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Gabarito da Primeira Avaliac¸a˜o Presencial de Ca´lculo I
Cada uma das questo˜es vale 2.5 pontos.
1a Questa˜o
Encontre as ass´ıntotas verticais e horizontais da func¸a˜o f(x) =
x− 1
x− 2.
O domı´nio da func¸a˜o f e´ D(f) = {x ∈ R;x 6= 2} = R− {2}.
Comportamento assinto´tico vertical: ana´lise da func¸a˜o em torno de x = 2.
lim
x→2−
x− 1
x− 2 = −∞ limx→2+
x− 1
x− 2 = +∞
Comportamento assinto´tico horizontal: limites de f quando x tende a +∞ e a −∞.
lim
x→±∞
x− 1
x− 2 = 1.
Conclusa˜o: A func¸a˜o tem uma ass´ıntota vertical, x = 2, e tem uma ass´ıntota horizontal,
y = 1.
2a Questa˜o
Calcule os seguintes limites:
(a) lim
x→1
1− x3
1− x2 =
3
2
(b) lim
x→3−
f(x) = lim
x→3−
x− 1 = 2
lim
x→3+
f(x) = lim
x→3+
3x− 7 = 2
(c) lim
x→0
sen 4x
3x
=
4
3
3a Questa˜o
Encontre a equac¸a˜o da reta tangente a` curva x2y − 2y3 = 7 no ponto (−3, 1).
2xy + x2
dy
dx
− 6y2 dy
dx
= 0 =⇒ (x2 − 6y2)dy
dx
= −2xy =⇒
=⇒ dy
dx
= − 2xy
x2 − 6y2 .
Assim, para x = −3 e y = 1, temos dy
dx
= 2 = m
1
A equac¸a˜o da reta tangente e´ dada por
y − 1 = 2 · (x+ 3) =⇒ y = 2 x+ 7.
4a Questa˜o
Calcule a derivada de cada uma das seguintes func¸o˜es, simplificando sua resposta:
(a) f(x) =
3x
2 + x3
f ′(x) =
3(2 + x3)− (3x2) (3x)
(2 + x3)2
=
−6 (x3 − 1)
(2 + x3)2
=
6 (1− x3)
x6 + 4x3 + 4
(b) g(x) = 4 sen 6x2 g′(x) = 48 x cos 6 x2
2