
// é paralelo a 
∴
 portanto 
∈ é elemento de 3 ∈ {1,2,3} 
⊂ é subconjunto de {3} ⊂ {1,2,3} 
 
 
 
 
 
 
 






≅
≅
≅
14,3
73,13
41,12
pi
 
 
∃ 
 
/ 
 
∃ 
 
/ 
 
 
 
AC-02 
15 
2 - NOÇÕES BÁSICAS (II) 
 
2.1 - CONJUNTOS 
2.1.1 - Noções Primitivas 
 
No estudo da Teoria dos Conjuntos certas noções são 
consideradas primitivas, isto é, aceitas sem definição. São 
consideradas primitivas as noções de conjunto, elemento e 
pertinência. 
 
Atente para as seguintes frases: 
- "conjunto das flores" 
- "rosa pertence ao conjunto das flores" 
- "rosa é um elemento do conjunto das flores" 
 
Observe que, mesmo não sendo definidas as palavras 
conjunto, elemento e pertinência, todos nós temos uma perfeita 
compreensão do significado de cada uma delas. 
Adotaremos as seguintes convenções: 
conjunto: indicamos com maiúscula: A,B,C, 
Elemento: indicamos com letra minúscula: a,b,c, 
Pertinência: o símbolo ∈ deve ser lido como "é elemento 
de" ou "pertence a". O símbolo ∉ é a negação de ∈. 
 
Exemplos: 
a) a ∈ A, deve ser lido: "elemento a pertence ao conjunto 
A".b) b ∉ C, deve ser lido: "elemento b não pertence ao 
conjunto C". 
c) B ∈ A está incorreto, pois relaciona conjunto com 
conjunto. 
Um conjunto pode ser representado de três maneiras básicas: 
1o) Pela enumeração de seus elementos. 
Exemplos: 
a) conjunto das vogais: {a, e, i, o, u} 
 
 
 
AC-02 
16 
 
b) conjunto dos números pares não negativos: 
 {0,2,4,6,8, ...} 
 
c) conjunto dos inteiros de 1 a lO: {1,2,3, ..., 10} 
 
2o) Enunciando uma propriedade que caracteriza seus 
elementos. 
A= {x | x possui tal propriedade} A barra vertical quer 
dizer 
"tal que". 
 
Exemplos : 
{x | x é vogal} 
{x | x é número par não negativo} 
{x | x = 5n e n ∈ Ζ} = conjunto dos múltiplos de 5. 
 
3a.) Associando seus elementos a pontos dentro de uma linha 
fechada que não se entrelaça {diagramas de Euler-Venn) {Fig. 2.1). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2.1.2 - Definições 
 
Conjunto unitário é aquele que tem um só elemento. 
 
Exemplos : 
a) {1} b) {15} c) {x | x é mês com inicial d} 
 
 
 
 
AC-02 
17 
Dois conjuntos A e B são iguais quando todo elemento de A 
for elemento de B e todo elemento de B for elemento de A. 
Simbolicamente, escrevemos: 
A = B ⇔ (∀x, x ∈ A ⇔ x ∈ B ) 
Exemplos: 
a) {1,5,7,9} = {9,7,5,1} 
b) {2,4,6} = {4,2,6} (não interessa a ordem!) 
c) {2,4,2,2} = {2,4} {elementos podem repetir!) 
 
Se dois conjuntos são diferentes, escrevemos A ≠ B 
Dois conjuntos são disjuntos quando não têm elementos em 
comum. 
Exemplos: 
a) {3,4} e {2,5} 
b) {a,e,i} e {b,f,g,h} 
c) {3,4} e {3,4,5} são diferentes, mas não são disjuntos. 
 
Chamamos de conjunto vazio aquele que não possui elemento e 
indicamos por ∅ ou { }. 
Exemplo: A = {x | x + 1 = x} 
Portanto, A= ∅ ou A ={ } pois ∃ x | x + 1 = x. 
 
Um conjunto A é subconjunto de um conjunto B se, e somente 
se, todo elemento de A for também elemento de B. Notação: A ⊂ B 
 
Lê-se: "A é subconjunto de B" ou "A está contido em B". 
 
Simbolicamente, temos: 
A ⊂ B ⇔(∀x, x ∈ A ⇒ x ∈ B) 
 
Exemplos: 
a) {0,1} c {0,1,2,3} 
b) {2, 3, 5} ⊂ {1,2 ,3 , ...} 
 
 
 
AC-02 
18 
c){1,2,3}⊂{1,2,3} 
 
 
d) T ⊂ M 
 
Observações: 
1) Da mesma forma que dizemos que "A está contido em B", 
podemos dizer que "B contém A" e anotamos: B ⊃ A. 
2) ⊄ "não contido" 
3) "não contém" 
 
Já vimos que os símbolos ∈ e ∉ só podem ser usados para 
relacionar elemento com conjunto; observe agora que os símbolos ⊂, 
⊃, ⊄, só podem ser usados para relacionar conjunto com conjunto. 
Assim: 
 
A ⊂ B corretos 
A ⊂ G 
 
a ⊂ A (a é subconjunto de A), é incorreto, pois está 
relacionando elemento com conjunto. O modo correto seria a ∈ A (a 
é elemento de A). 
 
4) O conjunto vazio é subconjunto de qualquer conjunto. 
5) Dado um conjunto com n elementos, o total de 
subconjuntos pode ser calculado por 2n. 
 
Exemplos: 
a) Dado o conjunto {1, 2, 3}, em que n = 3, teremos 
 23 = 2 .2 .2 = 8 subconjuntos, que são: 
{1}, {2}, {3}, {1,2}, {1,3}, {2, 3}, {1,2, 3}, ∅ 
 
b) Dado o conjunto {a, b, c, d}, em que n = 4, o total de 
subconjuntos será 24 = 2.2.2.2 = 16 
 
M 
 
 
 
T 
 
 
 
AC-02 
19 
 
2.1.3 - Operações com Conjuntos 
2.1.3.1 - Reunião (ou união) de conjuntos 
 
Dados dois conjuntos A e B, chama-se conjunto união (ou 
reunião) de A e B ao conjunto C dos elementos que pertencem a A ou 
a B. Simbolicamente: C = A ∪ B lê-se: "A união B" 
 
 
 
 
 Exemplos: 
 
a) {1,2} ∪ {3,4} = {1,2,3,4} 
b) {1,2,3} ∪ {3,2,5} = {1,2,3,5} 
c) {2,5} ∪ {2,4,5} = {2,4,5} 
d) {1,2,3} ∪ ∅ = {1,2,3} 
e) {1,2} ∪ {4,6} ∪ {3,4} = {1,2,3,4,6}. 
f) Em diagrama: 
 
Note, pelos exemplos c e d, que: 
B ⊂ A ⇒ A ∪ B = A 
 
2.1.3.2 - Interseção de conjuntos 
 
Dados dois conjuntos A e B, chama-se interseção de A e B ao 
conjunto C formado por elementos que pertençam a A e a B 
simultaneamente. Simbolicamente: C = A ∩ B lê-se: "A inter B" 
 
 
 
 
C = A ∪ B = {x ∈ A ou x ∈ B 
C = A ∩ B = {x | x ∈ A e x ∈ B} 
 
 
 
AC-02 
20 
Exemplos: 
 
a) {1,2,3}∩{2,3,4} = {2,3} 
b) {a,b,c,d}∩{a} = {a} 
c) {2,4,6}∩ {246} = ∅ 
d) {1,3,5} ∩ {2,4,6} = { } 
e) {1,2,3}∩{ } = { } 
f) Em diagrama: 
 
Note, pelos exemplos b e e, que: 
B ⊂ A ⇒ A ∩ B = B 
 
2.1.3.3 - Diferença de Conjuntos. 
 
Dados dois conjuntos A e B, chama-se diferença entre os 
conjuntos A e B (nesta ordem) ao conjunto C formado pelos 
elementos que pertençam a A e não pertençam a B. 
 
Simbolicamente: 
 
 
 
Exemplos: 
 
a) A = {a, b, f} 
 B = {b, c, d, e} 
 A - B = {a, f} 
 B - A = {c, d, e} 
b) {2,4} - {2,4,6} = { } 
c) { } - {2,4} = { } 
d) {2,4} - { } = {2,4} 
 
 
C = A - B = {x | x ∈ A e x ∉ B} 
 
 
 
AC-02 
21 
e) Em diagrama: 
 
 
2.1.3.4 - Complementar de B em A 
 
Dados dois conjuntos A e B, com a condição de B estar 
contido em A, chama-se complementar de B em relação a A ao 
conjunto A – B e escrevemos: 
 
 
 
 
Observação: 
Um conjunto U é chamado universo quando contém todos os 
outros conjuntos considerados. O complementar de um conjunto A 
qualquer em relação a U pode ser representado por A’, ou seja: 
 
A' = AUACU −= 
 
Exemplos: 
a) B = {2,4,6} e A = {1,2,3,4,5,6} 
BCA = A – B = {1,3,5} 
 
b) A = {a,b,c} e B = {a,b,c,d,e} 
B
AC não é possível, pois B ⊄ A 
A
BC = B - A = {d,e} 
 
c) U = {3,4,5,6,7,8} ; A = {3,5,6} e B = {5,8} 
 A' = {4,7,8} 
 B' = {3,4,6,7} 
 
CA B = A - B 
 
 
 
AC-02 
22 
d) Em diagrama: 
 
Os exemplos abaixo ajudarão ao leitor fixar as definições 
acima apresentadas. 
 
