Eu Odeio Fenômenos de Transporte I (versão 2)

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"[...] porque sem mim nada podeis fazer." 
João 15:5 
 
Deus seja louvado. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Guerreiro, Helder 
 Eu odeio Fenômenos de Transporte I. / Helder Guerreiro 
 – Manaus, 2017. 
 
Bibliografia 
 
Livro não catalogado e não institucional, o mesmo é amador. 
Sumário 
Apresentação .......................................................................................................................... 12 
Observações ............................................................................................................................. 13 
1. O seu conhecimento nas gotas de orvalho – Definições Gerais ................... 14 
1.1 Conceitos Fundamentais ...................................................................................................................................................... 14 
1.2 Fluido .......................................................................................................................................................................................... 14 
1.3 Princípio da Aderência ........................................................................................................................................................ 15 
1.4 Fluido em Mecânica dos Fluidos ....................................................................................................................................... 15 
1.5 Tensão de Cisalhamento ...................................................................................................................................................... 16 
1.6 Tensão de Cisalhamento num Fluido .............................................................................................................................. 16 
1.7 As Tensões Entre Camadas ................................................................................................................................................ 17 
1.8 Lei de Newton ......................................................................................................................................................................... 17 
1.9 Viscosidade ................................................................................................................................................................................ 18 
1.10 Tensão de Cisalhamento e Viscosidade ....................................................................................................................... 18 
1.11 Condições Ambientais ........................................................................................................................................................ 19 
1.12 O Gradiente ........................................................................................................................................................................... 19 
1.13 Simplificação Prática ......................................................................................................................................................... 19 
Exemplo 1 ......................................................................................................................................................................................... 20 
2. Descobrindo a ponta do iceberg – Características e Tipos de Fluidos ...... 22 
2.1 Massa Específica ...................................................................................................................................................................... 22 
2.2 Peso Específico ......................................................................................................................................................................... 23 
2.3 Viscosidade Cinemática ........................................................................................................................................................ 23 
2.4 Tipos de Fluidos....................................................................................................................................................................... 24 
2.5 Fluido Ideal ............................................................................................................................................................................... 24 
2.6 Reflexões Sobre a Viscosidade ............................................................................................................................................ 24 
2.7 A Consequência de uma Viscosidade Nula .................................................................................................................... 25 
 
2.8 Fluido Incompressível ............................................................................................................................................................ 26 
2.9 Tipos de Fluidos Incompressíveis ...................................................................................................................................... 26 
2.10 Tensão Cisalhante e o Tempo ......................................................................................................................................... 27 
Exemplo 2 ......................................................................................................................................................................................... 28 
3. A entidade que te persegue por toda faculdade - Pressão ........................... 31 
3.1 Estática dos fluidos ................................................................................................................................................................ 31 
3.2 Pressão ....................................................................................................................................................................................... 31 
3.3 Pressão de um Fluido ............................................................................................................................................................ 32 
3.4 Exemplos de Pressão de Fluidos........................................................................................................................................ 32 
3.5 Pressão de um Gás ................................................................................................................................................................ 33 
3.6 Equação da Pressão ............................................................................................................................................................... 33 
3.7 Teorema de Stevin ................................................................................................................................................................. 34 
3.8 Explicação Analítica .............................................................................................................................................................. 34 
3.9 Pressão Atmosférica .............................................................................................................................................................. 35 
3.10 Lei de Pascal.......................................................................................................................................................................... 35 
3.11 Análise da Lei de Pascal ................................................................................................................................................... 36 
3.12 Pressão e Altura .................................................................................................................................................................. 36 
3.13 Pressão Absoluta e Efetiva ...............................................................................................................................................37 
3.14 Medidores de Pressão ........................................................................................................................................................ 38 
3.14.1 Barômetro ..................................................................................................................................................................... 38 
3.14.2 Piezômetro ..................................................................................................................................................................... 38 
3.14.3 Manômetro em U........................................................................................................................................................ 39 
3.14.4 Manômetro Diferencial ............................................................................................................................................. 39 
Exemplo 3 ......................................................................................................................................................................................... 39 
4. Treinamento de cães – Exercícios resolvidos ....................................................... 43 
4.1 Base Teórica ............................................................................................................................................................................. 43 
4.1.1 Forma correta de utilizar o teorema de Stevin ................................................................................................. 44 
4.1.2 Manômetro aberto com um líquido e um gás .................................................................................................... 45 
 
4.1.3 Manômetro aberto com dois líquidos ..................................................................................................................... 46 
4.1.4 Manômetro fechado com três líquidos ................................................................................................................... 47 
4.2 Exercícios resolvidos............................................................................................................................................................... 47 
Questão 1 ...................................................................................................................................................................................... 47 
Questão 2 ...................................................................................................................................................................................... 48 
Questão 3 ...................................................................................................................................................................................... 49 
5. Velozes e Ferozes – Cinemática dos fluidos .......................................................... 50 
5.1 Cinemática ................................................................................................................................................................................ 50 
5.2 As aplicações de maneira diferente ................................................................................................................................ 50 
5.2.1 Observação Prática ........................................................................................................................................................ 54 
5.2.2 O Sentido de Tudo Isso ................................................................................................................................................ 54 
5.3 A Experiência de Reynolds ................................................................................................................................................. 55 
5.4 Escoamento Laminar ............................................................................................................................................................ 55 
5.5 Escoamento de Transição e Turbulento ........................................................................................................................ 56 
5.6 Número de Reynolds ............................................................................................................................................................. 56 
5.7 Linha de Corrente .................................................................................................................................................................. 57 
5.8 Tipos de Escoamento ............................................................................................................................................................ 57 
5.8.1 Escoamento Unidimensional ...................................................................................................................................... 57 
5.8.2 Escoamento Bidimensional ......................................................................................................................................... 58 
5.8.3 Escoamento Tridimensional ....................................................................................................................................... 58 
5.9 Vazão........................................................................................................................................................................................... 59 
5.10 Cálculo de Velocidade Média ........................................................................................................................................... 59 
Exemplo 4 ......................................................................................................................................................................................... 60 
6. Outros assuntos da viscosidade – Reometria e pseudoplástico .................... 62 
6.1 Comportamento pseudoplástico em polímeros ........................................................................................................... 62 
6.2 Como se mede a viscosidade (reometria)? ................................................................................................................... 64 
7. Não desista, continue – A equação da continuidade ....................................... 65 
7.1 Balanço de Massa ................................................................................................................................................................... 65 
 
7.2 Relação Velocidade–Massa .................................................................................................................................................. 65 
7.3 Equação da Continuidade ................................................................................................................................................... 66 
7.4 Vazão (de novo) ...................................................................................................................................................................... 67 
7.5 Reflexões entre Pressão e Velocidade .............................................................................................................................. 67 
Exemplo 5 ......................................................................................................................................................................................... 68 
Exemplo 6 ......................................................................................................................................................................................... 69 
Exemplo 7 ......................................................................................................................................................................................... 70 
8. Treinamento de cães – Exercíciosresolvidos ....................................................... 72 
Questão 1 .......................................................................................................................................................................................... 72 
Questão 2 .......................................................................................................................................................................................... 73 
Questão 3 .......................................................................................................................................................................................... 74 
Questão 4 .......................................................................................................................................................................................... 75 
Questão 5 .......................................................................................................................................................................................... 76 
Questão 6 .......................................................................................................................................................................................... 77 
Questão 7 .......................................................................................................................................................................................... 79 
9. Equacionando o seu desespero – A equação de Bernoulli .............................. 81 
9.1 Balanço de Energia ................................................................................................................................................................ 81 
9.2 Balanço de Energia Geral ................................................................................................................................................... 81 
9.3 Interpretação ........................................................................................................................................................................... 83 
9.4 Balanço de Energia em Escoamentos ............................................................................................................................. 84 
9.5 Equação de Bernoulli ............................................................................................................................................................ 84 
9.6 Interpretação da equação de Bernoulli .......................................................................................................................... 85 
Exemplo 8 ......................................................................................................................................................................................... 86 
Segundo método ......................................................................................................................................................................... 88 
10. Uma pausa - Semelhança, Análise Dimensional e Teorema Pi ................ 90 
10.1 Problemática ..................................................................................................................................................................... 90 
10.2 Análise dimensional ........................................................................................................................................................ 90 
10.3 Teorema Pi ........................................................................................................................................................................ 91 
 
