Braço Mecânico

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2. BRAÇO MECÂNICO 
 
2.1. Introdução 
No Capítulo 1 foi explicada a definição da palavra robô, apresentando um breve 
histórico da robótica e apresentada uma classificação particular dos diferentes tipos de 
robôs. 
Um dos tipos de robôs mais utilizados, tanto na indústria quanto nos laboratórios de 
pesquisa, é o de robôs manipuladores. Explicou-se também que em muitos textos 
entende-se como robô apenas essa classe, excluindo-se da definição outros tipos de 
robôs tais como os exploradores, muito utilizados em diversas áreas de pesquisa 
(espacial e submarina, por exemplo). 
Foi explicado também que uma definição de robô amplamente aceita é aquela 
estabelecida pela Robotic Industries Association (RIA), “Um robô industrial é um 
manipulador multifuncional reprogramável, projetado para movimentar materiais, 
partes, ferramentas ou peças especiais, através de diversos movimentos programados, 
para o desempenho de uma variedade de tarefas”. Essa é justamente a definição de robô 
manipulador, tal como será entendida no presente texto. 
Da definição podem ser extraídas diversas conclusões sobre as características dos robôs 
manipuladores. Uma é que, como em todo robô, atarefa a realizar deve estar 
previamente programada e seu acionador depende desse programa de controle, ou 
programa que cuida do robô fazer exatamente a tarefa desejada. Essa característica é 
invariante para qualquer tipo de robô, portanto também para os manipuladores. Uma 
outra conclusão é que os manipuladores têm como principal objetivo deslocar materiais, 
os quais podem ser peças diversas, ferramentas que irão trabalhar sobre uma peça, 
sistemas de visão que terão que monitorar o andamento de um processo determinado, 
entre outras possibilidades. 
O tipo mais conhecido de robô manipulador é o famoso braço mecânico. Este consiste 
numa série de corpos rígidos interligados por juntas que permitem um movimento 
relativo entre esses corpos, assemelhando-se assim sua forma geral à de um braço 
humano, às vezes quase com as mesmas possibilidades de movimento. 
Todo robô manipulador tem em algum ponto da sua estrutura física um dispositivo 
chamado de efetuador. Este dispositivo tem como função operar sobre o objeto a ser 
manipulado, e pode ser uma ferramenta, como uma ponta de solda, por exemplo, 
destinada a soldar uma superfície. Pode ser algum dispositivo especial, como uma 
câmera de vídeo, mas, em geral, trata-se de algum tipo de garra capaz de segurar uma 
peça com o intuito de deslocá-la pelo espaço de trabalho do robô. Em particular, os 
braços mecânicos costumam ter uma garra como efetuador, embora a maioria dos 
braços industriais permita trocar esse dispositivo efetuador com facilidade. 
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O manipulador é o braço mecânico que move a ferramenta para a posição desejada no 
espaço. Quando um robô é selecionado para uma dada aplicação, alguns critérios de 
desempenho devem ser observados de tal forma a cumprir determinados aspectos 
construtivos. Estes critérios são: 
 Graus de liberdade da ferramenta; 
 Tamanho e a forma do espaço de trabalho; 
 Carga máxima; 
 Repetibilidade e precisão da ferramenta; 
 Velocidade máxima do robô. 
 
Um braço mecânico pode apresentar diferentes aspectos estruturais quanto a: 
 Número de juntas; 
 Tipo de juntas 
 Montagem das hastes e das juntas; 
 Tipo de transmissão entre o motor e as juntas. 
Apesar dos atuadores e dos controladores terem uma influencia significativa no 
desempenho do sistema, o aspecto estrutural é mais importante. Os conceitos de graus 
de liberdade, classificação de estruturas mecânicas, rigidez, desempenho e espaço de 
trabalho são fundamentais para o entendimento de robótica. 
 
2.2. Conceitos Básicos 
Conceito Robô: Máquina universal programável que tem existência no mundo físico e atua nele 
através de movimentos mecânicos. 
Conceito Espaço de Trabalho: Região do mundo que o robô pode alcançar através dos seus 
movimentos, onde pode levar a cabo as tarefas programadas (Figura 2.1). 
 
Figura 2.1 – Exemplo de robô em seu volume (espaço) de trabalho. 
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Características gerais do manipulador industrial: 
 Emula a função do braço humano: através do seu movimento manipula objetos 
(ferramentas, peças, etc.) no seu espaço de trabalho. 
 Pelo menos um ponto da sua estrutura é fixo na sua base. 
 Seu espaço de trabalho é limitado a uma região próxima a esse ponto fixo. 
 
Figura 2.2 – Exemplo de um robô manipulador industrial. 
 
 
2.2.1. Graus de Liberdade 
O número total de juntas (articulações) do manipulador é conhecido com o nome de 
graus de liberdade (ou DOF, segundo as iniciais em inglês). Um manipulador típico 
tem 6 graus de liberdade, sendo três para posicionamento do efetuador dentro do 
volume de trabalho, e três para obter uma orientação do efetuador adequada para 
segurar o objeto. Com menos de 6 graus de liberdade o manipulador poderia não atingir 
uma posição arbitrária com uma orientação arbitrária dentro do volume de trabalho. 
Para certas aplicações por exemplo, manipular objetos num espaço que não se encontra 
livre de obstáculos, poderiam ser necessários mais de 6 graus de liberdade. A 
dificuldade de controlar o movimento aumenta com o número de elos do braço. 
A Figura (2.3) apresenta como exemplo uma representação dos 3 graus de liberdade de 
um braço mecânico referentes às três primeiras juntas, necessárias para o 
posicionamento do efetuador. Neste exemplo particular, observa-se que as duas 
primeiras juntas são de revolução e a terceira é prismática, permitindo ao último elo se 
afastar ou aproximar do segundo. 
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Figura 2.3 – Braço mecânico de 3 DOF: duas juntas de revolução e uma prismática. 
 
