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Profa: Neyde Zambelli neyde.martins@estacio.br (21)8685-3252 Apresentação da Disciplina: Execução de Pesquisas• Planejamento de produtos e processos○ Na Engenharia• conceitos○ terminologia○ linguagem○ modelos○ Problemas○ Objetivos• Introd○ dados○ distrib○ posição� dispersão� medidas○ distrib� Probab○ Ementa:• aulas expositivas○ material SIA○ Calcul cientif○ metodologia• AV1 - 09/04/2013○ AV2 - 11/06/2013○ AV3 - 25/06/2013○ Avaliações:• Bibliografia• Orientações• Prob-Est aplic Eng terça-feira, 5 de fevereiro de 2013 20:43 Página 1 de Prob-Est Introdução Objetivos• História• Dados -> informação -> decisão• Frequências• Diagrama de barras□ Diagrama de colunas□ Histogramas� Boxplot� Pictogramas (desenhos no gráfico)� Pizza� Gráfico○ tabelas○ Representação• Dados Estatísticos xxx○ Amostra○ Termos○ População• Esquematização (fluxograma)• Nominais - ordem não faz diferença � Ordinais - ordenação entre as categorias (ex: escolaridade)� Qualitativas (atributo)○ Discretas - contagens finitas (ex: no de filhos)� Contínuas - infinitos valores (ex: Remuneração salarial)� Quantitativas (necessitam de uma medição)○ Qualitativo: Estado civil do indivíduo� Quantitativo: altura do indivíduo� Exemplos:○ Variáveis• Estatística terça-feira, 5 de fevereiro de 2013 21:37 Página 2 de Prob-Est Regras: - Até 10 linhas, utiliza-se tabela não agrupada - Maior que 10, utiliza-se tabela agrupada variável qualitativa quantitativa nominal ordinal 1) Para pesquisar o esporte preferido dos alunos de uma escola com 1.500 alunos, foram selecionados, de modo imparcial, 900 alunos. Com base nessas informações, responda: a) Quantas pessoas tem a população dessa amostra? b)A amostra dessa pesquisa é formada de quantas pessoas? c) Qual a variável foi estudada nessa pesquisa? qualitativa nominal discreta contínua Distribuição de Frequencias: Tabela específica para cálculo de medidas. Dados brutos - sem ordem ou classificação• ROL - ordenação dos dados brutos• Xi - variável observável� fi - frequencia de cada valor da variável (Xi)� ∑fi - total de observações = n� exemplo dado:� Não agrupadas em classe○ AT = 20 - 0 = 20� Amplitude total => AT = Ximáx - Ximin□ número sempre inteiro� n = 50 => log50 = 1,70� k ≈ 1 + 3,3 x 1,70 ≈ 7� Número de classes => k ≈1+3,3logn□ h = 20/7 = 2,86 ≈ 3� Intervalo de classes => h = AT / k□ 3 x 7 = 21 > AT → OK!� Teste => h x k ≥ AT□ Representação das classes□ Exemplo dado para explicar agrupamento:� agrupada em classe○ Tabelas de Frequencias• Xi fi 16 3 18 5 19 3 20 6 21 8 22 8 23 5 24 3 26 9 ∑f(n)= 50 fórmula de Sturges Apost 3 - pág.3 Exercício terça-feira, 19 de fevereiro de 2013 20:53 Página 3 de Prob-Est Xi fi 0 ├ 3 9 3 ├ 6 3 6 ├ 9 11 9 ├ 12 4 12 ├ 15 7 15 ├ 18 7 18 ├ 21 9 ∑f(n)= 50 Próximo exemplo: No mesmo levantamento amostral foi observado o peso, em kg dos 50 estudantes. Amplitude total: AT = Ximáx - Ximin AT = 90,41 - 51,38 = 39,03 No de classes: k ≈1+3,3logn n = 50 => log50 = 1,70 k ≈ 1 + 3,3 x 1,70 ≈ 7 Intervalo de classes: h = AT / k h= 39,03/7 = 5,58 -> não arredonda