A = {1,2,3,4} 
B = {2,4,6,8} 
C = {1,3,4,5,7} 
 
1) A ∪ B ∪ C 
 
Solução: 
 
A∪B∪C = {1,2,3,4,6,8,5,7} = {1,2,3...,8} 
 
2) A ∩ B ∩ C 
 
 Solução: 
 
Só existe um elemento comum aos três conjuntos dados, logo 
A∩B∩C = {4} 
 
3) (A ∪ B) ∩ C 
 
Solução: 
Inicialmente fazemos A ∪ B = {1,2,3,4,6,8} 
Depois, {1,2,3,4,6,8} ∩{1,3,4,5,7} = {1,3,4} 
 
4) (A ∩ B) ∪ C 
 
Solução: 
A ∩ B = {2,4} logo, {2,4} ∪ {1,3,4,5,7} {1,2,3,4,5,7} 
 
 
 
 
AC-02 
23 
 
5) (A - B) ∩ C 
 
Solução: 
 
A - B = {1,3} logo, {1,3} ∩ {1,3,4,5,7}= {1,3} 
6) Dados os conjuntos A, B e C do diagrama abaixo, 
hachure: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2.2 - CONJUNTOS NUMÉRICOS 
2.2.1 - Conjunto dos Números Naturais: N 
É o conjunto 
 
 N = {O, 1, 2, 3, 4, 5,.... } 
 
 
 
AC-02 
24 
 
Excluindo-se zero desse conjunto, obtemos o conjunto dos 
números inteiros positivos, indicado por 
 
 
 
(*indica a exclusão do zero de um conjunto) 
 
Observe que não é sempre possível fazer operações com os 
naturais. Por exemplo: 
12 + 7 = 19 (possível: 19 ∈ N) 
 
12- 7 = 5 (possível: 5 ∈ N) 
 
7- 7 = 0 (possível: 0 ∈ N) 
 
7 - 12 = -5 (impossível, pois -5 não é natural: -5 ∉ N) 
 
Logo, a subtração (a - b) só é possível em N quando a ≥ b 
("a maior ou igual a b"), a, b ∈ N. 
 
 
2.2.2 - Conjunto dos Números Inteiros: Z 
 
 É o conjunto 
 
 
 
+Ζ
* = conjunto dos números inteiros positivos 
−Ζ
* = conjunto dos números inteiros negativos 
 
Este conjunto inclui os números inteiros positivos, 
inteiros negativos e o zero como elemento central. 
N* = {O, 1, 2, 3, 4, 5,.... } 
Z = {....-3, -2, -1, 0, 1, 2, 3,... 
...} I 
 
 
 
AC-02 
25 
 
{ }0
**
∪Ζ∪Ζ=Ζ −+Dizemos que o oposto (ou simétrico) de 2 é –2, de -5 é 5 e 
assim por diante. 
Observe que qualquer subtração é agora possível em Z mas 
nem toda divisão é ainda possivel: 
 
(+10) : (-2) = -5 (possível, -5 ∈ R) 
 
3 : 2 = 1,5 (impossível, pois, 1,5 não é inteiro: 
 1,5 ∉ Z) 
 
2.2.3 - Conjunto dos Números Racionais: Q 
 
Vamos permitir agora o aparecimento de números não inteiros 
como resultado da divisão de dois números inteiros. Por exemplo: 
(7 : 2) ∉ Z, então 7 : 2 = 
2
7
= 3,5 é um número não inteiro. 
Todos os números que podem ser obtidos da divisão (razão) 
entre 2 números inteiros são chamados números racionais e formam o 
conjunto: 
 
 
 
Observe: o número b não pode ser zero. 
 
Exemplos de números racionais: 
 
a) 4
10
 = 2,5 ∈ Q 
b) 3
18
 = 6 ∈ Q 
 
}∗∉∈



= ZbeZa
b
aQ
 
 
 
 
AC-02 
26 
c) 3
10
 = 3,333 ... ∈ Q 
 
Atenção: 
 
Vemos que representação decimal de um número racional: 
1) ou é exata (
4
7
 = 1,75) 
2) ou é periódica (
11
7
= 0,636363...) 
Quer dizer: na divisão de 2 inteiros, ou a conta termina ou 
prolonga-se repetitivamente (dízima períodica). 
 
2.2.4 - Conjunto dos Números Reais: R 
 
Existem números cuja representação decimal não é exata e 
nem periódica, não sendo, portanto, números racionais. São 
chamados irracionais. 
 
1,4142135624.. Q∉2 
 
3,1415926535...= Q∉pi 
 
Unindo o conjunto de todos esses números com o conjunto dos 
racionais, formamos o conjunto R dos números reais. 
Note que todo número natural é também inteiro, todo inteiro 
é também racional e todo racional é também real, portanto: 
 
 
 
 
RQZN ⊂⊂⊂ 
 
 
 
AC-02 
27 
2.2.5 - Reta Numérica 
 
Uma representação muito prática para o conjunto R é ada por 
uma reta (Fig. 2.3). Podemos associar cada um dos seus infinitos 
pontos a um número real e vice-versa. 
 
 
 
São importantes os seguintes subconjuntos de R: 
- Conjunto dos reais não negativos (inclui o zero) 
R+ = { }0≥∈ xRX 
 
- Conjunto dos reais estritamente positivos (não inclui o 
zero) 
{ }0* >∈=+ xRxR 
 
- Conjunto dos reais não positivos (inclui o zero) 
 
{ }0≤∈=+− xRxR 
 
- Conjunto dos reais estritamente negativos (não inclui o 
zero) 
{ }0xRxR* <∈=
−
 
 
Subconjuntos de R como esses recebem o nome de intervalos. 
 
Um intervalo chama-se fechado quando 
possui os dois números extremos. 
 
 
 
AC-02 
28 
Exemplo: 
 
O conjunto dos infinitos números reais que vão de 2 até 5, 
inclusive estes, pode ser indicado {x ∈ R | x ≥ 2 e x ≤ 5} ou 
simplesmente {x ∈ R | 2 ≤ x ≤ 5}, ou ainda [2 ; 5]. 
 
Graficamente: 
 
 
 
Exemplos: 
1 - O conjunto {x ∈ R | -3 < x < 5}, de todos os números 
reais entre -3 e 1, é um intervalo aberto, podendo ser indicado 
]-3;1[ ou mesmo (3;1). Graficamente: 
 
Podem surgir também casos como os que seguem. 
{x∈R  0 < x ≤ 6} = ]0 ; 6] 
(intervalo aberto à esquerda) 
 {x∈R  x ≥ 3} = [3 ; ∞[ 
(intervalo aberto à direita) 
 
Note ainda que: 
 
R+ = [0;∞ [ R- = ]-∞;0] 
 
*R+ = ]0;∞] *R− = ]-∞;0[ 
 
Um intervalo chama-se aberto quando 
não possui os dois números extremos. 
 
 
 
AC-02 
29 
2 - Dados os conjuntos A = {x | x ∈ R e x > 3} e 
B = {x | x ∈ R e 2 < X ≤ 6}, encontrar 
A ∪ B, A ∩ B, A - B e B - A. 
 
- Solução: 
Inicialmente, visualizemos os conjuntos A e B 
representando-os graficamente. É conveniente arrumar as retas com 
os números 
mesmas posições. 
 
