Equações de Maxwell capitulo-7

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Cap´ıtulo 7
As equac¸o˜es de Maxwell
7.1 As equac¸o˜es de Maxwell e a propagac¸a˜o de
ondas eletromagne´ticas no va´cuo
As leis do eletromagnetismo que vimos ate´ aqui foram leis descobertas empiri-
camente, no laborato´rio, e em sua forma integral sa˜o dadas por
∮
E · dS = q
²0
lei de Gauss
∮
B · dS = 0 lei de Gauss magne´tica
∮
E · dl = − ∂
∂t
∫ ∫
B · dS lei de Faraday
∮
B · dl = µ0I lei de Ampe´re
Se, por um instante, deixamos de lado a lei de Faraday, veremos que, em
situac¸o˜es esta´ticas temos a seguinte imagem:
“A fonte dos campos eletrosta´ticos sa˜o distribuic¸o˜es esta´ticas de carga.”
190
“A fonte dos campos magnetosta´ticos sa˜o correntes.”
Observe que, na˜o fosse pela lei de Faraday, que introduz uma nova fonte de
campo ele´trico (campos magne´ticos dependentes do tempo) ter´ıamos uma teoria
para os fenoˆmenos ele´tricos completamente separada e independente daquela refer-
ente a fenoˆmenos magne´ticos.
A lei de Faraday foi o primeiro passo para unificar a eletricidade e o mag-
netismo, uma vez que nos mostra que existe uma outra fonte de campos ele´tricos,
ale´m das distribuic¸o˜es de cargas, e que esta´ diretamente relacionada aos campos
magne´ticos : - Faraday concluiu que variac¸o˜es do fluxo de campo magne´tico sa˜o
capazes de produzir uma forc¸a eletromotriz e portanto, um campo ele´trico.
Se pararmos agora um momento para refletir, teremos a sensac¸a˜o estranha de
que as equac¸o˜es na˜o esta˜o sime´tricas ! Se um campo magne´tico que varia no tempo
e´ capaz de gerar um campo ele´trico, porque sera´ que um campo ele´trico varia´vel no
tempo na˜o pode gerar um campo magne´tico? Se fosse assim, ter´ıamos uma simetria
nas equac¸o˜es descobertas em laborato´rio para o eletromagnetismo. Haveriam enta˜o
duas fontes para o campo ele´trico: distribuic¸o˜es de cargas e campos magne´ticos
varia´veis no tempo; e tambe´m duas fontes poss´ıveis para o campo magne´tico: cor-
rentes e campos ele´tricos dependentes do tempo.
A pergunta fundamental e´: porque esse efeito na˜o foi observado? Logo chegare-
mos a` resposta dessa pergunta. Antes disso, vamos ver como foi que Maxwell chegou
a essa mesma ide´ia sem usar experimento algum, apenas estudando o conjunto de
equac¸o˜es que ele tinha dispon´ıveis.
Vamos, antes de mais nada, escrever as equac¸o˜es de Maxwell em forma difer-
encial, sabemos que
∮
E · dS =
∫
∇ · EdV
(pelo teorema da divergeˆncia) e
∮
E · dl =
∫ ∫
(∇× E) · dS
(pelo teorema de Stokes). Usando esses teoremas em todas as equac¸o˜es teremos
191
∮
E · dS =
∫
∇ · EdV =
∫
ρ
²0
dV
Que implica em
∇ · E = ρ
²0
lei de Gauss da eletricidade
E tambe´m teremos
∮
B · dS = 0
Que implica em
∇ ·B = 0 lei de Gauss do magnetismo
Assim como, usando Stokes
∮
E · dl = − ∂
∂t
∫ ∫
B · dS
−→
∫
(∇× E) · dS = − ∂
∂t
∫ ∫
B · dS
De onde
∇× E = −∂B
∂t
lei de Faraday
E, finalmente
∮
B · dl = µ0I
−→
∫ ∫
(∇×B) · dS = µ0
∫
j · dS
Que nos fornece
∇×B = µ0j lei de Ampe´re
Agora, ao inve´s de pensarmos em coisas muito abstratas, como a simetria das
equac¸o˜es, vamos considerar algo bem concreto e que sabemos ser verdade desde os
192
primo´rdios de qualquer teoria: a carga e´ conservada.
