DESENHANDO COM RÉGUA E COMPASSO ANTERIOR

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Ivan Araújo Cordeiro de Albuquerque - 1 -
ÂNGULO 
 
 
Ângulo é um conceito geométrico fundamental. É apreendido pela nossa intuição sem 
grande esforço, mas aqui, dado a sua importância intrínseca, faremos uma abordagem no 
sentido de apreendê-lo, defini-lo, o mais rigorosamente possível. Na geometria o ângulo 
surge determinando posições ou relações importantes entre os objetos geométricos ou neles 
próprios. 
Vamos em frente! 
No plano, sabemos que quaisquer dois pontos distintos determinam um segmento de reta e 
que este segmento está contido neste plano. Esta propriedade, do plano conter o segmento 
de reta determinado por estes dois pontos não é compartilhada com todos os outros 
subconjuntos do plano. Os subconjuntos do plano que compartilham com ele a propriedade 
acima são chamados de conjuntos convexos, ou regiões convexas, e os que não 
compartilham são chamados de conjuntos côncavos, ou regiões côncavas. A ilustração 
abaixo mostra alguns conjuntos, regiões, convexas e alguns conjuntos, regiões, côncavas. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Considere no plano um ponto P qualquer e a partir dele duas semi-retas. Três possibilidades 
essenciais podem ocorrer: 
 
1. Semi-retas na mesma direção e no mesmo sentido, como a figura abaixo mostra: 
 
 
 
 
 
 
. 
Conjuntos convexos Conjuntos côncavos 
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2. Semi-retas na mesma direção e sentido contrário, como indicado na figura abaixo: 
 
3. Semi-retas em diferentes direções, como se mostra na figura abaixo: 
 
Observação: As figuras acima representam casos particulares das infinitas posições 
possíveis no plano. 
No plano, qualquer par de semi-retas coma a mesma origem determinam nele duas regiões, 
ou conjuntos, sendo uma convexa e a outra côncava. De fato: na primeira possibilidade, 
semi-retas na mesma direção e no mesmo sentido, a região convexa é determinada pelas 
semi-retas e a região côncava pelo seu complementar com relação ao plano. Veja figura a 
seguir. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
. 
. 
Região côncava 
. 
Região convexa 
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Na segunda possibilidade, semi-retas na mesma direção e sentido contrário, a região 
convexa é determinada pelas semi-retas, neste caso uma reta, e a região côncava pelo seu 
complementar com relação ao plano. Observe a ilustração abaixo. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Na terceira possibilidade, semi-retas em direções diferentes, a região convexa é determinada 
pela união do conjunto formado pelas semi-retas com o conjunto convexo delimitado por elas, 
e a região côncava pelo seu complementar com relação ao plano. Veja a figura abaixo 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Região côncava 
Região convexa 
. 
Região côncava 
 
Região convexa 
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Neste ponto de nossa caminhada estamos em condições de darmos uma definição de 
ângulo. 
 
Definição – Dadas duas semi-retas com origem comum chama-se de ângulo ao 
complementar, com relação ao plano, da região côncava determinada por elas. 
 
O ângulo determinado por duas semi-retas com origem comum na mesma direção e no 
mesmo sentido é chamado de ângulo nulo 
 
 
 
 
 
 
 e o ângulo determinado por duas semi-retas com origem comum na mesma direção e com 
sentidos opostos será chamado de ângulo raso 
 
 
 
 
 
 
 
 
ELEMENTOS DE UM ÂNGULO 
 
 
VÉRTICE – Dado um ângulo a origem comum das semi-retas que o definem é chamada de 
vértice do ângulo. 
 
LADO – As semi-retas que definem o ângulo serão chamadas de lados do ângulo. 
 
O vértice e os são os elementos de um ângulo. 
 
 
Ângulo nulo . 
. Ângulo raso 
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TRANSPORTE DE ÂNGULOS 
 
Dado um ângulo como obter outro ângulo que possa em certo sentido “ser confundido” com o 
ângulo dado? As ações que respondem a esta pergunta é o que se chama em Desenho 
Geométrico de TRANSPORTE DE ÂNGULO. 
 
 
Dado um ângulo, como por exemplo, o ângulo que segue. 
 
 
 
 
 
Vamos transportá-lo. 
 
Determine um ponto O e uma semi-reta com origem nele. 
 
 
 
Com a ponta cega do compasso no vértice do ângulo e uma abertura conveniente, trace um 
arco interceptando os dois lados do ângulo nos pontos A e B. 
 
 
 
 
 
 
 Em seguida, com a ponta cega no ponto O e a mesma abertura anterior determine um arco 
conveniente interceptando a semi-reta com origem em O no ponto A’. 
 
 
 
 
 
 
O 
V 
V A 
B 
O A’ 
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Neste arco com abertura do compasso igual à distância entre os pontos A e B e ponta cega 
no ponto de interseção A’, obtenha o ponto B’. 
 
 
 
 
 
 
 
Trace a semi-reta de origem em O que passa pelo ponto B’ que acabamos de obter. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
O ângulo determinado por esta semi-reta e a anteriormente traçada é o ângulo desejado, o 
ângulo transportado! 
 
Nota. O procedimento acima tem sua justificativa no fato de que os triângulos B'OA'VAB DD e , 
obtidos nestas construções, serem congruentes. 
 
 
CONGRUÊNCIA DE ÂNGULOS 
 
 
Dois ângulos são ditos congruentes quando transportados de forma que possuam o vértice e 
um dos lados em comum, o outro lado de cada ângulo, desenhados no mesmo semiplano, 
venha também a coincidir. 
 
 
O A’ 
B’ 
O A’ 
B’ 
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Nas condições descritas acima o ângulo transportado é, obviamente, congruente ao ângulo 
objeto do transporte. 
 
 
ADIÇÃO DE ÂNGULOS 
 
 
Dados dois ângulos é sempre possível transportar um deles de tal maneira que o ângulo 
transportado venha a ter seu vértice e um de seus lados coincidindo com o vértice e um dos 
lados do outro ângulo e, além disso, os lados não comuns estejam cada um em apenas um 
dos semiplanos determinados pela reta suporte do lado comum. Observe os exemplos que 
seguem. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
O que foi dito acima culmina com o desenho de ângulos especialmente juntos, contínuos. Os 
ângulos desenhados desta forma, dispostos deste modo, são chamados de adjacentes, 
ângulos adjacentes. 
A esta maneira especial de dispor o ângulo transportado chamaremos transporte adjacente. 
O transporte adjacente permite ainda que se determine um novo ângulo, a saber, o ângulo 
determinado pelas semi-retas que definem os lados não comuns dos ângulos no final do 
processo. Este novo ângulo será chamado de ângulo soma dos ângulos dados e ao 
procedimento dar-se o nome de adição de ângulos. 
 
