Dinâmica de manipuladores robóticos

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SEM0317 SEM0317 –– Aula 8Aula 8
Dinâmica de Manipuladores Dinâmica de Manipuladores 
RobóticosRobóticosRobóticosRobóticos
Prof. Dr. Marcelo BeckerProf. Dr. Marcelo Becker
EESC - USP
•• IntroduçãoIntrodução
•Método Newton-Euler
•Método de Krane
Sumário da AulaSumário da Aula
•Método de Krane
•Exemplos de Aplicação
•Exercícios Recomendados
•Bibliografia Recomendada
EESC-USP © M. Becker 2008 2/77
IntroduçãoIntrodução
• O porquê do uso de modelos dinâmicos em robótica:
EESC-USP © M. Becker 2008 3/77
IntroduçãoIntrodução
• O porquê do uso de modelos dinâmicos em robótica:
EESC-USP © M. Becker 2008 4/77
IntroduçãoIntrodução
• Deseja-se compreender:
– Torques e Forças (internos/externos)
• 2 problemas principais:
– Dados deseja-se:θθθ &&&e, τ– Dados deseja-se:
– Como o manipulador irá se movimentar 
com a aplicação de ,ou seja, 
obter:
• Base: sistemas multi-corpos
θθθ &&&e, τ
τ
θθθ &&&e,
EESC-USP © M. Becker 2008 5/77
IntroduçãoIntrodução
• Equações de Movimento... 
),(),()( uqFuqVuqM =+&
),()( tqBqqAu += &
iam ⋅=∑F
ω×ω+α=τ∑ II
Formulação Mínima → G.D.L.Formulação Completa → Corpos
),()( tqBqqAu += &ω×ω+α=τ∑ II
EESC-USP © M. Becker 2008 6/77
IntroduçãoIntrodução
• Descrição da Dinâmica... 
Dinâmica Direta (Simulação)
Dados: Posições e Velocidades no instante inicial t0
Forças e Torques (F , τ) no instante inicial t0τ 0
Leis de Formação para F e τ quando t > t0 
(Exemplo: Leis de Controle)
Procura-se: Movimentos resultantes 
(comportamento) para t > t0
SOLUÇÃO
Integração das 
Equações de Movimento
Sist. de Equações Diferenciais
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IntroduçãoIntrodução
• Descrição da Dinâmica... 
Dinâmica Inversa (Comando, Controle em Malha Aberta)
Dados: Movimentos desejados (posições, velocidades,
acelerações) para t > t0
Forças e Torques de contatoForças e Torques de contato
Procura-se: Forças e Torques nas articulações dos robôs
SOLUÇÃO
Resolução das 
Equações de Movimento
Sist. de Equações Algébricas
Planejador de
Trajetorias
Sistema de
Controle Robô
τ
dθ
dθ&
dθ&&
θ
θ&
),(),()( uqFuqVuqM =+&
EESC-USP © M. Becker 2008 8/77
IntroduçãoIntrodução
• Métodos mais empregados em 
Robótica:
– Newton-Euler (N-E)
– Krane– Krane
– Lagrange-Euler (L-E)
– Equações Generalizadas de d’Alembert (D)
• Qual empregar?
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IntroduçãoIntrodução
• Comparação (Fu et al., 1987): n - DoFs 
Método L-E N-E D
Multiplicações
128/3n4 + 512/3n3 + 
739/3n2 + 160/3n
132n
13/6n3 + 105/2n2 + 
268/3n+ 69739/3n2 + 160/3n 268/3n+ 69
Adições
98/3n4 + 781/6n3 + 
559/3n2 + 245/6n
111n - 4
4/3n3 +44n3 + 
146/3n2 + 45n
Representação 
Cinemática
Matrizes 
Homogêneas 4x4
Matrizes de 
Rotação e Vetores 
de Posição
Matrizes de 
Rotação e Vetores 
de Posição
Equações de 
Movimento
Equações 
diferenciais 
“closed-form”
Equações 
Recursivas
Equações 
diferenciais 
“closed-form”
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IntroduçãoIntrodução
• Comparação (Fu et al., 1987): 6 - DoFs 
Método L-E N-E D
Multiplicações 101.348 792 2.963101.348 792 2.963
Adições 77.405 662 2.209
Representação 
Cinemática
Matrizes 
Homogêneas 4x4
Matrizes de 
Rotação e Vetores 
de Posição
Matrizes de 
Rotação e Vetores 
de Posição
Equações de 
Movimento
Equações 
diferenciais 
“closed-form”
Equações 
Recursivas
Equações 
diferenciais 
“closed-form”
EESC-USP © M. Becker 2008 11/77
IntroduçãoIntrodução
• Prós e Contras...
– L-E: 
� Equações em uma forma bem estruturada;
� Computacionalmente dispendiosas...
– N-E:– N-E:
� Conjunto de Equações Recursivas;
� Dificilmente empregadas para obter leis de 
controle mais “avançadas”...
– D:
�Equações em uma forma estruturada;
� Computacionalmente dispendiosas... 
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Newton-Euler
• Cada corpo rígido é considerado separadamente
• Quando da separação de cada corpo, as forças nos mancais 
precisam ser introduzidas e posteriormente eliminadas.
• O cálculo dos termos de inércia é feito através das 
acelerações.
IntroduçãoIntrodução
acelerações.
Lagrange-Euler
• O sistema é considerado por completo.
• Forças que não produzem trabalho (forças nos mancais), não 
precisam ser introduzidas.
• O cálculo dos termos de inércia, através da derivada da 
energia cinética é trabalhoso em sistemas grandes.
• Alguns dos termos calculados, anulam-se posteriormente em 
simplificações.
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Métodos de Projeção - Kane
(Kane, T.R., Levinson, D.A.: "Dynamics: Theory and Application", 
McGraw-Hill, 1985)
• Trata o sistema como um todo.
• Forças que não produzem trabalho (forças nos mancais), não 