O que quer dizer que a carga e´ conservada, matematicamente? Existem, na
realidade, duas maneiras completamente distintas de implementar a conservac¸a˜o da
carga:
a) A lei de conservac¸a˜o de cargas e´ GLOBAL. Isto quer dizer que se uma
quantidade de carga desaparece de um lugar e aparece num lugar arbitrariamente
distante, a carga estara´, neste sentido, conservada.
b) A lei de conservac¸a˜o de cargas e´ LOCAL. Se a lei de conservac¸a˜o e´ local,
ela deve obedecer uma equac¸a˜o de continuidade. Por que? Ora, imagine um volume
qualquer arbitra´rio contendo uma densidade volume´trica de cargas ρ.
Figura 7.1: fluxo de carga para fora da superf´ıcie
A lei de conservac¸a˜o LOCAL de cargas nos diz que a carga na˜o desaparece
instantaneamente de um volume para aparecer em outro volume arbitrariamente
distante, mas que a densidade de carga por unidade de volume que desaparece, na˜o
desaparece “de qualquer jeito”. Ela e´ obrigada a atravessar a superf´ıcie que engloba
o volume considerado. Se a densidade de carga desaparece de um volume arbitra´rio,
ela o faz atravessando as fronteiras desse volume, como uma densidade superficial de
corrente. Matematicamente, a lei de conservac¸a˜o local de qualquer quantidade (seja
massa, carga, energia eletromagne´tica, probabilidade, etc...) se exprime atrave´s da
equac¸a˜o de continuidade
193
∂ρ
∂t
= −∇ · j
Onde j e´ a densidade de corrente espec´ıfica de cada caso. Embora a forma de
j varie de caso para caso na F´ısica, a equac¸a˜o da continuidade e´ uma caracter´ıstica
geral da maior parte das leis de conservac¸a˜o em F´ısica.
Como a conservac¸a˜o da carga pode ser deduzida das equac¸o˜es que temos?
∇ · E = ρ
²0
∇ ·B = 0
∇× E = −∂B
∂t
∇×B = µ0j
Podemos, por exemplo, calcular o divergente da u´ltima equac¸a˜o, onde aparece
explicitamente a densidade de corrente. Isto da´
∇ · (∇×B) = µ0∇ · j
Mas, do ca´lculo vetorial sabemos que o divergente do rotacional de qualquer
campo e´ nulo (verifique!). Portanto, Maxwell se encontrou frente a` um dilema
∇ · j = 0
Ou a equac¸a˜o de Ampe`re estava incompleta, ou a conservac¸a˜o local de cargas
na˜o esta´ contida nas equac¸o˜es do eletromagnetismo!! E´ claro que ele optou pela
segunda hipo´tese e descobriu uma maneira de compensar esse efeito. Imagine que
a` equac¸a˜o de Ampe`re adicionemos um termo que depende da variac¸a˜o temporal do
campo ele´trico
+µ0²0
∂E
∂t
Neste caso o divergente da equac¸a˜o de Ampe`re modificada daria
194
∇ · (∇×B) = µ0∇ · j+ µ0²0∂(∇ · E)
∂t
O termo do lado esquerdo da equac¸a˜o e´ nulo e do lado direito vemos que o
u´ltimo termo e´
µ0²0
∂(∇ · E)
∂t
Ora, da lei de Coulomb (Gauss), sabemos que
∇ · E = ρ
²0
Inserindo enta˜o, na expressa˜o anterior temos
µ0²0
∂(∇ · E)
∂t
= µ0
²0
²0
∂ρ
∂t
E a equac¸a˜o de Ampe`re modificada nos daria
0 = µ0∇ · j+ µ0 ²0
²0
∂ρ
∂t
Que implica
∂ρ
∂t
= −∇ · j
Enta˜o compatibilizando as equac¸o˜es do eletromagnetismo com a equac¸a˜o de
conservac¸a˜o local das cargas. Com isso, a equac¸a˜o de Ampe`re se transforma na
chamada equac¸a˜o de Ampe`re-Maxwell, escrita como
∇×B = µ0j+ µ0²0∂E
∂t
equaca˜o de Ampe´re−Maxwell
Isto na˜o so´ conserta as equac¸o˜es com relac¸a˜o a respeitar a conservac¸a˜o local
de cargas como tambe´m proveˆ a simetria da qual esta´vamos sentindo falta: agora
vemos que existem duas fontes de campo eletromagne´tico - as correntes e a variac¸a˜o
temporal do campo ele´trico.