 
Exemplo 1 Exemplo 2 
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ÂNGULOS SUPLEMENTARES 
 
 
Dois ângulos são ditos suplementares quando transportados de modo adjacentes sua soma 
for congruente a um ângulo raso. 
 
 
ÂNGULO RETO 
 
No plano, duas retas concorrentes determinam quatro ângulos como indicado, por exemplo, 
na figura abaixo. 
 
 
 
 
 
 
 
 
Há, porém, uma posição peculiar entre retas concorrentes na qual os quatro ângulos 
determinadospor elas são congruentes entre si. Quando as retas estão nessa posição elas 
são chamadas de perpendiculares, e cada um dos ângulos se chamará de ângulo reto. 
Observe a figura abaixo. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
O 
Retas perpendiculares 
Ângulos retos 
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ÂNGULOS COMPLEMENTARES 
 
 
Dois ângulos são ditos complementares quando transportados de modo adjacentes sua 
soma for congruente a um ângulo reto. 
 
 
BISSETRIZ DE UM ÂNGULO 
 
 
A BISSETRIZ de um ângulo é uma semi-reta com origem no vértice do ângulo, situada em 
qualquer um dos semiplanos determinados por qualquer um dos lados do ângulo que 
contenha necessariamente o outro lado, e que determinam com cada um dos lados do 
ângulo ângulos congruentes. 
 
O nosso objetivo agora é traçar a bissetriz de um ângulo dado. Vamos proceder como 
indicado a seguir: 
Dado o ângulo como, por exemplo, o mostrado ma figura abaixo. 
 
 
 
 
 
 
 
 
Com o compasso, trace um arco de circunferência de centro no vértice do ângulo, o ponto O, 
e raio conveniente para determinar os pontos P e Q sobre os lados do ângulo, como indicado 
na figura que segue. 
 
 
 
 
 
 
O 
O Q 
P 
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Em seguida, construa dois arcos de circunferência centrados respectivamente nos pontos P 
e Q, e raio d1, d1 maior que a distância entre os pontos P e Q, que se interceptam no ponto 
T, como mostra a figura a seguir. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
A solução é a semi-reta de origem no ponto O que passa pelo ponto P, como se vê abaixo. 
Justificativa: Os triângulos OQTOPT e DD são congruentes e, portanto, o ângulo determinado 
pelas semi-retas OP e OT é congruente ao ângulo determinado pelas semi-retas OQ e OT. 
Ver apêndice. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
TRAÇANDO PARARELAS 
 
 
Duas retas são ditas paralelas quando não há interseção entre elas. Um axioma da 
geometria elementar afirma que dois pontos distintos determinam uma única reta. 
É importante observar que se duas retas são paralelas então, a distância de pontos de uma 
reta a outra se mantém constante. Feita esta observação fica claro que se determinarmos 
 
O Q 
P T 
O Q 
P T 
BISSETRIZ 
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dois pontos P e Q exteriores a uma dada reta r, ambos pertencentes ao mesmo semiplano, 
cujas distâncias a reta r sejam iguais eles determinaram uma reta s paralela à reta r dada. 
Os argumentos acima são os norteadores, para que possamos traçar paralelas a uma reta 
dada. 
 
O traçado de uma reta paralela a uma reta dada pode se dar de uma maneira livre, onde se 
traça arbitrariamente uma paralela a reta dada, onde nos referimos a ela por paralela livre, ou 
de uma maneira determinada onde se conhece um ponto P dessa paralela, onde nos 
reportamos a ela dizendo: paralela pelo ponto P. 
Vamos aos traçados. 
 
 
PARALELA LIVRE 
 
 
Dada uma reta r vamos traçar uma paralela livre a ela. 
 
 
 
 
 
 
 
Determine um ponto O sobre a reta r. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Com uma abertura conveniente do compasso, do, e a ponta sega no ponto O trace uma 
circunferência, C0, obtendo os pontos P e Q, interseção desta circunferência com a reta r 
r 
. 
O r 
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Em seguida, com abertura do compasso igual a d1, ( ) ( )0001 d2 ,2d2d ,0d ∪∈ , construa as 
circunferências 21 e CC centradas nos pontos P e Q respectivamente, e raio igual a d1, 
obtendo-se assim sobre C0 os pontos: P’, P”, Q’ e Q”. 
 
 
 
Observe agora que os triângulos '' e OQQOPP DD , por exemplo, são congruentes, e, portanto, a 
altura do triângulo 'OPPD com respeito ao lado OP é congruente coma a altura do triângulo 
'OQQD com respeito ao lado OQ , que são lados correspondentes. É fácil concluir que a 
distância de cada um dos pontos P’, P”, Q’ e Q” a reta r é a mesma e, portanto, tomando dois 
deles que estejam no mesmo semiplano determinado pela reta r, determinará a reta paralela 
procurada. 
. 
O r P Q 
C0 
P’ 
P” 
Q’ 
Q” 
C1 C2 
. 
O r P Q 
C0 
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PARALELA PELO PONTO P 
 
 
 
Dados uma reta r e um ponto P fora dela, rÏP , 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Construa uma circunferência C0 centrada no ponto P e com raio d1, d1 maior que a distancia 
da reta r ao ponto P, obtendo os pontos O e Q interseção da circunferência C0 com a reta r. 
 
. 
O r P Q 
C0 
P’ 
P” 
Q’ 
Q” 
C1 C2 
s 
. P 
r 
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Trace com centro no ponto O e raio igual a d1 uma circunferência C1, e sobre esta com a 
ponta sega no ponto P e abertura do compasso igual à distância entre os pontos O e Q 
obtenha o ponto R no mesmo semiplano que contém o ponto P. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
. P 
O Q r 
C0 
C0 
. P 
O Q r 
R 
C1 
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A reta s determinada pelos pontos P e R é a reta procurada. 
 
