Apostila Estatistica-UFPEL

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30/06/2010
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ESTATÍSTICA BÁSICAESTATÍSTICA BÁSICA
AULAAULA
Economia Economia –– UFPELUFPEL
Prof.: Anderson Antonio Prof.: Anderson Antonio DenardinDenardin
PROBABILIDADEPROBABILIDADE
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PROBABILIDADEPROBABILIDADE
 Os fenômenos estudados pela Estatística, mesmo em
condições normais de experimentação, caracterizam-se
pela sua variabilidade de uma observação para outra,
dificultando a previsão de um resultado futuro.
 Para a explicação desses fenômenos (fenômenos
aleatórios) adotaremos um modelo matemático
probabilístico.
 A teoria da probabilidade permite que se calcule a chance
de ocorrência de um número em um experimento
aleatório.
EXPERIMENTO ALEATÓRIOEXPERIMENTO ALEATÓRIO
 Definição:
 Chama-se experimento aleatório àquele cujo resultado é
imprevisível, porém, pertence necessariamente a um
conjunto de resultados possíveis denominado espaço
amostral.
 É aquele experimento que quando repetido em iguais
condições, podem fornecer resultados diferentes, ou seja,
são resultados explicados ao acaso.
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CARACTERIZAÇÃO DE UM EXPERIMENTO CARACTERIZAÇÃO DE UM EXPERIMENTO 
ALEATÓRIOALEATÓRIO
 Experimentos aleatórios apresentam as seguintes características
gerais:
– Cada experimento poderá ser repetido sob as mesmas
condições indefinidamente;
– Não se conhece um particular valor do experimento “a
priori”, porém podemos descrever todos os possíveis
resultados – as possibilidades;
– Quando o experimento for repetido um grande número de
vezes, surgirá uma regularidade, isto é, haverá uma
estabilidade da fração f=s/n (freqüência relativa), em que
“n” é o número de repetições e “s” o número de sucessos de
um particular resultado estabelecido antes da realização.
CARACTERIZAÇÃO DE UM EXPERIMENTO CARACTERIZAÇÃO DE UM EXPERIMENTO 
ALEATÓRIOALEATÓRIO
 A fim de entendermos melhor a caracterização de fenômenos
aleatórios que envolvem o cálculo de probabilidades, vamos
observar o que há de comum nos seguintes experimentos:
– E1: jogar uma moeda 10 vezes e observar o número de
coroas obtidas.
– E2: Lançam-se dois dados e anota-se o total de pontos
obtidos.
– E3: jogar um dado e observar o número obtido na face
superior.
– E4: Contar o número de peças defeituosas da produção
diária da máquina “A”.
– E5: retirar uma carta de um baralho com 52 cartas e
observar seu “nipe”.
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CARACTERIZAÇÃO DE UM CARACTERIZAÇÃO DE UM 
EXPERIMENTO ALEATÓRIOEXPERIMENTO ALEATÓRIO
 Freqüência Relativa:
f
n
f*
EXPERIMENTO ALEATÓRIOEXPERIMENTO ALEATÓRIO
 AA distribuiçãodistribuição dede freqüênciafreqüência éé umum instrumentoinstrumento importanteimportante parapara
avaliarmosavaliarmos aa variabilidadevariabilidade dasdas observaçõesobservações dede umum fenômenofenômeno
aleatórioaleatório..
 AA partirpartir dada freqüênciafreqüência observadaobservada podemospodemos calcularcalcular medidasmedidas dede
posiçãoposição ee variabilidadevariabilidade (média,(média, mediana,mediana, moda,moda, desviodesvio padrão,padrão,......))..
 AA freqüênciafreqüência éé geralmentegeralmente calculadacalculada aa partirpartir dosdos dadosdados dede
estimativasestimativas dede quantidadesquantidades desconhecidas,desconhecidas, associadasassociadas emem geralgeral aa
populaçõespopulações dasdas quaisquais osos dadosdados foramforam extraídosextraídos nana formaforma dede
amostrasamostras..
 AsAs freqüênciasfreqüências relativasrelativas sãosão estimativasestimativas dede probabilidadesprobabilidades dede
ocorrênciasocorrências dede certoscertos eventoseventos dede interesseinteresse..
 ComCom suposiçõessuposições adequadas,adequadas, ee semsem observarmosobservarmos diretamentediretamente oo
fenômenofenômeno aleatórioaleatório dede interesse,interesse, podemospodemos criarcriar umum modelomodelo teóricoteórico
queque reproduzareproduza dede maneiramaneira razoávelrazoável aa distribuiçãodistribuição dede freqüênciafreqüência..
EssesEsses modelosmodelos sãosão chamadoschamados dede “modelos“modelos probabilísticos”probabilísticos”..
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EXPERIMENTO ALEATÓRIOEXPERIMENTO ALEATÓRIO
 ExemploExemplo 11:: FreqüênciaFreqüência dede ocorrênciaocorrência dasdas facesfaces dede umum dadodado..
 LançaLança--sese umum dadodado umum númeronúmero dede vezesvezes “n”,“n”, ee observaobserva--sese oo númeronúmero
dede vezesvezes emem queque ocorreocorre aa faceface ii (i(i == 11,, 22,,......66))..
 AsAs proporçõesproporções ffii == ssii/n/n determinamdeterminam aa distribuiçãodistribuição dede freqüênciafreqüência dodo
experimentoexperimento realizadorealizado..
 LançandoLançando oo dadodado umum númeronúmero n’n’ (n’(n’ ≠≠ n)n) dede vezes,vezes, teríamosteríamos outraoutra
distribuiçãodistribuição dede freqüência,freqüência, masmas comcom umum padrãopadrão muitomuito próximopróximo dodo
anterioranterior..
 PremissasPremissas::
 ObservaObserva--sese queque sósó podepode ocorrerocorrer seisseis facesfaces;;
 OO dadodado devedeve serser perfeitamenteperfeitamente equilibrado,equilibrado, comcom vistasvistas aa nãonão
favorecerfavorecer umauma faceface emem particularparticular;;
 CadaCada faceface devedeve ocorrerocorrer oo mesmomesmo númeronúmero dede vezesvezes quandoquando oo dadodado éé
lançadolançado nn vezes,vezes, dede modomodo queque aa proporçãoproporção dede ocorrênciaocorrência dede cadacada
faceface devedeve serser 11//66..
EXPERIMENTO ALEATÓRIOEXPERIMENTO ALEATÓRIO
 ModeloModelo parapara lançamentolançamento dede dadosdados::
Face 1 2 3 4 5 6 Total
Freqüência Teórica 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6 1
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EXPERIMENTO ALEATÓRIOEXPERIMENTO ALEATÓRIO
 ExemploExemplo 22:: ProbabilidadeProbabilidade dede oo presidentepresidente dede umauma reuniãoreunião serser
HomemHomem ouou MulherMulher..
 DeDe umum grupogrupo dede trêstrês mulheresmulheres ee doisdois homens,homens, umauma pessoapessoa seráserá
sorteadasorteada parapara presidirpresidir umauma reuniãoreunião..
 QualQual aa probabilidadeprobabilidade dede oo presidentepresidente serser HomemHomem ouou Mulher?Mulher?
 ComoComo podepode--sese observarobservar sósó existemexistem duasduas possibilidadepossibilidade..
 PremissasPremissas::
 OO sorteiosorteio éé honesto,honesto, ee cadacada pessoapessoa tenhatenha igualigual chancechance dede serser
sorteadasorteada..
Sexo H M Total
Frequência Teórica 2/5 3/5 1
EXPERIMENTO ALEATÓRIOEXPERIMENTO ALEATÓRIO
 ExemploExemplo 33:: LançamentoLançamento dede umauma moedamoeda..
 LançaLança--sese umauma moedamoeda umauma vez,vez, ee observaobserva--sese aa faceface ocorrida,ocorrida, ouou seja,seja,
sese ocorreuocorreu caracara (C)(C) ouou coroacoroa (K)(K)..
 QualQual aa probabilidadeprobabilidade dede terter ocorridoocorrido caracara ouou coroa?coroa?
 ComoComo podepode--sese observar,observar, sósó existemexistem duasduas possibilidadepossibilidade..
 PremissasPremissas::
 OO sorteiosorteio éé honesto,honesto, ee aa moedamoeda devedeve serser perfeitamenteperfeitamente simétricasimétrica ee
homogêneahomogênea..
Face da Moeda C K Total
Frequência Teórica 1/2 1/2 1
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ESPAÇO AMOSTRALESPAÇO AMOSTRAL
 Definição:
 UmUm espaçoespaço amostralamostral ouou espaçoespaço dede probabilidadeprobabilidade ((ΩΩ),), queque
consisteconsiste (no(no casocaso discreto)discreto) dada enumeraçãoenumeração (finita(finita ouou infinita)infinita)
dasdas ocorrências,ocorrências, éé constituídoconstituído pelpelo conjunto de todos os
resultados possíveis de um experimento aleatório “E”, ondeonde
cadacada elementoelemento constituiconstitui osos pontospontos amostraisamostrais ouou eventoseventos
elementareselementares..
 O espaço amostral pode ser representado da seguinte forma:
ΩΩ = {w= {w11, w, w22, ....., , ....., wwnn,.....},.....}
ESPAÇO AMOSTRALESPAÇO AMOSTRAL ExemplosExemplos dede espaçoespaço amostralamostral ouou dede probabilidadesprobabilidades ((ΩΩ))::
 ExperimentoExperimento:: jogarjogar umauma moedamoeda umauma vezvez ee observarobservar oo resultadoresultado..
–– EspaçoEspaço amostralamostral ΩΩ == {C,{C, K}K}
 ExperimentoExperimento:: jogarjogar umum dadodado ee observarobservar oo númeronúmero dada faceface..
–– EspaçoEspaço amostralamostral:: ΩΩ == {{11,, 22,, 33,, 44,, 55,, 66}}
 ExperimentoExperimento:: extrairextrair umauma cartacarta dede umum baralhobaralho dede 5252 cartascartas ee observarobservar oo
naipenaipe..
–– EspaçoEspaço amostralamostral:: ΩΩ == {ás{ás dede copas,copas, ásás dede ouros,ouros, ásás dede espadas,espadas, ásás dede
paus,paus, doisdois dede copas,copas, doisdois dede ouros,ouros, doisdois dede espadas,espadas, doisdois dede paus,paus, etcetc......}}
 ExperimentoExperimento:: jogarjogar doisdois dadosdados
–– EspaçoEspaço amostralamostral::
ΩΩ = {(1,1); (1,2); (1,3); (1,4); (1,5); (1,6); = {(1,1); (1,2); (1,3); (1,4); (1,5); (1,6); 
(2,1); (2,2); (2,3); (2,4); (2,5); (2,6);(2,1); (2,2); (2,3); (2,4); (2,5); (2,6);
..........................................................................................................
(6,1); (6,2); (6,3); (6,4); (6,5); (6,6)}(6,1); (6,2); (6,3); (6,4); (6,5); (6,6)}
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EVENTOEVENTO
 Definição: qualquer subconjunto de um espaço amostral é
denominado evento. Se este subconjunto possuir apenas um
elemento, o denominamos “evento elementar”, se possuir todos os
elementos do espaço amostral ΩΩ,, éé denominadodenominado eventoevento certocerto e,e, sese forfor
constituídoconstituído porpor umum conjuntoconjunto vaziovazio (ø)(ø) éé chamadochamado eventoevento impossívelimpossível.
Tem-se que, n(A) é o número de resultados favoráveis ao evento A.
 Exemplo: no lançamento de uma moeda ΩΩ = {cara, coroa}. Um
evento de interesse “A” pode ser “obter cara no lançamento de uma
moeda” e n(A) = 1.
 No lançamento de um dado, o evento de interesse “A” pode ser obter
face par e n(A) = 3.
 OBS.: Assim, é possível encontrar a probabilidade P(A) de qualquer
subconjunto A de Ω, isto é, a probabilidade de um evento aleatório ou
simplesmente evento.
ESPAÇO AMOSTRAL X EVENTOESPAÇO AMOSTRAL X EVENTO
 ExemploExemplo 11:: LançamentoLançamento dede moedasmoedas (espaço(espaço amostralamostral discreto)discreto)..
 LançaLança--sese umauma moedamoeda duasduas vez,vez, ee observaobserva--sese aa face,face, ouou seja,seja, sese
ocorreuocorreu caracara (C)(C) ouou coroacoroa (K)(K).. OO espaçoespaço amostralamostral éé definidodefinido porpor::
ΩΩ = {w= {w11, w, w22, w, w33, w, w44} = {CC, CK, KK, KC}} = {CC, CK, KK, KC}
 ComoComo podepode--sese observar,observar, existemexistem quatroquatro possibilidadespossibilidades distintas,distintas, éé
razoávelrazoável suporsupor queque cadacada pontoponto wwii tenhatenha probabilidadeprobabilidade dede ¼,¼, sese aa
moedamoeda forfor perfeitamenteperfeitamente simétricasimétrica ee homogêneahomogênea..
 SeSe designarmosdesignarmos porpor AA oo eventoevento queque consisteconsiste nana obtençãoobtenção dede facesfaces
iguaisiguais nosnos doisdois lançamentos,lançamentos, entãoentão temostemos::
n(A) = 2n(A) = 2
 SeSe AA forfor qualquerqualquer eventoevento dede ΩΩ,, entãoentão::
n(A) = n(A) = ΣΣjj ((wwjj).).
 OndeOnde aa somasoma éé estendidaestendida aa todostodos osos pontospontos amostraisamostrais ЄЄ wwjj
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ESPAÇO AMOSTRAL X EVENTOESPAÇO AMOSTRAL X EVENTO
 ExemploExemplo 22:: TesteTeste dede qualidadequalidade (espaço(espaço amostralamostral discreto)discreto)..
 UmaUma fábricafábrica produzproduz umum determinadodeterminado artigoartigo.. DaDa linhalinha dede produçãoprodução
sãosão retiradosretirados trêstrês unidades,unidades, ee cadacada umum éé classificadoclassificado comocomo bombom (B)(B)
ouou defeituosodefeituoso (D)(D).. OO espaçoespaço amostralamostral dodo experimentoexperimento éé definidodefinido
porpor::
ΩΩ = {w= {w11, w, w22, w, w33, w, w44, w, w55, w, w66, w, w77, w, w88} = } = 
ΩΩ = {BBB, BBD, BDB, DBB, DDB, DBD,BDD, DDD}= {BBB, BBD, BDB, DBB, DDB, DBD,BDD, DDD}
 SeSe designarmosdesignarmos porpor AA oo eventoevento queque consisteconsiste nana obtençãoobtenção dede doisdois
artigosartigos defeituosos,defeituosos, entãoentão temostemos::
A = {DDB, DBD, BDD}A = {DDB, DBD, BDD}
n(A) = P{wn(A) = P{w55, w, w66, w, w77}}
 SeSe AA forfor qualquerqualquer eventoevento dede ΩΩ,, entãoentão::
n(A) = n(A) = ΣΣjj ((wwjj).).
 OndeOnde aa somasoma éé estendidaestendida aa todostodos osos pontospontos amostraisamostrais ЄЄ wwjj
ESPAÇO AMOSTRAL X EVENTO ESPAÇO AMOSTRAL X EVENTO 
 ExemploExemplo 33:: TesteTeste dede qualidadequalidade (espaço(espaço amostralamostral contínuo)contínuo)..
 ConsidereConsidere oo experimentoexperimento queque consisteconsiste emem retirarretirar umauma lâmpadalâmpada dede
umum lote,lote, ee medirmedir seuseu “tempo“tempo dede vida”vida” antesantes dede sese queimarqueimar.. OO espaçoespaço
amostralamostral dodo experimentoexperimento éé definidodefinido porpor::
ΩΩ = {t = {t ЄЄ R : t≥ 0} R : t≥ 0} 
OO espaçoespaço amostralamostral representarepresenta oo conjuntoconjunto dede todostodos osos númerosnúmeros reaisreais
nãonão negativosnegativos..
SeSe AA indicarindicar oo eventoevento “o“o tempotempo dede vidavida dede umauma lâmpadalâmpada serser inferiorinferior
aa 2020 horas”,horas”, entãoentão temostemos::
A = {tA = {t ЄЄ R : 0 ≤ t < 20} R : 0 ≤ t < 20} 
EsseEsse representarepresenta umum exemploexemplo dede umum espaçoespaço amostralamostral contínuocontínuo..
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PROBABILIDADEPROBABILIDADE
Espaço Amostral e Eventos Aleatórios.
Ω
B
A
PROBABILIDADEPROBABILIDADE
 Conceito elementar de Probabilidade:
 Seja ΩΩ um espaço amostral finito e equiprovável e A um determinado
evento ou seja, um subconjunto de ΩΩ. A probabilidade P(A) de
ocorrência do evento A, será uma função definida em ΩΩ que associa
a cada evento um número real. Será calculada pela fórmula:
 Onde,
– n(A) = número de elementos do evento A (resultados favoráveis).
– n = número de elementos do espaço amostral (resultados
possíveis).
 OBS.: Sendo ΩΩ umum espaçoespaço amostralamostral finito,finito, comcom “n”“n” elementoselementos podepode--
sese verificarverificar queque 22nn nosnos fornecefornece oo númeronúmero totaltotal dede eventoseventos extraídosextraídos
dede ΩΩ..
n
An
AP
)(
)( 
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PROBABILIDADEPROBABILIDADE
ESPAÇOS AMOSTRAIS FINITOS EQUIPROVÁVEISESPAÇOS AMOSTRAIS FINITOS EQUIPROVÁVEIS
 Quando associamos a cada ponto amostral a mesma probabilidade, o
espaço amostral chama-se equiprovável ou uniforme. Em particular,
se ΩΩ contém “n” pontos, então, a probabilidade de cada ponto será
1/n.
 Por outro lada, se um evento A contém “r” pontos, então P(A) =
r(1/n) = r/n.
 Este método de avaliar P(A) é freqüentemente enunciado da seguinte
maneira:
 Ou
ocorre. Amostral Espaço o que vezesde nº
ocorrer podeA evento o que em vezesde nº
)(

