Cinemática inversa de manipuladores robóticos

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SEM0317 SEM0317 -- Aula 6Aula 6
Cinemática Inversa de Cinemática Inversa de 
Manipuladores Robóticos Manipuladores Robóticos Manipuladores Robóticos Manipuladores Robóticos 
Prof. Dr. Marcelo Prof. Dr. Marcelo BeckerBecker
EESC - USP
••DefiniçõesDefinições
•Solução Algébrica vs. Geométrica
•Exemplos em Robôs Industriais
Sumário da AulaSumário da Aula
EESC-USP © M. Becker 2007
•Exemplos em Robôs Industriais
•Exercícios Recomendados
•Bibliografia Recomendada
2/54
• Cinemática Inversa:
− Sejam dadas a posição e
orientação desejadas para a
ferramenta, quais as variáveis
de junta do manipulador?
DefiniçõesDefinições
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de junta do manipulador?
•Aplicação mais importante:
– Geração de Trajetórias... 
3/54
an
s
R
o
l
l
P
i
t
c
h
Y
a
w
DefiniçõesDefinições
Existência de SoluçõesExistência de Soluções
• Dada a matriz:




=





=
pasnpasn
pasn
T yyyy
xxxx
0
P
o
s
.
EESC-USP © M. Becker 2007
• Deseja-se obter: θ1, θ2, ..., θN






=








=
1000
pasn
1000
pasn
pasn
T
zzzz
yyyy
N
0
4/54
DefiniçõesDefinições
Existência de SoluçõesExistência de Soluções
• Tomando um Robô com 6 GDLs como exemplo:
– 16 elementos na matriz




pasn
pasn xxxx
3 equações de rotação 
independentes 
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3 equações de posição
Valores triviais
• Deseja-se obter: θ1, θ2, ..., θ6
– Sendo N=6, temos 6 incógnitas e 12 equações...










=
1000
pasn
pasn
T
zzzz
yyyy
6
0
66
6 Equações ñ6 Equações ñ--lineareslineares
e transcendentaise transcendentais
6 Equações ñ6 Equações ñ--lineareslineares
e transcendentaise transcendentais
5/54
– Número de Soluções:
– Pode haver mais de uma solução ou até mesmo, 
nenhuma (Volume de trabalho)
– Pode ser trabalhosa a solução de equações não 
lineares... 
DefiniçõesDefinições
Existência de SoluçõesExistência de Soluções
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2 soluções!
6/54
Múltiplas Soluções
• Problema: Escolher uma solução...
DefiniçõesDefinições
Existência de SoluçõesExistência de Soluções
� Solução mais próxima
� Obstáculos
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A1
A2
� Obstáculos
� Pesos / Cargas
� Volume de Trabalho
� Limites das Juntas
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DefiniçõesDefinições
Existência de SoluçõesExistência de Soluções
• Para o Robô PUMA 560, há 8 soluções para a 
cinemática inversa...
– As 3 primeiras variáveis de junta (θ1,θ2,θ3) definem 
posição do braço do robô
– As 3 últimas (θ4,θ5,θ6), a orientação da garra
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– As 3 últimas (θ4,θ5,θ6), a orientação da garra
• 4 soluções para a 3 primeiras juntas: 
– Ombro à direita
– Ombro à esquerda
180ºθθ
θθ
180ºθθ
6
'
6
5
'
5
4
'
4
+=
−=
+=
8/54
Quanto maior o número de parâmetros de Denavit-
Hatenberg não nulos, maior o número de possíveis 
soluções para o robô atingir a posição desejada.
Número de Soluções
DefiniçõesDefinições
Existência de SoluçõesExistência de Soluções
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Número de Soluções vs. ai ≠ 0 para um robô com 6 juntas de rotação
ai Número de Soluções
a1 =a3 = a5= 0 ≤ 4
a3 = a5= 0 ≤ 8
a3 = 0 ≤ 16
Todos ai≠ 0 ≤ 16
9/54
DefiniçõesDefinições
Existência de SoluçõesExistência de Soluções
• Como encontrar as soluções?
– Não há algoritmo genérico → Equações ñ lineares
• Deve-se encontrar todas as variáveis de junta!
• Deve-se calcular todas as soluções!
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• Deve-se calcular todas as soluções!
– Duas Classes:
• Analíticas: Closed-form solutions
• Numéricas: Numerical solutions (iterativas)
10/54
• Métodos Analíticos
• Obtêm todas as soluções
• Não trivial...
• Empregados quando um grande número de 
parâmetros de Denavit-Hartenberg são nulos!
DefiniçõesDefinições
Existência de SoluçõesExistência de Soluções
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parâmetros de Denavit-Hartenberg são nulos!
• Dois métodos: 
–– ALGÉBRICOALGÉBRICO
–– GEOMÉTRICOGEOMÉTRICO
• Métodos Numéricos Iterativos
• Convergem para solução possível
• Estratégias Anti-colisão
• J-1
11/54
fç de n parâmetros!!
DefiniçõesDefinições
Existência de SoluçõesExistência de Soluções
• E quando GDL = n (< 6)?
an
s