 
Observe que os triângulos isósceles PORQPO DD e são congruentes. Logo a altura de cada 
triângulo com respeito ao lado não congruente de cada triângulo coincide. Observe que o 
ponto S, eqüidistante dos pontos P e R, estão à mesma distância da reta r que o ponto P e 
como a reta determinada por P e R é a mesma determinada por P e S conclui-se que a reta s 
é paralela à reta r. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
s 
. P 
O Q r 
R 
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TRAÇANDO PERPENDICULARES 
 
 
Nosso objetivo agora é traçarmos uma reta s perpendicular a uma dada reta r. Para tanto 
vamos fundamentar o traçado no seguinte argumento: Considere a reta determinada pelos 
pontos distintos A e B, a reta AB . Se os pontos P e Q forem eqüidistantes dos pontos A e B, 
então qualquer que seja o ponto X pertencente à reta PQ têm-se que X será eqüidistante 
dos pontos A e B. 
O argumento acima permite concluir que o ponto ABPQ=M ∩ , ponto médio do segmento de 
reta AB , é eqüidistante dos pontos A e B, e também, que os ângulos adjacentes PMA e 
PMB, por exemplo, são congruentes. Como duas retas concorrentes são ditas 
perpendiculares quando dois quaisquer dos ângulos adjacentes determinados por elas forem 
congruentes, concluímos que PQ e AB são então perpendiculares. 
 
Há duas situações essenciais: a perpendicular a ser traçada ou é arbitrária ou é conhecido, a 
priori, um ponto P por onde a traçaremos. 
 
I – A perpendicular a ser traçada é arbitrária. 
 
Dada a reta r 
 
 
 
 
 
escolha arbitrariamente um ponto P por onde a reta perpendicular deve ser traçada. Se o 
ponto P escolhido não pertence à reta r como, por exemplo, se ver na figura abaixo 
 
 
 
 
 
 
 
r 
r 
. P 
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procedemos como segue: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Com a ponta cega do compasso no ponto P e uma abertura conveniente do mesmo, 
construa a circunferência C0, obtendo os pontos O e Q, interseção desta circunferência com 
a reta r. Em seguida, mantida a mesma abertura do compasso, construa as circunferências 
C1 e C2 com centros nos pontos O e Q respectivamente obtendo o ponto R, não 
pertencentes ao mesmo semiplano que o ponto P, interseção das circunferências C1 e C2. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
r 
. P 
O Q 
O Q r 
. P 
R . 
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A reta s determinada pelos pontos P e R é a reta procurada. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
O ponto P escolhido pertence à reta dada. 
 
 
 
 
Trace uma circunferência com centro no ponto P e raio qualquer para obter os pontos O e Q 
sobre a reta r como interseção desta circunferência com a reta. 
 
 
 
 
 
 
 
 
O Q r 
. P 
R . 
s 
. P 
. P 
O Q 
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Com raio d, maior que a distância entre os pontos O e P, trace uma circunferência com 
centro no ponto O e outra centrada no ponto Q. Estas circunferências interceptam-se nos 
pontos R e S. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
A reta solução é a reta s determinada pelos pontos R e S. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
. P 
O Q 
R 
S 
. P 
O Q 
R 
S 
s
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II – O ponto P por onde traçaremos a perpendicular é conhecido a priori. Há dois casos: 
 
 
a) O ponto escolhido não pertence à reta dada, rP Ï , como se ver na figura abaixo. 
 
 
 
 
 
 
 
Proceda, então, como segue: tome dois pontos Q e R sobre a reta r, como indicado na figura 
abaixo, por exemplo. 
 
 
 
 
 
 
 
Trace uma circunferência centrada no ponto Q e raio igual à distância do ponto Q ao ponto P 
e em seguida trace outra circunferência centrada no ponto R e raio igual à distância do ponto 
R ao ponto P. Estas circunferências têm como interseção os pontos P e S 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
r 
P . 
r 
P . 
. 
Q R 
. 
r 
P . 
. 
Q R 
. 
S 
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A reta procurada é a reta determinada pelos pontos P e S. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
b) O ponto P escolhido pertence à reta dada, como se ver abaixo, 
 
 
 
 
então, proceda como segue: escolha um ponto O qualquer fora da reta r 
 
 
 
 
 
Construa a circunferência centrada no ponto O e raio igual à distância do ponto O ao ponto 
P, para obter o ponto Q interseção da circunferência com a reta r. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
r 
P . 
. 
Q R 
. 
S 
r P 
. 
O . 
r P 
. 
O . 
r P 
. 
Q 
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Trace um segmento de reta ligando os pontos Q a O, prolongando-o ate obter o ponto S 
sobre a circunferência. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Areta s determinada pelos pontos P e S é a reta procurada. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
O processo acima se baseia, obviamente, no fato de que todo triângulo que tem dois de seu 
vértice nos extremos do diâmetro de uma circunferência e outro vértice sobre a 
circunferência é um triângulo retângulo. 
 
 
 
 
 
 
 
 
O . 
r P 
. 
Q 
. S 
O . 
r P 
. 
Q 
. S 
s 
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TRAÇANDO POLÍGONOS 
 
 
POLIGONAL – É uma linha, não retilínea, formada por mais de dois segmentos de reta 
ligados por cada uma de suas extremidades a no máximo um dos outros segmentos. 
 
Na figura abaixo se expõem uns exemplos de cada tipo de poligonal. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
POLÍGONO – É qualquer “região finita” do plano determinada por uma poligonal fechada 
simples. 
 
Segue abaixo alguns exemplos de polígonos. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
ELEMENTOS DE UM POLÍGONO 
 
LADOS – Em um polígono cada segmento de reta que compõe a poligonal que o determina 
é chamado de lado (lado do polígono). 
Poligonal aberta simples 
Poligonal aberta não simples 
Poligonal fechada simples 
Poligonal fechada não simples 
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VÉRTICE – Em qualquer polígono o extremo comum a dois lados consecutivos é chamado 
de vértices (vértices do polígono). 
 
 
ÂNGULOS – É chamado de ângulo do polígono cada ângulo formado por dois de seus lados 
consecutivos. 
 
 
POLÍGONO COMVEXO E POLÍGONO CÔNCAVO 
 
 
POLÍGONO CONVEXO – É todo polígono que for também um conjunto convexo do plano. 
 
