JUROS SIMPLES CONCEITOS BÁSICOS e QUESTÕES

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MATEMÁTICA FINANCEIRA 
COMPILAÇÃO DE DIVERSOS AUTORES 
 
 
 
 
 
 
 
 
JUROS SIMPLES E CONCEITOS BÁSICOS 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
FÁBIO RODRIGUES NEVES 
professorfabioneves@gmail.com 
Agosto de 2005 
 2 
ÍNDICE 
1 JURO 3 
1.1 Taxa de Juros 6 
1.1.1 Forma Percentual 6 
1.1.2 Forma Unitária 6 
1.1.3 Unidade de Medida 6 
1.1.4 Diagramas de Capital no Tempo 7 
1.2 Calculando os Juros 7 
1.3 Capitalização Simples 8 
1.4 Montante 9 
1.5 Taxas Proporcionais 9 
1.6 Períodos Não-Inteiros 10 
1.7 Juros Ordinários 10 
1.8 Juros Exatos 10 
1.9 Valor Nominal, Atual e Futuro. 10 
1.10 Valor nominal 10 
1.10.1 Valor atual 11 
1.10.2 Valor futuro 11 
2 TABELA DE CONTAGEM DE DIAS DO ANO CIVIL 12 
2.1 PROBLEMAS PROPOSTOS 13 
3 BIBLIOGRAFIA 15 
 
 3 
1 JURO 
 
Segundo PUCCINI, juro significa, “Definem-se juros como sendo a remuneração 
do capital, a qualquer título. Assim, são válidas as seguintes expressões como conceito de 
juros”: 
a) Remuneração do capital empregado em atividades produtivas; 
b) Custo do capital de terceiros; 
c) Remuneração paga pelas instituições financeiras sobre o capital nelas 
aplicado.” 
 
De acordo com VIEIRA, “Juro é a remuneração do capital emprestado, podendo 
ser entendido, de forma simplificada, como sendo o aluguel pago pelo uso do dinheiro... Ao 
se dispor a emprestar, o possuidor de dinheiro, para avaliar a taxa de remuneração para 
os seus recursos, deve atentar para os seguintes fatores”: 
1. Risco: probabilidade de o tomador do empréstimo não resgatar o dinheiro. 
2. Despesas: todas as despesas operacionais, contratuais e tributárias para a 
formalização do empréstimo e a efetivação da cobrança. 
3. Inflação: índice de desvalorização do poder aquisitivo da moeda prevista 
para o prazo do empréstimo. 
4. Ganho (ou lucro): fixado em função das demais oportunidades de 
investimentos (“custo de oportunidade”); justifica-se pela privação, por 
parte do seu dono, da utilidade do capital. 
Portanto, a receita de juros deve ser suficiente para cobrir o risco, as despesas e a 
perda do poder aquisitivo do capital emprestado, além de proporcionar certo lucro ao seu 
aplicador... 
Do ponto de vista do tomador do empréstimo, a taxa de juros é influenciada pelo 
uso que fará dos recursos emprestados. A taxa de juros poderá ser tanto maior, quanto 
maior for o grau de premência desses recursos. Se o tomador pretende utilizar o 
empréstimo em um negócio qualquer, com objetivo de lucro, sua despesa de juros deverá 
ser menor do que a receita prevista.” 
 4 
Para MATIAS, juro é, “A noção de juro decorre do fato de que a maioria das 
pessoas prefere consumir seus bens no presente e não no futuro. Em outras palavras, 
havendo uma preferência temporal para consumir, as pessoas querem uma recompensa 
pela abstinência... 
O juro também pode ser entendido como sendo o custo do crédito ou a 
remuneração do capital aplicado...Nestas condições, a taxa de juros mede o custo da 
unidade de capital no período a que se refere à taxa. 
Esta taxa é fixada no mercado de capitais pela interação entre as forças que regem 
a oferta de fundos e a procura de créditos. Em um mercado ideal ou perfeito, basicamente 
influirão os seguintes fatores: 
- Oferta de fundos: nível de riqueza das pessoas, suas preferências temporais e o 
valor da taxa de juros. 
- Procura de fundos: a rentabilidade das aplicações existentes na economia e a 
preferência temporal das pessoas. 
 