=
pasn
pasn
pasn
T yyyy
xxxx
n
0
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fç de n parâmetros!!






=
1000
pasn
T
zzzz
n
• E se a ferramenta for definida por 6 GDL?
– Encontrar a solução “mais próxima” possível da 
desejada...
12/54
DefiniçõesDefinições
Existência de SoluçõesExistência de Soluções
• E se a ferramenta for definida por 6 GDL?
– Encontrar a solução “mais próxima” possível da 
desejada...
• Estratégia:
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• Estratégia:
1. Dada 0Tn obter 
0Tn*,de modo que seja descrito 
com os n parâmetros de junta do manipulador e 
seja próximo de 0Tn .
2. Aplicar a cinemática inversa a 0Tn* para encontrar 
as n variáveis de junta.
� Ficar atento com o volume de trabalho do 
manipulador
próximo
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••DefiniçõesDefinições
••Solução Algébrica vs. GeométricaSolução Algébrica vs. Geométrica
•Exemplos em Robôs Industriais
Sumário da AulaSumário da Aula
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•Exemplos em Robôs Industriais
•Exercícios Recomendados
•Bibliografia Recomendada
14/54
Solução AlgébricaSolução Algébrica
• Para o mecanismo planar de 3 links...
Y3L2θ2
Parâmetros de Denavit-Hartenberg
Junta ααααi-1 ai-1 di θθθθi
1 0º 0 0 θθθθ1
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L3
X0
Y0
x3
θ1
θ3L1












−−
−
=
−−−−
−−−−
−
−
1000
0
1111
1111
1
1
iiiiiii
iiiiiii
iii
i
i
dccscss
dsscccs
asc
T
αααθαθ
αααθαθ
θθ
2 0º L1 0 θθθθ2
3 0º L2 0 θθθθ3
15/54
3
2
2
1
1
0
3
0 T.T.TT =
Solução AlgébricaSolução Algébrica












−−
−
=
−−−−
−−−−
−
−
1000
0
1111
1111
1
1
iiiiiii
iiiiiii
iii
i
i
dccscss
dsscccs
asc
T
αααθαθ
αααθαθ
θθ
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











+
+
=
1000
0100
sLsL0cs
cLcL0s-c
T 12211123123
12211123123
3
0 ..
..
16/54
Solução AlgébricaSolução Algébrica










+
+
=
0100
sLsL0cs
cLcL0s-c
T 12211123123
12211123123
3
0 ..
..
• Definindo a posição e orientação do 3º link...
φφφφ
123
ss
cc
=
=φ
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


 1000
X0
Y0
φφφφ
(x,y)












=
1000
0100
y0cs
x0s-c
T3
0 φφ
φφ
12211
12211
123
sLsLy
cLcLx
ss
+=
+=
=φ
17/54
Solução AlgébricaSolução Algébrica
221
2
2
2
1
22
12211
12211 cL2LLLyx
sLsLy
cLcLx
++=+