AP
casos). de otal (nº N.T.C
)favoráveis casos de (nº N.C.F
)(
t
AP 
PROBABILIDADE DE UM EVENTOPROBABILIDADE DE UM EVENTO
 PROPRIEDADESPROPRIEDADES::
 AA probabilidadeprobabilidade dodo eventoevento impossívelimpossível éé nulanula:: sendosendo oo eventoevento
impossívelimpossível oo conjuntoconjunto vaziovazio ((ØØ)) temostemos::
 AA probabilidadeprobabilidade dodo eventoevento certocerto éé igualigual aa unidadeunidade:: EventoEvento certocerto
P(P(ΩΩ)) == 11..
 AA probabilidadeprobabilidade dede umum eventoevento qualquerqualquer éé umum númeronúmero realreal situadosituado
nono intervalointervalo realreal [[00,, 11]]..
 AA somasoma dasdas probabilidadesprobabilidades dede umum eventoevento ee dodo seuseu eventoevento
complementarcomplementar ééigualigual aa unidadeunidade.. Ac é o evento que ocorre se A não
ocorre.
1)( 
n
n
P
0
0
)( 
n
P 
)(1)( APAP c 1)()(  cAPAP
1)(0  AP
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PROBABILIDADEPROBABILIDADE
 Dados dois eventos quaisquer A e B, verificamos duas
situações possíveis:
 Chamamos a união de A com B, quando pelo menos um
dos eventos ocorre, ou seja, considera-se a probabilidade
de A ocorrer ou de B ocorrrer.
 Chamamos a intersecção de A com B, quando A e B
ocorrem simultaneamente.
)Bou A ()( PBAP 
)B eA ()( PBAP 
PROBABILIDADE DE UM EVENTOPROBABILIDADE DE UM EVENTO
 PROPRIEDADESPROPRIEDADES::
 Sendo A e B dois eventos quaisquer, podemos escrever:
 DaíDaí derivaderiva queque aa probabilidadeprobabilidade dada uniãounião dede doisdois conjuntosconjuntos
disjuntosdisjuntos ouou mutuamentemutuamente exclusivosexclusivos éé dadadada porpor::
)()()()( BAPBPAPBAP 


)(
)()()()Bou A (
BAP
BPAPBAPP
)Bou A ()( PBAP 
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PROBABILIDADE DE UM EVENTOPROBABILIDADE DE UM EVENTO
 ExemploExemplo::
 Experimento: jogar um dado e observar o resultado
ΩΩ = {1, 2, 3, 4, 5, 6}= {1, 2, 3, 4, 5, 6}
 Eventos: A = ocorrer número par; B = ocorrer número ímpar.
A = {2, 4, 6}A = {2, 4, 6}
B = {1, 3, 5}B = {1, 3, 5}
 AA ee BB sãosão mutuamentemutuamente exclusivos,exclusivos, poispois aa ocorrênciaocorrência dede umum
númeronúmero parpar ee ímparímpar nãonão podepode serser verificadaverificada comocomo
decorrênciadecorrência dodo mesmomesmo eventoevento..
1
6
6
6
3
6
3
)(
)()()(
)(



BAP
BPAPBAP
BAP 
PROBABILIDADEPROBABILIDADE
 As operações de reunião, intersecção e complementaridade entre
eventos possuem as seguintes propriedades:
 a)
 b)
 c)
 d)
 e)
 f)
 g)
 h)
Cc B A)( cBA
Cc B A)( cBA
AA  A ,)( 
  cc ,
cAA
cAA
 AAA ,
)()()( CABACBA 
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PROBABILIDADEPROBABILIDADE
 Exemplo: Três cavalos A, B e C, disputam uma corrida. O cavalo A
tem duas vezes mais probabilidade de ganhar que B, e B tem duas
vezes mais probabilidade de ganhar que C. Quais são as
probabilidades de vitória de cada um, isto é, P(A), P(B) e P(C)?
 Faça P(C) = p; desde que B tem duas vezes mais probabilidades de
ganhar que C, P(B) = 2P(C) = 2p, e assim P(A) = 2P(B) = 4p. Como
a soma das probabilidades é 1, então temos:
 Logo, temos:
 Qual seria a probabilidade de B ou C ganhar?
7
1
 17 142  pppPp
7
1
)( ;
7
2
2)B( ;
7
4
4)(  pCPpPpAP
7
3
0
7
1
7
2
)()()()(  CBPCPBPCBP
PROBABILIDADE CONDICIONALPROBABILIDADE CONDICIONAL
 Dados dois eventos quaisquer A e B, sendo P(B)>0, definimos a
probabilidade condicional de A dado B, P(A/B), ou seja, a
probabilidade condicionada do evento A, quando B tiver ocorrido,
como sendo.
 Para aplicações, convém encontrarmos uma fórmula mais prática
para o cálculo da probabilidade condicional, assim:
 Assim, para avaliarmos a probabilidade de A, dado B, basta
contarmos o número de casos favoráveis ao evento A ᴒ B, e
dividirmos esse número pela quantidade de casos favoráveis ao
evento B.
)B (
)(
)/(
P
BAP
BAP 
)B (
)(
)(
)(
)B (
)(
)/(
NCF
BANCF
NTC
BNCF
NTC
BANCF
P
BAP
BAP 


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PROBABILIDADE CONDICIONALPROBABILIDADE CONDICIONAL
 Exemplo: Dois dados são lançados. Consideremos os eventos.



















