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UNIVERSIDADE FEDERAL DE PELOTAS
INSTITUTO DE FÍSICA E MATEMÁTICA
DEPARTAMENTO DE FÍSICA
Física - 090095
Fernando Simões Jr.
Sumário
Capítulo 1. Introdução 5
1.1. Revisão de matemática 5
Capítulo 2. Fundamentos da Mecânica 9
2.1. Medindo Grandezas 9
2.2. Notação Científica 10
2.3. Mudança de unidades 10
2.4. Força 11
2.5. Torque 18
2.6. Energia 20
2.7. Trabalho 21
Capítulo 3. Fluidos 27
3.1. 1-O que é um fluido? 27
3.2. 2-Fluidos em Repouso 28
3.3. 3-O Princípio de Pascal 29
3.4. 4-O Princípio de Arquimedes 30
3.5. 5-Fluidos Ideais em Movimento 32
3.6. 6-A equação da Continuidade 33
3.7. 7-A equação da Bernoulli 33
Capítulo 4. Termodinâmica 35
4.1. 1-Temperatura 35
4.2. 2-Lei Zero da Termodinâmica 35
4.3. 3-Calor 36
4.4. 4-Primeira Lei da Termodinâmica 38
4.5. 5-Lei dos Gases Ideais 39
4.6. 6-Máquinas Térmicas e a Segunda Lei da Termodinâmica 41
4.7. 7-Radiação Térmica 43
4.8. 8-Termodinâmica de Atmosferas: Ideias básicas 44
Índice Remissivo 51
3
CAPíTULO 1
Introdução
1.1. Revisão de matemática
A Matemática representa uma poderosa ferramenta para auxiliar os físicos na solução dos fênomenos da
natureza. De fato é muito surpreendente que as leis que regem a natureza possa ser descritas através de leis
matemática. Podemos dizer que a Física é a ciência que mais se utiliza dos conceitos matemáticos, muito embora
a Física não seja apenas teórica, todavia se faz necessário dominar dominar bem as ferramentas matemáticas
para se aprofundar em ideias físicas mais complexas.
O formalismo matemático é o primeiro passo para quem está começando a estudar as disciplinas de Física.
Nesta seção vamos fazer uma breve revisão de alguns conceitos matemáticos que são indispensáveis para a
compreensão do conteúdo desta apostila. Se alguns dos conceitos apresentados aqui não forem muito bem
conhecidos é recomendável que você aprofunde seus estudos em matemática básica do ensino médio.
1.1.1. Triângulos. Consideremos algumas propriedades básica dos triângulos.
Seja um triângulo de altura h e base a conforme a Fi-
gura 1.1.1.
A área do triângulo será dada por: A = 12ah
Figura 1.1.1. Triângulo qualquer.
Para o triângulo retângulo da Figura 1.1.2, o teorema
de Pitágoras nos diz que:
c2 = a2 + b2
Figura 1.1.2. Triângulo retângulo.
5
6 1. INTRODUÇÃO
Consideremos um triângulo qualquer, onde A, B, C e
D são ângulos, e a, b e c são os lados do triângulo como
representado na Figura 1.1.3.
Soma dos ângulos internos. A+B + C = 1800
Ângulo externo D = A+ C ou D = 180−B
Lei dos senos.
sinA
a =
sinB
b =
sinC
c
Lei dos cossenos. c2 = a2 + b2 − 2ab cosC
Figura 1.1.3. Triângulo qualquer.
1.1.2. Funções trigonométricas básicas. Seja um triângulo retângulo representado na Figura 1.1.4. A
partir dele, podemos obter as funções trigonométricas básicas:
sin(θ) =
C.OP.
Hip.
; csc(θ) =
Hip.
C.OP.
;
cos(θ) =
C.Adj.
Hip.
; sec(θ) =
Hip.
C.Adj.
;
tan(θ) =
C.OP.
C.Adj.
; coth(θ) =
C.Adj.
C.OP.
;
Figura 1.1.4. Triângulo retângulo.
onde, sin(θ), cos(θ) e tan(θ) são as funções trigonométricas básicas do ângulo θ, C.OP. é o cateto oposto
ao ângulo no triângulo retângulo, C.Adj. é o cateto adjacente ao ângulo θ e Hip. é a hipotenusa no triângulo
retângulo.
1.1.3. Identidades trigonométricas: Muitas vezes podemos obter relações entre as funções trigono-
métricas básicas e outras relações trigonométricas. Este procedimento é realizado utilizando-se identidades
trigonométricas. A seguir será apresentado algumas das identidades trigonométricas mais comuns.
sin2(θ) + cos2(θ) = 1 sin(2θ) = 2 sin(θ) cos(θ)
sin(900 − θ) = cos(θ) cos(900 − θ) = sin(θ)
tan(θ) =
sin(θ)
cos(θ)
1.1.4. Albegra básica: Sejam n, a, b e c números reais, e x e y duas variáveis independentes, temos:
nx+ ny = n(x+ y)
(x+ y)2 = x2 + 2xy + y2
(x− y)2 = x2 − 2xy + y2.
Se, ax2 + bx+ c = 0, então
1.1. REVISÃO DE MATEMÁTICA 7
x =
−b±√b2 − 4ac
2a
.
Sejam, p e q dois números inteiros, as operações de
números com expoentes serão dadas por
xp.xq = xpq
x0 = 1 se x 6= 0
n
√
x = x1/n
xp
xq
= xp−q
x−p =
1
xp
(xp)q = xp.q
(x.y)p = xp.yp
p
√
xq = xq/p
p
√
x
y
=
p
√
x
p
√
y
CAPíTULO 2
Fundamentos da Mecânica
2.1. Medindo Grandezas
Hoje, para que uma área do conhecimento humano seja considerada ciência é necessário que esta utilize o
método ciêntífico. Este método nos diz que é fundamental realizar, de forma criteriosa, experimentos para que
se possa averiguar ou formular teorias científicas aceitáveis. A ideia por detras de um procedimento experimen-
tal consiste basicamente na comparação entre as quantidades que desejamos determinar com um padrão pré
estabelecido e muito bem aceito pela comunidade científica.
Na época dos grandes impérios, os padrões de medidas eram fundamentalmente determinados em função
das dimensões humanas do seus reis, por exemplo, um pé era a medida do pé de um rei, uma polega era o
comprimento do dedo polegar de um outro rei. Estes padrões, além de não serem nada precisos, eram trocados
cada vez que o rei era substituído e variavam de uma região para outra.
Em função de uma falta de padrão para as medidas, em 1971 na 14ª Conferência Geral de Pesos e Medidas
foram selecionados sete grandezas, chamadas de grandezas fundamentais os quais foram atribuídos padrões
a essas grandezas. Esses padrões são chamados de padrões fundamentais. Atualmente, os padrões funda-
mentais são constituídos de sete quantidades físicas chamadas de grandezas fundamentais, e constituem a base
do Sistema Internacional de Unidades SI.
As outras grandezas da física são chamadas de grandezas derivadas e suas unidades são determinadas
por estas sete medidas fundamentaisde. As tabelas 1 e 2 apresentam as sete grandezas fundamentais e algumas
das grandezas derivadas, respectivamente, que utilizaremos neste curso de física.
Grandeza Nome da Unidade Símbolo da Unidade
Comprimento metro m
Massa quilograma kg
Tempo segundo s
Corrente elétrica ampère A
Temperatura kelvin K
Quantidade de matéria mol mol
Intensidade luminosa candela cd
Tabela 1. Unidades das grandezas fundamentais do SI.
Grandeza Nome da unidade Símbolo da Unidade
Área metro quadrado m2
Volume metro cúbico m3
Massa específica quilograma por metro cúbico
kg/m3
Velocidade metro por segundo
m/s
Aceleração metro por segundo ao quadrado
m/s2
Força newton N (kg m/s2)
Trabalho, energia, quantidade de calor joule J (N.m)
Tabela 2. Algumas unidades secundárias do SI.
9
10 2. FUNDAMENTOS DA MECÂNICA
2.2. Notação Científica
Em física, frequentemente encontramos grandezas muito grandes ou muito pequenas comparadas com a
escala usual humana. Uma forma de escrever estes números é utilizar a notação científica que emprega a
utilização de potências de base 10, por exemplo
3.800.000.000m = 3, 8× 109m
0, 00000026s = 2, 6× 10−7s
No computador ou calculadora, é comum que os números sejam representados pela notação científica da
seguintes formas:
3.8E9 ou 2.6E − 7
Quando utilizamos números muito grandes ou muito pequenos, é conveniente utilizarmos prefixos para
representar uma certa potência de 10.
2.3. Mudança de unidades
Em problemas de física, muitas vezes precisamos manipular as quantidades envolvidas para que todas elas
tenham unidades apropriadas. Para isso, necessitamos mudar as unidades nos quais uma grandeza física está
escrita. Isso pode ser feito usando um método conhecido como conversão em cadeia. Neste método multiplicamos
a grandeza original por um fator de conversão (uma razão entre unidades que é igual à unidade).
Por exemplo, 1m = 100cm então 1m e 100cm correspondem a distâncias iguais. Também sabemos que
1mim e60s correspondem a intervalos de tempos iguais, assim podemos utilizar estas correspondências para
criar fatores de conversão.
1min = 60s → 1min
60s
= 1, ou
60s
1min
= 1.
Assim, as razões acima podem ser utilizadas como fatores de conversão.
Note que isso não é o mesmo que escrever
1
60 = 1 ou
60
1 = 1, cada número deve ser tratado juntamente
com sua unidade.
Exemplo 1. É comum aprendermos no ensino médio que para converter de
km/h para m/s devemos dividir
o valor em
km/h por 3, 6. Entretanto, de onde vem esta regra? Vamos considera que um objeto tem velocidade
de 10 km/h e desejamos expressar esta velocidade em m/s.
SOLUÇÃO: Utilizando a regra de conversão em cadeia, e sabendo que 1km = 1000m e que 1h = 3600s
podemos construir os fatores de conversão.
1000m
1km
= 1
1h
3600s
= 1
Como nosso objetivo é converter de km/h para m/s desejamos remover a unidade km do numerador e a
unidade h do denominador da quantidade 10km/h. Para isso vamos multiplicar a quantidade original pelos
fatores de conversão.
10
km
h
= 10
km
h
1000m
km
1h
3600s
= 10
1000m
3600s
= 10
1m
3, 6s
= 2, 78
m
s
.
Exemplo 2. Converta a aceleração da gravidade de 9, 8m/s2 para cm/h2.
