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Lógica Matemática e Computacional – Resumo Prof.: Antônio Flavio Claras I – INTRODUÇÃO À LÓGICA Divisões da Lógica: Lógica Formal e Lógica Material Os elementos que fundamentam a Lógica pretendem fazer com que aprendamos a raciocinar corretamente, conforme as leis estabelecidas pelo pensamento. Ou seja, a Lógica serve para desenvolver a habilidade de cada um de nós de aprender a compreender as singularidades de questões tidas como óbvias, para as quais é comum ou corriqueiro não termos preocupação em perguntar por que ocorre desta maneira e não de outra. É aplicada com o propósito de demonstrar a verdade sobre determinada coisa. É a relação do pensamento com a realidade posta. Para tanto, é classificada em Lógica Formal e Lógica Material. Noções da História da Lógica (Matemática) A Lógica tem início com Sócrates (384 a.C.-322 a.C.), denominada lógica clássica. Desde o início, na Grécia Antiga, a Lógica (Matemática) toma como base as necessidades que as pessoas têm de compreender o mundo onde estão inseridas a partir da observação das regularidades nas ocorrências para utilizá-las a seu favor nas tarefas do cotidiano. A sistematização da Lógica Matemática é atribuída a George Boole (1815-1864). Assim como outros campos da matemática, a Lógica Matemática também consiste em um conhecimento que é observado pelo homem desde os primórdios da humanidade, e que tomou como ponto de partida as maneiras de resolver e entender racionalmente, a partir de conceitos matemáticos, determinados modos de comportamentos das pessoas, em sociedade ou individualmente. Linguagem Aqui trataremos de dois tipos de linguagem: natural e artificial. A linguagem natural é aquela desenvolvida pelos grupos sociais para se comunicar; enquanto a linguagem artificial ou formal é criada de modo consciente e natural, e serve para resolver problemas colocados pela linguagem natural. Configura-se como uma linguagem universal. A compreensão da linguagem matemática e o raciocínio lógico (linguagem artificial) em um texto matemático depende do desenvolvimento do raciocínio lógico e da relação de aprendizado que o aluno tem com uma linguagem própria e que não é utilizada de modo corriqueiro. Dominar essa linguagem é uma tarefa que demanda uma boa quantidade de exercícios específicos. É importante ficar atento para o fato de que em matemática não existe sentido figurado. Para auxiliar na compreensão e aplicação dessa linguagem, dispomos dos símbolos utilizados pela Teoria dos Conjuntos, denominado Diagrama de Venn. Tabela Verdade A Tabela verdade, tabela de verdade ou tabela veritativa consiste em uma tabela matemática usando a linguagem formal em Lógica, para determinar se uma premissa é válida. Na elaboração da tabela verdade, devemos observar três princípios: o princípio da identidade, que afirma que todo objeto é idêntico a ele mesmo; o princípio da contradição, que define que, quando são dadas duas proposições contraditórias (uma é negação da outra), uma delas é falsa; e o princípio do terceiro excluído, que determina que, quando são dadas duas proposições contraditórias, uma delas é verdadeira. II – CÁLCULO PROPOSICIONAL Tautologia A tautologia é um termo que expressa ideias iguais, porém, de modos diferentes. Se estivéssemos estudando Língua Portuguesa, estaríamos tratando de pleonasmo ou redundância. Portanto, tautologia é dizer sempre a mesma coisa em termos diferentes ou “afirmar uma afirmação”. Define-se como um argumento tautológico uma expressão que se explica por ela mesma, às vezes redundante ou falaciosamente. Alguns exemplos de ditos populares que são tautologias: "tudo o que é demais sobra"; "elo de ligação"; "acabamento final"; "certeza absoluta"; "em duas metades iguais"; "vereador da cidade" e outros tantos. Em Lógica Matemática, as tautologias são representadas pelos conectivos, afirmando ou negando as premissas. As tautologias são infinitas e têm papel fundamental para a dedução do Cálculo Proposicional. Em resumo, podemos afirmar que uma tautologia é sempre verdadeira. Regras de Inferência São regras de transformação a partir de uma linguagem formal que podem ser utilizadas para chegar ou inferir a conclusão sobre um argumento, ou para criar um argumento. Podemos entender a Inferência como o processo pelo qual se chega a uma