10.4 Importância ....................................................................................................................................................................... 92 
10.5 Semelhança ....................................................................................................................................................................... 93 
11. Colocando o seu sofrimento em prática - Máquinas ..................................... 94 
11.1 Os desprezos reconsiderados ........................................................................................................................................... 94 
11.2 Máquinas ................................................................................................................................................................................. 94 
11.2.1 Bombas ............................................................................................................................................................................ 95 
11.2.2 Turbinas .......................................................................................................................................................................... 95 
11.2.3 Bomba x Turbina ........................................................................................................................................................ 97 
11.4 Cargas manométricas do escoamento ......................................................................................................................... 98 
11.5 Máquinas e escoamento .................................................................................................................................................... 98 
11.6 Potência e rendimento de máquinas ........................................................................................................................... 99 
Exemplo 9 ......................................................................................................................................................................................... 99 
12. Desvendando mínimos detalhes - Perda de carga, Escoamento 
multipontos e Diagrama de velocidades. .................................................................. 102 
12.1 Atrito ..................................................................................................................................................................................... 102 
12.2 Bernoulli em todos os lugares ....................................................................................................................................... 102 
12.3 As máquinas ........................................................................................................................................................................ 103 
12.4 O efeito do atrito .............................................................................................................................................................. 103 
12.5 A grande jogada ................................................................................................................................................................ 104 
12.6 Perda de carga ................................................................................................................................................................... 105 
12.7 Equacionando perda de carga ...................................................................................................................................... 106 
12.8 Escoamento multipontos ................................................................................................................................................ 106 
12.9 Diagrama de velocidades ................................................................................................................................................ 107 
12.10 Perfis de velocidade ....................................................................................................................................................... 109 
13. Treinamento de cães – Exercícios resolvidos .................................................110 
Questão 1 ........................................................................................................................................................................................ 110 
Questão 2 ........................................................................................................................................................................................ 112 
Questão 3 ........................................................................................................................................................................................ 114 
 
Questão 4 ........................................................................................................................................................................................ 116 
Questão 5 ........................................................................................................................................................................................ 120 
14. Uma visão microscópica - Camada limite, turbulência e vórtices ....... 123 
13.1 As condições ........................................................................................................................................................................ 123 
14.2 Consequências do atrito .................................................................................................................................................. 123 
14.3 Viscosidade ........................................................................................................................................................................... 124 
14.4 Camada Limite................................................................................................................................................................... 124 
14.5 O número de Reynolds e Turbulência ....................................................................................................................... 125 
14.6 Camada Limite e Turbulência ...................................................................................................................................... 125 
14.7 Vórtices.................................................................................................................................................................................. 126 
15. Desejo boa sorte para você - Diagrama de Moody ..................................... 127 
15.1 Condutos ............................................................................................................................................................................... 127 
15.2 Analogia ................................................................................................................................................................................ 128 
15.3 Raio/Diâmetro hidráulico .............................................................................................................................................. 129 
15.4 Cano quadrado? ................................................................................................................................................................. 130 
15.5 Rugosidade ........................................................................................................................................................................... 131 
15.6 Rugosidade relativa .......................................................................................................................................................... 131 
15.7 O entendimento da rugosidade ................................................................................................................................... 132 
15.8 O Nascimento de um diagrama .................................................................................................................................. 133 
15.9 Diagrama de Moody ......................................................................................................................................................... 134 
15.9.1 Escoamento Laminar ............................................................................................................................................... 137 
15.9.2 Escoamento de Transição ...................................................................................................................................... 137 
15.9.3 Regime hidraulicamente liso ................................................................................................................................. 137 
15.9.4 Transição de regime liso para rugoso ............................................................................................................... 138 
15.9.5 Regime hidraulicamente rugoso .......................................................................................................................... 138 
Exercício ........................................................................................................................................................................................... 139 
16. Aprendendo a perder -Perda de carga total ............................................... 142 
16.1 Comprimento real e equivalente ................................................................................................................................. 142 
 
16.2 Um segundo método ........................................................................................................................................................ 142 
16.3 Uma tabela .......................................................................................................................................................................... 143 
16.4 Como utilizá-la .................................................................................................................................................................. 144 
Exemplo 9 ....................................................................................................................................................................................... 145 
Exemplo 10 .................................................................................................................................................................................... 149 
Exemplo 11 .................................................................................................................................................................................... 152 
17. Está ocorrendo cavitação na sua vida? - Cavitação e Associação de 
Bombas ................................................................................................................................... 156 
17.1 Pressão de vapor (Pv) ...................................................................................................................................................... 156 
17.2 Variáveis que influenciam ............................................................................................................................................... 156 
17.3 Pressão de vapor em um escoamento ....................................................................................................................... 158 
17.4 O princípio da cavitação ................................................................................................................................................. 159 
17.5 Cavitação .............................................................................................................................................................................. 159 
17.6 Cavitação e Bombas ......................................................................................................................................................... 16017.7 NPSH ...................................................................................................................................................................................... 161 
17.8 Análise de NPSH ................................................................................................................................................................ 163 
17.9 Associação de Bombas ..................................................................................................................................................... 164 
17.10 Curva da bomba ............................................................................................................................................................. 166 
Exemplo 12 .................................................................................................................................................................................... 167 
Exemplo 13 .................................................................................................................................................................................... 168 
18. Uma discussão final - Fenômenos de transporte 1 e climatologia ...... 173 
19. Pronto para ser um engenheiro? – Projeto de um sistema hidráulico
 .................................................................................................................................................. 176 
19.1 Problema .............................................................................................................................................................................. 176 
19.2 Primeiros cálculos .............................................................................................................................................................. 177 
19.3 Considerações ...................................................................................................................................................................... 178 
19.4 Desenvolvimento de Equações ...................................................................................................................................... 179 
19.4.1 Bomba ........................................................................................................................................................................... 179 
 
19.4.2 Sistema de tubulação............................................................................................................................................... 179 
19.4.3 Equações ....................................................................................................................................................................... 180 
19.4.4 Áreas .............................................................................................................................................................................. 180 
19.5 Escolha de casos ................................................................................................................................................................. 181 
19.5.1 Corrosão ........................................................................................................................................................................ 181 
19.6 Estudo de Caso ................................................................................................................................................................... 182 
19.6.1 Automação do projeto ............................................................................................................................................ 183 
19.7 Resultados ............................................................................................................................................................................ 186 
19.7.1 Aço Inox e bomba A ................................................................................................................................................. 187 
19.7.2 Aço Inox e bomba B ................................................................................................................................................. 189 
19.7.3 Aço Inox e bomba C ................................................................................................................................................. 190 
19.8 Discussões .............................................................................................................................................................................. 192 
19.8.1 Bombas .......................................................................................................................................................................... 192 
19.8.2 Tubulação ..................................................................................................................................................................... 194 
19.9 Conclusão .............................................................................................................................................................................. 194 
20. Adeus .............................................................................................................................. 196 
Referências ............................................................................................................................ 197 
 
 
 
