Apostila Cleverson Resistência Materiais

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IFSP – CAMPUS REGISTRO 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Prof. Cleverson Pontes de Oliveira 
 
 
 
 
Registro – São Paulo 
2015 
 
Resistência de Materiais IFSP - Registro 
Prof. Cleverson Pontes de Oliveira 
2 
 
 
LISTA DE SÍMBOLOS 
 
 
 
letras maiúsculas 
A área 
E módulo de elasticidade 
F força 
I momento de inércia 
L comprimento 
M momento, momento fletor 
Ms momento estático 
N força normal 
P carga concentrada 
R resultante de forças, esforço 
 resistente 
S esforço solicitante 
V força cortante 
 
 
letras minúsculas 
a aceleração 
b largura 
g aceleração da gravidade 
h dimensão, altura 
l comprimento 
m metro, massa 
max máximo 
min mínimo 
q carga distribuída 
s segundo 
v deslocamento vertical 
x distância da linha neutra ao ponto de 
 maior encurtamento na seção 
 transversal de uma peça fletida 
 
letras gregas 
α, θ ângulo, coeficiente 
δ deslocamento 
φ diâmetro 
ε deformação específica 
γ f coeficiente de majoração das ações 
σ tensão normal 


 tensão normal admissível 
τ tensão tangencial 


 tensão tangencial admissível 
υ coeficiente de Poisson 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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1 Introdução 
 
1.1 Conceito 
 
As estruturas e as máquinas nunca são absolutamente rígidas, deformando-se sob a ação 
das cargas a que estão submetidas. Estas deformações são geralmente pequenas e não alteram 
apreciavelmente as condições de equilíbrio ou de movimento da estrutura considerada. 
No entanto, essas deformações terão importância quando houver riscos de ruptura do 
material. 
 A Mecânica é uma ciência física aplicada que trata dos estudos das forças e dos 
movimentos. A Mecânica descreve e prediz as condições de repouso ou movimento de corpos 
sob a ação de forças. 
 A finalidade da Mecânica é explicar e prever fenômenos físicos, fornecendo, assim, os 
fundamentos para as aplicações da Engenharia. 
No projeto de qualquer estrutura ou máquina é necessário primeiro usar os princípios da 
estática para determinar as forças que atuam tanto sobre como no interior de seus membros. 
As dimensões dos elementos, sua deflexão e sua estabilidade dependem não só das 
cargas internas como também do tipo de material do qual esses elementos são feitos. 
 
 
1.2 Sistema Internacional de Unidades 
 
O Sistema Internacional de Unidades (SI) é subdividido em unidades básicas e unidades 
derivadas. 
As unidades básicas são: metro (m), quilograma (kg) e segundo (s). As unidades 
derivadas são, entre outras, força, trabalho, pressão, etc. 
As unidades do SI formam um sistema absoluto de unidades. Isto significa que as três 
unidades básicas escolhidas são independentes dos locais onde são feitas as medições. 
 O comprimento é necessário para localizar a posição de um ponto no espaço e, por 
meio dele, descrever a dimensão de um sistema físico. O conceito de espaço é associado à 
noção de posição de um ponto material, o qual pode ser definido por três comprimentos, 
medidos a partir de um certo ponto de referência, ou de origem, segundo três direções dadas. 
Estes comprimentos são conhecidos como as coordenadas do ponto. 
 
 
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 A massa é uma propriedade da matéria pela qual se pode comparar a ação de um 
corpo com a de outro. Dois corpos de mesma massa, por exemplo, serão atraídos pela Terra 
de modo idêntico; e também irão oferecer a mesma resistência a uma variação de movimento 
de translação. 
 O tempo é concebido como uma sucessão de eventos. Os princípios da estática são 
independentes do tempo. O tempo desempenha papel importante no estudo da dinâmica. 
A força é medida em Newton (N) que é definido como a força que imprime a 
aceleração de 1 m/s2 à massa de 1 kg. A partir da Equação F=m.a (segunda Lei de Newton), 
escreve-se: 1 N = 1 kg × 1 m/s2. 
As medidas estáticas de forças são efetuadas por meio de instrumentos chamados 
dinamômetros. 
O peso de um corpo também é uma força e é expresso em Newton (N). Da Equação 
P=m.g (terceira Lei de Newton ou Lei da Gravitação) segue-se que o peso de um corpo de 
massa 1 kg é = (1 kg)×(9,81 m/s2) = 9,81 N, onde g=9,81m/s2 é a aceleração da gravidade. 
A pressão é medida no SI em Pascal (Pa) que é definido como a pressão exercida por 
uma força de 1 Newton uniformemente distribuída sobre uma superfície plana de 1 metro 
quadrado de área, perpendicular à direção da força Pa = N /m2. Pascal é também unidade de 
tensões normais (compressão ou tração) ou tensões tangenciais (cisalhamento). 
 
Múltiplos e submúltiplos 
 
 
 
 
 
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Conversão de Unidades 
 
COMPRIMENTO MASSA 
Unidade SI Multiplicar por Unidade SI Multiplicar por 
n(nano) .m 10
-9 
.g kg 0,001 
(micro) .m 10
-6 
Ton kg 1000 
Dm .m 0,1 lbm kg 0,45359237 
Cm .m
 
0,01 Slug kg 14,594 
.mm .m 0,001 oz (onça)avoirdupois kg 28,35.10
-3
 
Km .m 1000 Grão kg 6,48.10
-6
 
Ft .m 0,3048 Tonelada (inglesa) kg 1016 
In .m 0,0254 Utm kg 9,80665 
yd (jarda) .m 0,9144 Arroba kg 14,688 
 
 
 
ÁREA Força 
Unidade SI Multiplicar 
por 
Unidade SI Multiplicar por 
Are .m
2
 4,047.10
3
 kgf N 9,8 
Acre .m
2
 100 Libra força(lbf) N 4,45 
Hectare .m
2
 10000 
 
 
km
2
 .m
2
 10
6 
 
Pé
2
 (ft
2
) .m
2
 0,06451 
Polegada quadrada (in
2
) .m
2
 9,290304 
 
 
 