 
 
 Diz-se que i0 é uma taxa de juros pura porque exclui o fator risco que está 
associado às operações normais de mercado. 
 
 5 
 
... dada a inexistência de informações perfeitas entre tomadores e emprestadores de 
fundos, no mercado real de capitais, temos um intervalo de variação para a taxa de juros 
ao invés de um valor único de equilíbrio. 
 O custo real de um empréstimo, portanto, é obtido somando-se à taxa de juros pura, 
o custo pelo risco e o custo de impostos e dos serviços de intermediação. 
 Admitiremos a hipótese de mercado perfeito, consubstanciado no seguinte: 
- Qualquer valor pode ser obtido ou aplicado á taxa de juros de equilíbrio; 
- As taxas consideradas são únicas e estáveis ao longo do tempo. 
 O juro é determinado através de um coeficiente referido a um dado intervalo de 
tempo. Tal coeficiente corresponde à remuneração da unidade de capital empregado por 
um prazo igual àquele da taxa. 
 
KUHNEN conceitua juros, com sendo, “Do ponto de vista econômico podemos 
conceitua-los como a remuneração pelo direito do uso de determinado capital durante 
certo período de tempo ou o valor do aluguel pelo uso de recursos financeiros, sendo 
representado através de uma taxa ou percentagem pura por unidade de tempo. 
 De forma mais prática, podemos dizer que na análise da Matemática Financeira os 
juros são o elemento que nos permite comparar elementos datados, ou seja, transformar 
um valor de uma data para outra, ou mesmo compara-los todos em uma mesma data. 
 Para definirmos uma taxa de juros é necessário estarmos atentos a diversos fatores, 
tais como: 
- Juros puros, ou seja, a remuneração do capital; 
- Impostos financeiros (IOF, IOC e outros); 
- Serviços de intermediação; 
- Despesas bancárias, de cobrança etc; 
- Risco do negócio; 
- Desvalorização do dinheiro (inflação); 
- Reciprocidade”. 
 
 6 
1.1 Taxa de Juros 
VIEIRA, (2000, p. 20), “Taxa de juros é a razão entre os juros recebidos (ou 
pagos) no final de um certo período de tempo e o capital inicialmente aplicado (ou 
emprestado)”. 
MATIAS, (1996, p. 21), “O juro é determinado através de um coeficiente referido a 
um dado intervalo de tempo. Tal coeficiente corresponde à remuneração da unidade de 
capital por um prazo igual àquele da taxa”. 
1.1.1 Forma Percentual 
 MATIAS, (1996, p. 21), “Neste caso diz-se aplicada a centos do capital, ou seja, 
ao que se obtém após dividir-se por 100”. 
 
1.1.2 Forma Unitária 
 MATIAS, (1996, p.22), “Agora a taxa refere-se à unidade do capital, ou seja, 
estamos calculando o que rende a aplicação de uma unidade de capital no intervalo de 
tempo referido pela taxa”. 
Exemplo: 
Forma Percentual Transformação Forma Unitária 
12% ao ano 12 / 100 0,12 ao ano 
6% ao semestre. 6 / 100 0,06 ao semestre 
1% ao mês 1 / 100 0,01 ao mês 
 
1.1.3 Unidade de Medida 
PUCCINI, (2000, p.02), “Os juros são fixados por meio de uma taxa percentual que 
sempre se refere a uma unidade de tempo (ano, semestre, trimestre, mês, dia)”. 
Exemplos: 
1. 12% ao ano = 12% a. a. 
2. 4% ao semestre = 4% a. s. 
3. 1% ao mês = 1% a. m. 
 
 7 
1.1.4 Diagramas de Capital no Tempo 
 MATIAS, (1996, p. 22), “Os problemas financeiros dependem basicamente do 
fluxo (entradas a saídas) de dinheiro no tempo. Este fluxo é mais conhecido na prática 
como fluxo de caixa e pode ser representado do seguinte modo”: 
 
 
 
1.2 Calculando os Juros 
 De acordo com PUCCINI, juros simples são, “No regime de juros simples, os juros 
de cada período são sempre calculados em função do capital inicial (principal) aplicado. 
Os juros do período não são somados ao capital para o cálculo de novos juros nos 
períodos seguintes. Os juros não são capitalizados e, conseqüentemente, não rendem 
juros. Assim, apenas o principal é que rende juros. 
 