12 
Apresentação 
Olá, meu nome é Helder Guerreiro, aluno de Engenharia Química na Universidade Federal 
do Amazonas. Todo aquele que faz engenharia (pelo menos suponho que a maioria) terá 
de enfrentar um dia o Fenômenos de transporte I, onde o objetivo dessa disciplina é 
estudar o comportamento dos fluidos e como domá-los para que eles venham agir em 
nosso favor. 
Infelizmente, é uma realidade que nem todo mundo se dá bem na faculdade, nem todos 
puderam fazer um bom ensino fundamental e médio, nem todos puderam pagar os 
melhores cursinhos pré-vestibulares, mas lutam todos os dias para valorizar o seu curso 
e aprendizado. Isso ocorreu comigo, eu sou um leigo que aprendeu a ensinar, eu nunca 
aprendo do jeito como os livros mostram, porque eu não entendo, nem mesmo as vídeo 
aulas da internet me ajudam (elas dão é sono), mas através de incessantes horas de estudo 
e dedicação eu consigo assimilar meus estudos a coisas simples do nosso dia a dia. 
Se você é que nem eu, ou seja, uma pessoa que nunca aprende as coisas logo de cara e 
sente dificuldade em estudar por livros, este livro é para você. É uma triste verdade que 
nem todos os professores são bons e nem todos os livros tem boa didática, as vezes os 
alunos são abandonados sozinhos, sem ajuda do professor, sem monitor, sem alguém para 
tirar suas dúvidas. Foi pensando em pessoas assim que este livro foi criado. Eu serei seu 
amigo em todos as páginas deste livro, lhe mostrando os mínimos detalhes e sempre 
associando coisas difíceis com as óbvias. 
Boa sorte nos seus estudos e vamos avante. 
 
 
13 
Observações 
• Este material é baseado no livro: Mecânica dos Fluidos – Franco Brunetti e nas 
aulas do professor do autor. 
• As teorias retiradas de outros livros e da internet serão destacadas com as suas 
respectivas referências através de números: (1), (2) etc. 
• Referências constadas no final deste livro que não foram citadas no meio deste, 
foram responsáveis pela formulação do pensamento do autor, sendo assim 
contribuições indiretas. 
• As questões abordadas aqui serão as mesmas que foram utilizadas pelo professor, 
mesmo que sejam de outros livros. 
• Todas as imagens não pertencentes ao autor foram devidamente referenciadas 
na imagem e no final deste livro, as que não contem referência são de autoria 
do próprio autor deste livro. 
• Este livroé amador e não obteve ajuda de terceiros, ou seja, o autor pensou, 
escreveu, editou e publicou este livro sozinho, o que faz deste passível de certos 
erros pequenos nesta edição, o que não comprometerá o seu estudo, dessa forma 
peço sua compreensão caso encontre algum erro neste livro. 
• Para dúvidas, sugestões, aviso de erros, elogios ou algo que necessite contato, 
envie um e-mail para: heldermeloguerreiro@gmail.com . 
• Este livro é gratuito e não deve, de forma alguma, ser vendido por nenhuma 
pessoa física ou jurídica, o autor deliberou de boa vontade este livro como livre 
para todo aquele que queira possuí-lo. 
 
14 
 
 
 
1. O seu conhecimento nas gotas de orvalho – 
Definições Gerais 
1.1 Conceitos Fundamentais 
• Fluido (e não Fluído): 
- É uma substância que não tem uma forma própria, assume o formato do recipiente. 
• Princípio da Aderência: 
- Os pontos de um fluido, em contato com uma superfície sólida, aderem aos pontos 
dela, com os quais estão em contato. 
 
1.2 Fluido 
Fluido é qualquer substância que pode fluir (1), a água pode fluir, qualquer gás pode 
fluir. E uma pedra pode fluir? Mas afinal o que é fluir? 
Fluir é simplesmente correr (2), ou seja, é a habilidade que um certo tipo de material 
tem de fazer seu corpo correr em um certo espaço. 
Então uma pedra não é um fluido. Ela não pode se desfazer e correr por um pátio e 
depois se refazer novamente. 
Um ketchup é um fluido, pois ele flui através do pote que apertamos para que ele saia e 
caia no sanduiche. 
Mas para a mecânica dos fluidos uma definição mais técnica (chata) deve ser 
desenvolvida. 
15 
 
1.3 Princípio da Aderência 
Se você imaginar duas placas, superior e inferior, em um sólido talvez você possa 
perceber que se você mexer a placa de cima para o lado o sólido se deformará muito 
pouco, ou quase nada. Por exemplo uma borracha se deformará um pouco para o lado, 
mas uma pedra se deformará praticamente nada. 
Mas e se fosse em um fluido? Ao mover a placa superior o fluido se deformará 
infinitamente, como se fosse uma super-borracha que pode ser esticada para sempre. 
Quando a placa é movida a camada do fluido que está em contato com ela se move na 
mesma velocidade, ou seja, o fluido está ligado à placa. 
 
1.4 Fluido em Mecânica dos Fluidos 
Comparando os acontecimentos descritos com as placas em um sólido e em um fluido 
temos que a definição mais técnica (chata) de um fluido é: 
“Uma substância que se deforma continuamente, quando submetida a uma força 
tangencial constante qualquer. ” 
Ou 
“Uma substância que, quando submetida a uma força tangencial constante, não atinge 
uma nova configuração de equilíbrio estático. ” 
Força tangencial = mexer a placa para o lado 
 
16 
1.5 Tensão de Cisalhamento 
Tensão de cisalhamento é uma força que tende a puxar um certo material com duas 
forças opostas cada uma em uma metade do material. É como se você pegasse uma 
borracha em pé, na parte de cima você puxa para a direita e na parte de baixo para a 
esquerda. Se forçar demais, pode ser que a borracha se rasgue no meio. Por isso se chama 
cisalhamento (cortar). 
Brunetti define a tensão de cisalhamento como uma força 
aplicada tangente à uma superfície (mexeram a superfície para 
o lado), então decompondo essa força temos a força normal e 
uma força que atinge ao lado da superfície, essa é uma força de 
cisalhamento que está sendo aplicada sobre a superfície de área 
A. 
𝜏 =
𝐹𝜏
𝐴
 
 
1.6 Tensão de Cisalhamento num Fluido 
Imagina-se que o fluido é formado por um aglomerado de camadas (placas) uma em 
cima da outra. A observação feita no princípio da aderência (onde duas placas estavam 
entre um fluido) ainda é válida. 
Veja como essa força 𝐹𝜏 está atingindo ao lado da placa. Isso a fará se movimentar, da 
mesma forma como analisamos no princípio da aderência (alguém mexeu a placa para 
o lado). 
Observou-se anteriormente que o fluido, quando se movia a placa superior, se 
comportava como uma “borracha que se estica infinitamente”. Isso significa que a placa 
inferior nunca vai se mover. Então, quando a placa superior for atingida por uma força 
ela tenderá a atingir uma velocidade 𝑣0 constante e isso é indício de que há forças 
internas no fluido que acabam por se equilibrar com a força aplicada 𝐹𝜏. 
 
17 
1.7 As Tensões Entre Camadas 
Mas porque haveria uma força interna? Imagine que essa “velocidade constante” é na 
verdade velocidade nula, ou seja, a placa superior parou. Quando se aplica a força a um 
determinado material e ele se move, ele irá parar somente se houver alguma força 
contra esse material que o fará diminuir a sua velocidade gradualmente até parar. 
E é verdade que se empurramos uma placa em cima da água uma hora ela irá parar, 
não? E que forças internas são essas? 
Como o fluido é formado por várias “placas” quando a placa superior é movimentada a 
debaixo irá se movimentar também e assim sucessivamente, mas você se lembra que a 
placa inferior não se move? Isso significa que as placas se deslizam uma em cima da 
outra, mas com velocidades cada vez menores. E essa velocidade só reduz porque algo 
vai de contra. Esse “algo” é uma espécie de atrito, mas que aqui é chamado de tensão 
de cisalhamento. 
 
