Lista 2 de GA

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Lista 2 - Geometria Analítica 
Engenharias 
Prof. Me. Bruna Kitamura 
 
3.1.1. Determine o ponto C tal que 𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗ ⃗ = 2 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗ ⃗ sendo A = (0, -2) e B = (1, 0). 
 
3.1.2. Uma reta no plano tem equação y = 2x + 1. Determine um vetor paralelo a esta reta. 
 
3.1.3. Determine uma equação para a reta no plano que é paralela ao vetor V = (2, 3) e passa pelo ponto 
P0 = (1, 2). 
 
3.1.4. Determine o vetor X, tal que 3X - 2V = 15(X - U). 
 
3.1.5. Determine os vetores X e Y tais que {
6X − 2Y = U
 3X + Y = U + V
 
 
3.1.6. Determine as coordenadas da extremidade do segmento orientado que representa o vetor V = (3, 
0, -3), sabendo-se que sua origem está no ponto P = (2, 3, -5). 
 
3.1.7. Quais são as coordenadas do ponto P’, simétrico do ponto P = (1, 0, 3) em relação ao ponto M = 
(1, 2, -1)? (Sugestão: o ponto P’ é tal que o vetor 𝑀𝑃′⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ = - 𝑀𝑃⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗ ). 
 
3.1.8. Verifique se os pontos dados a seguir são colineares, isto é, pertencem a uma mesma reta: 
 
(a) A = (5, 1, -3), B = (0, 3, 4) e C = (0, 3, -5); 
(b) A = (-1, 1, 3), B = (4, 2, -3) e C = (14, 4, -15); 
 
3.1.9. Dados os pontos A = (1, -2, -3), B = (-5, 2, -1) e C = (4, 0, -1). Determine o ponto D tal que A, B, C 
e D sejam vértices consecutivos de um paralelogramo. 
 
3.1.10. Verifique se o vetor U é combinação linear (soma de múltiplos escalares) de V e W: 
 
(a) V = (9, -12, -6), W = (-1, 7, 1) e U = (-4, -6, 2); 
(b) V = (5, 4, -3), W = (2, 1, 1) e U = (-3, -4, 1); 
 
3.1.11. Verifique se é um paralelogramo o quadrilátero de vértices (não necessariamente consecutivos) 
 
(a) A = (4, -1, 1), B = (9, -4, 2), C = (4, 3, 4) e D = (4, -21, -14) 
(b) A = (4, -1, 1), B = (9, -4, 2), C = (4, 3, 4) e D = (9, 0, 5) 
 
3.1.12. Quais dos seguintes vetores são paralelos U = (6, -4, -2), V = (-9, 6, 3), W = (15, -10, 5). 
 
Exemplo 3.8. Sejam V = (0, 1, 0) e W = (2, 2, 3). O produto escalar de V por W é dado por 
 
V . W = v1w1 + v2w2 + v3w3 = 0 . 2 + 1 . 2 + 0 . 3 = 2 
 
 
Exemplo 3.9. Vamos determinar o ângulo entre uma diagonal de um cubo e uma de suas arestas. 
Sejam V1 = (1, 0, 0), V2 = (0, 1, 0) e V3 = (0, 0, 1). Uma diagonal do cubo é representada pelo vetor D 
dado por 
 
D = V1 + V2 + V3 = (1, 1, 1). 
 
Então o ângulo entre D e V1 satisfaz: 
 
 
Exemplo 3.11. Sejam V = 𝑖 + 2𝑗 ⃗ − 2𝑘 ⃗⃗ e W = 3𝑖 ⃗ + �⃗� . Vamos determinar o produto vetorial V x W. 
Como [
𝑉
𝑊
] = [
1 2 − 2
3 0 1
 ] 
 
Exemplo 3.12. Vamos calcular a área do triângulo PQR em que 
P = (3, 2, 0), Q = (0, 4, 3) e R = (1, 0, 2). 
Sejam 
V = 𝑅𝑃⃗⃗⃗⃗ ⃗ = (3 - 1, 2 - 0, 0 - 2) = (2, 2, -2) 
W = 𝑅𝑄⃗⃗⃗⃗ ⃗ = (0 - 1, 4 - 0, 3 - 2) = (-1, 4, 1) 
 
Exemplo 3.13. O produto misto dos vetores U = 2𝑖 - 𝑗 + 3�⃗� , V = - 𝑖 + 4𝑗 + �⃗� e W = 5𝑖 + 𝑗 - 2�⃗� é: 
 
3.2.1. Determine a equação da reta no plano que é perpendicular ao vetor N = (2, 3) e passa pelo ponto 
P0 = (-1, 1). 
 
3.2.2. Seja O = (0, 0, 0). Qual o lugar geométrico dos pontos P = (x, y, z) tais que ‖𝑂𝑃⃗⃗⃗⃗ ⃗‖² = 4? Qual figura 
é representada pela equação x² + y² = 4? 
 