As últimas três juntas recebem o nome de punho. Como foi mencionado, estas têm por 
objetivo orientar o efetuador numa direção arbitrária, conveniente para a tarefa a ser 
realizada. Por exemplo, uma garra deve estar orientada convenientemente com respeito 
à peça de trabalho, a fim de poder agarrá-la. Essas juntas sempre são de revolução, pois 
o objetivo é a orientação do efetuador e não seu posicionamento. As coordenadas 
generalizadas, ou variáveis que caracterizam o movimento dessas três juntas, são 
ângulos que recebem o nome genérico de “pitch”, “yaw”, e “roll”, respectivamente. 
A junta de “roll” representa a rotação do efetuador com respeito ao eixo transversal do 
último elo, ou eixo que coincide com a orientação do efetuador. Na de “yaw”, o eixo de 
rotação está numa perpendicular ao último elo, envolveria o giro do efetuador à direita e 
à esquerda. Na junta de “pitch”, o eixo de rotação é perpendicular ao anterior, e 
envolveria o giro do efetuador para cima e para baixo. Esta junta é chamada às vezes de 
inclinação do efetuador. Observe que nestas três juntas os eixos de rotação são sempre 
perpendiculares, permitindo uma orientação do efetuador em qualquer ângulo de 
rotação, de inclinação à esquerda ou direita, e de inclinação para cima e para baixo. É 
claro que os limites de movimento de cada uma dessas três juntas limitarão as 
orientações possíveis do efetuador. 
Na Figura (2.4) são representadas essas três juntas. 
 
Figura 2.4 – Representação das três juntas do punho do manipulador. 
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No extremo do punho é fixado o efetuador, ou dispositivo destinado a trabalhar sobre o 
objeto a ser manipulado. Em geral, os punhos nos braços mecânicos, e em outros tipos 
de manipuladores, permitem a remoção e troca do dispositivoefetuador com facilidade, 
adequando o robô para diferentes tarefas que exigem diferentes tipos de efetuadores. 
A Figura (2.5) mostra um bloco no espaço com uma dada posição e orientação. O 
sistema cartesiano X-Y-Z apresentado, serve como referencia para este bloco. Como 
pode ser visto, o bloco pode mover em relação ao eixo X, em relação ao eixo Y e em 
relação ao eixo Z, ou seja em 6 diferentes direções. Uma outra forma de dizer isto é 
dizer que o bloco tem 6 graus de liberdade (6 DOF). Neste caso os eixos X, Y e Z são os 
três eixos de rotação do bloco. É claro que o bloco pode mover ao longo ou rodar em 
relação a outro eixo, mas isto não é considerado como grau de liberdade, pois o mesmo 
movimento pode ser descrito pela combinação de movimentos ao longo de outros eixos. 
Portanto, um objeto que é livre para mover (ou rodar) em qualquer direção, tem 6 graus 
de liberdade. 
 
Figura 2.5 – Demonstração de seis graus de liberdade. 
 
Se um manipulador é requerido para mover um objeto, como o bloco da Fig. (2.6), em 
qualquer direção, ele deverá ter, pelo menos, 6 graus de liberdade. Entretanto, muitas 
das aplicações industriais requerem menos que 6 DOF. A Figura (2.6) apresenta uma 
tarefa muito comum de robôs – a tarefa de pegar e colocar (pick and place task). Nesta 
tarefa o robô deve pegar o bloco no ponto 1, levantá-lo até o ponto 2, movê-lo até o 
ponto 3 e finalmente coloca-lo no ponto 4. Pela figura percebe-se que são necessários 3 
DOF lineares e 1 rotacional para executar a tarefa. Ou seja, um robô de 4 DOF executa 
este tipo de tarefa facilmente. 
 
 
Figura 2.6 – Tarefa de pegar e colocar (pick and place task). 
 
 
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A Figura (2.7) apresenta outra tarefa que é muito parecida com a operação de pintar. 
Nesta tarefa, 3 DOF lineares são necessários para posicionar a pistola de pintura no 
espaço de trabalho do robô e 2 DOF rotacionais são necessários para posicionar a 
pistola em qualquer direção. Percebe-se que não há necessidade de um terceiro DOF 
rotacional, o qual ficaria na linha de pintura. Assim, um robô com apenas 5 graus de 
liberdade executa este tipo de tarefa, que é algumas vezes chamada de tarefa pontual. 
Outros exemplos de tarefas como estas são: a furação, colagem e alguns tipos de 
soldagem (solda ponto, por exemplo). 
 
 
Figura 2.7 – Tarefa pontual. 
 
 
A Figura (2.8) apresenta a tarefa chamada de inserção. Nesta tarefa, um objeto deve ser 
inserido em um furo o qual pode estar com qualquer orientação em relação à orientação 
original da peça. Este tipo de tarefa requer 6 DOF, entretanto, se o objeto é cilíndrico, 
ao invés de ter seção quadrada, apenas 5 DOF são necessários, pois a orientação do 
objeto pode ser qualquer uma, e a tarefa passa a ser tarefa pontual. 
 
 
Figura 2.8 – Tarefa de inserção. 
 
 
 
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2.2.2. Movimento Linear e Rotacional 
 
Quando uma força é aplicada em um objeto, este objeto tende a mover em linha reta na 
mesma direção e sentido da força (movimento linear). A terceira Lei de Newton na 
realidade diz que o objeto de massa m irá mover com uma aceleração a, a qual está 
relacionada com a força aplicada F. Estas três grandezas estão relacionadas pela 
expressão: 
 
 amF ⋅= (2.1) 
 
Considere agora um objeto que está montado em um sistema que o obriga a girar em 
torno de um eixo fixo (movimento de rotação). Para mover este objeto, um torque deve 
ser aplicado em torno deste eixo. A relação é equivalente a relação da terceira lei de 
Newton onde o torque T é equivalente a força F, o momento de inércia I é equivalente a 
massa e a aceleração agora é angular. A relação é a seguinte: 
 
 α⋅= IT (2.2) 
 
 
2.2.3. Espaço (Volume) de Trabalho 
O espaço de trabalho do manipulador é o termo que se refere ao espaço dentro do qual 
este pode movimentar o efetuador; é definido como o volume total conformado pelo 
percurso do extremo do último elo, o punho, quando o manipulador efetua todas as 
trajetórias possíveis. 
Em geral, não é considerada a presença do efetuador para definir este volume de 
trabalho, pois se fosse assim este volume ficaria determinado pelo seu tamanho, o qual 
depende do dispositivo terminal utilizado. Por exemplo, este volume variaria 
dependendo se o efetuador é uma garra ou uma ponta de solda comprida. 
Observe que este volume dependerá da anatomia do robô, do tamanho dos elos, assim 
também como dos limites dos movimentos das juntas (nas juntas de revolução, por 
exemplo, existirá um ângulo máximo de giro, determinado por limites mecânicos). 
A posição do punho do manipulador pode ser representada no espaço de trabalho ou no 
espaço das juntas. A posição no espaço de trabalho é determinada pela posição do 
punho segundo um sistema de três eixos cartesianos ortogonais, cuja origem em geral é 
solidária com a base do robô. Portanto, a posição do punho é representada no espaço de 
trabalho como um vetor de três componentes [ ]zyx . A posição no espaço das 
juntas é representada pelo vetor de coordenadas generalizadas, ou vetor cujas 
componentes representam a posição de cada junta (ângulo se for de revolução ou 
distância se for prismática), relativas a uma posição inicial arbitrária. Como foi 
especificado anteriormente, o conhecimento dos valores das coordenadas generalizadas 
é suficiente para determinar a posição do punho dentro do espaço de trabalho. 
 