Agora uma pergunta pra´tica se coloca: porque Ampe`re na˜o viu esse termo ao
fazer suas experieˆncias em laborato´rio? A resposta e´ que, a presenc¸a de correntes
domina a gerac¸a˜o do campo magne´tico. O segundo termo, batizado de corrente de
deslocamento de Maxwell e´ quantitativamente muito menor
195
jD = ²0
∂E
∂t
Por isso, na˜o foi percebido por Ampe`re. Podemos no entanto, perceber seu
efeito em situac¸o˜es onde na˜o hajam correntes estaciona´rias como as que veremos nos
exemplos que seguem.
Exerc´ıcios:
Exerc´ıcio 1) Considere um capacitor plano paralelo formado por placas cir-
culares de raio R separados por uma distaˆncia L, como mostra a figura abaixo. A
placa direita do capacitor e´ a placa positiva e ele esta´ sendo carregado por cargas
transportadas por uma corrente i. Considere que, durante o carregamento a carga
se distribua uniformemente sobre as superf´ıcies das placas do capacitor.
Figura 7.2: Capacitor plano de placas circulares
a) Considerando a superf´ıciecircular plana S1 de contorno C e raio ρ, ache
a corrente de deslocamento atrave´s dessa superf´ıcie e o campo magne´tico na curva
ampereana.
Para determinar a corrente de deslocamento atrave´s da superf´ıcie, precisamos
do campo ele´trico dentro do capacitor, que pode ser obtido da seguinte forma
196
E =
σ
²0
n
De modo que
∂E
∂t
=
1
²0
∂σ
∂t
n
Assim, a corrente de deslocamento fica
iD = ²0
∫
∂E
∂t
· ndS = ²0
∫
S1
1
²0
∂ρ
∂t
n · ndS
Ou ainda
iD =
dσ
dt
∫
S1
dS = piρ2
dσ
dt
Utilizando agora a lei de Ampe`re modificada (ou lei de Ampe`re-Maxwell)
∮
B · dl = µ0
∫
j · ndS + µ0²0
∮
∂E
∂t
· ndS
Lembrando que na˜o ha´ nenhuma corrente real atravessando a superf´ıcie S1,
de modo que j = 0 e a primeira integral e´ nula. Obtemos, portanto
∮
B · dl = µ0iD
Como B = Bθˆ e dl = ρdθθˆ, temos
∫ 2pi
0
Bdθˆ · ρdθθˆ = µ0piρ2dσ
dt
Ou ainda
Bρ
∫ 2pi
0
dθ = µ0piρ
2dσ
dt
De modo que B = µ0ρ
2
dσ
dt
, ou vetorialmente
B =
µ0ρ
2
dσ
dt
θˆ
197
Figura 7.3: Placa imersa em campo ele´trico
1)Uma a´rea A = 0, 020m2 esta´ no plano xy e completamente inverso num
campo el/’etrico E na direc¸a˜o z. E varia sinusoidalmente com o tempo com um
per´ıodo T = 4, 0µs e |E| = 800× 103N/C
E = Em cos (ωt)z
a) Ache uma expressa˜o para a corrente de deslocamento
iD = ²0
∫
∂E
∂t
· dS = ²0Em(−ω) sin (ωt)A = −²0EmA2pi
T
sin (ωt)
iD = −(0, 220A) sin 1, 5708× 106s−1t = 220mA sin 1, 6× 10−6s−1t
b) t ≥ 0 em que instantes do tempo iD = 0?
1, 5708× 106 = npi n = 0, 1, 2, , ...
t =
npi
1, 5708× 106s−1 = 0µs, 2µs, 4µs, , ...
Exerc´ıcio 3) Um capacitor de placas paralelas e´ constitui´ıdo por duas placas
circulares de raio R, muito pro´ximas. Uma corrente de 2, 5A esta´ entrando em uma
198
Figura 7.4: Capacitor de placas paralelas
das placas e saindo da outra. Calcule a corrente de deslocamento na regia˜o entre as
placas
ID = ²0
dΦE
dt
(Placas muito pro´ximas implica que o campo e´ uniforme e que e´ nulo fora do
capacitor.)