+=
+=
• Assim obtemos as equações algébricas...
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212112
212112
csscs
ssccc
+=
−=
• Lembrando que:
21
2
2
2
1
22
2 L2L
LLyx
c
−−+
=
2
22 c1s −±=
)c,atan2(sθ 222 =
18/54
Solução AlgébricaSolução Algébrica
• Dessa forma, para encontrar θ1:
1211
1211
cksky
skckx
+=
−=
222
2211
sLk
cLLk
=
+=
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1211 222
2
2
2
1 kkr ++=
• Sendo:
)k,atan2(k 12=γ γ
γ
γ
γ
r.sr.sink
r.cr.cosk
2
1
==
==
19/54
Solução AlgébricaSoluçãoAlgébrica
• Reescrevendo as equações:
1211
1211
cksky
skckx
+=
−=
11
cssc
y
sscc
r
x
γγ
+=
−=
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1211 cksky +=
11 csscr
y
γγ
+=
• Então:
)θsin(
r
y
)θcos(
r
x
1
1
+=
+=
γ
γ ( )
( ) ( )121
1
k,katan2xy,atan2θ
xy,atan2
r
x
,
r
y
atan2)θ(
−=
=





=+γ
20/54
Solução AlgébricaSolução Algébrica
• Sendo:
( ) ( )121 k,katan2xy,atan2θ −=
)c,atan2(sθ 222 =
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• Obtém-se:
)c,atan2(sθ 222
φφφ ==++ )c,atan2(sθθθ 321
21/54
Solução AlgébricaSolução Algébrica
• Obs.: uso de Redução Polinomial para resolver 
equações transcendentais
)
2
θ
tan(u = 2
2
u1
u1
cosθ
+
−
=
2u1
2u
senθ
+
=
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Apêndice A: Livro J.J. Craig
2 u1+ 2u1+
�
22/54
Solução GeométricaSolução Geométrica
• Para o mesmo mecanismo planar de 3 links...
– Aplicando a lei dos co-senos no ∆ABC:
Y0
)θcos(180ºL2L-LLyx 221
2
2
2
1
22
−+=+
)cos(θ)θcos(180º 22 −=−
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21
2
2
2
1
22
2 L2L
LLyx
c
−−+
=
X0
L2
L1
x
y
θ2
A
B
C
)cos(θ)θcos(180º 22 −=−
β ψθ1
θ3
23/54
Solução GeométricaSolução Geométrica
• Para os ângulos β e ψ...
x)atan2(y,β =
2
2
2
1
22 LLyx
cos
−++
=ψ Lei dos co-senos!
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• Assim:
ψ±=βθ1 φ=++ 321 θθθ
22
1
21
yx2L
cos
+
=ψ Lei dos co-senos!
24/54
••DefiniçõesDefinições
••Solução Algébrica vs. GeométricaSolução Algébrica vs. Geométrica
••Exemplos em Robôs IndustriaisExemplos em Robôs Industriais
Sumário da AulaSumário da Aula
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••Exemplos em Robôs IndustriaisExemplos em Robôs Industriais
•Exercícios Recomendados
•Bibliografia Recomendada
25/54
• Manipulador com 6 GDLs
Exemplo 1
Robô PUMA 560








=
pasn
pasn
pasn
T yyyy
xxxx
6
0
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)(θT).(θT).(θT).(θT).(θT).(θTT 66
5
55
4
44
3
33
2
22
1
11
0
6
0
=






=
1000
pasn
T
zzzz
6
[ ] )(θT).(θT).(θT).(θT).(θTT.)(θT 665554443332221601-110 =
26/54
Exemplo 1
Robô PUMA 560
xxxx11 pasn00sc








[ ] )(θT).(θT).(θT).(θT).(θTT.)(θT 665554443332221601-110 =
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6
1
zzzz
yyyy
xxxx
11
11
T
1000
pasn
pasn
1000
0100
00cs-
=




