SOLUÇÃO: Sabemos que a relação entre cm e m é dada por: 1m = 100cm e a relação entre horas e
segundos é 1h = 3600s. Entretanto, podemos observar que na aceleração da gravidade a unidade de tempo está
elevada ao quadrado. Para convertermos as unidade também devemos proceder as mesmas potências nas quais
2.4. FORÇA 11
as unidades são apresentadas, assim, devemos elevar ao quadrado o fator de conversão das unidades de tempo,
para que as duas quantidades tenham o mesmo expoente.
9, 8
m
s2
= 9, 8
m
s2
100cm
1m
(
3600s
1h
)2
= 9, 8
m
s2
100cm
1m
(
1, 3× 107s2
1h2
)
9, 8
m
s2
= 1, 27× 1010 cm
h2
2.4. Força
Conceito de Força
Todo leitor que busca uma primeira leitura em um livro de física básica, depara-se inicialmente com o estudo
do movimento de corpos. As causas de tais movimentos são estudadas posteriormente com a ideia de força.
Através de uma abordagem diferente, porém mais lógica, estudaremos nesse capítulo o conceito de força, as leis
de Newton e suas consequências práticas. Para isso, deixaremos de lado o estudo da cinemática.
2.4.1. Mecânica Newtoniana. Em termos coloquiais força é um empurrão ou um puxão sobre um objeto,
ou de uma forma mais refinada, �uma pertubação de uma agente externo sobre um objeto�. Essa pertubação
pode se manifestar por um contato entre o agente e o corpo ou simplesmente através de interações de longa
distância. Na realidade todas as forças da natureza são de longa distância. Foi apenas no século XX que os físicos
conseguiram mostrar que todas as forças da natureza são derivadas apenas por 4 FORÇAS FUNDAMENTAIS,
conhecidas por: Força Gravitacional, Força Eletromagnética, Força Fraca e a Força Forte. Por exemplo, a força
que não deixa um copo afundar sobre uma mesa rigída pode ser compreendida como a resultantes de todas as
forças eletrostáticas existentes entre o copo e a mesa. Por outro lado, para se estudar a dinâmica deste copo
rolando sobre a mesa não será necessário computar todas as interações microscópicas existentes entre o copo e
a mesa. Para isso, levaremos em conta, apenas FORÇAS EFETIVAS, que nada mais são do que um tipo de
FORÇA RESULTANTE que atua sobre os corpos (mesa e copo).
Na descrição mecânica do movimento diremos que o efeito de uma força, que age sobre um corpo, é a
mudança da velocidade deste corpo, produzindo assim, uma aceleração sobre o mesmo. A relação que existe
entre a força e a aceleração foi descoberta por Isaac Newton (1642-1727). Newton trabalhou muitos anos para
poder compreender as leis �clássica� que regem o movimento dos corpos. Em nosso estudo vamos nos concentrar
nas três leis básicas do movimento da Mecânica Newtoniana.
A Mecânica Newtoniana não pode ser aplicada à todas situações físicas que se fazem presentes em nosso
cotidiano, por hora, iremos desprezar qualquer incoveniente e enunciar as três leis básicas do movimento.
2.4.2. Primeira lei de Newton. Antes de Newton formular sua teoria da mecânica, acreditava-se erro-
neamente (Física Aristotélica) que:
• Era necessário uma certa influência �força� para manter um corpo em movimento com velocidade
constante;
• Um corpo estava em seu �estado natural� apenas quando estava em repouso.
Para romper com estas duas ideias, Newton propôs um experimento mental, que consistia em considerar o
lançamento de um disco sobre uma superfície. Quando lançamos um disco sobre uma superfície áspera, o disco
move-se por uma pequena distância e para logo em seguida. Se polirmos um pouco a superfície o disco poderá
alcançar uma distância maior, se for lançado com a mesma velocidade do caso anterior. Agora, se lançarmos o
mesmo disco sobre uma superfície de gelo, ele alcançará uma distância muito maior que as duas anteriores.
12 2. FUNDAMENTOS DA MECÂNICA
A partir das considerações acima, podemos concluir que um corpo manterá seu estado de movimento com
velocidade constante se nenhuma força (de qualquer origem) agir sobre ele. Isso nos leva à primeira das três
leis de Newton.
Ideia da Primeira lei de Newton (Lei da Inécia): Se nenhuma força atua sobre um corpo, sua
velocidade (vetorial) não pode mudar, ou seja, o corpo não pode sofrer uma aceleração.
Em outras palavras, se o corpo estiver em repouso ele permanecerá em repouso. Se o corpo estiver em
movimento, continuará com a mesma velocidade (mesmo módulo e orientação). Por exemplo: Num movimento
circular, sem aceleração, o módulo da velocidade é contantes, contudo sua direção varia no tempo, o que significa
que existe uma aceleração atuando sobre o corpo (aceleração centrípeda).
2.4.3. Força. A força é uma grandeza vetorial que segue as regras vetoriais, isso significa que quando duas
ou mais forças atuam sobre um corpo podemos calcular a força total ou força resultante somando vetorialmente
as forças.
Podemos substituir todas as forças aplicadas num corpo por uma única força. Essa força nós chamaremos
de força resultante, que nada mais é do que a soma vetorial de todas as forças aplicadas no corpo. Este fato é
chamado de princípio de superposição das forças.
As forças são sempre representadas por uma pequena seta sobre a letra que representa a força
1
,
~F , e as
forças resultantes são representadas por
~Fres ou ~Fr.
Quando as forças atuam somente em uma direção podemos dispensar a seta sobre o símbolo da força e
utilizar apenas sinais para indicar o sentido da força ao longo de um eixo. Convencionalmente consideramos o
sentido positivo (+) na direção positiva do eixo de coordenadas e sentido negativo (-) na direção negativa do
eixo de coordenadas.
Rigorosamente o enunciado da primeira lei de Newton é baseado na ideia de força resultante.
Primeira lei de Newton: Se nenhuma força resultante atua sobre um corpo (
~Fres = 0) seu vetor
velocidade não pode mudar, ou seja, o corpo não pode sofrer uma aceleração. Em outras palavras, o corpo não
pode produzir força sobre ele mesmo.
No Sistema Internacional de unidade a força tem unidade de N (newton)
1N = 1kg.1
m
s2
.
2.4.4. Segunda lei de Newton (forma simplificada). A força resultante que age sobre um corpo é
igual ao produto da massa do corpo pela sua aceleração.
Em termos matemáticos temos:
~Fres = m.~a
onde m é a massa do objeto e ~a é o vetor aceleração que o objeto está sujeito. Devemos lembrar que ~Fres é a
força resultante que atua somente sobre o objeto que está sendo analisado. Apenas as forças que atuam neste
objeto é que devem ser consideradas.
A segunda lei de Newton também pode ser escrita na forma de suas componentes,
Fres,x = max; Fres,y = may; Fres,z= maz.
Podemos escrever uma força bidimensional na forma de suas componentes utilizando as seguintes regras de
decomposição de vetores.
1
Em alguns livros também podemos encontrar a força representada por letras em negrito F.
2.4. FORÇA 13
Vamos considerar uma força
~F bidimensional na plano
xy como representado na figura 2.4.1. As componentes
x e y da força são as projeções �sombras� da força nos
eixos x e y. Para obtermos as componentes ~Fx e ~Fy da
força utilizando as relações matemáticas abaixo:
~Fx = ~F cos(θ)
~Fy = ~F sin(θ)
onde θ é o ângulo entre a força e o eixo x.
Figura 2.4.1. Decomposição de forças.
Exemplo 3. A figura 2.4.2 mostra duas forças horizontais atuando em um bloco apoiado em um piso sem
atrito. Se uma terceira força horizontal
~F3 também age sore o bloco, determine o módulo e a orientação de ~F3 se
o bloco está a) em repouso, b) se movendo para a esquerda com velocidade constante de 5m/s. Res. (a,b)~F = 2N
para a esquerda.
Figura 2.4.2. Exemplo.
Exemplo 4. Nas figuras 2.4.3 a,b e c, uma ou duas forças agem sobre um disco metálico que se move sobre
o gelo sem atrito ao longo do eixo x em um movimento unidimensional. A massa do disco é m = 0, 2kg. As
forças F1e F2 atuam ao longo do eixo x e têm módulos F1 = 4N e F2 = 2N. A força ~F3fás um ângulo θ = 300
com o eixo x e tem módulo F3 = 1N . Qual é a aceleração do disco em cada caso?
14 2. FUNDAMENTOS DA MECÂNICA
Figura 2.4.3. Exemplo.
SOLUÇÃO: Em cada situação podemos relacionar a aceleração ~a à força resultante ~Fres que age sobre o
disco através da segunda lei de Newton. Como o movimento ocorre somente na direção x podemos simplificar
a situação escrevendo a segunda lei de Newton apenas para as componentes na direção x.
Para o caso a):
F1 = ma
4N = 0, 2kg.a
a =
4N
0, 2kg
a = 20
m
s2
Para o caso b)
F1 − F2 = ma
a =
F1 − F2
m
a =
(4− 2)N
0, 2kg
a = 10
m
s2
Para o caso c)
F3x − F2 = max
Sabemos que F3x = F3 cos(θ)
F3 cos(θ)− F2 = ma
a =
F3 cos(θ)− F2
m
a =
(1. cos(30)− 2)N
0, 2kg
a = −5, 7m
s2
Significa que a força imprime uma aceleração de 5, 7m/s2na direção negativa do eixo x.
2.4.5. Força Gravitacional. A força gravitacional
~Fg é um tipo especial de força que está relacionada
com a atração que um corpo exerce em outro. Por enquanto vamos considerar que um destes corpos é a Terra.
2.4. FORÇA 15
Assim, quando falamos da força gravitacional
~Fg que age sobre um corpo estamos nos referindo à força que o
atrai na direção do centro da Terra, ou seja, verticalmente para baixo.
Se considerarmos como referência um eixo vertical com sentido positivo para cima, (eixo y) a segunda lei
de Newton pode ser escrita na forma
~Fres,y = m. ~ay que em nossa situação, se torna
−~Fg = m.(−~g)
onde
~Fg é a força gravitacional, m a massa do corpo e ~g a aceleração da gravidade que no casa da Terra vale
aproximadamente 9, 8m/s2.
A equação acima pode ser reescrita como
Fg = mg.
Em palavras, o módulo da força gravitacional é igual ao produto mg.
? Esta força atua SEMPRE mesmo que o corpo não esteja em queda livre. Para que a força gravitacional
desapareça a Terra deveria desaparecer.
2.4.6. Peso. O peso P de um corpo é o módulo da força necessária para impedir que o corpo caia livremente
em direção ao solo. Assim, por exemplo, para manter uma bola parada em repouso em sua mão você deve aplicar
uma força para cima para equilibrar a força gravitacional que a Terra exerce sobre a bola.