 
 
 
1.3 Trigonometria 
 
Para o estudo da Matéria da Mecânica Geral necessitam-se dos conceitos fundamentais 
da trigonometria. A palavra trigonometria significa medida dos três ângulos de um triângulo e 
determina um ramo da matemática que estuda as relações entre as medidas dos lados e dos 
ângulos de um triângulo. 
Círculo e Funções Trigonométricas 
 
sen α = ____EF 
cos α = ____
OF
 
tg α = ___AB 
cot g α= ____
DC
 
sec α = ____
OB
 
cosec α = ____
OC
 
____
OE
 = R =1 
 
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Triângulo retângulo 
 
No triângulo retângulo, os catetos são os lados que formam o ângulo de 90º. A 
hipotenusa é o lado oposto ao ângulo de 90º e é determinada pela relação: a
2
 = b
2
 +c
2
. 
 
Relações trigonométricas 
 
 
 
 
 
 
 
Razões Trigonométricas Especiais 
 
 
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1.4 Alfabeto Grego 
 
Os problemas usuais em engenharia são definidos por formulações matemáticas, as 
quais, usualmente, utilizam letras do alfabeto grego. É, pois, necessário, seu conhecimento 
para as práticas comuns da Engenharia. 
 
 
 
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Alfabeto Grego 
 
 
 
 
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2 Estática 
 
A Estática se refere aos corpos em repouso ou em movimento, com velocidade 
constante e estuda as forças em equilíbrio, independentemente do movimento por elas 
produzido. Na Estática, os corpos analisados são considerados rígidos, conseqüentemente, 
os resultados obtidos independem das propriedades do material. 
 
2.1 Forças no plano 
A Força representa a ação de um corpo sobre o outro e é caracterizada pelo seu ponto 
de aplicação, sua intensidade, direção e sentido. A intensidade de uma força é expressa em 
Newton (N) no Sistema Internacional de Unidades (SI). A direção de uma força é definida 
por sua linha de ação, ou seja, é a reta ao longo da qual a força atua, sendo caracterizada 
pelo ângulo que forma com algum eixo fixo, como indicado na Figura 2.1. 
 
O sentido da força é indicado por uma seta (vetor). 
Denomina-se Grupo de forças, o conjunto de forças aplicadas em um único ponto de 
um corpo. Sistema de forças é o conjunto de forças aplicadas simultaneamente em pontos 
diversos de um mesmo corpo. 
 
2.2 Equilíbrio de um ponto material 
Ponto material é uma pequena porção de matéria que pode ser considerada como se 
ocupasse um ponto no espaço. 
Quando a resultante de todas as forças que atuam sobre um ponto material é nula, este 
ponto está em equilíbrio. Este princípio é conseqüência da primeira lei de Newton: “se a 
força resultante que atua sobre um ponto material é zero, este ponto permanece em repouso 
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(se estava originalmente em repouso) ou move-se ao longo de uma reta com velocidade 
constante (se originalmente estava em movimento)”. 
Para exprimir algebricamente as condições de equilíbrio de um ponto material, 
escreve-se: 
  0RF
 
F = força 
R = resultante das forças 
 
A representação gráfica de todas as forças que atuam em um ponto material pode ser 
representada por um diagrama de corpo livre, como indica a Figura 2.2. 
 
 
Exemplo: verificar se o sistema de forças indicado está em equilíbrio 
 
Σ F x =0 
Σ Fx = 1500 – 1000sen30o – 2000sen30o = 
0 
Σ Fx = 1500 – 500 – 1000 = 0 
 
Σ F y = 0 
Σ Fy =2000cos30o – 1000cos30o – 866 = 0 
Σ Fy =1732 – 866 - 866 = 0 
 
Resposta: O sistema de forças está em 
equilíbrio. 
 
 
2.3 Resultante de uma força 
Constata-se experimentalmente que duas forças P e Q que atuam sobre um ponto 
material podem ser substituídas por uma única força R que tenha o mesmo efeito sobre esse 
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ponto material. Essa força é chamada de resultante de P e Q. Portanto, a resultante de um 
grupo de forças é a força que, atuando sozinha, produz ação idêntica à produzida pelo 
grupo ou sistema de forças. A resultante pode ser determinada por soluções gráficas ou 
analíticas. 
a) Soluções gráficas: quando um ponto material está em equilíbrio sob a ação de mais 
de três forças o problema pode ser resolvido graficamente pelo desenho de um 
polígono de forças, como indicado nas figuras seguintes. 
 
 
 
 
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b) Soluções analíticas: os métodos analíticos utilizam a trigonometria e as equações 
de equilíbrio. 
Exemplos: 
1. O parafuso tipo gancho da figura, está 
sujeito a duas forças F1 e F2. determine a 
intensidade (módulo) e a direção da força 
resultante. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2. O parafuso na forma de gancho 
mostrado abaixo está sujeito a uma força de 
200N. Decomponha essa força em 
componentes nas direções mostradas na 
figura. 
 
 
 
 
 
 
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3. Um caso particular da terceira lei de Newton é a lei da gravitação que trata da atração da 
Terra sobre um ponto material localizado em sua superfície. A força de atração exercida 
pela Terra sobre o ponto material é definida como o seu peso (P). a intensidade do peso P 
de um ponto material de massa m é expresso como. 
gmP 
 
onde g = 9,81 m/s
2
 é aceleração da gravidade. 
 
 
 
 
 
 
 
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Exercícios: 
1 – Determine os componentes x e y de cada uma das forças indicadas. 
 
2 – Determine os componentes x e y de cada uma das forças indicadas. 
 
 
3 – A extremidade de uma lança O da figura está submetida as três forças concorrentes e 
coplanares. Determine a intensidade e a orientação da força resultante. 
 
