GAB AD2 CI 2015 2

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Fundac¸a˜o Centro de Cieˆncias e Educac¸a˜o Superior a Distaˆncia do Estado do Rio de Janeiro
Centro de Educac¸a˜o Superior a Distaˆncia do Estado do Rio de Janeiro
AD2 – CA´LCULO I – 2015/2
Gabarito
Questa˜o 1 [2 pontos]
Seja g : R→ R um func¸a˜o deriva´vel e seja f(x) = (x− 1)5 g(x2 − ex). Sabendo que g(−1) = 2
e g′(−1) = −3, determine f ′(0).
Soluc¸a˜o:
Escrevendo h(x) = x2− ex, temos que g(x2− ex) = g(h(x)) = (g ◦ h)(x) e h′(x) = 2x− ex, para
todo x ∈ R. Ainda,
f(x) = (x− 1)5 g(h(x)) = (x− 1)5 (g ◦ h)(x).
Utilizando a Regra da Produto, obtemos:
f ′(x) = 5(x− 1)4 · (g ◦ h)(x) + (x− 1)5 · (g ◦ h)′(x).
Utilizando a Regra da Cadeia, obtemos:
(g ◦ h)′(x) = g′(h(x)) · h′(x) = g′(x2 − ex) · h′(x) = g′(x2 − ex) · (2x− ex).
Da´ı,
f ′(x) = 5(x− 1)4 · g(x2 − ex) + (x− 1)5 · g′(x2 − ex) · (2x− ex).
Logo,
f ′(0) = 5 · g(−1) + (−1) · g′(−1) · (−1) = 5 · g(−1) + g′(−1).
Como g(−1) = 2 e g′(−1) = −3, segue que f ′(0) = 7.
Questa˜o 2 [2,0 pontos]
Seja y = f(x) uma func¸a˜o deriva´vel definida implicitamente pela equac¸a˜o
2x− xy2 + 3y − 8 = 0.
Se r e´ a reta tangente ao gra´fico de f no ponto P = (−1, 2), determine:
(a) [1,5 pontos] o coeficiente angular de r;
(b) [0,5 pontos] a equac¸a˜o de r.
Soluc¸a˜o:
(a) Derivando implicitamente, obtemos:
CA´LCULO I Gabarito AD2 2
2− y2 − 2xy dy
dx
+ 3
dy
dx
= 0 ⇒ dy
dx
=
y2 − 2
3− 2xy .
O coeficiente angular de r e´ f ′(−1) = dy
dx
∣∣∣
x=−1
=
22 − 2
3− 2(−1)(2) =
2
7
.
(b) Como o coeficiente angular de r e´
2
7
e P = (−1, 2), segue que a equac¸a˜o de r e´
y = 2 +
2
7
(x+ 1) =
2x+ 16
7
.
Questa˜o 3 [2,0 pontos]
Em um navio-petroleiro, um tanque sofreu uma ruptura e passou a derramar o´leo que se espalhou
em forma circular cujo raio cresce a uma taxa de 2m/h. Determine a taxa de variac¸a˜o da a´rea
do derramamento no instante em que o raio atingir 60m.
Soluc¸a˜o:
Denotemos por r = r(t) o comprimento do raio do c´ırculo no instante t. Assim, A(r) = pi r2
denota a a´rea do c´ırculo em func¸a˜o de seu raio r.
Para todo t, temos que:
dA
dt
=
dA
dr
dr
dt
.
Como
dA
dr
= 2pi r e, como nos e´ dado,
dr
dt
= 2, segue que
dA
dt
= 4pi r(t), para todo t.
Logo, quando r(t) = 60, obtemos
dA
dt
= 240pi.
Portanto, quando o raio atingir 60m, a a´rea do derramamento estara´ crescendo a uma taxa de
240pim2/h.
Questa˜o 4 [2,0 pontos]
O gra´fico da primeira derivada f ’ da func¸a˜o f , definida no intervalo (a, i), e´ dado a seguir:
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CA´LCULO I Gabarito AD2 3
(a) [0,5 pontos] Em que intervalos a func¸a˜o f e´ crescente? Justifique sua resposta.
(b) [0,5 pontos] Em que intervalos a func¸a˜o f e´ decrescente? Justifique sua resposta.
(c) [0,5 pontos] Em que intervalos o gra´fico da func¸a˜o f tem concavidade para cima? Justifique
sua resposta.
(d) [0,5 pontos] Em que intervalos o gra´fico da func¸a˜o f tem concavidade para baixo? Justi-
fique sua resposta.
Soluc¸a˜o:
(a) f e´ crescente nos intervalos onde f ′ > 0, ou seja, nos intervalos: (−4,−2), (−1, 0) e (0, 5).
(b) f e´ decrescente nos intervalos onde f ′ < 0, ou seja, no intervalo: (−2,−1).
(c) o gra´fico de f tem concavidade para cima nos intervalos onde f ′′ > 0, ou seja, nos intervalos
onde f ′ e´ crescente: (−4,−3.34), (−1.55,−0.4) e (0, 5).
(d) o gra´fico de f tem concavidade para baixo nos intervalos onde f ′′ < 0, ou seja, nos intervalos
onde f ′ e´ decrescente: (−3.34,−1.55) e (−0.4, 0).
Questa˜o 5 [2,0 pontos]
Considere a func¸a˜o f(x) = x4 (1− x)15 definida no intervalo [0, 1].
(a) [1,0 ponto] Verifique que as hipo´teses do Teorema de Rolle sa˜o satisfeitas;
(b) [1,0 ponto] Determine c ∈ (0, 1) tal que a reta tangente ao gra´fico de f no ponto P = (c, f(c))
seja paralela ao eixo x das abscissas.
Soluc¸a˜o:
(a) Temos que:
(i) f e´ cont´ınua em [0, 1] visto que f e´ polinomial;
(ii) f e´ deriva´vel em (0, 1):
f ′(x) = 4x3 (1− x)15 − 15x4 (1− x)14 = x3(1− x)14[4(1− x)− 15x] = x3(1− x)14(4− 19x);
(ii) f(0) = f(1) = 0.
Portanto, as hipo´teses do Teorema de Rolle sa˜o satisfeitas.
(b) Pelo Teorema de Rolle, existe c ∈ (0, 1) tal que f ′(c) = 0, ou seja, tal que
c3(1− c)14(4− 19c) = 0.
Da´ı, c = 0 ou c = 1 ou c =
4
19
.
Como 0, 1 /∈ (0, 1) e 4
19
∈ (0, 1), segue que c = 4
19
e o ponto procurado e´ P =
( 4
19
, f
( 4
19
))
.
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