 
 8 
 
1.3 Capitalização Simples 
Segundo TOSI (2000, p.83), “No regime de capitalização simples o valor sobre o 
valor do capital inicial. 
 A taxa, portanto, é chamada de proporcional, uma vez que varia linearmente ao 
longo do tempo. Exemplo: 1% ao diaé igual a 30% ao mês, que por sua vez é igual a 
360% ao ano e assim por diante”. 
 Para KUHNEN (1996, p. 23), “O regime de capitalização simples representa uma 
equação aritmética, logo, é indiferente se os juros são pagos periodicamente ou no final do 
período total”. 
 Para VIEIRA (2000, p.21/24), “Capitalização simples é aquela em que a taxa de 
juros incide somente sobre o capital inicial; não incide, pois, sobre os juros acumulados. 
Neste regime de capitalização a taxa varia linearmente em função do tempo...”. 
 MATIAS (1996, p.24/25), demonstra que, “Quando o regime é de juros simples, a 
remuneração pelo capital inicial aplicado (também chamado de principal) é diretamente 
proporcional ao seu valor e ao tempo de aplicação. O fator de proporcionalidade é a taxa 
de juros”. 
 J = Cin 
 Esta é a fórmula básica para o cálculo de juros em um regime simples de 
capitalização. Observe que podemos, dados 3 valores da fórmula, poderemos obter o 
quarto, por simplificação algébrica. 
Esta é a fórmula básica para o cálculo de juros em um regime simples de 
capitalização. Observe que podemos, dados 3 valores da fórmula, poderemos obter o 
quarto, por simplificação algébrica. 
 
 9 
 
1.4 Montante 
 MATIAS, (1996, p. 26), “Define-se como montante de um capital, aplicado à taxa i 
pelo prazo de n períodos, como sendo a soma do juro mais o capital inicial. 
 Sendo C o principal, aplicado por n períodos é a taxa de juros i, temos o montante 
(N) como sendo: 
 N = C + J 
 N = C + Cin 
 N = C (1 + in) 
 
 De modo análogo ao visto para o juro, dados 3 valores da fórmula poderemos obter 
o quarto valor: 
 
 
 
1.5 Taxas Proporcionais 
VIEIRA, (2000, p. 191), “O conceito de taxas proporcionais é utilizado somente 
para capitalização simples, no sentido de que o valor dos juros é proporcional apenas ao 
 10 
tempo. Assim, a taxa proporcional de 3% ao mês, para 10 meses, é de 30%; a de 12% ao 
ano, para 3 meses, é de 3%, e assim sucessivamente, variando linearmente”. 
 
1.6 Períodos Não-Inteiros 
 MATIAS, (1996, p. 31), “... podem ocorrer situações em que o prazo de aplicação 
(n) não é um número inteiro de períodos a que se refere à taxa dada, sendo necessário 
considerarem-se frações de períodos para que não se cometa erro no valor final. 
 A solução pode ser obtida em duas etapas: 
 1 a. etapa: calcula-se o juro correspondente á parte inteira de períodos. 
 2 ª etapa: calcula-se a taxa proporcional à fração de períodos que resta e o juro 
correspondente. 
 
1.7 Juros Ordinários 
 KUHNEN, (1996, p. 32), “São aqueles em que se utiliza o ano comercial para 
estabelecer a taxa entre a taxa e o tempo. Logo, em juros ordinários todos os meses têm 
30 dias e o ano 360 dias”. 
 
1.8 Juros Exatos 
 KUHNEN, (1996, p. 32), “São aqueles em que se usa o tempo na quantidade exata 
dos dias que tem cada mês e sendo a taxa expressa ao ano, utiliza-se o ano civil para 
estabelecer a homogeneidade entre a taxa e o tempo”. 
 
1.9 Valor Nominal, Atual e Futuro. 
1.10 Valor nominal 
 MATIAS, (1996, p. 34), “è quanto vale um compromisso na data do seu 
vencimento”. 
 11 
 
 
1.10.1 Valor atual 
 MATIAS, (1996, p. 34), “É o valor que um compromisso tem em uma data que 
antecede ao seu vencimento”. 
 