proposição, tomando como parâmetro proposições (tautologias) que já foram aceitas. Nesse contexto, é importante ressalvar que há um conjunto de regras já reconhecidas que definem a validação de um argumento a partir das premissas. Propriedades da Lógica As propriedades da Lógica (Matemática) são embasadas em quatro regras fundamentais: equivalência; implicação; negação; e conjunção, disjunção e disjunção exclusiva. Para aplicação das propriedades, há um conjunto de símbolos (linguagem formal) que ajudam a elaborar uma proposição ou argumento. Esses símbolos ou representações são utilizados em várias áreas de pesquisa, como inteligência artificial, projeto de circuito lógico, teoria de autômatos e computabilidade, entre outros. Para aplicação de uma propriedade, é necessário estabelecer uma definição, que consiste em uma afirmação ou proposição em que culminará com uma sentença que é verdadeira (V) ou falsa (F), mas não ambas. Circuitos Por meio dos circuitos é possível observar, de modo bem prático, com aplicações no cotidiano, os conceitos da lógica. O modo como a álgebra booleana expressa a operação de um circuito pode ser representada por uma operação algébrica, tomando como princípio que há apenas duas constantes e variáveis, indicadas por 0 e 1. Na álgebra booleana, há somente três valores para a realização das operações básicas: AND (E), OR (OU), NOT (NÃO). III – SENTENÇAS ABERTAS Demonstração Direta As Demonstrações Direta e Indireta têm como finalidade demonstrar a validade de um argumento. A Demonstração Direta só é aplicável quando se tratar de um argumento válido ou tautológico, ou seja, quando uma proposição é formalmente dedutível de determinadas proposições ou premissas que é quando, e somente quando, estas formarem uma sequência de proposições. A Demonstração Indireta ou por Absurdo tem a mesma função, entretanto, utiliza-se do princípio da contradição. Demonstração por redução ao absurdo São dois os métodos tratados aqui: o método dedutivo e o método indutivo. O método dedutivo utiliza- se da dedução para concluir sobre determinada(s) premissa(s). Ou seja, parte de situações gerais, amplas para concluir sobre uma questão particular. No método indutivo, o raciocínio utilizado é inverso ao utilizado no método dedutivo. Parte-se de uma situação particular para concluir sobre questões gerais. Os métodos têm como finalidade simplificar ou minimizar o número de seus termos em uma função booleana. Para nosso estudo, focaremos no método mapa de Karnaugh, que toma como princípio o método dedutivo. Árvore de refutação As fórmulas têm como finalidade tornar mais simples e objetiva a representação de uma proposição, bem como tornar sua compreensão universal. Isso significa, em lógica matemática, representar uma proposição numa linguagem formal, traduzindo matematicamente as regras de determinados objetos do universo investigado. Há fórmulas abertas, fechadas, mais elaboradas, mais simples. Seu desenvolvimento está relacionado com a singularidade do objeto observado. Linguagem: Predicados de Primeira Ordem A linguagem da lógica de primeira ordem é mais significativa que a linguagem da lógica proposicional. Diferentemente do cálculo de primeira ordem, esta permite mais possibilidades de representação sobre valores e propriedades de operações matemáticas. Dotada de uma linguagem que pode ser denominadacomo mais formal, tem várias aplicações importantes para diversas áreas do conhecimento. As linguagens computacionais denominadas procedurais e declarativas utilizam-se invariavelmente dos conceitos estabelecidos pela lógica de primeira ordem. Referências ABAR, C. Noções de lógica matemática. São Paulo: PUC, 2008. DAGHLIAN, J. Lógica e álgebra de Boole. 4. ed. São Paulo: Atlas, 2006. FILHO, E. de A. Iniciação à lógica matemática. São Paulo: Nobel, 2002. Disponível em: https://cld.pt/dl/download/ed36a4b9-168e-4361-8e2e-f587790 a8d98/Iniciacao_Logica_Matematica.pdf. Acesso em: 03 mar. 2017. GERSTING, J. L. Fundamentos matemáticos para a ciência da computação: um tratamento moderno de matemática discreta. 5. ed. Rio de Janeiro: LTC, 2004. ROSEN, K. H. Matemática discreta e suas aplicações. São Paulo: Mc-Graw Hill, 2009. SOARES, E. Fundamentos de lógica: elementos de lógica formal e teoria da argumentação. São Paulo: Atlas, 2003.
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