Geometria Analitica e Algebra Linear

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Geometria Analítica 
e Álgebra Linear
Geometria Analítica e 
Álgebra Linear
Organizado por Universidade Luterana do Brasil
Universidade Luterana do Brasil – ULBRA
Canoas, RS
2016
Leomir Joel Schweig
Magda Leyser
Conselho Editorial EAD
Andréa de Azevedo Eick
Ângela da Rocha Rolla
Astomiro Romais
Claudiane Ramos Furtado
Dóris Gedrat
Honor de Almeida Neto
Maria Cleidia Klein Oliveira
Maria Lizete Schneider
Luiz Carlos Specht Filho
Vinicius Martins Flores
Obra organizada pela Universidade Luterana do Brasil. 
Informamos que é de inteira responsabilidade dos autores 
a emissão de conceitos.
Nenhuma parte desta publicação poderá ser reproduzida 
por qualquer meio ou forma sem prévia autorização da 
ULBRA.
A violação dos direitos autorais é crime estabelecido na Lei 
nº 9.610/98 e punido pelo Artigo 184 do Código Penal.
Dados técnicos do livro
Diagramação: Jonatan Souza
Revisão: Marcela Machado
Prezado(a) aluno(a)
Após 20 anos lecionando a disciplina de Geometria Analítica e Álge-
bra linear nos cursos presenciais da ULBRA – Canoas, fomos convidados 
para escrever um livro sobre esta disciplina para ser usado nos cursos de 
Educação a Distância.
Procuramos então escrever um texto objetivo, didático e simples, mas 
sem fugir dos aspectos formais da Matemática.
Geometria Analítica e Álgebra Linear é um livro introdutório ao estudo 
da Álgebra Linear que ocorre no Curso de Matemática e é uma ferramenta 
fundamental aos cursos de Engenharia, Física, Química e Computação, 
pela sua aplicação na solução de problemas e, principalmente, quando se 
alia ao Cálculo.
A Geometria Analítica é o estudo da Geometria associando equações 
algébricas aos entes geométricos, através do método cartesiano (no plano 
e no espaço). É importante salientar que são necessários alguns conheci-
mentos de Álgebra, Geometria Plana e Espacial como pré-requisitos.
O livro está dividido em 10 capítulos. O primeiro capítulo trata do estu-
do de matrizes, envolvendo principalmente a sua construção e operações. 
No segundo capítulo temos o estudo do determinante, que está associado 
às matrizes quadradas. No terceiro capítulo temos o estudo de equações 
e sistemas de equações lineares. Podemos dizer que esses três primeiros 
capítulos preparam o caminho para o estudo dos vetores e sua aplicação 
na Geometria. No quarto capítulo definimos vetor e as operações de uma 
forma mais geral. No capítulo cinco temos o estudo da decomposição de 
vetores no plano, com a introdução da ideia de base do plano e a repre-
Apresentação
Sumário v
sentação do vetor como combinação linear e as operações com vetores. 
No capítulo seis se estende o estudo dos vetores no espaço.
No capítulo sete estudamos os produtos entre os vetores com o seus 
significados geométricos e aplicações na Física. Nos capítulos oito e nove 
estudamos a reta e o plano, respectivamente, utilizando o estudo feito com 
vetores nos capítulos anteriores. No capítulo dez apresentamos as cônicas, 
através de seus elementos e suas equações.
No final de cada capítulo apresentamos alguns exemplos resolvidos e 
propomos exercícios para você resolver.
É de fundamental importância que você consulte os autores sugeridos 
nas referências bibliográficas, para aprimoramento e aprofundamento dos 
conteúdos.
Seja bem-vindo.
Professores Leomir Joel Schweig e Magda Leyser
Sobre o Autor
Leomir Joel Schweig possui graduação em Licenciatura Plena em Mate-
mática, pela Universidade do Vale do Rio dos Sinos (1988); Pós-graduação 
(Especialização) em Matemática, pela Universidade do Vale do Rio dos 
Sinos (1991) e Mestrado em Programa de Pós-Graduação em Energia Am-
biente e Materiais, pela Universidade Luterana do Brasil (2003). Foi coor-
denador dos Cursos de Matemática Licenciatura e Matemática Aplicada à 
Informática da Universidade Luterana do Brasil, campus Canoas, no triênio 
2010-2012. Tem experiência na área de Engenharia Agrícola, com ênfase 
em Desenvolvimento Sustentável. Foi professor de Matemática e Física em 
escolas de Ensino Fundamental e Médio no Município de Canoas – RS e 
diretor de Escola Estadual no período de 2004 a 2009. Ministrou Cursos 
de Extensão para professores do Ensino Fundamental e Médio. É professor 
da Universidade luterana do Brasil desde 1990, onde leciona as disciplinas 
de Geometria Analítica e Álgebra Linear e Cálculo.
Magda Leyser é Graduada em Licenciatura em Matemática, pela Univer-
sidade Federal do Rio Grande do Sul (1988); tem especialização em Infor-
mática na Educação, pela Pontifícia Universidade Católica do Rio Grande 
do Sul (1992) e mestrado em Computação, pela Universidade Federal do 
Rio Grande do Sul (1997). Atualmente é professora da Universidade Lute-
rana do Brasil (ULBRA) como docente dos cursos de graduação de Sistemas 
de Informação, Ciências da Computação, Engenharias e Licenciatura em 
Matemática. Tem experiência na área de Ciência da Computação, com 
ênfase em Matemática da Computação e Cálculo Numérico. Atua princi-
palmente nos seguintes temas: Cálculo Numérico, Softwares Educacionais, 
Geometria Dinâmica, Álgebra Linear, Lógica de Predicados e Matemática 
Financeira.
 1 Matrizes ...............................................................................1
 2 Determinante de uma Matriz ..............................................35
 3 Sistemas Lineares: Classificação e Resolução .......................58
 4 Generalidades sobre Vetores ............................................110
 5 Decomposição de Vetores no Plano ...................................128
 6 Decomposição de Vetores no Espaço .................................144
 7 Produtos entre Vetores ......................................................164
 8 A Reta ..............................................................................181
 9 O Plano ............................................................................203
 10 As Cônicas .......................................................................216
Sumário
Matrizes1
1 Mestre, Professora da Ulbra.
Magda Leyser1
Capítulo 1
2 Geometria Analítica e Álgebra Linear
Introdução
Neste capítulo, trabalharemos a construção e as operações 
básicas de matrizes. Essa organização, que podemos com-
parar com a estrutura de uma tabela, aparece na resolução 
de problemas para simplificar a apresentação, mas também 
contribui para a aplicação dos métodos de solução. Podemos 
apresentar como exemplo o que aparece em Boldrini (1980), 
em que uma tabela que descreve os dados de 4 pessoas re-
ferentes a sua altura, peso e idade é apresentada da seguinte 
forma:
Altura (m) Peso (kg) Idade (anos)
Pessoa 1 1,70 70 23
Pessoa 2 1,75 60 45
Pessoa 3 1,60 52 25
Pessoa 4 1,81 72 30
Ao desconsiderar o significado das linhas e colunas dessa 
tabela, teremos uma estrutura de linhas e colunas que pode 
ser apresentada da seguinte forma:
A partir dessa representação, podemos associar proprieda-
des e características que relacionem a altura, idade e peso de 
Capítulo 1 Matrizes 3
uma pessoa. Observe que, para um problema com um grande 
número de variáveis e de ocorrências, essa forma de apre-
sentar as informações torna-se importante para desenvolver a 
solução do problema em questão.
1 Como construir uma matriz
Podemos descrever uma matriz como um agrupamento retan-
gular de números, os quais, normalmente, são chamados de 
entradas ou elementos. O tamanho de uma matriz é deter-
minado pelo número de linhas (fileiras horizontais) e colunas 
(fileiras verticais).
Exemplo:
Na matriz 