POLÍGONO CÔNCAVO – É todo polígono que não for convexo. 
 
Os ângulos de um polígono convexo são chamados de ângulos internos. Para esses 
polígonos definem-se também seus ângulos externos como sendo o ângulo formado por 
cada um de seus lados e o prolongamento do lado que lhe é consecutivo. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Vértices 
Lados 
Lado 
Vértice 
Ângulos 
POLÍGONO CÔNCAVO 
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As figuras acima mostram um polígono côncavo e outro convexo para os quais se indicam 
alguns de seus elementos. 
 
POLÍGONO REGULAR – Um polígono convexo é chamado de regular quando todos os seus 
lados forem congruentes entre si e também forem congruentes todos os seus ângulos. 
 
Um polígono não regular é chamado de irregular (polígono irregular). 
 
Aqui nos ocuparemos apenas com o traçado de alguns polígonos convexos, os mais 
elementares da geometria plana, a partir do conhecimento de algum de seus elementos. 
 
Iniciaremos pelo mais simples deles, o trilátero (triângulo, como a tradição consagrou). 
 
 
TRILÁTERO – (TRIÂNGULO) – É todo polígono que possui apenas três lados. 
 
 
Observe que para construirmos um triângulo a partir de três segmentos de reta dados é 
necessário que o comprimento de qualquer um deles seja estritamente menor que a soma 
dos comprimentos dos outros dois. 
Ângulo externo 
Ângulos internos 
Lados 
Vértices 
POLÍGONO CONVEXO 
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TRIÂNGULO EQÜILÁTERO - Chama-se triângulo eqüilátero a todo triângulo cujos lados 
sejam congruentes entre se. 
 
Construindo um triângulo eqüilátero dado um de seus lados. Dado um segmento l, designe 
seus extremos por A e B respectivamente, como por exemplo, se representa abaixo. 
 
 
 
Com centro em cada um dos extremos do segmento l e abertura do compasso igual ao 
comprimento deste segmento, trace dois arcos de circunferência para obter os pontos C e C’, 
interseção destes dos arcos, como ilustrado na figura a seguir. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
A solução é, por exemplo,o triângulo cujos vértices estão nos pontos A, B e C. Veja a figura 
abaixo. 
l A B 
C 
C’ 
l A B 
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Construir um triângulo eqüilátero conhecendo-se o segmento de reta h cujo comprimento 
coincide com a altura do triângulo. 
 
 
 
 
 
 
Inicialmente construa uma semi-reta de origem O como mostra a figura abaixo. 
 
 
 
 
 
 
Com centro no ponto O e rio r conveniente, construa uma circunferência para determinando o 
ponto B sobre a semi-reta, como mostra a figura que segue. 
C 
l 
C’ 
h 
O 
DESENHANDO COM RÉGUA E COMPASSO ANTERIOR.doc 
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Agora com centro no ponto B e raio igual a r, desenhe um arco de circunferência 
interceptando a circunferência anterior no ponto C como indicado na figura. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Agora construa a semi-reta com origem no ponto O e que passa pelo ponto C. Observe que 
o triângulo OBCD é eqüilátero. 
 
 
 
 
 
O 
C 
B 
O B 
DESENHANDO COM RÉGUA E COMPASSO ANTERIOR.doc 
Ivan Araújo Cordeiro de Albuquerque - 29 -
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Construa, com origem no ponto O, uma semi-reta perpendicular à semi-reta OB , 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
O 
C 
B 
B O 
C 
DESENHANDO COM RÉGUA E COMPASSO ANTERIOR.doc 
Ivan Araújo Cordeiro de Albuquerque - 30 -
e nela determine o ponto P, cuja distância ao ponto O é igual ao comprimento do segmento 
de reta h. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Em seguida, com origem no ponto P, construa uma semi-reta paralela à semi-reta 
determinada pelos pontos O e B, determinando o ponto Q interseção desta semi-reta com a 
semi-reta determinada pelos pontos O e C. Como mostra a figura abaixo. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
O 
C 
B 
P 
O 
C 
B 
Q 
P 
DESENHANDO COM RÉGUA E COMPASSO ANTERIOR.doc 
Ivan Araújo Cordeiro de Albuquerque - 31 -
Com centro no ponto O e raio igual à medida do comprimento do segmento de reta OQ , 
determine sobre a semi-reta OB o ponto S. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
A solução é o triângulo de vértices nos pontos O, Q e S como ilustrado na figura abaixo. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
B 
Q 
O 
C 
S 
P 
S O 
C 
B 
Q 
P 
DESENHANDO COM RÉGUA E COMPASSO ANTERIOR.doc 
Ivan Araújo Cordeiro de Albuquerque - 32 -
Convença-se de que o triângulo obtido acima é de fato a solução. 
 
 
TRIÂNGULO ISÓSCELES – É todo triângulo no qual dois de seus lados são congruentes 
entre se. 
 
Construção de triângulos isósceles conhecidos dois segmentos de reta l1 e l2 congruentes a 
dois de seus lados. 
Dados os segmentos de reta l1 e l2, 
 
 
 
 
 
escolha aquele de menor comprimento para iniciar o processo. No caso é o segmento l2. 
 
 
 
Construa com cento em cada um dos extremos do segmento l2, pontos O e P, uma 
circunferência de raio igual ao comprimento do segmento l1. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
l1 
l2 
l2 
l2 O P 
DESENHANDO COM RÉGUA E COMPASSO ANTERIOR.doc 
Ivan Araújo Cordeiro de Albuquerque - 33 -
Obtêm-se assim os pontos Q e R, interseção destas circunferências e a solução é qualquer 
um dos triângulos OPQD ou OPRD . 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Traçar um triângulo isósceles, conhecidos o segmento de reta congruente a um de seus 
lados e também um de seus ângulos. 
Sejam então dados o segmento e o ângulo como, por exemplo, indicados na figura que 
segue. 
 
 
 
 
 
 
Teremos duas opções: 
 
1ª - O segmento l determina o comprimento dos lados congruentes do triângulo. 
 2ª - O segmento l determina o comprimento do lado não congruente aos outros dois lados do 
triângulo. 
 