1.8 Lei de Newton 
Então vamos resumir: cada camada de um fluido que desliza sobre o outro irá formar 
tensões de cisalhamento, que multiplicando pela área da “placa” encontra-se as forças 
𝐹𝜏 que foi visto anteriormente. 
De um outro ponto de vista, a tensão de cisalhamento é relacionada a diferença de 
velocidade entre as “placas”. Porque se há uma diferença de velocidade então há alguma 
força que impede velocidades iguais. 
Newton descreve que a tensão de cisalhamento é diretamente proporcional á variação 
da velocidade em y (que é a altura). Ou seja, a velocidade varia ao passo que descemos 
as camadas, elas ficam mais lentas, logo a tensão de cisalhamento será menor. 
 
18 
1.9 Viscosidade 
Em uma definição primária: a viscosidade é o atrito interno em um fluido (1). Segundo 
Brunetti a viscosidade é originada por uma coesão (força atrativa) entre as moléculas e 
o choque entre elas. Brunetti também defini a viscosidade como: uma propriedade que 
indica a maior ou menor dificuldade que um fluido tem de fluir. 
Basicamente a viscosidade é o quanto mais “grosso” é o fluido. Veja o Ketchup, ele é um 
fluido “grosso” difícil de escorrer, isso significa que ele é um fluido viscoso. 
Como a tensão de cisalhamento é diretamente proporcional á variação da velocidade 
com a altura, está faltando algo para se formar uma equação: uma constante. 
Já foi visto que a tensão de cisalhamento é a responsável pelo retardo da velocidade do 
deslizamento entre camadas. Mas e se fosse um fluido como a água? Ou como um 
ketchup? Se fosse num ketchup com certeza as camadas do fluido se moveriam muito 
pouco (porque ele é “grosso”) se relacionado com a água. 
 
1.10 Tensão de Cisalhamento e Viscosidade 
Entendemos agora que um fluido quando é viscoso a velocidade de deslizamento diminui 
drasticamente porque se torna mais difícil de mover suas placas. A tensão de 
cisalhamento é o “atrito” que diminui a velocidade de deslizamento das camadas, logo 
chegamos a conclusão de que quanto maior a viscosidade de um fluido maior será o 
“atrito” que irá impedir a velocidade de deslizamento. Por fim: 
𝜏 = 𝜇
𝑑𝑣
𝑑𝑦
 
A tensão de cisalhamento é diretamente proporcional ao produto da viscosidade (𝜇) com 
a variação de velocidade em y. 
 
19 
1.11 Condições Ambientais 
Analisando os fluidos de acordo com as condições ambientais, uma alta temperatura em 
fluidos líquidosresulta na diminuição da viscosidade enquanto em fluidos gases a 
viscosidade aumenta. 
O aumento da temperatura aumentará a energia cinética das moléculas dos fluidos e 
num fluido líquido as suas moléculas tendem a diminuir suas interações intermoleculares 
(é por essa razão que um líquido entra em ebulição) consequentemente a viscosidade 
diminuirá. Num fluido gasoso o aumento da temperatura irá agitar as moléculas cada 
vez mais, diminuindo os espaços entre as moléculas do gás, dessa forma o gás ficará 
mais “denso” e consequentemente sua viscosidade aumentará. 
 
1.12 O Gradiente 
Quando foi dito que a tensão de cisalhamento é diretamente proporcional á variação da 
velocidade em y, na verdade estamos falando de um gradiente de velocidade. 
Segundo James Stewart (3): “Se f é uma função de 
duas variáveis x e y, então o gradiente de f é a função 
vetorial 𝛻𝑓 definida por: 𝛻𝑓(𝑥, 𝑦) = (𝑓𝑥(𝑥, 𝑦), 𝑓𝑦(𝑥, 𝑦)) =
𝜕𝑓
𝜕𝑥
𝑖 +
𝜕𝑓
𝜕𝑦
𝑗 ” 
Mas temos um porém, essa velocidade não está 
dependendo só de y? Como é que ela vai ter duas 
variáveis? Bom, na verdade esse “gradiente” está mais 
para taxa de variação da velocidade como define James Stewart (4): “O quociente 
∆𝑦
∆𝑥
 𝑜𝑢 
𝑑𝑦
𝑑𝑥
 é denominado taxa média de variação de y em relação a x no intervalo [𝑥1, 𝑥2] 
e pode ser interpretado como a inclinação da reta secante PQ na figura ao lado. ” 
 
1.13 Simplificação Prática 
O gradiente da velocidade 
𝑑𝑣
𝑑𝑦
 descreve este comportamento abaixo: 
Fonte: James Stewart, Cálculo I 
20 
 
 
O gradiente mede o quão rápido a função sai de uma camada até a outra. Mas quando 
o espaço entre essas camadas é muito pequeno, a derivada pode ser simplesmente 
ignorada e então usamos uma equação comum em vez de derivadas. 
𝜏 = 𝜇
𝑣0
𝜀
 𝑠𝑒 𝑒 𝑠𝑜𝑚𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑠𝑒 𝑦 = 𝜀 < 4 𝑚𝑚 
 
Exemplo 1 
Um pistão de peso G = 4 N cai dentro de um cilindro com uma velocidade constante de 
2 m/s. O diâmetro do cilindro é 10,1 cm e o do pistão é 10,0 m. Determinar a 
viscosidade do lubrificante colocado na folga entre o pistão e o cilindro. 
 
 
Vamos imaginar a imagem apresentada virada na horizontal. Veja como agora temos 
placas uma em cima das outras, considere as laterais do cilindro e do pistão como placas 
também. Então, nós queremos analisar o fluido que está entre as placas do cilindro e do 
pistão. 
Fonte: Franco Brunetti, Mecânica dos Fluidos 
Fonte: Franco Brunetti, Mecânica dos Fluidos 
21 
 
Ora, o peso do pistão pode ser interpretado como uma 𝐹𝜏, de tal forma que essa força 
irá provocar a tensão cisalhante. Podemos calcular essa tensão, usando a área de contato 
com o pistão. Veja que a área de contato não é a área total do pistão, porque o fluido 
não está completamente em todo pistão, somente em volta. 
Mas porque tem que ser a área de contato do pistão e não a do cilindro em volta do 
pistão? Deixa eu lhe fazer uma pergunta: quem está se momento o pistão ou o cilindro 
em volta dele? 
Agora calculamos a tensão cisalhante no fluido provocado pelo pistão: 
𝜏 =
𝐹𝑡
𝐴
=
4 𝑁
2𝜋𝑟𝐿
=
4 𝑁
2𝜋(0,05 𝑚)(0,05 𝑚)
= 254,648 𝑁/𝑚2 
Porque 2𝜋𝑟𝐿? Essa é a área lateral de um cilindro, o comprimento de uma circunferência 
pela altura do cilindro. 
Agora vamos analisar a posição do fluido entre essas placas. Veja que entre o pistão e o 
cilindro temos 0,1 cm de distância e dividindo esse valor para cada lado onde o fluido 
está temos 0,5 mm. Esse valor é a distância entre uma placa e a outra onde entre elas 
está o fluido. Logo temos que 𝜀 = 0,5 mm que é muito menor que 4 mm. 
Com isso podemos usar a relação abaixo para encontra a viscosidade desse fluido: 
𝜏 = 𝜇
𝑣0
𝜀
→ 𝜇 = 𝜏
𝜀
𝑣0
= (254,648 𝑁/𝑚2)
0,0005 𝑚
2 𝑚/𝑠
= 6,37 × 10−2 𝑁𝑠/𝑚2 
Por fim, encontramos a viscosidade do fluido. 
 