ΦE = EA
ID = ²0
dΦE
dt
ΦE = EA =
σA
²0
=
Q
²0
−→ ID = ²0
²0
dQ
dt
= ²0A
dQ
dt(²0)
= 2, 5A
3) Mesmo caso do problema anterior, mas aqui R = 3, 0cm. Determine o
campo magne´tico e r = 2, 0cm se a corrente ρ entre as placas e´ 2, 5A.
∮
B · dl = µ0I + ²0µ0ID
B · 2pir = 0 + µ02, 5A r
2
R2
199
B =
µ0
2pi
2, 5
r
R2
= 2× 10−2Tm/A 0, 02
(0, 03)2
× 2, 5A = 1, 11× 10−5T
Menor que o campo magne´tico da Terra.
7.2 A equac¸a˜o de onda
Para deduzir a equac¸a˜o de onda, devemos utilizar o conjunto completo e cor-
reto das equac¸o˜es de Maxwell. As equac¸o˜es na forma diferencial sa˜o mais adequadas
para essa deduc¸a˜o.
Nosso ponto de partida e´, enta˜o
∇ · E = ρ
²0
, ∇× E = −∂B
∂t
∇ ·B = 0 , ∇×B = µ0j+ µ0²0∂E
∂t
No va´cuo
∇ · E = 0 , ∇× E = −∂B
∂t
∇ ·B = 0 , ∇×B = µ0²0∂E
∂t
Para deduzir a equac¸a˜o de onda, precisaremos usar uma identidade vetorial,
como segue
∇× (∇×A) = −∇2A+∇(∇ ·A)
Uma vez de posse dessa identidade, podemos calcular o rotacional da terceira
ou da quarta equac¸a˜o. Vamos trabalhar com o rotacional da quarta equac¸a˜o e deixar
o da terceira como exerc´ıcio
∇× (∇×B) = µ0²0 ∂
∂t
(∇× E)
200
−∇2B+∇(∇ ·B) = µ0²0 ∂
∂t
(∇× E)
Pela segunda das equac¸o˜es de Maxwell temos ∇·B = 0 e pela terceira ∇×E =
−∂B
∂t
Assim temos a equac¸a˜o de onda para o campo magne´tico
∇2B− µ0²0∂
2B
∂t2
= 0
Da mesma forma podemos deduzir uma equac¸a˜o de onda para o campo ele´trico
e ficamos com
∇2B− 1
c2
∂2B
∂t2
= 0
∇2E− 1
c2
∂2E
∂t2
= 0
Aparentemente, essas equac¸o˜es esta˜o desacopladas, o que implica imediata-
mente que a propagac¸a˜o espac¸o-temporal dos dois campos sa˜o independentes. A
raza˜o disto e´ que obedecer as equac¸o˜es de onda acima na˜o necessariamente quer
dizer que as soluc¸o˜es obedecem tambe´m a`s equac¸o˜es de Maxwell.
Vamos ver como isso funciona. A soluc¸a˜o geral de uma equac¸a˜o de onda da
forma acima e´
B(r, t) = Re(B0e
i(k·r−ωt))
E(r, t) = Re(E0e
i(k·r−ωt))
Onde a relac¸a˜o entre k e ω deve ser determinada por substituic¸a˜o na equac¸a˜o
de onda.
Dica matema´tica importante: Verifique que
∇× E = k× E ∇×B = k×B
e
201
∇ · E = k · E ∇ ·B = k ·B
Se substituirmos as soluc¸o˜es gerais para E(r, t) e B(r, t) nas equac¸o˜es de
Maxwell no va´cuo, obteremos
k · E = 0 k ·B = 0
k× E = +ωB k×B = −ω
c
E
Das duas primeiras equac¸o˜es vemos que tanto E como B devem ser perpen-
diculares a` direc¸a˜o de propagac¸a˜o da onda k. A terceira (e quarta) equac¸o˜es nos
dizem que E (B) devem ser perpendicular a k e a B (E). Devemos ter enta˜o, na
propagac¸a˜o de uma onda eletromagne´tica
Figura 7.5: Direc¸o˜es numa onda eletromagne´tica
Esses treˆs vetores devem ser perpendiculares entre si e isso e´ exigeˆncia das
equac¸o˜es de Maxwell, nada tendo a ver com a equac¸a˜o de onda. Esta exige uma
relac¸a˜o entre k, ω e c. Substituindo as soluc¸o˜es obtidas para a equac¸a˜o de onda nas
mesmas obtemos
k2 =
ω2
c2
−→ k = ω
c
−→ 2pi
λ
=
2pif
c
202
c = λf
Uma expressa˜o muito conhecida de todos (decorada).