−−
−−
−
=
4383
0846
4389
1023
A
 temos 4 linhas e 4 colunas, 
entretanto nesta 

 −
=
8152.0
1792
B
,
 temos 2 linhas e 4 colunas.
Usa-se colocar a tabela entre parênteses ( ) , entrebarras 
duplas || || ou entre colchetes [ ], como nos exemplos abai-
xo. Na matriz A, temos 4 linhas e 4 colunas, dizemos que a 
matriz é de ordem 4x4. Já a matriz B é de ordem 2x4, pois pos-
sui 2 linhas e 4 colunas. A ordem ajuda a determinar o número 
de entradas (ou elementos) da matriz. No caso, a matriz A tem 
16 entradas, 4 vezes 4, e a matriz B tem 8 entradas, 4 vezes 2.
4 Geometria Analítica e Álgebra Linear
As matrizes são identificadas por letras maiúsculas, e seus 
elementos (entradas) pela mesma variável (índice), sendo que 
são acompanhados de um par de números que representam 
a posição na matriz. O primeiro número indica a linha e o se-
gundo número indica a coluna. Portanto a31 = –6 representa 
o elemento da terceira linha e primeira coluna da matriz A. Já 
b13 = –7 representa o elemento da primeira linha e terceira 
coluna da matriz B.
Assim, o elemento representa o número que ocupa a 
posição da i-ésima linha na j-ésima coluna.
Genericamente, em uma matriz 4x4 temos:
A ordem da matriz A descrita acima é 4x4, pois ela possui 
4 linhas e 4 colunas. Já a matriz B possui tamanho 2x4, pois 
possui 2 linhas e 4 colunas. Há algumas situações particula-
res. Considere as matrizes a seguir:
Capítulo 1 Matrizes 5