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A influência da configuração física sobre o volume de trabalho é ilustrada na Fig. (2.9). 
Observe que, dependendo da configuração, este volume pode ser uma semi-esfera 
parcial, um cilindro, ou um prisma. 
 
Figura 2.9 – Diferentes espaços de trabalho em manipuladores de diferentes anatomias. 
 
Nos robôs reais, os limites mecânicos no movimento das juntas produzem um espaço de 
trabalho com contornos complexos, como é ilustrado na Fig. (2.10). 
 
 Figura 2.10 – Geometria do espaço de trabalho de um robô Motoman LW3. 
 
 
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2.3. Estrutura de um Manipulador 
Conceito Robô Manipulador: Conjunto de corpos rígidos, (chamados elos), interligados em uma 
cadeia cinemática aberta através de juntas, as quais são acionadas por atuadores de 
modo a posicionar a extremidade livre da cadeia (órgão terminal, efetuador, garra ou 
ferramenta) em relação à outra extremidade, que é fixa (base do manipulador). 
 
Figura 2.11 - Estrutura de um braço manipulador robótico. 
 
 
2.3.1. Hastes (Elos) e Juntas 
Todos os braços mecânicos são compostos de hastes (elos) e juntas. Toda junta tem 
duas hastes adjacentes e permite a rotação relativa entre elas, conforme mostrado na Fig. 
(2.12). 
 
Figura 2.12 – Hastes (elos) e juntas. 
 
Conceito Junta: Interligação entre duas hastes que permitem o movimento relativo entre os 
mesmos numa única dimensão ou grau de liberdade. 
Existem dois tipos básicos de juntas em robôs: 
 
 
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Junta de Rotação (Rotacional) 
Quando o movimento de duas hastes adjacentes for de rotação, como mostrado na Fig. 
(2.13). Permite a mudança de orientação relativa entre duas hastes. 
 
 
Figura 2.13 – Estrutura da junta de rotação. 
 
 
Junta de Prismática 
Quando o movimento de duas hastes adjacentes for linear, como mostrado na Fig. 
(2.14). Não permite a mudança de orientação relativa entre duas hastes. 
 
 
Figura 2.14 – Estrutura da junta prismática. 
 
É importante observar que ambas as juntas são de 1 grau de liberdade. Combinação de 
várias juntasamplia o número de graus de liberdade. 
 
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Algumas juntas permitem o movimento em mais de uma direção ou em torno de mais 
de um eixo. Um exemplo é a junta esférica, tipo rótula, ilustrada na Fig. (2.15). Este tipo 
de junta permite a rotação em torno de três eixos e pode ainda ser descrita como a 
combinação de três juntas de rotação. 
 
Figura 2.15 – Junta esférica (rótula). 
 
Em outras palavras, juntas esféricas têm 3 graus de liberdade. Parece uma vantagem 
sobre juntas com 1 grau de liberdade, entretanto, é quase impossível ter três atuadores 
independentes atuando neste tipo de junta. Por isto, a solução é combinar três juntas 
com 1 DOF cada, para formar uma junta de 3 DOF. A Figura (2.16) mostra como três 
juntas de rotação podem ser combinadas para formar uma junta esférica. Esta 
combinação é conhecida com “punho esférico” desde que ela é muito utilizada como as 
três últimas juntas de um robô, antes da ferramenta. 
 
Figura 2.16 – Punho esférico (3 juntas de rotação). 
 
 
 
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2.3.2. Arranjo Cinemático 
O arranjo das hastes e juntas em um braço manipulador tem um importante efeito nos 
graus de liberdade da ferramenta. A Figura (2.17) mostra três arranjos para um robô 
com três juntas de rotação. 
 
Figura 2.17 – Vários arranjos cinemáticos com juntas de rotação. 
 
Na Figura (2.17 A), as três juntas estão no mesmo plano vertical, tal que a ferramenta 
não pode mover fora do plano. A ferramenta tem dois graus de liberdade lineares, desde 
que ela pode mover em qualquer linha no plano, e um de rotação, desde que ela pode 
rodar em relação a um ponto no plano. 
Na Figura (2.17 B), uma das juntas é perpendicular as outras duas. A ferramenta tem 
agora 3 graus de liberdade linear, desde que ela pode mover para qualquer ponto no 
espaço dentro do volume de trabalho. 
Normalmente o número de graus de liberdade é igual ao número total de juntas no braço 
mecânico. O maior número de DOF para realização de qualquer tarefa é 6, desde que a 
ferramenta com 6 DOF pode ser posicionada em qualquer localização no volume de 
trabalho e com qualquer orientação. Este é o motivo pelo qual um robô de seis graus de 
liberdade é sempre referido como um manipulador para qualquer aplicação. Muitos 
robôs atualmente têm de 4 a 6 DOF. 
A estrutura mostrada na Fig. (2.17 C) foi apresentada para mostrar como um projeto 
pode onerar a estrutura e ter o mesmo efeito de outra mais simples. Neste caso, a 
estrutura mostrada nesta figura tem a mesma eficácia da apresentada na Fig. (2.17 A). 
Pelo motivo das 4 juntas estarem no mesmo plano, a ferramenta não pode mover fora 
dele e no plano tem apenas três graus de liberdade (dois lineares e um de rotação). 
Portanto, apesar de ter 4 juntas, a estrutura da Fig. (2.17 C), tem a mesma capacidade da 
mostrada na Fig. (2.17 A). 
 