 
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4 – O elo da figura está submetido a duas forças F1 e F2. Determine a intensidade e a 
orientação da força resultante. 
 
2.4 Vetores Cartesianos 
 
Componentes retangulares de um vetor 
Um vetor A pode ter um, dois ou três componentes ao longo dos eixos de coordenadas 
x, y, z, dependendo de como está orientado em relação aos eixos. 
 Em geral, quando A está orientado em um oitante do sistema x, y, z, com duas 
aplicações sucessivas da lei do paralelogramo pode-se decompô-lo em componentes, como 
A = A’ + Az e depois A’ = Ax + A. 
 Combinando essas equações, A é representado pela soma vetorial de seus três 
componentes retangulares; 
 A = Ax + Ay + Az 
 
 
 
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Vetores Cartesianos Unitários 
 
Em três dimensões, o conjunto de vetores unitários i, j, k é usado para designar as 
direções dos eixos x, y, z, respectivamente. 
 Como foi dito anteriormente, o sentido (ou ponta da flecha) desses vetores será 
descrito analiticamente por um sinal positivo ou negativo, dependendo se indicam o sentido 
positivo ou negativo dos eixos x, y e z. 
 Os vetores cartesianos unitários positivos são os mostrados na figura acima. 
 
Vetor Unitário 
A direção de A é especificada usando-se um vetor unitário, que tem esse nome porque 
apresenta intensidade 1. 
 Se A é um vetor com intensidade A≠ 0, então o vetor unidade que tem a mesma 
direção de A é representado por: uA = A/A, de modo que: A = A.uA. 
 Sendo A um certo tipo, por exemplo, vetor força, costuma-se usar o conjunto de 
unidades apropriadas para descrevê-lo. 
 A intensidade de A também tem o mesmo conjunto de unidades. 
 Então pela equação anterior, o vetor unitário é adimensional, visto que as unidades se 
anulam; a referida equação, indica, portanto, que o vetor A é expresso em termos tanto de 
sua intensidade quanto de sua direção separadamente, ou seja, A (escalar positivo) define a 
intensidade de A e uA (vetor adimensional) define a direção e o sentido de A; 
 
 
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Representação de um Vetor Cartesiano 
 
Como os tres componentes de A, atuam nas direções positivas i, j, k, pode-se escrever 
A sob a forma de vetor cartesiano como: 
 A = Axi + Ayj + Azk 
 Há uma vantagem em escrever os vetores dessa maneira. 
 Note que a intensidade e a direção de cada componente do vetor estão separadas e, 
como resultado, simplificam-se as operações de álgebra vetorial, particularmente em três 
dimensões. 
Módulo de um Vetor CartesianoÉ sempre possível obter a intensidade de A, desde que ele esteja expresso sob a forma 
vetorial cartesiana; 
 Como mostra a figura ao lado, temos, pelo triângulo retângulo cinza-claro; 
 
Pelo triângulo retângulo cinza-escuro; 
 
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Combinando-se essas duas equações, tem-se: 
 
Direção de um Vetor Cartesiano 
 
A orientação de A é definida pelos ângulos diretores coordenados α (alfa), β (beta) e 
γ (gama), medidos entre a origem de A e os eixos positivos x, y, z localizados na origem 
de A. 
 Observe que cada um desses ângulos está entre 0° e 180°, independentemente da 
orientação de A. 
 Para determinamos α, β e γ, vamos considerar a projeção de A sobre os eixos x, y, z. 
 Esses números são conhecidos como cossenos diretores de A; 
 
 
 
Direção de um Vetor Cartesiano 
 
 
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Exercícios: 
1 – Expresse a força F , mostrada na figura abaixo, como um vetor cartesiano. 
 
2 – Determine a intensidade e os ângulos diretores coordenados da força resultante que atua 
sobre o, anel conforme a figura abaixo. 
 
3 – Expresse a força F1, mostrada na figura abaixo, como vetor cartesiano. 
 
4 – Duas forças atuam sobre o gancho conforme mostrado na figura abaixo. Especifique os 
ângulos diretores coordenados de F2 de modo que a força resultante FR atue ao longo do 
eixo positivo y e tenha intensidade de 800 N. 
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5 – Determine a intensidade e os ângulos diretores coordenados da força resultante. 
 
6 – Especifique os ângulos diretores coordenados de F1 e F2 e expresse cada força como um 
vetor cartesiano. 
 
7 – A viga está sujeita às duas forças mostradas. Expresse cada força na forma vetorial 
cartesiana e determine a intensidade e os ângulos diretores coordenados da força resultante. 
 
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2.5 Vetor Posição 
- Vetor Cartesiano: 
 r = (xB-xA)i + (yB-yA)j + (zB-zA)k 
- Módulo do Vetor Cartesiano: 
 r = (rxi
2
 + ryj
2
 + rkk
2
)
1/2
 
- Vetor unitário: 
u = r/r 
Exercícios: 
1 – Uma fita elástica está presa aos pontos A e B, conforme mostrado na figura. Determine 
seu comprimento e sua direção, medidos de A para B. 
 
2 – Expresse o vetor posição r na forma cartesiana; depois determine sua intensidade e os 
ângulos diretores coordenados. 
 
 
3– O homem mostrado na figura puxa uma corda com uma força de 70 lb. Represente essa 
força, que atua sobre o suporte A, como vetor cartesiano e determine sua direção. 
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4 – Uma marquise é suportada por cabos conforme mostrado na figura. Se os cabos 
exercem forças FAB = 100 N e FAC = 120 N sobre o gancho colocado na parede em A, 
determine o módulo da força resultante atuante em A. 
 
5 – Uma torre de transmissão é sustentada por três cabos de sustentação ancorados por 
parafusos B, C e D. Se a tração no cabo AB é de 2100 N, determine os componentes da 
força exercida pelo cabo no parafuso B. 
6 – Uma torre de transmissão é sustentada por três cabos de sustentação ancorados por 
parafusos B, C e D. Se a tração no cabo AD é de 1260 N, determine os componentes da 
força exercida pelo cabo no parafuso D. 
 