precisam ser introduzidas.
IntroduçãoIntrodução
precisam ser introduzidas.
• Baseado no princípio das potências virtuais. Cálculo dos 
termos inerciais através de acelerações e produtos escalares 
com velocidades parciais.
Outros Métodos de Projeção: destaque especial Manfred Hiller.
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IntroduçãoIntrodução
• Observações...
– É usual desconsiderar forças de Coriolis e 
Centrífugas para aumentar a velocidade 
de controladores de manipuladores.de controladores de manipuladores.
– Porém essas forças são significantes no 
cálculo dos torques das juntas a altas 
velocidades...
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Possibilidades para o Controle
• Dedução das equações de movimento com o auxilio do 
computador
Atenção: Equações de movimento são difíceis de comparar.
IntroduçãoIntrodução
• Simulação das equações de movimento
Atenção: Equações de movimento são difíceis de comparar.
EESC-USP © M. Becker 2008 16/77
Software para análise de Sistemas MulticorposSoftware para análise de Sistemas Multicorpos
Características importantes para diferenciar programasCaracterísticas importantes para diferenciar programas
Catalogo de critériosCatalogo de critérios
• Numérico / Simbólico 
• Com / sem solução das Equações (Simulação)
• Abrangência das equações resultantes respectivamente 
duração das Simulações
• Capacidade para lidar com equações Lineares / Não-Lineares
• Capacidade de Linearização
• Equações de Vínculos gerados automaticamente / pelo 
usuário
• Equações de Vínculos gerados automaticamente / pelo 
usuário
• Dedução das Equações em modo interativo/ batch
• Genérico / Específico para aplicações especiais
• Somente corpos rígidos / corpos flexíveis
• Forças internas disponíveis diretamente
• Com / sem saídas e entradas gráficas
• Equipamento necessário / Preço
• Documentação e facilidade de ambientação e utilização
• Manutenção, suporte técnico
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Softwares de Interesse p/ Robôs Softwares de Interesse p/ Robôs 
(Sistemas Multicorpos)(Sistemas Multicorpos)
• Autolev (www.autolev.com)
• MSC.ADAMS® (www.mscsoftware.com) 
• Matlab/Simulink (www.mathworks.com/products/matlab)
• (www.cat.csiro.au/cmst/staff/pic/robot)
• Matlab/SimMechanics• Matlab/SimMechanics
(www.mathworks.com/products/simmechanics)
• Mathematica/TSI ProPac
(www.wolfram.com/products/applications/tsipropac)
• Mathematica/Robotica (robot0.ge.uiuc.edu/~spong/Robotica)
• Simpact
• GraspIt (www1.cs.columbia.edu/~allen/GRASPIT)
• Modellica (www.modellica.org)
EESC-USP © M. Becker 2008 18/77
Considerações sobre a construção de Considerações sobre a construção de 
Modelos para RobôsModelos para Robôs
Modelo + Simples (Possibilidades)
• Desprezar acoplamentos entre parte dos corpos dos robôs
• Desprezar termos de inércia em V(Q,U), considerando a matriz M(Q)
• Exclusão de termos que se mantêm muito pequenos
• Corpos como pontosou barras delgadas (momento de inércia)
Compromisso: descrição mais exata possível e o esforço correspondente
Modelo + Completo (Possibilidades)
• Considerar os atritos e as folgas
• Mecanismos de transmissão de força como estruturas contendo 
massas
• Elasticidades locais (redutores)
• Motores nos termos de inércia (inércia dos rotores e/ou efeitos 
giroscópios)
• Elos como estruturas elásticas contínuas
• Comportamento de componentes não mecânicos (motor elétrico)
• Ambiente externo, inclusão de contato
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Auxilio de SoftwareAuxilio de Software
Análise de Sistemas DinâmicosAnálise de Sistemas Dinâmicos
1. Construção do Modelo
Descrição simplificada → modelo mecânico simplificado.
“Apenas” as características de interesse do sistema real, 
porem da forma mais precisa possível.
2. Descrição Matemática
Formulação matemática das relações e leis físicas. 
Auxilio de 
Software
3. Determinação dos Parâmetros
Determinação dos parâmetros (valores) através de medidas 
diretas ou de identificação no sistema real / experimental
4. Aquisição de Informações
Informação sobre movimentos, forças e energia. 
Representação na forma de tabelas, gráficos (2D / 3D, 
estáticos / dinâmicos)
5. Interpretação
Conseqüências para a formulação construtiva, 
dimensionamento de atuadores ajuste dos controladores, 
carregamentos para FEM, etc ...
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Simulação de Sistemas MulticorposSimulação de Sistemas Multicorpos
Simulação → Integração das E.d.M.
Rotinas de Integração → Equações diferenciais de primeira ordem 
Representação de estados necessária a partir das E.d.M.
uqqJ
uqFuqVuqM
=
+−=
&
&
)(
),(),()( 