)6,6(
)6,5(
)6,4(
)6,3(
)6,2(
)6,1(
)5,6(
)5,5(
)5,4(
)5,3(
)5,2(
)5,1(
)4,6(
)4,5(
)4,4(
)4,3(
)4,2(
)4,1(
)3,6(
)3,5(
)3,4(
)3,3(
)3,2(
)3,1(
)2,6(
)2,5(
)2,4(
)2,3(
)2,2(
)2,1(
)1,6(
)1,5(
)1,4(
)1,3(
)1,2(
)1,1(
 10/),( 2121  xxxxA
 2121 /),( xxxxB 
PROBABILIDADE CONDICIONALPROBABILIDADE CONDICIONAL
 Exemplo: Continuação.
3
1
)(
)(
)/(
15
1
)(
)(
)/(
12
5
36
15)(
)(
12
1
36
3)(
)(




ANCF
BANCF
ABP
BNCF
BANCF
BAP
NTC
BNCF
BP
NTC
ANCF
AP
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TEOREMA DO PRODUTOTEOREMA DO PRODUTO
 A partir da definição de probabilidade condicional é possível enunciar
o teorema do produto, como segue:
 “A probabilidade da ocorrência simultânea de dois eventos, A e B, do
mesmo espaço-amostral, é igual ao produto da probabilidade de um
deles pela probabilidade condicional do outro, dado o primeiro.”
)/()B ()( 
)B (
)(
)/( BAPPBAP
P
BAP
BAP 
)/()A ()( 
)A (
)(
)/( ABPPBAP
P
BAP
ABP 
TEOREMA DO PRODUTOTEOREMA DO PRODUTO
 ExemploExemplo:: UmaUma urnaurna contémcontém duasduas bolasbolas brancasbrancas (B)(B) ee trêstrês
vermelhasvermelhas (V)(V).. SuponhaSuponha queque sãosão sorteadassorteadas duasduas bolasbolas aoao
acaso,acaso, comcom reposiçãoreposição.. IssoIsso significasignifica queque escolhemosescolhemos aa
primeiraprimeira bola,bola, verificamosverificamos suasua corcor ee devolvemosdevolvemos àà urnaurna;;
misturamosmisturamos asas bolasbolas restantesrestantes ee retiramosretiramos aa segundasegunda.. QualQual aa
probabilidadeprobabilidade dede ambasambas seremserem brancas?brancas?
A = {a primeira bola ser branca}
B = {a segunda bola ser branca}
25
4
5
2
.
5
2
)(
)/().A ()(


BAP
ABPPBAP
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PROBABILIDADE CONDICIONALPROBABILIDADE CONDICIONAL
2/5
3/5
2/5
3/5
B
V
2 bolas brancas
3 bolas vermelhas
2/5
3/5
B
V
B
V
Resultado Probabilidade
BB 2/5x2/5=4/25
BV 2/5x3/5=6/25
VB 3/5x2/5=6/25
VV 3/5x3/5=9/25
Total 1
Podemos representar o jogo da seguinte forma:
TEOREMA DO PRODUTOTEOREMA DO PRODUTO
 ExemploExemplo:: UmaUma urnaurna contémcontém duasduas bolasbolas brancasbrancas (B)(B) ee trêstrês
vermelhasvermelhas (V)(V).. SuponhaSuponha queque sãosão sorteadassorteadas duasduas bolasbolas aoao
acaso,acaso, semsem reposiçãoreposição.. IssoIsso significasignifica queque escolhemosescolhemos aa
primeiraprimeira bola,bola, verificamosverificamos suasua corcor ee devolvemosdevolvemos àà urnaurna;;
misturamosmisturamos asas bolasbolas restantesrestantes ee retiramosretiramos aa segundasegunda.. QualQual aa
probabilidadeprobabilidade dede ambasambas seremserem brancas?brancas?
A = {a primeira bola ser branca}
B = {a segunda bola ser branca}
10
1
20
2
4
1
.
5
2
)(
)/().A ()(


BAP
ABPPBAP
30/06/2010
18
PROBABILIDADE CONDICIONALPROBABILIDADE CONDICIONAL
1/4
3/4
2/4
2/4
B
V
2 bolas brancas
3 bolas vermelhas
2/5
3/5
B
V
B
V
Podemos representar o jogo da seguinte forma:
Resultado Probabilidade
BB 2/5x1/4=2/20
BV 2/5x3/4=6/20
VB 3/5x2/4=6/20
VV 3/5x2/4=6/20
Total 1
INDEPENDÊNCIA ESTATÍSTICAINDEPENDÊNCIA ESTATÍSTICA
 Um evento A é considerado independente de um outro evento B se a
probabilidade de A é igual à probabilidade condicional de A dado B,
isto é, se
 De modo equivalente temos que:
 Se os eventos A e B forem independentes entre si, então temos:
)/()( BAPAP 
)().A ()( BPPBAP 
)/()( ABPBP 
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19
INDEPENDÊNCIA ESTATÍSTICAINDEPENDÊNCIA ESTATÍSTICA
 Dados “n” eventos A1, A2, A3,......., An, diremos que eles são
independentes se eles forem independentes 2 a 2; 3 a 3;.....;n a n.
 Isto é, se as igualdades abaixo forem verificadas:
)().().....().().()......(
)().().()(
)().().()(
)().()(
)().()(
132121
1212
321321
11
2121
nnn
nnnnnn
nnnn
APAPAPAPAPAAAP
APAPAPAAAP
APAPAPAAAPAPAPAAP
APAPAAP








INDEPENDÊNCIA ESTATÍSTICAINDEPENDÊNCIA ESTATÍSTICA
 Exemplo: Em uma caixa temos 10 peças, das quais 4 são
defeituosas. São retiradas duas peças, uma após a outra, com
reposição. Calcular a probabilidade de ambas serem boas.
A = {a primeira peça é boa}
B = { a segunda peça é boa}
)/()(
25
9
10
6
.
10
6
)().()(
ABPBP
BPAPBAP


30/06/2010
20
INDEPENDÊNCIA ESTATÍSTICAINDEPENDÊNCIA ESTATÍSTICA
 Exemplo: Sendo ΩΩ = {1, 2, 3, 4} um espaço amostral equiprovável
e A = {1, 2}; B = {1, 3} e C = {1, 4} três eventos de ΩΩ. Verifique se
os eventos A, B e C são independentes.
 Solução:
tes.independen são não C e B A, eventos os Logo,
)(
8
1
2
1
.
2
1
.
2
1
)().().(
:que se-Constata
4
1
)(;
2
1
)(;
2
1
)(;
2
1
P(A) C e B A, Para
:que temostesindependen sejam eventos os que Para
4
1
2
1
.
2
1
)().()(;
2
1
)(;
2
1
P(B) C e B Para
4
1
2
1
.
2
1
)().()(;
2
1
)(;
2
1
P(A) C eA Para
4
1
2
1
.
2
1
)().()(;
2
1
)(;
2
1
P(A) B eA Para
CBAPCPBPAP
CBAPCPBP
CPBPCBPCP
CPAPCAPCP
BPAPBAPBP





TEOREMA DE BAYESTEOREMA DE BAYES
 Sejam A1, A2, A3,....., An, n eventos mutuamente exclusivos tais
que A1 U A2 U ..... U An = ΩΩ.. SejamSejam P(AP(Aii)) asas probabilidadesprobabilidades
conhecidasconhecidas dosdos váriosvários eventos,eventos, ee BB umum eventoevento qualquerqualquer dede ΩΩ
taltal queque conhecemosconhecemos todastodas asas probabilidadesprobabilidades condicionaiscondicionais
P(B/AP(B/Aii)).. Então,Então, parapara cadacada “i”,“i”, teremosteremos::
 O resultado acima é bastante importante, pois, como vimos,
relaciona probabilidades “a priori” P(Ai) com probabilidades “a
posteriori” P(Ai/B), probabilidade Ai depois que ocorrer B.
)/()(....)/()()/()(
)/()(
)/(
2211 nn
ii
i ABPAPABPAPABPAP
ABPAP
BAP


30/06/2010
21
TEOREMA DE BAYESTEOREMA DE BAYES
 Exemplo: Suponhamos a seguinte configuração.
 Escolheu-se uma urna ao acaso e dela extraiu-se uma
bola ao acaso, verificando-se que a bola é branca. Qual a
probabilidade da bola ter vindo da urna 2? Da 3?
Urnas
Cores
u1 u2 u3
Pretas 3 4 2
Brancas 1 3 3
Vermelhas 5 2 3
TEOREMA DE BAYESTEOREMA DE BAYES
 Solução:
59
27
)/()()/()()/()(
)/()(
)/(
59
24
8
1
.
3
1
3
1
.
3
1
9
1
.
3
1
3
1
.
3
1
)/(
)/()()/()()/()(
)/()(
)/(
;
8
3
)/( ;
3
1
9
3
)/( ;
9
1
)/(
;
3
1
)( ;
3
1
)( ;
3
1
)(
332211
33
3
2
332211
22
2
321
321










ubrPuPubrPuPubrPuP
ubrPuP
bruP
bruP
ubrPuPubrPuPubrPuP
ubrPuP
bruP
ubrPubrPubrP
uPuPuP
30/06/2010
22
PRINCÍPIO DA MULTIPLICAÇÃOPRINCÍPIO DA MULTIPLICAÇÃO
 Seja ΩΩ um espaço amostral finito e equiprovável e A um
determinado evento ou seja, um subconjunto de ΩΩ. A probabilidade
P(A) de ocorrência do evento A será calculada pela fórmula:
 A solução do problema é possível desde que possamos determinar
n(A) (número de elementos do evento A - resultados favoráveis), e n
(número de elementos do espaço amostral - resultados possíveis).
 Quando o problema for simples (lançamento de um dado e observar
o valor, lançamento de uma moeda e observar a face, ....) é possível
estabelecer o espaço amostral e a probabilidade de eventos ocorrer
de forma relativamente simples e intuitiva.
 Porém, em situações mais complexas, o número de resultados torna-
se relativamente grande para permitir uma listagem.
n
An
AP
)(
)( 
PRINCÍPIO DA MULTIPLICAÇÃOPRINCÍPIO DA MULTIPLICAÇÃO
 Exemplo:Exemplo:
 SuponhaSuponha queque queiramosqueiramos adquiriradquirir umum automóvelautomóvel
disponíveisdisponíveis nasnas seguintesseguintes corescores::
 Vermelho,Vermelho, azul,azul, preto,preto, brancobranco..
 ExistemExistem trêstrês tipostipos dede modelosmodelos::
 QuatroQuatro portas,portas, duasduas portas,portas, peruaperua..
 QuaisQuais sãosão osos possíveispossíveis resultadosresultados dede modelosmodelos queque
podemospodemos obter?obter?
30/06/2010
23
PRINCÍPIO DA MULTIPLICAÇÃOPRINCÍPIO DA MULTIPLICAÇÃO
 Exemplo:Exemplo:
 QuaisQuais sãosão osos possíveispossíveis resultadosresultados queque podemospodemos obter?obter?
 ComoComo podepode--sese observar,observar, existemexistem 44 XX 33 == 1212 resultadosresultados
possíveispossíveis..
Modelo
Cor
Quatro Portas Duas Portas Perua
Azul Azul 
Quatro Portas
Azul
Duas Portas
Azul 
Perua
Vermelho Vermelho
Quatro Porta
Vermelho 
Duas Portas
Vermelho
Perua
Preto Preto
Quatro Portas
Preto
Duas Portas
Preto
Perua
Branco Branco
Quatro Portas
Branco 
Duas Portas
Branco
Perua
PRINCÍPIO DA MULTIPLICAÇÃOPRINCÍPIO DA MULTIPLICAÇÃO
 SoluçãoSolução geralgeral::
 DadosDados doisdois experimentosexperimentos quaisquer,quaisquer, ondeonde oo primeiroprimeiro comportacomporta
qualquerqualquer umum dosdos “a”“a” resultadosresultados possíveis,possíveis, ee oo segundosegundo admiteadmite
qualquerqualquer umum dosdos “b”“b” resultadosresultados possíveispossíveis..
 SupondoSupondo queque possapossa ocorrerocorrer qualquerqualquer combinaçãocombinação dosdos doisdois resultadosresultados
possíveis,possíveis, entãoentão oo númeronúmero totaltotal dede resultadosresultados dosdos doisdois experimentosexperimentos éé
dadodado porpor::
a x ba x b
 EsseEsse resultadoresultado geralmentegeralmente éé denominadodenominado “princípio“princípio dada multiplicação”multiplicação”..
 ExemplosExemplos::
 JogandoJogando--sese duasduas moedasmoedas –– cadacada umauma podepode apresentarapresentar doisdois
resultados,resultados, assimassim temostemos ((22 xx 22 == 44))..
 JogaJoga--sese doisdois dadosdados –– cadacada dadodado podepode apresentarapresentar 66 resultadosresultados
possíveis,possíveis, assimassim temostemos ((66 xx 66)) == 3636..
 SuponhaSuponha queque hajahaja cincocinco candidatoscandidatos dodo PartidoPartido RepublicanoRepublicano nasnas
préviasprévias parapara aa eleiçãoeleição presidencialpresidencial dosdos EUAEUA ee seisseis dodo PartidoPartido
democratademocrata.. Então,Então, oo númeronúmero dede parespares possíveispossíveis dede candidatoscandidatos nana
eleiçãoeleição geralgeral éé ((55 XX 66)) == 3030..
30/06/2010
24
AMOSTRAGEM COM REPOSIÇÃOAMOSTRAGEM COM REPOSIÇÃO
 DefiniçãoDefinição:: nana amostragemamostragem comcom reposição,reposição, oo elementoelemento
escolhidoescolhido éé devolvidodevolvido àà população,população, podendopodendo serser escolhidoescolhido
novamentenovamente..
 RegraRegra GeralGeral::
 SeSe estamosestamos realizandorealizando umum processoprocesso dede amostragem,amostragem, ondeonde
podemospodemos escolherescolher “n”“n” objetos,objetos, dede umauma populaçãopopulação dede “m”“m”
resultadoresultado possíveis,possíveis, desdedesde queque repomosrepomos oo objetoobjeto escolhidoescolhido nana
população,população, podemospodemos obterobter mmnn maneirasmaneiras distintasdistintas dede selecionarselecionar
osos objetosobjetos..
AMOSTRAGEM COM REPOSIÇÃOAMOSTRAGEM COM REPOSIÇÃO
 ExemploExemplo::
 SuponhaSuponha queque vocêvocê disponhadisponha dede cincocinco gravatasgravatas parapara seremserem escolhidasescolhidas..
CadaCada diadia dada semanasemana vocêvocê devedeve escolherescolher umauma aoao acaso,acaso, ee devedeve reporrepor
juntamentejuntamente comcom asas demaisdemais nono fimfim dodo diadia..
 DeDe quantasquantas maneirasmaneiras podempodem serser escolhidasescolhidas asas gravatasgravatas ememumauma
semana?semana?
 QualQual aa probabilidadeprobabilidade dede serser escolhidaescolhida aa mesmamesma gravatagravata todostodos osos dias?dias?
 DadoDado queque existeexiste 7878..125125 resultadosresultados possíveis,possíveis, ee apenasapenas cincocinco dede serser
escolhidaescolhida aa mesmamesma gravatagravata dadosdados osos diasdias
Segunda-feira (5)
Terça-feira (5)
Quarta-feira (5)
Quinta-feira (5) = 5x5x5x5x5x5x5=57=78.125
Sexta-feira (5)
Sábado (5)
Domingo (5)
5/78.125 = 0,000064 = 6,4x10 -5
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25
AMOSTRAGEM COM REPOSIÇÃOAMOSTRAGEM COM REPOSIÇÃO
 ExemplosExemplos::
 LançamentoLançamento dede umauma moedamoeda dozedoze vezesvezes ee observarobservar asas
facesfaces ocorridasocorridas::