 
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2.3.3. Braço Humano 
O corpo humano tem muitas juntas com mais de 1 DOF. A Figura (2.18) mostra que a 
junta do ombro é de fato uma junta esférica, com 3 DOF de rotação. A junta do cotovelo 
é uma junta de rotação com 1 DOF e a do punho é esférica com 3 DOF. Considerando 
apenas estas três juntas, o braço humano tem 7 graus de liberdade. Isto é surpreendente, 
pois apenas 6 DOF são suficientes para mover a mão para qualquer ponto no espaço. 
Não se deve entretanto ficar surpreso com isto. Na verdade, o sétimo grau de liberdade é 
para o cotovelo se mover independente da mão. O posicionamento do cotovelo, na 
prática, é muito importante e deve ser independente da posição da mão e do ombro. 
 
Figura 2.18 – Movimento das juntas de um braço humano. 
 
 
2.4. Classificação dos Robôs 
Existem diferentes configurações físicas, ou diferentes anatomias nos robôs 
manipuladores. Cada uma destas encontrará utilidade em alguma aplicação específica. 
Essas configurações estão determinadas pelos movimentos relativos das três primeiras 
juntas, as destinadas ao posicionamento do efetuador. Estas juntas podem ser 
prismáticas, de revolução, ou combinação de ambas. Para cada combinação possível 
existirá uma configuração física ou anatomia diferente. Observe que a configuração 
física independe do tamanho dos elos, pois estes determinarão em todo caso o tamanho 
do espaço de trabalho, mas não sua forma. 
As configurações físicas, então, estão caracterizadas pelas coordenadas de movimento 
das três primeiras juntas, ou pelas três primeiras coordenadas generalizadas, que são as 
variáveis que representam o movimento destas juntas. 
A estrutura cinemática de um robô é muito importante para as suas características, 
dentre elas, a precisão, a complexidade de controle e o espaço de trabalho. Um espaço 
de trabalho de um robô é a região do espaço onde o robô pode posicionar a ferramenta. 
Baseado no que foi dito anteriormente, 3 DOF são necessários para posicionar os 
objetos e 3 DOF são necessários para orientá-lo. Assim, as juntas de um robô podem ser 
divididas em dois grupos: 
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 As três primeiras, perto da base, que são as chamadas juntas principais porque elas 
permitem posicionar a ferramenta em qualquer posição no espaço; 
 As três finais, perto da ferramenta, que são chamadas juntas do punho, permitem 
orientar a ferramenta. 
Na classificação de robôs, somente as três juntas principais são consideradas. Isto é 
porque elas determinam o tamanho do espaço de trabalho e das propriedades mecânicas 
do braço. Os robôs pertencem a uma das 5 categorias a seguir: 
 
2.4.1. Robô Cartesiano 
Conceito Cartesiano: Quando os três graus de liberdade são todos lineares (prismáticos). 
Utilizando P para prismático e R para rotação, um robô deste tipo é chamando PPP. A 
Figura (2.19) apresenta exemplos de robôs PPP. 
 
Figura 2.19 – Robôs cartesianos tipo PPP. 
 
Nos robôs de coordenadas cartesianas, as três primeiras juntas são prismáticas, isto é, 
cada um dos elos tem um movimento de deslocamento linear com respeito ao anterior, 
ou a base no caso do primeiro elo. A forma dos elos pode mudar muito entre um robô e 
outro, o que interessa é que cada um se deslocará linearmente com respeito ao anterior, 
permitindo ao efetuador se deslocar ao longo de três eixos perpendiculares ente si. 
Se for suposto, no centro da base, a origem de três eixos cartesianos ortogonais, 
chamados de x, y e z, fica claro que cada junta permite ao efetuador se movimentar ao 
longo de cada um desses três eixos, perpendiculares entre si. Assim, a posição do 
efetuador com respeito a esse sistema de coordenadas estará determinada pelas três 
primeiras coordenadas generalizadas, as que podem ser chamadas, justamente, de 
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[ ]zyx , representando essas variáveis a distância de cada elo com respeito à origem 
de coordenadas. A posição do efetuador no espaço das juntas, portanto, coincide com a 
posição no espaço de trabalho. 
O ambiente de trabalho tem a forma de um prisma retangular. 
Os robôs de coordenadas cartesianas são muito utilizados quando é necessário atingir 
uma grande área, mas em geral livre de obstáculos, não sendo necessários movimentos 
muito complicados, como por exemplo, na montagem de carros e na indústria 
metalúrgica em geral. Uma vantagem é a facilidade de programação, pois é comum que 
o programador especifique uma trajetória do efetuador dentro do espaço de trabalho, 
trajetória que neste caso coincidirá com a especificada no espaço das juntas. 
Na Figura (2.20) pode ser observada a estrutura de um robô de coordenadas cartesianasdestinado a operar sobre um carro numa linha de produção. 
 
Figura 2.20 – Robô de coordenadas cartesianas. 
 
2.4.2. Robô Cilíndrico 
Conceito Cilíndrico: Quando o robô tem uma junta de rotação e duas prismáticas (RPP). A 
Figura (2.21) apresenta exemplos de robôs RPP. 
Nos robôs de coordenadas cilíndricas, a primeira junta é de revolução, sendo as outras 
duas prismáticas. Assim, a primeira coordenada generalizada será o ângulo de giro do 
primeiro elo com respeito à base do robô, a que é chamada de θ. A segunda estará dada 
pela altura com que se eleva o segundo elo com respeito à base, a que se denomina z. E 
a terceira é a distância que se desloca o terceiro elo com respeito ao segundo, chamada 
de R. O vetor com as três coordenadas generalizadas que representam o movimento do 
manipulador é, então, [θ z R]. 
Observe-se que o espaço de trabalho será um cilindro, ou volume encerrado por dois 
cilindros de diferentes raios cujos eixos coincidem com o eixo de rotação do primeiro 
elo. É possível que o robô não consiga atingir todos os pontos dentro desse espaço 
encerrado pelos dois cilindros devido a limitações mecânicas na junta de revolução. 
 
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Figura 2.21 – Robôs cilíndricos tipo RPP. 
 
Essas três coordenadas representadas num sistema de três eixos cartesianos ortogonais, 
cuja origem coincide com a base do robô, podem ser ilustradas segundo o desenho da 
Fig. (2.22). 
 
Figura 2.22 – Representação das coordenadas cilíndricas. 
 