pq está equivalente aos valores dos dados. Teste: h x k ≥ AT 5,58 x 7 = 39,06 > AT OK! Xi fi 51,38 ├ 56,96 13 56,96 ├ 62,54 5 62,54 ├ 68,12 5 68,12 ├ 73,70 4 73,70 ├ 79,28 5 79,28 ├ 84,86 10 84,86 ├ 90,44 8 ∑f(n)= 50 Agrupando dados em classes terça-feira, 19 de fevereiro de 2013 21:39 Página 4 de Prob-Est Pm Xi.fi 100 1000 200 3000 300 7500 400 16800 500 7500 600 1800 37600 2 LsliPm += 81,341 110 37600. == ∑ = n fiXiX Pm Xi.fi fa 100 1000 10 200 3000 25 300 7500 50 400 16800 92 500 7500 107 600 1800 110 37600 n = 110 Emd = 110/2 = 55 9,361100. 42 5055350. =−+=−+= hfi FaaEmdliMd Em d Exercício terça-feira, 5 de março de 2013 20:54 Página 5 de Prob-Est 2 3 4 5 8 8 9 10 11 11 15 28 62 n = 13 (ímpar) Emd =(n+1)/2 = (13+1)/2 = 7 Md = 9 2 2 5 6 8 11 16 31 n = 8 (par) Emd = n/2 = 8/2 = 4 Emd = (n+2)/2 = (8+2)/2 = 5 Md = (6 + 8)/2 = 7 7 1 2 3 4 5 6 7 8 Xi fi Fa 3 11 11 4 14 25 6 14 39 7 20 59 ∑ = 59 n = 59 (ímpar) Emd = (59+1)/2 = 30 Md = 6 Emd Dados Tabulados ∑ = Emd = n/2=100/2=50Faa Emd Classe Mediana 69,5510. 51 215050. =−+=−+= hfi FaaEmdliMd Em d Xi fi fa f 2,2 ├ 9,0 18 18 9,0 ├ 15,8 8 26 15,8 ├ 22,6 9 35 22,6 ├ 29,4 13 48 29,4 ├ 36,2 13 61 36,2 ├ 43,0 17 78 43,0 ├ 49,8 12 90 ∑ = 90 n = 90 (par) Emd = n/2 = 90/2 = 45 Emd 8,278,6. 13 35456,22. =−+=−+= hfi FaaEmdliMd Em d Mediana terça-feira, 5 de março de 2013 21:19 Página 6 de Prob-Est Xi fi Fa 12 2 2 15 5 7 18 19 26 20 4 30 21 10 40 40 Md = 18 Xi fi Fa 7,8 10 10 8,6 13 23 9,2 4 27 10,4 6 33 11,6 8 41 41 Md = 8,6 Ex terça-feira, 5 de março de 2013 22:05 Página 7 de Prob-Est Peso Quantitativa Contínua Agrupamento a partir de 10 itens Xi fi fri Pm XiFi Fa 0,1 ├ 1,5 14 0,31 0,8 11,2 14 1,5 ├ 2,9 11 0,24 2,2 24,2 25 2,9 ├ 4,3 8 0,17 3,6 28,8 33 4,3 ├ 5,7 6 0,13 5,0 30,0 39 5,7 ├ 7,1 7 0,15 6,4 44,8 46 ∑ = 46 1,00 139,0 1- Cálculo da Amplitude total: At = 6,9 - 0,1 = 6,8 (maior - menor) 2- K k ≈1 + 3,3 log 46 ≈ 6,48 -> 6 3- Intervalo das classes: 1,1 6 8,6 === k Ah T Teste: h x k = 1,1 x 6 = 6,6 < AT (ñ aprov) Usar novo K = 5 (↓) 4,1 5 8,6 === k Ah T Teste: h x k = 1,4 x 5 = 7,0 > AT ( aprov) Freq Relat (fri) fi ff iri ∑ = 02,3 46 139 == ∑ = n fxX ii 2 LsliPm += classe mediana EMd 23 2 46 2 === nEm d 64,24,1.11 14235,1. =−+=−+= hf FElM Emdi aam d id PM faa = frequencia acumulada anterior MODA: Valor que se repete com maior frequencia Fórmula de CZUBER 100300400 171532 122032 3,341100. 1712 12300. 2 1 21 1 =−= =−=∆ =−=∆ = + += ∆+∆ ∆ += h hliMo Exercício terça-feira, 19 de março de 2013 21:02 Página 8 de Prob-Est discreta não agrupada (<10) Xi fi fri XiFi Fa 0 2 0,03 0 2 1 5 0,08 5 7 2 11 0,18 22 18 3 11 0,18 33 29 4 7 0,11 28 36 5 14 0,22 70 50 6 9 0,15 54 59 7 3 0,05 21 62 ∑ = 62 1,00 233 76,3 62 233 == ∑ = n fxX ii n = 62 (par) o Md o Md E E 32 2 262 31 2 62 = + = == Md = 4 Mo = 5 Emd = 31o e 32o Exercício terça-feira, 19 de março de 2013 21:52 Página 9 de Prob-Est Calcule a média das séries: X = 10, 1, 18, 20, 35, 3, 7, 15, 11, 10 -> 1, 3, 7, 10, 10, 11, 15, 18, 20, 35 = X = 13 Y = 12, 13, 13, 14, 12, 14, 12, 14, 13, 13 = 13 X = 10x (13) = 13 n XiX ∑= 6,0 10 )1313(...)1313()1312()()13( 4,86 10 )1310(...)131()1310()()13( 2222 2222 = −++−+− = −∑ = = −++−+− = −∑ = n YYiY n XXiX variância Desvio Padrão: 77,06,0 3,94,86 = = Y é mais homogêneo que X. comparativo: Y é menos disperso que X. Coeficiente de Variação(CV): n XXi 2)( −∑ X CV σ= %6100. 