.
27/54
Exemplo 1
Robô PUMA 560
( ) 65236465423x1 .s.ss.ss.c.cc.cn −−=
64654y
1 .sc.c.csn −−=
( ) 65236465423z1 .csc.ss.c.ccsn .. −−−=
( )1 .sss.cs.s.cc-cs .. +−= 












=
1000
pasn
pasn
pasn
T
z
1
z
1
z
1
z
1
y
1
y
1
y
1
y
1
x
1
x
1
x
1
x
1
6
1
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( ) 65236465423x1 .sss.cs.s.cc-cs .. +−=
64654y
1 .cc.s.css −=
( ) 65236465423z1 .ssc.cs.s.ccss .. ++=
5235423x
1 .cs.s.cca −−=
54y
1 .ssa =
5235423z
1 .cc.s.csa −=
22323423x
1 acacdsp ... ++−=
3y
1 dp =
22323423z
1 asasd-cp ... −−=




 1000
28/54
Exemplo 1
Robô PUMA 560
3y
1 dp =








=
















pasn
pasn
pasn
pasn
pasn
pasn
0100
00cs-
00sc
1111
y
1
y
1
y
1
y
1
x
1
x
1
x
1
x
1
yyyy
xxxx
11
11
.
• Assim:
y1x1 pcps +−=
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






=











 1000
pasn
1000
pasn
1000
0100 z
1
z
1
z
1
z
1
zzzz
.
• Faz-se a substituição trigonométrica:
)p,atan2(p
ppρ
xy
2
y
2
x
=
+=
φφ
φ
φ
φ
ρ.sρ.senp
ρ.cρ.cosp
y
x
==
==
onde
29/54
Exemplo 1
Robô PUMA 560
Obtém-se:
ρ
d
cssc 311 =− φφ
y1x13 pcpsd +−=
φφ ρ.cρ.cospx ==
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Obtém-se:
ρ
cssc 11 =− φφ
φ
φ
φ
φ
ρ.sρ.senp
ρ.cρ.cosp
y
x
==
==
30/54
Exemplo 1
Robô PUMA 560
• Lembrando a fórmula da diferença de ângulos:
d
)θsen( 3=−φ
2
3d1)θcos( −±=−φ
ρ
d
cssc 311 =− φφ
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ρ
d
)θsen( 31 =−φ 231 ρ
d
1)θcos( −±=−φ








−±=−
2
2
33
1 ρ
d
1,
ρ
d
atan2θφ
( ) ( )232y2x3xy1 dpp,datan2-p,patan2θ −+±=
31/54
Exemplo 1
Robô PUMA 560
( ) 65236465423x1 .sss.ss.c.cccn .. −−=
64654y
1 .sc.c.csn −−=
( ) 65236465423z1 .csc.ss.c.ccsn .. −−−=
( )1 .sss.cs.s.cc-cs .. +−= 












=
1000
pasn
pasn
pasn
T
z
1
z
1
z
1
z
1
y
1
y
1
y
1
y
1
x
1
x
1
x
1
x
1
6
1
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( ) 65236465423x1 .sss.cs.s.cc-cs .. +−=
64654y
1 .cc.s.css −=
( ) 65236465423z1 .ssc.cs.s.ccss .. ++=
5235423x
1 .cs.s.cca −−=
54y
1 .ssa =
5235423z
1 .cc.s.csa −=
22323423x
1 acacdsp ... ++−=
3y
1 dp =
22323423z
1 asasd-cp ... −−=




 1000

32/54
Exemplo 1
Robô PUMA 560










=




















1000
pasn
pasn
pasn
1000
pasn
pasn
pasn
1000
0100
00cs-
00sc
z
1
z
1
z
1
z
1
y
1
y
1
y
1
y
1
x
1
x
1
x
1
x
1
zzzz
yyyy
xxxx
11
11
.
• Agora:
EESC-USP © M. Becker 2007












