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UFRJ Instituto de Matemática Disciplina: Álgebra Linear II Professor: Bruno, Luiz Carlos, Mário, Milton, Mo- nique e Paulo Data: 11 de julho de 2012 Prova de 2a Chamada 1. Seja A uma matriz quadrada. Se ~v pertence ao núcleo de A e ~w pertence à imagem de A, então 〈~v, ~w〉 = 0. (a) A afirmativa é verdadeira. (b) A afirmativa é falsa. (c) Não sei. 2. Sejam V um espaço vetorial de dimensão 2 e T : V → V uma transformação linear. Se ~v é autovetor associ- ado a 3 e ~u é autovetor associado a -2, então é falso afirmar que: (a) T é diagonalizável. (b) T (~v + ~u) = 3T (~v)− 2T (~u). (c) T (2~v − 3~u) = 6~v + 6~u. (d) {~v, ~u} é LI. (e) Não sei. 3. Seja λ autovalor de uma matriz A. É falso afirmar que: (a) A e AT sempre têm os mesmos autoespaços; (b) Se A for não-singular, então 1/λ é autovalor de A−1 (c) A e AT sempre têm os mesmo autovalores; (d) λn é autovalor de An; (e) Não sei. 4. Qual dos seguintes conjuntos não é um subespaço: (a) O conjunto de soluções de A~x = ~b, onde ~b 6= ~0. (b) O complemento ortogonal do espaço gerado por um único vetor não nulo. (c) A imagem de uma matriz real m× n. (d) O núcleo de uma matriz real m× n. (e) Não sei. 5. Seja A uma matriz m× n qualquer. É falso afirmar que: (a) O núcleo de AT é o complemento ortogonal do espaço coluna de A. (b) O núcleo de A é o complemento ortogonal do espaço linha de A. (c) O núcleo de A é o complemento ortogonal do espaço coluna de A. (d) O núcleo de A é o complemento ortogonal da imagem de AT . (e) Não sei. 6. Sejam ~v1, ~v2, ~v3 e ~w vetores quaisquer de R3. Assinale a alternativa falsa. (a) det ([ ~v1 ~v2 + ~w ~v3 ]) = det ([ ~v1 ~v2 ~v3 ]) + det ([ ~v1 ~w ~v3 ]) (b) det ([ ~v1 ~v2 ~v3 ]) = 0 se, e somente se, {~v1, ~v2, ~v3} é LD. (c) det ([ ~v1 ~v2 + 2~v3 ~v3 ]) = det ([ ~v1 ~v2 ~v3 ]) (d) 3 det ([ ~v1 ~v2 ~v3 ]) = det ([ 3~v1 3~v2 3~v3 ]) (e) Não sei. 7. Quais são os autovalores e bases dos respectivos au- toespaços da matriz T = − 4 5 − 3 5 0 0 − 3 5 4 5 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 ? (a) λ1 = −1 e {[1, 3, 0, 0] , [0, 0, 1, 1]} e λ2 = 1 e {[0, 0, 1, 1] , [3, 1, 0, 0]} (b) λ1 = 1 e {[1,−3, 0, 0] , [0, 0, 1, 1]} e λ2 = −1 e {[0, 0,−1, 1] , [3, 1, 0, 0]} (c) λ1 = 1 e {[1,−3, 1, 1]} e λ2 = −1 e {[3, 1,−1, 1]} (d) λ1 = 1 e {[1,−3, 1, 1]} e λ2 = 0 e {[3, 1,−1, 1]} (e) Não sei. 8. Se as colunas de An×n formam um conjunto orto- normal, então det(A) = 0. (a) A afirmativa é verdadeira. (b) A afirmativa é falsa. (c) Não sei. 9. A reta que melhor ajusta os dados da tabela x y 1 2 4 -9 6 9 , no sentido dos mínimos quadrados é y = x − 3. Use este fato para calcular a projeção ortogonal do vetor (2,−9, 9) sobre 〈(1, 4, 6), (1, 1, 1)〉: (a) (4,−10, 6) (b) (−2, 1, 3) (c) (−8, 20,−12) (d) (1,−3) (e) Não sei. Nome: Teste 130, pág. 1 10. Se T : R2 → R2 é uma reflexão ortogonal em relação a uma reta, então T possui dois autovetores linearmente independentes. (a) A afirmativa é verdadeira. (b) A afirmativa é falsa. (c) Não sei. 11. Se V é um espaço vetorial com produto interno e H ⊂ V é um subespaço de dimensão 3, então todo conjunto ortogonal de 3 vetores não nulos de H é uma base de H. (a) A afirmativa é verdadeira. (b) A afirmativa é falsa. (c) Não sei. 12. Seja F = {(a, b, c, d, e) ∈ R5|a = d − 2b, b = 2e + a}. Então, uma base para F será: (a) {(0, 1, 0, 2, 1/2), (1,−2, 0, 1, 0), (0, 0, 0, 1, 0)}. (b) {(1,−2, 1), (0, 1, 0)}. (c) {(1, 0, 0, 1,−1/2), (0, 1, 0, 2, 1/2)}. (d) {(2, 0, 0, 2,−1), (0, 2, 0, 4, 1), (0, 0, 1, 0, 0)}. (e) Não sei. 13. A forma totalmente escalonada de uma matriz A4×5 é igual a 1 0 1 1 00 1 1 1 0 0 0 0 0 1 . Assinale a alternativa correta: (a) O posto de A é 3. (b) A~x = ~b tem solução para todo lado direito da forma ~b = (b1, b2, b3, 0). (c) AAT é invertível. (d) A dimensão do núcleo de A é 1. (e) Não sei. 14. Calcule det 2 −1 2 1 3 0 −3 −2 0 0 1 0 −7 0 −5 4 . (a) 3 (b) 0 (c) -2 (d) 12 (e) Não sei. 15. Seja A6×3 uma matriz com colunas linearmente inde- pendentes. A seguinte fórmula representa a projeção ortogonal de um vetor qualquer ~b sobre a imagem de A: (a) A−1~b (b) ( I − (ATA)−1AT ) ~b (c) (ATA)−1AT~b (d) A(ATA)−1AT~b (e) Não sei. Nome: Teste 130, pág. 2
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