Robótica industrial Ferramentas matemáticas na robótica

Prévia do material em texto

ROBÓTICA 
INDUSTRIAL 
1 
U
E
A
 E
S
T
 M
an
au
s 
, Ferramentas Matemáticas 
na Robótica 
FERRAMENTAS MATEMÁTICAS DA ROBÓTICA 
 
 
 O robô industrial comercial típico tem cinco ou seis juntas, 
onde é preciso controlar a trajetória que a extremidade 
do braço segue, alem das posições finais das juntas. Por 
enquanto, precisa de ferramentas matemáticas para isso. 
 A seguir estudaremos as técnicas matemáticas usadas para 
analisar as posições e movimentos do manipulador 
(cinemática e dinâmica dos robôs). 
2 
U
E
A
 E
S
T
 M
an
au
s 
FERRAMENTAS MATEMÁTICAS DA ROBÓTICA 
3 
U
E
A
 E
S
T
 M
an
au
s 
Cinemática dos Robôs: Estuda as operações matemáticas para definir a 
trajetória do extremo livre do braço do robô, então é preciso definir alguns 
conceitos gerais: 
Espaço cartesiano: espaço geométrico ao redor do robô expressado em 
coordenadas cartesianas (eixos x, y, z) com centro geralmente na base do 
robô. 
Espaço das juntas: espaço geométrico definido por um sistema de 
coordenadas cartesianas para cada uma das juntas do robô. 
Posição da ferramenta: Ubiquação do punho do robô (ou centro do sistema 
de coordenadas da junta do punho) no espaço cartesiano. 
Orientação da ferramenta: Posição, direção e sentido do extremo da 
ferramenta avançando para a peça de trabalho em sistema de coordenadas das 
juntas do punho. 
EIXOS DE COORDENADAS EM ROBÓTICA 
4 
U
E
A
 E
S
T
 M
an
au
s 
As coordenadas de um ponto P do espaço pode ser 
representado em coordenadas cartesianas (x,y,z), cilíndricas 
(r,,z) ou polares (esféricas) (r,,) 
U
E
A
 E
S
T
 M
an
au
s 
5 
Representação da orientação. 
Considere-se a . Os referenciais cartesianos OXYZ e OUVW têm a mesma 
origem no ponto O. O referencial OXYZ encontra-se fixo, enquanto que o 
referencial OUVW pode rodar relativamente a OXYZ. Fisicamente pode 
considerar-se OUVW como estando solidário com um corpo rígido, por 
exemplo, com um elo de um robô manipulador. 
 
U
E
A
 E
S
T
 M
an
au
s 
6 
Sejam (ix, jy, kz) e (iu, jv, kw) os vetores unitários segundo, respectivamente, 
os eixos de OXYZ e OUVW. Um ponto p no espaço pode ser representado 
pelas suas coordenadas, expressas quer em OXYZ quer em OUVW. 
 Por simplicidade, assuma-se que p está fixo em relação a OUVW. 
Assim, p pode ser representado por 
 
em OUVW, e 
em OXYZ. 
U
E
A
 E
S
T
 M
an
au
s 
7 
Matrizes de rotação. 
 
Pretende-se determinar a transformação matricial 
que converte as coordenadas de p expressas em relação a OUVW, puvw, 
 nas coordenadas de p expressas em relação a OXYZ, pxyz, depois do 
corpo solidário com o referencial OUVW ter sofrido uma rotação. Isto é, 
U
E
A
 E
S
T
 M
an
au
s 
8 
Recordando a definição de componentes de um vetor, tem-se 
 
onde pu, pv, pw representam, respectivamente, as componentes 
(ou as projeções) de p segundo os eixos OU, OV e OW. 
Então, usando a definição de produto escalar , tem-se (propriedade 
distributiva do produto escalar) 
Usando esta notação, a matriz R é dada por 
 
U
E
A
 E
S
T
 M
an
au
s 
9 
Note-se que as colunas da matriz R representam as coordenadas dos 
eixos principais do referencial OUVW em relação ao referencial OXYZ, 
isto é, representam os cosenos diretores dos eixos do referencial OUVW 
em relação ao referencial OXYZ. A matriz R representa, assim, a orientação 
do referencial OUVW em relação ao referencial OXYZ. 
 