O peso de um corpo é igual ao módulo Fgda força gravitacional que age sobre o corpo
P = mg.
Atenção: O peso de um corpo não é a sua massa. Peso é o módulo de uma força e está relacionado à
massa através da equação P = mg. Se você mover o corpo para um local onde g é diferente a massa do corpo
permanecerá a mesma, mas o seu peso mudará.
2.4.7. Força Normal. Quando um corpo exerce uma força sobre uma superfície a superfície (ainda que
aparentemente rígida) se deforma e empurra o corpo com uma força normal
~FN que é perpendicular à superfície.
fícA origem dessa força é de natureza eletromagnética e está relacionada com a impossibilidade de os elétrons
e prótons se aproximarem indefinidamente uns com relação aos outros.
O nome força normal vem do termo matemático normal, que significa perpendicular.
Exemplo 5. A figura 2.4.4 mostra uma caixa sobre uma mesa que pode ser acelerada para cima ou para
baixo. Obtenha a expressão para a força normal que atua sobre a caixa.
Figura 2.4.4. Exemplo.
16 2. FUNDAMENTOS DA MECÂNICA
SOLUÇÃO: A partir da segunda lei de Newton, podemos escrever a força resultante que atua sobre a caixa.
FN − Fg = m.ay
FN −mg = may
FN = m(g + ay)
Se o bloco está em repouso ou movimento retilíneo uniforme v = constante, ay = 0, portanto
FN = mg
A situação acima é um caso particular onde FN = Fg, isso só ocorre para um sistema horizontal e onde
ay = 0. Para todos os outros casos FN 6= Fg.
Se ay > 0 situação em que a mesa é acelerada para cima
FN = m(g + ay).
Se ay > 0 situação em que a mesa é acelerada para baixo
FN = m(g − ay).
2.4.8. Atrito. Quando empurramos ou tentamos empurrar um corpo sobre uma superfície, a interação
dos átomos do corpo com os átomos da superfície faz com que haja resistência ao movimento. A resistência é
considerada uma força única
~f que recebe o nome de força de atrito. Essa força é paralela à superfície e aponta
sempre no sentido oposto ao movimento ou a tendência de movimento.
Exitem duas formas de atrito, o atrito estático (sem movimento) e o atrito cinético (com movimento).
A experiência mostra que a força de atrito possui três propriedades:
(1) Se um corpo recebe uma força
~F e não se move, a força de atrito estático ~fs e a componente de
~F paralela à superfície se equilibram. Elas tem o mesmo módulo e ~fs tem sentido oposto ao da
componente de
~F .
(2) O módulo de
~fs possui um valor máximo ~fs,max que é dado por
fs,max = µsFN
onde µsé o coeficiente de atrito estático e FN é o módulo da força normal que a superfície exerce sobre
o corpo. Se o módulo de F paralela à superfície excede fs,max o corpo entra em movimento.
(3) Se o corpo começa a deslizar ao longo da superfície, o módulo da força de atrito diminui rapidamente
( de forma descontínua) para um valor fkdado por
fk = µkFN
onde µké o coeficiente de atrito cinético. daí em diante, durante o movimento, uma força de atrito
cinético com módulo dado pela equação acima se opõe ao movimento.
Os coeficiente µs e µksão obtidos experimentalmente e dependem das propriedades físicas das superfícies envol-
vidas.
2.4.9. Tração. Quando uma corda ou um fio é presa a uma corpo e esticada aplica ao corpo uma força
~T
orientada ao longo da corda. Essa força é chamada de força de tração porque a corda está sendo tracionada. A
tensão na corda é o módulo T da força exercida sobre o corpo.
2.4. FORÇA 17
Figura 2.4.5. Exemplos da força de Tração.
2.4.10. Terceira lei de Newton. A terceira lei de Newton descreve uma importante propriedade das
forças: as forças sempre ocorrem aos pares. Dizemos que dois corpos interagem quando empurram ou puxam
um ou outro, ou seja, quando cada um exerce um força sobre o outro. Suponha, por exemplo, que você apoie
um livro (B) em uma caixa (C) como na figura 2.4.6. Nesse caso o livro e a caixa interagem. A caixa exerce
uma força horizontal
~FBC sobre o livro e o livro exerce uma força horizontal ~FCB sobre a caixa.
Figura 2.4.6. Exemplo da terceira lei de Newton.
A partir do exemplo podemos enunciar a terceira lei de Newton.
⇒Quando dois corpos interagem, as forças que cada
corpo exerce sobre o outro são sempre iguais em mó-
dulo e têm sentidos opostos.
No casa de livro e da caixa, podemos escrever essa lei
com a relação escalar, com módulosiguais
FCB = FBC
ou com uma relação vetorial com módulos iguais e sen-
tidos opostos
~FCB = −~FBC .
Podemos chamar as forças entre dois corpos que inte-
ragem de par de forças da terceira lei.
No exemplo, o livro e a caixa estão em repouso, mas
a terceira lei de Newton seria válida se estivessem em
movimento uniforme ou mesmo acelerado.
Atenção: O par de forças da terceira lei NUNCA ocor-
rem no mesmo corpo.
Vamos considerar os pares de forças de um sistema
constituído de uma abóbora, uma mesa e a Terra, como
mostrado na Figura 2.4.7.
A abóbora interage com a mesa e esta com a Terra
(desta vez, existem três corpos cujas interações deve-
mos estudar).
18 2. FUNDAMENTOS DA MECÂNICA
Figura 2.4.7. Par de forças da ter-
ceira lei de Newton.
Vamos nos concentrar nas forças que agem sobre a abóbora (Fig 2.4.7b). A força
~FAM é a força normal
que a mesa exerce sobre a abóbora e a força
~FAT é a força gravitacional que a Terra exerce sobre a abóbora.
Elas forma um par de forças da terceira lei? Não, pois são forças que atuam sobre um mesmo corpo a abóbora,
e não sobre dois corpos que interagem.
Para encontrar um par da terceira lei precisamos nos concentrar não na abóbora, mas na interação entre
a abóbora e outro corpo. Na interação abóbora-Terra (Fig 2.4.7c), a Terra atrai a abóbora com uma força
gravitacional
~FAT e a abóbora atrai a Terra com uma força gravitacional ~FTA. Essas forças formam um par de
forças da terceira lei? Sim, porque as forças atuam sobre dois corpos que interagem e a força a que um está
submetido é causada pelo outro corpo. Assim, de acordo com a terceira lei de Newton, a interação abóbora-Terra
será
~FAT = −~FTA.
Na interação abóbora-mesa a força da mesa sobre a bola é
~FAM e a força da abóbora sobre a mesa é
~FMA (Fig 2.4.7d). Essa forças também formam um par de forças da terceira lei e portante, para a interação
abóbora-mesa
~FAM = −~FMA.
2.5. Torque
Você já se perguntou como fazemos para abrir uma porta, soltar os parafusos apertados da roda de um
carro? Que conceito físico está por trás destas duas tarefas simples?
2.5. TORQUE 19
Uma maçaneta fica o mais longe possível do eixo das
dobradiças por uma boa razão. Para abrir uma porta
pesada você certamente deve aplicar uma força; apenas
isso, contudo, não é suficiente. O lugar onde você aplica
e a direção em que empurra a porta também são parâ-
metros importantes. Se você aplica a força mais perto
do eixo das dobradiças que a maçaneta, ou com um
ângulo diferente de 900em relação ao plano da porta,
precisa usar uma força maior para abrir a porta do que
se aplicar a força à maçaneta, perpendicularmente ao
plano da porta.
A Figura 2.5.1a mostra uma seção reta de um corpo
que está livre para girar em torno de um eixo passando
por O e perpendicular à seção reta. Uma força ~F é
aplicada no ponto P , cuja posição em relação a O é
definida por um vetor posição ~r. O ângulo entre os
vetores
~F e ~r é φ.
Para determinar o modo com
~F provoca uma rotação
do corpo em torno do eixo de rotação, podemos separar
a força em duas componentes (Fig 2.5.1b).
Figura 2.5.1. Corpo rígido livre
para girar em torno do ponto O.
Uma destas componentes, a componente radial Fr, tem a direção de ~r. Esta componente não provoca
rotações, já que agem ao longo de uma reta que passa por O. (Se você puxar um porta paralelamente ao plano
da porta, a porta não vai girar). A outra componente de
~F , a componente tangencial Ft, é perpendicular a ~r e
tem módulo Ft = F sin(φ). Esta componente provoca rotações. (Se você puxar uma porta perpendicularmente
ao plano da porta, a porta vai girar.)
A capacidade de
~F de fazer o corpo girar não depende somente do módulo da componente tangencial Ft,
mas também da distância entre o ponto de aplicação de
~F e o ponto O. Para levar em conta esses dois fatores
definimos uma grandeza chamada de torque (τ) como o produto dos dois fatores:
τ = rF sin(φ).
O torque, cujo nome vem de uma palavra em latim que significa �torcer� pode ser descrito coloquialmente
como a ação de girar ou torcer de uma força
~F . Quando aplicamos uma força a um objeto com uma chave de
fenda ou uma chave de boca com o objetivo de fazer o objeto gerar, estamos aplicando um torque. A unidade
de torque no SI é o newton-metro (N ·m).
No momento, porém, como estamos considerando rotações em torno que um único eixo, não precisamos
usar notação vetorial. em vez disso, atribuímos ao torque um valor positivo ou negativo, dependendo do sentido
da rotação que ele imprimiria a um corpo a partir do repouso. Se o corpo gira no sentido anti-horário, o torque
é positivo. Se o torque faria o objeto girar no sentido horário, ele é negativo. Os torque obedecem o princípio da
superposição das forças, quando vários torques atuam sobre um corpo, o torque total ou torque resultante
é a soma dos torques individuais.
20 2. FUNDAMENTOS DA MECÂNICA
2.6. Energia
A física Newtoniana nos ajuda a analisar uma série de movimentos. Entretanto, dependendo do tipo de
movimento, este tipo de tratamento pode ser muito complicado.
Por exemplo, descrever o movimento de uma caixa deslizando uma montanha de gelo é uma tarefa muito
complicada se utilizarmos a mecânica Newtoniana.
Por causa deste tipo de problema os cientistas começaram a desenvolver uma forma mais eficiente de analisar
determinados problemas de física. Esta forma envolve o conceito de energia do corpo ou de vários corpos.
O que é energia? Responder esta pergunta pode ser um tanto complicado.