No primeiro caso proceda como segue. 
l2 O P 
Q 
R 
l 
DESENHANDO COM RÉGUA E COMPASSO ANTERIOR.doc 
Ivan Araújo Cordeiro de Albuquerque - 34 -
Transporte o ângulo dado de forma que tenha o seu vértice coincidindo com um dos 
extremos do segmento e, além disso, tenha este segmento sobre um de seus lados. Como 
indicado, por exemplo, na figura abaixo. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Agora, com a abertura do compasso igual ao comprimento de segmento l, e centro no vértice 
do ângulo determine um arco de circunferência para obter o ponto Q interseção do arco com 
o prolongamento do outro lado do ângulo. Veja a figura. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Q 
P O 
DESENHANDO COM RÉGUA E COMPASSO ANTERIOR.doc 
Ivan Araújo Cordeiro de Albuquerque - 35 -
A solução é o triângulo cujos vértices são os pontos O, P e Q indicado na figura abaixo. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
No segundo caso o processo é o seguinte. Transporte o ângulo dado de tal forma que cada 
extremo O e P do segmento l seja vértice do ângulo transportado e que o segmento l seja 
também lado comum aos ângulos transportados. Veja a figura abaixo. 
 
 
 
 
 
 
 
Prolongando-se cada um dos lados dos ângulos transportados obtêm-se o ponto Q. 
 
 
 
Q 
P O 
O P l 
DESENHANDO COM RÉGUA E COMPASSO ANTERIOR.doc 
Ivan Araújo Cordeiro de Albuquerque - 36 -
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Solução é o triângulo de vértices nos pontos. O, P e Q. Veja figura abaixo. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
TRIÂNGULO RETÂNGULO – É todo triângulo no qual um de seus ângulos é reto. 
 
Em um triângulo retângulo o maior de seus lados chama-se hipotenusa e os outros dois são 
chamados de catetos, os quais são sempre lados do ângulo reto. 
 
Traçar um triângulo retângulo, conhecidos seus catetos 21 l e l . Sejam 21 l e l com se mostra 
na figura abaixo, por exemplo. 
 
 
 
 
 
 
 
O P l 
Q 
O P l 
Q 
2
1
l
l
 
DESENHANDO COM RÉGUA E COMPASSO ANTERIOR.doc 
Ivan Araújo Cordeiro de Albuquerque - 37 -
Construa duas semi-retas com origem no mesmo ponto O e perpendiculares entre se, como 
indicado na figura que segue. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Com centro no ponto O e abertura do compasso igual a 1l trace duas circunferências 
concêntricas uma de raio igual ao comprimento do segmento 1l e a outra com raio igual ao 
comprimento do segmento 2l , como se mostra na figura abaixo. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Obtêm-se então, os pontos P e Q sobre um das semi-retas e os pontos R e S sobre a outra 
com se vê na figura que segue. 
 
O 
O 
DESENHANDO COM RÉGUA E COMPASSO ANTERIOR.doc 
Ivan Araújo Cordeiro de Albuquerque - 38 -
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Há duas soluções: os triângulos e OQROPS DD . Veja por exemplo o triângulo OPSD na figura 
abaixo. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
O P Q 
R 
S 
O P Q 
R 
S 
DESENHANDO COM RÉGUA E COMPASSO ANTERIOR.doc 
Ivan Araújo Cordeirode Albuquerque - 39 -
Traçar um triângulo retângulo dado um de seus catetos, l , e um ângulo que tem neste cateto 
um de seus lados. 
Seja então, o cateto e o ângulo como ilustra a figura a seguir. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Proceda como segue. Trace por um dos extremos do segmento l, o ponto O, por exemplo, 
uma semi-reta perpendicular a este segmento, e transporte o ângulo dado de modo que seu 
vértice esteja sobre o outro extremo do segmento, o ponto P, e tenha o seu lado neste 
segmento. Como se vê na figura a seguir. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Observação: Tome cuidado para que a semi-reta e o ângulo estejam no mesmo semiplano. 
 
Prolongue o lado do ângulo para obter o ponto Q interseção deste prolongamento com a 
perpendicular ao segmento l. Veja a figura que segue. 
 
 
l 
l 
O 
P 
DESENHANDO COM RÉGUA E COMPASSO ANTERIOR.doc 
Ivan Araújo Cordeiro de Albuquerque - 40 -
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
A solução é o triângulo de vértices nos pontos O, P e Q como exibido na figura abaixo. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
TRIÂNGULO ESCALENO – É todo triângulo para o qual não há dois lados congruentes ente 
se. 
 
Dados três segmentos de reta 321 l e l,l , onde o comprimento de um deles é diferente do 
comprimento de cada um dos outros dois, trace um triângulo. 
 
 
 
 
 
 
 
 
P 
l 
O 
P Q 
l 
O 
Q 
l1 
l2 
l3 
DESENHANDO COM RÉGUA E COMPASSO ANTERIOR.doc 
Ivan Araújo Cordeiro de Albuquerque - 41 -
Procedimento. Escolha um dos segmentos, por exemplo, l2, para iniciar o processo. Trace 
outro segmento de reta congruente a ele, indicando seus extremos por A e B como ilustrado 
na figura abaixo. 
 
 
 
 
 
 
Em seguida construa duas circunferências, uma com centro no ponto A e raio igual ao 
comprimento de segmento l1 e a outra com centro no ponto B e raio igual ao comprimento de 
segmento l3. Observe a figura que segue. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
l2 
A B 
l2 
A B 
l3 
l1 
DESENHANDO COM RÉGUA E COMPASSO ANTERIOR.doc 
Ivan Araújo Cordeiro de Albuquerque - 42 -
Obtemos assim os pontos C e C’como interseção destas circunferências. A solução é 
qualquer um dos triângulos 'ABCABC ou DD , como se mostra na figura abaixo. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Dados os segmentos l e h e um ângulo, traçar um triângulo escaleno que tenha um lado 
congruente ao segmento l, altura congruente ao segmento h e tenha o ângulo dado como um 
de seus ângulos. Na figura abaixo se dar um exemplo. 
 
 
 
 
 
 
 
 
l
h
 
l2 
A B 
l3 
l1 
C 
C’ 
DESENHANDO COM RÉGUA E COMPASSO ANTERIOR.doc 
Ivan Araújo Cordeiro de Albuquerque - 43 -
Trace um segmento de reta congruente ao segmento l e determine seus extremos pelos 
pontos A e B. Em seguida transporte o ângulo de forma que o ponto A seja o seu vértice, 
como se mostra na figura abaixo. 
 
