formulario (formulas) - calculo II

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Quadro 1: Estratégia para avaliar ∫ 𝒔𝒆𝒏𝒎 𝒙𝒄𝒐𝒔𝒏𝒙 𝒅𝒙: 
 
a) Se a potência do cosseno é ímpar (n= 2k + 1), guarde um fator cosseno ao 
final da integral e use 𝒄𝒐𝒔𝟐𝒙 = 𝟏 − 𝒔𝒆𝒏𝟐𝒙 para expressar os fatores 
remanescentes em termos de seno: 
 
∫ 𝒔𝒆𝒏𝒎 𝒄𝒐𝒔𝟐𝒌+𝟏𝒅𝒙 = ∫ 𝒔𝒆𝒏𝒎 𝒙(𝒄𝒐𝒔𝟐𝒙)𝒌𝒄𝒐𝒔𝒙 𝒅𝒙 
 =∫ 𝒔𝒆𝒏𝒎𝒙 (𝟏 − 𝒔𝒆𝒏𝟐𝒙)𝒌𝒄𝒐𝒔𝒙 𝒅𝒙 
 
Então, substitua u= senx. 
 
b) Se a potência do seno é ímpar (m= 2k+1), guarde um fator seno ao final da 
integral e use 𝒔𝒆𝒏𝟐𝒙 = 𝟏 − 𝒄𝒐𝒔𝟐𝒙 para expressar os fatores remanescentes 
em termos de cosseno: 
 ∫ 𝒔𝒆𝒏𝟐𝒌+𝟏 𝒄𝒐𝒔𝒏𝒙 𝒅𝒙 = ∫(𝒔𝒆𝒏𝟐𝒙)𝒌𝒄𝒐𝒔𝒏𝒙 𝒔𝒆𝒏𝒙 𝒅𝒙 
 = ∫(𝟏 − 𝒄𝒐𝒔𝟐𝒙)𝒌𝒄𝒐𝒔𝒏𝒙 𝒔𝒆𝒏𝒙 𝒅𝒙 
 Então, substitua u= cosx. 
c) Se as potências do seno e cosseno forem pares, usamos as identidades dos 
ângulos – metade: 
 𝒔𝒆𝒏𝟐𝒙 = 
𝟏
𝟐
(𝟏 − 𝒄𝒐𝒔𝟐𝒙) 
 𝒄𝒐𝒔𝟐𝒙 = 
𝟏
𝟐
 (𝟏 + 𝒄𝒐𝒔𝟐𝒙) 
 Ou, ainda, usar o caso especial: 
𝒔𝒆𝒏𝒙𝒄𝒐𝒔𝒙 = 
𝒔𝒆𝒏𝟐𝒙
𝟐
 
 
 
Quadro 2: Estratégia para avaliar ∫ 𝒕𝒈𝒎𝒙𝒔𝒆𝒄𝒏𝒙 𝒅𝒙 
 
a) Se a potência da secante é par, (n= 2k), guarde um fator 𝒔𝒆𝒄𝟐𝒙 e use 
𝒔𝒆𝒄𝟐𝒙 = 𝟏 + 𝒕𝒈𝟐𝒙 para expressar os fatores remanescentes em termos de 
tgx: 
 ∫ 𝒕𝒈𝒎𝒙𝒔𝒆𝒄𝟐𝒌𝒙 𝒅𝒙 = ∫ 𝒕𝒈𝒎𝒙 (𝒔𝒆𝒄𝟐𝒙)𝒌−𝟏𝒔𝒆𝒄𝟐𝒙 𝒅𝒙 
 = ∫ 𝒕𝒈𝒎𝒙(𝟏 + 𝒕𝒈𝟐𝒙)𝒌−𝟏𝒔𝒆𝒄𝟐𝒙 𝒅𝒙 
 Então, substitua u=tgx. 
b) Se a potência da tangente é ímpar (m=2k+1), guarde um fator 𝒔𝒆𝒄𝒙𝒕𝒈𝒙 e 
use 𝒕𝒈𝟐𝒙 = 𝒔𝒆𝒄𝟐𝒙 − 𝟏 para expressar os fatores remanescentes em termos 
de secx: 
 ∫ 𝒕𝒈𝟐𝒌+𝟏𝒙 𝒔𝒆𝒄𝒏𝒙 𝒅𝒙 = ∫(𝒕𝒈𝟐𝒙)𝒌𝒔𝒆𝒄𝒏−𝟏𝒙 𝒔𝒆𝒄𝒙𝒕𝒈𝒙 𝒅𝒙 
 = ∫(𝒔𝒆𝒄𝟐𝒙 − 𝟏)𝒌𝒔𝒆𝒄𝒏−𝟏𝒙 𝒔𝒆𝒄𝒙𝒕𝒈𝒙 𝒅𝒙 
 