=
3
5
2
C é uma matriz 3x1, também conhecida por matriz 
coluna, por existir somente uma coluna. Mais adiante chama-
remos esse tipo de matriz de vetor ou vetor-coluna.
 é uma matriz 1x2, também conhecida por ma-
triz linha, por existir somente uma linha, vetor-linha.
[ ]3=E é uma matriz 1x1, é uma matriz linha ou coluna. 
Nesses casos, omitimos a presença dos colchetes.
Portanto, uma situação de matriz genérica mxn, isto é, de 
m linhas e n colunas, temos:
Neste caso o 1° Índice de cada elemento indica a sua linha, 
e o 2° Índice de cada elemento indica a sua coluna, assim o 
elemento a23 está localizado na 2ª linha e 3ª coluna.
Observação:
1. Utilizam-se letras maiúsculas para representar uma Matriz.
2. A ordem de uma Matriz é dada pelo seu número de linhas e 
colunas. Assim, uma matriz 3x2 possui 3 linhas e 2 colunas.
6 Geometria Analítica e Álgebra Linear
Para construir uma matriz, podemos usar uma lei de for-
mação, apesar de que pode-se criar uma matriz sem uma lei 
específica. Uma lei de formação das posições de uma matriz 
pode seguir como referência o número da linha e/ou coluna. 
Por exemplo:
Se A é a matriz A=(aij)5x2, ela é uma matriz de ordem 5x2, 
isto é, de 5 linhas e 2 colunas onde suas posições são defini-
das por:
Ou seja, considerando i=1,2,3,4 e 5 (número das linhas) 
e j=1 e 2 (número das colunas), teremos:
Usando a lei de construção, conforme o número de linha e 
coluna de cada posição, temos:
 temos i=1 e j=1, então estamos na situação i=j, daí a 
lei de construção determina que:
Capítulo 1 Matrizes 7
=i+2j=1+2x1=1+2=3;
 temos i=1 e j=2, então estamos na situação i<j, daí a 
lei de construção determina que =0;
 temos i=2 e j=1, então estamos na situação i>j, daí a 
lei de construção determina que =2i=2x2=4;
 temos i=2 e j=2, então estamos na situação i=j, daí a 
lei de construção determina que =i+2j=2+2x2=2+4=6;
 temos i=3 e j=1, então estamos na situação i>j, daí a 
lei de construção determina que =2i=2x3=6;
 temos i=3 e j=2, então estamos na situação i>j, daí a 
lei de construção determina que =2i=2x3=6;
 temos i=4 e j=1, então estamos na situação i>j, daí a 
lei de construção determina que =2i=2x4=8;
 temos i=4 e j=2, então estamos na situação i>j, daí a 
lei de construção determina que =2i=2x4=8;
 temos i=5 e j=1, então estamos na situação i>j, daí a 
lei de construção determina que =2i=2x5=10;
 temos i=5 e j=2, então estamos na situação i>j, daí a 
lei de construção determina que =2i=2x5=10.
8 Geometria Analítica e Álgebra Linear
Observe que a ordem descrita na forma de 5x2 ajuda a de-
terminar o número total das 10 posições (entradas da matriz).
Se B é uma matriz B=(bij)3x3, ela é uma matriz de ordem 
3x3, isto é, de 3 linhas e 3 colunas onde suas posições são 
definidas por:
Ou seja, considerando i=1,2 e 3 (número das linhas) e 
j=1,2 e 3 (número das colunas), teremos:
Usando a lei de construção, conforme o número de linha e 
coluna de cada posição, temos:
 temos i=1 e j=1, então estamos na situação i é número 
ímpar, daí a lei de construção determina que =i-j=1-1=0;
Capítulo 1 Matrizes 9
 temos i=1 e j=2, então estamos na situação i é número 
ímpar, daí a lei de construção determina que =i-j=1-2= -1;
 temos i=1 e j=3, então estamos na situação i é número 
ímpar, daí a lei de construção determina que =i-j=1-3= -2;
 temos i=2 e j=1, então estamos na i é número par, daí 
a lei de construção determina que ;
 temos i=2 e j=2, então estamos na i é número par, daí 
a lei de construção determina que ;
 temos i=2 e j=3, então estamos na i é número par, daí 
a lei de construção determina que ;
 temos i=3 e j=1, então estamos na situação i é número 
ímpar, daí a lei de construção determina que =i-j=3-1= 2;
 temos i=3 e j=2, então estamos na situação i é número 
ímpar, daí a lei de construção determina que =i-j=3-2= 1;
 temos i=3 e j=3, então estamos na situação i é número 
ímpar, daí a lei de construção determina que =i-j=3-3= 0.
Observe que a ordem descrita na forma de 3x3 ajuda a 
determinar o número total das 9 posições (entradas da matriz).
10 Geometria Analítica e Álgebra Linear
2 Tipos de Matrizes
Matriz retangular
Matriz retangular é aquela em que o número de linhas é dife-
rente do número de colunas, sua ordem geral é do tipo mxn, 
com m linhas e n colunas.
Matriz quadrada
Matriz quadrada é aquela em que o número de linhas é igual 
ao número de colunas, sua ordem geral é do tipo nxn, ou, re-
sumidamente, ordem n. As matrizes quadradas possuem uma 
diagonal principal, que é formada pelas posições que possuem 
índices iguais. No caso de uma matriz 4x4, a diagonal prin-
cipal é formada pelos elementos , . A diagonal 
secundária é formada pelos elementos cuja soma dos índices 
é n+1. No caso de uma matriz 4x4, a diagonal secundária é 
formada pelos elementos , .
Matriz diagonal
Matriz diagonal é uma matriz quadrada cujos elementos que 
estão fora da diagonal principal são zeros.








−
−=
800
020
003
D
Capítulo 1 Matrizes 11
Matriz nula
Matriz nula é uma matriz mxn, cujos elementos são todos ze-
ros.