22 
 
 
 
2. Descobrindo a ponta do iceberg – 
Características e Tipos de Fluidos 
2.1 Massa Específica 
A massa específica não é nenhuma novidade, mas esse termo será abordado aqui por 
causa da confusão que envolve explicar porque massa específica é diferente de densidade. 
Segundo Leonardo Araújo em seu artigo na internet (5): 
Os conceitos de densidade e massa específica podem ser os mesmos, 
dependendo do contexto. [...] No entanto, esta aparente confusão pode ser 
eliminada com o emprego do termo ‘densidade absoluta’, utilizado por 
Baptista e Lara (2010) para se referir à ‘massa específica’ e ‘densidade 
relativa’ para deixar claro que se refere à razão de massas específicas de 
dois fluidos. 
Resumindo: a densidade é uma propriedade de materiais e objetos enquanto massa 
específica é uma propriedade de substâncias. 
Então temos as diferenças das definições descritas por Nelson Lima (6): 
“A massa específica de uma substância é a razão entre a massa e o volume da substância. 
[...] Densidade absoluta de um corpo é a razão entre a massa e o volume do corpo. ” 
 
23 
2.2 Peso Específico 
Sabe aquelas versões 2.0 dos softwares? Então, o peso específico é a versão 2.0 da massa 
específica. Bom já sabemos que o peso é a massa vezes a aceleração da gravidade, então 
basicamente o peso específico é a massa específica vezes a aceleração da gravidade. 
Existe alguma explicação glamorosa em porque devemos usar esse tal peso específico? 
Não. É só mais uma relação da mecânica dos fluidos, mas que não deixa de ser verdade. 
𝛾 =
𝐺
𝑉
 
Onde G = peso (não sei porque) 
Com isso podemos dizer que o peso específico da água é: 
𝛾 = 𝜌𝑔 ≅ (1000 𝑘𝑔/𝑚3)(9,8 𝑚/𝑠2) ≅ 9800 𝑁/𝑚3 
 
2.3 Viscosidade Cinemática 
E para mais um upgrade de equações conhecidas, temos a viscosidade cinemática, uma 
versão 2.0 da viscosidade dinâmica (ou só viscosidade). Simplesmente é a viscosidade 
dinâmica sobre a massa específica. 
𝜈 =
𝜇
𝜌
 
Então podemos analisar essa relação. Veja que quanto maior a massa específica maior é 
a viscosidade dinâmica. Isso significa que se um fluido é denso sua viscosidade será maior. 
Bom até que isso tem sentido, não? Veja que se um gás é denso, significa que suas 
moléculas estão cada vez mais próximas, isso tem como consequência uma viscosidade 
maior, num líquido o pensamento é análogo. 
A viscosidade cinemática descreve o comportamento da viscosidade em relação à massa 
específica. 
 
24 
2.4 Tipos de Fluidos 
Os fluidos podem ser descritos como: 
• Ideal; 
• Incompressível. 
E entre os incompressíveis estão os: 
• Newtoniano; 
• Dilatante; 
• Pseudo Plástico; 
• Plástico de Bingham. 
 
2.5 Fluido Ideal 
Uma vez um professor disse assim: “Um gás ideal é que nem a pessoa ideal, não existe. 
”, maltratando os corações iludidos. 
Bom, segundo Brunetti: “Fluido ideal é aquele cuja viscosidade é nula.”. Então a 
viscosidade ser nula significa que o fluido não tem atrito interno, logo o comportamento 
da tensão cisalhante nesse fluido seria nulo. Pois quanto mais viscoso o fluido, maior é a 
tensão cisalhante. Digamos que a viscosidade é a “potência” da tensão de cisalhamento. 
Ora, se não há tensão de cisalhamento então as placas do fluido não serão atrasadas 
com o movimento da placa superior. Isso significa que tanto a placa superior como a 
inferior se movimentarão ao mesmo tempo, a placa inferior não terá mais a velocidade 
nula. 
 
2.6 Reflexões Sobre a Viscosidade 
Imagine uma pessoa em um pequeno barco no meio de um rio, essa pessoa pega um 
remo e começa a remar. 
25 
Ao entrar em contato com a água com a força exercida pela pessoa, o remo irá deslocar 
as camadas da água com a mesma velocidade que está sendo movido (princípio da 
aderência), o deslocamentodessas camadas irá produzir forças tangenciais contrárias 
(consequentemente tensão de cisalhamento). 
Pela terceira Lei de Newton, toda ação tem uma reação, quanto maior for a força do 
remo ao entrar em contato com a água maior serão as forças tangenciais contrárias. 
Essas forças resultarão numa forma de resistência contra o remo e pelo fato da pessoa 
está em um pequeno barco num rio, cujo atrito na superfície da água é muito pequeno, 
o pequeno barco irá se deslocar na direção oposta à força do remo, pois a resultante das 
forças opostas é maior do que a força do remo. 
 
2.7 A Consequência de uma Viscosidade Nula 
Então, imagine a mesma situação descrita anteriormente. 
Veja que quando o remo entrar na água a sua força irá deslocar as camadas do fluido. 
Mas você se lembra o que foi dito sobre um fluido com viscosidade nula? Bom, não 
existirá nenhuma força oposta à força do remo, porque não haverá tensão de 
cisalhamento. Consequentemente as camadas superiores terão a mesma velocidade que 
as camadas inferiores, ou seja, é como se o remo estivesse empurrando um grande bloco 
de gelo. Mas por ser um fluido com viscosidade nula, seria um fluido superfino, mais fino 
do que o ar (daí você imagina), logo seria praticamente impossível deslocar o pequeno 
barco no meio de um fluido ideal. 
E se uma pessoa tentasse “nadar” nesse fluido? A pessoa cairia até se deparar com 
alguma superfície sólida. (Imagine se jogar de um avião ás alturas, é a mesma coisa). 
 
26 
2.8 Fluido Incompressível 
Você um dia já deve ter sido uma criança peralta. Quem sabe um dia você já pegou uma 
seringa (sem a agulha) e colocou água dentro dela e o seu dedo na ponta da seringa. Aí 
depois de seu dedo quase cair você percebe que aconteceu absolutamente nada! 
Então, um fluido é incompressível segundo Brunetti quando: “o seu volume não varia ao 
modificar a pressão. ” Simplesmente você não pode diminuir o volume da água 
apertando com toda força do mundo o êmbolo da seringa. 
Digamos que todos os líquidos e alguns gases (em certas condições) são incompressíveis. 
Bom, na Termodinâmica, você verá que o fato de um fluido ser incompressível não é 
totalmente verdade, porque quando um fluido é submetido a uma certa pressão, 
realmente existe uma variação de volume, porém é tão pequena que para efeito de 
cálculos, pode ser desprezada. 
 
2.9 Tipos de Fluidos Incompressíveis 
Possa se dizer que 90 % dos fluidos incompressíveis são Newtonianos, aqueles que 
obedecem a Lei de Newton: “a tensão de cisalhamento é diretamente proporcional à 
taxa de variação da velocidade em y e à viscosidade do fluido”. 
Abaixo observa-se o comportamento de alguns tipos de fluidos em relação a Lei de 
Newton: 
27 
 
 
2.10 Tensão Cisalhante e o Tempo 
Porque devemos trocar o óleo do carro ou da moto? Bom, quando você tiver que abrir 
o motor e pagar uns 200 R$ por isso você terá um bom motivo para trocar de óleo 
periodicamente. 
Quando um fluido perde sua tensão cisalhante com o tempo, significa que as forças 
contrarias a qualquer força externa serão diminuídas. Então imagine que o óleo que está 
deslizando entre os pistões do carro está se tornando água, o atrito do pistão com as 
paredes cilíndricas vai aumentar e causar superaquecimento, então temos dois tipos de 
fluidos que variam sua tensão cisalhante com o tempo. 
28 
 
 
Exemplo 2 
Um dispositivo é constituído de dois pistões de mesmas dimensões geométricas que se 
deslocam em dois cilindros de mesmas dimensões. Entre os pistões e os cilindros existe 
um lubrificante de viscosidade dinâmica 10−2 𝑁𝑠/𝑚2. O peso específico do pistão 1 é 
20000 𝑁/𝑚3 qual é o peso específico de 2 para que o conjunto se desloque na direção 
indicada com a velocidade constante de 2 𝑚/𝑠? Desprezar atrito das cordas. 
 