Tecnicamente, energia é uma quantidade que determina a capacidade de um corpo realizar trabalho. Em
outras palavras, energia é um número que nos traduz o quanto um corpo pode transmitir ou realizar trabalho
aos demais corpos vizinhos a este. Este diversas formas de energia classificadas pelos físicos. Para objetos
em movimento, descobriu-se que há uma certa energia que está relacionada com o movimento, esta energia é
chamada de energia cinética (K). Quando o objeto está em repouso sua energia cinética é nula. Quanto mais
rápida é a velocidade do objeto maior será sua energia cinética.
Para um objeto de massa m e velocidade escalar v � c onde c é a velocidade da luz no vácuo, a energia
cinética será
K =
1
2
mv2.
No SI a unidade de energia cinética e qualquer outra forma de energia é joules (J). 1J = 1kg.1
m2
s2
.
Exemplo 6. Um pato de 3kg voando a uma velocidade de 2m/s terá uma energia cinética de?
SOLUÇÃO:
K =
1
2
mv2 =
1
2
3kg.
(
2
m
s
)2
K = 6J
Exemplo 7. Duas locomotivas inicialmente em repouso separadas por uma distância de 6, 4km são acele-
radas uma contra a outra em rota de colisão. Cada locomotiva pesa 1, 2 × 106N e é acelerada com aceleração
constante de 0, 26m/s2. Qual a energia cinética das duas locomotivas no instante anterior da colisão?
SOLUÇÃO: Para obtermos a energia cinética no instante da colisão, precisamos saber a velocidade de cada
locomotiva neste instante. Como as locomotivas são aceleradas com aceleração constante, podemos utilizar a
equação v2 = v20 + 2a∆x.
Se as locomotivas partem do repouso, v0 = 0m/s, como as locomotivas são aceleradas à mesma taxa, o ponto
da colisão será na metade da distância que separa as duas, assim, ∆x =
1
2
6, 4km = 3, 2km = 3, 2 × 103m.
Observe que escrevemos a distância em metros, isso é necessário porque utilizaremos a aceleração com unidades
de
m/s2. Resolvendo a equação para a velocidade temos,
v2 = 0 + 2.(0, 26
m
s2
).(3, 2× 103m) = 40, 8m
s
.
Cada locomotiva terá uma velocidade de 40, 8
m
s
Agora devemos encontrar a massa de cada locomotiva, podemos obter a massa através do peso de cada uma
P = mg.
P = mg
m =
P
g
m =
1, 2× 106N
9, 8m/s2
= 1, 22× 105kg.
2.7. TRABALHO21
Como já possuímos a massa e a velocidade de cada locomotiva, podemos obter a energia cinética das duas
locomotivas.
Lembrando que a energia cinética de cada locomotiva é dada por K =
1
2
mv2, a energia das duas locomotivas
será
K = 2
1
2
mv2 = 1, 22× 105kg.40, 8m/s = 2, 0× 108J.
2.7. Trabalho
Se acelerarmos um objeto para aumentar sua velocidade através da aplicação de uma força, aumentaremos
sua energia cinética K. De forma similar, se aplicarmos uma força em um objeto para diminuir sua velocidade,
estaremos diminuindo sua energia cinética.
A transferência da energia para ou a partir de um objeto mediante a aplicação de uma força é chamada de
trabalho feito em um objeto por uma força, o trabalho tem o símbolo (W ).
Formalmente definimos: O trabalho W é a energia transferida para ou a partir de um objeto pela
medida de uma força atuando em um objeto. Energia transferida para o objeto é chamado de trabalho positivo
e trabalho negativo é a energia transferida a partir do objeto.
Trabalho tem a mesma unidade de energia e é uma quantidade escalar. No SI, trabalho tem unidades de J
(joule).
2.7.1. Expressão para o trabalho. Consideremos a Figura 2.7.1 abaixo,
Figura 2.7.1. Uma força
~F atua em uma bola e faz com que a bola realize um deslocamento
~d. Variando sua energia cinética de Ki para Kf .
A partir da segunda lei de Newton,
~F = m~a temos a relação entre a força e a aceleração que o objeto está
submetido.
Como o deslocamento é na horizontal devemos obter a componente da força e da aceleração na direção do
deslocamento.
Na direção x temos:
Fx = max
ax =
Fx
m
(2.7.1)
onde m é a massa do objeto.
Como o objeto realiza um determinado deslocamento
~da força muda sua velocidade de ~v0 para ~v. Como a
força é constante, a aceleração será constante.
Assim, podemos utilizar a equação abaixo
(2.7.2) v2 = v20 + 2axd,
22 2. FUNDAMENTOS DA MECÂNICA
para obtermos a velocidade na direção x utilizaremos as equações 2.7.1 e 2.7.2, assim,
v2 = v20 + 2
Fx
m
d
v2 − v20 = 2
Fx
m
d
1
2
mv2 − 1
2
mv20︸ ︷︷ ︸ = Fxd(2.7.3)
∆K = Fxd
na equação 2.7.3 o lado esquerdo é a variação da energia cinética e o lado direito é o trabalho da força F . Esta
equação é chamada de teorema Trabalho e Variação da Energia Cinética.
Podemos dizer que o trabalho realizado pela força para deslocar o objeto em uma distância d é igual a
variação da energia cinética do objeto, daí temos que
W = Fxd.
Observação: Para calcular o trabalho de uma força realizado em um objeto durante um deslocamento,
consideramos somente a componente da força na direção do deslocamento. Para a componentes da força
perpendicular ao deslocamento o trabalho é zero.
Retornando par a Figura 2.7.1, temos que a componente da força na direção do deslocamento será Fx, onde
Fx = F cos(φ), então teremos
(2.7.4) W = Fd cos(φ)
ou na notação vetorial W = ~F · ~d.
Restrições: Na expressão 2.7.4a força deve ser constante e a partícula dever ser considerada um ponto
material (suas dimensões não devem ser levadas em conta).
Quando duas ou mais forças atuam em um objeto o trabalho total é a soma dos trabalhos realizados por
cada força individualmente.
Quando a força que atua no objeto é a força gravitacional isto é, o peso, o trabalho será:
Wp = mgd cos(φ).
Para um objeto lançado para cima na vertical com velocidade v0 sem a ação de nenhuma outra força exceto
a gravidade teremos Subida, φ = 1800; Wp = mgd cos(1800) = −mgdDescida, φ = 00; Wp = mgd cos(0) = mgd .
Exemplo 8. Dois ladrões roubam um cofre, o ladrão 1 (Spy001) aplica uma força constantes
~F1 e o ladrão
2 (Spy002) aplica uma força
~F2 em um cofre de massa m = 225kg como representado na Figura . A força ~F1 é
direcionada para baixo fazendo um ângulo θ1 = 300 e têm módulo F1 = 12N . A força ~F2 é direcionada para
cima formando um ângulo de θ2 = 400 com a horizontal e têm módulo F2 = 10N . As forças fazem com que
a caixa deslize sobre um piso sem atrito uma distância
~d = 8, 5m. a) Qual é o trabalho realizado por ~F1e ~F2
durante o deslocamento
~d? b) Qual o trabalho total realizado sobre a caixa? c) Qual o trabalho do peso durante
o mesmo deslocamento?
2.7. TRABALHO 23
Figura 2.7.2. Duas forças aplicadas a uma caixa de massa m.
SOLUÇÃO:
a) O trabalho das forças será obtidos utilizando a expressão do trabalho: W = F.d. cos(θ).
W1 = F1d cos(θ1) = 12N.8, 5m. cos(300) = 88, 33J
W2 = F2d cos(θ2) = 10N.8, 5m. cos(400) = 65, 11J
b) O trabalho total será a soma dos trabalhos das forças.
WT = W1 +W2 = 88, 33J + 65, 11J = 153, 4J
c) Como o ângulo entre a força e o deslocamento é 900 temos cos(90) = 0, portanto WP = mg cos(90) = 0J .
2.7.2. Força Elástica. Vamos discutir o trabalho realizado sobre uma partícula por um tipo particular
de força variável, a força elástica exercida por uma mola. Muitas forças na natureza têm a mesma forma
matemática que a força elástica exercida por uma mola. Assim, examinando esta força em particular, podemos
compreender muitas outras.
A figura 2.7.3a mostra uma mola nos estado relaxado, ou seja, nem comprimida nem alongada. Uma
das extremidades está fixa, e um objeto que se comporta como uma partícula, um bloco, por exemplo, está
preso na outra extremidade. Se alongarmos a mola puxando o bloco para a direita, a mola puxa o bloco para a
esquerda (Como a força elástica tende a restaurar o estado relaxado da mola, ela também é chamada de força
restauradora). Se comprimirmos a mola empurrando o bloco para a esquerda, a mola empurra o bloco para a
direita para tentar restaurar o estado relaxado da mola.
24 2. FUNDAMENTOS DA MECÂNICA
Figura 2.7.3. Sistema massa mola.
Como uma boa aproximação para muitas molas, a força
~Fsde um mola é proporcional ao deslocamento ~d
da extremidade livre a partir da posição que ocupa quando a mola está no estado relaxado. A força elástica é
dada por
~Fs = −k~d
que também é conhecida como lei de Hooke, em homenagem a Robert Hooke. o Sinal negativo da força
elástica indica que o sentido da força é sempre contrário ao deslocamento sofrido pela extremidade livre da
mola. A constante k é chamada de constante elástica, e é uma medida da rigidez da mola. Quanto maior o
valor de k, mais rígida é a mola, ou seja, maior é a força exercida pela mola para um dado deslocamento. A
unidade de k no SI é o newton por metro.
Note que o comprimento da mola não é escrito explicitamente na força elástica, esta característica, assim
como as propriedades do material e formato da mola estão embutidos na constante elástica k.
2.7.3. Trabalho realizado por uma mola. Como a força elástica de uma mola não é constante, não
podemos utilizar a equação do trabalho, eq. 2.7.4, para calcular o trabalho da força da mola porque a equação
2.7.4 assume que a força seja constante.
Para uma força variável, o trabalho é dado porˆ x2
x1
F (x)dx
se x1 é o ponto de equilíbrio, temos
Ws = −12kx
2
que é a expressão para o trabalho realizado por um mola em uma dimensão.
2.7.4. Potência. Muitas vezes não tem utilidade prática sabermos apenas o trabalho realizado por um
força, mas também queremos saber quanto tempo é gasto por uma força para realizar um determinado trabalho.
Potência é a taxa temporal com que o trabalho é realizado
Pme´dia =
W
∆t
.
A potência é uma quantidade escalar e tem unidades de W →watt = joules
segundo
.
A potência instantânea P é dada por
P =
dW
dt
2.7. TRABALHO 25
que para uma força constante pode ser escrita por
P = F cos(θ)
dx
dt
lembrando que
dx
dt
= v velocidade, temos
P = F.v. cos(θ).