13 77,0 %72100. 13 3,9 == == Y X CV CV X não é representativa do conj. de dados Y é representativo do conjunto de dados Considerável até 30% (convenção) _ _ μ → média populacional X -> Média Amostral Populacional Amostral Variância (preencher) Desvio Padrão Dados não agrupados: Determinar a variância Xi fi Xifi (Xi - X)2fi 2 1 2 (2- 4,55)2 1 = 6,5 3 6 18 (3- 4,55)2 6 = 14,4 5 10 50 (5- 4,55)2 10 = 2,0 7 3 21 (7- 4,55)2 3 = 18,0∑ = 20 91 40,9 55,4 20 91. == ∑ = n fiXiX %31100. 55,4 43,1100. 43,104,2 04,2 20 9,40).( 2 2 2 === === == ∑ = X CV n fiXXi σ σσ σ > 30%, a variância é significativa Medidas de Dispersão terça-feira, 26 de março de 2013 21:04 Página 10 de Prob-Est Xi fi fri Pm Xifi (Xi-X)2 fi 2 ├ 4 5 5/44 = 0,11 3 15 (3 - 6,6)2.5 = 64,8 4 ├ 6 10 10/44 = 0,23 5 50 (5 - 6,6)2.10 = 25,6 6 ├ 8 20 20/44 = 0,45 7 140 (7 - 6,6)2.20 = 3,2 8 ├ 10 7 7/44 = 0,16 9 63 (9 - 6,6)2.7 = 40,3 10 ├ 12 2 2/44 = 0,05 11 22 (11 - 6,6)2.2 = 38,7 ∑ = 44 1,00 290 172,6 OBS: BAIXAR TRANSPARÊNCIA _PmPonto médio %30100. 6,6 98,1100. 98,192,3 92,3 44 6,172).( 6,6 44 290. 2 2 2 === === == ∑ = == ∑ = X CV n fiXXi n fiXiX σ σσ σ significativo Exemplos terça-feira, 26 de março de 2013 22:01 Página 11 de Prob-Est AV1: Classificação das Variáveis• Distribuição de frequencias• Medidas de Posição• Medidas de Dispersão• Material SIA - minhas disciplinas presenciais - CLE0292 - prob. Est AV1: 1 2 AV2: 3 4 5 Exercício: 1) 8 - 4 - 6 - 9 - 10 - 5 a- Analise a variabilidade n = 6, Xifi = 42 7 6 42 == ∑ = n x x i Dados não agrupados: Determinar a variância Xi fi Xifi (Xi - X)2fi 8 1 8 (8 - 7)2 1 = 1 4 1 4 (4 - 7)2 1 = 9 6 1 6 (6- 7)2 1 = 1 9 1 9 (9 - 7)2 1 = 4 10 1 10 (10 - 7)2 1 = 9 5 1 5 (5 - 7)2 1 = 4 ∑ = 6 42 28 7,4 6 28)(2 == −∑ = n xxiσ 2,27,42 === σσ 42,31100. 7 2,2100. === x cv σ A média não é representativa do conjunto. 6) Salários (em mínimos) dos funcionários da empresa y: Xi fi fri Pm Xifi fa (Xi-X)2 fi 1 ├ 2 1 1/50 = 0,02 1,5 1,5 1 (1,5 - 6)2.1 = 20,25 2 ├ 3 4 4/50 = 0,08 2,5 10 5 (2,5 - 6)2.4 =49 3 ├ 4 6 6/50 = 0,12 3,5 21 11 (3,5 - 6)2.5 = 4 ├ 5 5 5/50 = 0,10 4,5 22,5 16 (4,5 - 6)2.5 = 40,3 5 ├ 6 6 6/50 = 0,12 5,5 33 22 (5,5 - 6)2.6 = 38,7 6├ 7 10 10/50 = 0,20 6,5 65 32 (6,5 - 6)2.10 = 7├ 8 9 9/50 = 0,18 7,5 67,5 41 (7,5 - 6)2.9 = 8├ 9 6 6/50 = 0,12 8,5 51 47 (8,5 - 6)2.6 = 9├ 10 3 3/50 = 0,06 9,5 28,5 50 (9,5 - 3)2.5 = ∑ = 50 1 300 216,5 a) média b) Mediana c) moda d) Análise de variabilidade 2 LsliPm + = Exercícios terça-feira, 2 de abril de 2013 20:55 Página 12 de Prob-Est 3,61. 10 22256. 25 2 50 2 6 50 300. 2 0 = − += − += === == ∑ = + = hfi FaaEliM nE n fix x LsliP Em d m d d m d i m %35100. 6 08,2100. 08,233,4 33,4 50 5,216.)( 8,61. 14 46. 