6 Minimos Quadrados Estendido

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30/09/2015 1/11
Algoritmo de Estimação da Matriz 
Estendida - Mínimos Quadrados 
Estendida (MQE)
Engenharia de Computação
Tópicos Especiais II
2015.2
Natal, Prof. Jan Erik, Msc.
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Introdução
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Introdução
Quando a saída de uma planta está corrompida por um ruído não-
branco (colorido), pode-se utilizar o algoritmo de estimação da Matriz
estendida para evitar estimativas polarizadas;
Este método de estimação utilizou-se do métodos dos mínimos
quadrados recursivos (MQR).
O vetor de medidas deverá ser montando no modelo ARMAX.
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Autoregressive moving average with exogenous 
input
Modelo ARMAX
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ou colorido
Medição do ruído
/ distúrbio
Procedimento iterativo na estimação de parâmetros
O modelo ARX pode ser melhorado com a utilização de uma média móvel
aplicada a perturbação. O modelo ARMAX também é classificado como um
modelo de erro na equação.
X=
−𝑦(0) … −𝑦(1 − 𝑛𝑎)
−𝑦(1) … −𝑦(2 − 𝑛𝑎)
⋮
−𝑦(𝑁 − 1)
⋮
…
⋮
−𝑦(𝑁 − 𝑛𝑎)
𝑢(0) … 𝑢(1 − 𝑛𝑏)
𝑢(1) … 𝑢(2 − 𝑛𝑏)
⋮
𝑢(𝑁 − 1)
⋮
⋯
⋮
𝑢(𝑁 − 𝑛𝑏)
𝑤(0) … 𝑤(1 − 𝑛𝑐)
𝑤(1) … 𝑤(2 − 𝑛𝑐)
⋮
𝑤(𝑁 − 𝑛𝑐)
⋮
…
⋮
𝑤(𝑁 − 𝑛𝑐)
Modelo ARMAX (auto regressivo com
média móvel e entradas exógenas)
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Estimador dos mínimos quadrados Estendido
MQE
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Estimador dos mínimos quadrados estendido
 Na prática os termos de w(t) representam um sinal não-observável do
ruído, então pode ser inferido a partir do erro de previsão:
w(k) = e(k)
 O vetor de parâmetros tem as estimadas dos ruído/distúrbio:
θ𝑇 = 𝑎1 𝑎2 … 𝑎𝑛𝑎 𝑏0 𝑏1 … 𝑏𝑛𝑏 𝑐1 𝑐2 … 𝑐𝑛𝑐
1. Adquirir os dados de entrada u(t) e saída y(t) do sistema durante cada interação
2 . Atualizar o vetor de medidas da matriz 𝑿𝑻
𝑿𝑻 = −𝒚 𝒌 − 𝟏 − 𝒚 𝒌 − 𝟐 …− 𝒚 𝒌 − 𝒏𝒂 𝒖 𝒌 − 𝒅 𝒖 𝒌 − 𝒅 − 𝒏𝒃 𝒘 𝒌 − 𝒅 𝒘 𝒌− 𝒅 − 𝒏𝒄
3. Calcular o erro de previsão
𝝐 𝒌 = 𝒚 𝒌 − 𝑿(𝒌)𝑻𝜽(𝒌 − 𝟏)
Segue os passo para implementação do algoritmo básico dos MQE:
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Estimador dos mínimos quadrados estendido
4. Calcular o ganho o estimador
𝑲 𝒌 =
𝑷 𝒌 − 𝟏 𝑿(𝒌)
𝟏 + 𝑿𝑻 𝒌 𝑷 𝒌 − 𝟏 𝑿(𝒌)
5. Calcular o vetor de parâmetros estimados
𝜽 𝒌 = 𝜽 𝒌 − 𝟏 + 𝑲(𝒌)𝝐(𝒌)
6. Calcular a matriz de covariância
𝑷 𝒌 = 𝑷 𝒌 − 𝟏 𝑲 𝒌 𝑿𝑻 𝒌 𝑷 𝒌 − 𝟏
7. Atualizar w(k) com o erro de predição
𝐰 𝒌 = 𝝐(𝒌)
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Exemplo Matlab
MQE
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Exemplo Matlab
Sem ruído
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Exemplo Matlab
Com ruído