=
q
u
xVetor de estados








−
=





=
−
−
uqJ
uqVuqFM
q
u
x 1
1
)(
)),(),((
&
&
&
=uqM &)(
No entanto: O calculo explicito de M-1 e de J-1 em cada passo de 
integração é ineficiente e desnecessário.
Melhor: Solução do sistema de equações lineares .... e 
= ... para a cada passo de integraçãoqqJ &)(
EESC-USP © M. Becker 2008 21/77
Composição do Modelo
Dedução das Equações de
Movimento com auxilio do
Computador
Geração do Programa
E
n
g
e
n
h
e
i
r
o
A
u
t
o
l
e
v
Composição do Modelo
Dedução das Equações de
Movimento com auxilio do
Computador
Geração do Programa
E
n
g
e
n
h
e
i
r
o
A
u
t
o
l
e
v
Manipulador simbólico especializado para:
• Cinemática
• Dedução de Equações de Movimento 
para sistemas multicorpos pelo 
Método de Kane (por exemplo...)
Autolev
IntroduçãoIntrodução
Geração do Programa
de Simulação
Simulação das
Equações de Movimento
Representação Grafica
dos Resultados
M
a
t
l
a
b
 
/
 
C
M
a
t
l
a
b
 
/
 
C
 
/
G
n
u
P
l
o
t
Geração do Programa
de Simulação
Simulação das
Equações de Movimento
Representação Grafica
dos Resultados
M
a
t
l
a
b
 