Vemos assim que a gerac¸a˜o de uma onda ele´trica implica necessariamente na
gerac¸a˜o de uma onda magne´tica e na˜o se pode separar as duas. E´ o Eletromag-
netismo.
Vamos ver como gerar uma onda eletromagne´tica e a importaˆncia da con-
tribuic¸a˜o do termo novo introduzido por Maxwell, fundamental para isso:
7.2.1 Produc¸a˜o de ondas eletromagne´ticas por uma antena
As ondas eletromagne´ticas sa˜o geradas em consequeˆncia de dois efeitos:
(1) Um campo magne´tico varia´vel que produz um campo ele´trico.
(2) Um campo ele´trico varia´vel que produz um campo magne´tico.
Portanto, e´ claro que nem cargas estaciona´rias, nem correntes constantes po-
dem gerar ondas eletromagne´ticas. Sempre que uma corrente num condutor se altera
no tempo, o condutor emite radiac¸a˜o eletromagne´tica.
“O mecanismo fundamental responsa´vel por essa irradiac¸a˜o e´ a acelerac¸a˜o de
part´ıculas carregadas. Sempre que sofre uma acelerac¸a˜o, uma part´ıcula carregada
irradia energia.”
Uma voltagem alternada aplicada nos condutores de uma antena obriga as
cargas na antena a oscilarem. Essa e´ uma te´cnica comum para acelerar part´ıculas
carregadas e e´ a fonte de ra´dio emitida pelas antenas das estac¸o˜es radioemissoras.
A figura abaixo ilustra a produc¸a˜o de uma onda eletromagne´tica pelas cargas
ele´tricas oscilantes de uma antena.
203
Figura 7.6: Campo ele´trico numa antena
Duas hastes meta´licas esta˜o ligadas a um gerador de corrente alternada, o
que provoca oscilac¸a˜o das cargas entre as duas hastes. A voltagem de sa´ıda do
gerador e´ senoidal. Em t = 0 a haste de cima tem uma carga positiva ma´xima e a
haste de baixo uma carga igual, pore´m negativa, como mostra a parte a) da figura.
O campo ele´trico nas vizinhanc¸as da antena, neste instante tambe´m aparece nesta
figura. Quando a carga oscila, as hastes ficam menos carregadas, o campo ele´trico
nas vizinhanc¸as das hastes diminui de intensidade e o campo ele´trico ma´ximo, gerado
no instante t = 0 se afasta das hastes. Quando as cargas se neutralizam, como na
parte seguinte da figura (b), o campo ele´trico cai a zero. Isto ocorre per´ıodo igual a
1/4 do per´ıodo de oscilac¸a˜o. Continuando dessa maneira, a haste de cima logo fica
com uma carga negativa ma´xima e a de baixo fica positiva como na figura seguinte
(c) provocando um campo ele´trico dirigido para cima. Isto ocorre num instante igual
a` metade do tempo de oscilac¸a˜o. As oscilac¸o˜es continuam como na parte seguinte
da figura (d). Ha´ tambe´m um campo magne´tico que oscila perpendicularmenteao
plano da firgura acima, que acompanha o campo ele´trico, mas que omitimos em
benef´ıcio da clareza. O campo ele´trico nas vizinhanc¸as da antena oscila em fase
204
com a distribuic¸a˜o de cargas. Isto quer dizer que o campo esta´ dirigido para baixo
quando a haste de cima for positiva para baixo quando a haste de cima for negativa.
Ale´m disso, o mo´dulo do campo, em qualquer instante, depende da quantidade de
carga nas hastes neste instante.
A` medida que as cargas continuam a oscilar (e a serem aceleradas entre as
hastes) o campo ele´trico se afasta da antena a` velocidade da luz. Esta figura mostra
a configurac¸a˜o do campo ele´trico em diversos instantes durante o ciclo de oscilac¸a˜o.
Agora consideremos o que acontece quando duas hastes condutoras sa˜o ligadas aos
terminais de uma bateria como mostra a figura seguinte.