 Então, substitua u=secx. 
 
OBS: Análogo para ∫ 𝒄𝒐𝒕𝒈𝒎 𝒙𝒄𝒐𝒔𝒔𝒆𝒄𝒏𝒙 𝒅𝒙. 
 
Quadro 3: Outros casos especiais : 
Para avaliar integrais do tipo: 
a) ∫ 𝒔𝒆𝒏𝒎𝒙 𝒄𝒐𝒔𝒏𝒙 𝒅𝒙; 
b) ∫ 𝒔𝒆𝒏𝒎𝒙 𝒔𝒆𝒏 𝒏𝒙 𝒅𝒙; 
c) ∫ 𝒄𝒐𝒔𝒎𝒙 𝒄𝒐𝒔𝒏𝒙 𝒅𝒙, 
utilize, respectivamente: 
a) 𝒔𝒆𝒏𝑨 𝒄𝒐𝒔𝑩 = 
𝟏
𝟐
[ 𝒔𝒆𝒏(𝑨 − 𝑩) + 𝒔𝒆𝒏(𝑨 + 𝑩)] 
 
b) 𝒔𝒆𝒏𝑨 𝒔𝒆𝒏𝑩 = 
𝟏
𝟐
 [𝒄𝒐𝒔(𝑨 − 𝑩) − 𝒄𝒐𝒔(𝑨 + 𝑩)] 
 
c) 𝒄𝒐𝒔𝑨 𝒄𝒐𝒔 𝑩 = 
𝟏
𝟐
 [ 𝒄𝒐𝒔(𝑨 − 𝑩) + 𝒄𝒐𝒔(𝑨 + 𝑩)] 
 
d) Outro: 𝒔𝒆𝒏𝒙𝒄𝒐𝒔𝒙 = 
𝒔𝒆𝒏𝟐𝒙
𝟐
 
 
 
Relembrando: 
 1-) 𝒔𝒆𝒏𝟐𝒙 + 𝒄𝒐𝒔𝟐𝒙 = 𝟏 { 𝒔𝒆𝒏𝟐𝒙 = 𝟏 − 𝒄𝒐𝒔𝟐𝒙 
 { 𝒄𝒐𝒔𝟐𝒙 = 𝟏 − 𝒔𝒆𝒏𝟐𝒙 
2-) 𝒔𝒆𝒄𝒙 = 
𝟏
𝒄𝒐𝒔𝒙
 
 
3-) 𝒄𝒐𝒔𝒔𝒆𝒄𝒙 = 
𝟏
𝒔𝒆𝒏𝒙
 
 
4-) 𝒔𝒆𝒏𝟐𝒙 = 𝟐𝒔𝒆𝒏𝒙𝒄𝒐𝒔𝒙 𝒔𝒆𝒏𝒙𝒄𝒐𝒔𝒙 = 
𝒔𝒆𝒏𝟐𝒙
𝟐
 
 
5-) 𝒔𝒆𝒏𝟐𝒙 = 
𝟏
𝟐
(𝟏 − 𝒄𝒐𝒔𝟐𝒙) 
 𝒄𝒐𝒔𝟐𝒙 = 
𝟏
𝟐
( 𝟏 + 𝒄𝒐𝒔𝟐𝒙) 
 
6-) 𝒔𝒆𝒄𝟐𝒙 = 𝟏 + 𝒕𝒈𝟐𝒙 𝒕𝒈𝟐𝒙 = 𝒔𝒆𝒄𝟐𝒙 − 𝟏