/
 
C
M
a
t
l
a
b
 
/
 
C
 
/
G
n
u
P
l
o
t
Método de Kane (por exemplo...)
• Geração automática de Programas de 
Simulação (MatLab, C, ...)
EESC-USP © M. Becker 2008 22/77
Flexíbilidade 
• Corpos de Ligação (elos)
• Articulações 
• Tecidos
Contatos e Colisões
Áreas de Pesquisa 
IntroduçãoIntrodução
Extensão da Teoria Helicoidal
Solvers para tempo real (Hardware-in-the loop)
Modelagem do mundo externo
Dinâmica Reduzida com Simplificação do Modelo
EESC-USP © M. Becker 2008 23/77
•• IntroduçãoIntrodução
••Método Método NewtonNewton--EulerEuler
•Método de Krane
Sumário da AulaSumário da Aula
•Método de Krane
•Exemplo de Aplicação
•Exercícios Recomendados
•Bibliografia Recomendada
EESC-USP © M. Becker 2008 24/77
Método NewtonMétodo Newton--EulerEuler
• “Produto final” do Método de Newton-
Euler:
– Equações diferenciais de movimento– Equações diferenciais de movimento
– Reações dinâmicas (forças e torques) 
EESC-USP © M. Becker 2008 25/77
•Equacionamento:
Método NewtonMétodo Newton--EulerEuler
Massa total do link i.
Posição do Centro de Massa do link i com 
relação ao sistema inercial.
Posição do Centro de Massa do link i com 
relação à origem do sistema (x , y , z ).link i
(xi-1, yi-1, zi-1) →
→
→
i
i
i
s
r
m
relação à origem do sistema (xi, yi, zi).
Origem do iésimo sistema de coordenadas com
relação ao iésimo -1 sistema.
Velocidade linear do Centro de 
Massa do link i
Aceleração linear do Centro de 
Massa do link i
Força externa total aplicada no centro de 
massa do link i.
x0y0
z0
link i
ri
link i-1
link i+1
si
pi*
pi
(xi, yi, zi)
→
→=
→=
→
→
i
i
i
i
i
i
i
F
dt
vd
a
dt
dr
v
p
s
*
EESC-USP © M. Becker 2008 26/77
•Equacionamento:
Método NewtonMétodo Newton--EulerEuler
Momento externo total aplicado no centro de
massa do link i.
Matriz de inércia com relação ao sistema 
inercial.link i →
→
i
i
I
N
inercial.
Força exercida no link i pelo link i-1, 
no sistema(xi-1, yi-1, zi-1) para suportar o link i e
os demais links “acima” dele.
Momento exercido no link i pelo link i-1, 
no sistema(xi-1, yi-1, zi-1).
x0y0
z0
link i
ri
link i-1
link i+1
si
pi*
pi
EESC-USP © M. Becker 2008 27/77
→
→
→
i
i
i
n
f
I
• Desconsiderando atritos viscosos nas juntas, 
tem-se:
Método NewtonMétodo Newton--EulerEuler
ii
ii
i amdt
vmdF == )(
)(Id ω
Onde:
EESC-USP © M. Becker 2008
)()( iiiiiiii IIdt
IdN ωωωω ×+== &





+××+
×+×+
+××+×
=
−
−−
−
1
*
1
*
1
1
**
)(
)(2
)(
iiii
iiiiiii
iiiiii
i
vp
qzpqz
vpp
v
&
&&&&
&&
&
ωω
ωω
ωωω
28/77
• Com relação às forças e momentos externos 
exercidos no link i, tem-se:
E:
Método NewtonMétodo Newton--EulerEuler
1+−= iii ffF
111 )()( +−+ ×−−×−+−= iiiiiiii frpfrpnnN
• Essas equações podem ser rescritas na forma 
de equações recursivas pois:
EESC-USP © M. Becker 2008
1
*
11 )( +−+ ×−×−+−= iiiiiii fpFrpnn
iiii sppr +=− −
*
1
29/77
z0
link i
ri
link i-1
link i+1
si
pi*
pi• Assim:
Método NewtonMétodo Newton--EulerEuler
ppii--11
iiii sppr +=− −
*
1
x0y0
pi• Assim:
EESC-USP © M. Becker 2008
11 ++ +=+= iiiiii famfFf
iiiiiiii NFspfpnn +×++×+= ++ )( *1*1
30/77
• Finalmente:
Método NewtonMétodo Newton--EulerEuler




+
+
=
−
T
iii
T
i
i
qbzn &1
τ
EESC-USP © M. Becker 2008
11 ++ +=+= iiiiii famfFf
iiiiiiii NFspfpnn +×++×+= ++ )( *1*1

 +− iii
T
i qbzf &1
31/77
• Como aplicar?
– Equações Forward
Método NewtonMétodo Newton--EulerEuler