=
000
000
P,


=
000
000
PO
Matriz triangular superior
Matriz triangular superior é uma matriz quadrada que tem 
igual a zero todos os elementos abaixo da diagonal prin-
cipal. Resumidamente, é uma matriz A de ordem nxn onde 








−
−=
800
720
423
A
Matriz triangular inferior
Matriz triangular inferior é uma matriz quadrada que tem 
iguais a zero todos os elementos acima da diagonal prin-
cipal. Resumidamente, é uma matriz A de ordem nxn onde 
12 Geometria Analítica e Álgebra Linear
Matriz identidade
Matriz identidade é uma matriz quadrada cuja diagonal prin-
cipal é constituída de todos os elementos 1, e os demais ele-
mentos são nulos. Simbolizamos a matriz identidade por In ou 
Id, onde n indica a ordem da matriz.
Exemplo: matriz identidade de ordem 4 é I4 .
Matriz transposta
A transposta de uma matriz A mxn, representada por AT, é a 
matriz nxm obtida da permutação das linhas com as colunas 
de A, isto é, a primeira linha de A transforma-se na primeira 
coluna de AT, a segunda linha de A transforma-se na segunda 
coluna de AT, e assim por diante
Exemplo:
 e 


 −
=
58
32
C e 


−
=
53
82TC
Capítulo 1 Matrizes 13
Matriz simétrica
Matriz simétrica é uma matriz que é igual a sua transposta.Resumidamente, A é simétrica se AT= A.
Exemplo:
A matriz 

 −
=
58
32
C não é simétrica, pois 


−
=
53
82TC
C=

 −
≠
58
32
.
Entretanto, a matriz 







−
−
=
374
751
412
D é simétrica, pois 
DDT =








−
−
=
374
751
412
.
Traço de uma matriz
Sendo A uma matriz quadrada nxn, então o traço de A, deno-
tado por tr(A), é definido pela soma das entradas da diagonal 
principal de A. O traço de A não está definido para os casos 
em que A não é matriz quadrada.
Exemplo: o traço de 

 −
=
58
32
C temos que tr(C)= 2+5=7.








−−
−−
−
=
4383
0846
4389
1023
A
14 Geometria Analítica e Álgebra Linear
tem-se tr(A) = 3+8+ (-8)+(-4)=-1.
3 Operações sobre Matrizes
Multiplicação de uma matriz por um número 
(escalar)
Dada uma matriz A mxn e k um número real (escalar), de-
finimos uma nova matriz ao escrever ( )Ak × , onde devemos 
multiplicar todos os seus elementos pelo número k.
Exemplo: sejam as matrizes: 

 −
=
58
32
Ce
Soma (adição) e Diferença (subtração) de 
matrizes
Dadas duas matrizes A de ordem mxn e B de ordem mxn , ou 
seja, duas matrizes de mesma ordem, então a soma A+B é a 
matriz obtida da soma das entradas correspondentes de A e B. 
A diferença A – B é a matriz obtida da diferença da entrada de 
A e B.
Exemplo: Sejam as matrizes A, B e C:
 


 −
=
58
32
C
Capítulo 1 Matrizes 15


 −
8152.0
1792
,


 −
8152.0
1792
, 
A+C não está definida, pois as matrizes não possuem a 
mesma ordem. A é uma matriz 2x4 e B é uma matriz 2x2.
Produto de matrizes
Dadas as matrizes A de ordem mxn e B de ordem nxp, en-
tão o produto AxB é a matriz C, de ordem mxp. Só poderá 
ser efetuada a multiplicação AxB se o número de colunas da 
matriz A for igual ao número de linhas da matriz B. A matriz 
resultante da multiplicação tem as suas entradas determinadas 
pelo seguinte procedimento: para cada linha i de A e coluna J 
de B, multiplique as respectivas entradas da linha pela coluna 
e some os produtos resultantes.
16 Geometria Analítica e Álgebra Linear
Exemplo:
Sejam as matrizes
o que pode ser representado na seguinte tabela onde nas 
linhas representamos as linhas da matriz A e nas colunas re-
presentamos as colunas da matriz C.
A matriz resultante é a região definida pelas intersecções 
das operações realizadas entre as respectivas linhas e colu-
nas, assim AxC é descrita pela região sombreada em azul na 
tabela.
Capítulo 1 Matrizes 17
LEMBRETE: A definição da multiplicação de matrizes exige que o 
número de colunas da matriz A seja igual ao número de linhas 
da matriz C. Assim foi possível realizar o produto AxC. Entre-
tanto, é impossível fazer o produto CxA, pois a matriz C tem 3 
colunas e a matriz A tem 2 linhas.
Exemplo: Considerando as matrizes a seguir, verifique se é 
possível realizar as multiplicações. Em caso afirmativo, apre-
sente o resultado. Na situação de não ser possível realizar a 
multiplicação, apresente uma justificativa.
a) é possível reali-
zar a multiplicação, pois a matriz L tem: ordem 3x3 e a 
18 Geometria Analítica e Álgebra Linear
matriz U tem ordem 3x3. Assim, o número de colunas da 
matriz L é igual ao número de linhas da matriz U. Assim, 
o resultado da multiplicação é:
e a matriz X tem ordem 3x1. Assim, o número de colunas 
da matriz A é igual ao número de linhas da matriz X. Assim o 
resultado da multiplicação é:
Capítulo 1 Matrizes 19
4 Igualdade de matrizes
Duas matrizes A e B são ditas iguais se possuem a mesma or-
dem e suas entradas correspondentes são iguais.
Exemplo:
20 Geometria Analítica e Álgebra Linear