 
De modo semelhante podem ser obtidas as coordenadas de puvw a 
partir das coordenadas de pxyz através da equação matricial 
 
 
 
U
E
A
 E
S
T
 M
an
au
s 
10 
ou 
Dado que o produto escalar é comutativo, pode mostrar-se a partir 
 das equações que 
ou 
U
E
A
 E
S
T
 M
an
au
s 
11 
onde I3 representa a matriz identidade de dimensão 3×3. 
As matrizes R e Q são ortogonais. 
 
Sendo os vetores (ix, jy, kz) e (iu, jv, kw) unitários, as transformações 
representadas pelas equações 
 
 
 
 
são chamadas transformações ortonormais. 
A partir daqui podem ser determinadas as transformações que representam as rotações 
do referencial OUVW em relação aos eixos do referencial OXYZ. 
 
Se o referencial OUVW sofrer uma rotação de um ângulo á segundo o 
 eixo OX, então o ponto puvw de coordenadas 
 
 
 
U
E
A
 E
S
T
 M
an
au
s 
12 
em relação a OUVW, terá diferentes coordenadas 
 
em relação a OXYZ. A transformação Rx, 
 chama-se matriz de rotação segundo OX de um ângulo 
 e poderá ser deduzida a partir dos conceitos desenvolvidos anteriormente. 
 Assim, vem 
com ix = iu e 
UEA EST Manaus 
13 
De modo semelhante podem ser obtidas as matrizes de rotação 
segundo OU de um ângulos e de rotação segundo OZ de um ângulo 
segundo OY 
U
E
A
 E
S
T
 M
an
au
s 
14 
a Rotação do corpo rígido de um ângulo Φ segundo o eixo OY 
15 
As matrizes 
 
são chamadas matrizes de rotação básicas ou elementares. 
Como se verá, rotações mais complexas podem ser tratadas à 
custa destas transformações elementares 
U
E
A
 E
S
T
 M
an
au
s 
16 
 segundo OZ e, por último, da rotação de um ângulo 
Composição de rotações 
Viu-se na secção anterior como representar 
matematicamente a rotação de um referencial OUVW 
segundo cada um dos eixos de um referencial fixo OXYZ. 
Se, em vez de uma rotação simples em torno de um dos 
eixos de OXYZ, o referencial OUVW, inicialmente alinhado 
com OXYZ, sofrer uma seqüência finita de rotações em torno 
desses mesmos eixos, então essa seqüência pode ser 
representada através do produto de várias matrizes de 
rotação básicas. 
Por exemplo, a matriz que representa a rotação de OUVW de 
um ângulo 
 
 segundo o eixo OX, seguida da rotação de 
 
 segundo OY é 
um ângulo 
U
E
A
 E
S
T
 M
an
au
s 
17 
 segundo OY, seguida da rotação de um ângulo 
segundo OX. Para esta seqüência a matriz de rotação vem 
Uma vez que o produto de matrizes em geral não é comutativo é importante a 
ordem pela qual são efetuadas as rotações. Assim, a matriz de rotação anterior 
é diferente da matriz correspondente à rotação de um ângulo 
 segundo OZ e seguida da rotação de um ângulo 
U
E
A
 E
S
T
 M
an
au
s 
18 
EIXOS DE COORDENADAS EM ROBÓTICA 
19 
U
E
A
 E
S
T
 M
an
au
s 
Regra da mão direita para eixos de coordenadas cartesianas 
EIXOS DE COORDENADAS EM ROBÓTICA 
 Sistemas de eixos 
para braços 
manipuladores: 
 Sistema de 
Coordenadas de 
estação 
 Coordenadas da 
Base 
 Coordenadas do 
robô 
 Coordenadas da 
ferramenta 
 Coordenadas usuária 
20 
U
E
A
 E
S
T
 M
an
au
s 
REFERENCIAIS PARA O ROBÔ STANFORD 
21 
U
E
A
 E
S
T
 M
an
au
s 
FERRAMENTAS MATEMÁTICAS DA ROBÓTICA 
22 
U
E
A
 E
S
T
 M
an
au
s 
A análise cinemática de um robô consiste no cálculo das 
coordenadas das juntas para uma determinada posição da 
extremidade do braço do robô. 
Por enquanto tem relação direta com o tipo de junta. 
Por exemplo, dadas as coordenadas cartesianas Vw=(x,y) do 
extremo do robô, as coordenadas das juntas podem ser: 
Vj = (,) para o caso de juntas RR 
Vj = (L1,L2) para o caso de juntas LL 
Vj = (, L2) para o caso de juntas RL 
 