 
 
Logo 
A ∪ B = {x ∈ R | x > 2} 
A ∩ B = {x ∈ R | 3 < X ≤ 6} 
A – B = {x ∈ R | X > 6} 
B - A = {x ∈ R | 2 < X ≤ 3} 
 
2.3 - MÓDULO 
2.3.1 - Definição 
Sendo x ∈ R , define-se módulo ou valor absoluto de x, que 
se indica por |x| , através da relação: 
|x| = x se x ≥ 0 
 ou 
|x| = - x se x < 0 
 
 
 
 
AC-02 
30 
Isto significa que: 
1) o módulo de um número real não negativo é igual ao 
próprio número; 
2) o módulo de um número real negativo é igual ao simétrico 
desse número. 
Assim, por exemplo, temos: 
 
|+2| = +2, |-7| = +7, |0| = 0, |-
5
3 | = + 
5
3
 
 
33,22 +=++=−
 
 
2.3.2 - Propriedades 
Decorrem da definição as seguintes propriedades: 
 
I |x| ≥ 0, ∀x ∈ R 
II |x| = 0, ⇔ x = 0 
III |x| . |y| = |xy| 
IV |x|2 = x2, ∀x ∈ R 
V |x + y| ≤ |x| + |y| 
VI |x| ≤ a e a > 0 ⇔ -a ≤ x ≤ a 
VII |x| ≥ a e a > 0 ⇔ x ≤ -a ou x ≥ a 
 
2.4 - POTÊNCIA DE EXPOENTE REAL 
Sendo a um número real positivo, pode-se determinar para 
cada número b ∈ R (racional ou irracional) um único número ab, que 
denominamos potência de base a e expoente b de modo que se 
verifiquem as propriedades: 
 
P1 ab.ac = ab+c ; c ∈ R 
 
P2 (a.b)c = ac.bc ; b > 0 e c ∈ R 
 
P3 (ab)c = abc ; c ∈ R 
 
 
 
AC-02 
31 
 
P4 c
b
a
a
 = ab-c ; c ∈ R 
 
P5 RCe0b;b
a)
b
a(
c
c
c ∈>=
 
 
Observações: Dados a ∈ R+, b e c números reais, temos: 
1) a > 0 ⇒ ab > 0 (sempre) 
2) b > c ⇔ ab > ac para a > 1 
3) b > c ⇔ ab < ac para 0 < a < 1 
 
Exemplos: 
 
1) 21,5 = 21 . 20,5 ≅ 2,000.1,414 = 2,828 
20,80 ≅ 1,741 
2pi ≅ 8,825 
 
 2) 4 < 7 ⇒ 24 < 27 e 74 )
2
1()
2
1( >
 
 
7,227/22
3232
)
5
1()
5
1(e55
7
22
)
3
1()
3
1(e3332
><⇒<pi
><⇒<
pipi
 
 
2.5 - LOGARITMOS 
2.5.1 - Definição 
 
Dá-se o nome de logaritmo a todo expoente cuja base é 
positiva e diferente de um. 
Exemplos: 
a) 23 = 8 ⇔ 3 é igual a logaritmo na base 2 do número 8 
 
 
 
AC-02 
32 
b) ⇔=
16
1)
2
1( 4 4 é igual a logaritmo na base 1/2 do número 
1/16 
c) ⇔=−
9
13 2 -2 é igual a logaritmo na base 3 do número 
1/9 
 onde 0 < a ≠ 1 
 b > 0 
 
Nomenclatura: 
1) c é logaritmo 
2) a é a base 
3) b é o logaritmando 
 
Exemplos: 
1) Calcular, pela definição, 813log 
Solução: 
 
81
3log = c ⇒ 3
c
 = 81 ⇒ 3c = 34 ⇒ c = 4 
 
2) Calcular a pela definição: 81log a = 4 
Solução: 
 
81log a = 4 e a > 0, a ≠ 1 
então a4 = 81 ⇒ a = 
4 44 381 ±=±
 
 a = ± 3 ⇒ a = 3 
 a = - 3 (não convém) 
 
3) Calcular, pela definição, o valor do logaritmando : 
xlog2 = 3 
Solução: 
xlog2 = 3 ⇒ 2
3
 = x ⇒ x = 8 
C = logab⇒ ac = b 
 
 
 
AC-02 
33 
4) Calcular log2 3 64 
 
Solução: 
log2 3 64 = x ⇒ 2x = 3
1
64 ⇒ 2x = 3
1
62 )( ⇒ 2x = 22 ⇒ 
⇒ x = 2 
 
Como conseqüências imediatas da definição, vem que sendo 
0 < a ≠ 1, b > 0, c > 0 e α ∈ R, valem as propriedades: 
1) ba
bloga
=
 
2) loga 1 = 0 
3) loga a = 1 
4) b = c ⇔ loga b = loga c 
5) α=αaloga 
 
Exemplos: 
a) 52
5log2
=
 
b) log5 1 = 0 (o logaritmo de 1 é sempre zero) 
c) log5 5 = 1 
d) log5 x = log5 2 ⇔ x = 2 
e) log5 52 = 2 
 
2.5.2 - Propriedades dos Logaritmos 
 
1a. propriedade: logaritmo do produto 
 
 
desde que 0 < a ≠ 1 e b1 ,b2,b3,..... bn > 0 
 
2a. propriedade: logaritmo do quociente 
 
 
 
desde que 0 < a ≠ 1 e b, c > 0 
c
a
b
aa loglog)
c
b(log −=
 
loga (b1 . b2 ... bn) = loga b1 + loga b2 + … + loga bn 
 
 
 
AC-02 
34 
 
3a. propriedade: logaritmo da potência 
 
 
 
desde que 0 < a ≠ 1 e b
 
> 0 e α ∈ R 
 
Conseqüências: 
1a.)
b
log
b
loglog
a
a
b
a
11
1=−= 
2a) blog.
n
1
blogblog a
n/1
a
n
a ==
 
 
Exemplos: 
 
1) Calcular log3(9.27) 
 
Solução: 
Pela 1a. propriedade, 
log3 log(9.27) =log39 + log327 = 2 + 3 = 5 
 
2) Calcular )(log
64
8
2 
 
Solução: 
Pela 2a. propriedade, )(log
64
8
2 = log2
8
 - log264 = 3 – 6 = -3 
 
3) Calcular log3(815) 
 
Solução: 
 
Pela 3a propriedade log3(815) = 5 log381 = 5 . 4 = 20 
 
4) Calcular log 5 37 7 
 
b
a
b
a log.log α=
α
 
 
 
 
AC-02 
35 
Solução: 
 log 5 37 7 = log7 7
3/5
 = 
5
3
.log77 = 5
3
.1 = 
5
3
 
 
4a propriedade: mudança de base 
Se a, b, c são números reais e positivos, sendo a ≠ 1 e c ≠ 
1 então: 
logab = logac . logcb 
 
 que também pode ser escrito: 
 
 
 
 
Conseqüência: 
b
a
b
a
log
log
1
= , b ≠ 1 
Exemplos: 
1) Passar o log416 para a base 2. 
log416 = 4
16
2
2
log
log
 
2) 
2
1
2
33
33
3
2 loglog
log
log == 
 
Observações: Dados a ∈ 
+
*
R - {1}, b e c números reais 
positivos, 
 
1) b > c ⇔ 1aseloglog ca
b
a >>
 
 
 b > 1 ⇒ 0log1loglog 1 >>> baa
b
a ase 
 
 0 < b < 1 ⇒ 0logloglog ba
1
a
b
a <⇒< 
 
2) b > c ⇔ 10loglog <<< aseca
b
a 
alog
blog
blog
c
c
a =
 
 
 
 
AC-02 
36 
 
 b > 1 ⇒ 1a0se0logloglog ba
1
a
b
a ≠<<⇒< 
 
 0 < b < 1 ⇒ 0logloglog 1a
1
a
b
a >⇒> 
 
Exemplos: 
1) 7 > 5 ⇒ 5 2/1
7
2/1
5
2
7
2 loglogloglog <> e 
2) 2 < 3 ⇒ 3 5/12 2/13525 loglogeloglog >< 
3) 2x0loglog 2 5,0x5,0 <<⇒> 
4) 2xloglog
2
5
x
5 >⇒> 
5) 0loge0log 10 2/1102 <> 
 
2.5.3 - Logaritmos Especiais 
Os logaritmos dos números reais positivos de base 
denominam-se logaritmos decimais ou de Briggs. Indica-se logaritmo 
de b > O na base 10 pelo símbolo: 
log b 
Os logaritmos dos números reais positivos de base e 
denominam-se logaritmos neperianos. Indica-se o logaritmo de b > 0 
na base e pelo símbolo: 
ln b 
Obs: e ≅ 2,7183 é um importante número irracional, 
conhecido por número de Euler. 
 
 
 
AC-02 
37 
3 - NOÇÕES BÁSICAS (III) 
 
3.1 - GEOMETRIA 
 
Como a geometria abordada neste capítulo limita-se a 
conceitos, definições e resultados vistos, apresentaremos o 
assunto da maneira mais breve e direta possível. 
 
3.1.1 - Geometria Plana 
 
3.1.1.1 - Ângulo 
 
Traçando num plano duas semi-retas de mesma origem, 
dividimo-lo em duas regiões, que recebem o nome de ângulos. 
 
O ângulo I diz-se convexo, o ângulo II côncavo. As 
semi-retas formam os lados do ângulo e sua origem é o vértice do 
ângulo. 
Os ângulos convexos recebem nomes especiais conforme sua 
abertura. 
 
 
Note que dois ângulos retos consecutivos formam um raso e 
dois rasos consecutivos formam um ângulo de uma volta. 
 
