AP1-CL1-2015 2-Gabarito

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Fundac¸a˜o Centro de Cieˆncias e Educac¸a˜o Superior a Distaˆncia do Estado do Rio de Janeiro
Centro de Educac¸a˜o Superior a Distaˆncia do Estado do Rio de Janeiro
RESPOSTAS – AP1 – CA´LCULO 1 – 19/09/2015
Nome: Matr´ıcula:
Po´lo: Data:
Atenc¸a˜o!
• Identifique a Prova, colocando Nome, Matr´ıcula, • O desenvolvimento das questo˜es pode ser a la´pis. No entanto,
Polo e Data; as respostas devera˜o estar necessariamente a` caneta;
• E´ expressamente proibido o uso de calculadoras; • E´ expressamente proibido o uso de corretivo nas respostas.
• Devolver a prova e a folha de respostas ao res-
ponsa´vel;
Questa˜o 1 [2 pontos]
Calcule os seguintes limites de func¸o˜es:
(a)[1 ponto] lim
x→−1
(x2 − 2x) sen(x+ 1)
x3 − x2 − 2x (b) [1 ponto] limx→−∞
x5 −√3x4 + x2
2x3 − x+√7
Soluc¸a˜o:
(a) lim
x→−1
(x2 − 2x) sen (x+ 1)
x3 − x2 − 2x = limx→−1
(x2 − 2x) sen (x+ 1)
x(x+ 1)(x− 2) = limx→−1
[
(x2 − 2x)
x(x− 2) ·
sen (x+ 1)
(x+ 1)
]
=
= lim
x→−1
(x2 − 2x)
x(x− 2) · limx→−1
sen (x+ 1)
(x+ 1)
= lim
x→−1
x(x− 2)
x(x− 2) · limx→−1
sen (x+ 1)
(x+ 1)
= 1
(b) lim
x→−∞
x5 −√3x4 + x2
2x3 − x+√7 = limx→−∞
x5
(
1−
√
3
x
+
1
x3
)
x3
(
2− 1
x2
+
1
x3
) = lim
x→−∞
x5
2x3
= lim
x→−∞
x2
2
= +∞
Questa˜o 2 [2 pontos]
Determine os valores de a e b para que a func¸a˜o f definida abaixo seja diferencia´vel:
f(x) =
{
x2 + x− 2, se x ≤ 4
b− ax, se x > 4
Soluc¸a˜o:
Para que f seja diferencia´vel, e´ necessa´rio, primeiramente, que f seja cont´ınua, ou seja, f tem que
ser cont´ınua em 4:
lim
x→4+
f(x) = lim
x→4−
f(x) = f(4).
Temos que:
(i) f(4) = 18
(ii) lim
x→4+
f(x) = lim
x→4+
b− ax = b− 4a
CA´LCULO 1 AP1 2
(iii) lim
x→4−
f(x) = lim
x→4−
x2 + x− 2 = 18
De (i) = (ii) = (iii), obtemos a equac¸a˜o b − 4a = 18. Logo, para que f seja cont´ınua em 4,
devemos ter b− 4a = 18.
Por outro lado, para que f seja diferencia´vel, f deve ser diferencia´vel em x = 4, ou seja:
f ′−(4) = f
′
+(4).
Como f ′+(4) = −a e f ′−(4) = 9, segue que a = −9. Da´ı, da equac¸a˜o b − 4a = 18 obtida acima,
segue que b = −18.
Questa˜o 3 [2 pontos]
Calcule a derivada das seguintes func¸o˜es:
(a)[1 ponto] f(x) =
1− e2x
4 + x2
(b)[1 ponto] g(x) = (x4 + x) cos(x2 − 1)
Soluc¸a˜o:
(a) f ′(x) =
(−2e2x)(4 + x2)− (1− e2x)(2x)
(4 + x2)2
=
(−2x2 + 2x− 8)e2x − 2x
(4 + x2)2
(b) g′(x) = (4x3 + 1) cos(x2 − 1) + (x4 + x) (−2x) sen(x2 − 1) =
= (4x3 + 1) cos(x2 − 1)− (2x2)(x3 + 1) sen(x2 − 1)
Questa˜o 4 [2 pontos]
Seja y = f(x), y < −1, uma func¸a˜o deriva´vel definida implicitamente pela equac¸a˜o
2x3 − xy2 − 4y = 10.
Seja r a reta tangente ao gra´fico de f no ponto P de abscissa −1.
(a)[1,5 pontos] Determine o coeficiente angular da reta r;
(b)[0,5 pontos] Determine a equac¸a˜o da reta r.
Soluc¸a˜o:
(a) Primeiramente, devemos determinar o ponto P . Assim, como P = (x, y) = (−1, f(−1)), para
determinarmos y = f(−1), substitu´ımos x = −1 na equac¸a˜o e obtemos:
2(−1)3 − (−1)y2 − 4y = 10 ⇒ y2 − 4y − 2 = 10 ⇒ y2 − 4y − 12 = 0 ⇒ y = −2 ou y = 6.
Como, por hipo´tese, y < −1, segue que y = f(−1) = −2 e, portanto, P = (−1,−2).
Agora, derivando implicitamente, obtemos:
6x2 − y2 − x(2y)dy
dx
− 4dy
dx
= 0 ⇒ dy
dx
=
y2 − 6x2
−2xy − 4 .
Logo,
Fundac¸a˜o CECIERJ Conso´rcio CEDERJ
CA´LCULO 1 AP1 3
f ′(−1) = dy
dx
∣∣∣
x=−1
=
(−2)2 − 6(−1)2
−2(−1)(−2)− 4 =
−2
−8 =
1
4
.
Portanto, o coeficiente angular da reta r e´
1
4
.
(b) Segue de (a) que a equac¸a˜o da reta r e´:
y = −2 + 1
4
(x+ 1) =
x− 7
4
.
Questa˜o 5 [2 pontos]
Um c´ırculo se expande de tal modo que o comprimento do seu raio varia a` raza˜o de 2 cm/s. Determine
a taxa de variac¸a˜o de sua a´rea no instante em que o comprimento do seu raio e´ 10 cm/s.
Soluc¸a˜o:
Denotemos por r = r(t) o comprimento do raio do c´ırculo no instante t. Assim, A(r) = pi r2 denota
a a´rea do c´ırculo em func¸a˜o de seu raio r.
Para todo t, temos que:
dA
dt
=
dA
dr
dr
dt
.
Como
dA
dr
= 2pi r e, como nos e´ dado,
dr
dt
= 2, segue que
dA
dt
= 4pi r(t), para todo t.
Logo, quando r(t) = 10, obtemos
dA
dt
= 40pi.
Portanto, a taxa de variac¸a˜o desejada e´ de 40pi cm2/s.
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