1910 4610 2 2 2 21 1 2 1 === === == −∑ = = + += ∆+∆ ∆ += =−=∆ =−=∆ x cv n fixx hliM i o σ σσ σ A média não é representativa da distribuição cont terça-feira, 2 de abril de 2013 21:55 Página 13 de Prob-Est Atividade Estruturada 1 Olá, seja bem-vindo! Esta prova poderá ser realizada até que você seja aprovado. No entanto, caso ela faça parte do aproveitamento final, sempre será considerada a última nota obtida para o cômputo geral. Ao terminá-l a, não esqueça de clicar no ícone Entregar Atividade estruturada. TÍTULO DA ATIVIDADE ESTRUTURADA: Atividade 1- Pesquisar a utilidade da Estatística dentro da área de atuação do curso e dados estatísticos. Tabelas de Frequências. OBJETIVO: Entender porque estudar Estatística. Descrever variáveis qualitativas e quantitativas, de forma contextualizada. Identificar, construir e analisar Tabelas de Frequências. COMPETÊNCIAS/HABILIDADES: Utilizar a Estatística na interpretação de fenômenos . Aplicar os conhecimentos estatísticos em situações reais. Identificar, construir e analisar tabelas de frequências. Tabelas de Frequências. DESENVOLVIMENTO: Conteúdo a desenvolver: Dar cinco exemplos da utilização da estatística. Variáveis qualitativas e quantitativas. Construir as tabelas de frequências para as variáveis criadas utilizando a planilha Excel. Como será desenvolvido: O aluno deverá pesquisar nas diversas fontes disponíveis: jornais, revistas, internet, etc. Definir uma população e exemplificar as variáveis nominais, ordinais, discretas e contínuas, originárias dessa população. PRODUTO/RESULTADO: Relatório contendo aplicações da Estatística com comentários sobre os textos escolhidos, com comentários onde essas variáveis ocorrem com seus Atividade Estruturada I sábado, 6 de abril de 2013 08:32 Página 14 de Prob-Est RELAÇÕES ENTRE A AUTOMAÇÃO DE PROCESSOS E A PRODUÇÃO DE LEITE.• Medição Automatizada de Tamanho de Grão Médio Utilizando Metodologia Estatística.• PROCESSO DE MEDIÇÃO DE JUNTAS DE CABEÇOTE• Análise Estatística dos cursos de Engenharia de produção• resolução Atividade estruturada sábado, 6 de abril de 2013 18:18 Página 15 de Prob-Est Espaço Amostral (S): Conjunto de Exemplo: Um experimento consiste em se jogar uma moeda e jogá-la pela segunda vez, caso ocorra uma cara. Se uma coroa ocorre no primeiro lançamento, então um dado é lançado uma única vez. Listar os elementos de S. c -> Cara k -> Coroa c k CC Ck K1 k2 k3 k4 k5 k6 => S ξ = Lançar 1 dado S = {1,2,3,4,5,6} A = face par = {2,4,6} => Evento composto B = face > 5 = {6} => Evento simples AUB = {2,4,6} AB = {6} (inters) Ac = {1,3,5} Bc = {1,2,3,4,5} P/ C = face ímpar = {1,3,5}; A (inters) C = Ø -> A e C são m.e. (mutuamente excludente) c k c cc ck k kc kk cc ck kc kk c ccc cck ckc ckk k kcc kck kkc kkk 2 moedas 3 moedas A = {ccc ; kkk} B = {ccc ; cck ; ckc ; ckk} C = {ckk ; kkk} Definição de Probabilidades ξ = Retirar 1 carta de um baralho S = {52 cartas} A = Sair Às = {Àscopas,Àsouros,Àspaus,Àsespadas} => %69,70769,0 52 4)( ===AP Probabilidade terça-feira, 30 de abril de 2013 20:57 Página 16 de Prob-Est Seja ξ = jogar uma moeda duas vezes e observar o resultado. Qual a probabilidade de se obter pelo menos 1 cara? ξ = Jogar 1 moeda 2x S = - c k c cc ck k kc