2 resultados possíveis, 12 vezes = 22 resultados possíveis, 12 vezes = 212 12 = 4096.= 4096.
 LançamentoLançamento dede umum dadodado cincocinco vezesvezes::
6 resultados possíveis, 5 vezes = 66 resultados possíveis, 5 vezes = 65 5 = 7776.= 7776.
AMOSTRAGEM SEM REPOSIÇÃOAMOSTRAGEM SEM REPOSIÇÃO
 DefiniçãoDefinição:: nana amostragemamostragem semsem reposição,reposição, oo elemento,elemento, umauma
vezvez escolhido,escolhido, nãonão éé devolvidodevolvido àà população,população, nãonão podendopodendo serser
escolhidoescolhido novamentenovamente..
 RegraRegra GeralGeral::
 SeSe estamosestamos realizandorealizando umum processoprocesso dede amostragem,amostragem, ondeonde
podemospodemos escolherescolher “n”“n” objetos,objetos, dede umauma populaçãopopulação dede “m”“m”
resultadoresultado possíveis,possíveis, desdedesde queque nãonão repomosrepomos oo objetoobjeto escolhidoescolhido
nana população,população, podemospodemos obterobter n(nn(n--11)(n)(n--22)(n)(n--33))..........xx33xx22xx11
maneirasmaneiras distintasdistintas dede selecionarselecionar osos objetosobjetos.. DeDe modomodo
equivalente,equivalente, podemospodemos obterobter oo númeronúmero dede resultadosresultados possíveis,possíveis,
utilizandoutilizando::
n!n!
30/06/2010
26
AMOSTRAGEM SEM REPOSIÇÃOAMOSTRAGEM SEM REPOSIÇÃO
 ExemploExemplo::
 SuponhaSuponha queque vocêvocê disponhadisponha dede setesete camisascamisas parapara seremserem escolhidasescolhidas..
CadaCada manhãmanhã escolheescolhe umauma ee vesteveste.. NoNo finalfinal dodo dia,dia, aoao invésinvés dede
devolverdevolver aa camisacamisa aoao armário,armário, colocacoloca--aa parapara lavarlavar (a(a lavagemlavagem dede
rouparoupa ocorreocorre apenasapenas umauma vezvez porpor semana)semana)..
 DeDe quantasquantas maneirasmaneiras podempodem serser escolhidasescolhidas asas camisascamisas emem umauma
semana?semana?
Segunda-feira (7)
Terça-feira (6)
Quarta-feira (5)
Quinta-feira (4) = 7x6x5x4x3x2x1=7!=5.040
Sexta-feira (3)
Sábado (2)
Domingo (1)
AMOSTRAGEM SEM REPOSIÇÃOAMOSTRAGEM SEM REPOSIÇÃO
ARRANJOSARRANJOS
 DefiniçãoDefinição:: oo númeronúmero dede arranjosarranjos dede nn objetosobjetos tomadostomados jj dede cadacada vezvez
representarepresenta oo númeronúmero dede escolhasescolhas distintasdistintas possíveispossíveis dede jj objetosobjetos dede
umum grupogrupo nn.. EsteEste procedimentoprocedimento éé utilizadoutilizado quandoquando cadacada ordenaçãoordenação
diferentediferente dosdos objetosobjetos escolhidosescolhidos éé contadacontada separadamente,separadamente, ouou seja,seja,
quandoquando oo ordenamentoordenamento dosdos objetosobjetos tornatorna--sese relevanterelevante..
 PodemosPodemos representarrepresentar porpor::
)!(
!
jn
n
A jn 

30/06/2010
27
AMOSTRAGEM SEM REPOSIÇÃOAMOSTRAGEM SEM REPOSIÇÃO
ARRANJOSARRANJOS
 ExemploExemplo::
 SuponhaSuponha queque vocêvocê disponhadisponha dede dezdez camisascamisas parapara seremserem escolhidasescolhidas
durantedurante umauma semanasemana.. DeDe quantasquantas maneirasmaneiras distintasdistintas vocêvocê podepode
escolherescolher asas camisascamisas parapara osos setesete diasdias dada semana?semana? (considerando(considerando aa
escolhaescolha semsem reposição)reposição)..
Segunda-feira (10)
Terça-feira (9)
Quarta-feira (8)
Quinta-feira (7) = 10x9x8x7x6x5x4=604.800
Sexta-feira (6)
Sábado (5)
Domingo (4)
800.604
123
12345678910
!3
!10
)!710(
!107
10 


A
AMOSTRAGEM SEM REPOSIÇÃOAMOSTRAGEM SEM REPOSIÇÃO
ARRANJOSARRANJOS
 ExemploExemplo:: DeDe quantasquantas maneirasmaneiras podemospodemos escolherescolher trêstrês
letrasletras dede umum conjuntoconjunto dede cincocinco letras,letras, dede modomodo queque aa
ordemordem dosdos elementoselementos sejaseja relevante?relevante?
60
2
120
)12(
12345
!2
!5
)!35(
!55
3 


A
30/06/2010
28
AMOSTRAGEM SEM REPOSIÇÃOAMOSTRAGEM SEM REPOSIÇÃO
COMBINAÇÕESCOMBINAÇÕES
 DefiniçãoDefinição:: oo númeronúmero dede combinaçõescombinações dede nn objetosobjetos tomadostomados jj
dede cadacada vezvez representarepresenta oo númeronúmero dede escolhasescolhas distintasdistintas dede jj
objetosobjetos dede umum grupogrupo dede nn objetosobjetos.. EsteEste procedimentoprocedimento éé
utilizadoutilizado quandoquando aa ordemordem dosdos objetosobjetos nono grupogrupo tornatorna--sese
irrelevanteirrelevante..
 PodemosPodemos representarrepresentar porpor::
!)!(
!
jjn
n
Cnj 

AMOSTRAGEM SEM REPOSIÇÃOAMOSTRAGEM SEM REPOSIÇÃO
COMBINAÇÕESCOMBINAÇÕES
 ExemploExemplo:: DeDe quantasquantas maneirasmaneiras podemospodemos escolherescolher trêstrês letrasletras
dede umum conjuntoconjunto dede cincocinco letras,letras, dede modomodo queque aa ordemordem dosdos
elementoselementos sejaseja irrelevante?irrelevante?
10
12
120
)123)(12(
12345
!3!2
!5
!3)!35(
!55
3 