 −
=
56
32
A ,
 


 −
=
8152.0
1792
B
, 


 −
=
58
32
C
Nas matrizes acima, A2x2 é diferente de C2x2, pois, apesar 
de serem matrizes de mesma ordem, 2x2, elas têm alguma 
posição diferente, isto é: as matrizes não são iguais, pois 
8 c21.
Nesse caso, a matriz A2x2 não é igual a matriz B2x4, pois elas 
possuem ordens diferentes. A é 2x2 e B é 2x4.
Exemplo: Determine o valor de x, y e z na equação 
–
.
As duas matrizes são de ordem 2x3, pois têm 2 linhas e 3 
colunas. Para satisfazer a igualdade das matrizes cada entrada 
deve ser igual. Identificando as entradas onde aparecem as 
variáveis e observando que nas demais entradas as matrizes 
têm os mesmos valores, teremos que:
A entrada da primeira linha e primeira coluna das duas 
matrizes devem ser iguais, ou seja:
.
A entrada da primeira linha e terceira coluna das duas ma-
trizes devem ser iguais, ou seja:
Capítulo 1 Matrizes 21
–
+
21 .
A entrada da segunda linha e segunda coluna das duas 
matrizes devem ser iguais, ou seja:
.
Exemplo: Determine o valor de x, y e z na equação 
.
Realizando a multiplicação indicada na igualdade teremos:
.
As duas matrizes são de ordem 2x2, pois têm 2 linhas e 2 
colunas. Para satisfazer a igualdade das matrizes cada entrada 
da matriz deve ser igual, assim:
A entrada da primeira linha e primeiro coluna das duas 
matrizes devem ser iguais, ou seja:
7=x .
22 Geometria Analítica e Álgebra Linear
A entrada da segunda linha e primeira coluna das duas 
matrizes devem ser iguais, ou seja:
5=z .
A entrada da primeira linha e segunda coluna das duas 
matrizes devem ser iguais, ou seja:
.
A entrada da segunda linha e segunda coluna das duas 
matrizes devem ser iguais, ou seja: já sabemos que z=5, daí:
,
Exemplo: Dadas as matrizes e 
determine a matriz X tal que A-B+4X=0.
Capítulo 1 Matrizes 23
A partir da equação A-B+4X=0 vamos isolar o objeto que 
desejamos calcular no caso, determinar quem é a matriz X. 
Assim:
.
Dessa forma, para determinarmos a matriz X precisamos 
calcular:
 
)(
4
1X AB −=
5 Propriedades das Operações sobre 
Matrizes
Considerando que A, B e C sejam matrizes que permitem rea-
lizar as operações indicadas, temos as seguintes propriedades:
a) A+B= B+A (comutatividade para adição)
b) (A+B)+C= A+(B+C) (associatividade para adição)
c) (AxB)xC= Ax(BxC) (associatividade para multiplicação)
24 Geometria Analítica e Álgebra Linear
d) Ax(B+C)= AxB+AxC (distributividade a esquerda para 
multiplicação)
e) (A+B)xC= AxC+BxC (distributividade a direita para 
multiplicação)
6 Matriz inversa
Dada uma matriz quadrada A, nxn, chamaremos de inversa 
de A e representaremos por A–1 a matriz de mesma ordem (ta-
manho) que produz:
.
Nesse caso afirmaremos que A tem inversa ou é inversível. 
Se não é possível encontrar a inversa de A, diremos que A é 
não inversível ou singular.
Exemplo: Calcular a matriz inversa da matriz 


−
−
=
31
52
A , 
se existir.
Iniciamos pela definição de que . Portanto, a 
matriz inversa da matriz A deve ser uma matriz quadrada de 
ordem 2x2 para que possamos aplicar a multiplicação entre 
matrizes e que o resultado seja também uma matriz de ordem 
2x2 que deve ser igual a matriz Id. Assim, representando gene-
ricamente, a matriz inversa será:



=
−
dc
ba
A 1
Capítulo 1 Matrizes 25
Queremos determinar quais são os números reais a, b, c e d 
que fazem verdadeira a equação da definição de matriz inversa:
.
Usando a igualdade de matrizes para os elementos da pri-
meira coluna de cada matriz, onde aparecem a e c:
.
Neste sistema de equações, podemos usar o método da 
substituição ou outro método.
No caso, podemos isolar a na segunda equação, obtendo 
a=3c, e substituir essa igualdade na primeira equação, ob-
tendo:
.
Usando essevalor de c na equação que determina o valor 
de a , teremos:
26 Geometria Analítica e Álgebra Linear
.
Portanto já sabemos que:
.
Usando a igualdade de matrizes para os elementos da se-
gunda coluna de cada matriz, onde aparecem b e d:


=+−
=−
13
052
db
db
.
Neste sistema de equações, podemos usar o método da 
substituição ou outro método.
No caso, podemos isolar b na segunda equação, obten-
do b=3d-1, e substituir essa igualdade na primeira equação, 
obtendo:
.
Usando esse valor de d na equação que determina o valor 
de b, teremos:
Capítulo 1 Matrizes 27
.
Portanto podemos concluir que:



=
−
21
531A
.
Recapitulando
Neste capítulo estudamos a definição de matriz - um quadro 
de elementos dispostos em linhas e colunas. O número de li-
nhas e o número de colunas que formam a matriz nos indicam 
a sua ordem. Conforme a ordem classificamos os tipos de ma-
trizes. Vimos também como podemos representar este quadro.
Também vimos como se constroem matrizes e também as 
operações de adição, subtração, multiplicação de escalar por 
matriz, multiplicação entre matrizes, igualdade entre matrizes e 
o cálculo da matriz inversa.
Referências
ANTON, H. Álgebra Linear com Aplicações. 4. ed. Porto 
Alegre: Bookman, 2004.
28 Geometria Analítica e Álgebra Linear
BOLDRINI, J. L. et al. Álgebra Linear. 3. ed. São Paulo: Harper 
& Row do Brasil, 1980.
LEON, S. J. Álgebra Linear com Aplicações. 4. ed. Rio de 
Janeiro: LTC, 1999.
SANDOVAL JUNIOR, L. Álgebra Linear: para ciências econô-
micas, contábeis e da administração. São Paulo: Cengage 
Learning, 2010.
SANTOS, N. M. Vetores e matrizes: uma introdução à álge-
bra linear. 4. ed. São Paulo: Thompson, 2007.
Atividades
 1) Considerando as matrizes a seguir, identifique qual das 
alternativas abaixo apresenta a classificação correta das 
mesmas:
 
H = [2 2,5 – 0,5 – 2]
a) ( ) A é matriz identidade, B é matriz coluna, C é matriz 
quadrada, D é matriz linha, E é matriz identidade, H é 
matriz coluna.
b) ( ) A é matriz quadrada, B é matriz retangular, C é ma-
triz quadrada, D é matriz coluna, E é matriz identidade, 
H é matriz linha.
Capítulo 1 Matrizes 29
c) ( ) A é matriz identidade, B é matriz retangular, C é ma-
triz identidade, D é matriz coluna, E é matriz identidade, 
H é matriz linha.
d) ( ) A é matriz quadrada, B é matriz retangular, C é ma-
triz quadrada, D é matriz linha, E é matriz identidade, H 
é matriz coluna.
e) ( ) A é matriz quadrada, B é matriz retangular, C é ma-
triz identidade, D é matriz coluna, E é matriz identidade, 
H é matriz linha.
 2) Qual das alternativas a seguir é a matriz A=(aij), de ordem 
2x3, onde aij= (-2)
i+j ?
30 Geometria Analítica e Álgebra Linear
 3) Dadas as matrizes a seguir, associe a operação da coluna 
da esquerda com a respectiva solução na coluna da direi-
ta:
 4) Escolha a alternativa que apresenta o resultado correto 
para a matriz X e que satisfaz a igualdade 2A-C=4B+X, 
considerando as matrizes a seguir:
Capítulo 1 Matrizes 31
 5) Qual das alternativas a seguir é a resposta correta para a 
equação ?
 6) Dadas as matrizes: 


−
−
=
48
52
A , 


−
=
69
23
B e



−
−
=
32
37
C
:
32 Geometria Analítica e Álgebra Linear
a) Calcule a matriz X na igualdade 3X – 2A +3B = 4C.
b) Calcule a matriz X na igualdade: 
6423
2 BXCA
=+−
 7) Calcule a matriz inversa de cada matriz a seguir: 


−
=
13
12
A , 


−
=
42
31
B e 


−
−
=
42
63
C , se existirem.
 8) Dadas as matrizes: 


−
=
51
23
A e 


−
=
2
4
B , calcule a matriz 
X na igualdade BXA =. .
 9) Dadas as matrizes: 


−
=
53
24
A
 
e 


−
−
=
32
43
B , calcule a 
matriz X na igualdade BXA =. .
10) a) Uma matriz A de ordem 4x3 foi multiplicada por uma 
matriz B, de ordem mxn. A matriz produto C possui or-
dem 4x2. Então podemos dizer que m = .......... e n = 
...........
b) A seguir tem-se indicado a multiplicação entre duas 
matrizes M e N, cujo produto é a matriz P. Abaixo 
de cada matriz está indicada a ordem de cada uma. 
Complete as lacunas com a ordem correta, para que 
exista o produto:
 M x N = P
 ___ x 3 ___ x 5 6 x ___
 11) Uma das formas de se enviar uma mensagem secreta é 
por meio de códigos matemáticos, seguindo os passos:
Capítulo 1 Matrizes 33
1) Tanto o destinatário quanto o remetente possuem uma 
matriz chave C.
2) O destinatário recebe do remetente uma matriz P, tal que 
M.C = P, onde M é a matriz mensagem a ser decodifi-
cada.
3) Cada número da matriz M corresponde a uma letra do 
alfabeto: 1 = a; 2 = b; 3 = c, ... , 23 = z.
4) Consideremos o alfabeto com 23 letras, excluindo as 
letras k, w, y.
5) O número zero corresponde ao ponto de exclamação.
6) A mensagem é lida, encontrando a matriz M, fazendo a 
correspondência número/letra, e 
Ordenando as letras por linhas da matriz conforme segue: 
m11m12m13m21m22m23m31m32m33.
Considere as matrizes:








−=
120
010
011
C
 
e
 
Com base nos conhecimentos e nas informações descritas, 
assinale a alternativa que apresenta a mensagem que foi en-
viada por meio da matriz M.
a) ( ) Boasorte!
34 Geometria Analítica e Álgebra Linear
b) ( ) Boaprova!
c) ( ) Boatarde!
d) ( ) Ajudeme!
e) ( ) Socorro!
 12) As matrizes 