Os valores dessas três variáveis determinam a posição do efetuador, como tinha sido 
mencionado anteriormente. 
Mas, em muitos casos, o programa de controle não considera estas coordenadas, e sim a 
posição do efetuador com respeito a um sistema de coordenadas ortogonais ( )zyx ,, , ou 
posição no espaço de trabalho. Evidentemente, existe uma transformação das 
coordenadas generalizadas às coordenadas cartesianas ortogonais, ou transformação da 
posição no espaço das juntas para o espaço de trabalho. É fácil ver, aplicando as regras 
básicas da trigonometria, que essa transformação estará dada pelas seguintes equações: 
 
cos θ
sen θ
x
y
z z
=⎧⎪ =⎨⎪ =⎩
 (2.3) 
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Na Figura (2.23) observa-se um esquema de um manipulador de coordenadas 
cilíndricas. 
 
Figura 2.23 – Robô de coordenadas cilíndricas. 
 
 
2.4.3. Robô Esférico 
Conceito Esférico: Quando o robô tem duas juntas de rotação e uma prismática (RRP). A Figura 
(2.24) apresenta exemplos de robôs esféricos RRP. 
 
 Figura 2.24 – Robôs esféricos tipo RRP. 
 
Num manipulador de coordenadas esféricas, as duas primeiras juntas são de revolução e 
a terceira é prismática. A primeira, que faz girar o primeiro elo com respeito à base, é 
chamada de θ. A segunda, que faz inclinar o segundo elo, ou ombro, com respeito ao 
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primeiro (ou também pode ser à própria base), é chamada de φ. A terceira coordenada é 
prismática, é que faz afastar ou aproximar o terceiro o terceiro elo do segundo, e essa 
distância é chamada de ρ. As coordenadas generalizadas que representam os três 
primeiros graus de liberdade, necessários para o posicionamento do efetuador, estarão 
definidos então pelo vetor [θ φ ρ]. 
 
Figura 2.25 – Representação das coordenadas esféricas. 
 
Observe que o espaço de trabalho neste tipo de manipulador será uma esfera, ou um 
espaço definido pelo volume encerrado por duas esferas de diferente raio com centro 
comum no ombro do robô. O manipulador poderia não atingir todos os pontos 
encerrados dentro dessas duas esferas devido a limitações nos ângulos de giro das duas 
primeiras juntas. 
A representação das três primeiras coordenadas generalizadas num sistema de três eixos 
cartesianos ortogonais, chamados [ ]zyx , cuja origem coincide com a base do robô, 
pode ser visualizada na Fig. (2.25). Também aqui, os valores dessas três coordenadas 
generalizadas, além do comprimento dos elos, determinam a posição do efetuador. 
Em muitos casos, os programas de controle não consideram essas três coordenadas 
generalizadas para determinar o posicionamento do efetuador, mas a posição segundo as 
coordenadas cartesianas ortogonais [ ]zyx . Evidentemente, também aqui existe uma 
série de transformações de um sistema de coordenadas para o outro. São estas: 
 
ρ cos cos θ 
ρ cos sen θ
ρ sen 
x
y
z
ϕ
ϕ
ϕ
=⎧⎪ =⎨⎪ =⎩
 (2.4) 
Observe que foram supostas as três juntas aplicadas no mesmo ponto, o que equivale a 
supor os dois primeiros elos sem comprimento nenhum, apenas o terceiro se estendendo 
e contraindo segundo o valor da terceira coordenada ρ. Isto efetivamente pode acontecer 
na prática, a rotação dos dois primeiros ângulos aplicados no mesmo elo. Mas se estes 
tiverem algum comprimento, devem ser considerados para o cálculo da posição do 
efetuador, modificando-se levemente as equações anteriores. A Figura (2.26) representa 
um desenho do robô manipulador Unimate de coordenadas esféricas. 
 
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29
 
 
Figura 2.26 – Desenho de um robô Unimate de coordenadas esféricas. 
 
 
2.4.4. Robô Articulado Horizontalmente 
Conceito Articulado horizontalmente (SCARA – Selectively Compliant Assembly Robot 
Arm): Quando o robô tem duas juntas de rotação, mas articuladas horizontalmente e 
paralelamente, e uma junta prismática. São designados também por RRP, entretanto são 
normalmente referidos como robôs SCARA. A Figura (2.27) apresenta exemplos de 
robôs do tipo SCARA. 
 
Figura 2.27 – Robôs articulados horizontalmente. 
 
 
 
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2.4.5. Robô Articulado Verticalmente 
Conceito Articulado verticalmente (antropomórfico): quando as três juntas são de rotação. A 
Figura (2.28) apresenta exemplos de robôs articulados verticalmente. 
 
Figura 2.28 – Robôs articulados verticalmente. 
 
 
 Figura 2.29 (a) Figura 2.29 (b) Figura 2.29 (c) 
 
 Figura 2.29 (d) Figura 2.29 (e) 
As Figuras (2.29 a, b, c, d, e) representam os mecanismos de braço com respectivos 
volumes de trabalho dos robôs: cartesiano, cilíndrico, esférico, articulado verticalmente 
e articulado horizontalmente respectivamente. 
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31
 
2.5. Características Estruturais de Robôs 
Na sessão anterior os robôs foram classificados em 5 grupos. Cada grupo tem 
característica própria, a qual permite selecionar uma estrutura especifica para uma 
determinada tarefa. As principais características são: rigidez mecânica, controle e 
envelope de trabalho. 
 
2.5.1. Rigidez Mecânica 
A rigidez mecânica de uma estrutura é a medida de como uma estrutura distorce pela 
ação de cargas atuando sobre ela. Quanto mais rígida for uma estrutura, menos ela ira 
ser distorcida pela ação de cargas. Naturalmente, uma alta rigidez mecânica e desejável 
em robôs, pois a posição do braço ira ser menos sensível as cargas impostas sobre ele. 
De um modo geral, juntas prismáticas são mais rígidas do que juntas de revolução, 
consequentemente, os robôs cartesianos são mais rígidos que os outros robôs. Por este 
motivo, muitas máquinas ferramenta são designadas com esta configuração. Usinagem 
envolve a aplicação de forças muito altas sem distorcer a ferramenta. Similarmente, 
robôs cartesianos são utilizados quando alta precisão é necessária ou requerida, de talforma que a estrutura deve resistir a forças muito altas. 
Algumas tarefas requerem grande rigidez em uma direção. A tarefa de inserir peças em 
um furo, como mostrado na Fig. (2.30), requer que o robô seja rígido na direção Z, mas 
não necessariamente nas direções X e Y. Por exemplo, se por acaso a peça não casar 
precisamente com o furo, uma certa flexibilidade nas direções X e Y pode ajudar a 
conseguir colocar a peça no furo corrigindo o erro. 
 