Exemplo 9. A figura mostra duas forças constantes F1e F2 atuando em um bloco que deslisa sem atrito.
A força F1 é horizontal com magnitude de 2N . A força F2 é aplicada com um ângulo de 600em relação ao solo
e tem magnitude de 4N . A velocidade da caixa em um determinado instante é de 3m/s. a) Qual a potência de
cada força atuando na caixa? b) Qual a potência total?
Figura 2.7.4. Figura do exemplo.
SOLUÇÃO:
a)
P1 = F1.v. cos(θ) = 2N.3m/s cos(1800) = −6W
P2 = F2.v. cos(θ) = 4N.3m/s cos(600) = 6W
b)
Ptotal = P1 + P2 = −6W + 6W = 0W
como a potência total é nula, nenhum trabalho é realizado sobre a caixa, portanto ∆k = 0, assim, v = constante.
CAPíTULO 3
Fluidos
3.1. 1-O que é um fluido?
Um fluido, ao contrário de um sólido, é uma substância que pode escoar. Os fluidos assumem a forma do
recipiente em que são colocados. Eles se comportam dessa forma porque um fluido não pode resistir a uma força
paralela à sua superfície. Um fluido pode, porém, exercer uma força na direção perpendicular à superfície.
3.1.1. 1.1-Massa Específica e Pressão. Quando estudamos fluidos estamos mais interessados em subs-
tancias sem um forma definida e em propriedades que podem variar de um ponto a outro da substância. Nesse
caso, é mais útil falar em massa específica e pressão do que em massa e força
3.1.2. Massa Específica. Para determinar a massa específica ρ de um fluido em um certo ponto do
espaço, isolamos um pequeno elemento de volume ΔV em torno do ponto e medimos a massa Δm do fluido
contido nesse elemento de volume. A massa específica é dada por
(3.1.1) ρ =
∆m
∆V
.
A massa específica é uma grandeza; sua unidade no SI (Sistema Internacional) é o quilograna por metro
cúbico.
3.1.3. Pressão. Considere um dispositivo capaz de medir pressão dentro de um fluido (figura 1). O fluido
exerce uma força ΔF (peso do fluido) sobre a área móvel ΔA do dispositivo. Desta forma iremos definir a
pressão p do fluido sobre a superfície ΔA do dispositivo da seguinte maneira
(3.1.2) p =
∆F
∆A
.
27
28 3. FLUIDOS
Teoricamente, a pressão em qualquer ponto no fluido é o limite dessa razão quando a área ΔA da superfície
móvel desse dispositivo tende a zero. Entretanto, se a força é uniforme em uma superfície plana de área A
podemos escrever a última equação na forma
(3.1.3) p =
F
A
,
onde F é a força exercida sobre o êmbolo. A unidade de pressão no SI é o newton por metro quadrado, que
recebe o nome específico de Pascal (P a). A relação entre o pascal e outras unidades de pressão muito usadas
na prática (mas que não pertence ao SI) é a seguinte:
(3.1.4) 1atm = 1, 01x105Pa = 760torr.
A atmosfera (atm) é, como o nome indica, a pressão média aproximada da atmosfera ao nível do mar. O
torr (torricielli) é conhecido também como milímetro de mercúrio (mmHg).
3.2. 2-Fluidos em Repouso
Como todo mergulhador sabe, a pressão dentro da água vai aumentando com a profundidade, ao passo que
um alpinista nos diz que a pressão vai diminuindo a medida que ele vai escalando uma montanha. É possível
deduzir, porém não faremos isso aqui, que a pressão dentro de um tanque contendo um fluido de densidade ρ
medida à uma profundidade h da superfície que está em contato com o ar (figura 2) é dada matematicamente
por
3.3. 3-O PRINCÍPIO DE PASCAL 29
(3.2.1) p = p0 + ρgh,
onde g é o valor da gravidade local e p0 é o valor da pressão atmosférica. Um fato importante que devemos
saber é que a pressão em um ponto de um fluido estático depende da profundidade desse ponto, mas não da
dimensão horizontal do fluido ou do recipiente.
Na figura 2 a pressão p é chamada de pressão total, ou pressão absoluta, pois ela é justamente a soma da
pressão atmosférica e da pressão devido a coluna de líquido de altura h. Esta por sua vez pode ser chamada
também de pressão manométrica, ou seja, a pressão manométrica é a diferença entre a pressão total e a pressão
atmosférica
(3.2.2) p− p0 = ρgh
3.3. 3-O Princípio de Pascal
Quando apertamos uma extremidade de um tubo de pasta de dente para fazer a pasta sair pela outra
extremidade estamos ponto em prática o princípio de Pascal. Este princípio também é usado na manobra de
Heimlich, na qual uma pressão aplicada ao abdômen é transmitida para a garganta, liberando um pedaço de
comida que a pessoa ingeriu. O princípio foi enunciado com clareza pela primeira vez em 1652 por Blaise Pascal
(em cuja homenagem foi batizada a unidade de pressão do SI).
Uma variação da pressão aplicada a um fluido incompressível contido em um recipiente é transmitida
integralmente a todas as paredes do fluido e às paredes do recipiente.
3.3.1. 3.1-O Princípio de Pascal e o Macaco Hidráulico. A figura 3 mostra a relação entre o princípio
de Pascal e o macaco hidráulico. Suponha que uma força externa de módulo Fe seja aplicada de cima para
baixo ao êmbolo da esquerda (ou de entrada), cuja área é Ae. Um líquido incompressível produz uma força de
baixo para cima, de módulo Fs, no êmbolo da direita (ou da saída), cuja área é As. Para manter o sistema em
equilíbrio deve existir uma força para baixo de módulo Fs no êmbolo de saída, exercida por uma carga externa
(não mostrada na figura). A força Fe aplicada no lado esquerdo, e a força Fs para baixo exercida pela carga no
lado direito produzem uma variação ∆p da pressão do líquido que é dada por
(3.3.1) ∆p =
Fe
Ae
=
Fs
As
,
e portanto
(3.3.2) Fs =
Fe
Ae
As,
30 3. FLUIDOS
repare aqui que Fs > Fe, pois As > Ae. Sabendo ainda que ao aplicar um força de módulo Fe, uma
quantidade ∆m de fluido contidade em um volume ∆V é transferida do lado esquerdo para o lado direito do
recipiente. O mesmo volume de líquido ∆V do lado esquerdo é igual ao volume transferido ao lado direito, ou
seja
(3.3.3) ∆V = Aede = Asds,
onde de e ds são os delocamentos sofridos pelos êmbolos da esquerda e da direita respectivamente. Ou
ainda, podemos escrever
(3.3.4) ds =
de
As
Ae,
repare agora que ds < de, pois As > Ae. Desta expressão podemos inferir que a vatagem do macaco
hidráulico é: com um macaco hidráulico uma certa força aplicada ao longo de uma dada distância pode ser
transformada em uma força maior aplicada ao longo de uma distância menor.
3.4. 4-O Princípio de Arquimedes
A figura 4 mostra um estudante em uma piscina, manuseando um saco de plástico muito fino (de massa
desprezível) cheio de água. Ela observa que o saco e a água nele contida estão em equilíbrio estático, ou seja, não
tendem a subir nem a descer. A força gravitacional para baixo Fg que a água contida no saco está submetida
deve ser equilibrada por uma força resultante para cima exercida pela água que está do lado de fora do saco.
Esta força resultante para cima é uma força FE , que recebe o nome de força de empuxo. Ela existe porque
a pressão da água que envolve o saco aumenta com a profundidade. Assim, a pressão na parte inferior do saco é
3.4. 4-O PRINCÍPIO DE ARQUIMEDES 31
maior que na parte superior, o que equivale a dizer que as forças a que o saco está submetido devido à pressão
são maiores em módulo na parte inferior do saco do que na parte inferior do saco.
Como o saco está em equilíbrio estático, o módulo de FE é igual ao módulo da força gravitacional Fg que
age sobre o saco com água.
Na figura 5-b. trocamos o saco de água por uma pedra que ocupa um volume exatamente igual ao do
espaço vazio da figura 5-a. Dizemos que a pedra desloca água, ou seja, ocupa o espaço que de outra forma
seria ocupado pela água. Como a forma da cavidade não foi alterada, as forças na superfície da cavidade são
as mesmas que quando o saco com àgua estava no lugar. Assim, o mesmo empuxo para cima que agia sobre o
saco com água agora age sobre a pedra, ou seja, o módulo FE do empuxo é igual ao peso da àgua deslocado
pela pedra.
Ao contrário do saco com água, a pedra não está em equilíbrio estático. A força gravitacional Fg para baixo
que age sobre a pedra tem um módulo maior que o empuxo para cima como mostra o diagrama do corpo livre
na figura 5-b. Assim, a pedraacelera para baixo, descendo até o fundo da piscina.
32 3. FLUIDOS
Vamos agora preencher a cavidade da figura 5-a com um pedaço de madeira como mostrado na figura 5-c.
Mais uma vez, nada mudou com relação às forças que agem sobre a superfície da cavidade, de modo que o
módulo FE do empuxo é igual ao peso da água deslocada. Como a pedra, o pedaço de madeira não está em
equilíbrio estático. Neste caso, porém, o módulo Fg da força gravitacional é menor que o módulo FE do empuxo,
de modo que a madeira acelera para cima, subindo até a superfície.
Nossos resultados para o saco, a pedra e a madeira se aplicam a qualquer fluido, e podem ser resumido no
princípio de Arquimedes:
Quando um corpo está total ou parcialmente submerso em um fluido uma força de empuxo FE exercida pelo
fluido age sobre o corpo. A força é dirigida para cima e tem um módulo igual ao peso do fluido deslocado pelo
corpo.
Escrevendo em linguagem matematica temos que
(3.4.1) FE = mfg,
ondemf é a massa do fluido deslocado.
3.4.1. 4.1-Flutuação. Quando um corpo flutua em um fluido, o módulo FE da força de empuxo que age
sobre o corpo é igual ao módulo Fg da força gravitacional a que o corpo está submetido, ou seja
(3.4.2) FE = mfg = Fg
em outras palavras, um corpo que flutua desloca um peso de fluido igual ao seu próprio peso.
3.4.2. 4.2-Peso Aparente em um Fluido. Se colocarmos uma pedra sobre uma balança calibrada para
medir pesos, a leitura da balança é o peso da pedra. Se, porém, repetimos a experiência debaixo da àgua a
força de empuxo a que a pedra é submetida diminui a leitura da balança. Esta leitura passa a ser, portanto,
um peso aparente. O peso aparente de um corpo está relacionado ao peso real e à força de empuxo através da
equação
(3.4.3) pesoaparente = pesoreal − FE .