Em relação a uma circunferência, um ângulo pode ocupar duas 
posições principais: ângulo central e ângulo inscrito, conforme o 
vértice esteja, respectivamente, no centro ou na circunferência. 
 
 
 
AC-02 
38 
 
Para medir ângulos usamos as mesmas unidades empregadas na 
medida de arcos, assim: 
 
ângulo central → mesma medida do arco subtendido 
ângulo inscrito → metade da medida do arco subtendido 
 
3.1.1.2 - Outras Definições Importantes 
 
1ª) Duas retas no mesmo plano podem ser: 
 
 
2a) Bissetriz é a semi-reta que eqüiparte um ângulo. Os 
ângulos resultantes são, portanto, congruentes (mesma medida). 
 
 
3a) Ângulos opostos pelo vértice (o.p.v.) são aqueles 
formados por duas retas concorrentes. Ângulos o.p.v. são sempre 
congruentes. 
 
 
 
 
 
AC-02 
39 
4a) Se duas retas concorrentes formam ângulos retos, elas 
se dizem perpendiculares (r ⊥ s), caso contrário dizem-se 
oblíquas. 
 
 
5a) Mediatriz de um segmento de reta é a reta perpendicular 
a ele por seu ponto médio. Propriedade da mediatriz: os seus 
pontos eqüidistam dos extremos do segmento. 
 
 
6a) Dois arcos (ou dois ângulos) dizem-se: 
 
a) complementares quando a soma é 90°. 
Exemplos: 20o é o complemento de 70o. 
 
b) suplementares quando sua soma é 180°. 
Exemplos: 140o é o suplemento de 40o. 
 
c) replementares quando sua soma é 360°. 
Exemplos: 160° é o replemento de 200°. 
 
7a) Em relação a uma circunferência, uma reta pode ocupar 
três posições: externa, tangente ou secante (respectivamente se 
não intercepta a circunferência ou intercepta em um ou dois 
pontos). 
 
 
 
AC-02 
40 
 
 
- Propriedades da reta tangente: ela é perpendicular ao 
raio que passa pelo ponto de tangência. 
 
3.1.1.3 - Triângulos 
Classificação quanto aos lados: 
- Eqüilátero: os 3 lados iguais; 
- Isósceles: 2 lados iguais; e 
- Escaleno: os 3 lados desiguais. 
 
 
Classificação quanto aos ângulos: 
- Acutângulo: os 3 lados agudos (menores que 90°); 
- Obtusângulo: um ângulo obtuso (maior que 90°); e 
- Retângulo: um ângulo reto (90°) 
 
 
- Altura (relativa a um lado) 
É o segmento perpendicular a esse lado (ou a seu 
prolongamento) que o une ao vértice oposto. 
 
 
 
AC-02 
41 
 
As três alturas de um triângulo interceptam-se num mesmo 
ponto, chamado ortocentro do triângulo. 
 
- Mediana (relativa a um lado) 
É o segmento que une o ponto médio desse lado ao vértice 
oposto. 
As três medianas encontram-se no ponto chamado baricentro. 
 
 
- Incentro 
É o ponto de interseção das bissetrizes dos ângulos 
internos. 
Propriedade do incentro: é o centro da circunferência 
inscrita no triângulo. 
 
- Circuncentro 
É o ponto de interseção das mediatrizes dos lados do 
triângulo 
 
 
 
 
AC-02 
42 
Propriedade do circuncentro: é o centro da circunferência 
circunscrita ao triângulo. 
- Lei Angular de Tales 
 
 
- Semelhança de Triângulos 
Dois triângulos são semelhantes (~) quando seus lados 
homólogos (correspondentes) são proporcionais. 
 
Assim, k,
c
c
,
b
b
,
a
a
=== (k chama-se razão de semelhança). 
 
- Propriedade 
Dois triângulos semelhantes têm os ângulos correspondentes 
congruentes e, reciprocamente, se dois triângulos têm os ângulos 
respectivamente congruentes, eles são semelhantes. 
 
 
3.1.1.4 - Teorema das Paralelas (ou de Tales) 
Um feixe de retas paralelas determina sobre duas retas 
transversais, duas séries de segmentos respectivamente 
proporcionais. 
 
 
 
"A Soma dos três ângulos internos de um triângulo é 
sempre igual a dois retos (180o) 
∆ ABC ~ ∆ A'B'C' ⇔ A = A', B = B', C 
 
 
 
 
AC-02 
43 
Exemplos: 
 
 
 
- Relações Métricas no Triângulo Retângulo 
Ao lado maior de um triângulo retângulo damos o nome de 
hipotenusa; aos outros dois catetos. 
 
A mais importante relação métrica é a de Pitágoras: 
 
 
Assim, 
 
Na figura abaixo, h é a altura relativa à hipotenusa a e a 
divide nos segmentos m e n. 
 
Para todos estes segmentos as seguintes relações são 
válidas: 
 
"O quadrado da hipotenusa é igual à soma dos 
quadrados dos catetos”. 
a2 = b2 + c2 
h2 = mn 
b2 = na 
c2 = am 
bc = ah 
 
 
 
AC-02 
44 
Exemplos: 
 
1. No triângulo da figura, quanto vale x? 
 
Solução: 
Trata-se de um triângulo retângulo onde a 
hipotenusa mede 13. Logo, pela relação de Pitágoras: 
132 = 122 + x2 ⇒ 169 = 144 + x2 ⇒ x2 = 169 – 144 ⇒ 
⇒ x2 = 25 ⇒ x = 525 ±=± 
Por tratar-se de um problema geométrico, desprezamos o resultado 
negativo. Logo, x = 5. 
 
2. Qual é a altura de um triângulo eqüilátero (lado l)? 
 
Solução: 
A altura divide o triângulo em dois triângulos 
retângulos congruentes, nos quais podemos aplicar a 
relação de Pitágoras: 
⇒±⇒±=⇒−⇒
⇒−=⇒==⇒+=2
3
4
3
4
3
442
22
2
2
222
2
2222
l
ll
l
l
l
l
l
l
hh
hhh)(
 
 
3. Qual é a diagonal de um quadrado (lado l)? 
 
Solução: Por Pitágoras vem: 
d2= l 2 + l 2 ⇒ d2 = 2 l 2 ⇒ d = 22l± = ± ⇒2l 
 
 
3.1.1.5 - Área dos Principais Polígonos 
 
- Paralelogramo: é um quadrilátero com os lados opostos paralelos. 
 
d = 2l 
2
3l
=h
 
 
 
 
AC-02 
45 
A = 
2
h).bB( +
 
A = 
2
d.D
 
- Retângulo: é um paralelogramo com todos os ângulos retos. 
 
- Quadrado: é um retângulo com todos os lados congruentes. 
 
- Triângulo: sua área é a metade da de um paralelogramo. 
 
- Trapézio: é um quadrilátero com apenas 
dois lados paralelos. Também equivale à metade de um 
paralelogramo. 
 
 
 
 B → base maior 
 b → base menor 
 
- Losango: é um paralelogramo com todos os lados congruentes. Suas 
duas diagonais são perpendiculares entre si. 
 
 
 
 D → diagonal maior 
 b → diagonal menor 
 
Polígonos Regulares: têm todos os lados e todos os ângulos 
respectivamente congruentes, sendo inscritíveis em 
circunferências. 
 
Apótema (m) é a distância do lado ao 
centro do polígono regular. 
 
 
 
 
 
AC-02 
46 
Chamando de p à metade do perímetro (semi-perímetro) do 
polígono regular, sua área é dada por: 
 
 
Exemplos: 
 
1. Qual o lado do quadrado de área 81 m2? 
 
Solução: A = l 2 ⇒ 81 = l 2 ⇒ 81=l = 9 m 
 
2. Um retângulo tem um lado medindo 4 cm e a diagonal 5 cm. 
Calcule sua área. 
 
Solução: 
Por Pitágoras, 52 = 42 + h2 = h = 3 
 A = b . h = 4 . 3 = 12 cm2 
 
3. Qual a área do paralelogramo de base 7 dm e altura 3 dm? 
 
Solução: A = b . h = 7 . 3 = 21 dm2 
 
4. Calcule a área do triângulo da figura ao lado. 
 
Solução: 248
2
128
212
8
km
.h.b
A
kmh
kmb
===⇒


=
=
 
 
5. Um trapézio de área 28 cm2 tem uma base medindo 6 cm e a altura 
40 mm. Calcule a outra base. 
 
Solução: 
 
 
 
 
 
 
A = p.m 
cmbbbb
bbhbBA
81622122821228
2)6(28
2
4)6(28
2
)(
=⇒=⇒=−⇒+=
⇒+=⇒
+
=⇒
+
=
⇒





=
==
=
?b
cmmmh
cmB
440
6
 
 
 
AC-02 
47 
6. Calcule a área do losango com diagonais medindo 12 dm e 10 dm. 
Solução: 260
2
1012
2
dm
.d.D
A === 
 
7. Calcule a área da região hachurada: 
 
Solução: 
No quadrado – A = l 2 = 42 = 16 m2 
No círculo – A = r2pi = 22pi = 4pi m2 
Logo, a área procurada é 16 - 4pi = 3,44 m2 
 
8. Qual a área do triângulo eqüilátero de lado l ? 
 
Solução: 
A altura do triângulo eqüilátero é dada por 
2
3l
=h . 
Logo sua área será: 
4
3
2
2
3
2
2
l
l
l
===
h.b
A 
 
3.1.2 - Geometria Espacial 
Se raciocinarmos espacialmente, podemos imaginar, "soltas" 
no espaço, uma infinidade de figuras geométricas tais como as 
representadas a seguir 
 
 
 
 
AC-02 
48 
 
Observe o leitor que: 
 
1a) Dizer que uma reta r passa por um ponto P 
equivale a dizer que esse ponto P pertence à 
reta r. 
 