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Exercícios de Revisão: 
1 – Determine a intensidade, a direção e o sentido da força resultante sabendo que θ = 50º. 
 
 
 
2 – Determinar a intensidade e a direção da força resultante sabendo que F1 = 500 N e θ = 
20º. 
 
3 – O olhal da figura está sujeito às duas forças mostradas. Encontre o módulo e os ângulos 
coordenados diretores da força resultante. 
 
4 – Os cabos da figura são usados para sustentar a antena. Determine a intensidade e os 
ângulos diretores coordenados α, β, γ da força F1. 
 
 
5 – Vários cabos estão presos em A no topo de uma torre. Determine o ângulo θ formado 
entre os cabos AB e AC. 
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6 – Cada uma das quatro forças que atuam em E tem intensidade de 28 kN. Expresse cada 
força como um vetor cartesiano e determine a força resultante. 
 
 
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2.6 Produto escalar: 
1 – O tubo da figura está sujeito à força F = 80 lb. Determine o ângulo θ entre F e o 
segmento BA do tubo. 
 
 
2 – Determine o ângulo θ entre os dois vetores. 
 
 
3 – Determine o ângulo θ entre os lados da chapa triangular. 
 
 
 
4 – Determine o ângulo θ entre o eixo y do poste e o arame AB. 
 
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2.7 Momento de uma força 
Define-se Momento como a tendência de uma força F fazer girar um corpo rígido 
em torno de um eixo fixo. O Momento depende do módulo de F e da distância (d) de F 
em ao eixo fixo. Considere-se uma força F que atua em um corpo rígido fixo no ponto 
0, como indicado nas figuras 2.1 e 2.2. 
 
 
 
Figura 2.1 
 Figura 2.2 
 
A força F é representada por um vetor que define seu módulo, direção e sentido. 
O vetor d é a distância perpendicular de 0 à linha de ação de F. 
Define-se o momento escalar do vetor F em relação a 0, como sendo : 
dFM o 
 
onde: Mo= momento escalar do vetor F em relação ao ponto 0; 
 0 = pólo ou centro de momento; 
 d= distância perpendicular de 0 à linha de ação de F, também chamada de braço 
de alavanca. 
O momento MO é sempre perpendicular ao plano que contém o ponto 0. O sentido 
de MO é definido pelo sentido de rotação imposto pelo vetor F. 
Convenciona-se momento positivo se a 
força F tender a girar o corpo no sentido 
anti-horário e negativo, se tender a girar o 
corpo no sentido horário. 
 
 
No SI, onde a força é expressa em newtons (N) e a distância em metros (m). 
Portanto, o momento é expresso em newtons × metros (N × m). 
 
 
 
 
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2.7.1 Momento de um sistema de forças coplanares 
Chama-se Momento de um sistema de forças coplanares S={(F1,A1),....,(Fn,An)} 
em relação ao ponto 0, à soma algébrica dos Momentos de cada força em relação ao 
mesmo ponto 0. 
 
 
2.7.2 Teorema de Varignon 
Seja R a resultante do sistema de forças S. “O Momento da resultante de um 
sistema de forças em relação a um ponto é igual ao momento do sistema ou seja, a soma 
algébrica dos Momentos de todas as forças componentes em relação ao mesmo ponto 
O”. 
 
Observação: Cabe mencionar que muitas vezes o momento de uma força nem sempre 
provoca rotação, como se apresenta na figura 2.3. 
 
Figura 2.3 
Exemplos: 
1 - Determine o momento da força em cada relação ao ponto O. Em cada caso Ilustrado. 
 
 
 
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Figura 2.4 
 
2 - Determine os momentos da força de 800 N que atua sobre a estrutura em relação aos 
pontos A, B, C e D. da Figura 2.4. 
3 - Determine o momento resultante das quatro forças que atuam na haste em relação 
ao ponto O (Fig. 2.5) 
 
Figura 2.5 
 
2.7.3 Momentode um binário 
Duas forças F e –F que tenham o mesmo módulo, linhas de ação paralelas e 
sentidos opostos formam um binário. A soma das componentes das duas forças em 
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qualquer direção é zero. Entretanto, a soma dos momentos das duas forças em relação a 
um dado ponto não é zero. Apesar de as duas forças não transladarem o corpo no qual 
atuam, tendem a fazê-lo girar. 
 
 
 
 
 
Exemplos: 
1- Um binário atua nos dentes da engrenagem mostrada na Figura 2.6 substitua esse 
binário por um equivalente, composto por um par de forças que agem nos pontos A e B. 
 
Figura 2.6 
2- Determine o momento de binário que atua sobre a estrutura de tubos. O segmento AB 
está orientado em 30º abaixo do plano x –y.( Figura 2.7) 
 
Figura 2.7 
 
 
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3- Um momento torsor de 4 N.m é aplicado ao cabo de uma chave de fenda. 
Decomponha esse momento de binário em um par de binários F exercido no cabo P 
atuando na lámina da ferramenta (Figura 2.8). 
4- O sistema de rodízio é submetido a dois binários. Determine as forças F que os dois 
mancais criam no eixo, de modo que o momento de binário resultante no rodízio seja 
nulo (Figura 2.9). 
 
 
 
Figura 2.8 
 
Figura 2.9 
 
Exercícios: 
1 - O poste da figura esta sujeito a uma força de 60 N na direção de C para B. 
Determine a intensidade do momento criado pela força em relação ao suporte em A. 
 
 
2 - Antes que o tronco de uma grande árvore venha a cair, são amarrados cabos AB e 
BC, como mostra a ilustração. Sabendo que as forças de tração nos cabos AB e BC são 
de 777 N e 990 N, respectivamente, determine o momento em relação a O da força 
resultante exercida sobre a árvore pelos cabos em B. 
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3 - Uma força de 200 N atua sobre o suporte mostrado na figura. Determine o momento 
da força em relação ao ponto A. 
 