Figura 2.30 – Tarefa de colocar a peça no furo 
 
O robô do tipo SCARA, mostrado anteriormente, é um tipo de robô que combina rigidez 
e flexibilidade. Neste robô as duas primeiras juntas são de revolução e determinam a 
posição da ferramenta no plano XY. A terceira junta é prismática e determina a altura 
(coordenada Z) da ferramenta. As duas juntas de revolução são por natureza flexíveis e 
permitem pequenas correções na ferramenta ao longo dos eixos X e Y. Por outro lado, a 
junta prismática é muito rígida e pode resistir a qualquer deflexão. 
 
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2.5.2. Efeitos da Natureza no Controle 
O efeito da estrutura do robô no controle é evidente em duas áreas: 
1) O número de cálculos necessários para mover o braço para uma dada posição; 
2) As forças e torques que os motores devem exercer. Estas forças e torques 
complicam bastante o controle, desde que eles não são iguais em todos os pontos 
no envelope de trabalho. 
Os cálculos necessários para mover a ferramenta para um certo ponto dependem da 
cinética do robô. Genericamente falando, um ponto alvo (o ponto para o qual se 
pretende mover a ferramenta) é definido em coordenadas cartesianas. Em robôs 
cartesianos, a distância a ser percorrida por cada eixo é calculada diretamente da 
coordenada cartesiana do ponto. Entretanto, com robôs não cartesianos (robôs 
cilíndricos, por exemplo), a quantidade de movimento de cada junta deve ser calculada a 
partir da coordenada de cada uma desde que a ferramenta não será puramente em 
coordenadas cartesianas. Este caso, o cálculo se torna mais e mais complexo com o 
aumento do número de graus de liberdade de rotação e o aumento do número total de 
graus de liberdade. Consequentemente, robôs cartesianos requerem cálculos mais 
simples enquanto robôs com articulações verticais requerem cálculos mais complexos. 
O segundo fator que afeta o controle é que torques e momentos de inércia nem sempre 
se mantém constantes dentro do envelope de trabalho para robôs que não são 
cartesianos. Por exemplo, considere-se que se deseja calcular o toque necessário para 
levantar uma dada carga a uma velocidade constante utilizando o robô esférico 
mostrado na Fig. (2.31). 
 
Figura 2.31 – Robô esférico com o braço estendido e retraído. 
 
Da mesma forma, o momento de inércia do robô mostrado na Fig. (2.31) não será o 
mesmo nas duas situações apresentadas. O momento de inércia para a situação descrita 
é dado por: 
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2 21
3 A L
I m L m L= + (2.5) 
Onde: 
I = momento de inércia em relação ao eixo horizontal; 
mA = massa do braço (10 Kg); 
mL = massa da carga (2 Kg); 
L = distância entre a pinça e o eixo de rotação. 
Considerando os dados acima, tem-se que para o braço estendido (L = 1 metro) o 
momento de inércia será de 5,33 kg.m2 enquanto que para o braço retraído (0,7 metros) 
o momento de inércia será de 2,61 kg.m2. Ou seja, o momento de inércia é menos que a 
metade do outro na situação do braço retraído. 
O momento de inércia e a aceleração angular estão relacionados pela formula: 
 T I a= ⋅ (2.6) 
Onde: 
T = torque exercido pela junta 
I = momento de inércia 
a = aceleração angular 
Por esta relação percebe-se que para um dado torque do motor, a aceleração angular irá 
variar inversamente com o qualquer variação do momento de inércia. Comparando os 
exemplos mostrados acima se conclui que em diferentes regiões do envelope de trabalho 
do robô, os torques são significativamente diferentes para uma dada velocidade ou para 
alcançar certa aceleração. 
Pode-se concluir também que a reação do braço do robô aos torques exercidos pelos 
motores não são uniformes dentro do envelope de trabalho e isto complica bastante o 
controle. Reações uniformes somente são possíveis com robôs cartesianos. Além disto, 
a medida que o número de graus de liberdade lineares diminui e o de graus de rotação 
aumenta, o controle se torna mais complexo. 
 
2.5.3. Efeito da Estrutura no Envelope e no Volume de Trabalho 
O envelope de trabalho é forma geométrica que envolve o volume de trabalho. Este é 
por sua vez o volume que inclui todos os pontos que podem ser alcançados pela 
ferramenta. Qualquer objeto ou operação a ser alcançado ou realizada pelo robô deve 
estar localizado dentro do envelope de trabalho do robô, caso contrário o robô não irá 
ser capaz de alcançar este objeto ou realizar esta operação. Desde que muitos robôs 
industriais não são móveis, mas fixos no chão, o volume de trabalho deve ser o maior 
possível. 
Para se ter uma base de comparação, deve-se fazer três considerações: 
1) Todas as hastes dos robôs devem ter o mesmo comprimento L; 
2) As extensões do movimento linear de todas as juntas prismáticas devem ser 
iguais a A; 
3) Todas as juntas de revolução podem girar 360o. 
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 Volume de Trabalho do Robô Cartesiano 
O robô cartesiano executa três movimentos lineares nos seus três eixos perpendiculares. 
Portanto, se a ferramenta está fixada na extremidade da terceira haste ela irá mover 
dentro de uma caixa (paralelepípedo) cujos vértices são iguais em comprimento à 
extensão do movimento ao longo de cada um dos três eixos. A Figura (2.32) apresenta o 
volume de trabalho de um robô cartesiano. Dadas as extensões ao longo dos eixos, A1, 
A2 e A3 o volume da caixa que delimita o volume de trabalho é dado por: 
 1 2 3V A A A= ⋅ ⋅ (2.7) 
 
Figura 2.32 – Volume de trabalho de um robô cartesiano. 
 
 
 Volume de Trabalho do Robô Cilíndrico 
O robô cilíndrico executa um movimento de rotação e dois movimentos lineares. A 
Figura (2.33) o volume de trabalho do robô cilíndrico. O volume de trabalho deste tipo 
de robô é um cilindro cujo volume é dado por: 
 ( ){ }2 21 2V A L A Lπ= + − (2.8) 
Onde: 
V = Volume do cilindro de trabalho do robô; 
A1 = Deslocamento linear da junta 1 (altura do cilindro); 
A2 = Deslocamento linear da junta 2; 
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L = Raio do volume interno não acessível pela ferramenta. 
Deve ser ressaltado que (L + A2) é o raio externo do volume de trabalho. 
 