FERRAMENTAS MATEMÁTICAS DA ROBÓTICA 
 Na maioria dos casos os robôssão controlados no espaço 
das juntas, enquanto que o planejamento e a definição das 
trajetórias são, normalmente, efetuados no espaço 
operacional (cartesiano). 
 Ir do espaço de junta para o espaço cartesiano é chamado 
transformação direta e ir do espaço cartesiano para o 
espaço de junta, transformação inversa 
23 
U
E
A
 E
S
T
 M
an
au
s 
Espaço 
das Juntas 
Espaço 
Cartesiano 
transformação direta 
transformação inversa 
MANIPULADOR RR BIDIMENSIONAL 
(TRANSFORMAÇÃO DIRETA) 
 Podemos determinar a posição da extremidade de um braço 
ao espaço cartesiano definindo um vetor r para o elo 1 e outro 
para o elo 2. 
24 
U
E
A
 E
S
T
 M
an
au
s 
r1= [L1cos1, L1sen1] 
r2= [L2cos(1+2), L2sen(1+2)] 
Por enquanto, as coordenadas x e 
y da extremidade do braço são: 
x = L1cos1 + L2cos(1+2) 
y = L1sen1 + L2sen(1+2) 
MANIPULADOR RR BIDIMENSIONAL 
(TRANSFORMAÇÃO INVERSA) 
 A situação típica é quando o controlador do robô tem de calcular os 
ângulos das juntas exigidos para mover o órgão terminal para um ponto 
(x,y) espaço definido por suas coordenadas 
25 
U
E
A
 E
S
T
 M
an
au
s 
Para o manipulador de dois elos, existem duas configurações possíveis 
.para alcançar o ponto (x, y) 
Com +2 : 
Muito complexo com só 2GL, ?com 6 eixos? => Notação Matricial 
VETOR DE COORDENADAS HOMOGÊNEAS 
26 
U
E
A
 E
S
T
 M
an
au
s 
Coordenadas homogêneas som as coordenas de um espaço 
(n+1)-dimensional para representar sólidos um espaço n-
dimensional 
Espaço n-dimensional Espaço (n+1)-dimensional 
Ponto p( x,y,z) p( wx,wy,wz,w) 
 com w = fator de escala 
POR EXEMPLO : 
ESPAÇO N-DIMENSIONAL ESPAÇO (N+1)-DIMENSIONAL 
PONTO P( X,Y,Z) P( WX,WY,WZ,W) 
 COM W = FATOR DE 
ESCALA 
EXEMPLOS: 2I+3J+4K => [4,6,8,2]T Ó [-6,-9,-12,-3]T 
 
 VETOR NULO:[0,0,0,N]T 
27 
U
E
A
 E
S
T
 M
an
au
s 
TRANSFORMAÇÃO HOMOGÊNEA 
Um ponto V no espaço pode ser representado em 
coordenadas homogêneas por, 
 