3.5. 5-Fluidos Ideais em Movimento
O movimento de fluidos reais é muito complicado, e ainda não está perfeitamente compreendido. Por essa
razão, vamos discutir apenas o movimento de um fluido ideal, que é muito mais fácil de analisar matematica-
mente. Nosso fluido ideal satisfaz quatro requisitos, que estão relacionados ao seu escoamento.
1-Escoamento laminar: No escoamneto laminar, a velocidade de fluido em um ponto fixo qualquer não varia
com o tempo, nem em módulo nem em orientação.
2-Escoamento incompressível : Esta hipótese nos garante que sua massa específica tem um valor uniforme e
constante.
3-Escoamento não-viscoso: Em termos coloquiais a viscosidade de um fluido é uma medida da resistência
que o fluido oferece ao escoamento. Assim, por exemplo, o mel resiste mais ao escoamento que a àgua e,
portanto, é mais viscoso do que a àgua.
4-Escoamento irrotacional : Para entender o que significa essa propriedade, suponha que um pequeno grão
de poeira se move com o fluido. Se o escoamento é irrotacional, este grão de areia não gira em torno de um eixo
que passa pelo seu centro de massa, embora este possa girar em torno de um outro eixo qualquer.
3.7. 7-A EQUAÇÃO DA BERNOULLI 33
3.6. 6-A equação da Continuidade
Você provavelmente já observou que é possível aumentar a velocidade da àgua que sai de uma mangueira
de jardim fechando parcialmente o bico da mangueira com o polegar. Esta é uma demostração prática do fato
de que a velocidade v da àgua depende da àrea da seção reta A através da qual a àgua escoa.
Devido a conservação de massa (não iremos demostrar aqui) obtemos a equação da continuidade
(3.6.1) A1v1 = A2v2,
onde A1, A2 e v1, v2 são as áreas e velocidades do fluido nas regiões 1 e 2 respectivamente (ver figura 6).
Denominamos ainda a vazão como o produto da área pela velocidade, ou seja
(3.6.2) R = Av.
3.7. 7-A equação da Bernoulli
A equação de Bernoulli é aplicada quando se estuda fluidos ideais que estão se movimentando devido a
diferenças de pressões e de alturas. Para ilustrar isso, imagine um tubo (figura 7) onde um fluido ideal de
densidade ρ esteja submetido à uma pressão p1, de modo que sua velocidade nessa região seja v1, se o fluido
locomove-se de uma altura y1 à uma altura y2, de forma que sua velocidade muda de v1 para v2, então , no
momento em que o fluido atingir a região de altura y2, este estará sujeito à uma nova pressão p2, que pode ser
calculado pela seguinte equação, conhecida por equação de Bernoulli, ou seja,
(3.7.1) p1 + ρgy1 + ρ
v21
2
= p2 + ρgy2 + ρ
v22
2
34 3. FLUIDOS
CAPíTULO 4
Termodinâmica
4.1. 1-Temperatura
A sensação de quente ou frio é um mecanismo biológico que nos faz entrar em alerta para mantermos
nosso organismo em condições satisfatórias de funcionamento. Tais adjetivos, entretanto, carecem de uma
boa definição quando pensamos em processos físicos, químicos ou biológicos que necessitam de uma análise
quantitativa de caráter não subjetivo.
Em Física, definimos por Temperatura, a quantidade que determina com quente (ou frio), encontra-se
um corpo encerrado numa região do espaço. Mas em princípio podemos pensar: O que é quente para uma
determinada pessoa, não necessariamente é para uma outra pessoa. Por isso, é necessário estabelecer uma
convenção, de caráter universal, que sirva de medida (como uma régua) para rotularmos, com números, os
possíveis valores de temperatura que um corpo pode assumir.
Desde pequenos, somos acostumados com a palavra graus Celsius ( °C) para se referir a condição do clima.
O que geralmente não sabemos, é que foi estabelecido (por convenção) que o gelo se transforma em água a 0°C
e a água se transforma em vapor a 100°C. E ainda, que em Física, não costumanos utilizar a escala Celsius para
trabalhar com temperatura.
4.1.1. 1.1-As escalas Kelvin e Fahrenheit. Em física se usa a escala Kelvin para se trabalhar com
temperaturas. Para determinar o valor da temperatura em unidades de Kelvin é necessário realizar uma simples
tranformação, dada por
TK = TC + 273, 15(4.1.1)
Entretanto nos E.U.A costuma-se usar outra escala de temperatura, conhecida como Fahrenheit. Nesta
escala a temperatura de fusão do gelo é fixado em 32 graus Fahrenheit. A regra de transformação de graus
Celsius para graus Fahrenheit é dada por
TF =
9
5
TC + 32(4.1.2)
EXEMPLO: Tranformação de escala termométrica
1-Num dia de muito frio em Pelotas, os termometros idicavam 3C. Transforme essa temperatura para Kelvin
Resposta: Basta utilizarmos a equação TK = TC + 273, 15. Ou seja TK = 3 + 273, 15 = 276, 15K.
4.2. 2-Lei Zero da Termodinâmica
Entendemos por Lei zero da Termodinâmica a lei que assegura que se um corpo A e um corpo C estão em
contato na mesma temperatura, digamos T (ver figura 1-a), e o mesmo corpo C também é posto em contato
com um terceiro corpo B na mesma temperatura T (ver figura 1-b), então o corpo A e B estarão na mesma
temperatura T (ver figura 1-c), mesmo que ambos (A e B) não estejam em contato. Está lei parece um tanto
óbvia, mas só foi formulada em meados do século XX. Como já se sabia da existência da primeira Lei, os físicos
resolveram chamar de lei zero.
35
36 4. TERMODINÂMICA
Formalmente, a lei zero garante que se medirmos a temperatura de um corpo A e esta for igual a temperatura
de um corpo B, então ambos os corpos estão em equilíbrio térmico.
4.3. 3-Calor
Em mecânica clássica vimos que a ideia de trabalho determina a capacidade de um corpo MULTIPLICAR
força. E que energia mecânica exprime a ideia da capacitade de um corpo em produzir trabalho. Entretanto,
existe uma outra forma de energia, que chamaremos de energia térmica, que corresponde a soma de todas as
energias cinéticas e todas as energias de interação eletrostrática das moléculas e dos átomos que constituem um
corpo.
Assim, por dizer, Calor é a quantidade de energia térmica que flui de um corpo para um outro corpo.
Todavia, é necessário que ambos os corpos estejam em temperatura diferentes.
4.3.1. 3.1-Transferência de Calor. A transferência de calorentre corpos físicos são caracterizados por
três processos distintos, denotados por: Condução, Convecção e Radiação.
Condução:No processo de condução o calor é transmitido pelo contato entre os corpos. Ou seja, é necessário
que um corpo ¨mais quente¨ seja colocado em contato com um corpo ¨menos quente¨.
Convecção:No processo de convecção o calor, como por exemplo de uma vela, é transferido para o ar (fluido)
que o aquece e consequentemente se expande. Uma vez expandido, este se torna menos denso que o ar em sua
vizinhança que encontra-se mais frio. Devido a força de empuxo, o ar mais quente tende a subir e o ar mais frio
tende a descer. Ou seja, chamamos por convecção este processo de trasnferência de calor.
4.3.2. 3.2-Mudança de Fase. Entenderemos aqui por mudancca de fase, os processos termodinâmicos
responsáveis pela alteração dos estados sólido, líquido e gasoso, dentre os quais a matéria pode assumir.
Antes mesmo de estudarmos os processos físicos envolvidos numa transição, é necessário compreender como
um corpo sofre variação de temperatura a medida que este recebe uma determinada quantidade de calor.
4.3.2.1. 3.2.1-Capacidade Térmica, Calor Específico e Latente. Quando transferimos uma quantidade de
calor Q para um determinado corpo, este sofrerá uma variação de temperatura ∆T . Esta variação é regulada
pela sua capacidade de absorve (ou perder) calor, que matematicamente designaremos pela letra C, ou seja,
Q = C∆T,(4.3.1)
Entretanto, é mais usual defirmos a capacidade térmica de um objeto por unidade de massa, pois é mais comum
estudarmos a tranferência de calor entre objetos de massas diferentes. Deste modo, denotaremos por
C = mc,(4.3.2)
4.3. 3-CALOR 37
onde m e a massa e c e o calor especifico do corpo. Na tabela 1 apresentamos os valores do calor especifico de
alguns materiais.
Substância
cal
g.K
J
kg.K
Chumbo 0,0305
128
Tungstênio 0,0321
134
Prata 0,0564
236
Cobre 0,0923
386
Alumínio 0,215
900
Latão 0,092
380
Granito 0,19
790
Gelo(-10°C) 0,530
2220
Mercúrio 0,033
140
Etanol 0,58
2430
Água do Mar 0,93
3900
Água doce 1
4180
Vidro 0,20
840
As unidades de calor podem ser expressas em cal, Joule ou ainda, menos usual, Btu (usados nas especifi-
cações de ar condicionados). Estas estão relacionadas da seguinte forma
1cal = 3, 968.10−3Btu = 4, 1868J.(4.3.3)
EXEMPLO: Aquecimento da água
1-Qual é a quantidade de calor necessária para aquecer 720 g de água que encontra-se á temperatura de 0C
para 15C?
Resposta: Utilizando a expressão Q = mc∆T e sabendo-se que c
água
= 4190J/kg temos que Q =
(0, 720kg)(4190J/kg.K)(15C − 0C) = 45, 15kJ .
A situação física onde aplicamos a expressão (4.3.1), é válida apenas quando o corpo não está sofrendo uma
mudança de fase. Quando a mudança de estado ( por exemplo: gelo para água em 0 Celsius), o corpo reage
de uma outra forma, pois o que se verifica experimentalmente é que para o gelo se transformar totalmente em
água, é necessário transferirmos uma quantidade de calor adicional ao corpo, sendo que a temperatura deste se
mantén constante durante essa transferência, ou seja, durante o processo que transforma todo o gelo em água.
Essa quantidade adicional de calor depende da massa e do material, que matematicamente é escrita como
Q = mL,(4.3.4)
onde L e chamado de calor latente do corpo. O calor latente no processo de transformação do gelo em agua
vale L
fusão
= 333kJ/kg = 79, 5cal/g, enquanto que o calor latente no processo de transformacao da água em
vapor vale L
ebulição
= 2256kJ/kg = 539cal/g. Na tabela 2 mostramos alguns valores do calor latente de fusão
e de ebulição de alguns materiais. E na figura abaixo mostramos um gráfico da temperatura como função da
quantidade de calor num processo que envolve a transformação do gelo em vapor
38 4. TERMODINÂMICA
Substância Ponto de
Fusão (K)
Calor de
Fusão
LF (kJ/kg)
Ponto de
Ebulição
(K)
Calor de
Ebulição
LV (kJ/kg)
Hidrogênio 14 58 20,3 455
Oxigênio 54,8 13,9 90,2 213
Mercúrio 234 11,4 630 296
Água 273 333 373 2256
Chumbo 601 23,2 2017 858
Prata 1235 105 2323 2336
Cobre 1356 207 2868 4730
EXEMPLO: Fusão do gelo
1-Qual é a quantidade de calor necessária para fundir 720 g de gelo?
