[pdf] Lista de Exercícios - Álgebra Linear

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A´lgebra Linear - Cieˆncias da Computac¸a˜o
Prof a Evelize Ferracini
Lista de Exerc´ıcios 01
Questa˜o 1 Verifique se em cada um dos itens abaixo o conjunto V com as
operac¸o˜es indicadas e´ um espac¸o vetorial sobre R.
(a) V = R3 = {(x1, y1, z1);x1, y1, z1 ∈ R}, com as operac¸o˜es usuais de R2, ou
seja, (x1, y1, z1) + (x2, y2, z2) = (x1 + x2, y1 + y2, z1 + z2) e α · (x1, y1, z1) =
(α · x1, α · y1, α · z1).
(b) V =
{(
a −b
b a
)
; a, b ∈ R
}
, com as operac¸o˜es usuais das matrizes, ou
seja,
(
x1 y1
z1 w1
)
+
(
x2 y2
z2 w2
)
=
(
x1 + x2 y1 + y2
z1 + z2 w1 + w2
)
e α·
(
x1 y1
z1 w1
)
=(
α · x1 α · y1
α · z1 α · w1
)
.
(c) V = {(x, y) ∈ R2; 3x− 2y = 0}, com as operac¸o˜es usuais de R2.
(d) V = R2 com as seguintes operac¸o˜es (x1, y1) + (x2, y2) = (2x1−2y1, y1−x1)
e α · (x1, y1) = (3α · x1,−α · y1).
(e) V = R2 com as seguintes operac¸o˜es (x1, y1) + (x2, y2) = (x1 + x2, y1 + y2)
e α · (x1, y1) = (α · x1, 0).
(f) V =
{
(x, y, z, w) ∈ R4; y = x, z = w2}, com as operac¸o˜es usuais de R4, ou
seja, (x1, y1, z1, w1) + (x2, y2, z2, w2) = (x1 + x2, y1 + y2, z1 + z2, w1 + w2) e
α · (x1, y1, z1, w1) = (α · x1, α · y1, α · z1, α · w1).
(g) V = R × R∗, com as operac¸o˜es usuais de R4, ou seja, (x1, y1, z1, w1) +
(x2, y2, z2, w2) = (x1 + x2, y1 + y2, z1 + z2, w1 + w2) e α · (x1, y1, z1, w1) =
(α · x1, α · y1, α · z1, α · w1), onde R∗ = R {0}.
(h) V = R2, com as seguintes operac¸o˜es (x1, y1) + (x2, y2) = (x1 + x2, 0) e
α · (x1, y1) = (α · x1, α · y1).
Questa˜o 2 Seja V o conjunto dos pares ordenados de nu´meros reais. V na˜o e´
um espac¸o vetorial em relac¸a˜o a nemhum dos dois seguintes pares de operac¸o˜es
sobre V :
(a) (x1, y1) + (x2, y2) = (x1 + x2, y1 + y2) e a(x1, y1) = (ax1, y1).
(b) (x1, y1) + (x2, y2) = (x2, y2) e a(x1, y1) = (ax1, ay1).
Diga em cada caso quais dos oito axiomas na˜o se verifica.
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