 
1.10.2 Valor futuro 
 MATIAS, (1996, p. 38), “Corresponde ao valor do título em qualquer data 
posterior à que estamos considerando no momento. É o mesmo que montante, quando a 
data considerada for a do vencimento da aplicação”. 
 
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2 TABELA DE CONTAGEM DE DIAS DO ANO CIVIL 
 Mês Jan Fev Mar Abr Mal Jun JuI Ago Set Out Nov Dez 
 Dia 
 1 1 32 60 91 121 152 182 213 244 274 305 335 
 2 2 33 61 92 122 153 183 214 245 275 306 336 
 3 3 34 62 93 123 154 184 215 246 276 307 337 
 4 4 35 63 94 124 155 185 216 247 277 308 338 
 5 5 36 64 95 125 156 186 217 248 278 309 339 
 6 6 37 65 96 126 157 187 218 249 279 310 340 
 7 7 38 66 97 127 158 188 219 250 280 311 341 
 8 8 39 67 98 128 159 189 220 251 281 312 342 
 9 9 40 68 99 129 160 190 221 252 282 313 343 
 10 10 41 69 100 130 161 191 222 253 283 314 344 
 11 11 42 70 101 131 162 192 223 254 284 315 345 
 12 12 43 71 102 132 163 193 224 255 285 316 346 
 13 13 44 72 103 133 164 194 225 256 286 317 347 
 14 14 45 73 104 134 165 195 226 257 287 318 348 
 15 15 46 74 105 135 166 196 227 258 288 319 349 
 16 16 47 75 106 136 167 197 228 259 289 320 350 
 17 17 48 76 107 137 168 198 229 260 290 321 351 
 18 18 49 77 108 138 169 199 230 261 291 322 352 
 19 19 50 78 109 139 170 200 231 262 .292 323 353 
 20 20 51 79 110 140 171 201 232 263 293 324 354 
 21 21 52 80 111 141 172 202 233 264 294 325 355 
 22 22 53 81 112 142 173 203 234 265 295 326 356 
 23 23 54 82 113 143 174 204 235 266 296 327 357 
 24 24 55 83 114 144 175 205 236 267 297 328 358 
 25 25 56 84 115 145 176 206 237 268 298 329 359 
 26 26 57 85 116 146 177 207 238 269 299 330 360 
 27 27 58 86 117 147 178 208 239 270 300 331 361 
 28 28 59 87 118 148 179 209 240 271 301 332 362 
 29 29 — 88 119 149 180 210 241 272 302 333 363 
 30 30 — 89 120 150 181 211 242 273 303 334 364 
 31 31 — 90 — 151 — 212 243 — 304 — 365 
Nota: Nos anos bissextos, adicionar 1 ao resultado obtido ao se considerar uma data anterior e 
outra posterior a 29 de fevereiro. 
 13 
2.1 PROBLEMAS PROPOSTOS 
Sobre Juros Simples 
1. Determinar quanto renderá um capital de $ 60.000,00 aplicados à taxa de 24% ao ano, 
durante sete meses. 
Resposta:$ 8.400,00. 
2. Um capital de $ 28.000,00, aplicado durante 8 meses, rendeu juros de $ 11.200,00. 
Determinar a taxa anual. 
Resposta:60% a.a. 
3. Durante 155 dias certo capital gerou um montante de $ 64.200,00. Sabendo-se que a taxa 
de juros é de 4% ao mês, determinar o valor do capital aplicado. 
Resposta:$ 53.204,42. 
4. Qual o valor dos juros contidos no montante de $ 100.000,00, resultante da aplicação de 
certo capital à taxa de 42% a.a., durante 13 meses? 
Resposta:$ 31.271 .48. 
5. Qual o valor a ser pago, no final de cinco meses e 18 dias, correspondente a um 
empréstimo de $ 125.000,00. sabendo-se que a taxa de juros é de 
27% ao semestre? 
Resposta:$ 156.500,00. 
6. Em quanto tempo um capita l de S 800.00, aplicado à taxa de 0,1% ao dia, gera um 
montante de $ 1 .000,00? 
Resposta:250 dias ou 8,333 meses. 
7. Um capital de $ 50.000,00 foi aplicado no dia 19-06-91 e resgatado em 20-01-92.
 Sabendo-se que a taxa de juros da aplicação foi de 56% ao ano, calcular o valor dos 