Figura 7.7: Par de barras meta´licas ligadas numa bateria
Antes da chave ser fechada, a corrente e´ nula e enta˜o na˜o existem campos
(figura). Logo depois da chave ser fechada, cargas de sinais opostos principiam a se
acumular nas hastes (parte seguinte da figura), o que corresponde a uma corrente
varia´vel no tempo I(t). As cargas varia´veis provocam um campo ele´trico varia´vel
que, por sua vez, provoca um campo magne´tico envolvendo as hastes. Finalmente,
quando as hastes estiverem plenamente carregadas, a corrente e´ nula e na˜o havera´
campo magne´tico (parte c da figura).
205
7.3 Exerc´ıcios
Uma onda eletromagne´tica plana senoidal tem frequeˆncia de 40Mhz e se
propaga no va´cuo na direc¸a˜o do eixo dos x, como mostra a figura.
Figura 7.8: Segmento de fio condutor
Em certo ponto e num certo instante o mo´dulo do campo ele´trico |E| tem o
valor ma´ximo de 750N/C e tem a orientac¸a˜o do eixo dos y.
a) Determine o comprimento de onda e o per´ıodo da onda;
b) Calcular o mo´dulo e direc¸a˜o do campo magne´tico B quando E = 750N/C ˆ;
c) Escrever as expresso˜es da variac¸a˜o no espac¸o e no tempo dos campos ele´trico
e magne´tico componentes dessa onda plana.
Neste tipo de problema, as duas coisas importantes para se ter em mente sa˜o:
1) No va´cuo tanto o campo ele´trico como o campo magne´tico obedecem a`
seguinte equac¸a˜o de onda
206
∇2B− 1
c2
∂2B
∂t2
= 0
∇2E− 1
c2
∂2E
∂t2
= 0
Cujas soluc¸o˜es sa˜o
B(r, t) = Re(B0e
i(k·r−ωt)) E(r, t) = Re(E0ei(k·r−ωt))
Essas soluc¸o˜es sa˜o soluc¸o˜es da equac¸a˜o de onda SE E SO´ SE:
k =
ω
c
Enta˜o, embora aparentemente independentes, e com k e ω arbitra´rios, isso
NA˜O E´ ASSIM.
A EQUAC¸A˜O DE ONDA FIXA A RELAC¸A˜O ENTRE k E ω
2) Ale´m da relac¸a˜o acima, tenha sempre em mente que a soluc¸a˜o da equac¸a˜o
de onda NA˜O NECESSARIAMENTE e´ soluc¸a˜o das equac¸o˜es de Maxwell. Enta˜o,
dada uma equac¸a˜o de onda plana e´ necessaa´rio verificar se as equac¸o˜es de Maxwell
esta˜o satisfeitas, i.e; se
∇ · E = 0 , ∇× E = −∂B
∂t
∇ ·B = 0 , ∇×B = µ0²0∂E
∂t
Vamos agora a` soluc¸a˜o do presente problema
a) Da equac¸a˜o de onda sabemos que
k =
ω
c
−→ 2pi
λ
=
2pif
c
−→ c = λf
Sabemos que f = 40Mhz = 4× 107s−1 e enta˜o
λ =
c
f
=
3× 108m/s
4× 107s−1 = 7, 50m
207
O per´ıodo e´ o inverso da frequeˆncia T = 1
f
= 1
4×107s−1 = 2, 5× 10−8s
b) Queremos relacionar Em e Bm. Enta˜o devemos usar uma das duas equac¸o˜es
de Maxwell que contenha ambos os campos. Por exemplo
∇× E = −∂B
∂t
k× E = +ωB
Portanto, em mo´dulo (uma vez que os treˆs vetores que a´ı aparecem sa˜o per-
pendiculares)
B =
k
ω
E =
E
c
c)
E = Em cos (kx− ωt) = 750N
C
cos (kx− ωt)
B = Bm cos (kx− ωt) = 2, 5× 10−6 cos (kx− ωt)
ω = 2pif = 8pi × 107rad/s
k =
2pi
λ
=
2pi
7, 5m
= 0, 838m−1
Exemplo 4) Uma antena constitu´ıda por uma u´nica espira de raio 10cm e´ us-
ada para detectar uma onda eletromagne´tica de intensidade tal que Em = 0, 15V/m.