kk A = pelo menos 1 cara = {cc,ck,kc} %7575,0 4 3)( ===AP Um dado é construído de tal forma que um número par é duas vezes mais provável de acontecer do que um ímpar. Seja A = um número menor que 4 ocorre. Calcule P(A): S = {1,2,2,3,4,4,5,6,6} A = face < 4 = {1,2,2,3} %44,444444,04 4)( ===AP Definição terça-feira, 30 de abril de 2013 21:47 Página 17 de Prob-Est Exemplo: 1) Retira-se uma carta de baralho completo de 52 cartas. Qual a probabilidade de sair rei ou uma carta de espadas? ξ = Retirar 1 carta S = {52 cartas} A = sai rei = {Ro, Rc, Re, Rp} B = sai espadas {2...10, Às, V, D, R} A int B = {Re} => A e B não são m.e. P(A + B) = P(A) + P(B) - P(A int B) %76,303076,0 52 1 52 13 52 4 ==−+ 2) Uma caixa com bolas contém 6 vermelhas, 4 azuis e 3 pretas. Se uma pessoa escolhe aleatoriamente 1 destas bolas, ache a probabilidade de escolher: a) 1 vermelha b) 1 azul ou preta ξ = Retirar 1 bola S = {13 bolas} A = vermelha B = azul B = preta A int B = {Ø} => A e B são m.e. P(A + B) = P(A) + P(B) 6vm 4az 3pr %15,464615,0 13 6 == a) P(A) = b) B ou C => P(B + C) = P(B) + P(C) %84,535284,0 13 3 13 4 ==+ Probabilidade Condicional: P (A / B) )( )()/( BP BAPBAP ∩= Se P(B) ≠ 0 Exemplo: Seja o experimento lançar um dado e verificar o resultado. Sejam os eventos: A = {sair 3} e B = {sair impar} Calcular P(A) dado que já ocorreu o evento B. ξ = Lançar o dado S = {1,2,3,4,5,6} A = sair 3 = {3} B = sair ímpar = {1,3,5} %33,333333,0 3 1 )( )()/( ===∩= BP BAPBAP Dois dados são lançados. Considere os eventos: A = {(x1,x2)} | x1+x2 = 10 B = {(x1,x2)} | x1 > x2 Determinar: a) P(A) b) P(B) c) P(A/B) d) P(B/A)ξ = Lançar 2 dados S = {1,1,2,2,3,3,4,4,5,5,6,6} A = sair 3 = {3} B = sair ímpar = {1,3,5} Teorema da Soma terça-feira, 7 de maio de 2013 20:55 Página 18 de Prob-Est S = \ 1 2 3 4 5 6 1 (1,1) (1,2) (1,3) (1,4) (1,5) (1,6) 2 (2,1) (2,2) (2,3) (2,4) (2,5) (2,6) 3 (3,1) (3,2) (3,3) (3,4) (3,5) (3,6) 4 (4,1) (4,2) (4,3) (4,4) (4,5) (4,6) 5 (5,1) (5,2) (5,3) (5,4) (5,5) (5,6) 6 (6,1) (6,2) (6,3) (6,4) (6,5) (6,6) B A %33,333333,0 3 1)/() %67,60667,0 15 1)/() %67,414167,0 36 15)() %33,80833,0 36 3)() === === === === ABPd BAPc BPb APa continuação Eventos Independentes: P(A) = P(A / B) => A e B são independentes P(A) ≠ P(A / B) => A e B são dependentes Exemplo: Sendo S = {1,2,3,4} um espaço amostral equiporável Sejam A = {1,2}, B = {2,3}, C = {4}, três eventos de S. Verificar quais eventos são independentes. A e B => 50,0 2 1)/(50,0 4 2)( ==⇔== BAPAP A e B são independentes A e C => 0)/(50,0 4 2)( =≠== CAPAP A e C são dependentes B e C => 0)/(50,0 4 2)( =≠== CBPBP B e C são dependentes TEOREMA DO PRODUTO: Em um lote de 12 peças, 4 são defeituosas. Duas peças são retiradas, uma após a outra, sem reposição. Qual a probabilidade de que ambas sejam boas? ξ = Retirar 2 peças sem reposição S = {4D,8B} B1a e B2a dependência entre eventos sem reposição - dependência com reposição - independência ( ) ( ) ( ) %42,424242,0 11 7 . 