4 - Determine o momento de binário que atua sobre a estrutura de tubos mostrada na 
figura. O segmento AB está orientado em 30º abaixo do eixo x-y. 
 
 
5 - Uma viga de 4,80 m de comprimento está sujeita às três forças mostradas. Reduza o 
sistema de forças dado: 
a) Um sistema força-binário equivalente em A; 
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b) Um sistema força-binário equivalente em B. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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33 
3. Equilíbrio de um Corpo Rígido 
 
Nesta seção vamos a conhecer as condições necessárias e suficientes para o 
equilíbrio de um corpo rígido. Para isso considere o corpo rígido da Figura 3.1. 
 
 
Figura 3.1 
Um corpo rígido está em equilíbrio quando todas as forças externas que atuam 
sobre ele formam um sistema de forças equivalente a zero, isto é, quando todas as forças 
externas podem ser reduzidas a uma força nula e a um binário nulo. 
 
   0 M 0 0F
 
As expressões acima definem as equações fundamentais de Estática. 
Decompondo cada força e cada momento em suas componentes cartesianas, encontram-
se as condições necessárias e suficientes para o equilíbrio de um corpo rígido o espaço. 
 
 
3.1 Equilíbrio em duas dimensões 
Para uma aplicação bem-sucedida das equações de equilíbrio, é preciso uma 
completa especificação de todas as forças externas conhecidas e desconhecidas que 
atuam no corpo. A melhor maneira de fazer isso é construindo o diagrama de corpo livre 
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34 
(DCL) para esse corpo. O diagrama é um esboço da forma do corpo, representado 
isolado ou ‘livre’ dos elementos vizinhos, isto é, como um ‘corpo livre’ (Figura 3.2 a, 
b). 
 
 
Figura 3.2 
 
As condições de equilíbrio de um corpo rígido simplificam-se consideravelmente 
no caso de uma estrutura bidimensional. Escolhendo os eixos x e y no plano da 
estrutura, tem-se: 
 
para cada uma das forças aplicadas ao corpo rígido, então as seis equações de equilíbrio 
no espaço reduzem-se a: 
   0 M 0F 0 AyXF
 
onde A é um ponto qualquer no plano da estrutura. Estas três equações podem ser 
resolvidas para um máximo de três incógnitas. 
O equilíbrio em duas dimensões é também conhecido como equilíbrio no plano. 
 
3.2 Reações de Apoio 
Para o estudo do equilíbrio dos corpos rígidos não bastam conhecer somente as 
forças externas que agem sobre ele, mas também é necessário conhecer como este corpo 
rígido está apoiado. 
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35 
Apoios ou vínculos são elementos que restringem os movimentos das estruturas e 
recebem a seguinte classificação: 
 
Apoio móvel 
 
 
 
 Impede movimento na direção normal 
(perpendicular) ao plano do apoio; 
 Permite movimento na direção paralela ao 
plano do apoio; 
 Permite rotação. 
 
Apoio fixo 
 
 
 
 Impede movimento na direção normal ao 
plano do apoio; 
 Impede movimento na direção paralela ao 
plano do apoio; 
 Permite rotação. 
 
Engastamento 
 
 
 
 
 Impede movimento na direção normal ao 
plano do apoio; 
 Impede movimento na direção paralela ao 
plano do apoio; 
 Impede rotação. 
 
Exemplo: Viga de ferro 
 
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36 
3.3 Tipos de Estruturas 
As estruturas são classificadas em função do número de reações de apoio ou 
vínculos que possuem. Cada reação constitui uma incógnita a ser determinada. 
Para as estruturas planas, a Estática fornece três equações fundamentais: 
   0 M 0F 0 AyXF
 
3.3.1 Estruturas hipostáticas 
Estruturas hipostáticas são aquelas cujo número de reações de apoio ou vínculos é 
inferior ao número de equações fornecidas pelas condições de equilíbrio da Estática. 
 
 A figura ao lado ilustra um tipo de estrutura 
hipostática. As incógnitas são duas: RA e RB. Esta 
estrutura não possui restrição a movimentos 
horizontais. 
 
3.3.2 Estruturas isostáticas 
Estruturas isostáticas são aquelas cujo número de reações de apoio ou vínculos é 
igual ao número de equações fornecidas pelas condições de equilíbrio da Estática. 
 
 No exemplo da estrutura da figura, as 
incógnitas são três: RA, RB e HA. Esta estrutura 
está fixa; suas incógnitas podem ser resolvidas 
somente pelas equações fundamentais da Estática. 
 
3.3.3 Estruturas hiperestáticas 
Estruturas hiperestáticas são aquelas cujo número de reações de apoio ou vínculos 
é superior ao número de equações fornecidas pelas condições de equilíbrio da Estática. 
 
 Um tipo de estrutura hiperestática está 
ilustrado na figura ao lado. As incógnitas são 
quatro: RA, RB, HA e MA. As equações 
fundamentais da Estática não são suficientes para 
resolver as equações de equilíbrio. São 
necessárias outras condições relativas ao 
comportamento da estrutura, como, p.ex., a sua 
 
 
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37 
deformabilidade para determinar todas as 
incógnitas. 
Exemplos: 
1- Desenhe o diagramade corpo livre e determine os componentes horizontal e vertical 
da reação para a viga carregada, como mostrado na Figura1. A viga tem massa de 100 
kg. 
 
Figura 1 
 
Figura 2 
 
2- Desenhe o diagrama de corpo livre e determine os componentes horizontal e vertical 
da reação para a viga carregada, como mostrada na Figura 2. Despreze o peso da viga 
em seus cálculos. 
3- Determine as reações nos apoios em A e B da estrutura da Figura 3. (1000 lb = 1 kip 
(kilo-libra)) 
4- Determine a intensidade das reações na viga em A e B. Despreze a espessura dela. 
(Fig. 4) 
 
 
Figura 3 
 
 
Figura 4 
 
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38 
5- A chave de boca mostrada na figura 5a e 5b é utilizada para apertar o parafuso em A. 
Se a chave não gira quando a carga é aplicada ao seu cabo, determine o torque ou 
momento e a força da chave aplicados ao parafuso. 
 
