AD1-C1-2015-2 gabarito

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Fundac¸a˜o Centro de Cieˆncias e Educac¸a˜o Superior a Distaˆncia do Estado do Rio de Janeiro
Centro de Educac¸a˜o Superior a Distaˆncia do Estado do Rio de Janeiro
AD1 – CA´LCULO I – 2015/2
Gabarito
Questa˜o 1 [2 pontos]
Calcule os seguintes limites de func¸o˜es:
(a) [1,0 ponto] lim
x→0
2− 2cos(x2)
x4 − 3x3 − 4x2 (b) [1,0 ponto] limx→−5+
|3 + 2x− x2| − 32
x2 + 3x− 10
Soluc¸a˜o:
(a) lim
x→0
2− 2cos(x2)
x4 − 3x3 − 4x2 = limx→0
[
2− 2cos(x2)
x4 − 3x3 − 4x2 ·
2 + 2cos(x2)
2 + 2cos(x2)
]
=
= lim
x→0
4− 4cos2(x2)
(x4 − 3x3 − 4x2)(2 + 2cos(x2)) = limx→0
4sen2(x2)
x2(x2 − 3x− 4)(2 + 2cos(x2)) =
= lim
x→0
4 sen(x2)
(x2 − 3x− 4)(2 + 2cos(x2)) · limx→0
sen(x2)
x2
= 0
(b) lim
x→−5+
|3 + 2x− x2| − 32
x2 + 3x− 10 = limx→−5+
(x2 − 2x− 3)− 32
(x+ 5)(x− 2) = limx→−5+
x2 − 2x− 35
(x+ 5)(x− 2) =
= lim
x→−5+
(x+ 5)(x− 7)
(x+ 5)(x− 2) = limx→−5+
x− 7
x− 2 =
12
7
Questa˜o 2 [2 pontos]
Considere o gra´fico da func¸a˜o ξ dado abaixo:
Determine, se existirem:
CA´LCULO I Gabarito AD1 2
(a) o dom´ınio D(ξ) e a imagem Im(ξ) de ξ; (b) lim
x→a+
ξ(x), lim
x→a−
ξ(x) e lim
x→a
ξ(x);
(c) lim
x→b+
ξ(x), lim
x→b−
ξ(x) e lim
x→b
ξ(x) (d) lim
x→c+
ξ(x), lim
x→c−
ξ(x) e lim
x→c
ξ(x);
(e) lim
x→d+
ξ(x), lim
x→d−
ξ(x) e lim
x→d
ξ(x); (f) lim
x→e+
ξ(x), lim
x→e−
ξ(x) e lim
x→e
ξ(x);
(g) lim
x→f+
ξ(x), lim
x→f−
ξ(x) e lim
x→f
ξ(x); (h) lim
x→g+
ξ(x), lim
x→g−
ξ(x) e lim
x→g
ξ(x);
(i) lim
x→h+
ξ(x), lim
x→h−
ξ(x) e lim
x→h
ξ(x); (j) lim
x→i+
ξ(x), lim
x→i−
ξ(x) e lim
x→i
ξ(x).
Soluc¸a˜o:
(a) D(ξ) = [a, i] e Im(ξ) = (−∞, L4];
(b) lim
x→a+
ξ(x) = L2, na˜o existem lim
x→a−
ξ(x) e lim
x→a
ξ(x);
(c) lim
x→b+
ξ(x) = lim
x→b−
ξ(x) = lim
x→b
ξ(x) = 0;
(d) lim
x→c+
ξ(x) = lim
x→c−
ξ(x) = lim
x→c
ξ(x) = 0;
(e) lim
x→d+
ξ(x) = lim
x→d−
ξ(x) = lim
x→d
ξ(x) = L3;
(f) lim
x→e+
ξ(x) = lim
x→e−
ξ(x) = lim
x→e
ξ(x) = 0;
(g) lim
x→f+
ξ(x) = lim
x→f−
ξ(x) = lim
x→f
ξ(x) = L1;
(h) lim
x→g+
ξ(x) = L3, lim
x→g−
ξ(x) = L1 e na˜o existe lim
x→g
ξ(x);
(i) lim
x→h+
ξ(x) = lim
x→h−
ξ(x) = lim
x→h
ξ(x) = L4;
(j) lim
x→i−
ξ(x) = l3 e na˜o existem lim
x→i+
ξ(x) e lim
x→i
ξ(x).
Questa˜o 3 [2,5 pontos]
Considere a func¸a˜o f(x) =
x2 + x− 1√
x4 − 3x3 − 4x2 .
