Os Termos de Dipolo e Monopolo em Relação ao Campo Elétrico

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UNIVERSIDADE FEDERAL DO ACRE – UFAC 
BACHARELADO EM ENGENHARIA ELÉTRICA 
ELETROMAGNETISMO I 
 DIA: 05/12/2014 
 OS TERMOS DE DIPOLO E MONOPOLO 
Como nós já sabemos o cálculo do potencial elétrico é diretamente independente da 
distância a qual a carga está submetida. Em termos dimensionais podemos calculá-lo da 
seguinte forma: 
MONOPOLO: Cálculo do potencial elétrico referente a uma dimensão, uma referência. 
DIPOLO: Cálculo do potencial elétrico referente a duas dimensões, duas referências 
QUADRIPOLO: Cálculo do potencial elétrico referente a três dimensões, três referências. 
.... 
POLOS ENÉSIMOS: Cálculo do potencial elétrico referente a n dimensões. 
Assim, nós temos que, em termos de ‘polos’ (referências) podemos calcular o potencial 
elétrico da seguinte maneira: 
𝑉(𝑟) = 𝑉𝑚𝑜𝑛 + 𝑉𝑑𝑖𝑝 + 𝑉𝑞𝑢𝑎𝑑 + ⋯ + 𝑉𝑛−𝑝𝑜𝑙𝑜𝑠 
𝑉(𝑟) =
1
4𝜋𝜀0
∫
𝜙𝐸
�⃗⃗�
𝜕𝜏 ′ 
 Essa integral é uma integral de superfície, onde 𝜏’ é uma superfície qualquer onde o 
corpo está situado. 
 Note que, assim como qualquer potencial elétrico, ele é diretamente proporcional ao 
raio, e que aqui não estamos considerando grandezas vetoriais, e sim seu módulo. 
 DEFINIÇÃO: 
Sejam: 
𝑟′⃗⃗⃗ = raio em forma vetorial do potencial elétrico, �⃗⃗�=raio em forma vetorial do fluxo elétrico, 
𝑟 = o vetor soma dos dois raios citados acima, formando um paralelogramo, então: 
𝑟 = 𝑟′⃗⃗⃗ + �⃗⃗� ∴ �⃗⃗� = 𝑟 − 𝑟′⃗⃗⃗ 
Note que o objetivo acima é colocar o raio em forma vetorial do fluxo elétrico em 
função do raio do potencial elétrico, já que nosso objetivo é calcular o potencial elétrico. 
 Assim encontramos o potencial do monopolo, apenas colocando a função cosseno 
para determinar a direção do vetor 𝑟′⃗⃗⃗: 
𝑉𝑚𝑜𝑛 =
1
4𝜋𝜀0𝑟2
∫ 𝑟′ cos 𝜃′ 𝜙𝐸𝜕𝜏′ 
𝑉𝑚𝑜𝑛 =
𝑄
4𝜋𝜀0𝑟
 
 Onde Q é o somatório de todas as cargas envolvidas no processo, caso o raio seja o 
mesmo. 
 Para uma carga pontual Q na origem o termo potencial do monopolo é chamado de 
potencial exato, e pode ser calculado multiplicando o módulo a distância pelo valor da carga. 
𝑉𝑚𝑜𝑛 = ∑ 𝑞𝑖𝑑𝑖
𝑛
𝑖=0
 
 Onde 𝑑𝑖 são as inúmeras distâncias de cada carga até o ponto de análise e 𝑞𝑖 são as 
inúmeras cargas analisadas. 
 Sabendo que: 
𝑟′ cos 𝜃′ = 𝑟′ − 𝑟 
𝑝 = 𝑟′ ∫ 𝜙𝐸 (𝑟
′)𝜕𝜏 = ∑ 𝑟𝑖𝑞𝑖
𝑛
𝑖=0
 
𝑉𝑑𝑖𝑝 =
1
4𝜋𝜀0
�̂� ∫ 𝑟′𝜙 𝐸 𝜕𝜏 
𝜙 𝐸(𝑟
′)𝜕𝜏 = 𝑑𝑞 
 Onde: 
𝑝= é o momento de dipolo, 𝜙𝐸 (𝑟
′) = fluxo elétrico em função de r’. 
 Com essas informações, nós temos que: 
𝑉𝑑𝑖𝑝 =
�̂�𝑝
4𝜋𝜀0𝑟2
 
 O momento de dipolo de um conjunto de cargas pontuais (citadas ou não na origem), 
é dado por: 
𝑝 = ∑ 𝑟𝑖𝑞𝑖
𝑛
𝑖=0
 
Ex.: PROBLEMA 3.27 – Pág. 106 
Dados: 
CARGA – DISTÂNCIA 
CARGA (C) DISTÂNCIA 
3q a 
q a 
-2q a 
-2q a 
 
Onde a distância está situada à direita e a sua respectiva carga está situada à esquerda, 
sempre respeitando um eixo de coordenadas e sua referência. 
Para o começo do cálculo, chamaremos de Q o somatório de todas as cargas pontuais, 
assim, como a distância a é igual para todos os termos, temos: 
𝑉𝑚𝑜𝑛 =
𝑄
4𝜋𝜀0𝑎
 
Para 𝑄 = 3𝑞 + 𝑞 − 2𝑞 − 2𝑞 = 0, assim 𝑉𝑚𝑜𝑛 = 0. 
Para o cálculo de 𝑉𝑑𝑖𝑝, primeiro temos que calcular o momento de dipolo, assim: 
𝑝 = ∑ 𝑟𝑖𝑞𝑖
𝑛
𝑖=0
 
CARGA (C) RAIO 
−𝑎�̂� q 
𝑎�̂� 3q 
𝑎�̂� -2q 
−𝑎�̂� -2q 
 
Assim: 
𝑝 = 𝑟1𝑞1 + 𝑟2𝑞2 + 𝑟3𝑞3 + 𝑟4𝑞4 ∴ 𝑝 = 2𝑎𝑞�̂� 
Portanto, o potencial do dipolo pode ser calculado de duas formas: 
𝑉𝑑𝑖𝑝 =
𝑝�̂�
4𝜋𝜀0𝑟2
=
𝑝 cos 𝜃
4𝜋𝜀0𝑟2
 ∴ 𝑉𝑑𝑖𝑝 =
2𝑎𝑞�̂��̂�
4𝜋𝜀0𝑟2
=
𝑎𝑞 cos 𝜃
2𝜋𝜀0𝑟2
 
Onde 𝜃 é o ângulo formado pelos vetores direcionais de 𝑝 e �̂�, o vetor raio do 
potencial elétrico.