Figura 5 
 
Figura 5 
 
6- Quando se segura uma pedra de 5 lb em equilíbrio, o úmero H, considerando liso, 
exerce uma força normal Fc e FA no rádio C e no cúbito A, como mostra a figura 6. 
Determine essas forças e a força FB que o bíceps B exerce sobre o rádio para manter o 
equilíbrio. A pedra tem centro de massa em G. Despreze o peso do braço. 
 
7- O homem está puxando uma carga de 8 lb com um dos braços e segurando como 
mostra a figura 7. Determine a força FH exercida no osso úmero H e a tensão 
desenvolvida no músculo bíceps B. Despreze o peso do braço. 
 
 
Figura 6 
 
Figura 7 
 
 
 
 
 
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39 
Exercícios de revisão: 
1 – A estrutura da plataforma tem peso de 250 lb e centro de gravidade G1 e deve ser 
capaz de sustentar uma carga máxima de 400 lb colocada no ponto G2. Determine o 
menor contrapeso W que deve ser colocado em B para evitar que a plataforma tombe. 
 
 
2 – Determine os componentes horizontais e verticais das reações nos apoios. 
 
 
3 – Substitua o sistema de forças que atua sobre a viga por uma força e momento 
equivalentes no ponto A. 
 
 
 
4 – Determine os componentes horizontais e verticais das reações nos apoios. 
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40 
4. Análise Estrutural 
4.1 Treliças 
 
4.1.1 Definição 
Treliça é toda estrutura constituída de barras ligadas entre si nas extremidades. O ponto 
de encontro das barras é chamado nó da treliça. Os esforços externos são aplicados 
unicamente nos nós (Figura 4.1). 
 
 
 
 
Figura 4.1 
 
Denomina-se treliça plana, quando todas as barras de uma treliça estão em um mesmo 
plano (Figura 2). 
 
 
Figura 4.2 
 
 
 
Estas treliças são utilizadas para sustentar o 
telhado do prédio de metal. Note como os 
elementos se unem em um ponto comum de 
placa de reforço e como as travessas do 
telhado transmitem a carga aos nós 
 
 
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41 
Para se calcular uma treliça deve-se: 
a) determinar as reações de apoio; 
b) determinar as forças nas barras. 
A condição para que uma treliça de malhas triangulares seja isostática é: 
2n = b +v 
onde: 
b = número de barras 
n = número de nós 
v = número de reações de apoio 
 
Adota-se como convenção de sinais: 
 
positivo negativo 
 
barras tracionadas: 
 
 
barras comprimidas: 
 
 
 
 setas saindo do nó 
 
 
 setas entrando no nó 
 
Os esforços nas barras das treliças podem ser resolvidos por métodos gráficos e 
analíticos. 
Um dos vários processos analíticos usuais é o Método do Equilíbrio dos Nós, abaixo 
exemplificado. 
 
4.1.2 Método do equilíbrio dos nós 
Para analisarmos ou projetarmos uma treliça, devemos obter a força em cada um de seus 
elementos. Ao utilizar o método dos nós, é necessário primeiro desenhar o diagrama de corpo 
livre dos nós antes de aplicar as equações de equilíbrio. 
Exemplos: 
1 - Determine a força em cada elemento da 
treliça mostrada na figura ao lado, e indique 
se os elementos estão sob tração ou 
compressão. 
 
 
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42 
Solução: 
a) Diagrama de corpo livre 
b) Cálculo das reações de apoio 
 Equação de equilíbrio das forças: ΣFx= 0; ΣFy = 0 
c) Cálculo das forças nas barras 
Iniciar a resolução pelo nó que tiver no máximo duas forças incógnitas. As forças 
devem estar tracionando o nó (seta saindo). Como não se sabe a priori se as forças nas barras 
são de tração ou de compressão, adotam-se como se fossem tracionadas. Se o valor 
determinado for negativo, significa que a barra está comprimida, portanto, o sentido da seta 
deve ser mudado. 
 Nó B : 
Nó C : 
Nó A : 
 
 
 
2- Determine a força em cada elemento da treliça mostrada na figura 4.3. Indique se os 
elementos estão sob tração ou compressão. 
 
Figura 4.3 
 
DCL (Diagrama de Corpo Livre) 
 
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43 
3- Determine a força em cada elemento da treliça e indique se esses elementos estão sob 
tração ou compressão. Considere que P1 = 800 lb e P2 = 400 lb (Figura 4.4). 
4- A treliça usada para sustentar uma sacada está sujeita ao carregamento mostrado na Figura 
4.5. Considere cada nó como um pino e determine a força em cada elemento. Indique se os 
elementos estão sob tração ou compressão. Considere que P1 = 600 lb e P2 = 400 lb. 
 
 
Figura 4.4 
 
 
 
Figura 4.5 
Resultado 
FBA = 286 lb T 
FBC = 808 lb T 
FCA = 571 lb C 
Resultado 
FAD = 849 lb C FAB = 600 lb T 
FBD = 400 lb C FBC = 600 lb T 
FDC = 1400 lb T FDE = 1600 lb C 
 
Exercícios: 
1 - Determinar as forças em cada uma das barras das treliças abaixo. Indique se os elementos 
estão sobre tração ou compressão. 
 
 
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44 
2 - Utilizando o método dos nós, determine todos os elementos de força nula da treliça 
mostrada na figura. Considere que todos os nós estejam conectados por pinos. 
 
3 - Determinar as forças em cada uma das barras das treliças abaixo. Indique se os elementos 
estão sobre tração ou compressão. 
 