2a) Dizer que um plano α passa por uma reta r 
equivale a dizer que a reta r está contida no 
plano α. 
 
3a) Dizer que uma reta r fura um plano α 
equivale a dizer que entre eles há apenas um 
ponto em comum. 
 
Sabemos que, num plano, duas retas distintas ou são 
concorrentes ou são paralelas mas, no espaço, ocorre a situação em 
que duas retas nem se encontram nem são paralelas, como é o caso 
das retas indicadas na figura a seguir. 
 
 
 
Se duas retas são reversas não existe um plano que passe 
pelas duas. Ou seja, nenhum plano contém simultaneamente duas 
retas reversas. 
Se considerarmos uma reta e um plano no espaço, veremos que 
há três situações possíveis, conforme a seguir. 
 
Duas retas distintas dizem-se reversas quando não são 
nem concorrentes nem paralelas. 
 
 
 
AC-02 
49 
 
 
1a) Uma reta e um plano são paralelos, isto é, não tem nenhum ponto 
comum ( φ=α∩⇔α r//r ). 
 
2a) Uma reta fura o plano, isto é, entre ela e o plano há em comum 
um e apenas um ponto. Esse ponto é a interseção da reta com o 
plano, ou furo (ou traço) da reta no plano ( }P{r =α∩ ). 
 
3a) A reta está contida no plano ( rrr =α∩⇔α⊂ ). 
 
No caso de considerarmos dois planos no espaço há duas 
situações possíveis. 
 
1a) Dois planos são paralelos, isto é, não se encontram ou não têm 
nenhum ponto em comum ( βα⇔φ=β∩α // ). 
Quando dois planos são coincidentes também os consideramos 
paralelos ( βα⇔β≡α // ). 
 
2a) Dois planos são secantes, isto é, não são paralelos. 
Entre dois planos secantes há em comum uma e apenas uma 
reta. 
Agora, no caso de considerarmos três planos secantes dois a 
dois, é fácil perceber que eles têm três retas por interseção e 
que há duas situações possíveis: as três interseções são paralelas 
entre si ou são concorrentes num único ponto: 
 
 
 
 
AC-02 
50 
 
 
Ainda é interessante perceber que: 
1a) Se uma reta é perpendicular a um plano ela é perpendicular a 
duas retas concorrentes desse plano. Na verdade ela será 
perpendicular também a todas as outras infinitas retas do plano 
que passam pelo ponto de interseção. 
 
 
2a) Um plano é perpendicular a outro se passar por uma reta 
perpendicular ao outro. Em símbolos: 
 
3a) Duas retas reversas dizem-se ortogonais se uma paralela a uma 
delas for perpendicular à outra. 
Por exemplo, as retas r e s que 
passam pelas arestas do cubo da figura são 
ortogonais. Com efeito, a reta t é paralela 
as s e perpendicular r. Indica-se: r ⊥ s. 
Outro exemplo: seja r ⊥ α. 
Qualquer reta s do plano α que não passe 
pelo traço P de r em α é ortogonal a r: 
 
 
 
AC-02 
51 
conduzindo uma reta t // s por P vemos que t ⊥ r 
Dentre os mais variados tipos de sólidos imagináveis, vamo-
nos deter a dois casos particulares: 
 
1o) Paralelepípedo retângulo 
É limitado por seis retângulos, 
dois a dois paralelos e congruentes. 
 
O volume é dado pelo produto de suas três dimensões 
(comprimento, largura e altura): 
 
A área de sua superfície externa (área total) é a área dos 
seis retângulos: 
At= ab + ab + bc + bc + ac + ac = 2ab + 2bc + 2ac 
 
 
2o) Cubo 
É um paralelepípedo retângulo, mas 
formado por seis quadrados iguais. 
Logo, tem iguais todas as arestas. 
V = a . a . a ⇒ 
 
A área dos seis quadrados é a área total: 
 
 
Exemplo: Qual o volume do paralelepípedo retângulo cuja diagonal 
mede 7 cm e duas de suas dimensões medem respectivamente 2 cm e 
3 cm? 
 
Solução: Esboçando uma figura e nela marcando 
os dados do problema, vemos que é necessária 
a medida x para calcular o volume. Mas 
podemos, anteriormente, por Pitágoras, 
calcular a medida y (diagonal de uma das faces): 
Vcubo = a3 
VParalelepípedo = a b c 
At = 2(ab + bc + ac) 
At = 6a2 
 
 
 
AC-02 
52 
y2 = 22 + 32 ⇒ y2 = 13 ⇒ y = 13 
Usando Pitágoras, novamente, no triângulo maior (pois 
também é retângulo) obtemos: 
72 = ( 13 )2 + x2 ⇒ 49 = 13 + x2 ⇒ x2 = 36 ⇒ x = 6 
Logo, o volume será: V = 2 .3 . 6 = 36 cm3 
 
3.2 - TRIGONOMETRIA 
 
3.2.1 - Trigonometria no Triângulo Retângulo 
 
Num triângulo retângulo, se dividimos 
a medida de um cateto pela medida da 
hipotenusa obtemos sempre um número menor que 
um, pois qualquer cateto é sempre menor que a 
hipotenusa. 
 
 
Assim, senos e cossenos de ângulos agudos são números 
compreendidos entre O e 1. 
No triângulo da figura anterior, o seno, o cosseno e a 
tangente doângulo α seriam, respectivamente: 
sen α = 
a
c
 cos α = 
a
b
 tg α = 
b
c
 
Por outro lado, o seno, o cosseno e a tangente do ângulo β, 
seriam: 
sen β = 
a
b
 cos β = 
a
c
 tg β = 
c
b
 
 
 
seno de um ângulo agudo = 
hipotenusa
opostocateto
 
 
cosseno de um ângulo agudo = 
hipotenusa
adjacentecateto
 
 
tangente de um ângulo agudo = 
adjacentecateto
opostocateto
 
 
 
 
AC-02 
53 
Podemos notar que: 
1o) sen α = cos β = 
a
c
 
cos α = sen β = 
a
b
 
 
Por outro lado, sabemos que os ângulos agudos de um 
triângulo retângulo são complementares, isto é, α + β = 90o. 
 
Logo: 
 
 
Abreviadamente: 
 e 
 
2o) 
α
α
=α⇒==α
cos
sen
tg
a
b
a
c
b
c
tg 
Analogamente, β
β
=β
cos
sen
tg 
 
Vimos que seno e cosseno de um ângulo agudo são dois 
números positivos menores que um. Dividindo agora um pelo outro, o 
resultado poderá ser um número menor, igual ou até maior que um, 
dependendo apenas do primeiro ser menor, igual ou maior que o 
segundo, respectivamente. 
Na mesma figura, podemos agora escrever: 
c
b
tg =β 
 
Exemplos: 
 
1. No triângulo ao lado temos, 
sen α = cos (90o - α) 
O cosseno de um ângulo é igual ao seno do seu complemento 
(donde o nome cosseno) e, reciprocamente, o seno é igual 
ao cosseno do complemento. 
cos α = sen (90o - α) 
 
 
 
AC-02 
54 
em relação a Bˆ: 






=
=
5
3
5
4
^
^
Bcos
Bsen
 ⇒ 
3
4
5
3
5
4
==
^
Btg 
em relação a 
^
C: 






=
=
5
4
5
3
^
^
Ccos
Csen
 ⇒ 
4
3
5
4
5
3
==
^
Ctg 
 
2. Calcule o valor de sen(60o)e sen(30o). 
 
Solução: Recorremos a um triângulo.eqüilátero 
(lado l) pois seus três ângulos internos têm 
60°.Como a sua altura é dada por h = 
2
3l
 
2
3602
3
60 =°⇒==° )(senh)(sen
l
l
l
 
2
1)30cos(2)30cos( =°⇒=°
l
l
 
 
3. Calcule o valor de sen(45o). 
 
Solução: Recorremos um quadrado (lado l), pois a 
diagonal forma 45o com o lado. Como a diagonal de um 
quadrado é dada por d = 2l 
2
2)45(
2
1
2
)45( =° →=== sen
d
sen andoracionalizo
l
ll
 
 
 
4. Calcule o valor do cos(30o), cós(45°) e cos(60°). 
 
Solução: Tomando o complemento dos arcos dados, vemos que: 
2
36030 =°=° )(sen)cos( 
2
24545 =°=° )(sen)cos( 
 
 
 
AC-02 
55 
2
13060 =°=° )(sen)cos( 
 
5. Calcule tg(30°), tg(45°) e tg(60°). 
 
Solução: 
3
3
2
3
2
1
30
3030 ==
°
°
=°
)cos(
)(sen)(tg 
1
2
2
2
2
45
4545 ==
°
°
=°
)cos(
)(sen)(tg 
3
2
1
2
3
60
6060 ==
°
°
=°
)cos(
)(sen)(tg 
3.2.2 - Radiano 
É uma unidade muito utilizada em trigonometria. 
 