12 8/., 12121 ==== aaaaa BBPBPBBP Exemplo terça-feira, 7 de maio de 2013 21:27 Página 19 de Prob-Est Um saco contém 4 bolas brancas e 3 bolas pretas. Um segundo saco contém 3 bolas brancas e 5 pretas. Uma bola é retirada do primeiro saco e colocada no segundo. Qual a probabilidade de se retirar uma bola preta do segundo saco? Exemplo: 4br 3pr 3br 5pr Preta? P(Pr2a) Possibilidades: Br1o e Pr2o ou Pr1o e Pr2o Uma pequena cidade tem um extintor de incêndio e uma ambulância disponíveis para emergências. A probabilidade do extintor estar disponível quando necessário é de 0,98 e a probabilidade da ambulância estar disponível quando chamada é de 0,92. No caso de um acidente com vítimas resultante de um incêndio em um edifício, qual a probabilidade de que tanto o extintor como a ambulância estejam disponíveis. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) %31,606031,0 9 6 . 7 3 9 5 . 7 4 Pr/Pr.Pr/Pr.Pr,PrPr, 1211212121 ==+= +=+ aaaaaaaaaa PPBrPBrPPBrP considerando que eventos independentes P(A) = 0,92 P(E) = 0,98 %16,909016,098,0.92,0)( ===AEP Teorema do Produto terça-feira, 7 de maio de 2013 21:51 Página 20 de Prob-Est Aula Extra: 08/06/2013 9:00h Imagens terça-feira, 14 de maio de 2013 20:40 Página 21 de Prob-Est O tempo T, em minutos, necessário para um operário processar certa peça de v.a. com a seguinte distribuição de probabilidade: t 2 3 4 5 6 7 P(T=t) 0,1 0,1 0,3 0,2 0,2 0,1 (...) T = tempo em min. t P(t=T) t.P(t=T) 2 0,10 0,20 3 0,10 0,30 4 0,30 1,20 5 0,20 1,00 6 0,20 1,20 7 0,10 0,70 ∑= 1,00 4,60 a) E(T) = ∑t.P(t=T)=4,60 b) 2,00 G = $ganho por peça 2 min => 2,00 + 4,00 . 0,50 = 4,00 3 min => 2,00 + 3,00 . 0,50 = 3,50 4 min => 2,00 + 2,00 . 0,50 = 3,00 5 min => 2,00 +1,00 . 0,50 = 2,50 6 min => 2,00 7 min => 2,00 a) calcule o tempo médio de processamento. b) para cada peça processada, o operário ganha um fixo de 2,00 mas, se ele processa a peça em menos de seis minutos, ganha $0,50 em cada minuto poupado. Por exemplo, se ele processa a peça em quatro minutos, ganha a quantia adicional de $1,00. Encontre a distribuição, a média e a variância de v.a. G: quantia em $ ganha por peça G P(G=g) G.P(G=g) G.P(G=g) 2,00 0,30 0,20 2,50 0,20 0,30 3,00 0,30 1,20 3,50 0,10 1,00 4,00 0,10 1,20 ∑= 1,00 2,75 7,98 E(G) = ∑G.P(G=g) = 2,75 VAR(G) = E(G2) - [E(G)]2 = 7,98 - (2,75)2 = 0,42 E(G2) = ∑G2.P(G=g) = 7,98 Exercício terça-feira, 21 de maio de 2013 20:56 Página 22 de Prob-Est X = V.A. (variável aleatória) discreta. n repetições independentes p+q = 1 sucesso = p fracasso = q q = 1 - p ou p = 1 - q Notação: X ~ b(n;p) repetições prob. de sucesso )!(! ! )( xnx n X n qp X n xXP xnx − = == − Exemplo: 1 - Cada amostra de água tem 10% de chance de conter um particular poluente orgânico. Suponha que as amostras são independentes com relação a presença do poluente. a) Determine a probabilidade que nas próximas 18 amostras, exatamente 2 contenham o poluente. b) Determine a probabilidade de que pelo menos 4 amostras contenham o poluente c) P(3 ≤ X < 7) X = no de amostras com o poluente n = 18 p = 0,10 q = 1 - 0,10 = 0,90 x ~ BINOMIAL %35,282835,0185,0.01,0.15390,0.10,0 2 18)2( 2182 === == −XP a) OBS: 0! = 1 1! = 1 b) )18(...)5()4()4( =++=+==≥ XPXPXPXP ou %82,90982,09018,01]1680,02835,03002,01501,0[1)4( 1680,090,0.10,0.81690,0.10,0 3 18)3( 2835,0185,0.01,0.15390,0.10,0 2 18)2( 3002,090,0.10,0.1890,0.10,0 1 18)1( 1501,090,0.1.190,0.10,0 0 18)0( )]3()2()1()0([1)4(1)4( 1533183 2182 171181 180180 ==−=+++−=≥ == == == == == == == == =+=+=+=−=<−=≥ − − − − XP XP XP XP XP XPXPXPXPXPXP (inverso) c) %5,26 )6()5()4()3()7( =+=+=+==<≤ XPXPXPXPXXP (determinar) 3 Distribuição Binomial terça-feira, 21 de maio de 2013 21:18 Página 23 de Prob-Est 1- Uma central telefônica tipo PABX recebe uma média de 5 chamadas por minuto. Qual a probabilidade deste PABX não receber nenhuma chamada durante um intervalo de 1 min? (1) x = no de chamadas λ = 5/min x ~ POISSON (λ) média do processo %67,00067,0 !0 5.)0( ! .)( 05 ==== == − − eXP x e xXP xλλ 2- O número de mulheres que entram diariamente em uma clínica de estética para bronzeamento artificial apresenta distribuição de Poisson, com média de 5 mulheres por dia. Qual a probabilidade de que em um dia particular, o número de mulheres que entram nesta clínica de estética para bronzeamento artificial seja: a) igual a 2? b) inferior ou igual a 2? x = no de mulheres λ = 5/dia %44,121244,00842,00335,00067,0 !2 5. !1 5. !0 5. )2()1()0()2() %42,80842,0 !2 5.)2() 251505 25 ==++=++= =+=+==≤ ==== −−− − eee XPXPXPXPb eXPa OBS: )(1)( )(1)1( xXPxXP xXPXP <−=≥ ≤−=> X ~ Normal (μ;σ2) média variância z ~ Normal (0;1) σ µ− = x z Distribuição Normal Padronizada P(-1,25 < z < 0) = 39,44% -1,25 0 P(-0,50 < z < 1,48) = 0,1915+0,4306 = 62,21% -0,50 0 1,48 0,1915 0,4306 P(0,18 < z < 2,11) = 0,4826 - 0,0714 = 41,12% P(z < 1,15) = 0,50 + 0,3749 = 87,49% 0 0,18 2,11 0 1,15 P(z < -2,03) = 0,50 - 0,4788 = 2,12% 0,37490,50 -2,03 0 0,4788 0,50 0,0714 0,4926 Distribuição de Poisson terça-feira, 28 de maio de 2013 21:06 Página 24 de Prob-Est Os salários mensais dos executivos de uma determinada indústria são distribuídos normalmente, em torno da média de R$10.000,00 com desvio padrão de R$800,00. Calcule a probabilidade de um executivo ter um salário mensal entre R$9.800 e R$10.400. X = salários μ = 10.000 σ = 800 σ µ− = x z P(9800 < X < 10400) 9.800 10.000 10.400 0,0987 0,1915 z1 0 z2 x 50,0 800 000.10400.10 25,0 800 000.109800 2 1 = − = − = −= − = − = σ µ σ µ X z X z As alturas de 10.000 alunos de um colégio tem distribuição aproximadamente normal com média 170cm e desvio padrão de 5cm. a)qual o número esperado de alunos com altura superior a 165cm? b) qual o intervalo simétrico em torno da média que conterá 75% das alturas dos alunos? 165 170 03413 0,50 z1 0 z x X = alturas μ = 170cm σ = 5cm 00,1 5 170165 1 −= − = − = σ µX z alunosprobnXE 413.88413,0.000.10.)