 
 
 
 
 
Por um ponto qualquer do segmento de reta l, digamos A, construa uma perpendicular a este 
segmento e com o auxilio do compasso marque sobre ela o ponto P cuja distância ao ponto 
A coincide com comprimento do segmento h. Veja a figura abaixo. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Trace pelo ponto P uma paralela ao segmento de reta l, como se vê abaixo. 
 
r 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
A B l 
A B 
P 
l 
A B 
P 
l 
DESENHANDO COM RÉGUA E COMPASSO ANTERIOR.doc 
Ivan Araújo Cordeiro de Albuquerque - 44 -
Prolongue o lado do ângulo que não corresponde ao segmento l ate que este intercepte a 
paralela traçada anteriormente no ponto C. Como se mostra a seguir. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
A solução e o triângulo ABCD como se mostra abaixo. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
A B 
P 
l 
C 
P 
A B l 
C 
DESENHANDO COM RÉGUA E COMPASSO ANTERIOR.doc 
Ivan Araújo Cordeiro de Albuquerque - 45 -
CONSTRUÇÕES DE QUADRILÁTEROS 
 
 
Quadrilátero é todo polígono que possui quatro lados. 
 
Nosso interesse está no traçado de quadrados, retângulos, paralelogramos, losango e 
trapézios. 
 
QUADRADO – Quadrilátero com os ângulos internos retos e os lados congruentes entre si. 
 
Construção de um quadrado, conhecido um segmento l congruente a seu lado. 
Veja a figura. 
 
 
 
Identifique os extremos do segmento l chamando-os de A e B respectivamente. Por um 
deles, digamos A, trace uma semi-reta perpendicular ao segmento l. Sobre esta semi-reta 
determine o ponto C cuja distância ao ponto ao ponto A seja Igual ao comprimento do 
segmento l 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Em seguida, trace dois arcos de circunferência de raio igual ao comprimento do segmento l e 
centradas nos pontos C e B respectivamente, para determinar, como interseção desses 
arcos, o ponto D. Veja a figura abaixo. 
 
l 
A B 
C 
DESENHANDO COM RÉGUA E COMPASSO ANTERIOR.doc 
Ivan Araújo Cordeiro de Albuquerque - 46 -
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
A solução é o quadrado de vértices nos pontos A, B, C e D ilustrado na figura abaixo. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Construir um quadrado, dado um segmento d congruente a sua diagonal. 
 
 
 
 
Designe os extremos do segmento d pelas letras A e B e determine a mediatriz deste 
segmento, como indicado na figura que segue. 
 
A B 
C D 
A B 
C D 
d 
DESENHANDO COM RÉGUA E COMPASSO ANTERIOR.doc 
Ivan Araújo Cordeiro de Albuquerque - 47 -
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Construa uma circunferência com centro no ponto O e raio igual à distância do ponto O ao 
ponto B, determinando sobre a mediatriz do segmento d os pontos C e D como se mostra na 
figura abaixo. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
d A B 
O 
d A B 
O 
C 
D 
DESENHANDO COM RÉGUA E COMPASSO ANTERIOR.doc 
Ivan Araújo Cordeiro de Albuquerque - 48 -
A solução é o quadrado de vértices nos pontos A, C, B e D como vemos na figura abaixo. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
RETÂNGULO – Quadrilátero com todos os ângulos internos retos. 
 
Construção de um retângulo conhecendo o segmento d congruente a sua diagonal e o 
segmento l congruente a um de seus lados. Veja a figura abaixo. 
 
 
 
 
 
 
 
Construa um segmento com extremos nos pontos A e B e congruente ao segmento d. 
 
 
 
 
 
 
d A B 
O 
C 
D 
l 
d 
A B 
DESENHANDO COM RÉGUA E COMPASSO ANTERIOR.doc 
Ivan Araújo Cordeiro de Albuquerque - 49 -
Determine o ponto médio, M, do segmento traçado e com centro neste ponto e raio igual à 
distância dele a qualquer um de seus extremos trace uma circunferência. Veja figura abaixo. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Agora, com centro em cada um dos extremos A e B e raio igual ao comprimento do 
segmento l, trace circunferências para obter os pontos C, D, E e F interseção destas 
circunferências com a circunferência anteriormente traçada como se mostra na figura abaixo. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
M 
A B 
DESENHANDO COM RÉGUA E COMPASSO ANTERIOR.docIvan Araújo Cordeiro de Albuquerque - 50 -
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
A solução é, por exemplo, o paralelogramo de vértices nos pontos A, C, B, e F como está 
indicado na figura abaixo 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
E F 
D C 
A B 
E F 
D C 
A B 
DESENHANDO COM RÉGUA E COMPASSO ANTERIOR.doc 
Ivan Araújo Cordeiro de Albuquerque - 51 -
Construir um retângulo, conhecendo sua diagonal d e o ângulo que esta forma com um dos 
lados. Figura abaixo. 
 
 
 
 
 
 
Trace uma semi-reta com origem em um ponto O qualquer e em seguida transporte o ângulo 
de forma que este tenha vértice no ponto O e um dos lados sobre esta semi-reta, como 
indicado na figura que segue. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Observe que ao se transportar o ângulo seus lados foram prolongados convenientemente, 
como se ver acima. 
Com a abertura do compasso igual ao comprimento do segmento d , diagonal do retângulo, 
determine sobre qualquer um dos lados do ângulo transportado o ponto P cuja distância ao 
ponto O seja igual ao comprimento do segmento d, como, por exemplo, se indica na figura 
abaixo. 
 
 
 
 
 
 
d 
O 
DESENHANDO COM RÉGUA E COMPASSO ANTERIOR.doc 
Ivan Araújo Cordeiro de Albuquerque - 52 -
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Pelo ponto P trace duas retas perpendiculares: uma ao lado do ângulo que não contém o 
ponto P, designada por m, e a outra a desta, designada por s. Agora, pelo ponto O trace uma 
paralela a s, designada por y. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
O 
P 
Q O 
P 
m 
s R 
DESENHANDO COM RÉGUA E COMPASSO ANTERIOR.doc 
Ivan Araújo Cordeiro de Albuquerque - 53 -
Obtendo-se assim os pontos: Q, interseção de m com o lado do ângulo e R, interseção de s, 
com y. Veja a figura acima. 
A solução é o retângulo de vértices nos pontos O, Q, P e R, ilustrado na figura abaixo. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Construção de um retângulo conhecido sua diagonal d e um dos ângulos formados por elas. 
Como se ver abaixo 
 
 
 
 
 
Construa um segmento de reta com comprimento igual ao comprimento do segmento d 
designando seus extremos pelas letras A e B e, determine seu ponto médio, M, como se 
mostra na figura abaixo. 
 