Figura 2.33 – Volume de trabalho robô cilíndrico. 
 
 
 Volume de Trabalho do Robô Esférico 
O robô esférico move-se com dois movimentos de rotação e um linear, que se 
combinam e formam um volume de trabalho esférico. A Figura (2.34) ilustra o volume 
de trabalho de um robô esférico. Se L é o comprimento do braço do robô quando a 
terceira haste está dentro da segunda haste e A é a extensão do movimento da junta 
prismática, então o volume de trabalho do robô esférico é uma esfera. A fórmula do 
volume de trabalho para um robô esférico é dada por: 
 ( ){ }3 343V L A Lπ= + − (2.9) 
Onde: 
V = Volume de trabalho do robô esférico; 
L = Raio da esfera externa não acessível pela ferramenta; 
A = deslocamento linear da junta linear. 
 
 
 
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Figura 2.34 – Volume de trabalho do robô esférico. 
 
 
 Volume de Trabalho do Robô Articulado Horizontalmente (SCARA) 
O robô articulado horizontalmente move-se com dois movimentos de rotação eum 
linear. A Figura (2.35) mostra o volume de trabalho do robô articulado verticalmente. 
Considerando A como a extensão do movimento da junta prismática e L1 e L2 como o 
comprimento das hastes, pode-se desenvolver duas equações para os limites do volume 
de trabalho deste robô, isto porque L1 e L2 podem ser diferentes. Assim, considerando 
que as juntas de revolução são capazes de girar 360o, o volume será um cilindro vazado 
para L2 menor que L1 e um cilindro cheio para L2 igual ou maior que L1. As equações 
que descrevem o volume destas superfícies são respectivamente: 
 ( ) ( )2 21 2 1 2V A L L L Lπ ⎡ ⎤= + − −⎣ ⎦ para 1 2L L> (2.10) 
 ( )21 2V A L Lπ= + para 1 2L L≤ (2.11) 
Onde V é o volume de trabalho do robô articulado horizontal. 
 
 
 
 
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Figura 2.35 - volume de trabalho do robô articulado horizontal. 
 
 
 Volume de Trabalho do Robô Articulado Verticalmente 
O robô articulado vertical é capaz de realizar três movimentos de rotação. A Figura 
(2.36) ilustra o envelope de trabalho de um robô articulado vertical. Da mesma forma 
que para o robô articulado horizontalmente, considerando L1 e L2 como o comprimento 
das hastes, pode-se desenvolver duas equações para os limites do volume de trabalho 
deste robô, isto porque L1 e L2 podem ser diferentes. Assim, considerando que as juntas 
de revolução são capazes de girar 360o, o volume será uma esfera vazada para L2 menor 
que L1 e uma esfera cheia para L2 igual ou maior que L1. As equações que descrevem o 
volume destas superfícies são respectivamente: 
 ( ) ( )3 31 2 1 243V L L L Lπ ⎡ ⎤= + − −⎣ ⎦ para 1 2L L> (2.12) 
 ( )31 243V L Lπ= + para 1 2L L≤ (2.13) 
Onde V é o volume de trabalho do robô articulado verticalmente. 
Um interessante ponto relativo ao volume de trabalho destes dois últimos robôs é que 
quando as hastes mais afastadas da base são mais curtas que as hastes mais próximas, o 
volume próximo ao robô é inacessível a ele e, portanto não é incluída no volume de 
trabalho. Fica claro pelas figuras que a situação ideal é quando as hastes são de mesmo 
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comprimento. Isto é válido também para o corpo humano, quando o braço é dobrado 
para encostar os dedos no ombro. As duas hastes do braço humano têm o mesmo 
comprimento. 
 
Figura 2.36 - Volume de trabalho do robô articulado verticalmente. 
 
 
 Comparação ente os volumes de trabalho dos robôs 
Tendo definido as formulas de volume de trabalho para os diferentes robôs, fica 
possível compara-los. Postulando que os comprimentos das hastes (L) são iguais e 
considerando que as juntas de revolução são capazes de girar 360° tem-se que para cada 
robô: 
 Cartesiano - 3V L= 
 Cilíndrico - 33V L= 
 Esférico - 328
3
V Lπ⎡ ⎤= ⎢ ⎥⎣ ⎦ 
 Horizontal - 34V L= 
 Vertical - 332
3
V Lπ⎡ ⎤= ⎢ ⎥⎣ ⎦ 
Onde se percebe que quanto mais juntas de revolução tiver o robô, maior será seu 
volume de trabalho. O robô com maior volume de trabalho é, como esperado, o robô 
articulado verticalmente. 
 
 
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Volume de trabalho em teoria e na prática 
Os volumes de trabalho apresentados anteriormente são na realidade maiores do que os 
volumes de trabalho reais dos robôs. Esta diferença é devido a vários fatores, dentre 
eles: 
 As juntas reais têm várias limitações mecânicas. Por exemplo, quase todas as juntas 
de revolução são incapazes de girar 360°. 
 A habilidade de mover a ferramenta a um ponto do envelope de trabalho nem 
sempre é suficiente para executar uma tarefa. Para executar uma determinada tarefa 
ela precisa ter orientação e direção, o que não é garantido pelo fato de somente 
alcançar o ponto. A mudança de posição da ferramenta é conseguida pelas três 
juntas iniciais, sendo que para conseguir mudança de orientação é necessário que se 
tenha mais juntas. Os extremos do envelope de trabalho são somente acessíveis para 
a ferramenta com uma certa orientação, o que reduz significativamente o tamanho 
deste envelope de trabalho. 
Comparando os envelopes de trabalhos de alguns robôs com alguns volumes de trabalho 
dados pelos fabricantes, é possível notar algumas diferenças. Em adição deve ser 
lembrado que mesmo dentro do volume de trabalho real, alguns pontos não são 
alcançados com uma orientação desejável e os extremos são alcançados somente com 
um ângulo. 
 
2.6. Estruturas Cinemáticas Abertas e Fechadas 
Até agora foram mostradas apenas estruturas onde as hastes são conectadas uma às 
outras através de juntas, como que formando uma corrente. Estas estruturas são 
chamadas de estruturas cinemáticas abertas. As estruturas cinemáticas fechadas são 
aquelas que caracterizam por ter hastes conectadas de forma fechada (loop). As Figuras 
(2.37) e (2.38) mostram exemplos destes dois tipos de estrutura. De um modo geral os 
dois tipos de estrutura executam o mesmo tipo de tarefa, entretanto a estrutura fechada 
apresenta maior rigidez e é muito mais fácil de controle. Uma desvantagem da estrutura 
fechada é seu envelope de trabalho, que é, para um mesmo número de graus de 
liberdade, menor que uma estrutura aberta. 
 