 
 
Logo, a circunferência toda tem 2pi radianos (pois é 2pi 
vezes maior que o raio), e meia circunferência tem pi radianos. 
Em outras palavras, em uma circunferência cabem cerca de 
6,28 radianos, assim como cabem 360 graus. 
Correspondência entre radiano e grau: 
 
 
Radiano é um arco de comprimento igual ao do raio da sua 
circunferência. 
2pi rad = 360o 
pi rad = 180o 
2
pi
rad = 90o 
 
 
 
AC-02 
56 
Vimos que 90° = 
2
pi
 rad e podemos ver facilmente que 45o = 
4
pi
 
rad ou que 270o = 
2
3pi
 rad. 
Para converter qualquer medida de uma unidade para outra 
basta utilizar a seguinte proporção: 
 
ou a equivalente regra prática: 
 
 
Exemplos: 
a) rad.o
3180
6060 pi=pi= ; e 
b) °=
pi
pi
=
pi 270180
2
3
2
3
rad 
 
Neste ponto da teoria, o leitor já está em condições de 
entender e decorar a seguinte tabela: 
 
 
6
pi
 (30°) 
4
pi
 (45°) 
3
pi
 (60°) 
Seno 2
1
 2
2
 2
3
 
Cosseno 2
3
 2
2
 2
1
 
Tangente 3
3
 
1 3 
 
3.2.3 - Circunferência Trigonométrica 
Estudamos até aqui relações trigonométricas só para os 
ângulos agudos. Para um estudo mais generalizado da trigonometria 
devemos, inicialmente, substituir a noção de ângulo pela noção 
correspondente de arco. 
pi
=
radianosemmedidagrausemmedida
180
 
de grau para radiano: 
multiplicar por pi e dividir por 180 
 
de radiano para grau: 
multiplicar por 180 e dividir por pi. 
 
 
 
AC-02 
57 
Uma circunferência pode ser orientada 
em dois sentidos: horário (o mesmo dos 
ponteiros do relógio) ou anti-horário. Em 
trigonometria adota-se como sentido positivo o 
sentido anti-horário. 
Assim, na circunferência da figura, 
podemos considerar quatro arcos orientados, pelo menos: 
1o) um arco AB positivo, se formos de A para B no sentido anti-
horário; 
2o) um arco. AB negativo, se formos de A para B no sentido horário; 
3o) um arco BA positivo, se formos de B para A no sentido 
anti-horário; 
4o) um arco BA negativo, se formos de B para A no sentido horário. 
 
Ciclo trigonométrico: é uma 
circunferência orientada possuindo: 
1o) raio unitário; 
2o) centro na origem (O) de um sistema de 
coordenadas cartesianas; 
3o) um ponto A, de coordenadas (1,0) 
chamado origem dos arcos. 
 
Os eixos coordenados marcam no 
ciclo os pontos A, B, A' e B', que o 
dividem em quatro quadrantes, indicados por 
I, II, III, IV. 
Observações: 
1o) Todas as medidas de arcos são feitas a partir do ponto A. 
2o) Se for feita do sentido horário, a medida será negativa. 
 
Exemplos: 
a) O arco que vai de A até B no sentido anti-horário mede 
2
pi
 rad (ou 90o). 
b) O arco que vai de A até B' no sentido anti-horário mede 
2
3pi
 rad (ou 270o). 
 
 
 
AC-02 
58 
c) O arco que vai de A até B' no sentido horário mede 
2
pi
− rad (ou -90o ). 
d) O arco que sai de A, dá uma volta no sentido anti-
horário e continua até o ponto B, mede 
2
5pi
 rad (450°). 
e) O arco que sai de A, dá uma volta no sentido horário e 
continua até o ponto B, mede -
2
7pi
 rad (ou –630o). 
3.2.4 - Arcos Côngruos 
São arcos que têm a mesma origem e a mesma extremidade. 
 
Exemplos: 
 
a) Dois arcos medindo 30° e 390° são côngruos, pois ambos 
começam em A e terminam em M. 
 
b) dois arcos medindo 300o e –60o. 
c) Dois arcos medindo 
2
5pi
 rad e 
2
pi
 rad. 
 
Um arco qualquer tem infinitos outros côngruos com ele. 
Voltando ao primeiro exemplo teríamos: 
...≡ -690o ≡ -330o ≡ 30o ≡ 390o ≡ 750o ≡ 1110o ≡ ... 
 
Mas na Trigonometria, dado um arco AM, interessa-nos 
somente a posição dos pontos A e M. Todos os arcos acima não 
passam de diferentes determinações de um mesmo arco 
trigonométrico, o arco AM da figura. Logo, basta saber a menor 
 
 
 
AC-02 
59 
determinação positiva (m.d.p.} do arco para que ele esteja bem 
determinado. 
De arco trigonométrico devemos ter uma noção geral: é o 
conjunto de todos os arcos côngruos entre si. 
 
 
Podemos indicar todas as medidas de um arco trigonométrico 
AM assim: 
 e 
 x → m.d.p do arco AM 
 K ∈ Z 
 
Quer dizer: colocando números inteiros no lugar de k vamos 
simplesmente alterando o número de voltas e obtendo arcos côngruos 
com x, sem alterar a posição do ponto M. 
Existe um processo prático para encontrar a menor 
determinação positiva, dada a seguir: 
 
I) Sendo o arco positivo e medido em graus: efetue a divisão 
aproximada de sua medida por 360° (sem suprimir zeros!) e tome o 
resto. 
Exemplo: 
 
1000º→ 1000 |360º → 280º é a m.d.p. de 1000º 
 280 2 
 
II) Sendo o arco positivo e medido em radianos: dividaa medida do 
arco por 2pi, extraia os inteiros da fração obtida e subtraia-os; a 
seguir multiplique de novo por 2pi. 
 
Exemplo: 
 
rad..rad
3
52
6
5
6
5
6
52
6
17
2
1
3
17
3
17 pi
=pi→→==
pi
pi
→
pi
 
 
o
.kxAM 360+=
∩
 
pikxAM 2+=
∩
 
 
 
 
AC-02 
60 
III) Sendo o arco negativo: desprezando o sinal, faça como nos 
dois primeiros casos, conforme seja grau ou radiano; então calcule 
o replemento do resultado obtido. 
 
Exemplos: 
1o) -1210° → -1210° |360° → calculando o replemento: 
 130 3 
360° - 130° = 230° 
 
2o) - rad..rad
3
22
3
1
3
1
3
11
3
4
2
1
3
8
3
8 pi
=pi→→==
pi
pi
→
pi
 
calculando o replemento: rad
3
4
3
22 pi=pi−pi 
 
Para saber O quadrante de um arco basta examinar a sua 
menor determinação positiva. Exemplo: 1000º tem por mdp 280º, que 
está no IV quadrante. Logo 1000º é um arco do IV quadrante. 
 
3.2.5 - Relações Trigonométricas 
Ao ciclo trigonométrico vamos associar os seguintes eixos: 
 
Ao ciclo trigonométrico são associados quatro eixos para o 
estudo das funções trigonométricas: 
1o) eixo dos cossenos (a) 
 direção: 
_
OA 
 sentido positivo: O → A 
 segmento unitário: |OA| = 1 
 
2O) eixo dos senos (b) 
 direção: ⊥ a, por 0 
 sentido positivo: de O → B sendo B tal que 
∩
AM = pi/2 
 segmento unitário: |OB| = 1 
3O) eixo das tangentes (c) 
 direção: paralelo a b por A 
 sentido positivo: o mesmo de b. 
 