C
30/06/2010
29
EXERCÍCIOSEXERCÍCIOS
 11)) ConsidereConsidere oo jogojogo dada megasenamegasena queque consisteconsiste emem escolherescolher 66
dezenasdezenas dentredentre asas 6060 dezenasdezenas disponíveisdisponíveis..
–– A)A) DetermineDetermine oo espaçoespaço amostralamostral (conjunto(conjunto dede todastodas asas
combinaçõescombinações possíveis)possíveis)..
–– B)B) QualQual aa probabilidadeprobabilidade dede umauma apostaaposta serser premiadapremiada..
 22)) SuponhaSuponha queque numnum lotelote comcom 2020 peçaspeças existamexistam cincocinco peçaspeças
defeituosasdefeituosas.. EscolhendoEscolhendo quatroquatro peçaspeças dodo lotelote aoao acaso,acaso, dede
modomodo queque aa ordemordem dosdos elementoselementos sejaseja irrelevantesirrelevantes..
–– A)A) QualQual oo númeronúmero dede amostrasamostras comcom quatroquatro elementoselementos
podemospodemos extrairextrair dodo lote?lote?
–– B)B) CalculeCalcule aa probabilidadeprobabilidade dede serser escolhidaescolhida duasduas peçaspeças
defeituosasdefeituosas nana amostraamostra..
EXERCÍCIOSEXERCÍCIOS
 Suponha um exame com 20 questões do tipo múltipla
escolha, sobre um assunto a respeito do qual o candidato
nada sabe. Cada questão tem cinco chance. Qual é a
probabilidade de acertar “no paltpite” todas as questões.
 Suponha que você queira adivinhar o número da placa do
carro de um amigo. Cada placa consiste de três letras e
três algarismos (ADM 234). Qual a probabilidade de você
acertar o número da placa?
 Se em uma sorveteria existem 15 sabores diferentes de
sorvete, de quantas maneiras podemos formas um copo
duplo? Qual a probabilidade de coincidir os sabores?
30/06/2010
30
Variável AleatóriaVariável Aleatória
Variável AleatóriaVariável Aleatória
 DefiniçãoDefinição::
 SejaSeja EE umum experimentoexperimento ee ΩΩ oo espaçoespaço amostralamostral associadoassociado
aoao experimentoexperimento.. UmaUma funçãofunção XX:: ΩΩ emem RR queque associaassocia
cadacada elementoelemento ss ЄЄ ΩΩ dodo espaçoespaço amostralamostral umum valorvalor xx ЄЄ RR
éé denominadadenominada umauma variávelvariável aleatóriaaleatória..s X(s)
Ω
R
30/06/2010
31
Variável Variável AleatóriaAleatória
 Formalmente,Formalmente, umauma variávelvariável aleatóriaaleatória éé umauma funçãofunção queque associaassocia
elementoselementos dodo espaçoespaço amostralamostral aoao conjuntoconjunto dede númerosnúmeros reaisreais..
 ExperimentoExperimento:: LançarLançar umauma moedamoeda duasduas vezesvezes..
 EventoEvento:: númeronúmero dede coroascoroas obtidosobtidos..
VariávelVariável AleatóriaAleatória (X)(X):: númeronúmero dede coroascoroas obtidoobtido nono lançamentolançamento dede 22
moedasmoedas
 = {(cara, cara), (cara, coroa), {coroa, cara), (coroa, coroa)}
0 1 2 xX:
X = 0  Cara, Cara
X = 1  Coroa, Cara  Cara, Coroa
X = 2  Coroa, Coroa
Variável Variável AleatóriaAleatória
Variável 
Aleatória
Contínua
Os possíveis resultados 
abrangem todo um intervalo 
de números reais
Discreta
Os possíveis resultados estão 
contidos em um conjunto 
finito ou infinito enumerável
0 1 2 3 4 ...
número de defeitos em ...
Ex.
0
Ex.
tempo de resposta de ...
30/06/2010
32
VARIÁVEL ALEATÓRIA DISCRETA
 Variável Aleatória Discreta - quando os valores possíveis xi formam um
conjunto finito ou infinito enumerável de pontos da reta.
 Exemplos
 Lança-se uma moeda 10 vezes e anota-se o número de caras. Este número pode ser 0,
1, 2 ...10.
 Em uma pesquisa de mercado feita com 200 pessoas, pergunta-se se estas compram
um determinado produto. O número de pessoas que compram o produto varia de 0 a
200.
 Conta-se o nº de acidentes que ocorrem em uma rodovia num feriado prolongado. O
número de acidentes em questão pode ser: 0, 1, 2… Como não temos um valor que
limite esse número, supomos que o número de acidentes é qualquer inteiro não
negativo.
 Número de chamadas telefônicas que chegam a uma central em um intervalo de
tempo.
 NúmeroNúmero dede itensitens defeituososdefeituosos emem umauma amostraamostra retirada,retirada, aleatoriamente,aleatoriamente, dede umum lotelote..
 NúmeroNúmero dede defeitosdefeitos emem umum azulejoazulejo queque saisai dada linhalinha dede produçãoprodução..
 NúmeroNúmero dede pessoaspessoas queque visitamvisitam umum determinadodeterminado site,site, numnum certocerto períodoperíodo dede tempotempo;;
VARIÁVEL ALEATÓRIA DISCRETA
FUNÇÃO DE PROBABILIDADE
 Definição: a função de probabilidade f(xi) de uma variável aleatória
discreta X, que assume os valores x1, x2, x3, x4,...., xn, é a função que
associa a cada valor específico xi, a probabilidade de sua ocorrência.
 Assim, se X = x1, x2, x3, x4,...., xn são valores possíveis que uma
variável aleatória pode assumir, e f(xi) é a função de probabilidade,
então temos:
f(x1) = Pr(X = x1);
f(x2) = Pr(X = x2);
f(x3) = Pr(X = x3);
.
f(xn) = Pr(X = xn);
)()()( iii xXPxpxf 
30/06/2010
33
VARIÁVEL ALEATÓRIA DISCRETA
FUNÇÃO DE PROBABILIDADE
 Exemplo 1:
 ExperimentoExperimento:: LançarLançar umauma moedamoeda duasduas vezesvezes..
 ΩΩ ={={ca,caca,ca;; ca,coca,co;; co,caco,ca;; co,coco,co}}
 EventoEvento:: númeronúmero dede coroascoroas obtidosobtidos..
VariávelVariável AleatóriaAleatória (X)(X):: númeronúmero dede coroascoroas obtidoobtido nono lançamentolançamento
dede duasduas moedasmoedas..
X 0 1 2
P(x) 1/4 2/4 1/4
P(X = 0) = P(Cara, Cara) =1/4
P(X = 1) = P(Coroa, Cara  Cara, Coroa)= 2/4
P(X = 2) = P(Coroa, Coroa)=1/4
VARIÁVEL ALEATÓRIA DISCRETA
FUNÇÃO DE PROBABILIDADE
0 1 2
1/4
2/4
Pr(x)
Gráfico:
30/06/2010
34
VARIÁVEL ALEATÓRIA DISCRETA
FUNÇÃO DE PROBABILIDADE
 Exemplo 2:
 ExperimentoExperimento:: ObservaObserva--sese oo sexosexo dede criançascrianças emem famíliasfamílias queque
possuempossuem trêstrês filhosfilhos..
Ω ={MMM; MMF; MFM; FMM; MFF; FMF; FFM; FFF}Ω ={MMM; MMF; MFM; FMM; MFF; FMF; FFM; FFF}
 EventoEvento:: númeronúmero dede criançascrianças dodo sexosexo masculinomasculino..
VariávelVariável AleatóriaAleatória (X)(X):: XX == {nº{nº dede criançascrianças dodo sexosexo masculino}masculino}
 PP((XX = 0) = 0) = = PP(FFF) = 1/8(FFF) = 1/8
 PP((XX = 1) = = 1) = PP(MFF (MFF  FMF FMF  FFMFFM) = 3/8) = 3/8
 PP((XX = 2) = = 2) = PP(MMF(MMF  MFMMFM  FMM)=3/8FMM)=3/8
 PP((XX = 3) = = 3) = PP(MMM)=1/8(MMM)=1/8
X 0 1 2 3
P(x) 1/8 3/8 3/8 1/8
VARIÁVEL ALEATÓRIA DISCRETA
FUNÇÃO DE PROBABILIDADE
0 1 2
1/8
3/8
Pr(x)
Gráfico:
3
30/06/2010
35
VARIÁVEL ALEATÓRIA DISCRETA
FUNÇÃO DE PROBABILIDADE
 Exemplo 3:
 ExperimentoExperimento:: LançarLançar umum dadodado..
 ΩΩ ={={11,, 22,, 33,, 44,, 55,, 66}}
 EventoEvento:: númeronúmero obtidoobtido..
VariávelVariável AleatóriaAleatória (X)(X):: númeronúmero obtidoobtido nono lançamentolançamento dede umum
dadodado..
X 1 2 3 4 5 6
P(x) 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6
P(X = 1) = P(1) =1/6 P(X = 4) = P(4)=1/6
P(X = 2) = P(2)= 1/6 P(X = 5) = P(5)=1/6
P(X = 3) = P(3)=1/6 P(X = 6) = P(6)=1/6
VARIÁVEL ALEATÓRIA DISCRETA
FUNÇÃO DE PROBABILIDADE
 Exemplo 3: XX = número obtido no lançamento de um dado comum.= número obtido no lançamento de um dado comum.
x
p(x)
1 2 3 4 5 6 x
f(x)
1 2 3 4 5 6
área total = 1
1/6 1/6
30/06/2010
36
VARIÁVEL ALEATÓRIA DISCRETA
FUNÇÃO DE PROBABILIDADE
)()( ii xXPxp 
0)()(  ii xpxf
Deve satisfazer as seguintes propriedades:
 
i
i
i
i xpxf 1)()(
Dada a função de probabilidade:
VARIÁVEL ALEATÓRIA DISCRETA
FUNÇÃO DE DISTRIBUIÇÃO ACUMULADA
 Definição: a função de distribuição acumulada ou função de
repartição de uma variável aleatória X, em um ponto xi
determina a probabilidade de uma variável assumir um valor
menor ou igual a xi, isto é:
)()( ii xXPxF 
30/06/2010
37
VARIÁVEL ALEATÓRIA DISCRETA
FUNÇÃO DE DISTRIBUIÇÃO ACUMULADA
 xxXPxF ),()(
x
até x
VARIÁVEL ALEATÓRIA DISCRETA
FUNÇÃO DE DISTRIBUIÇÃO ACUMULADA
 Propriedades: a função de repartição de uma variável
aleatória X apresenta as seguintes propriedades:
 1)
 2)
 3)
 4)
 5)
 6)



xx
ii
i
xPxF )()(
0)( F
1)( F
)()()( aFbFbXaP 
)()()()( aXPaFbFbXaP 
)()()()( bXPaFbFbXaP 
30/06/2010
38
VARIÁVEL ALEATÓRIA DISCRETA
FUNÇÃO DE DISTRIBUIÇÃO ACUMULADA
 Propriedades: a função de repartição de uma variável
aleatória X apresenta as seguintes propriedades:
 7)
 8)
 9)

)F(xlimF(x) direita à contínua é )( 0
xx o


xF
0)xP(X para )F(xlimF(x)
zero. de diferente é adeprobabilid a que em
 pontos nos esquerda, à adescontínu é )(
00
xx o


xF
0)()()XP(a
pois, F(a)F(b) é, isto e,decrescent não é )(


aFbFb
xF
VARIÁVEL ALEATÓRIA DISCRETA
FUNÇÃO DE DISTRIBUIÇÃO ACUMULADA
x1 x2 X
F(x1)
F(x2)
F(x)
x3
F(x3)
30/06/2010
39
VARIÁVEL ALEATÓRIA DISCRETA
FUNÇÃO DE DISTRIBUIÇÃO ACUMULADA




















6 se1
6 5 se6
5
5 4 se6
4
4 3 se6
3
3 2 se6
2
2 1 se6
1
1 se0
)(
x
x
x
x
x
x
x
xF
x
F(x)
1 2 3 4 5 6
ExemploExemplo:: XX == númeronúmero obtidoobtido nono lançamentolançamento dede umum dadodado comumcomum..
0
1/6
2/6
3/6
4/6
5/6
1
VARIÁVEL ALEATÓRIA DISCRETA
VALOR ESPERADO



k
i
ii pxXE
1
)(
Valores 
Possíveis Probabilidades
x1
x2
x3
...
xk
p1
p2
p3
...
pk
Total 1
Definição: Esperança matemática, valor esperado ou média de
uma variável aleatória discreta X, como sendo a soma de todos
os produtos possíveis da variável aleatória pela respectiva
probabilidade.
30/06/2010
40
VARIÁVEL ALEATÓRIA DISCRETA
VALOR ESPERADO
Exemplo: num jogo com dados, cada vez que se obtém o número 5
ou6 ganha-se a aposta, caso contrário, perde-se. Define-se, então,
X como uma variável aleatória que representa o número de vezes
que se ganha em 4 lances de um dado.
0
0,05
0,1
0,15
0,2
0,25
0,3
0,35
0,4
0,45
0 1 2 3 4
X
P
(X
 =
 x
)
X P (X = x )
0 0,198
1 0,395
2 0,296
3 0,099
4 0,012
VARIÁVEL ALEATÓRIA DISCRETA
VALOR ESPERADO
CALCULAR O VALOR MÉDIO 
MÉDIA
1
( )
N
i i
i
x P X x

 
OBS: média = 1o momento = esperança matemática =
esperança = valor esperado.
X P (X = x )
0 0,198
1 0,395
2 0,296
3 0,099
4 0,012
333,1012,04099,02395,01198,00)(
1
 

xxxxpxXE
k
i
ii
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41
VARIÁVEL ALEATÓRIA DISCRETA
VALOR ESPERADO
 Propriedades da Média: a média de uma variável aleatória
discreta X apresenta as seguintes propriedades:
 1) A média de uma constante é a própria constante:
 2) Multiplicando uma variável aleatória X por uma constante, sua
média fica multiplicada por essa constante:
 3) A média da soma ou da diferença de duas variáveis aleatórias é a
soma ou diferença das médias:
 
 

k
i
k
i
iii kxpkxpkkEk
1 1
)()()(][
}[)()()(][
1 1
XEkxpxkxpxkkXEkX
k
i
k
i
iiiii 
 