 100010001000
zzzz
• Assim: 22323423x
1
y1x1 .ac.ac.dsppspc ++−==+
22323423z
1
z .as.as.dcpp ++==−
33/54
Exemplo 1
Robô PUMA 560
• Logo:
• Onde:
K.ac.ds 3343 =+−
2
2
4
2
3
2
3
2
2
2
z
2
y
2
x
2a
ddaappp
K
−−−−++
=
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2
( ) ( )22423433 KdaK,atan2-d,aatan2θ −+±=
• Seguindo o mesmo método de solução 
trigonométrica:
34/54
Exemplo 1
Robô PUMA 560
• Para obter θ2:
)(θT).(θT).(θT).(θT).(θT).(θTT 66
5
55
4
44
3
33
2
22
1
11
0
6
0
=
[ ] 1-
EESC-USP © M. Becker 2007
[ ] )(θT).(θT).(θTT.)(θT 665554443601-230 =
6
3
zzzz
yyyy
xxxx
311
3223231231
3223231231
T
1000
pasn
pasn
pasn
.
1000
d-0cs-
sac-ss-sc-
ca-s-cscc
=
























35/54
Exemplo 1
Robô PUMA 560
64654x
3 .ss.c.ccn −=
65y
3 .csn =
64654z
3 .sc.c.csn −−=
3 .cs.s.ccs −−= 













=
1000
pasn
pasn
pasn
T
z
3
z
3
z
3
z
3
y
3
y
3
y
3
y
3
x
3
x
3
x
3
x
3
6
3
EESC-USP © M. Becker 2007
64654x
3 .cs.s.ccs −−=
65y
3 .s-ss =
64654z
3 .cc.s.css −=
54x
3 .sca −=
5y
3 ca =
54z
3 .ssa =
3x
3 ap =
4y
3 dp =
0pz
3
=




 1000
?
36/54
Exemplo 1
Robô PUMA 560
• Assim:










=




















pasn
pasn
pasn
pasn
pasn
pasn
.
d-0cs-
sac-ss-sc-
ca-s-cscc
z
3
z
3
z
3
z
3
y
3
y
3
y
3
y
3
x
3
x
3
x
3
x
3
zzzz
yyyy
xxxx
311
3223231231
3223231231
EESC-USP © M. Becker 2007
















 1000
pasn
1000
pasn
1000
d-0cs- zzzzzzzz311
332z23y231x231 acapspcspcc =−−+
432z23y231x231 dsapcpsspsc- =+−−37/54
• Resolvendo o sistema de equações:
332z23y231x231 acapspcspcc =−−+
432z23y231x231 dsapcpsspsc- =+−−
Exemplo 1
Robô PUMA 560
EESC-USP © M. Becker 2007
2
y1x1
2
z
432y1x1z323
23 )psp(cp
)ds)(apsp(c)pca-(-a
s
++
−++
=
2
y1x1
2
z
332y1x1z432
23 )psp(cp
)ac)(apsp(c)pd-s(a
c
++
++−
=
38/54
• Como os denominadores são iguais e positivos:
Exemplo 1
Robô PUMA 560
2
y1x1
2
z
432y1x1z323
23 )psp(cp
)ds)(apsp(c)pca-(-a
s
++
−++
=
)ac)(apsp(c)pd-s(a ++−
EESC-USP © M. Becker 2007
2
y1x1
2
z
332y1x1z432
23 )psp(cp
)ac)(apsp(c)pd-s(a
c
++
++−
=
)]ac)(apsp(c)pd-s(a
),...sa-)(dpsp(c)pca-atan2[(-aθ
332y1x1z432
324y1x1z32323
++−
+−=
39/54
• Assim:
Exemplo 1
Robô PUMA 560
)]ac)(apsp(c)pd-s(a
),...sa-)(dpsp(c)pca-atan2[(-aθ
332y1x1z432
324y1x1z32323
++−
+−=
θθθ −= θ2
EESC-USP © M. Becker 2007
• Assim:
3232 θθθ −=
an
s
θ1
θ2
θ3
xy
z
40/54
Exemplo 1
Robô PUMA 560
64654x
3 .ss.c.ccn −=
65y
3 .csn =
64654z
3 .sc.c.csn −−=
3 .cs.s.ccs −−= 