=
03
21
A e 


=
53
yx
B comutam, isto é, são 
tais que AB = BA. Calcule x e y.
Determinante de uma 
Matriz1
1 Mestre, Professora da Ulbra.
Magda Leyser1
Capítulo 2
36 Geometria Analítica e Álgebra Linear
Introdução
Abordaremos neste capítulo como efetuar o cálculo do deter-
minante de uma matriz. Conforme apresentado em Sandoval 
(2007), o conceito de determinante aparece na solução de 
sistemas de equações lineares, como discutiremos no próxi-
mo capítulo. É importante destacar que, conforme a ordem 
da matriz, podemos usar estratégias diferentes para calcular 
o determinante, mas todas essas estratégias estão associadas 
ao Teorema de Laplace que generaliza o cálculo desse antigo 
conceito de matrizes.
A ideia parte da possibilidade de associar a cada matriz A 
nxn um escalar, isto é, um número real chamado de det(A), ou 
representado por |A|, cujo valor vai determinar também se 
a matriz é ou não inversível. Relembrando, uma matriz é dita 
inversível se existe uma matriz A-1 tal que A x A-1=Id.
1 Determinante de matriz 2x2
Para uma matriz de ordem 2x2, por exemplo, 
definimos o 
,
ou seja, a diferença entre a multiplicação dos elementos da 
diagonal principal e os elementos da diagonal secundária.
Exemplos:
Capítulo 2 Determinante de uma Matriz 37
2 Determinante de matriz de ordem 3x3
Para uma matriz de ordem 3x3, por exemplo,
 definimos o
Uma alternativa é usar a Regra de Sarrus na qual empre-
gamos o seguinte procedimento:
A partir dessa apresentação, realizamos a diferença entre a 
multiplicação das posições da diagonal principal e da diago-
nal secundária.
Exemplo:
 
teremos det(A) melhor indicado o resultado
 
quando reescrevemos o sela, repetindo as duas primeiras co-
lunas:
38 Geometria Analítica e Álgebra Linear
negativas positivos
24
24
Podemos generalizar essa regra dizendo que o determinan-
te de terceira ordem, pela regra de Sarrus, é obtido repetindo-
-se as 2 primeiras colunas (ou as duas primeiras linhas) a di-
reita da 3ª coluna (ou abaixo da 3ª linha). A seguir somam-se 
os produtos dos elementos da diagonal principal e das 2 pa-
ralelas,e subtraem-se os produtos dos elementos da diagonal 
secundária e das 2 paralelas.
Observe que a Regra de Sarrus só se aplica a determinan-
tes de terceira ordem.
Capítulo 2 Determinante de uma Matriz 39
3 Igualdade entre determinantes de 
matrizes
Considere a situação em que desejamos relacionar em uma 
equação o determinante de uma matriz.
Exemplo: Calcule o número real x que satisfaça a igualda-
de 0
31
12
=
+xx .
Para que essa igualdade ocorra, precisamos, primeiramen-
te, calcular o determinante da matriz, ou seja:
1123)12(3)12(13
31
12
−=−−=+−=+×−×=
+
xxxxxxx
xx
Assim, teremos que resolver a equação:
1
01
=
=−
x
x
Exemplo: Calcule o número real x que satisfaça a igualda-
de 
2
1
31
42
21
x
x
x
x
x
−
=−
− .
Para que essa igualdade ocorra, precisamos, primeiramen-
te, calcular os determinantes de cada matriz, ou seja:
40 Geometria Analítica e Álgebra Linear
teremos que resolver a equação:
+
ou seja, x=0 ou x= –3.
4 Determinante de matrizes de ordem 
superior a três
Para o cálculo do determinante de matrizes com ordem maior 
do que três utilizamos o Teorema de Laplace. Esse Teorema 
generaliza o cálculo de determinante, isto é, pode ser utilizado 
para o cálculo do determinante de matrizes de qualquer or-
dem n >1. O Teorema de Laplace diz que o determinante de 
Capítulo 2 Determinante de uma Matriz 41
uma matriz quadrada de ordem n é a soma dos produtos dos 
elementos de uma fila (linha ou coluna) qualquer da matriz 
pelos respectivos cofatores.
Na matriz A indicada acima, de ordem nxn, para calcular o 
seu determinante podemos escolher uma das seguintes linhas 
para determinar os respectivos cofatores:
Onde:
 é o determinante da submatriz da matriz A, onde remo-
vemos a primeira linha e a primeira coluna;
 é o determinante da submatriz da matriz A, onde remo-
vemos a primeira linha e a segunda coluna;
42 Geometria Analítica e Álgebra Linear
 é o determinante da submatriz da matriz A, onde remo-
vemos a primeira linha e a terceira coluna;
 é o determinante da submatriz da matriz A, onde remo-
vemos a primeira linha e a n-ésima coluna;
 é o determinante da submatriz da matriz A, onde remo-
vemos a segunda linha e a primeira coluna;
 é o determinante da submatriz da matriz A, onde re-
movemos a segunda linha e a segunda coluna;
 é o determinante da submatriz da matriz A, onde remo-
vemos a segunda linha e a terceira coluna;
Ou seja, genericamente:
 é o determinante da submatriz da matriz A, onde re-
movemos a linha i e a coluna j, também chamada de matriz 
menor relativo ao elemento de A, onde removemos a linha i 
e a coluna j. Observe que o sinal desse determinante represen-
tado por varia de sinal, conforme a linha escolhida, assim 
pode generalizar as parcelas do determinante chamando-as 
de cofator ij e representá-lo por .
O determinante de uma matriz A nxn é dado por 
, onde i é uma linha de A. De forma equi-
valente, o determinante pode ser calculado usando uma coluna, 
daí , onde j é uma coluna de A.
Capítulo 2 Determinante de uma Matriz 43
Exemplo: Calcular o determinante da matriz
A matriz A é uma matriz quadrada de ordem 4, escolhendo 
a primeira linha como referência para calcular o determinante 
teremos:
onde cada matriz menor (submatriz) é uma matriz de ordem 
3x3.
Esse exemplo é interessante, pois verifique que, como 
a13=0, não precisaremos calcular M13, pois sabemos que mul-
tiplicação por zero é zero, assim já podemos escrever que:
Mas teremos que calcular:
 é o determinante da submatriz da matriz A, onde remo-
vemos a primeira linha e a primeira coluna:
44 Geometria Analítica e Álgebra Linear
 é o determinante da submatriz da matriz A, onde remo-
vemos a primeira linha e a segunda coluna:
Não é necessário calcular , o determinante da submatriz 
da matriz A, onde removemos a primeira linha e a terceira colu-
na.
 é o determinante da submatriz da matriz A, onde remo-
vemos a primeira linha e a quarta coluna:
Capítulo 2 Determinante de uma Matriz 45
Exemplo: Calcule por Laplace o determinante da matriz
Escolhemos a primeira linha, para usar a fórmula de 
Laplace teremos que
Agora, determinaremos o determinante das respectivas 
submatrizes M11 , M12 e M13, também chamadas de menor re-
lativo ao elemento a11 , a12 e a13, respectivamente.
Observação:
 Â Note que a ordem do Determinante fica reduzida, ou 
seja, para calcular o determinante de uma matriz de or-
dem 4 teremos que calcular 4 determinantes de ordem 3.
46 Geometria Analítica e Álgebra Linear
 Â Note que fica mais fácil quando escolhemos uma fila 
com maior número de zeros, pois nestas situações não 
precisaremos calcular o determinante das respectivas 
matrizes menores, já que depois teremos que multiplicar 
pelo elemento aij, que sabemos ser nula e, portanto, o 
resultado dessa parcela será nula.
Capítulo 2 Determinante de uma Matriz 47
5 Propriedades dos determinantes
Propriedade 1: determinante de uma matriz é igual ao deter-
minante da sua matriz transposta;
A = 