 +
=
−
−
−
)( 01011
0
ii
i
i
i
i
i
qzRR
R
ω
ω
&
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

=
−
−
−
)( 1011
0
i
i
i
i
i
RR
R
ω
ω




 ×++
=
−
−
−
−
−
−
−
−
)(
))((
10
1
1
010
1
010
1
1
0
i
i
i
i
ii
i
ii
i
i
i
i
i
RR
qzRqzRR
R
ω
ωω
ω
&
&&&&
&
32/77
– Equações Forward
Método NewtonMétodo Newton--EulerEuler
( )
( )





+
+××+×
−
−
−
...
...)()()()()(
10
1
1
*
000
*
00
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
vRR
pRRRpRR ωωω
&
&
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( )





××+
+×+
+×++
=
−
−−−
)()()(...
...)()(2...
...)()()(
*
000
010
*
001101
0
i
i
i
i
i
i
ii
i
i
i
i
i
i
i
ii
i
ii
ii
i
pRRR
qzRR
pRRvRqzR
vR
ωω
ω
ω
&
&&&&
&
( ) iiiiiiiiiiiiii vRsRRRsRRaR && 0000000 )()()()()( +××+×= ωωω
33/77
– Equações Backward
Método NewtonMétodo Newton--EulerEuler
i
i
ii
i
i
i
i
i aRmfRRfR 010110 )( += +++
( )
...)()(...
...)()(
*1
10
1*
0
1
10
1
10
iii
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
FRsRpR
fRpRnRRnR
+×++
+×+=
+
+
++
+
+
+
EESC-USP © M. Becker 2008





+
+
=
−
−
iii
iT
i
i
iii
iT
i
i
i
qbzRfR
qbzRnR
&
&
)()(
)()(
010
010
τ
( )))(()())((...
...)()(...
0
0
000
0
0
00
*
0
1
i
i
ii
i
i
i
i
i
ii
i
i
i
i
i
i
i
RRIRRRRIR
FRsRpR
ωωω ×++
+×++ +
&
34/77
• Equações Forward e Backward
– Em geral, as condições iniciais são:
Método Método NewtonNewton--EulerEuler
0000 === vωω &
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( )Tzyx gggv ,,0 =&
35/77
•• IntroduçãoIntrodução
••Método Método NewtonNewton--EulerEuler
••Método de Método de KraneKrane
Sumário da AulaSumário da Aula
••Método de Método de KraneKrane
•Exemplo de Aplicação
•Exercícios Recomendados
•Bibliografia Recomendada
EESC-USP © M. Becker 2008 36/77
Método de Método de KraneKrane
EESC-USP © M. Becker 2008 37/77
Método de Método de KraneKrane
EESC-USP © M. Becker 2008 38/77
1. Escolha n coordenadas generalizadas qr(r = 1,..., n),
2. Escolha n velocidades generalizadas ur(r = 1,..., n),
),(),(
1
tqbqtqau ri
r
i
rir +=∑
=
&
Método de Método de KraneKrane
Na forma de Algoritmo...
3. Velocidades angulares absolutas wA, wB, ...e as velocidades 
absolutas vA, vB,... 
4. Tabela das velocidades angulares parciais (wA)r, (wB)r , ......
e das velocidades parciais (vA)r, (vB)r , ... (r=1,...,n).
5. Acelerações angulares absolutas αA, αB, ... e acelerações 
absolutas aA, aB, ...... 
∑
=
ω+ω=ω
r
r
rErEE u
1
0 )()( ∑
=
+=
r
r
rErEE vuvv
1
0 )()(
EESC-USP © M. Becker 2008 39/77
6. Momentos inerciais (torques de inércia) TA*, TB* , .... 



 −− 113232 )( III αωω






























ω
ω
ω
⋅




















ωω−
ω−ω
ωω−
+










α
α
α
⋅










−=
3
2
1
332313
232221
131211
12
13
23
3
2
1
332313
232221
131211
*
0
0
0
III
III
III
III
III
III
TE
Método de Método de KraneKrane
7. Contribuições (FA*)r, (FB*)r, ,...,
As n forças inerciais generalizadas Fr* do sistema completo são 
formadas pela adição das componentes de cada corpo:






 −−
−−=
332121
221313
113232
*
)(
)(
III
IIITE
αωω
αωω
( ) nrTvamF rEErEEErE L,1)()( ** =ω⋅+⋅−=
L++= rBrAr FFF )()( ***
EESC-USP © M. Becker 2008 40/77
8. Substituir forças ativas e momentos ativos por forças equivalentes FA, . FB,.. 
c/ linha de ação passando pelo centro de massa do corpo rígido e por 
momentos TA, . TB,..... (ou MA, MB)
9. As n forças ativas generalizadas Fr do sistema completo são formados 
( ) nrTvFF rEErEErE L,1)()( =ω⋅+⋅=
Método de Método de KraneKrane
9. As n forças ativas generalizadas Fr do sistema completo são formados 
pelas contribuições dos diferentes membros:
As equações de movimento do sistema e (r = 1,...,n) 
Com respeito à forma generalizada das equações de movimento introduzida 
anteriormente para sistemas multicorpos não-lineares, vale:
L++= rBrAr FFF )()( 0* =+ rr FF
),()(
*
*
1
uqVqM
F
F
n
+=










M ),(
1
uqF
F
F
n
=










M
EESC-USP © M. Becker 2008 41/77
•• IntroduçãoIntrodução
••Método Método NewtonNewton--EulerEuler
••Método de Método de KraneKrane
Sumário da AulaSumário da Aula
••Método de Método de KraneKrane
••Exemplo de AplicaçãoExemplo de Aplicação
•Exercícios Recomendados
•Bibliografia Recomendada
EESC-USP © M. Becker 2008 42/77
Exemplo de AplicaçãoExemplo de Aplicação
• Pêndulo duplo...
B*
EESC-USP © M. Becker 2008
Adept Cobra 600 
SCARA Robot
n1
n2
a1
a2
b1b2
q
1
q
2
L A
L 1
A*
L B
L 2
43/77
Exemplo de Aplicação Exemplo de Aplicação --11
• Manipulador Planar de 2 DoFs com 
duas juntas de rotação
EESC-USP © M. Becker 2008 44/77
Exemplo de Aplicação Exemplo de Aplicação --11
• Matrizes de Transformação de 
Coordenadas (Rotação): 



 − 011 sc



 − 022 sc



 − 01212 sc
EESC-USP © M. Becker 2008









 −
=
100
0
0
11
11
1
0 cs
sc
R









 −
=
100
0
0
22
22
2
1 cs
sc
R









 −
=
100
0
0
1212
1212
2
1 cs
sc
R










−=
100
0
0
22
22
1
2 cs
sc
R










−=
100
0
0
11
11
1
0 cs
sc
R










−=
100
0
0
1212
1212
2
1 cs
sc
R
45/77
Exemplo de Aplicação Exemplo de Aplicação --11
• Assumindo as condições iniciais: 
• Tem-se as equações forward, para i = 1:
e0000 === vωω & ( )Tygv 0,,00 =&
• Tem-se as equações forward, para i = 1:
EESC-USP © M. Becker 2008
1111
11
1
0
0
1
0
0
100
0
0
θθ &&










=




















−= cs
sc
)( 10001101 θωω &zRR +=
0000 === vωω &
46/77
Exemplo de Aplicação Exemplo de Aplicação --11
• Para i = 2:
0000   sc
)( 2010112202 θωω &zRRR +=
EESC-USP © M. Becker 2008
( )212122
22
1
0
0
1
0
0
1
0
0
100
0
0
θθθθ &&&& +










=




















+




















−= cs
sc
47/77
Exemplo de Aplicação Exemplo de Aplicação --11
• A aceleração angular das juntas de 
rotação, para i = 1:
11001000
1
10
1 )1,0,0()( θθωθωω &&&&&&& TzzRR =×++=
• Para i = 2:
EESC-USP © M. Becker 2008
1100100010
000 ==ωω &
[ ] ( )21201012010112202 )1,0,0())(( θθθωθωω &&&&&&&&& +=×++= TzRzRRR
48/77
Exemplo de Aplicação Exemplo de Aplicação --11
• A aceleração linear das juntas de 
rotação, para i = 1:
( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ] ( )001*101101101*101101101 vRpRRRpRRvR &&& +××+×= ωωω
EESC-USP © M. Becker 2008 49/77