Resposta: Usando a expressãoQ = mL e uma vez que L
fusão
= 333kJ/kg temos queQ = (0, 720kg)(333kJ/kg) =
239, 8kJ.
4.4. 4-Primeira Lei da Termodinâmica
Quando um sistema muda de um estado inicial para um estado final, tanto o trabalho W realizado como o
calor Q transferido dependem da natureza do processo. Os experimentos, porém, revelam algo surpreendente.
A grandeza Q −W é a mesma para todos os processos. Ela depende apenas dos estados inicial e final, e não
depende de maneira alguma da forma como o sistema passou de um para o outro estado. Esta propriedade
sugere que a grandeza Q−W representa a variacao de uma propriedade intrinseca do sistema. Chamamos esta
propriedade de energia internam (Eint). A primeira lei da Termodinâmica afirma que
∆Eint = Q−W.(4.4.1)
Importante salientar (POR CONVENÇÃO) que se o sistemas realiza trabalho então W > 0, entretanto, se o
meio realiza trabalho sobre o sistema, então W < 0.
4.4.1. 4.1-Alguns casos particulares da primeira lei da termodinâmica. 1-Processos adiabáticos:
São processos onde não existem trocas de calor do sistema como o meio externo. Desta forma Q = 0, o que
implica
∆Eint = −W(4.4.2)
2-Processos a volume constante: Se o volume de um sistema (como um gás) é mantido constante, o sistema não
pode realizar trabalho. Deste modo W = 0, ou seja
4.5. 5-LEI DOS GASES IDEAIS 39
∆Eint = Q(4.4.3)
3-Processos cíclicos:Existem processos nos quais, após certas trocas de calor e de trabalho, o sistema volta ao
estado inicial. Neste caso, nenhuma propriedade intrínseca do sistema (incluindo a energia interna) pode variar.
Fazendo ∆Eint = 0, temos
Q = W(4.4.4)
4-Expansão livre: Sao processos adiabáticos nos quais nenhum trabalho é realizado. Assim Q = W = 0, ou
seja,
∆Eint = 0(4.4.5)
EXEMPLO:Energia livre num processo adiabático
1-Num processo adiabático o sistema sofre variação em seu volume de 10m3 para 30m3 mantendo a pressão
constante em duas atmosferas. Determine a variação de energia interna desse sistema
Resposta: Como o processo é adiabático, então Q = 0 e sendo assim, ∆Eint = −W . Como a pressão foi
mantida constante e o volume variou de 20m3, então ∆Eint = (2.105Pa)(20m3) = 40kJ .
4.5. 5-Lei dos Gases Ideais
Antes de iniciarmos o estudo sobre o conceito de gás ideal em física, iremos primeiro expor o conceito de
número de Avogadro, que constitui uma das sete unidades fundamentais do sistema internacional.
4.5.1. 5.1-Número de Avogadro. O número de Avogadro é a quantidade de átomos numa amostra que
contém um mol em 12 g de Carbono 12. O cientista italiano Amadeo Avogadro mediu esta quantidade conhecida
na literatura por
NA = 6, 02.1023atomos/mol(4.5.1)
O número de mols n contidos em uma amostra de qualquer substância é igual á razão entre o número de
moléculas N da amostra e o número de moléculas NA em 1 mol
n =
N
NA
(4.5.2)
EXEMPLO: Número de moléculas
1-Numa amostra de gás existem n = 2 mols. Calcule o número de moléculas existentes nessa quantidade
de gás
Resposta: Para realizar este cálculo devemos usar a expressão N = nNA, ou seja, N = (2)(6, 02.1023) ≈
12.1023 átomos.
4.5.2. 5.2-Gases ideais. Em física chamamos de gás ideal, todo gás que encontra-se em uma temperatura
elevada, ou quando sua densidade é baixa o suficiente para que as interações entre suas partes sejam desprezíveis.
Na prática, estas hipótese nos garante descrever o mais simples dos gases da natureza. Todavia, a idealização de
tal sistema, torna-se útil quando pretedemos determinar características gerais que diz respeito à grandemaioria
dos gases da natureza.
Para descrever completamente um gás ideal é necessário conhecermos a pressão que este exerce sobre as
paredes do recipiente, o volume total deste recipiente, a temperatura de equilíbrio do gás com o recipiente e o
40 4. TERMODINÂMICA
número de mols desse gás encerrado no volume. Estas variáveis, por sua vez, estão relacionadas pela equação
de estado, conhecida na literatura, como a equação dos gases ideais
pV = nRT(4.5.3)
onde R é a constante dos gases ideais. Esta possui o mesmo valor para todos os gases
R = 8, 31J/mol.K(4.5.4)
EXEMPLO: Pressão de um gás ideal
1-Determine a pressão em atmosferas de n = 2mols de CO2 à 27 graus Celsius encerrados num volume de
2L.
Resposta: Para realizar este cálculo, basta utilizarmos a equação dos gases ideais, ou seja, PV = nRT .
Substituindo os valores P = nRTV =
(2)(0,0831)(300)
2 = 0, 02493 atm.
4.5.3. 5.3-Trabalho realizado por um gás ideal.
4.5.3.1. 5.3.1-Temperatura Constante. Toda vez que o sistema sofre variação em seu volume, uma quanti-
dade de trabalho è produzido pelo sistema (ou sobre o sistema). Se o volume final é maior que o volume inicial,
então o sistema realiza trabalho W > 0, caso o volume final seja menor que o volume inicial, então o sistema
recebe energia na forma de trabalho do meio externo W < 0. Em qualquer caso, a expressão para o trabalho
em um gás ideal mantido a temperatura constante é
W = nRTln
Vf
Vi
(4.5.5)
Exemplo:Trabalho numa expansão Isotérmica
1-Um mol de oxigênio se expande à uma temperatura constante T = 310K. O volume inicial Vi é de 12L,
e volume final Vf é de 19L. Qual é o trabalho realizado pelo gás durante o processo?
Resposta: Devemos utilizar a expressão W = nRTlnVfVi , ou seja
W = (1mol)(8, 31J/mol.K)(310K) ln
19L
12L
= 1180J(4.5.6)
4.5.3.2. 5.3.2-Volume Constante. Quando não existe variação de volume, o trabalho produzido ou realizado
sobre o sistema é nulo, ou seja
W = 0(4.5.7)
4.5.3.3. 5.3.4-Pressão Constante. Num processo onde a pressão é mantida constante, o trabalho realizado
pelo sistema ou sobre o sistema é dado por
W = p(Vf − Vi) = ∆V(4.5.8)
EXEMPLO: Trabalho a pressão constante
Calcule o trabalho realizado por uma gás a pressão constante de 1 atm que sai do volume inicial de 1L e
chega ao volume final de 2L
Resposta: Para calcular o trabalho basta utilizarmos a expressão W = p∆V , ou seja, W = (1atm)(1L) =
(105Pa)(10−3m3) = 100J
4.6. 6-MÁQUINAS TÉRMICAS E A SEGUNDA LEI DA TERMODINÂMICA 41
4.6. 6-Máquinas Térmicas e a Segunda Lei da Termodinâmica
A maioria das máquinas e aparelhos funcionam através da uitilizacao da energia química dos combustíveis
ou da energia elétrica. A torradeira, o forno elétrico e os demais aparelhos elétricos, que são construídos para
aquecer, usam um resistor que atinge alta temperatura e troca calor com o meio. Dependendo da temperatura
atingida pelo resistor, este passa a emitir luz, como nas lâmpadas incandescentes.
Nos aparelhos que utilizam combustível, tais como forno a lenha, fogão a gás ou fogareiro a alcool, os gases
obtidos com a reação química estão a alta temperatura e trocam calor com o ambiente. Nesse processo aparece
como produto secundarioa luz da chama.
Em todos os aparelhos que fazem uso de energia elétrica e química, aparece o aquecimento, seja como efeito
desejado, seja como subproduto inevitável. Podemos afirmar, num caso e noutro, que o aumento da energia
térmica é parte dos processos de transformação de energia.
Denominamos por máquina térmica, aquela que transforma a energia interna de um combustível em energia
mecânica. Nesses casos, a energia do combustível é convertida em energia térmica de um gás através do processo
de combustão. Este, ao se expandir, realiza trabalho e consequentemente tem sua temperatura diminuida.
Os motores de automóveis, ônibus, caminhões, turbinas a vapor e geladeiras são exemplos de máquinas
térmicas. Em todas essas máquinas, identificamos elementos comuns tais como substância de operação, fonte
quente e fonte fria. No motor a combustão e na turbina à vapor, a troca de calor ocorre da fonte quente para a
fonte fria de forma espontânea. Além disso, conforme já discutimos anteriormente, a transformação de energia
térmica em trabalho, que é a base para a opreração das máquinas e motores térmicos, nunca se dá totalmente,
isto é, há uma limitação para o rendimento desses motores.
Por outro lado, é possivel transformar espontaneamente toda energia mecânica em energia térmica, isto é,
um movimento ordenado de um objeto pode ser transformado em movimento térmico desordenado das moléculas
que o compõem, mas o contrário não ocorre. Tanto a transformação da energia mecânica em energia térmica
(interna) como a troca de calor entre sistemas mais quentes para sistemas mais frios são exemplos típicos de
processos denominados irreversíveis, ou seja, há um sentido determinado nos processos naturais, não previsto
na primeira da termodinâmica. O sentido inverso, para tais transformações, não ocorre espontaneamente.
Essa lei da irreversibilidade é tão universal quanto as leis da conservação da energia, momento linear e
momento ângular, e por isso é chamada de segunda lei da termodinâmica.
Nesse sentido, podemos afirmar que, junto com os princípios de conservação da mecânica, os princípios
da termodinâmica ampliam nossa capacidade de compreensão dos processos físicos. Há vários enunciados
possíveis para a SEGUNDA LEI DA TERMODINÂMICA, que procuram ressaltar aspectos diferentes, todavia
nos limitaremos ao seu enunciado mais didático ao noso texto, ou seja:
"É impossivel realizar espontaneamente a troca de calor de um sistema mais frio para outro mais quente".