 
 
AC-02 
61 
 
4o) eixo das cotangentes (d) 
 direção: paralelo a por B 
 sentido positivo: o mesmo de a. 
Sobre estes eixos definimos as seis funções 
trigonométricas, dado um arco a 
2
pik
≠ . 
 
OC)asec(cos
OS)asec(
BD)a(gcot
AT)a(tg
OM)acos(
OM)a(sen
=
=
=
=
=
=
2
1
 
 
 
A variação de sinais dessas seis funções conforme o 
quadrante ao qual a pertença é dada na tabela a seguir: 
 I II III IV 
sen + + - - 
cos + - - + 
tg + - + - 
cotg + - + - 
sec + - - + 
cossec + + - - 
 
As seguintes relações trigonométricas são válidas: 
 
pi
pi
kxpara
xcos
xsen
xtg)R( +≠=
2
1 
pikxpara
xsen
xcos
xtg
xgcot)R( ≠== 12 
pi+
pi
≠= kxpara
xcos
xsec)R(
2
13
pikxpara
xsen
xseccos)R( ≠= 14 
pi
pi
kxparaxtgxsec)R( +≠+=
2
15 22 
 
 
 
AC-02 
62 
pi≠+= kxparaxgcotxseccos)R( 22 16 
 
E ainda a Relação Fundamental (RFT): 
 
Desta forma, 
 ou 
(RFT1) (RFT2) 
 
Observe que: 
1O) seno e cosseno são definidos para qualquer arco; 
2O) tangente e secante não são definidos para 90°, 270° e seus 
côngruos; 
3O) cotangente e cossecante não são definidas para 0°, 180° e seus 
côngruos; 
4O) 
 
 
Exemplos: 
 
1. a) se o 
5
2
−=senx , então a cossec x = 
2
5
− . 
 b) se o 
4
1
=xcos , então a 4=xsec . 
 c) se o 5−=tgx , então a cotg x = -
5
1
. 
 
2. Dada a 
2
,2sec pi<= xx , calcule as outras cinco funções 
trigonométricas do arco x. 
 
Solução: O valor da secante é o inverso do cosseno e vice-versa, 
logo: 
1°) 
2
1
xsec
1
xcos == 
Seno ← inverso de → cossecante 
Cosseno ← inverso de → secante 
Tangente ← inverso de → cotangente 
cos2x = 1 - sen2x sen2x = 1 - cos2x 
sen2x + cos2x = 1 
 
 
 
AC-02 
63 
2°) ⇒=−=





−=−=
4
3
4
1
1
2
1
1xcos1xsen
2
22
 
 
2
3
senx
2
3
senx
Iquadr
= →±=⇒ 
3°)  →=== andoracionaliz
3
2
2
3
1
senx
1
xseccos cossec x = 
3
32
 
4°) 3
2
1
2
3
===
xcos
senx
tgx 
5°) 
3
3
3
11
===
tgx
gxcot 
 
3. Simplificar a expressão: 
xsen.xgcot
xsen21 −
 
 
Solução: Parra isso, vamos substituir as relações RFT2 e R2 na 
expressão: 
xcos
xcos
xcos
senx
senx
xcos
xcos
senx.gxcot
xsen
===
−
2221
 
 
4. Demonstrar a identidade: 
cos x . sec x – tg x . sen x . cos x = (1 + sen x) (1 - sen x) 
 
Solução: Demonstrar uma identidade é demonstrar que a igualdade é 
verdadeira para qualquer valor da variável, para o qual as funções 
expressas se definem. Podemos para isso empregar relações ou 
identidades anteriormente demonstradas. Neste exercício aplicamos 
R3 e R1 no primeiro membro, e um produto notável no segundo: 
⇒−=− xsenxcos.senx.
xcos
senx
xcos
.xcos 2211 
xsenxsen 22 11 −=−⇒ 
 
5. Sendo 
2
33 pi<<pi= xetgx , calcular cos x. 
 
 
 
AC-02 
64 
 
Solução: Utilizando a R5, temos: 
 
 
( ) ⇒=+=+=⇒+= 431311 2222 xsecxtgxsec 
2
1
2
1124 3 −= →±== →±=±= xcos
xsec
xcosxsec
QuadrIIIR
 
 
3.2.6 - Trigonometria num Triângulo Qualquer 
 
Seja a, b e c as medidas dos lados de um triângulo qualquer 
e α, β e γ as medidas dos ângulos, respectivamente, opostos aos 
lados, conforme a figura a seguir: 
 
 
Então, 
 Lei dos cossenos 
 
Obs.: 
se α < 90° então cosα > 0 e a2 < b2 + c2 
se α > 90o então cosα < 0 e a2 > b2 + c2 
se α = 90o então cosα = 0 e a2 = b2 + c2 
 
 Lei dos Senos 
 
 
 
 
γβα sen
c
sen
b
sen
a
== 
a2 = b2 + c2 – 2bc cosα 
 
 
 
AC-02 
65 
3.2.7 - Adição e Subtração de Arcos 
Conhecidos os valores trigonométricos de dois arcos 
quaisquer, podemos calcular os valores para o arco soma (ou 
diferença) desses dois arcos, através das fórmulas seguintes: 
 
(i) Soma 
sen (a+b) = sen a . cos b + cos a . sen b 
cos(a+b) = cos a . cos b – sen a . sen b 
tg(a+b) = 
btg.atg
btgatg
−
+
1
 
 
(ii) Diferença 
 
sen(a-b) = sen a . cos b – cos a . sen b 
cos(a-b) = cos a . cos b + sen a . sen b 
tg(a-b) = 
btg.atg
btgatg
+
−
1
 
 
Em resumo, 
 
 
 
Exemplos: 
 
1. Calcular o valor de sen(75o) 
 
Solução: Vamos escrever 75o como a soma de 45o e 30o, pois 45o e 30o 
são arcos de valores trigonométricos já conhecidos. Utilizando a 
primeira fórmula, vem: 
sen 75O = sen(45o + 30o) = sen 45o . cos 30o + cos 45o . sen 30o 3,29 
29,3
4
26
4
2
4
6
2
1
.
2
2
2
3
.
2
2)75(sen =+=+=+=° 
sen(a±b) = sen a cos b ± cos a sen b 
 
cos(a±b) = cos a cos b m sen a sen b 
 
tg(a±b) = 
btgatg
btgatg
m1
±
 
 
 
 
AC-02 
66 
 
2. Calcule tg(15o) 
 
Solução: Basta escrever 15° como a diferença entre 45° e 30°, e 
utilizar a fórmula da diferença: 
=
+
−
=
+
−
=
+
−
=−=
3
33
3
33
3
3
.11
3
3
1
30tg.45tg1
30tg45tg)3045(tg15tg
oo
oo
ooo
 
( ) 3239 336933)33( )33)(33()adormindenoo andoracionaliz(33 33 −=− +−=−+ −−⇒+−= 
3. Calcule cossec 285° 
 
Solução:
62
26
4
4
26
1
75sen
1
285sen
1
285seccos
oo
−=
+
−
=
+
−
=
−
==° 
4. Sabendo que 
2
y0ex
2
pi
<<pi<<
pi
,e dados 
5
4
ycose
13
12
xsen == , calcule sen(x+y). 
 
Solução: 
sen (x + y) = sen x cos y + cos x sen y 
Pela RFT: 
⇒=−=





−=−=
169
25
169
144
1
13
12
1xsen1xcos)i(
2
22
 
13
5
xcos
13
5
169
25
xcos
)QuadrII(
−= →±=±= 
⇒=−=





−=−=
25
9
25
16
1
5
4
1ycos1ysen)ii(
2
22
 
5
3
ysen
5
3
25
9
ysen )QuadrI( = →±=± 
Logo, 
65
33
5
3
13
5
5
4
13
12
=
−
+=+ ..)yx(sen 
 
 
 
 
 
AC-02 
67 
3.2.8 - Arco Duplo 
Conhecidos os valores trigonométricos de um arco qualquer, 
podemos calcular esses valores para o arco que é odobro do arco 
dado, bastando para isso usar as fórmulas da soma. 
sen 2a = sen (a + a) = sen a . cos a + cos a . sen a 
 
 
cos 2a)= cos (a + a) = cos a . cos a – sen a . sen a 
 
 
tg 2a = tg(a + a) = 
atgatg
atgatg
.1−
+
 
 
2
k
4
a,k
2
a,
atg1
atg2
a2tg 2
pi
+
pi
≠pi+
pi
≠
−
= 
 
Exemplos: 
 
1. Sendo cos x =
4
1
. Calcu1e cos 2x. 
 
Solução: 
cos 2x = cos2x – sen2x. Mas, usando a R.F.T.: 
 
 cos2x = 
16
1)
4
1( 2 = 
 
16
15
16
1
1xcos1xsen 22 =−=−= 
Logo, 
8
7
16
14
16
5
16
12 −=−=−=xcos 
 
2. Sendo sen x = pi<<pi x
2
e,
6
5
, calcule sen 2x. 
 
Solução: sen 2x = 2 sen x cos x 
 
sen 2a = 2 sen a cos a 
cos 2a = cos2a – sen2a 
 
 
 
AC-02 
68 
Pela R.F.T 
⇒=−=





−=−=
36
11
36
251
6
511
2
22
xsenxcos 
6
11
xcos
36
11
xcos
)QuadrII(
−= →±= 
Logo, 
18
115
6
11
.
6
5
.2x2sen −=





−= 
 
3.2.9 - Transformação em Produto (fatoração trigonométrica) 
Podemos transformar uma soma ou diferença de funções em um 
produto, utilizando as chamadas fórmulas de Prostaférese: 
 
 
Note que 
2
qp +
 é a semi-soma (média aritmética) dos arcos 
e 
2
qp −
 é a semi-diferença. 
 