3.2.3. Sejam V = 𝑖 + 2𝑗 - 3�⃗� e W = 2𝑖 + 𝑗 - 2�⃗� . Determine vetores unitários paralelos aos vetores 
(a) V + W; (b) V -W; (c) 2V - 3W. 
 
3.2.4. Determine o valor de x para o qual os vetores V = x𝑖 + 3𝑗 + 4�⃗� e W = 3𝑖 + 𝑗 + 2�⃗� são 
perpendiculares. 
 
3.2.5. Demonstre que não existe x tal que os vetores V = x𝑖 + 2𝑗 + 4�⃗� e W = x𝑖 - 2𝑗 + 3�⃗� são 
perpendiculares. 
 
3.2.6. Ache o ângulo entre os seguintes pares de vetores: 
(a) 2𝑖 + 𝑗 e 𝑗 - �⃗� ; (b) 𝑖 + 𝑗 + �⃗� e -2 𝑗 - 2�⃗� ; (c) 3𝑖 + 3𝑗 e 2𝑖 + 𝑗 - 2�⃗� . 
 
3.2.7. Decomponha W = -𝑖 -3𝑗 +2�⃗� como a soma de dois vetores W1 e W2, com W1 paralelo ao vetor 
𝑗 + 3�⃗� e W2 ortogonal a este último. 
 
3.2.8. Ache o vetor unitário da bissetriz do ângulo entre os vetores V = 2𝑖 + 2𝑗 + �⃗� e W = 6𝑖 + 2𝑗 - 3�⃗� . 
(Sugestão: observe que a soma de dois vetores está na direção da bissetriz se, e somente se, os dois 
tiverem o mesmo comprimento. Portanto, tome múltiplos escalares de V e W de forma que eles tenham o 
mesmo comprimento e tome o vetor unitário na direção da soma deles.) 
 
3.2.9. Verifique se os seguintes pontos pertencem a um mesmo plano: 
(a) A = (2, 2, 1), B = (3, 1, 2), C = (2, 3, 0) e D = (2, 3, 2); 
(b) A = (2, 0, 2), B = (3, 2, 0), C = (0, 2, 1) e D = (10, -2, 1); 
 
3.2.10. Calcule o volume do paralelepípedo que tem um dos vértices no ponto A = (2, 1, 6) e os três 
vértices adjacentes nos pontos B = (4, 1, 3), C = (1, 3, 2) e D = (1, 2, 1). 
 
3.2.11. Calcule a área do paralelogramo em que três vértices consecutivos são A = (1, 0, 1), B = (2, 1, 3) 
e C = (3, 2, 4). 
 
3.2.12. Calcule a área do triângulo com vértices A = (1, 2, 1), B = (3, 0, 4) e C = (5, 1, 3). 
 
3.2.13. Ache X tal que X 𝑥 (𝑖 + �⃗� ) = 2(𝑖 + 𝑗 - �⃗� ) e ‖𝑋‖ = √6. 
 
3.2.14. Sabe-se que o vetor X é ortogonal a 𝑖 + 𝑗 e a - 𝑖 + �⃗� , tem norma √3 e sendo θ o ângulo entre X e 
𝑗 , tem-se cosθ > 0. Ache X. 
 
3.2.15. Mostre que A = (3, 0, 2), B = (4, 3, 0) e C = (8, 1, -1) são vértices de um triângulo retângulo. Em 
qual dos vértices está o ângulo reto? 
 
3.2.16. Considere dois vetores V e W tais que ‖𝑉‖ = 5, ‖𝑊‖ = 2 e o ângulo entre V e W é 60º. 
Determine, como combinação linear de V e W (𝑥V + 𝑦W): 
 
(a) Um vetor X tal que X . V = 20 e X .W = 5 
(b) Um vetor X tal que X 𝑥 V = 0̅ e X .W = 12. 
 
 
 
4.1.1. Faça um esboço dos seguintes planos: 
(a) 2x + 3y + 5z - 1 = 0 
(b) x - 2y + 4z = 0 
(c) 3y + 2z - 1 = 0 
(d) 2x + 3z - 1 = 0 
(e) 3x + 2y - 1 = 0 
(f) 5y - 2 = 0 
(g) 3z - 2 = 0 
(h) 2x - 1 = 0 
 
4.1.2. Faça um esboço das retas dadas a seguir: 
(a) (x, y, z) = (-3 + 3t, 
3
2
 - 
1
2
t, 4 - 2t) 
(b) (x, y, z) = (2t, t, 
3
2
t) 
(c) (x, y, z) = (1 + t, 2, 3 + 2t) 
(d) (x, y, z) = (1, 2 + 2t, 
5
2
 + 
3
2
 t) 
(e) (x, y, z) = (2 + 2t, 3 + t, 3) 
(f) (x, y, z) = (1, 2, 2 + 2t) 
(g) (x, y, z) = (1, 2 + 2t, 3) 
(h) (x, y, z) = (2 + 2t, 2, 3) 
 
4.1.3. Ache a equação do plano paralelo ao plano 2x - y + 5z - 3 = 0 e que passa por P = (1, -2, 1). 
 
4.1.4. Encontre a equação do plano que passa pelo ponto P = (2, 1, 0) e é perpendicular aos planos x + 
2y - 3z + 2 = 0 e 2x - y + 4z - 1 = 0. 
 