 
 
d 
O 
P 
m 
s R 
Q 
DESENHANDO COM RÉGUA E COMPASSO ANTERIOR.doc 
Ivan Araújo Cordeiro de Albuquerque - 54 -
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Transporte o ângulo de forma que este tenha seu vértice no ponto M e um dos lados sobre o 
segmento AB , como ilustrado na figura abaixo. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Construa uma circunferência centrada no ponto M e com raio igual à metade do comprimento 
do segmento AB , determinando os pontos C e D como interseção desta circunferência com 
o prolongamento do lado do ângulo que não coincide com o segmento AB . Veja figura 
abaixo. 
 
 
d 
M A B 
M A B 
DESENHANDO COM RÉGUA E COMPASSO ANTERIOR.doc 
Ivan Araújo Cordeiro de Albuquerque - 55 -
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
A solução é o retângulo de vértices nos pontos A, D, B, e C ilustrado na figura abaixo 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
PARALELOGRAMO – Quadrilátero com os lados não consecutivos paralelos. 
 
Construção de um paralelogramo conhecidos os segmentos 21 l e l congruentes a seus lados 
e o segmento 
2l
h congruente a altura relativa a um dos lados, por exemplo, l2. Veja a figura 
que segue. 
 
 
 
 
 
2
1
l
l
h
 
M A B 
C 
D 
M A B 
C 
D 
DESENHANDO COM RÉGUA E COMPASSO ANTERIOR.doc 
Ivan Araújo Cordeiro de Albuquerque - 56 -
Trace um segmento de reta congruente ao segmento 2l , designando seus extremos pelas 
letras A e B, AB , e tome-o como base. Por um ponto qualquer do segmento AB , por 
exemplo, o ponto A, trace uma perpendicular a ele, e nela determine o ponto P, cuja 
distância ao ponto A seja igual ao comprimento do segmento h, e por ele trace uma paralela 
ao segmento AB . Veja figura abaixo. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Construa dos arcos de circunferência de raio igual ao comprimento do segmento l1 e centro 
nos pontos A e B respectivamente, obtendo os pontos C e D sobre a paralela já traçada 
como se mostra na figura abaixo. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
A solução é o paralelogramo de vértices nos pontos A, B, C e D, ilustrado na figura abaixo. 
 
 
 
 
 
 
 
 
P 
A B 
P 
A B 
C P 
A B 
D 
DESENHANDO COM RÉGUA E COMPASSO ANTERIOR.doc 
Ivan Araújo Cordeiro de Albuquerque - 57 -
LOSANGO – Paralelogramo com os lados congruentes entre si com um ângulo interno não 
congruente ao ângulo reto. 
 
Construção de um losango, conhecido um segmento congruente a seu lado l e um de seus 
ângulos internos, como por exemplo, se mostra na figura abaixo. 
 
 
 
Construa um segmento de resta congruente ao segmento l designando seus extremos pelas 
letras A e B, AB , e transporte o ângulo de forma que seu vértice coincida com o ponto A e 
um de seus lados esteja sobre o segmento AB , como se ver na figura abaixo. 
 
 
 
 
 
 
 
 
Construa uma circunferência com centro no ponto A e raio igual ao comprimento do 
segmento l, determinando sobre o prolongamento do lado do ângulo o ponto C, conforme 
ilustrado na figura abaixo. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
l 
A B 
A B 
C 
DESENHANDO COM RÉGUA E COMPASSO ANTERIOR.doc 
Ivan Araújo Cordeiro de Albuquerque - 58 -
Com centro nos pontos C e B e raio também igual ao comprimento do segmento l, trace 
arcos de circunferência para determina o ponto D como estar indicado na figura abaixo. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
A solução é o losango cujos vértices são os pontos A, B, D e C, ilustrado na figura abaixo. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
D 
A B 
C 
A B 
C D 
DESENHANDO COM RÉGUA E COMPASSO ANTERIOR.doc 
Ivan Araújo Cordeiro de Albuquerque - 59 -
Construir um losango, conhecidos o segmento l congruente a seu lado e o segmento d 
congruente a sua diagonal menor. Veja figura abaixo. 
 
 
 
 
 
Construa o segmento de reta AB congruente ao segmento d . 
 
 
 
 
 
 
 
Agora trace duas circunferências de raio igual ao comprimento do segmento l, uma com 
centro no ponto A e a outra com centro no ponto B determinando-se os pontos C e D como 
suas interseções. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
d 
l 
A B 
A B 
C 
D 
DESENHANDO COM RÉGUA E COMPASSO ANTERIOR.doc 
Ivan Araújo Cordeiro de Albuquerque - 60 -
A solução é o losango de vértices nos pontos A, B, C e D, indicado na figura abaixo 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
TRAPÉZIO – Quadrilátero com apenas dois de seus lados paralelos. 
 
Construção de um trapézio isósceles, conhecendo-se os segmentos 21 b,b congruentes as 
suas bases e o segmento h congruente a sua altura, relativa a qualquer uma dessa bases. 
 
 
 
 
 
 
 
Construa um segmento de reta de extremos A e B, AB , e congruente ao segmento b2, por 
exemplo, e em seguida trace sua mediatriz, determine seuponto médio M. 
 