Exemplos: 
 
1. Fatore a expressão sen 70° – sen 20° 
 
Solução: Fazemos p = 70° e q = 20° e utilizamos a segunda fórmula 
de prostaférese: 
⇒
−+
=−
2
2070
sen.
2
2070
cos220sen70sen
oooo
oo
 
oooo 25sen.225sen
2
2
225sen45cos2 ==⇒ 
 
sen p + sen q = 2 
2
qp
cos.
2
qp
sen
−+
 
sen p - sen q = 2 
2
qp
sen.
2
qp
cos
−+
 
cos p + cos q = 2 
2
qp
cos.
2
qp
cos
−+
 
cos p - cos q = - 2 
2
qp
sen.
2
qp
sen
−+
 
 
 
 
AC-02 
69 
2. Transforme a soma cos 95° + cos 55° + cos 15° em produto. 
 
Solução: Podemos associar as parcelas assim, 
( ) ⇒+






−+
=°+°+° o
oooo
55cos
2
1595
cos
2
1595
cos255cos15cos95cos 
ooo 55cos40cos55cos2 + 
 
Colocando 2 cos(55°) em evidência, 
)60cos40(cos55cos2)
2
1
40(cos55cos2 ooooo +=+ , pois cos(60º) = ½ 
 
Fatorando novamente a expressão entre parêntese, fica 
⇒−=
−+ )10cos(50cos55cos4
2
6040
cos
2
6040
cos2(55cos2 ooo
oooo
o
 
ooo 10cos50cos55cos4⇒ 
3.2.10 - Arcos Complementares 
Sabemos que se dois ângulos são complementares 
(x e 90° - x), o seno de um é igual ao cosseno do outro e 
vice-versa, ou seja: 
 
 e 
Isso é válido, também, para dois arcos quaisquer, desde que 
sua soma seja 90o (ou côngruo de 90o) Agora, vejamos a tangente do 
complemento de um arco: 
tg x = )x90(gcot
)x90(sen
)x90(cos
xcos
senx 0
0
0
−=
−
−
= 
 
Ou seja, a tangente de um arco é igual à cotangente de seu 
complemento e vice-versa. 
 e 
Temos ainda: 
)x90(sen
1
xcos
1
xsec 0
−
== = cossec (90° - x) 
 
cotg x = tg (90o - x) 
°≠ 180kx 
tg x = cotg (90o - x) 
°+°≠ 180k90x 
cos x = sen(90o - x) sen x = cos(90o - x) 
 
 
 
AC-02 
70 
ou seja, a secante de um arco é igual à cossecante de seu 
complemento e vice-versa: 
 e 
 
Observação: chamamos de octante à metade de um quadrante. 
Reduzir um arco do segundo para o primeiro octante significa 
utilizar o que foi visto acima, para escrever a função de um arco 
entre 0o e 45°. 
 
Exemplos: 
a) sen 60° = cos 30° 
2° octante 1° octante 
b) °=° 44sen46cos 
c) °=° 10gcot80tg 
d) cotg 89º = tg 1º 
e) sec 20º = cossec 70º 
f) cossec 85º = sec 5º 
 
3.2.11 - Redução ao Primeiro Quadrante 
Para conhecer os valores das funções trigonométricas de 
arcos situados no II, III e IV quadrantes, basta conhecer esses 
valores para os arcos do I quadrante, conforme veremos a seguir: 
 
-Arcos no II quadrante 
Se x é um arco do II quadrante, então o 
seu suplemento 180o - x (ou pi - x) será um 
arco do I quadrante, e teremos: 
 
 
 
 
Exemplos: 
sen 160° = sen (180°-160°) = sen 20° 
cos 160° = -cos (180°-160°) = - cos 20° 
cos x = - cos (180o - x) 
tg x = - tg (180o - x) 
sen x = sen (180o - x) 
cossec x = sec(90o - x) 
°≠ 180kx 
sec x = cossec(90o - x) 
°+°≠ 180k90x 
 
 
 
AC-02 
71 
tg 160° = -tg (180° - 160°) = - tg 20° 
 
Atenção: cosseno e tangente são negativos no II quadrante, 
daí o sinal de menos ao fazer a redução. 
 
- Arcos no III quadrante 
Se x é um arco do III quadrante, então x - 180 (ou x -pi) 
será um arco do I quadrante, e teremos: 
 
 
 
 
Atenção: seno e cosseno são 
negativos no III quadrante. 
Observação: x e x - 180° dizem-se arcos explementares 
(diferem de meia volta). 
 
Exemplos: são explementares 10o e 190 o, 100o e 280o etc 
 
- Arcos no IV quadrante: 
Se x é um arco do IV quadrante, 
então seu replemento 360° - x (ou 2pi -x) 
será um arco será um arco do I quadrante, 
e teremos: 
 
 
 
 
 
Exemplos: 
sen 340° = - sen (360°-340°) = - sen 20° 
cos 340° = cos (360°-340°)= cos 20o 
tg 340° = - tg (360°- 340°) = - tg 20° 
 
tg x = - tg (360° - x) 
cos x = cos (360° - x) 
sen x = - sen (360° - x) 
tg x = tg (x - 180o) 
cos x = - cos (x - 180o) 
sen x = - sen (x - 180o) 
 
 
 
AC-02 
72 
Atenção: seno e tangente são negativos no IV quadrante. 
Lembrando agora que 360°-x e -x (arco negativo) são 
côngruos, podemos reescrever as três últimas relações assim: 
 
 
 
Exemplos: 
sen (-35°) = - sen 35° 
cos (-100°) = cos 100o 
tg (-80°) = -tg 80° 
 
Observação: as funções secante, cossecante e cotangente, na 
redução ao primeiro quadrante, comportam-se, respectivamente, como 
as funções cosseno, seno e tangente. 
 
Exemplo: 
°−
=
°
⇒°−=°
40tg
1
320tg
1
40gcot320gcot 
 
Resumo: 
 
tg x = - tg (-x) 
cos x = cos (-x) 
sen x = - sen (-x) 
III → tomar o suplemento do arco e trocar o sinal da função 
 (exceto sen e cossec) 
 
IIII → tomar o explemento do arco e trocar o sinal da função 
 (exceto tg e cotg) 
 
IIV → tomar o replemento do arco e trocar o sinal da função 
 (exceto cos e sec) 
 
 
 
 
AC-02 
73 
3.3 - GEOMETRIA ANALÍTICA PLANA 
 
3.3.1 - O Ponto 
Num plano α tomemos duas retas perpendiculares num ponto O 
e oriente-mo-las conforme a figura. 
Reta orientadas chamam-se eixos. 
Se convencionarmos uma das retas 
horizontal e a outra vertical, teremos: 
1o) um eixo horizontal, que chamaremos de 
eixo das abscissas (eixo dos x); 
2o) um eixo vertical, que chamaremos de 
eixo das ordenadas (eixo dos y). 
 
Estes eixos dividem o plano cartesiano em quatro regiões 
chamadas quadrantes, que são numerados I, II, III e IV. 
Tomemos agora no plano um ponto P (qualquer) e por ele 
conduzamos duas retas r e s, r // Ox e s // Oy. As figuras mostram 
possíveis posições do ponto P em cada um dos quadrantes: 
 
Chamamos de medida algébrica de um segmento orientado em 
relação a um eixo o módulo do segmento acompanhado de sinal (+) ou 
(-), conforme o seu sentido seja concordante ou não com o sentido 
positivo do eixo. 
 
 
 
AC-02 
74 
Considerando os segmentos orientados OM e ON, da figura, de 
medidas algébricas xp e yp, respectivamente, chamamos: 
- xp de abscissa do ponto P; e 
- yp de ordenada do ponto P. 
Dessa maneira, ao ponto P, do plano α, associamos um único 
par ordenado de números reais (xp, yp) que chamamos de coordenadas 
do ponto P. 
 
Reciprocamente, a todo par ordenado de números reais 
(xp, yp), existe no plano