)()(][ YEXEYXE


VARIÁVEL ALEATÓRIA DISCRETA
VALOR ESPERADO
 Propriedades da Média: a média de uma variável aleatória
discreta X apresenta as seguintes propriedades:
 4) Somando-se ou subtraindo uma constante a uma variável
aleatória, a sua média fica somada ou subtraída pela mesma
constante:
 5) A média de uma variável aleatória centrada é zero:
 6) A média do produto de duas variáveis aleatórias independentes é
o produto das médias:
kXEkXE

 )(][
0)()(][ )()()()(  XXXX EXEX 
)().(].[ YEXEYXE 
30/06/2010
42
VARIÁVEL ALEATÓRIA DISCRETA
DESVIOS MÉDIOS
Os desvios da variável aleatória em relação à média é dado por:



n
i
ii xXPx
1
)()( 
0
)( )(.
)(.)(.)()(
1
11
111











n
i
i
n
i
ii
n
i
i
n
i
ii
n
i
ii
xXPxXPx
xXPxXPxxXPx
VARIÁVEL ALEATÓRIA DISCRETA
DESVIOS MÉDIOS
0
0,05
0,1
0,15
0,2
0,25
0,3
0,35
0,4
0,45
0 1 2 3 4
X
P
(X
 =
 x
)
Analisar os desvios da variável aleatória em relação à média
1,333 
X -  X P (X = x )
-1,333 0 0,198
-0,333 1 0,395
0,667 2 0,296
1,667 3 0,099
2,667 4 0,012
0012,0667,2099,0667,1296,0667,0395,0333,0198,0333,1
)()(
1



n
i
ii xXPx 
Exemplo:
30/06/2010
43
VARIÁVEL ALEATÓRIA DISCRETA
DESVIOS MÉDIOS ABSOLUTOS
0
0,05
0,1
0,15
0,2
0,25
0,3
0,35
0,4
0,45
0 1 2 3 4
X
P
(X
 =
 x
)
X P (X = x )
0 0,198
1 0,395
2 0,296
3 0,099
4 0,012
Analisar os desvios absolutos da variável aleatória em relação à média
1,333 
|X -   X P(X = x)
1,333 0 0,198
0,333 1 0,395
0,667 2 0,296
1,667 3 0,099
2,667 4 0,012
7899,0012,0667,2099,0667,1296,0667,0395,0333,0198,0333,1
)()(
1



n
i
ii xXPx 
VARIÁVEL ALEATÓRIA DISCRETA
VARIÂNCIA
Valores 
possíveis Probabilidades
x1
x2
x3
...
xk
p1
p2
p3
...
pk
Total 1



k
i
ii pxXV
1
22 .)()( 
22 )()(  XEXV



k
j
jj pxXE
1
22 )(onde:
)()( XVarXDP 
Desvio padrão:
2][)( XXEXV 
30/06/2010
44
VARIÁVEL ALEATÓRIA DISCRETA
VARIÂNCIA
Exemplo: X: o valor de um dado
5,3
6
1
6
6
1
5
6
1
4
6
1
3
6
1
2
6
1
1)()(
1


n
i
ii xXPxXE
92,2)5,3(67,15)(
67,15
6
1
)6(
6
1
)5(
6
1
)4(
6
1
)3(
6
1
)2(
6
1
)1()(
)]([)()(
2
2222222
22



XVar
XE
XEXEXVar
xi 1 2 3 4 5 6
P(X = xi) 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6
VARIÁVEL ALEATÓRIA DISCRETA
VARIÂNCIA
0
0,05
0,1
0,15
0,2
0,25
0,3
0,35
0,4
0,45
0 1 2 3 4
X
P
(X
 =
 x
)
X P (X = x )
0 0,198
1 0,395
2 0,296
3 0,099
4 0,012
Analisar a Variância da variável aleatória em relação à média
1,333 
(X -   X P (X = x )
1,777 0 0,198
0,111 1 0,395
0,445 2 0,296
2,779 3 0,099
7,113 4 0,012
Desvio Padrão () é a raiz quadrada da Variância
8878,0012,0113,7099,0779,2296,0445,0395,0111,0198,0777,1
)()(
1
22



n
i
ii xXPx 
9422,08878,0)()(
1
2  

n
i
ii xXPx 
30/06/2010
45
VARIÁVEL ALEATÓRIA DISCRETA
VARIANCIA
 Propriedades da Variância: a variância de uma variável
aleatória discreta X apresenta as seguintes propriedades:
 1) A variância de uma constante é igual a zero:
 2) Multiplicando uma variável aleatória X por uma constante, sua
variância fica multiplicada pelo quadrado dessa constante:
 3) A variância da soma ou da diferença de duas variáveis aleatórias
independentes é a soma das respectivas variâncias:
 4) Somando-se ou subtraindo-se uma constante à uma variável
aleatória, sua variância não se altera:
0])[(])[( 22)(
2
)(  kkEkE kk 
)()(][ 222 YXYX  

2
)(
22
)(
22
)(
2
)( ])[(])[( kXkXkXkX kXEkkXE  
)()()(][ 2222 XkXkX  

VARIÁVEL ALEATÓRIA DISCRETA
COVARIÂNCIA E COEFICIENTE DE CORRELAÇÃO
 Se X e Y são variáveis aleatórias discretas, temos:
 1) Covariância:
 2) Coeficiente de Correlação:
)])([( YiXiXY YXECov  
YXXY XYECov  ][
YX
YX
XY
XYE

  ][
11  XY
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46
VARIÁVEL ALEATÓRIA DISCRETA
COVARIÂNCIA E COEFICIENTE DE CORRELAÇÃO
 Exemplo: Se X e Y são variáveis aleatórias discretas, temos:
 CalcularCalcular aa CovariânciaCovariância ee aa correlaçãocorrelação entreentre xx ee yy..
 SoluçãoSolução:: EncontraEncontra--sese aa distribuiçãodistribuição marginalmarginal entreentre XX ee YY::
Y
X
-3 2 4
1 0,1 0,2 0,2
3 0,3 0,1 0,1
Y -3 2 4
P(y) 0,4 0,3 0,3
X 1 3
P(x) 0,5 0,5
VARIÁVEL ALEATÓRIA DISCRETA
COVARIÂNCIA E COEFICIENTE DE CORRELAÇÃO
 SoluçãoSolução::
6,0)3,0.(4)3,0.(2)4,0.(3)(
0,2)5,0.(3)5,0.(1)(
1
1






k
i
iiy
k
i
iix
pyYE
pxXE


6,9)3,0()4()3,0()2()4,0()3()()(
0,5)5,0()3()5,0()1()()(
222
1
22
22
1
22






k
i
ii
k
i
ii
pyYE
pxXE
1)0,2(0,5][ 2)(
22
)(  XX XE 
24,9)6,0(6,9][ 2)(
22
)(  XX XE 
12 )()(  XX  04,3
2
)()(  YY 
30/06/2010
47
VARIÁVEL ALEATÓRIA DISCRETA
COVARIÂNCIA E COEFICIENTE DE CORRELAÇÃO
 SoluçãoSolução::
01,0)4(31,0)2(32,0)3(32,0)4(12,0)2(11,0)3(1
),()(
1

 

k
i
JiJi YXpYXXYE
2,1)6,0)(2(0
][


XY
YXXY
Cov
XYECov 
39,0
)04,3)(1(
2,1][ 
YX
YX
XYXY
XYE
Corr


VARIÁVEL ALEATÓRIA DISCRETA
COVARIÂNCIA E COEFICIENTE DE CORRELAÇÃO
 ExercícioExercício::
 ConsidereConsidere aa seguinteseguinte distribuiçãodistribuição conjuntaconjunta dede XX ee YY::
–– A)A) acharachar asas distribuiçõesdistribuições marginaismarginais dede XX ee YY;;
–– B)B) calcularcalcular E[X],E[X], E[Y]E[Y] ee EE[XY][XY];;
–– C)C) calcularcalcular covariânciacovariância entreentre XX ee YY;;
–– D)D) calcularcalcular aa variânciavariância dede XX ee dede YY;;
–– E)E) calcularcalcular aa correlaçãocorrelação entreentre XX ee YY..
Y
X
-2 -1 4 5
1 0,1 0,2 0 0,3
2 0,2 0,1 0,1 0
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48
MODELOS DE DISTRIBUIÇÃO DISCRETA
DISTRIBUIÇÃO DE BERNOULLI
 Suponha um experimento E, cujo resultado pode ser um sucesso (se
acontecer o evento que nosinteressa) ou um fracasso (se o evento
não se realiza).
 Definimos a variável aleatória discreta X como sendo:
 x1 = 1 (sucesso); x2 = 0 (fracasso)
 P(X) p(x1) = p p(x2) = 1-p = q
 Dizemos que esta variável, assim definida, tem uma distribuição de
“Bernoulli”.
 Propriedades:
 Média:
 Variância:
pqppxXE
k
i
ii  

.0.1)(
1

qpppppXEXV .)1()()( 222  
MODELOS DE DISTRIBUIÇÃO DISCRETA
DISTRIBUIÇÃO DE BERNOULLI
 Exemplo:
 Experimento: Lançar uma moeda e observar sua face.
 Evento: ocorrer cara.
 Definimos a variável aleatória discreta X como sendo:
 x1 = 1 (sucesso = cara); x2 = 0 (fracasso = coroa)
 P(X) p(x1) = p=1/2 p(x2) = 1-p = q =1-1/2 = 1/2
 Propriedades:
 Média:
 Variância:
2
1
2
1
.1
2
1
.0)(
1
 

k
i
ii pxXE
4
1
2
1
.
2
1
.)1()()( 222  qpppppXEXV 
30/06/2010
49
MODELOS DE DISTRIBUIÇÃO DISCRETA
DISTRIBUIÇÃO BINOMIAL
 Considere as seguintes hipóteses:
 1) n provas independentes e do mesmo tipo são realizadas;
 2) cada prova admite dois resultados – sucesso ou fracasso;
 3) a probabilidade de sucesso em cada prova é p e de fracasso é 1-p
= q.
 Definindo a variável aleatória X o número de sucesso das n provas.
Assim, X pode tomar os números 0, 1, 2, 3,....,xi.
 Fazendo o sucesso corresponder a 1, e fracasso a 0, temos:
 X(0) = P(X=0) temos uma sequência de zero sucesso e n fracassos;
 X(1) = P(X=1) temos uma sequência de um sucesso e n-1 fracassos;
 X(2) = P(X=2) temos uma sequência de dois sucessos e n-2
fracassos;
 X(x) = P(X=xi) temos uma sequência de x sucessos e n-x fracassos;
MODELOS DE DISTRIBUIÇÃO DISCRETA
DISTRIBUIÇÃO BINOMIAL
 Cada sequência terá probabilidade:
 Propriedades:
 De acordo com as hipóteses definidas acima, verificamos que o
modelo binomial é um múltiplo do modelo de Bernoulli, assim temos:
 Média:
 Variância:
xnx pp
x
n
xP 


 )1()( xnx qp
x
n
xP 


)(
nppxnXE
k
i
ii  
 1
)(
qpnppnppnXEnXV ..)]1([][])([)( 222  
30/06/2010
50
MODELOS DE DISTRIBUIÇÃO DISCRETA
DISTRIBUIÇÃO BINOMIAL
 Exemplo:
 Uma moeda é lançada 8 vezes. Encontre a probabilidade de:
 A) ocorrer 5 caras;
 B) ocorrer pelo menos 1 cara;
 C) ocorrer no máximo 2 caras;
 D) Calcule a média e a variância da distribuição.
MODELOS DE DISTRIBUIÇÃO DISCRETA
DISTRIBUIÇÃO BINOMIAL
 Solução:
 N=8, p=1/2 e (1-p)=q=1/2
 A)
 B)
 C)
 D)
 Média:
 Variância:
32
7
2
1
2
1
5
8
)5(
585