Figura 2.37 – Estrutura cinemática aberta. 
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Figura 2.38 – Estrutura cinemática fechada. 
 
 
2.7. Mecanismos de Transmissão 
Um aspecto importante, intimamente relacionado ao projeto do manipulador, diz 
respeito à transferência de movimento dos motores para as juntas. O componente que 
realiza esta função é conhecido como transmissão mecânica e é requerido para atuar de 
uma das seguintes formas: 
 Aumentar o torque através da redução da velocidade; 
 Reduzir o torque através do aumento da velocidade; 
 Mudar o eixo de rotação; 
 Converter movimento linear em movimento de rotação; 
 Converter movimento de rotação em movimento linear. 
O projetista mecânico de um braço manipulador sempre tenta reduzir peso e inércia de 
cada haste, particularmente daqueles mais próximos da ferramenta, fazendo o robô ficar 
mais rápido e barato. Eles sempre preferem atuadores pequenos que possam caber 
dentro da própria haste ao invés de grandes que ocupem espaço disponível para 
trabalho. Uma solução para isto, tendo em vista que nem sempre atuadores pequenos 
estão disponíveis, é utilizar transmissão mecânica. Utilizando transmissões adequadas 
pode reduzir significativamente o tamanho e o peso dos atuadores, permitindo a 
colocação destes atuadores próximos da base onde eles ficam fora da área de trabalho. 
Uma boa distribuição de peso dos componentes de um robô pode reduzir 
significativamente a inércia e os efeitos da gravidade. 
Os tipos de transmissão mais encontrados em robôs são: 
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 Correias e polias; 
 Engrenagens; 
 Sem fim coroa; 
 Pinhão cremalheira. 
Alguns robôs não utilizam qualquer tipo de transmissão. Nestes robôs os motores são 
montados diretamente nas juntas. 
 
2.7.1. Correias e Polias 
A Figura (2.39) mostra um exemplo de transmissão com correia dentada e polias 
conectadas em um motor. A polia conectada ao motor é chamada de correia de entrada e 
a montada na junta de correia de saída. Para maiores cargas e torques a correia pode ser 
substituída por correntes. Normalmente as correias são de diâmetros diferentes, para 
aproveitar ao máximo a relação de transmissão entre elas e o encaixe da correia é feito 
em dentes para evitar deslizamento. A aplicação deste tipo de transmissão é somente 
para controle de velocidade. 
 
Figura 2.39 – Transmissão por correia e polia. 
 
A relaçãode transmissão entre as polias pode ser computada através da velocidade (V) 
de rotação de cada polia, através do torque (T) transferido através da correia ou através 
do raio (R) das polias. A relação é dada por: 
 Relação de transmissão = 
in out out
out in in
S T R
S T R
= = (2.14) 
Esta relação mostra que se a diferença de diâmetros entre a polia de saída e a de entrada 
for igual a 2 (dois), a primeira irá girar com o dobro da velocidade da outra, com o 
dobro do torque. Portanto, relação de transmissão maior que 1 irá reduzir a velocidade e 
aumentar o torque. Em braços mecânicos, transmissões com estes valores, permitem 
utilizar motores fracos (baixa potência) para mover hastes mais pesadas. 
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2.7.2. Engrenagens 
A Figura (2.40) apresenta dois tipos de transmissão por engrenagens utilizadas em 
robôs. No caso das engrenagens retas, a relação de transmissão é exatamente igual a das 
polias com correias, sendo que este tipo de transmissão só é empregado para controle de 
velocidade. As engrenagens cônicas ou em angulo além de servirem para controle de 
velocidade servem também para mudar a direção da transmissão, neste caso, mudar o 
eixo de rotação de 90°. 
 
Figura 2.40 – Tipos de transmissão por engrenagem. Engrenagens retas e cônicas. 
 
A Figura (2.41) mostra uma combinação de três engrenagens cônicas formando um 
arranjo diferencial de engrenagens. Esta montagem é muito utilizada em juntas de 
punho de robôs desde que dois motores atuando independentemente podem combinar 
para produzir duas rotações diferenciais da ferramenta. A Figura (2.42) mostra o projeto 
de um punho de 2 DOF utilizando uma transmissão diferencial de engrenagens. 
 
Figura 2.41 – Arranjo diferencial de engrenagens. 
 
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Figura 2.42 – Punho de 2 GDL utilizando um arranjo diferencial de engrenagens. 
 
Um tipo de transmissão por engrenagens também muito utilizada é a transmissão 
harmônica. Com este tipo de transmissão consegue-se uma relação de transmissão 
relativamente alta, ocupando um espaço relativamente pequeno. 
A Figura (2.43) mostra os três componentes deste tipo de transmissão: O anel sólido, 
com dentes internos, que é normalmente fixado na haste do robô; o disco rígido elíptico 
fica conectado no motor e tem um rolamento de esferas no diâmetro externo e o cilindro 
flexível de parede fina com dentes externos fica conectado a outra haste. O diâmetro da 
parte dentada do disco flexível é quase do tamanho do diâmetro interno da parte dentada 
do anel sólido, tal que, quando o disco rígido elíptico gira, dois dentes se acoplam. 
Quando o motor gira, o disco rígido gira e os dentes acoplados também. Para cada giro 
completo do motor, o disco flexível move dois dentes em sentido contrário. 
 
Figura 2.43 – Transmissão harmônica. 
 
A Figura (2.44) mostra quatro estágios da rotação deste sistema. 
Como mostrado anteriormente, a relação de transmissão da transmissão harmônica é 
dada pela razão da velocidade de entrada e a velocidade de saída. Se o número de dentes 
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do disco flexível é Nf, então para cada volta do motor, a haste seguinte gira 2 fN de 
uma volta (isto é 2 dentes dos Nf dentes). 
 Relação de transmissão: ( )
1
22
f
f
N
N
= (2.15) 
Assim, se o disco flexível tiver 300 dentes, a transmissão harmônica terá uma relação de 
transmissão de 150, o que é alta para um componente leve e compacto. 
 
Figura 2.44 – Operação da transmissão harmônica.