( === a) P(X > 165) = 0,50 + 0,3413 = 0,8413 X1 170 X2 0,375 0,375 z1 0 z2 x 75% x1 = 164,25 x2 = 175,75 Exemplo terça-feira, 28 de maio de 2013 22:04 Página 25 de Prob-Est Determine o valor de z: a) P(Z < z) = 0,09 z 0 0,50 - 0,09 =0,4100 Z 0,09 Z 0,04 1,3 0,4099 z = -1,34 b) P(-1,71 < Z < z) = 0,25 sempre para baixo Observar sinal ??? Z-1,71 0 0,4564 0,25 0,4564 - 0,25 = 0,2064 Z 0,04 0,5 0,2054 logo: z = -0,54 Uma empresa que fabrica azulejos sabe por experiência que 5% das suas peças possuem defeitos e devem ser classificados como *de segunda linha*. a) Entre 6 peças selecionadas aleatoriamente, qual é a probabilidade de uma ser de segunda linha? b) Entre as 6 peças selecionadas aleatoriamente, qual é a probabilidade de no mínimo duas serem de segunda linha? z variável estudada (X): numero de azulejos defeituosos quantitativa p = 0,05 n = 6 x = 1 q = 1 - 0,05 = 0,95 xnx qp x n xXP − == ..)( %21,232321,095,0.05,0. 1 6)1( 51 == ==XP [ ] [ ] %28,32321,07351,012321,095,0.05,0. 0 6 1)1()0(1)2(1)2( )6(...)3()2()2( 60 =+−= + −==+=−=<−=≥ =++=+==≥ XPXPXPXP XPXPXPXP OU utilizar segunda maneira abaixo: Exercício terça-feira, 4 de junho de 2013 20:40 Página 26 de Prob-Est Considere a v.a. X = número de projetos que um engenheiro executa.No mês em curso relativo ao último ano, obteve-se uma média de 6,5 projetos executados por semana (5 dias). Qual a probabilidade de que, durante uma semana qualquer: a) Não execute nenhum projeto b) Execute ao menos um projeto c) Execute mais de um projeto d) Não executar nenhum projeto no período de um dia X = no de projetos executados (variável discreta) média = 6,4 projetos / semana (5 dias) => Poisson ! .)( x e xXP xλλ− == %15,00015,0 !0 5,6.)0() 05,6 ==== −eXPa %85,990015,01)0(1)1(1)1() =−==−=<−=≥ XPXPXPb [ ] [ ] %88,980097,00015,01)1( !1 5,6.0015,01)1()0(1)1(1)1() 05,6 =+−=> +−==+=−=≤−=> − XP eXPXPXPXPc %25,272725,0 !0 3,1.)0( 3,1 5 5,615/5,6) 03,1 ==== ==⇒= −eXP diaparadiasd λλ Revisão terça-feira, 4 de junho de 2013 21:47 Página 27 de Prob-Est AV3: Medidas de Posição Medidas de dispersão Distribuição Binomial Distribuição Poisson Distribuição Normal 2,0 2,5 3,5 0,2957 0,4525 x 67,1 6,0 5,25,3 83,0 6,0 5,20,2 2 1 = − = −= − = z z μ = 2,5 σ = 0,6 P(2,9 < x < 3,5) = 0,29574 + 0,4525 = 74,82% 20 => 5D ξ = sem reposição D1 e D2 ( ) %26,50526,019 1 19 4 . 20 5 , 21 ====aa DDP P(A) = 0,10 P(B) = 0,20 P(C) = 0,30 P(D) = 0,40 P(I/A) = 0,05 P(I/B) = 0,08 P(I/C) = 0,10 P(I/D) = 0,02 I = Inadimplência P(I) = 0,10 . 0,05 + 0,20 . 0,08 + 0,30 . 0,10 + 0,40 . 0,02 = 0,059 4a questao %47,80847,0 064,0 05,0.10,0)/( ===IAP P(B/I) = 27,12% P(C/I) = 50,85% P(D/I) = 13,56% 3/min = λ x = no de consultas P(x < 3) = P(x = 0) + P(x = 1) + P(x = 2) %32,424232,0 !2 3. !1 3. !0 3. 231303 ==++= −−− eee n = 5 x = no de fusíveis perfeitos q q = == 80,0 20,0 10 8 Questao 6: μ = 240.000 σ = 30.000 240.000 x1 p/10% 0,50 - 0,10 = 0,4000 => 1,28 =+=⇒ − = 24000030000.1 zxxz σ µ (B/E/H)Correção AV2 terça-feira, 18 de junho de 2013 20:30 Página 28 de Prob-Est 3a questao: x = no de falhas n = 20 p = 0,30 q = 0,70 (binomial) (CERTA) 5/h para 4h => λ = 5.4 = 20 x = no de atendimentos %44,8!18 20.)18( 1820 === −eXP x = no de sobreviventes n = 15, p = 0,40, q = 0,60 640,0.15.)( %59,1860,0.40,0 5 15)5( 5155 === = == − pnXE XP 175 180 0,4177 total = 0,50 0 z1 39,1 61,3 175180 1 = − =z %23,84177,050,0)180( 61,31313 175 2 ===> ==⇒= = xP σσ µ Correção AV2 terça-feira, 18 de junho de 2013 21:10 Página 29 de Prob-Est
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