 
Nunca devemos esquecer que estamos nunca disciplina de mecânica, ora continua sendo 
toda aquela mecânica que você aprendeu antes, só que dessa vez é nos fluidos! 
Fonte: Franco Brunetti, Mecânica dos Fluidos 
29 
Então vamos desenhar um diagrama de corpo livre sobre a situação descrita: 
 
Veja que o enunciado expõe que o mesmo fluido está em ambos os pistões, então a força 
tangencial é a mesma para os dois pistões e a corda é a mesma para os dois pistões, 
então a força de tensão será a mesma. 
Não temos o valor da altura dos cilindros. Temos duas incógnitas, o valor do peso 
específico de 2 e a altura dos cilindros, mas em contrapartida podemos ter duas 
equações. Isso é um sistema. 
As equações baseadas no diagrama: 
{
𝑇 = 𝐺2 + 𝐹𝜏
𝐺1 = 𝑇 + 𝐹𝜏
→ 𝑆𝑢𝑏𝑠𝑡𝑖𝑡𝑢𝑖𝑛𝑑𝑜 → 𝐺1 = 𝐺2 + 2𝐹𝜏 
Vamos calcular 𝐹𝜏. Veja que o lubrificante está entre o pistão de 10 cm e o cilindro ao 
redor de 10,1 cm, então em cada lado o lubrificante está a 0,5 mm que é muito menor 
que 4 mm, por isso usamos a simplificação: 
𝜏 =
𝐹𝜏
A
→ 𝐹𝜏 = 𝜏𝐴 = 𝜇
𝑣
𝑒
𝐴 = (10−2 𝑁𝑠/𝑚)
2 𝑚/𝑠
0,0005 𝑚
𝐴 = 40𝐴 
Agora, como não temos os pesos de cada pistão utilizamos a alternativa do peso 
específico: 
𝛾 =
𝐺
𝑉
→ 𝐺 = 𝛾𝑉 
E como as dimensões são as mesmas, o volume é igual para ambos: 
𝐺1 = 𝐺2 + 80𝐴 → 𝛾1𝑉 = 𝛾2𝑉 + 80𝐴 → 𝛾1 = 𝛾2 +
80𝐴
𝑉
 
30 
Não temos o valor da altura do cilindro, mas temos a presença da altura tanto no 
volume quanto na área, então a altura será cancelada: 
𝛾1 = 𝛾2 +
80(2𝜋𝑟𝐿)
𝜋𝑟2𝐿
= 𝛾2 +
80(2𝜋(0,05))
𝜋(0,05)2
= 𝛾2 + 3200 
𝛾2 = 20000 − 3200 = 16800 𝑁/𝑚
3 
 
 
31 
 
 
 
3. A entidade que te persegue por toda 
faculdade - Pressão 
3.1 Estática dos fluidos 
Algo que está estático é tudo aquilo que está em repouso, imóvel, sem se mover (2). E 
porque o estudo de fluidos estáticos seria interessante? No coração desse assunto está os 
estudos das pressões de fluidos, um assunto realmente interessante. 
O que seria essa tal pressão? Bom, com o seu dedo você pode empurrar o braço de um 
colega seu, a ação que o seu dedo faz ao empurrar o braço de alguém é justamente uma 
pressão. 
Muita gente usa a expressão “estou sendo pressionado por fulano”, hum.. Quer dizer que 
fulano está sentando em cima de você e te pressionando? Acho que sentar em cima de 
alguém é outra coisa e não pressão... Na verdade a pressão no dito popular é na verdade 
uma metáfora, mas é condizente ao real sentido de pressão. 
Imagine que alguém está lhe empurrando na beira de uma janela para você cair, e você 
faz força para que essa pessoa não consiga jogar você da janela. Isso é a pressão do dito 
popular. 
 
3.2 Pressão 
Mas então, o que é mesmo pressão? Basicamente é uma força distribuída numa certa 
área. Mas se apertar o dedo no braço de alguém é uma pressão, o que seria uma força? 
32 
Na verdade, quando empurramos a geladeira de casa na hora da limpeza o que estamos 
exercendo é uma força e a geladeira está sofrendo uma pressão. Nós não somos capazes 
de fazer com que a geladeira sofra uma força, nossas mãos conduzem força até a 
geladeira e então estamos pegando uma certa área (mesmo que pequena) da geladeira. 
Lembre-se, uma força é pontual e um ponto não tem dimensões. 
 
3.3 Pressão de um Fluido 
Segundo Young (1): “quando um fluido (um gás ou líquido) está em repouso, ele exerce 
uma força perpendicular sobre qualquer superfície que esteja em contato come ele [...] 
as forças exercidas pelo fluido são oriundas das colisões moleculares com as superfícies 
vizinhas. ” 
Porque um fluido exerce uma pressão? Imagine uma piscina, você está do lado de fora, 
não há nada interferindo no volume da água, então ela está de boas. Mas a partir do 
momento que você entra na piscina, você se torna meio que um “corpo estranho”então 
a água deve estar pensando: “quem é esse filho de égua que está dentro mim? Sai fora 
daqui! ” 
Lembra da pessoa te empurrando para você cair da janela? Bom, agora ela se chama 
água. Sem delongas, as moléculas ficam se colidindo com a superfície da sua pele que 
tem moléculas diferentes da água, ou seja, temos um caso de xenofobia aqui, essas colisões 
são forças que distribuída sobre a sua pele resulta na pressão. 
 
3.4 Exemplos de Pressão de Fluidos 
Lembra quando você tentava sair correndo da piscina e lá na frente saiu quase morrendo 
de tanto fazer esforço? O nome dela é pressão, a garota que te faz sofrer, ela dificulta 
sua vida, torna tudo tão mais pesado e não se pode evita-la. 
Lembra daquele papo de que os bolivianos mascam folha de coca? Bom, eles não 
drogados, calma ae. A folha de coca ajuda na respiração e o coração, isso porque a 
33 
Bolívia é um país de grande altitude e consequentemente é mais difícil respirar. Mas 
porque é difícil respirar? Sim, por causa da pressão. Como o nosso ar atmosférico é um 
fluido, então a sonsa da pressão está lá. Do mesmo jeito que explicado antes, nós somos 
um “corpo estranho” nas moléculas do ar, e então essas moléculas se chocam com as 
nossas e causam a pressão. No caso da altitude, temos uma baixa pressão e isso significa 
que as colisões estão diminuindo. Mas como se ainda estou lá? Se você ainda está lá e a 
pressão está diminuindo significa que outros tipos de moléculas não estão presentes e 
uma delas é justamente o oxigênio que respiramos. 
 
3.5 Pressão de um Gás 
Sim, é verdade que o ar que respiramos é um gás e que ele também tem suas pressões 
altas e baixas assim como foi exemplificado anteriormente. Mas para casos laboratoriais 
e industriais é inútil se preocupara com a modificação da pressão de um gás dentro de 
um recipiente. Veja que para ocorrer mudança na pressão atmosférica é necessário 
saímos do terreno comum para uma altitude muito alta, como uma montanha. 
Por isso, a diferença de pressão entre dois pontos de um gás é desprezada, o gás é tido 
como um fluido com pressão constante em toda sua extensão, pois suas moléculas estão 
longe demais e são muito poucas para causar colisões grandes à uma superfície. 
 