XP
256
255
2
1
1)0(1)1(
8




 XPXP
256
37
256
28
256
8
256
1
2
1
2
1
2
8
2
1
2
1
8
2
1
)2()1()0()2(
282188




























XPXPXPXP
4
2
1
.8.  pnx
2
2
1
.
2
1
.8..2  qpn
x

30/06/2010
51
MODELOS DE DISTRIBUIÇÃO DISCRETA
DISTRIBUIÇÃO BINOMIAL
 Exercícios:
 1) Uma moeda é lançada 10 vezes. Encontre a probabilidade de:
 A) ocorrer 6 caras;
 B) ocorrer pelo menos 2 cara;
 C) não ocorrer nenhuma coroa;
 D) ocorrer pelo menos 1 coroa;
 E) Calcule a média e a variância da distribuição.
 2) Em 360 famílias com 4 crianças cada uma, quantas se esperaria
que tivessem;
 A) nenhuma menina;
 B) 3 meninos;
 C) 4 meninos.
MODELOS DE DISTRIBUIÇÃO DISCRETA
DISTRIBUIÇÃO DE POISSON
 Em muitos casos, conhecemos o número de sucesso, porém se torna
difícil de determinarmos o número de fracassos ou o número total de
provas. Sendo assim, o cálculo da probabilidade de i “sucessos” por
meio da função de densidade binomial torna-se impraticável.
 Exemplo:
 Automóveis que passam numa esquina;
 Números de emendas num rolo de barbante;
 Número de filmes que faturam mais de 25 milhões de dólares em um
ano;
 Número de doutorandos que não terminam suas teses a tempo;
30/06/2010
52
MODELOS DE DISTRIBUIÇÃO DISCRETA
DISTRIBUIÇÃO DE POISSON
 AA distribuiçãodistribuição dede PoissonPoisson estáestá associadaassociada aa experiênciasexperiências queque modelammodelam
oo númeronúmero dede ocorrênciasocorrências dede umum eventoevento dentrodentro dede umum determinadodeterminado
intervalointervalo dede tempotempo ouou espaçoespaço..
 Assim, diz-se que uma variável aleatória X tem distribuição de Poisson
com parâmetro λ se sua função de probabilidade é dada pela fórmula:
 Propriedades:
 Média:
 Variância:
!
)(
),(
x
t
etxXP
x
t 
tx  
tx  
2
MODELOS DE DISTRIBUIÇÃO DISCRETA
DISTRIBUIÇÃO DE POISSON
 ExemploExemplo::
 Em média ocorrem 2 chamadas por hora em um determinado
telefone. Calcule a probabilidade de recebermos no máximo 3
chamadas em 2 horas.
 Solução:
22   ttx
)3()2()1(),0()2,3(  XPXPXPXPhXP
!3
)4(
!2
)4(
!1
)4(
!0
)4( 43424140   eeee
4331,01952,01464,00732,00183,0 
30/06/2010
53
MODELOS DE DISTRIBUIÇÃO DISCRETA
DISTRIBUIÇÃO DE POISSON
 ExercíciosExercícios:
 1) Certo posto de bombeiros recebe em média 3 chamadas por dia.
Calcule a probabilidade de:
 A) receber 4 chamadas num dia;
 B) receber 3 ou mais chamadas num dia;
 2) A média de chamadas telefônicas numa hora é 3. Qual a
probabilidade de:
 A) receber exatamente 3 chamadas numa hora;
 B) receber 4 ou mais chamadas em 90 minutos.
 3) Uma loja atende em média 2 clientes por hora. Calcule a
probabilidade de em uma hora
 A) atender exatamente 2 clientes;
 B) atender 3 clientes.
 Propriedades:
 Média:
 Variância:
MODELOS DE DISTRIBUIÇÃO DISCRETA
DISTRIBUIÇÃO HIPERGEOMÉTRICA
 A distribuição hipergeométrica se aplica a situações onde:
 Há N objetos (indivíduos) em uma população;
 A população se divide em dois tipos: M objetos do tipo A e N-M
objetos do tipo B;
 Escolhe-se uma amostra de tamanho n da população;
 Seja X uma variável aleatória igual ao número de objetos tipo A na
amostra. Então, X tem distribuição hipergeométrica com parâmetros
N, M, n.
 A função de probabilidade é representada por:















n
N
xn
MN
x
M
xXP )(
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MODELOS DE DISTRIBUIÇÃO DISCRETA
DISTRIBUIÇÃO HIPERGEOMÉTRICA
 Propriedades:
 A esperança e a variância de X são dadas por:
 Média:
 Variância:
N
nM
XE  )(
1
1)(2






 
N
nN
N
M
N
M
nXEx
MODELOS DE DISTRIBUIÇÃO DISCRETA
DISTRIBUIÇÃO HIPERGEOMÉTRICA
 Exemplo:
 Suponha que 20 livros em uma partida de 200 contenham erros de
impressão. Adquiridos 3 desses livros, qual a probabilidade de um
deles terem erro de impressão?
 N = 200
 M = 20
 N - M=200-20 = 180
 n = 3















n
N
xn
MN
x
M
xXP )(
30/06/2010
55
MODELOS DE DISTRIBUIÇÃO DISCRETA
DISTRIBUIÇÃO HIPERGEOMÉTRICA
 Solução:
 N = 200; M = 20; N - M=200-20=180; n = 3; x = 1 = P(X=1)=?















n
N
xn
MN
x
M
xXP )( 245,0
3
200
2
180
1
20
)1( 












XP
N
nM
XE  )( 3,0
200
20.3
)(  XE
1
1)(2






 
N
nN
N
M
N
M
nXEx 267,01200
3200
200
20
1
200
20
3)(2 






  XEx
VARIÁVEL ALEATÓRIA CONTÍNUA
 Definição: Uma função X, definida sobre oespaço amostral Ω e
assumindo valores num “intervalo de números reais”, é dita uma
variável aleatória contínua. A variável aleatória X será contínua
quando seu contradomínio, ou conjunto de valores possíveis, é
representado por um contínuo de números, ou qualquer intervalo de
números reais. Em geral são variáveis que resultam de algum
processo de mensuração.
 ExemplosExemplos::
 PesoPeso ouou aa alturaaltura dasdas pessoaspessoas dede umauma cidadecidade;;
 AA demandademanda diáriadiária dede arrozarroz emem umum supermercadosupermercado;;
 TempoTempo dede vidavida dede umauma lâmpadalâmpada;;
 TempoTempo dede respostaresposta dede umum sistemasistema computacionalcomputacional;;
 OO diâmetrodiâmetro dede rolamentorolamento dede esferasesferas;;
 RendimentoRendimento dede umum processoprocesso químicoquímico;;
 TempoTempo dede vidavida dede umum componentecomponente eletrônicoeletrônico;;
 ResistênciaResistência dede umum materialmaterial;; etcetc..........
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56
VARIÁVEL ALEATÓRIA CONTÍNUA
 No caso da variável aleatória discreta é possível definir
P(x) (função de probabilidade), como uma função que
associa a cada elemento um número não negativo, P(x)
= P(X = xi), i=1, 2....n, cuja soma é igual a 1.
 Se usarmos o mesmo conceito para a variável aleatória
contínua, não seria possível indagar qual a probabilidade
do i-ésimo valor de X, pois os valores possíveis de X não
são discretamente numeráveis, daí P(xi) não teria
sentido.
VARIÁVEL ALEATÓRIA CONTÍNUA
FUNÇÃO DENSIDADE DE PROBABILIDADE
 Definição: Seja X uma variável aleatória contínua. A
função densidade de probabilidade f(x) é representada
por uma função que satisfaz as seguintes condições:
 a)
 b)
 onde Rx representa o contradomínio de X.
x x 0)( xf
 
xR
1)( dxxf 


 1)( dxxf
f(x)
x
 
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57
VARIÁVEL ALEATÓRIA CONTÍNUA
FUNÇÃO DENSIDADE DE PROBABILIDADE
 Propriedades:
 A área compreendida entre dois valores, a e b, da abscissa x, sob a curva
representativa de f(x), dá a probabilidade da variável pertencer ao intervalo
limitado pelos dois valores. Para um determinado intervalo [a, b] definido
em Rx, temos que:

b
a
dxxfbXaP )()(
f(x)
xa b
VARIÁVEL ALEATÓRIA CONTÍNUA
FUNÇÃO DENSIDADE DE PROBABILIDADE
 Propriedades:
 A probabilidade de qualquer valor específico de X, P(X = x0) = 0,
pois:
 Sendo assim, as probabilidades abaixo relacionadas serão todas
iguais, quando tratar-se de variável aleatória contínua.
P(a≤X≤b) = P(a≤X<b) = P(a<X≤b) = P(a<X<b)
 OBS.: A função f(x) não é uma probabilidade. Somente quando a
função for integrada entre dois limites, ela produzirá uma
probabilidade, que será representada pela área sob a curva da
função entre x = a e x = b para a < b.
0)()(
0
0
0  
x
x
dxxfxXP
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58
VARIÁVEL ALEATÓRIA CONTÍNUA
FUNÇÃO DE DISTRIBUIÇÃO ACUMULADA
 Definição: Dada uma variável aleatória X com função
densidade de probabilidade f(x), podemos definir a sua
função de distribuição acumulada, F(x), como:
 Tem-se que:
 Como , devemos ter sempre ,
 isto é, a área total debaixo da curva de probabilidade
vale sempre 1.
 x. )()(
),()(




x
dxxfxF
xxXPxF
 x. 
)(
)( 


dx
xF
xf
1)( F 


 1)( dxxf
VARIÁVEL ALEATÓRIA CONTÍNUA
VALOR ESPERADO 
 O valor médio ou valor esperado de uma variável
aleatória contínua é determinado por:



 dxxxfXE )()(
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59
VARIÁVEL ALEATÓRIA CONTÍNUA
VARIÂNCIA
 A variância de uma variável aleatória contínua é
determinado por:
ou
Onde
OBS.: o desvio padrão é a raiz quadrada da variância



 dxxfxXV )()()( 22 
22 )()(  XEXV



 dxxfxXE )()( 22
VARIÁVEL ALEATÓRIA CONTÍNUA
 Exemplo 1:
 Seja X uma variável aleatória contínua. Com a seguinte função
densidade de probabilidade:
 a) Como se comporta a função densidade de probabilidade f(x);
 b)b) EncontrarEncontrar F(x)F(x);;
 c)c) QualQual seráserá oo resultadoresultado dede P(P(11//44 << xx << 33//44)?)?
 d)d) EncontreEncontre oo valorvalor MédioMédio;;
 e)e) EncontreEncontre aa variânciavariância..


 
 valores.outrosquaisquer para 0
1x0 para 2
)(
x
xf
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60
VARIÁVEL ALEATÓRIA CONTÍNUA
 Exemplo 1:
 a) Como é possível constatar, f(x) é realmente a função densidade
de probabilidade, pois:
 e
x x 0)( xf  


 12)(
1
0
xdxdxxf
f(x)
2
x1
VARIÁVEL ALEATÓRIA CONTÍNUA
 Exemplo 1:
 b) Encontrar F(x):b) Encontrar F(x):
1 x para 1F(x)
1x0 para x2xdxF(x)
0 x para 0)(
x
0
2




xF
1
x1
F(x)
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61
VARIÁVEL ALEATÓRIA CONTÍNUA
 Exemplo 1:
 c) Qual será o resultado de P(1/4 < x < 3/4)?c) Qual será o resultado de P(1/4 < x < 3/4)?
2
1
2
1
2
3
 x2xdx3/4) x P(1/4
223/4
1/4
4/3
2/1
2 







 
VARIÁVEL ALEATÓRIA CONTÍNUA
 Exemplo 1:
 c) Encontre o valor médio da variável aleatória:c) Encontre o valor médio da variável aleatória:
3
2
3
2
22)()(
1
0
31
0
2
1
0
  


x
dxxxdxxdxxxfxE
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62
VARIÁVEL ALEATÓRIA CONTÍNUA
 Exemplo 1:
 c) Encontre a variância da c) Encontre a variância da v.a.v.a.
18
1
9
4
9
8
2
1
9
4
9
8
218
8
9
8
4
2
9
8
3
8
22
9
4
3
4
2
3
2
)()()(
1
0
2341
0
234
1
0
2
3
1
0
2
1
0
2
22









 




 

 


xxxxxx
dx
xx
xxdx
x
x
xdxxdxxfxxVar 
VARIÁVEL ALEATÓRIA CONTÍNUA
 Exemplo 3:
 Uma variável aleatória tem a seguinte densidade de probabilidade:Uma variável aleatória tem a seguinte densidade de probabilidade:
 PedePede--se:se:
 a) Determine o valor de k;a) Determine o valor de k;
 b) Demonstre a b) Demonstre a f.d.f.d.p graficamente;p graficamente;
 c) Determine a função F(x);c) Determine a função F(x);
 d) Demonstre a função de distribuição acumulada graficamente.d) Demonstre a função de distribuição acumulada graficamente.
 e) Determine a média de X;e) Determine a média de X;
 f) Determine a variância de X. f) Determine a variância de X. 








