[pdf] Espaço Vetorial - Álgebra Linear - Parte 3

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Exemplo 1 Para todo número natural n, o símbolo Rn representa o espaço ve-
torial euclidiano n-dimensional.
Os elementos de Rn são as listas ordenadas u = (x1, x2, . . . , xn), v = (y1, y2, . . . , yn)
de números reais.
Por definição, a igualdade vetorial u = v significa as n igualdades numéricas
x1 = y1, x2 = y2, · · · , xn = yn.
Os números reais x1, x2, . . . , xn são chamados as coordenadas do vetor u.
As operações do espaço vetorial Rn são definidas pondo
u+ v = (x1, x2, . . . , xn) + (y1, y2, . . . , yn) = (x1 + y1, x2 + y2, . . . , xn + yn) e
α(x1, x2, . . . , xn) = (αx1, αx2, . . . , αxn).
O vetor nulo é, por definição, aquele cujas coordenadas são todos iguais a zero.
O inverso aditivo de u = (x1, x2, . . . , xn) é −u = (−x1,−x2, . . . ,−xn).
Verifica-se que estas definições fazem de Rn um espaço vetorial. Para n = 1,
tem-se R1 = R = reta numérica, R2 é o plano euclidiano e R3 é o espaço
euclidiano tridimensional.
Observação 1 O elemento 0, vetor nulo, no axioma (A3) da definição de es-
paço vetorial é único.
Observação 2 Para cada vetor u ∈ V , existe um único vetor (−u) ∈ V tal que
u+ (−u) = (−u) + u = 0.
Vejamos algumas propriedades que são consequências praticamente imedi-
atas da definição de espaço vetorial.
Propriedades
Seja V um espaço vetorial sobre R.
(a) Para todo α ∈ R, tem-se α · 0 = 0.
(b) Para todo u ∈ V , tem-se 0 · u = 0.
(c) Se α · u = 0 então α = 0 ou u = 0.
(d) Para todo α ∈ R e todo u ∈ V , tem-se (−α) · u = α · (−u) = −(α · u).
(e) Para todo u ∈ V , tem-se −(−u) = u.
(f) Se u, v, w ∈ V e u + v = u + w então v = w. (lei do cancelamento da
adição)
(g) Se u,w ∈ V então existe um único vetor v ∈ V tal que u+ v = w.
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Notas de aula: Álgebra linear - Ciências da Computação
Turmas: CC3P30, CC3Q30, CC2P30
Prof a Evelize Ferracini
Data: 18/02/2014
Transformações lineares
A partir de agora vamos estudar funções entre espaços vetoriais.
Definição 1 Sejam U e V espaços vetoriais sobre o corpo dos reais. Uma
função T : U −→ V é uma transformação linear se
(1) T (u1 + u2) = T (u1) + T (u2), para todo u1, u2 ∈ U , e
(2) T (λu) = λT (u), para todo u ∈ U e todo λ ∈ R.
Observação 3 Note que a função T : U −→ V é uma transformação linear se
e somente se T (λu1+u2) = λT (u1)+T (u2), para todo u1, u2 ∈ U e todo λ ∈ R.
Vejamos alguns exemplos.
Exemplo 2 T : U −→ V dada por T (u) = 0 para todo u ∈ U é uma transfor-
mação linear e que é chamada de transformação nula.
De fato,
(1) T (u1 + u2) = 0 = 0 + 0 = T (u1) + T (u2), para todo u1, u2 ∈ U , e
(2) T (λu) = 0 = λ0 = λT (u), para todo u ∈ U e todo λ ∈ R.
Exemplo 3 T : U −→ V dada por T (u) = u para todo u ∈ U é uma transfor-
mação linear e que é chamada de transformação identidade.
De fato,
(1) T (u1 + u2) = u1 + u2 = T (u1) + T (u2), para todo u1, u2 ∈ U , e
(2) T (λu) = λu = λT (u), para todo u ∈ U e todo λ ∈ R.
Exemplo 4 T : R3 −→ M2(R) dada por T (x, y, z) =
(
a+ b 0
0 c− b
)
para
todo (x, y, z) ∈ R3 é uma transformação linear.
De fato,
(1) T ((x1, y1, z1) + (x2, y2, z2)) = T (x1 + x2, y1 + y2, z1 + z2) =(
(x1 + x2) + (y1 + y2) 0
0 (z1 + z2)− (y1 + y2)
)
=(
x1 + y1 0
0 z1 − y1
)
+
(
x2 + y2 0
0 z2 − y2
)
= T ((x1, y1, z1))+T ((x2, y2, z2)),
3
para todo (x1, y1, z1), (x2, y2, z2) ∈ R3, e
(2) T (λ(x1, y1, z1)) = T (λx1, λy1, λz1) =
(
λ(x1 + y1) 0
0 λ(z1 − y1)
)
=
λ
(
x1 + y1 0
0 z1 − y1
)
= λT (x1, y1, z1), para todo (x1, y1, z1) ∈ R3 e todo
λ ∈ R.
Exemplo 5 T : R −→ R dada por T (x) = x2 para todo x ∈ R não é uma
transformação linear, pois para todo x, y ∈ R temos
T (x+ y) = (x+ y)
2
= x2 + 2xy + y2 = T (x) + 2xy + T (y) 6= T (x) + T (y).
Exemplo 6 T : R3 −→ R dada por T (x, y, z) = x+y+z+1 para todo (x, y, z) ∈
R3 não é uma transformação linear, pois para todo (x1, y1, z1), (x2, y2, z2) ∈ R3
temos
T ((x1, y1, z1)+ (x2, y2, z2)) = T (x1+x2, y1+ y2, z1+ z2) = (x1+x2)+ (y1+
y2)+(z1+z2)+1 = (x1+y1+z1+1)+(x2+y2+z2) = T (x1, y1, z1)+(x2+y2+z2) 6=
T (x1, y1, z1) + T (x2, y2, z2).
Propriedades
Sejam U e V espaços vetoriais sobre o corpo dos reais e T : U −→ V uma
transformação linear. Então
(a) T (0U ) = 0V , onde 0U e 0V denotam os vetores nulos de U e V , respec-
tivamente.
(b) T (−u) = −T (u), para todo u ∈ U .
(c) T (
m∑
i=1
αiui) =
m∑
i=1
αiT (ui), onde αi ∈ R e ui ∈ U para i = 1, 2, · · · ,m.
Demonstração:
(a)
De fato, basta observar que
0V + T (0U ) = T (0U ) = T (0U + 0U ) = T (0U ) + T (0U ) e, portanto,
T (0U ) = 0V .
(b)
De fato, basta observar que −u = (−1)u, para todo u ∈ U e, portanto,
T (−u) = T ((−1)u) = (−1)T (u) = −T (u).
(c)
Para se mostrar esta igualdade, basta usar reiteradamente as propriedades
da definição de transformação linear.
Observação 4 Note que dada uma função T : U −→ V uma condição
necessária para que T seje uma transformação linear é satisfazer a propriedade
(a), mas não é suficiente, pois pode existir função que satisfaça a propriedade
(a) e não é transformação linear.
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Exemplo 7 Seja a função T (x, y, z) = x+y+z+1 dada no exemplo 5. Temos
que (0, 0, 0) e 0 são os vetores nulos de R3 e R, respectivamente. Logo, temos
que T (0R3) = T (0, 0, 0) = 0+ 0+ 0+ 1 = 1 6== 0 = 0R. Portanto, T não é uma
transformação linear.