+




















×










×










+










×










=
00
0
1
0
0
1
0
0
0
0
1
0
0
1
1
111 gc
gsll
θθθ &&&&










+
+−
=
0
11
1
2
1
gcl
gsl
θ
θ
&&
&
( )Tgv 0,,00 =&
Exemplo de Aplicação Exemplo de Aplicação --11
• A aceleração linear das juntas de 
rotação, para i = 2:
( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ] ( )10112*202202202*202202202vRRpRRRpRRvR &&& +××+×= ωωω
  000
EESC-USP © M. Becker 2008 50/77










+
+−










−+
+




















×










+
×










+
+










×










+
=
0100
0
0
...
...
0
00
0
0
0
0
00
0
11
1
2
1
22
22
212121
gcl
gsl
cs
sc
ll
θ
θ
θθθθθθ
&&
&
&&&&&&&&
Exemplo de Aplicação Exemplo de Aplicação --11
• A aceleração linear das juntas de 
rotação, para i = 2:
( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ] ( )10112*202202202*202202202 vRRpRRRpRRvR &&& +××+×= ωωω
EESC-USP © M. Becker 2008 51/77
( )
( )










++++
+−−−−−
=
0
2
12
2
121221
1221
2
2
2
1
2
1212
gcscl
gscsl
θθθθ
θθθθθθ
&&&&&&&
&&&&&&&
Exemplo de Aplicação Exemplo de Aplicação --11
• A aceleração linear do centro de 
massa, para i = 1:
( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ] ( )101101101101101101101 vRsRRRsRRaR && +××+×= ωωω
Onde:
EESC-USP © M. Becker 2008 52/77












−
−
=
0
2
1
2
1
1
1
1 ls
lc
s










−
=












−
−










−=
0
0
2
0
2
1
2
1
100
0
0
1
1
11
11
10
1
l
ls
lc
cs
sc
sR
Exemplo de Aplicação Exemplo de Aplicação --11
• A aceleração linear do centro de 
massa, para i = 1:








−












−



 20020
ll
EESC-USP © M. Becker 2008 53/77












+
+−
=










+
+−
+
+


















×







×







+








×







=
0
2
2
0
...
...
0
0
2
00
0
0
2
1
0
11
1
2
1
11
1
2
1
11
110
1
gcl
gsl
gcl
gsl
aR
θ
θ
θ
θ
θθ
θ
&&
&
&&
&
&&
&&
Exemplo de Aplicação Exemplo de Aplicação --11
• A aceleração linear do centro de 
massa, para i = 2:
( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ] ( )202202202202202202202 vRsRRRsRRaR && +××+×= ωωω
Onde:
EESC-USP © M. Becker 2008 54/77












−
−
=
0
2
1
2
1
12
12
2 ls
lc
s










−
=












−
−










−=
0
0
2
0
2
1
2
1
100
0
0
12
12
1212
1212
20
2
l
ls
lc
cs
sc
sR
Exemplo de Aplicação Exemplo de Aplicação --11
• A aceleração linear do centro de 
massa, para i = 2:
+








−
×



×



+




−
×



=
20020
2
ll
EESC-USP © M. Becker 2008 55/77
( )
( )










++++
+−−−−
+
+


















×






 +
×






 +
+








×






 +
=
0
2
...
...
0
0
2
00
0
0
2
0
12
2
121221
1221
2
2
2
1
2
1212
212121
20
2
gcscl
gscsl
aR
θθθθ
θθθθθθ
θθθθθθ
&&&&&&&
&&&&&&&
&&&&&&&&
Exemplo de Aplicação Exemplo de Aplicação --11
• A aceleração linear do centro de 
massa, para i = 2:








−












−



 20020
ll
EESC-USP © M. Becker 2008 56/77
( )
( )