3.6 Equação da Pressão 
A pressão é definida matematicamente por: 
𝑃 =
𝐹
𝐴
 
Olhando um pouco melhor para essa equação temos que quanto menor a área maior a 
pressão. 
Lembra quando você ia encher as garrafas de água da sua casa e então você apertava a 
boca da mangueira porque pensava que era mais rápido? Então, quando a boca da 
34 
mangueira é larga a água sai numa velocidade menor, isso porque não há muita pressão 
da mangueira, mas quando você coloca seu dedo a área diminui muito e então a água 
começa a sair numa velocidade maior, porém a vazão volumétrica é a mesma. 
Se você não tem muita noção de pressão relacionada com velocidade, lembre-se de uma 
seringa com água: quanto maior for a força no êmbolo mais rápido a água sairá. 
 
3.7 Teorema de Stevin 
“A pressão de um fluido é função direta da altura (profundidade) e não da largura ou 
comprimento. ” 
∆𝑃 = 𝛾∆ℎ = 𝜌𝑔∆ℎ 
O teorema de Stevin remete o que já sabemos por experiência da vida que a pressão 
varia com a altura, assim como foi dado no exemplo da Bolívia. Mas como entender isso? 
Imagine a água novamente, sabemos que carregar 100 litros de água é impossível, 10 
litros já se pode carregar com um certo esforço e 1 litro é muito fácil. Imagine um 
tanque de água e uma escada dentro dele, a cada degrau que você desce você precisa 
carregar a água que toca no degrau, e quanto mais se desce a quantidade de água vai 
acumulando. Quando se chega no fundo, existe uma grande quantidade de água para se 
carregar, se tornando muito pesado para as suas costas. 
Nesse caso o “pesado” seria uma pressão alta e o “leve” uma pressão baixa. 
 
3.8 Explicação Analítica 
O exemplo do grande tanque é só para se ter o entendimento de como é o 
comportamento da pressão em um fluido. Mas ao organizar a equação mostrada antes 
temos: 
𝑃 = 𝑃𝑜 + 𝜌𝑔ℎ 
35 
A explicação dada por Young (2) é que 𝑃𝑜 é a pressão na superfície do fluido, ou seja, 
seria a pressão na altura zero e 𝑃 é uma pressão de qualquer ponto do fluido. Então, a 
pressão de qualquer parte do fluido é simplesmente a própria pressão na superfície do 
fluido mais a altura em produto com o peso específico. 
Veja que o peso específico participa do cálculo, ou seja, quanto mais profundo se está no 
fluido mais “pesado” ele fica, assim como foi explicado com o exemplo do tanque, um 
objeto no fundo de um fluido terá que suportar toda a quantidade de fluido que está 
acima dele, como se ele estivesse o carregando nas costas. 
 
3.9 Pressão Atmosférica 
Pelo fato de muitas das vezes a pressão atmosférica não interferir nos processos voltados 
aos fluidos, a pressão atmosférica é desconsiderada. A pressão atmosférica seria 
representada pelo 𝑃𝑜, que é a pressão na superfície do fluido (sem interferência humana 
ou mecânica), então a pressão em qualquer ponto de um fluido é: 
𝑃 = 𝜌𝑔ℎ 
Muitas das vezes não é conveniente envolver a pressão atmosférica nessas análises, isso 
porque essa pressão não muda facilmente ficando quase estática se tornando uma simples 
constante. 
 
3.10 Lei de Pascal 
A Lei de Pascal expressa o seguinte: 
“A pressão aplicada a um fluido no interior de um recipiente é transmitida sem 
nenhuma diminuição a todos os pontos do fluido e para as paredes do recipiente. ” 
Ou seja, é como se o fluido se comportasse num efeito dominó. Se você empurrar o fluido 
na sua superfície com um pistão as moléculas vão empurrar uma fileira após a outra até 
chegar no fundo recipiente. É como se houvessem várias fileiras de pessoas e cada fileira 
36 
empurrasse a de trás contra a parede, com certeza o pessoal da última fileira vai morrer 
espremido. 
A Lei de Pascal não procura quantificar a pressão do fluido e sim o quanto ele aumentou, 
porque assim como a pressão é transmitida para todo o fluido a mesma pressão exercida 
na sua superfície será somada à pressão no fundo do recipiente. 
𝑃 = 𝑃𝑜 
 
3.11 Análise da Lei de Pascal 
Mas como assim a pressão da superfície é igual a pressão de qualquer ponto do fluido? 
Lembre-se: essa lei não está medindo a pressão do fluido, e sim a pressão exercida sobre 
o fluido. 
 
 
No exemplo da imagem, pela lei de Pascal, uma pressão qualquer exercida sobre o fluido 
será transmitido, sem perdas, por toda a extensão do fluido, então no exemplo acima a 
pressão exercida pelo êmbolo 1 será a mesma que empurrará o êmbolo 2. Portanto: 
𝑃1 = 𝑃2 →
𝐹1
𝐴1
=
𝐹2
𝐴2
 
 
3.12 Pressão e Altura 
A pressão é distribuída uniformemente em toda a extensão do fluido. Como a pressão 
independe do formato do recipiente no qual o fluido está, a altura atingida pelo fluido 
numa certa pressão sempre será a mesma. A figura abaixo exemplifica essa situação: 
Fonte: Franco Brunetti, Mecânica dos Fluidos 
37 
 
Para isso ser verdade não deve haver descontinuidade no fluido, como uma barreira ou 
a presença de outro fluido. 
 
3.13 Pressão Absoluta e Efetiva 
Nos laboratórios e na indústria é muito utilizado escalas de pressão, a absoluta e a efetiva. 
Essas escalas são utilizadas justamente por causa do que foi explicado sobre pressão 
atmosférica, ela é desprezada. A pressão absoluta leva a pressão atmosférica em 
consideração e a pressão efetiva a despreza. 
Um exemplo de pressão efetiva são os medidos de pressões, eles medem na verdade a 
pressão efetiva de alguma coisa e não a pressão absoluta. Mas já estamos acostumados 
com a pressão atmosférica no diaa dia se houver alguma pressão diferente aí sim iremos 
sentir. Por esse motivo os medidores de pressão trabalham somente com a pressão 
efetiva. 
 
Fonte: Silva, Domiciano. Mundo Educação 
38 
3.14 Medidores de Pressão 
3.14.1 Barômetro 
Um barômetro é representado pela imagem ao lado: 
O barômetro foi construído por Torricelli para o estudo 
da pressão atmosférica. 
A pressão atmosférica é medida diretamente da altura 
atingida pelo mercúrio. A pressão atmosférica atinge o 
mercúrio no prato e pela lei de Pascal essa mesma pressão 
é transmitida por todo o fluido e como no topo da coluna 
somente há alguns gases de mercúrio, então considera-se 
isso como vácuo, logo não há pressão contra a pressão 
atmosférica e a altura atingida será o resultado direto da 
pressão atmosférica. 
A altura encontrada foi: 
760 𝑚𝑚𝐻𝑔 = 760 𝑇𝑜𝑟𝑟 = 1 𝑎𝑡𝑚 
 
3.14.2 Piezômetro 
Um piezômetro é exemplificado ao lado: 
Mede a pressão diretamente. Pode ser ligado a um reservatório ou uma encanação, mas 
possui desvantagens: sua configuração faz com que grandes pressões resultem em valores 
de altura da coluna inviáveis, ou seja, para 
medir algo com alta pressão é necessária 
uma coluna enorme para o sistema; 
Seu sistema não permite a medição de 
pressão negativa, isto é, vácuo, porque 
simplesmente a pressão atmosférica é 
Fonte: Sears Young 
Fonte: Franco Brunetti, Mecânica dos Fluidos 
39 
maior do que o vácuo e fará o medidor sair de sua escala. 
 