(a) Determine o dom´ınio de f ;
(b) Encontre, caso existam, as ass´ıntotas horizontais e as ass´ıntotas verticais do gra´fico de f , fazendo
um estudo completo dos limites infinitos e no infinito;
(c) Trace um esboc¸o do gra´fico de f .
Soluc¸a˜o:
(a) D(f) = {x ∈ R; x4 − 3x3 − 4x2 > 0} = {x ∈ R; x2(x2 − 3x− 4) > 0} =
= {x ∈ R; x2(x− 4)(x+ 1) > 0} = {x ∈ R; (x− 4)(x+ 1) > 0} =
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CA´LCULO I Gabarito AD1 3
= {x ∈ R; x < −1 ou x > 4} = (−∞,−1) ∪ (4,+∞)
(b) Temos que:
(i) lim
x→4+
x2 + x− 1√
x4 − 3x3 − 4x2 = +∞, pois x
2 + x − 1 → 19 > 0 e √x4 − 3x3 − 4x2 → 0+ quando
x→ 4+;
(ii) lim
x→−1−
x2 + x− 1√
x4 − 3x3 − 4x2 = −∞, pois x
2 + x− 1→ −1 < 0 e √x4 − 3x3 − 4x2 → 0+ quando
x→ −1−;
(iii) lim
x→+∞
x2 + x− 1√
x4 − 3x3 − 4x2 = limx→+∞
x2
(
1 +
1
x
− 1
x2
)
√
x4
(
1− 3
x
− 4
x2
) = limx→+∞ x2√x4 = limx→+∞ x
2
x2
= 1;
(iv) lim
x→−∞
x2 + x− 1√
x4 − 3x3 − 4x2 = limx→−∞
x2
(
1 +
1
x
− 1
x2
)
√
x4
(
1− 3
x
− 4
x2
) = limx→−∞ x2√x4 = limx→−∞ x
2
x2
= 1;
De (i) e (ii), concluimos que as reta x = −1 e x = 4 sa˜o as ass´ıntotas verticais do gra´fico de f e,
de (iii) e (iv), concluimos que a reta y = 1 e´ a u´nica ass´ıntota horizontal do gra´fico de f .
(c) Um esboc¸o do gra´fico de f e´:
Questa˜o 4 [2,0 pontos]
Seja f : R → R definida por
f(x) =

x2 − 1, se x ≤ −1
B − 2Ax, se −1 < x ≤ 2
x3 − x+ C, se x > 2
Sabendo f e´ cont´ınua em todo o seu dom´ınio, determine B + C.
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CA´LCULO I Gabarito AD1 4
Soluc¸a˜o:
Se a func¸a˜o f e´ cont´ınua em todo o seu dom´ınio, enta˜o f e´ cont´ınua em x = −1 e em x = 2. Logo,
lim
x→−1+
f(x) = lim
x→−1−
f(x) = f(−1) e lim
x→2+
f(x) = lim
x→2−
f(x) = f(2).
Temos que:
(i) f(−1) = 0
(ii) f(2) = 6 + C
(iii) lim
x→−1+
f(x) = lim
x→−1+
B − 2Ax = B + 2A
(iv) lim
x→−1−
f(x) = lim
x→−1−
x2 − 1 = 0
(v) lim
x→2+
f(x) = lim
x→2+
x3 − x+ C = 6 + C
(vi) lim
x→2−
f(x) = lim
x→2−
B − 2Ax = B − 4A
De (i) = (iii) = (iv) e (ii) = (v) = (vi), obtemos, respectivamente, as equac¸o˜es B + 2A = 0 e
B − 4A = 6 + C. Da´ı, B = −2A e C = −6A− 6. Portanto, B + C = −8A− 6.
Questa˜o 5 [1,5 pontos]
Utilize o teorema do Valor Intermedia´rio para provar que a equac¸a˜o sen x = x2 − 4 admite duas
ra´ızes reais e distintas.
Soluc¸a˜o:
Seja f(x) = x2 − 4− senx.
(i) Temos que f
(−pi
2
)
< 0 < f
(−3pi
2
)
. Logo, pelo Teorema do Valor Intermedia´rio, que existe
c1 ∈
(−3pi
2
,
−pi
2
)
tal que f(c1) = 0. Logo, f possui uma raiz c1 em
(−3pi
2
,
−pi
2
)
.
(ii) Temos que f
(pi
2
)
< 0 < f
(3pi
2
)
. Logo, pelo Teorema do Valor Intermedia´rio, que existe
c2 ∈
(pi
2
,
3pi
2
)
tal que f(c2) = 0. Logo, f possui uma raiz c2 em
(pi
2
,
3pi
2
)
.
Como
(−3pi
2
,
−pi
2
)
e
(pi
2
,
3pi
2
)
sa˜o intervalos disjuntos, segue que c1 6= c2.
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