Determine o valor da tensa˜o induzida se a frequeˆncia de onda for
a) 600 kHz
b) 600 MHz
Tensa˜o induzida−→ relacionada a` taxa de variac¸a˜o do fluxo de campo magne´tico
pela Lei de Faraday.
|E| = dΦm
dt
= pir2
dB
dt
|E| = pir2(−ωBx) cos kx− ωt
208
Figura 7.9: Antena constitu´ıda por uma espira
dB
dt
|max = ωBmax = ωEmax
c
dB
dt
|max = 2pif
c
Emax
|E| = pir2(dB
dt
) = pir2
2pif
c
Emax = pi(0, 1)
22pi(0, 15V/m)(3×108m/s) = 5, 92×10−5V
No outro caso, E = 0, 0592V , mil vezes maior.
Exerc´ıcio 4) O vetor campo ele´trico de uma onda eletromagne´tica e´ dado por
E(x, t) = E0 sin (kx− ωt)ˆ+ E0 cos (kx− ωt)kˆ
B(x, t) =?
Calcule E ·B e E×B:
∇ · E = 0 −→ k · ıˆ −→ ok!
∇ ·B = 0 −→ na˜o da´ nada!
∇× E = ∂B
∂t
−→ ∂Bz
∂t
= −∂Ey
∂x
209
−→ − ∂
∂x
[E0 sin (kx− ωt)] = −kE0 cos (kx− ωt)
−→ Bz = −kE0 sin (kx− ωt)(−1/ω) = −E0/c sin (kx− ωt)
B =
E0
c
sin (kx− ωt)kˆ = E0
c
cos (kx− ωt)ˆ
E ·B = 0
e
E×B = E0B0ıˆ
(A fazer.Tem a ver com a propagac¸a˜o da energia do campo eletromagne´tico.)
5) Quais dos seguintes pares de campo podem corresponder a uma onda eletro-
magne´tica?
a) E = Em sin
2pi
λ
(x− ct) e B = Em
c
sin 2pi
λ
(x− ct)
b) E = cBm sin (
2pi
λ
x− 2pi
T
t) e B = Bm sin (
2pi
λ
x− 2pi
T
t)
c) E = Em sinω(
x
c
− t) e B = √µ0²0Em sinω(xc − t)
d) E = Bm√
µ0²0
sin 2pi(x
λ
− ft) e E = Bm sin 2pi(xλ − ft)
Exerc´ıcio 6) Bx = (400µT ) sin (ky − 2× 1015s−1)t. Qual a direc¸a˜o na qual se
propaga a onda? Esta´ polarizada em que eixo?
7) Onda plana eletromagne´tica λ = 200nm no va´cuo com a direc¸a˜o de propagac¸a˜o
x positivo. O campo magne´tico ma´ximo e´ 50µT polarizado segundo z.
a) f , ω e k. Que parte do expectro esta´ envolvido?
f =
c
λ
=
3× 108
200× 10−9 = 1, 50× 10
15Hz
ω = 2pif = 9, 42× 1015rad/s
210
k =
2pi
λ
= 3, 14× 107m−1
Exerc´ıcio 8) Dado o campo ele´trico
E(r, t) =
−1
(4pi²0r2)
qθ(vt− r)r
B(r, t) = 0
Mostre que estes campos satisfazem todas as equac¸o˜es de Maxwell e determine
ρ e j. Descreva a situac¸a˜o f´ısica que da´ origem a esses campos.
Para demonstrar que esses campos satisfazem a`s equac¸o˜es de Maxwell use o
rotacional e gradiente em coordenadas esfe´ricas. Deixamos esta parte do exerc´ıcio
para voceˆ.
Mais interessante e´ determinar ρ e j. Sabemos que
∇ · E = ρ −→
(
∂
∂r
r2rˆ
)
Erˆ = ρ
−→ 1
(4pi²0)
q
∂
∂r
θ(vt− r) = ρ
ρ =
1
(4pi²0)
qδ(vt− r)
Enta˜o a densidade de carga que determina esse campo ele´trico e´ uma carga
puntiforme viajando com velocidade constante.
E a densidade de corrente? Tomemos a lei de Ampe`re-Maxwell:
∇×B = µ0j+ µ0²0∂E
∂t
0 = µ0j+ µ0²0
∂E
∂t
−→ j = −²0∂E
∂t
211
j = +²0
(
1
(4pi²0)
q
∂
∂t
θ(vt− r)
)
=
qv
4pi
δ(vt− r)
E´ uma densidade de corrente qv que se move tambe´m com velocidade constante
v.
212