4.6.1. 6.1-Máquinas de Carnot. Para compreendermos uma máquina de Carnot é necessário entender-
mos o que é uma máquina térmica ideal.
Máquina térmica ideal : São máquinas onde todos os processos são reversíveis e as tranferências de energia
são realizadas sem as perdas causadas por efeitos como o atrito e a turbulência. Uma máquina de Carnot é um
tipo especial de máquina térmica ideal. De todas as máquinas térmicas, a máquina de Carnot é a que utiliza o
calor com a maior eficiência para realizar trabalho útil.
A figura abaixo, mostra de forma esquemática, o funcionamento de uma máquina de Carnot. Durante cada
ciclo da máquina, a substância de trabalho absorve uma quantidade |QH | de calor de uma fonte de calor a
uma temperatura constante TH e fornece uma quantidade |QL| de calor a uma segunda fonte de calor a uma
temperatura constante mais baixa TL. O gráfico abaixo mostra um diagrama p-V do ciclo de Carnot, ou seja,
o ciclo a que é submetida a substância de trabalho na máquina de Carnot. Como indicam as setas o ciclo é
percorrido no sentido horário.
42 4. TERMODINÂMICA
Na máquina térmica representada pela figura acima supomos que as transferência de calor para a substância
de trabalho ou para a fonte de calor ocorrem apenas durante os processos isotérmicos ab e cd do gráfico abaixo
(pressão contra em função do volume). Assim, os processos bc e da nessa gráfico, que ligam as isotérmas
correspondente às temperaturas TH e TL devem ser processos adiabáticos (reversíveis), ou seja, devem ser
processos nos quais nenhuma energia é transferida em forma de calor.
Durante os processos consecutivos ab e bc do mesmo gráfico, a substância de trabalho está se expandindo,
realizando assim trabalho positivo. Este trabalho é representado pela área sob a curva abc. Durante os processos
consecutivos cd e da a substância de trabalho está sendo comprimida, o que significa que está realizando trabalho
negativo sobre o ambiente ou, que o ambiente está realizando trabalho sobre a substância. Este trabalho é
representado pela área sob a curva cda. O trabalho líquido por ciclo, que é representado porW no gráfico acima
é a diferêncaentre as duas áreas, e é uma grandeza positiva, igual á área limitada pelo ciclo abcda.
4.6.1.1. 6.1.1-Eficiência de uma máquina de Carnot. No uso prático de qualquer máquina térmica existe
interesse em transformar em trabalho a maior parte possível da energia disponível QH . O exito nessa transfor-
mação é medido através da chamada eficiência térmica (ε), definida como o trabalho que a máquina realiza por
ciclo (¨energia utilizada¨) dividido pela energia que recebe em forma de calor por ciclo (¨energia adiquirida¨),
que matematicamente podemos escrever
4.7. 7-RADIAÇÃO TÉRMICA 43
ε =
energia utilizada
energia adquirida
=
|W |
|QH | ,(4.6.1)
que corresponde a eficiência de qualquer máquina térmica. No caso de uma máquina de Carnot podemos
substituir W pelo seu valor W = |Q0| − |QF |, o que implica
ε =
|QH | − |QL|
|QH | = 1−
|QL|
|QH | .(4.6.2)
Essa última expressão ainda pode ser reescrita (não provaremos esse fato) da seguinte forma
ε = 1− TL
TH
,(4.6.3)
onde TL e TH são as temperaturas (em Kelvin) do reservatório frio e quente respectivamente. É importante
assinalarmos que, como sempre TL < TH , a eficiência da máquina de Carnot será sempre menor que 100% .
Exemplo: Eficiência de uma máquina de Carnot
1-Calcule o rendimento de uma máquina de Carnot que opera entre as temperatura 200K e 800K
Resposta: Para calcular o rendimento devemos utilizar a expressão ε = 1− TLTH = 1− 200/800 = 3/4 = 75%
4.6.2. 6.2-Refrigeradores. Um refrigerador é um dispositivo que utiliza trabalho para transferir energia
de uma fonte fria para uma fonte quente enquanto o dispositivo repete uma série de processos termodinâmicos.
Em um refrigerador domésticos, por exemplo, o trabalho é realizado por um compressor elétrico para transferir
energia do compartimento onde são guardados os alimentos ( a fonte fria) para o ambiente ( a fonte quente).
Chamaremos de refrigerador ideal o refrigerador de Carnot. Num refrigerador ideal, todos os processos são
reversiveis e as transferências de energia são realizadas sem as perdas por efeitos como o atrito e a turbulência.
A eficiencia de um refrigerador qualquer pode ser definida matematicamente através de
K =
energia utilizada
energia adquirida
=
|QL|
|W | ,(4.6.4)
onde K é o coeficiente de desempenho. No caso específico de um refrigerador de Carnot, a primeira lei da
termodinâmica nos dá W = |QH | − |QL|, ou seja
KC =
|QL|
|QH | − |QL| ,(4.6.5)
ou ainda (não provaremos)
KC =
TF
T0 − TF(4.6.6)
Exemplo: Coeficiente de desempenho
1-Calcule o coeficiente de desempenho de um refrigerador de Carnot que opera entre as temperatura de
200K e 800K
Resposta: Para resolver este problema, basta utilizarmos a expressãoKC = TLTH−TL , ou sejaKC =
200
800−200 =
1/3 =≈ 33, 33%.
4.7. 7-Radiação Térmica
Um sistema e o ambiente também podem trocar energia através de ondas eletromagnéticas (a luz visível é
um tipo de onda eletromagnética). As ondas eletromagnéticas que transmitem calor são muitas vezes chamadas
de radiação térmica para distingui-las dos sinais eletromagnéticos ( como por exemplo, as ondas de radio,TV)
44 4. TERMODINÂMICA
e da radiação nuclear (ondas e partículas emitidas por núcleos atomicos). Quando você se aproxima de uma
fogueira é aquecido pela radiação térmica proveniente do fogo, ou seja, sua energia térmica aumenta ao mesmo
tempo em que a energia térmica do fogo é transferida à você. Não é necessário a existência de um meio material
para que o calor seja transferido por radiação. O calor do Sol, chega até a Terra viajando através do vácuo.
A taxa Prad com à qual um objeto emite energia através da radiação eletromagnética depende da área A
da superfície do objeto e da temperatura T (em Kelvin) dessa área, e é dada por
Prad = σεAT 4(4.7.1)
onde σ = 5, 6704x10−8W/m2K4 é uma constante física conhecida como constante de Stefan-Bolzmann, em
homenagem a Josef Stefan que a descobriu experimentalmente e a Ludwing Boltzmann que a descobriu teorica-
mente. O símbolo ε representa a emissividade da superfície do objeto, que tem um valor entre 0 e 1 dependendo
da composição da superfície.
A taxa Pabs com a qual o objeto absorve energia através da radiação térmica do ambiente, que supomos
estar a uma temperatura uniforme Tamb (em Kelvin) é dada por
Pabs = σεAT 4amb,(4.7.2)
É importante mecionar que a emissividade ε é a mesma (para o mesmo corpo) que no caso da emissividade
quando o corpo radia energia. Deste modo, a taxa líquida de energia radiada e absorvida por um corpo é
Pliq = Pabs − Prad = σεA(T 4amb − T 4).(4.7.3)
Exemplo: Determinação da Potência líquida
Calcule a potência líquida de radiação de uma chapa metálica de emissividade ε = 0, 5 e área A =
1/5, 6704m2 que encontra-se numa temperatura T = 100K e o ambiente encontra-se numa temperatura de
Tamb = 300K.
Resposta: Para efetuar esse cálculo devemos usar a expressão Pliq = Pabs − Prad = σεA(T 4amb − T 4).
Substituindo os valores temos
Pliq =
(5, 6704.10−8W )
m2.K4
(0, 5)
1
5, 6704
m2((300)4 − (100)4)T 4 = 4W(4.7.4)
4.8. 8-Termodinâmica de Atmosferas: Ideias básicas
4.8.1. 8.1-Processos térmicos nos ciclos do ar e da água. A quantidade de energia irradiada pela
Terra é praticamente igual a energia proveniente do Sol que atinge a Terra. Essa igualdade entre a energia
incidente e a energia irradiada só se aplica para o globo como um todo, e não para qualquer área isoladamente.
Na região equatorial ocorre mais absorção do que irradiação. Entretanto, a faixa equatorial não se torna cada
vez mais quente, nem os polos cada vez mais frios. Essas trocas de calor das regiões mais quentes com as mais
frias são efetuadas principalmente pelo movimento da atmosfera ( os ventos).
Para que possamos compreender melhor os movimentos provocados pela energia solar, devemos começar
por interpretar qualitativamente, através da Física Térmica, alguns ciclos naturais.
4.8.1.1. 8.1.1-O ciclo do ar. Alguns estudos indicam que, de toda a energia solar incidente, cerca de 30
é refletido diretamente pelas camadas superiores da atmosfera e pelas nuvens. Os 70% restante produzem
aquecimento na superfície terrestre, no vapor d'agua e na poeira existente nas camadas inferiores da atmosfera,
e também nas gotículas de água contidas nas nuvens.
4.8. 8-TERMODINÂMICA DE ATMOSFERAS: IDEIAS BÁSICAS 45
A quantidade de calor absorvida pela superfície terrestre corresponde a um aquecimento não uniforme. A
formação do vento se deve justamente a esse aquecimento desigual. A massa de ar que está mais quente do que
as massas vizinhas se expande, produzindo uma região de baixa pressão. As massas de ar vizinhas, mais frias e
de maior pressão, movimentam-se horizontalmente, produzindo os ventos (ver figura abaixo).
Sendo a Terra esférica, os raios solares so atinjem perpendicularmente as regiões próximas ao equador, onde
a incidência da energia solar se concentra.
A face da Terra voltada para o Sol (ver figura abaixo) está absorvendo e emitindo radiação, enquanto a
outra só está emitindo. Com a rotação, estas ¨faces¨ se alternam com periocidade diária.
A inclinação do eixo de rotação da Terra em relação ao plano de trajetória por ela descrita é também outro
condicionante do aquecimento desigual e da origem as estações do ano. Enquanto em um hemisferio é verão e
os dias são mais longos, no outro hemisfério e inverno e as noites são mais longas que os dias (ver figura abaixo).
46 4. TERMODINÂMICA
Pelo fato de haver regularidade no aquecimento desigual, os movimentos de ar se repetem regularmente,
constituindo ciclos de ar diários ou anuais.
São exemplos de ciclos atmosféricos diários, as brisas marítimas, que sopram do mar para a práia durante
o dia e no sentido inverso durante a noite. Isso porque durante o dia a areia e a terra atingem temperaturas
muito mais altas que o mar,

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