AP2 CI 2009 1 gabarito

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Gabarito da AP2 de Ca´lculo I- 1/2009
1a Questa˜o (2,0 pontos) Determine a a´rea do maior retaˆngulo que pode ser inscrito em
um c´ırculo de a´rea 4pi. Justifique sua resposta mostrando que realmente temos um ma´ximo
absoluto no intervalo apropriado.
Soluc¸a˜o:
A´rea do retaˆngulo = 4× a´rea do retaˆngulo menor xy.
Maximizar: A = xy onde y =
√
4− x2.
A = 4x
√
4− x2.
dA
dx
= 4
√
4− x2 + 4x(−2x)
2
√
4− x2 =
4(4− x2)− 4x2√
1− x2 .
dA
dx
=
16− 8x2√
1− x2 .
Enta˜o,
dA
dx
= 0 ∴ 16− 8x2 = 0 =⇒ x = ±√2.
Soluc¸a˜o x =
√
2 e y =
√
2. Ou seja, x = y.
Assim, a resposta e´ o quadrado inscrito e, portanto, a´rea e´ A = 8.
Outra poss´ıvel soluc¸a˜o:
1
Restric¸a˜o : x2 + y2 = (4)2 =⇒ x2 + y2 = 16
Maximizar: A = xy
y2 = 16− x2 =⇒ y = √16− x2 =⇒ A = x√16− x2 definida para 0 ≤ x ≤ 4
Procuramos por ma´ximo absoluto no intervalo fechado [0, 4].
dA
dx
=
16− 2x2√
16− x2
Pontos cr´ıticos:
dA
dx
= 0 =⇒ 16− 2x2 = 0⇐⇒ x2 = 8 =⇒ x = √8 = 2√2
dA
dx
na˜o existe se x = ±4
Pontos cr´ıticos em [0, 4]: x = 0, x = 2
√
2 e x = 4.
Comparando temos:
• x = 0, A = 0
• x = 2√2, A = 8
• x = 4, A = 0
Enta˜o, x = 2
√
2 e´ o ponto de ma´ximo absoluto em [0, 4].
Portanto, a resposta e´ o quadrado inscrito e a a´rea e´ A = 8.
2a Questa˜o (2,0 pontos) Dado o gra´fico de uma func¸a˜o real f , determine:
a) intersec¸a˜o com os eixos coordenados;
b) ass´ıntotas;
c) intervalos onde f e´ crescente ou decrescente;
d) intervalos onde f tem concavidade para baixo ou para cima.
2
Soluc¸a˜o: a) Intersec¸a˜o com o eixo dos x em (1, 0).
b) Ass´ıntota vertical: x = 0 e Ass´ıntota horizontal: y = 0
c) Decrescimento: (−∞, 0) ∪ (3,∞) e Crescimento: (0, 3)
d) Concavidade para baixo: (−∞, 0) e (0, 3) e Concavidade para cima: (3,∞)
3a Questa˜o (2,0 pontos) Calcule as derivadas das seguintes func¸o˜es:
a) f(x) = x arc tg (2x) b) f(x) =
4x
1 + x2
Soluc¸a˜o:
a) f(x) = x arc tg (2x) f ′(x) = arc tg (2x) +
2x
1 + 4x2
b) f(x) =
4x
1 + x2
f ′(x) =
4− 4x2
(1 + x2)2
4a Questa˜o (2,0 pontos) Calcule os seguintes limites:
a) lim
x→0
2x2 − 1 + cos (2x)
x4
b) lim
x→+∞
x2 + 3
x2 − 1
Soluc¸a˜o:
a) lim
x→0
2x2 − 1 + cos (2x)
x4
= lim
x→0
4x− sen (2x) . 2
4x3
= lim
x→0
4x− 2 sen (2x)
4x3
=
= lim
x→0
4− 4 cos (2x)
12x2
= lim
x→0
0 + 8sen (2x)
24x
=
= lim
x→0
8sen (2x)
12 (2x)
=
8
12
=
2
3
3
b) lim
x→+∞
x2 + 3
x2 − 1 = limx→+∞
x2(1 + 3/x2)
x2(1− 1/x2) = limx→+∞
1 + 3/x2
1− 1/x2 = 1
5a Questa˜o (2,0 pontos) Uma piscina esta´ sendo drenada para que seja feito um reparo. Se
o seu volume de a´gua inicial era 90 000 litros e depois de um tempo de t horas este volume
diminuiu 2 500 t2 litros, determinar:
a) o tempo necessa´rio para o esvaziamento da piscina;
b) a taxa me´dia de escoamento no intervalo [2, 5];
c) a taxa de escoamento depois de 2 horas do in´ıcio do processo.
Soluc¸a˜o:
a) V = 90 000− 2 500 t2 = 0
t2 = 90 000/2 500 = 36 =⇒ t = 6 horas.
b)
∆V
∆ t
=
90 000− 2 500 52 − 90 000 + 2 500 22
3
= − 17 500 l/h.
c)
d V
d t
= −5 000 t. No tempo t = 2, temos d V
d t
∣∣∣
t=2
= −10 000 l/h.
4