4 - Determine as forças nos elementos BC, HC e HG para a treliça da ponte e indique se eles 
estão sob tração ou compressão. 
 
 
 
 
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45 
5 - Determine as forças nos elementos GF, CF e CD para a treliça da ponte e indique se eles 
estão sob tração ou compressão. 
 
Exercícios de revisão: 
1 – Determine a força em cada elemento da treliça e indique se esses elementos estão sob 
tração ou compressão. Considere que P1 = 500 lb e P2 = 100 lb. 
 
 
2 – Determine a força em cada elemento da treliça e indique se esses elementos estão sob 
tração ou compressão. Considere queP1 = 2 kN e P2 = 1,5 kN. 
 
 
 
 
 
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46 
5. Características Geométricas de Figuras Planas 
 
O dimensionamento e a verificação da capacidade resistente de barras, como de 
qualquer elemento estrutural dependem de grandezas chamadas tensões, as quais se 
distribuem ao longo das seções transversais de um corpo. Daí vem a necessidade de se 
conhecer claramente as características ou propriedades das figuras geométricas que formam 
essas seções transversais. 
A Figura 5.1 ilustra uma barra reta de seção transversal constante, chamada barra 
prismática. O lado da barra que contém o comprimento (L) e a altura (h) é chamado de seção 
longitudinal e o que contém a largura (b) e a altura (h) é chamado de seção transversal. 
 
 
Figura 5.1 Barra prismática 
 
As principais propriedades geométricas de figuras planas são: 
 
Área (A) Momento de Inércia (I) 
Momento estático (M) Módulo de resistência (W) 
Centro de gravidade (CG) Raio de giração (i) 
 
5.1 Área 
A área de uma figura plana é a superfície limitada pelo seu contorno. Para contornos 
complexos, a área pode ser obtida aproximando-se a forma real pela justaposição de formas 
geométricas de área conhecida (retângulos, triângulos, etc). 
A unidade de área é [L]
2
 (unidade de comprimento ao quadrado). 
A área é utilizada para a determinação das tensões normais (tração e compressão) e das 
tensões de transversais ou de corte. 
 
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47 
5.2 Momento Estático 
Analogamente à definição de momento 
de uma força em relação a um eixo qualquer, 
defini-se Momento Estático (M) de um 
elemento de superfície como o produto da 
área do elemento pela distância que o separa 
de um eixo de referência. 
dAxMdAyM yx  e 
 
 
Momento Estático de uma superfície plana é 
definido como a somatória de todos os 
momentos estáticos dos elementos de 
superfície que formam a superfície total. 
 
 
A
y
A
x xdAMeydAM 
 
 
A unidade do Momento Estático é área é [L]× [L]
2
 = [L]
3
. 
O Momento Estático é utilizado para a determinação das tensões transversais que 
ocorrem em uma peça submetida à flexão. 
O Momento Estático de uma superfície composta por várias figuras conhecidas é a 
somatória dos Momentos Estáticos de cada figura. 
Exemplo: Determinar o Momento Estático das figuras abaixo: 
 
1,1 1
AyM CGx 
 
2,2 2
AyM CGx 
 
3,3 3
AyM CGx 
 
xxxx MMMM ,3,2,1 
 
Elemento vazado 
 
 
 
 
 
xxx MMM ,2,1 
 
 
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48 
5.3 Centro de Gravidade 
Se um corpo for dividido em partículas mínimas, estas ficam sujeitas à ação da 
gravidade, isto é, em todas estas partículas está aplicada uma força vertical atuando de cima 
para baixo. A resultante de todas estas forças verticais e paralelas entre si, constitui o peso do 
corpo. 
Mesmo mudando a posição do corpo aplicando-lhe uma rotação, ele permanecerá 
sempre sujeito à ação da gravidade. Isto significa que as forças verticais girarão em relação ao 
corpo, mas continuaram sempre paralelas e verticais. O ponto onde se cruzam as resultantes 
dessas forças paralelas, qualquer que seja a posição do corpo, chama-se Centro de Gravidade 
(CG). 
 Portanto, atração exercida pela Terra 
sobre um corpo rígido pode ser representada 
por uma única força P. Esta força, chamada 
peso do corpo, é aplicada no seu baricentro, 
ou cento de gravidade (CG). O centro de 
gravidade pode localizar-se dentro ou fora da 
superfície. 
 O centro de gravidade de uma superfície 
plana é, por definição, o ponto de 
coordenadas: 
 
 
A
x
CG
A
y
CG dAy
AA
M
ydAx
AA
M
x
1
 
1
 
onde: 
xCG = distância do CG da figura até o eixo y escolhido arbitrariamente; 
yCG = distância do CG da figura até o eixo x escolhido arbitrariamente; 
Mx = momento estático da figura em relação ao eixo x; 
My = momento estático da figura em relação ao eixo y; 
A = área da Figura. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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49 
Centro de gravidade de áreas compostas por várias figuras 
 
O centro de gravidade de uma superfície composta por várias figuras, é expresso por: 
 
 






n
i
i
n
i
ii
CG
A
xA
x
1
1 
 






n
i
i
n
i
ii
CG
A
yA
y
1
1 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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50 
Centro de gravidade de algumas figuras planas 
 
 
 
 
 
 
 
 
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51 
Exemplos: 
1 – Determine o centro de gravidade da figura composta abaixo: 
 
 
2 – Para a superfície plana mostrada, determine os momentos de primeira ordem em relação 
aos eixos x e y e a localização do centróide. 
 
 
3 – Determine o centróide das superfícies planas mostradas: 
 
 
 
 
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52 
5.4 Forças Distribuídas 
Generalidades 
A atração da Terra sobre um determinado corpo é constituída por um sistema de forças 
distribuídas aplicadas em cada partícula do corpo. Considerando tratar-se de um corpo rígido, 
a ação da gravidade pode ser substituída pela ação da sua resultante – o peso P do corpo, 
aplicada no centro de gravidade do corpo. 
O mesmo se passa com outras forças distribuídas como, por exemplo, a ação do vento 
sobre uma superfície, a ação da pressão hidrostática sobre superfícies submersas, etc... 
 
