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Prova-2a-Chamada-AL-11-7-2012

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UFRJ
Instituto de Matemática
Disciplina: Álgebra Linear II
Professor: Bruno, Luiz Carlos, Mário, Milton, Mo-
nique e Paulo
Data: 11 de julho de 2012
Prova de 2a Chamada
1. Seja A uma matriz quadrada. Se ~v pertence ao núcleo
de A e ~w pertence à imagem de A, então 〈~v, ~w〉 = 0.
(a) A afirmativa é verdadeira.
(b) A afirmativa é falsa.
(c) Não sei.
2. Sejam V um espaço vetorial de dimensão 2 e T : V →
V uma transformação linear. Se ~v é autovetor associ-
ado a 3 e ~u é autovetor associado a -2, então é falso
afirmar que:
(a) T é diagonalizável.
(b) T (~v + ~u) = 3T (~v)− 2T (~u).
(c) T (2~v − 3~u) = 6~v + 6~u.
(d) {~v, ~u} é LI.
(e) Não sei.
3. Seja λ autovalor de uma matriz A. É falso afirmar
que:
(a) A e AT sempre têm os mesmos autoespaços;
(b) Se A for não-singular, então 1/λ é autovalor de
A−1
(c) A e AT sempre têm os mesmo autovalores;
(d) λn é autovalor de An;
(e) Não sei.
4. Qual dos seguintes conjuntos não é um subespaço:
(a) O conjunto de soluções de A~x = ~b, onde ~b 6= ~0.
(b) O complemento ortogonal do espaço gerado por
um único vetor não nulo.
(c) A imagem de uma matriz real m× n.
(d) O núcleo de uma matriz real m× n.
(e) Não sei.
5. Seja A uma matriz m× n qualquer. É falso afirmar
que:
(a) O núcleo de AT é o complemento ortogonal do
espaço coluna de A.
(b) O núcleo de A é o complemento ortogonal do
espaço linha de A.
(c) O núcleo de A é o complemento ortogonal do
espaço coluna de A.
(d) O núcleo de A é o complemento ortogonal da
imagem de AT .
(e) Não sei.
6. Sejam ~v1, ~v2, ~v3 e ~w vetores quaisquer de R3. Assinale
a alternativa falsa.
(a) det
([
~v1 ~v2 + ~w ~v3
])
=
det
([
~v1 ~v2 ~v3
])
+ det
([
~v1 ~w ~v3
])
(b) det
([
~v1 ~v2 ~v3
])
= 0 se, e somente se,
{~v1, ~v2, ~v3} é LD.
(c) det
([
~v1 ~v2 + 2~v3 ~v3
])
= det
([
~v1 ~v2 ~v3
])
(d) 3 det
([
~v1 ~v2 ~v3
])
= det
([
3~v1 3~v2 3~v3
])
(e) Não sei.
7. Quais são os autovalores e bases dos respectivos au-
toespaços da matriz T =


− 4
5
− 3
5
0 0
− 3
5
4
5
0 0
0 0 0 1
0 0 1 0

?
(a) λ1 = −1 e {[1, 3, 0, 0] , [0, 0, 1, 1]} e
λ2 = 1 e {[0, 0, 1, 1] , [3, 1, 0, 0]}
(b) λ1 = 1 e {[1,−3, 0, 0] , [0, 0, 1, 1]} e
λ2 = −1 e {[0, 0,−1, 1] , [3, 1, 0, 0]}
(c) λ1 = 1 e {[1,−3, 1, 1]} e
λ2 = −1 e {[3, 1,−1, 1]}
(d) λ1 = 1 e {[1,−3, 1, 1]} e
λ2 = 0 e {[3, 1,−1, 1]}
(e) Não sei.
8. Se as colunas de An×n formam um conjunto orto-
normal, então det(A) = 0.
(a) A afirmativa é verdadeira.
(b) A afirmativa é falsa.
(c) Não sei.
9. A reta que melhor ajusta os dados da tabela
x y
1 2
4 -9
6 9
,
no sentido dos mínimos quadrados é y = x − 3. Use
este fato para calcular a projeção ortogonal do vetor
(2,−9, 9) sobre 〈(1, 4, 6), (1, 1, 1)〉:
(a) (4,−10, 6)
(b) (−2, 1, 3)
(c) (−8, 20,−12)
(d) (1,−3)
(e) Não sei.
Nome: Teste 130, pág. 1
10. Se T : R2 → R2 é uma reflexão ortogonal em relação a
uma reta, então T possui dois autovetores linearmente
independentes.
(a) A afirmativa é verdadeira.
(b) A afirmativa é falsa.
(c) Não sei.
11. Se V é um espaço vetorial com produto interno e H ⊂
V é um subespaço de dimensão 3, então todo conjunto
ortogonal de 3 vetores não nulos de H é uma base de
H.
(a) A afirmativa é verdadeira.
(b) A afirmativa é falsa.
(c) Não sei.
12. Seja F = {(a, b, c, d, e) ∈ R5|a = d − 2b, b = 2e + a}.
Então, uma base para F será:
(a) {(0, 1, 0, 2, 1/2), (1,−2, 0, 1, 0), (0, 0, 0, 1, 0)}.
(b) {(1,−2, 1), (0, 1, 0)}.
(c) {(1, 0, 0, 1,−1/2), (0, 1, 0, 2, 1/2)}.
(d) {(2, 0, 0, 2,−1), (0, 2, 0, 4, 1), (0, 0, 1, 0, 0)}.
(e) Não sei.
13. A forma totalmente escalonada de uma matriz A4×5
é igual a

 1 0 1 1 00 1 1 1 0
0 0 0 0 1

. Assinale a alternativa
correta:
(a) O posto de A é 3.
(b) A~x = ~b tem solução para todo lado direito da
forma ~b = (b1, b2, b3, 0).
(c) AAT é invertível.
(d) A dimensão do núcleo de A é 1.
(e) Não sei.
14. Calcule det




2 −1 2 1
3 0 −3 −2
0 0 1 0
−7 0 −5 4



.
(a) 3
(b) 0
(c) -2
(d) 12
(e) Não sei.
15. Seja A6×3 uma matriz com colunas linearmente inde-
pendentes. A seguinte fórmula representa a projeção
ortogonal de um vetor qualquer ~b sobre a imagem de
A:
(a) A−1~b
(b)
(
I − (ATA)−1AT
)
~b
(c) (ATA)−1AT~b
(d) A(ATA)−1AT~b
(e) Não sei.
Nome: Teste 130, pág. 2

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