3.14.3 Manômetro em U 
Young (1) expõe melhor o que é um Manômetro em U ao 
lado: 
Esse medidor já pode fazer uma medição de pressão 
negativa. A pressão dentro do balão é uma pressão que se 
deseja conhecer enquanto o outro tudo está aberto à pressão 
atmosférica. Como a pressão no fundo do recipiente é 
conhecida, pois as pressões são iguais mesmo com pressões 
inicias diferentes, pode-se calcular a pressão existente 
dentro do balão através da diferença de altura das colunas. 
 
3.14.4 Manômetro Diferencial 
O mesmo manômetro, mas dessa vez é uma medição sem a pressão atmosférica, como 
mostra a figura ao lado: 
Um fluido está entre dois gases com pressões diferentes, 
cada gás irá exercer uma pressão no fluido e o gás de 
maior pressão irá empurrar o fluido do seu lado 
aumentado a altura do fluido no lado do outro gás. 
Pressões iguais dos dois lados irão equilibrar o fluido em 
alturas iguais nas colunas. 
 
Exemplo 3 
Tem-se um manômetro diferencial abaixo, a densidade de do fluido A tem valor de 
720 𝑘𝑔/𝑚2. Determine 𝑃𝐴 − 𝑃𝐵 e quem é maior. Onde ℎ1 = 15 𝑐𝑚, ℎ2 = 25 𝑐𝑚 e ℎ3 = 35 𝑐𝑚. 
Fonte: Sears Young 
Fonte: Franco Brunetti, Mecânica dos Fluidos 
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Primeiramente se deve ter uma referência. Para isso, escolhemos o ponto 2 como 
referência. Lembre-se: Estamos estudando mecânica dos Fluidos, e mecânica sempre 
precisa de uma referência. 
Veja o ponto 1, esse cara está um pouco abaixo da superfície, se ele estivesse na superfície 
a pressão nesse ponto seria o próprio 𝑃𝐴. Lembra do exemplo do tanque com uma escada 
dentro? Então, se estamos na superfície não precisamos carregar nada, mas ao descer 
um pouquinho aquele ponto além da pressão de A terá que “suportar” o “peso” da água 
em cima dele. Então a pressão no ponto 1 é a pressão de A mais alguma coisa e essa 
coisa é calculada pelo peso específico do fluido com a altura: 
𝑃1 = 𝑃𝐴 + 𝛾ℎ = 𝑃𝐴 + (9800
𝑁
𝑚3
) (0,15 𝑚) = 𝑃𝐴 + 1470
𝑁
𝑚2
 
 
Veja que o ponto 1 está na mesma altura que o ponto 2, se eles são o mesmo fluido 
então temos a lei de Pascal que diz que a pressão aplicada é distribuída sem perda por 
todo o fluido. Como os dois pontos estão na mesma altura e como a altura é relacionada 
a pressão os dois pontos são iguais: 
𝑃1 = 𝑃2 
Fonte: Washington Braga, PUC – Rio. Editado pelo Autor 
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Agora observando o ponto 2’, veja que já estamos em outro fluido. A água que está um 
pouco mais embaixo exerce uma pressão na superfície do fluido essa pressão é conhecida, 
pois acabamos de encontrá-la. Como o ponto está um pouco mais acima a pressão será 
a pressão na superfície menos alguma coisa, essa coisa é o peso específico com a altura, 
mas porque menos? É como se ao subir a quantidade de água que o ponto deve 
“suportar” seja cada vez menor, ou seja, ao subir a pressão é aliviada. 
𝑃2
′ = 𝑃2 + 𝜌𝑔ℎ = 𝑃2 − (720
𝑘𝑔
𝑚2
) (9,8
𝑚
𝑠2
) (0,25 𝑚) = 𝑃2 − 1764
𝑁
𝑚2
 
O ponto 3’ está na mesma altura que o ponto 2’ logo já sabemos o resultado né: 
𝑃2
′ = 𝑃3
′ 
E o ponto 3 já está dentro da água. o fluido A está exercendo uma pressão na superfície 
da água, a qual já conhecemos o valor, mas como o ponto 3 está um pouco embaixo da 
superfície ele terá que “carregar” mais água em suas costas, ficando assim: 
𝑃3 = 𝑃3
′ + (9800
𝑁
𝑚3
) (0,25 𝑚) = 𝑃3
′ + 2450
𝑁
𝑚2
 
Por fim já sabemos que a pressão do ponto 3 é igual ao ponto 4: 
𝑃3 = 𝑃4 
A pressão no ponto 4 agora está sendo influenciado pela pressão de B que está exercendo 
uma pressão superficial na água. Portanto, o ponto 4 terá que suportar a pressão de B 
mais o peso da água: 
𝑃4 = 𝑃𝐵 + (9800
𝑁
𝑚3
) (0,35 𝑚) = 𝑃𝐵 + 3430
𝑁
𝑚2
 
Com isso agora temos um belo sistema linear: 
{
 
 
 
 
 
 
𝑃1 = 𝑃𝐴 + 1470
𝑃1 = 𝑃2
𝑃2
′ = 𝑃2 − 1764
𝑃2
′ = 𝑃3
′
𝑃3 = 𝑃3
′ + 2450
𝑃3 = 𝑃4
𝑃4 = 𝑃𝐵 + 3430
→ {
𝑃1 − 𝑃𝐴 = 1470
𝑃2
′ − 𝑃1 = −1764
𝑃3 − 𝑃2
′ = 2450
𝑃3 − 𝑃𝐵 = 3430
→ 𝑃𝐴 − 𝑃𝐵 = 1274
𝑁
𝑚2
 
Em função do resultado encontrado temos que: 
42 
𝑃𝐴 − 𝑃𝐵 = 1274 → 𝑃𝐴 = 1274 + 𝑃𝐵 
Ou seja, a pressão em A é muito maior do que em B. O resultado encontrado através 
das equações é sempre o mesmo, mas a equação sempre pode mudar de acordo com o 
método adotado por você e de acordo com o ponto de referência escolhido. 
Esse método utilizado foi somente para o início do seu compreendimento de como os 
pontos influenciam um ao outro no manômetro, mas no próximo capítulo você verá 
métodos mais rápidos de resolução desses tipos de situações.
43 
 
 
 
4. Treinamento de cães – Exercícios 
resolvidos 
4.1 Base Teórica 
Antes de você meter a cara na resolução dos exercícios é preciso entender o que é que 
está acontecendo. Os exercícios a frente irão 
abordar manômetro e todos eles obedecem às 
teorias estudadas antes. 
Veja o manômetro abaixo que usamos no exemplo 
da aula anterior: 
O manômetro se fundamenta no teorema de 
Stevin e na lei de Pascal. Vamos relembra-los: 
O teorema de Stevin diz que a pressão em 
qualquer ponto do fluido é a pressão superficial 
mais alguma coisa: 
𝑃 = 𝑃𝑜 + 𝜌𝑔ℎ 
A lei de Pascal diz que uma pressão aplicada no fluido será distribuída, sem perdas, por 
todo o fluido e pelas paredes do recipiente. 
𝐹1
𝐴1
=
𝐹2
𝐴2
 
Não importa a forma do manômetro, se você estiver a par da teoria saberá lhe dar com 
qualquer situação. Toda vez que um manômetro for calculado deve-se prestar atenção 
com qual o tipo de fluido e que tipo de manômetro é esse. 
Fonte: Washington Braga, PUC – 
Rio. Editado pelo Autor 
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Abordarei três casos aqui: 
• Manômetro aberto, com um líquido e um gás; 
• Manômetro aberto, com dois líquidos; 
• Manômetro fechado, com três líquidos. 
 
4.1.1 Forma correta de utilizar o teorema de Stevin 
O equívoco na hora de resolver questões com manômetros está na forma errada de 
utilização do teorema de Stevin, para evitar confusões vamos estabelecer um padrão: 
• O fluido manométrico é o divisor de águas: 
Pela lei de Pascal a pressão no fundo horizontal do