juros, considerando-se o número de dias efetivo entre as duas datas. 
Resposta:$ 16.722,22. 
8. Uma empresa aplicou $ 2.000,00 no dia 15-07-91 e resgatou essa aplicação no dia 21-07-
91 por $ 2.018,00. Qual foi a taxa mensal de rendimento proporcionada por essa operação? 
Resposta:4,5% ao mês. 
9. Calcular o valor do capital que, aplicado à taxa de 50,4% ao ano, durante dois anos e três 
meses, produz um montante de $ 600.000,00. 
Resposta:$ 281.162,14. 
 14 
10.Ao fim de quanto tempo o cap ital de $40.000,00, aplicado à taxa de 5% ao mês, produz $ 
18.600,00 de juros? 
Resposta:9,3 meses, ou 279 dias. 
11. Obteve-se um empréstimo de $ 10.000,00, para ser liquidado por $ 14.675,00 no final de 8 
meses e meio. Qual a taxa de juros anual cobrada nessa operação? 
Resposta:66 % ao ano. 
12. Em quanto tempo um capital aplicado a 48% ao ano dobra o seu valor? 
 Resposta: 2,0833 anos ou 25 meses. 
13. A que taxa de juros um capital aplicado durante 10 meses rende juros igual à 1/4 do seu 
valor? 
Resposta:2,5% ao mês. 
14. Um capital emprestado gerou $ 96.720,00 de juros. Sabendo-se que o prazo da aplicação 
foi de 13 meses e a taxa de juros de 6%ao mês, calcular o valor do montante. 
Resposta:$ 220.720,00. 
15. Em quantos dias um capital de $ 270 420,00 produzira juros de $ 62.304,77 a uma taxa de 
5,40/o ao mês? 
Resposta:128 dias. 
16. Determinar o capital necessário para produzir um montante de $798.000,00 no final de um 
ano e meio, aplicado a uma taxa de 15% ao trimestre. 
Resposta:$ 420.000,00. 
17.A aplicação de $ 35.600,00 gerou um montante de $ 58.028,00 no final de nove meses. 
Calcular a taxa anual. 
Resposta:840/o ao ano. 
18. Certo capital aplicado gerou um montante de $ 1.000,00. Sabendo-se que a taxa de juros é 
de 5% ao mês e o prazo de oito meses, calcular o valor dos juros. 
Resposta:$ 285,71. 
19. Determinar o montante correspondente a uma aplicação de $ 450.000,00. por 225 dias, à 
taxa de 5,6% ao mês. 
Resposta:$ 639.000,00. 
20. Calcular o valor do capital, que aplicado a uma taxa de 6.2% ao mês, por 174 dias, 
produziu um montante de $ 543.840,00. 
Resposta:$ 400.000,00. 
 15 
21. Um titulo de renda prefixada foi adquirido por $ 80000,00 e resgatado por $ 117.760,00 no 
final de oito meses. Calcular a taxa mensal de juros. 
Resposta: 5,9% ao mês. 
22. Em que prazo uma aplicação de $ 500.000,00 possibilita o resgate de $ 614.000,00 à taxa 
de 7,2% ao mês? 
Resposta: 3,167 meses ou 95 dias. 
23 A que taxa anual devo aplicar um capital de $ 275.000,00 para obter juros de $ 177.320,00 
no final de 186 dias? 
Resposta: 124,8% ao ano. 
 
 
3 BIBLIOGRAFIA 
 
KUHNEN, Osmar Leonardo. Matemática Financeira Aplicada e Análise de Investimento. 2ª 
Ed. – São Paulo: Atlas, 1996. 
MATHIAS, Washington Franco. Matemática Financeira. São Paulo: Atlas, 1993. 
PUCCINI, Abelardo de Lima. Matemática Financeira Objetiva e Aplicada. 6ª Ed. São Paulo: 
Saraiva, 2000. 
TOSI, Armando José. Matemática Financeira com Utilização do Excel 2000: Aplicável às 
Versões 5.0, 7.0 e 97. São Paulo: Atlas, 2000. 
VIEIRA SOBRINHO, José Dutra. Matemática financeira. 7ª Ed. – São Paulo: Atlas, 2000.