 Ação do vento (pressão). 
 
 
 Ação da pressão hidrostática. Substituição pela resultante. 
 
 
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53 
Cargas Distribuídas em Vigas 
 
 
As vigas estão habitualmente sujeitas a uma função de carregamento w = f(x) – devido 
ao próprio peso, ao peso dos elementos estruturais e não estruturais restantes, à ação do vento, 
etc... – que indica a intensidade de cargas ao longo do comprimento de um elemento de 
sustentação. Essa intensidade é medida em N/m ou lb/pé. 
Podemos, para efeito do equilíbrio global, substituir a carga distribuída pela sua 
resultanteaplicada na sua linha de ação. 
Intensidade da Força Resultante: 
 
Localização da Força Resultante: 
 
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54 
 
Conclusão: “uma carga distribuída atuante numa viga pode ser substituída por uma carga 
concentrada; a intensidade desta carga única é igual à área da superfície sob a curva de 
carregamento e a sua linha de ação passa pelo centróide do carregamento”. 
Exemplos: 
1 - Determine a intensidade e a localização da força resultante equivalente que atua no eixo 
mostrado na figura. 
 
 
 
A força resultante é equivalente à área sob o diagrama das cargas distribuídas e tem 
uma linha de ação que passa pelo centróide ou centro geométrico dessa área. Sempre que 
possível, cargas distribuídas complexas devem ser divididas nas superfícies de formas usuais 
conhecidas (retângulos, triângulos, círculos). Cada uma dessas superfícies pode então ser 
substituída por uma força única equivalente. Se necessário pode-se ainda reduzir o sistema de 
forças equivalentes a uma força única equivalente. 
 
2 - Para a viga e o carregamento mostrados nas figuras determine a intensidade da força 
resultante da carga distribuída e as reações de apoio da viga. 
 
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55 
 
 
 
Exercícios: 
1 – Determine a intensidade e a localização da força resultante equivalente que atua no eixo 
mostrado na figura. 
 
 
2 – Para a viga e o carregamento mostrados nas figuras determine a intensidade da força 
resultante da carga distribuída e as reações de apoio da viga. 
 
 
 
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56 
 
 
Exercícios de revisão: 
1 - Determine a força resultante e especifique onde ela atua sobre a viga em relação a A. 
 
 
2 - Determine a localização do centróide da área mostrada na figura. 
 
 
3 - A barragem de gravidade é feita de concreto. Determine a localização do centro de 
gravidade G para a parede. 
 
 
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57 
 
5.5 Momento de Inércia 
O momento de inércia de uma superfície plana em relação a um eixo de referência é 
definido como sendo a integral de área dos produtos dos elementos de área que compõem a 
superfície pelas suas respectivas distâncias ao eixo de referência, elevadas ao quadrado. 
y
x
dA
x
y
 
 

A
x dAyI
2
 
 
 

A
y dAxI
2
 
A unidade do momento de inércia é [L]
2
×[L]
2
=[L]
4
 . 
 
O momento de inércia é uma característica geométrica importantíssima no 
dimensionamento dos elementos estruturais, pois fornece, em valores numéricos, a 
resistência da peça. Quanto maior for o momento de inércia da seção transversal de uma 
peça, maior a sua resistência. 
 
Propriedade: 
O momento de inércia total de uma 
superfície é a somatória dos momentos de 
inércia das figuras que a compõe. 
 
xxxx IIII ,3,2,1 
 
 
Exemplo 1: 
Determinar o momento de inércia da superfície em relação ao eixo x. 
 
 
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58 
Translação de eixos (Teorema de Steiner) 
 
 
 O momento de inércia de uma superfície em 
relação a um eixo qualquer é igual ao momento 
de inércia em relação ao eixo que passa pelo seu 
centro de gravidade, acrescido do produto da 
área (A) pelo quadrado da distância que separa 
os dois eixos. 
 
 
2
CGxCGx yAII  
2
CGyCGy xAII 
 
 
Onde: 
 
xI
 = momento de inércia da figura em relação ao eixo y. 
yI
= momento de inércia da figura em relação ao eixo x. 
CGxI 
 = momento de inércia da figura em relação ao eixo 
CGx
 que passa pelo CG da figura. 
CGyI 
 = momento de inércia da figura em relação ao eixo 
CGy
 que passa pelo CG da figura. 
CGx
 = distância do eixo y até o eixo 
CGy
. 
CGy
 = distância do eixo x até o eixo 
CGx
. 
 
Exemplo 2: 
Determine o momento de inércia das seguintes figuras compostas. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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59 
 
 
 
 
5.6 Módulo Resistente 
Define-se módulo resistente de uma superfície plana em relação aos eixos que contém o 
CG como sendo a razão entre o momento de inércia relativo ao eixo que passa pelo CG da 
figura e a distância máxima entre o eixo e a extremidade da seção estudada. 
 
 
 
 
 
onde: 
ICG = momento de inércia da peça em relação ao CG da figura 
x, y = distância entre o eixo do CG da figura e a extremidade da peça. 
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60 
A unidade do módulo resistente é 
3
4
][
][
][
L
L
L

 
O módulo resistente é utilizado para o dimensionamento de peças submetidas à flexão. 
 
Para o retângulo, tem-se: 
 
 
h/2
h/2
.CG
b
 
 
 
 
 
5.7 Raio de Giração 
Define-se raio de giração como sendo a raiz quadrada da relação entre o momento de 
inércia e a área da superfície. A unidade do raio de giração é o comprimento. O raio de 
giração é utilizado para o estudo da flambagem. 
 
 
A
I
i 
 
cm
cm
cm

4
4 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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61 
Características Geométricas de algumas figuras conhecidas 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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62 
Momentos de Inércia das figuras básicas