=
1000
pasn
pasn
pasn
T
z
3
z
3
z
3
z
3
y
3
y
3
y
3
y
3
x
3
x
3
x
3
x
3
6
3
EESC-USP © M. Becker 2007
64654x
3 .cs.s.ccs −−=
65y
3 .s-ss =
64654z
3 .cc.s.css −=
54x
3 .sca −=
5y
3 ca =
54z
3 .ssa =
3x
3 ap =
4y
3 dp =
0pz
3
=




 1000



41/54
Exemplo 1
Robô PUMA 560
• Assim, para obter θ4:










=




















pasn
pasn
pasn
pasn
pasn
pasn
.
d-0cs-
sac-ss-sc-
ca-s-cscc
z
3
z
3
z
3
z
3
y
3
y
3
y
3
y
3
x
3
x
3
x
3
x
3
zzzz
yyyy
xxxx
311
3223231231
3223231231
EESC-USP © M. Becker 2007
















 1000
pasn
1000
pasn
1000
d-0cs- zzzzzzzz311
54z23y231x231 scasacsacc −=−+
54y1x1 ssacas- =+
42/54
• Resolvendo o sistema de equações para θ5 ≠ 0:
Exemplo 1
Robô PUMA 560
54z23y231x231 scasacsacc −=−+
54y1x1 ssacas- =+
EESC-USP © M. Becker 2007
• Resolvendo o sistema de equações para θ5 ≠ 0:
)]sacsa-cc(-a),casatan2[(-aθ 23z231y231x1y1x4 ++=
• Se θ5 = 0 → posição singular do manipulador...
43/54
Exemplo 1
Robô PUMA 560
• Para obter θ5: 
)(θT).(θT).(θT).(θT).(θT).(θTT 66
5
55
4
44
3
33
2
22
1
11
0
6
0
=
[ ] 1-
EESC-USP © M. Becker 2007
[ ] )(θT).(θTT.)(θT 665554601-440 =
6
4
zzzz
yyyy
xxxx
43223231231
4343432423414231414231
4343432423414231414231
T
1000
pasn
pasn
pasn
.
1000
d-sac-ss-sc-
sacdscass-ccscs-csssc-
casdcca-cs-scccsssccc
=
























++−+
−+−+
44/54
Exemplo 1
Robô PUMA 560
65x
4 .ccn =
6y
4 sn =
65z
4 .csn =
4 .scs −= 













=
1000
pasn
pasn
pasn
T
z
4
z
4
z
4
z
4
y
4
y
4
y
4
y
4
x
4
x
4
x
4
x
4
6
4
EESC-USP © M. Becker 2007
65x
4 .scs −=
6y
4 cs =
65z
4 .sss −=
5x
4 sa −=
0ay
4
=
5z
4 ca =
0px
4
=
0py
4
=
0pz
4
=




 1000



45/54
Exemplo 1
Robô PUMA 560
• Para θ5: 
6
4
zzzz
yyyy
xxxx
43223231231
4343432423414231414231
4343432423414231414231
T
pasn
pasn
pasn
.
d-sac-ss-sc-
sacdscass-ccscs-csssc-
casdcca-cs-scccsssccc
=




