 
 
A B 
C 
D 
h 
b1 
b2 
DESENHANDO COM RÉGUA E COMPASSO ANTERIOR.doc 
Ivan Araújo Cordeiro de Albuquerque - 61 -
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Sobre a mediatriz determine o ponto P cuja distância ao ponto médio M seja igual ao 
comprimento do segmento h e por ele trace uma paralela ao segmento AB . Veja a figura 
abaixo. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Determine o ponto médio M’ do segmento b1 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
A B M 
A B M 
P 
M’ 
DESENHANDO COM RÉGUA E COMPASSO ANTERIOR.doc 
Ivan Araújo Cordeiro de Albuquerque - 62 -
Com a ponta sega do compasso no ponto P e a abertura do mesmo igual à metade do 
comprimento do segmento b1, localize sobre a paralela ao segmento AB já traçada pelo 
ponto P os pontos C e D. Veja a figura abaixo. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
A solução é o trapézio de vértices nos pontos A, B, C e D ilustrado na figura abaixo. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
A B M 
P 
C D 
A B M 
P 
C D 
DESENHANDO COM RÉGUA E COMPASSO ANTERIOR.doc 
Ivan Araújo Cordeiro de Albuquerque - 63 -
Construir um trapézio escaleno conhecidos: um segmento h congruente a sua altura, e os 
segmentos l , 1b e 2b respectivamente congruentes a um de seus lados, sua base menor e 
sua base maior. Na figura abaixo são dados exemplos destes segmentos. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Construa um segmento de reta congruente ao segmento b2 indicando seus extremos pelas 
letras A e B, AB . Por um ponto qualquer deste segmento AB , por exemplo, o ponto A, 
determine uma semi-reta perpendicular a ele. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Sobre esta semi-reta determine o ponto P de forma que sua distância ao ponto A seja igual 
ao comprimento do segmento h conforme indicado na figura abaixo e por ele trace uma 
paralela ao segmento AB . 
 
 
h 
l 
b1 
b2 
A B 
DESENHANDO COM RÉGUA E COMPASSO ANTERIOR.doc 
Ivan Araújo Cordeiro de Albuquerque - 64 -
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Em seguida, com centro em qualquer um dos pontos A ou B, escolho B, e raio igual ao 
comprimento do segmento l determine sobre a paralela traçada o ponto C e a partir dele 
determine, ainda sobre a paralela, o ponto D cuja distancia ao ponto C é igual ao 
comprimento do segmento 1b . Veja a figura abaixo. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
A solução é o trapézio de vértices nos pontos A, B, C e D, ilustrado na figura abaixo. 
 
D 
P 
A B 
C P 
A B 
DESENHANDO COM RÉGUA E COMPASSO ANTERIOR.doc 
Ivan Araújo Cordeiro de Albuquerque - 65 -
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
C P 
A B 
DESENHANDO COM RÉGUA E COMPASSO ANTERIOR.doc 
Ivan Araújo Cordeiro de Albuquerque - 66 -
PENTÁGONO REGULAR 
 
 
Construir um pentágono regular conhecendo um segmento de reta congruente a seu lado. 
Dado um segmento de reta AB como, por exemplo, o segmento a seguir. 
 
 
 
 
Em primeiro lugar, vamos determinar seu ponto médio, M, conforme indicado na figura abaixo. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Por um dos extremos do segmento AB , digamos B, trace uma perpendicular ao mesmo e 
sobre ela determine um ponto C cuja distância ao segmento AB seja igual à distância de B 
até M, como ilustrado na figura abaixo. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
A B 
A B M 
C 
A B M 
DESENHANDO COM RÉGUA E COMPASSO ANTERIOR.doc 
Ivan Araújo Cordeiro de Albuquerque - 67 -
Considere o triângulo retângulo ABC e sobre sua hipotenusa determine o ponto D, interseção 
desta hipotenusa com a circunferência centrada no ponto C e raio e igual à distância entre os 
pontos C e B.Veja figura abaixo. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Com a ponta seca do compasso no ponto A e sua abertura igual à distância do ponto A ao 
ponto D, determine o ponto E, como interseção da circunferência centrada no ponto B e raio 
igual comprimento do segmento AB , conforme a figura abaixo. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Considere agora o triângulo de vértices nos pontos A, B e E – este triângulo é, por construção, 
um triângulo áureo como se explica no apêndice mais a frente. Prolongando-se o segmento 
BE até que este encontre a circunferência centrada no ponto A e raio igual ao comprimento 
do segmento AB determina-se sobre esta o ponto F. Conforme se mostra na figura abaixo. 
 
 
Fig.3 
D 
C 
A B M 
E 
D 
C 
A B M 
DESENHANDO COM RÉGUA E COMPASSO ANTERIOR.doc 
Ivan Araújo Cordeiro de Albuquerque - 68 -
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Considere o segmento AF , conforme figura abaixo. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Os triângulos AEFΔ e FABΔ são semelhantes e daí conclui-se a congruência dos ângulos 
( )EAF∠ e ( )FAB∠ . Com centro no ponto B traçamos a circunferência de raio igual ao 
comprimento do segmento AE obtendo o ponto G como interseção desta circunferência com 
a circunferência centrada no ponto A e de raio igual ao comprimento do segmento AB . Veja a 
figura abaixo 
F 
E 
D 
C 
A B M 
F 
E 
D 
C 
A B M 
DESENHANDO COM RÉGUA E COMPASSO ANTERIOR.doc 
Ivan Araújo Cordeiro de Albuquerque - 69 -
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Prolongue o segmento de reta AG ate que este intercepte a circunferência centrada no ponto 
B e cujo raio é igual ao comprimento do segmento AB , chame este ponto de H e considere o 
segmento BH. Observe a figura abaixo. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
F 
E 
D 
C 
A B M 
G 
F 
E 
D 
C 
A B M 
G 
H 
DESENHANDO COM RÉGUA E COMPASSO ANTERIOR.doc 
Ivan Araújo Cordeiro de Albuquerque - 70 -
Agora, construa as circunferências de raio igual ao comprimento do segmento AB centradas 
nos pontos F e H obtendo o ponto I, uma de suas interseções, como se ver na figura que 
segue. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Ligando o ponto I aos pontos F e H, atingimos nosso objetivo pois os segmentos AB , BH, HI 
e IA , lados do polígono, são congruentes. É fácil ver que os ângulos ( )FAB∠ , ( )ABH∠ , ( )BHI∠ 
e ( )IFA∠ são congruentes. Portanto o polígono de cinco lados construído acima é eqüilátero e 
eqüiângulo, regular então. Olhe a figura que segue. 
 
 
 
 
 
 
 
 
F 
E 
D 
C 
A B M 
G 
H 
I 
DESENHANDO COM RÉGUA E COMPASSO ANTERIOR.doc 
Ivan Araújo Cordeiro de Albuquerque - 71 -
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 H 
E 
A B 
C 
D 
G
D 
I 
F 
M