4.1.5. Encontrar a equação do plano que passa pelos pontos P = (1, 0, 0) e Q = (1, 0, 1) e é 
perpendicular ao plano y = z. 
 
4.1.6. Determine a interseção reta que passa pela origem e tem vetor diretor V = 𝑖 + 2𝑗 + �⃗� com o plano 
2x + y + z = 5. 
 
4.1.7. Verifique se as retas r : (x, y, z) = (9t, 1 + 6t,�2 + 3t) e s : (x, y, z) = (1 + 2t, 3 + t, 1) se 
interceptam e em caso afirmativo determine a interseção. (Sugestão: a questão é se as trajetórias se 
cortam e não se as partículas se chocam, ou seja, elas não precisam estar num ponto no mesmo 
instante.) 
 
4.1.8. Dadas as retas 
r : 
𝑥 − 2
2
 = 
𝑦
2
 = z e s : x - 2 = y = z , 
obtenha uma equação geral para o plano determinado por r e s. 
 
4.1.9. Sejam P = (4, 1, -1) e r : (x, y, z) = (2 + t, 4 - t, 1 + 2t). 
 
(a) Mostre que P ∉ r; 
(b) Obtenha uma equação geral do plano determinado por r e P. 
 
4.1.10. Dados os planos π1 : x - y + z + 1 = 0 e π2 : x + y - z - 1 = 0, determine o plano que contém π1∩ π2 
e é ortogonal ao vetor (-1, 1,-1). 
 
4.1.11. Quais dos seguintes pares de planos se cortam segundo uma reta? 
 
(a) x + 2y - 3z - 4 = 0 e x - 4y + 2z + 1 = 0; 
(b) 2x - y + 4z + 3 = 0 e 4x - 2y + 8z = 0; 
(c) x - y = 0 e x + z = 0. 
 
4.1.12. Encontre as equações da reta que passa pelo ponto Q = (1, 2, 1) e é perpendicular ao plano 
x - y + 2z - 1 = 0. 
 
4.1.13. Ache equações da reta que passa pelo ponto P = (1, 0, 1) e é paralela aos planos 2x + 3y + z + 1= 0 e x - y + z = 0. 
 
4.1.14. Seja r a reta determinada pela interseção dos planos x + y - z = 0 e 2x - y + 3z - 1 = 0. Ache a 
equação do plano que passa por A = (1, 0, -1) e contém a reta r. 
 
4.1.15. Sejam r e s retas reversas passando por A = (0, 1, 0) e B = (1, 1, 0) e por C = (-3, 1, -4) e 
D = (-1, 2, -7), respectivamente. Obtenha uma equação da reta concorrente com r e s e paralela ao vetor 
V = (1, -5, -1). 
 
4.1.16. (a) Mostre que os planos 2x - y + z = 0 e x + 2y - z = 1 se interceptam segundo uma reta r; 
(b) Ache equações da reta que passa pelo ponto A = (1, 0, 1) e intercepta a reta r ortogonalmente. 
 
4.1.17. Considere as retas (x, y, z) = t(1, 2, -3) e (x, y, z) = (0, 1, 2) + s(2, 4, -6). Encontre a equação 
geral do plano que contém estas duas retas. 
 
4.1.18. Determine as equações paramétricas da reta interseção dos planos: 
 
(a) x + 2y - 3z - 4 = 0 e x - 4y + 2z + 1 = 0; 
(b) x - y = 0 e x + z = 0. 
 
4.1.20. Achar as equações da reta que intercepta as retas r1 e r2 e é perpendicular a ambas. 
(a) 
r1 : {
𝑥 = 1 + 𝑡
𝑦 = 2 + 3𝑡
𝑧 = 4𝑡
, para t ϵ R 
e 
 
r2: 𝑥 + 1 = 
𝑦−1
2
=
𝑧+2
3
 
 
(b) 
r1 : {
𝑥 = −1 + 𝑡
𝑦 = 2 + 3𝑡
𝑧 = 4𝑡
, para t ϵ R 
e 
 
r2: 𝑥 = 
𝑦−4
2
=
𝑧−3
3