++−+
−+−+
EESC-USP © M. Becker 2007
zzzz43223231231
10001000








5423z414231y414231x s)c(sa)sccc(sa)sscc(ca −=−+++
• Assim: 
523z231y231x c)(-ca)ss(a)sc(a =+−+−
46/54
Exemplo 1
Robô PUMA 560
• Assim: 
)c(sa)sccc(sa)sscc(c-as ++−+=
• Onde: 
)c,atan2(sθ 555 =
EESC-USP © M. Becker 2007
)c(sa)sccc(sa)sscc(c-as 423z414231y414231x5 ++−+=
)(-ca)ss(a)sc(ac 23z231y231x5 +−+−=
47/54
Exemplo 1
Robô PUMA 560
• Para obter θ6: 
)(θT).(θT).(θT).(θT).(θT).(θTT 66
5
55
4
44
3
33
2
22
1
11
0
6
0
=
[ ] 1-
EESC-USP © M. Becker 2007
[ ] )(θTT.)(θT 665601-550 =
6
5
zzzz
yyyy
xxxx
43223231231
4343432423414231414231
4343432423414231414231
T
1000
pasn
pasn
pasn
.
1000
d-sac-ss-sc-
sacdscass-ccscs-csssc-
casdcca-cs-scccsssccc
=
























++−+
−+−+
48/54
Exemplo 1
Robô PUMA 560
65x
4 .ccn =
6y
4 sn =
65z
4 .csn =
4 .scs −= 













=
1000
pasn
pasn
pasn
T
z
4
z
4
z
4
z
4
y
4
y
4
y
4
y
4
x
4
x
4
x
4
x
4
6
4
EESC-USP © M. Becker 2007
65x
4 .scs −=
6y
4 cs =
65z
4 .sss −=
5x
4 sa −=
0ay
4
=
5z
4 ca =
0px
4
=
0py
4
=
0pz
4
=




 1000






49/54
Exemplo 1
Robô PUMA 560
• Para obter θ5 e θ6: 
)(θT).(θT).(θT).(θT).(θT).(θTT 66
5
55
4
44
3
33
2
22
1
11
0
6
0
=
[ ] 1-
EESC-USP © M. Becker 2007
[ ] )(θT).(θTT.)(θT 665554601-440 =
6
4
zzzz
yyyy
xxxx
43223231231
4343432423414231414231
4343432423414231414231
T
1000
pasn
pasn
pasn
.
1000
d-sac-ss-sc-
sacdscass-ccscs-csssc-
casdcca-cs-scccsssccc
=
























++−+
−+−+
50/54
••DefiniçõesDefinições
••Solução Algébrica vs. GeométricaSolução Algébrica vs. Geométrica
••Exemplos em Robôs IndustriaisExemplos em Robôs Industriais
Sumário da AulaSumário da Aula
EESC-USP © M. Becker 2007
••Exemplos em Robôs IndustriaisExemplos em Robôs Industriais
••Exercícios RecomendadosExercícios Recomendados
•Bibliografia Recomendada
51/54
Exercícios RecomendadosExercícios Recomendados
• Exercícios Recomendados:
– Todos do Livro do Craig (2005): pp. 128-134
EESC-USP © M. Becker 2007 52/54
••DefiniçõesDefinições
••Solução Algébrica vs. GeométricaSolução Algébrica vs. Geométrica
••Exemplos em Robôs IndustriaisExemplos em Robôs Industriais
Sumário da AulaSumário da Aula
EESC-USP © M. Becker 2007
••Exemplos em Robôs IndustriaisExemplos em Robôs Industriais
••Exercícios RecomendadosExercícios Recomendados
••Bibliografia RecomendadaBibliografia Recomendada
53/54
Bibliografia RecomendadaBibliografia Recomendada
• Craig, J.C., 2005, Introduction to Robotics: 
Mechanics and Control, 3rd Edition, Pearson 
Education Inc., ISBN 0-201-54361-3
• Paul, R. P., 1981, Robot Manipulators. Mathematics, 
Programming and Control, The MIT Press.
EESC-USP © M. Becker 2007 54/54
• Paul, R. P., 1981, Robot Manipulators. Mathematics, 
Programming and Control, The MIT Press.
• Fu, K.S., Gonzales, R.C., and Lee, C.S.G., 1987, 
Robotics: Control, Sensing, Vision, and Intelligence, 
McGraw-Hill Int. Editions, ISBN 0-07-100421-1.
• Corke, P., Robotics Toolbox for MatLab (Release 7).