++++
+−−−−
+
+


















−
×










+
×










+
+








−
×










+
=
0
2121
2121
...
...
0
0
2
0
0
0
0
0
0
2
0
0
12
2
121221
1221
2
2
2
1
2
1212
212121
20
2
gcscl
gscsl
aR
θθθθ
θθθθθθ
θθθθθθ
&&&&&&&
&&&&&&&
&&&&&&&&
Exemplo de Aplicação Exemplo de Aplicação --11
• Tem-se as equações backward para i = 
1, 2 e sem carregamento externo:
• A força exercida no link, para i = 2: • A força exercida no link, para i = 2: 
EESC-USP © M. Becker 2008 57/77
Exemplo de Aplicação Exemplo de Aplicação --11
• Para i = 1: 
EESC-USP © M. Becker 2008 58/77
Exemplo de Aplicação Exemplo de Aplicação --11
• O momento no link, para i = 2: 
Onde:Onde:
EESC-USP © M. Becker 2008 59/77
Exemplo de Aplicação Exemplo de Aplicação --11
• O momento no link, para i = 2: 
EESC-USP © M. Becker 2008 60/77
Exemplo de Aplicação Exemplo de Aplicação --11
• O momento no link, para i = 2: 
EESC-USP © M. Becker 2008 61/77
Exemplo de Aplicação Exemplo de Aplicação --11
• O momento no link, para i = 1: 
Onde:Onde:
EESC-USP © M. Becker 2008 62/77
Exemplo de Aplicação Exemplo de Aplicação --11
• O momento no link, para i = 1: 
EESC-USP © M. Becker 2008 63/77
Exemplo de Aplicação Exemplo de Aplicação --11
• E finalmente o torque em cada link, 
para i = 2, b2 = 0 : 
EESC-USP © M. Becker 2008 64/77
Exemplo de Aplicação Exemplo de Aplicação --11
• Para i = 1, b1 = 0: 
EESC-USP © M. Becker 2008 65/77
B*
B
Exemplo de Aplicação Exemplo de Aplicação --22
n1
n2
a1
a2
b1b2
q
1
q
2
L A
L 1
A*
L B
L 2
EESC-USP © M. Becker 2008 66/77
Exemplo de Aplicação Exemplo de Aplicação --22
EESC-USP © M. Becker 2008 67/77
ur
Exemplo de Aplicação Exemplo de Aplicação --22
EESC-USP © M. Becker 2008 68/77
Exemplo de Aplicação Exemplo de Aplicação --22
EESC-USP © M. Becker 2008 69/77
Exemplo de Aplicação Exemplo de Aplicação --22
),(),()( uqFuqVuqM =+&
0* =+ rr FF
EESC-USP © M. Becker 2008 70/77
Exemplo de Aplicação Exemplo de Aplicação --22
EESC-USP © M. Becker 2008 71/77
Exemplo de Aplicação Exemplo de Aplicação --22
EESC-USP © M. Becker 2008 72/77
•• IntroduçãoIntrodução
••Método Método NewtonNewton--EulerEuler
••Método de Método de KraneKrane
Sumário da AulaSumário da Aula
••Método de Método de KraneKrane
••Exemplo de AplicaçãoExemplo de Aplicação
••Exercícios RecomendadosExercícios Recomendados
•Bibliografia Recomendada
EESC-USP © M. Becker 2008 73/77
Exercícios RecomendadosExercícios Recomendados
• Exercícios Recomendados:
– Livro do Craig (2005): pp. 194-200
– Grupo de 5 alunos:
•Tarefa extra...
EESC-USP © M. Becker 2008 74/77
Tarefa extra-aula:
Desenvolva as Equações de Movimento para o
dedo de robô da figura abaixo:
EESC-USP © M. Becker 2008 75/77
•• IntroduçãoIntrodução
••Método Método NewtonNewton--EulerEuler
••Método de Método de KraneKrane
Sumário da AulaSumário da Aula
••Método de Método de KraneKrane
••Exemplo de AplicaçãoExemplo de Aplicação
••Exercícios RecomendadosExercícios Recomendados
••Bibliografia RecomendadaBibliografia Recomendada
EESC-USP © M. Becker 2008 76/77
Bibliografia RecomendadaBibliografia Recomendada
• Santos, I.F., 2001, Dinâmica de Sistemas Mecânicos: 
Modelagem, Simulação, Visualização eVerificação, Makron Books, ISBN 85-346-1110-6.
• Fu, K.S., Gonzales, R.C., and Lee, C.S.G., 1987, 
Robotics: Control, Sensing, Vision, and Intelligence –Robotics: Control, Sensing, Vision, and Intelligence –
Capítulo 3, McGraw-Hill Int. Editions, ISBN 0-07-
100421-1.
• Craig, J.C., 2005, Introduction to Robotics: 
Mechanics and Control – Capítulo 6, 3rd Edition, 
Pearson Education Inc., ISBN 0-201-54361-3
EESC-USP © M. Becker 2008 77/77