28 
U
E
A
 E
S
T
 M
an
au
s 
3 2 v 
w 
z 
w 
v 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
= 
w 
z 
y 
x 
V 
onde 
1 , v 
y 
 , w 
x 
= = = 
e w é o fator de escala real e não nulo. 
U
E
A
 E
S
T
 M
an
au
s 
29 












=












=












=
1
c
b
a
w
cw
bw
aw
w
z
y
x
p
Em notação vetorial para um fator de escala w=1, é 
U
E
A
 E
S
T
 M
an
au
s 
30 
Translação 
É Possível transladar um ponto u nas direções X, Y, e Z ou 
em uma direção arbitrária, a partir da aplicação da relação 
 
v = T . u 
com a relação 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
=  
1 0 0 0 
z 1 0 0 
y 0 1 0 
x 0 0 1 
) z , y , trans(x T 
0 
0 
0 
0 0 0 
U
E
A
 E
S
T
 M
an
au
s 
31 
Exemplo 1 
Considere a transformação homogênea 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
= 
1 0 0 0 
0 1 0 0 
0 0 1 0 
1 0 0 1 
T e o ponto 
1 
0 
0 
1 
u 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
= 
A transformação homogênea T, transforma o ponto u em um ponto v, 
v = T. u = 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
= 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
1 
0 
0 
2 
 
1 
0 
0 
1 
 
1 0 0 0 
0 1 0 0 
0 0 1 0 
1 0 0 1 
U
E
A
 E
S
T
 M
an
au
s 
32 
Exemplo 2 
Transladar o ponto v(1,0,0) de 1 unidade na direção X, 
 2 na direção Y e 3 na direção Z. 
 
1 
0 
0 
1 
 
1 0 0 0 
3 1 0 0 
2 0 1 0 
1 0 0 1 
(1,2,3) trans v 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
= = 
MATRIZES HOMOGÊNEAS EM ROBÓTICA 
33 
U
E
A
 E
S
T
 M
an
au
s 
Indica a posição e orientação de um sistema girado e 
trasladado O'UVW de acordo com um sistema fixo de 
referencia OXYZ 
Rotação Translação 
R3x3: matriz de rotação 
p3x1: vetor de translação 
f1x3: transformação de perspectiva (0 em Robótica) 
w1x1: escalado global (1 em Robótica) 
MATRIZES HOMOGÊNEAS EM ROBÓTICA 
34 
U
E
A
 E
S
T
 M
an
au
s 
Matriz básica de translação e mudança no sistema de 
coordenadas depois de uma translação. 
MATRIZES HOMOGÊNEAS EM ROBÓTICA 
35 
U
E
A
 E
S
T
 M
an
au
s 
Exemplo de translação com matrizes homogêneas 
Cálculo das novas coordenadas de um vetor de 
coordenadas (-2,7,3 ) no sistema O’UVW para o sistema 
O’XYZ que representa o origem de onde foi transladado o 
sistema O’UVW por um vetor p(6,-3,8) 
MATRIZES HOMOGÊNEAS EM ROBÓTICA 
36 
U
E
A
 E
S
T
 M
an
au
s 
Rotação sobre o eixo x 
MATRIZES HOMOGÊNEAS EM ROBÓTICA 
37 
U
E
A
 E
S
T
 M
an
au
s 
Rotação sobre os eixos y e z 
MATRIZES HOMOGÊNEAS EM ROBÓTICA 
38 
U
E
A
 E
S
T
 M
an
au
s 
Matrizes homogêneas básicas de Rotação sobre os eixos x, 
y ou z, e mudança de[pois de uma rotação 
 
. . 
MATRIZES HOMOGÊNEAS EM ROBÓTICA 
39 
U
E
A
 E
S
T
 M
an
au
s 
Exemplo de rotação com matrizes homogêneas 
Cálculo das coordenadas do vetor rxyz conhecendo que seus 
coordenadas no sistema O’UVW são [4,8,12]T. O sistema 
OUVW se encontra girado -90º ao redor do eixo OZ com 
respeito ao sistema OXYZ 
 FIM 
40 
U
E
A
 E
S
T
 M
an
au
s