1 xpara 0
1x0 para 
0 x para 0
)( kxxf
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63
MODELOS DE DISTRIBUIÇÃO CONTÍNUA
DISTRIBUIÇÃO UNIFORME OU RETANGULAR
 A variável aleatória mais simples é a distribuição uniforme ou
retangular, já que f(x) = k (constante). Assim, X é uma variável
uniformemente distribuída sobre o intervalo a e b se sua função
densidade de probabilidade for representada por:
 Cujo gráfico é dado por:








b xpara 0
bxa para 
a x para 0
)( kxf
f(x)
ab
k

 1
ba
MODELOS DE DISTRIBUIÇÃO CONTÍNUA
DISTRIBUIÇÃO UNIFORME OU RETANGULAR
 PodePode--sese determinardeterminar kk porpor geometriageometria elementar,elementar, sabendosabendo--sese queque aa
áreaárea dodo retânguloretângulo éé igualigual aa 11..
 PodemosPodemos determinádeterminá--lolo analiticamenteanaliticamente comocomo::
ab
kkab

 1 1)(
  




a b
a b
abk
--
10)(0f(x)dxf(x)dxf(x)dx1f(x)dx
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64
MODELOS DE DISTRIBUIÇÃO CONTÍNUA
DISTRIBUIÇÃO UNIFORME OU RETANGULAR
 A função de distribuição acumulada F(x) será dada por:A função de distribuição acumulada F(x) será dada por:
 
 

 
 






x b
a
x
b
a
x x
a
a
x
dxxfdxxfdxxfdxxfxF
ab
ax
axkdxxfdxxfdxxfxF
dxxfxF
b xpara 1010)()( )()()(
bxa para )(0)( )()()(
a xpara 0)()(
1
xa
F(x)
b
MODELOS DE DISTRIBUIÇÃO CONTÍNUA
DISTRIBUIÇÃO UNIFORME OU RETANGULAR
 AA médiamédia dada funçãofunção éé dadadada porpor::
2
)(
)(
)(2
))((
2
)(
)(
1
2
)(
22
2
)()(
222222
21
0
ab
xE
ab
abab
ab
ab
abkkakb
kx
xkdxdxxxfxE
b
a







  




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65
MODELOS DE DISTRIBUIÇÃO CONTÍNUA
DISTRIBUIÇÃO UNIFORME OU RETANGULAR
 AA variânciavariância dada funçãofunção éé dadadada porpor::
12
)(
2
3
2)2(
2
)()()()(
2
2
2
3
2222
2
22
ab
kxkx
kx
kdxkxkxkdxxx
kx
kdxxdxxfxxVar
b
a
b
a
b
a
b
a
b
a





 






VARIÁVEL ALEATÓRIA CONTÍNUA
DISTRIBUIÇÃO NORMAL
 É uma das mais importantes distribuições de probabilidades, sendo
aplicada em inúmeros fenômenos e constantemente utilizada para o
desenvolvimento teórico da inferência estatística. É também
conhecida como distribuição de Gauss, Laplace ou Laplace-Gauss.
 Seja X uma variável aleatória contínua. X terá distribuição normal se:
 Em que os parâmetros μ e σ2 representam a média e a variância da
variável aleatória X.
 Utiliza-se a seguinte notação X ~ N(μ, σ2), ou seja, X apresenta
distribuição normal com média μ e variância σ2.





 
x- ,
2
1
)(
2
2
1



X
exf
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66
VARIÁVEL ALEATÓRIA CONTÍNUA
DISTRIBUIÇÃO NORMAL
 O gráfico da função densidade de uma variável aleatória
normalmente distribuída tem a forma de um sino e é simétrica em
relação a média μ.
 Fixando a média, constata-se que o “achatamento” da curva normal
está diretamente ligado ao valor da variância σ2.
f(x)
σ1
σ2
σ1 < σ2
μ
VARIÁVEL ALEATÓRIA CONTÍNUA
VARIÁVEL ALEATÓRIA PADRONIZADA
 A variável Z é dada por:
 Em que X é uma variável normal que apresenta média μ e variância
σ2
 Assim, a média de Z será dada por:
 E a variância de X será dada por:

 XZ
0)(
1
)]()([
1
)( 



  




EXE
X
EZE
1)]([
1
)]([
1
)(
2
2
22




 






XVarXVar
X
VarZVar
30/06/2010
67
VARIÁVEL ALEATÓRIA CONTÍNUA
VARIÁVEL ALEATÓRIA PADRONIZADA
 Então, sua função densidade será dada por:
 Utiliza-se a seguinte notação Z ~ N(0, 1), ou seja, a variável
aleatória padronizada Z tem distribuição normal com média zero e
variância 1.
 As probabilidades da variável aleatória padronizada, ou seja, a área
sobre a curva da distribuição normal estão tabeladas.


xeZ
Z
,
2
1
)(
2
2
1


VARIÁVEL ALEATÓRIA CONTÍNUA
PROPRIEDADES DA DISTRIBUIÇÃO NORMAL
f(x)
μ
φ(Z)
0μ+ σμ- σ 1-1x Z
 1) f(x) é simétrica em relação à origem X = μ ou φ(Z) é
simétrica em relação à origem Z = 0;
 2) f(x) possui um ponto de máximo para X= μ ou φ(Z) possui
um ponto de máximo para Z = 0 e, neste caso, sua ordenada vale:
39,0
2
1
)( 

 Z
μ- 2σ μ+ 2σ -2 2
30/06/2010
68
VARIÁVEL ALEATÓRIA CONTÍNUA
PROPRIEDADES DA DISTRIBUIÇÃO NORMAL
 33)) f(x)f(x) tendetende aa zerozero quandoquando XX tendetende parapara ouou φφ(Z)(Z) tendetende aa zerozero
quandoquando zz tendetende parapara ..
 44)) f(x)f(x) temtem doisdois pontospontos dede inflexãoinflexão cujascujas abscissasabscissas valemvalem μ + σ e μ - σ
ouou φφ(Z)(Z) temtem doisdois pontospontos dede inflexãoinflexão cujascujas abscissasabscissas valemvalem ++11 ee --11..
 55)) QualquerQualquer variávelvariável aleatóriaaleatória normalnormal temtem 6868%% dede chancechance dede estarestar aa
menosmenos dede umum desviodesvio--padrãopadrão dede suasua médiamédia;;
 66)) QualquerQualquer variávelvariável aleatóriaaleatória normalnormal temtem 9595%% dede chancechance dede estarestar aa
menosmenos dede doisdois desviosdesvios padrõespadrões dede suasua médiamédia..
 77)) AA combinaçãocombinação linearlinear dede variáveisvariáveis normaisnormais independentes,independentes, éé tambémtambém
umauma variávelvariável normalnormal..
–– SeSe XX ee YY sãosão vv..aa normais,normais, entãoentão ZZ == aXaX ++ bYbY ++ cc éé tambémtambém umauma vv..aa
normalnormal comcom médiamédia μ(z) = aμ(X) +bμ(Y) + c e variância σ2(z) = a2σ2 (X) b2σ2 (Y)
 8) A soma ou diferença de duas ou mais v.a normais, também é uma
variável aleatória.


VARIÁVEL ALEATÓRIA CONTÍNUA
FUNÇÃO DE DISTRIBUIÇÃO ACUMULADA
 A função de distribuição acumulada de uma v.a normal é dada por:
 A função de distribuição acumulada de uma v.a normal padronizada
é dada por:
 


xeZF
x
Z
,
2
1
)(
2
2
1

 





 
x- ,
2
1
)(
2
2
1x X
exF 


30/06/2010
69
VARIÁVEL ALEATÓRIA CONTÍNUA
FUNÇÃO DE DISTRIBUIÇÃO ACUMULADA
f(x)
a b x





 

b
a
X
ebXaP
2
2
1
2
1
)( 


VARIÁVEL ALEATÓRIA CONTÍNUA
FUNÇÃO DE DISTRIBUIÇÃO ACUMULADA
f(x)
a b x




x
Z
ebZaP
2
2
1
2
1
)(

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70
VARIÁVEL ALEATÓRIA CONTÍNUA
FUNÇÃO DE DISTRIBUIÇÃO ACUMULADA
 AA integralintegral dada funçãofunção dede distribuiçãodistribuição normalnormal nãonão podepode serser calculadacalculada
analiticamente,analiticamente, ee portantoportanto aa probabilidadeprobabilidade indicadaindicada sósó poderápoderá serser
obtida,obtida, aproximadamente,aproximadamente, porpor meiomeio dede integraçãointegração numéricanumérica.. NoNo
entanto,entanto, parapara cadacada valorvalor dede μ e para cada valor de σ, teríamos de
obter P(a<X<b) para diversos valores de a e b.
 Essa tarefa é facilitada através do uso da distribuição normal
padronizada, que possibilita tabelar as probabilidades;
 Há vários tipos de tabelas que nos oferecem as áreas (probabilidades)
sob a curva normal. O tipo mais freqüente é a “Tabela de Faixa
Central”, a qual fornece a área sob a curva normal padrão entre Z = 0
e qualquer outro valor positivo de Z.
 A simetria em torno de Z = 0 nos permite obter a área entre quaisquer
valores de Z (positivos ou negativos).
VARIÁVEL ALEATÓRIA CONTÍNUA
FUNÇÃO DE DISTRIBUIÇÃO ACUMULADA
 AA partirpartir dada origem,origem, podemospodemos calcularcalcular aa áreaárea (probabilidade)(probabilidade) sobresobre aa
curvacurva parapara qualquerqualquer valorvalor dede ZZcc.. Assim,Assim, podemospodemos obterobter::
φ(Z)
0 Zc
1) N(0,~ Zonde )0( cZZP 
Z
P
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VARIÁVEL ALEATÓRIA CONTÍNUA
TABELA DE DISTRIBUIÇÃO NORMAL PADRONIZADA
P
ar
te
 in
te
ir
a 
e 
pr
im
ei
ra
 d
ec
im
al
 d
e 
Z
c
Segunda decimal de Zc
VARIÁVEL ALEATÓRIA CONTÍNUA
TABELA DE DISTRIBUIÇÃO NORMAL PADRONIZADA
P
ar
te
 in
te
ir
a 
e 
pr
im
ei
ra
 d
ec
im
al
 d
e 
Z
c
Segunda decimal de Zc
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VARIÁVEL ALEATÓRIA CONTÍNUA
DISTRIBUIÇÃO NORMAL PADRONIZADA
 Exemplo 1: Calcule a probabilidade de P(0≤ Z ≤1,73)
φ(Z)
0 1,73 Z
P
4582,0)73,10(  ZP
VARIÁVEL ALEATÓRIA CONTÍNUA
DISTRIBUIÇÃO NORMAL PADRONIZADA
 Exemplo 2: Calcule a probabilidade de P(- 1,73 ≤ Z ≤0)
φ(Z)
0-1,73 Z
P
4582,0)73,10()073,1(
SimetriaPor 
 ZPZP
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VARIÁVEL ALEATÓRIA CONTÍNUA
DISTRIBUIÇÃO NORMAL