−
−
224
612
053
 temos det(A)=58 e para a sua transposta 
At = 








−
−
260
215
423 temos
Propriedade 2: (teorema de Binet): 
O determinante da matriz produto (AxB) é igual ao produto 
dos determinantes das respectivas matrizes, por exemplo:
A = 








−
−
224
612
053
 temos det(A)=58







 −
=
531
201
421
B temos det(B)=12
 temos Det(AxB)=58x12=696
48 Geometria Analítica e Álgebra Linear
Propriedade 3: determinante de uma matriz triangular su-
perior ou inferior é igual ao produto dos elementos da diago-
nal principal.
A = 







−
−
200
210
423
 matriz triangular superior, calculando o seu 
determinante teremos:
(ou seja: 3x1x(-2)) = -6
 matriz triangular inferior de ordem 4x4. 
Usando Laplace e escolhendo calcular o determinante pela 
primeira linha da matriz, teremos:
No entanto, se usarmos a propriedade, teremos que a mul-
tiplicação dos elementos da diagonal principal é:
Propriedade 4: se uma matriz A possui uma linha ou colu-
na composta unicamente de elementos nulos, então det(A)=0
Capítulo 2 Determinante de uma Matriz 49
Usando como referência a segunda linha da matriz teremos:
Propriedade 5: se trocarmos entre si duas linhas ou colu-
nas de uma matriz, o seu determinante muda de sinal.
A = temos:
 –6
Nessa matriz, vamos permutar a primeira linha com a se-
gunda linha. Teremos uma nova matriz que denominaremos 
de B:
50 Geometria Analítica e Álgebra Linear
Essa propriedade pode ser descrita da seguinte forma: se 
trocarmos de posição (permutarmos) uma linha ou coluna da 
matriz A, então o determinante da matriz resultante da permu-
tação fica com o sinal oposto do determinante da matriz A.
Propriedade 6: se duas linhas ou colunas da matriz A são 
proporcionais, então det(A)=0.
A = temos Det(A)=0, pois a linha 2 é o 
resultado do dobro da linha 1, ou seja, linha 2 = 2x(linha 1). 
Para confirmarmos a propriedade, podemos calcular o deter-
minante da matriz A.
A
A
Obs.: usamos esta propriedade para o caso em que uma 
matriz possuir 2 filas (linhas ou colunas) paralelas iguais. 
Exemplo:
0
462
913
462
=
−
−
Propriedade 7: se multiplicarmos uma linha ou coluna da 
matriz A por um número (escalar), então o determinante da 
matriz resultante fica multiplicado por esse número.
Capítulo 2 Determinante de uma Matriz 51
 temos det(A)=58, definimos a matriz B, 
onde multiplicamos por 2 os elementos da segunda linha da 
matriz A, logo a matriz B é:
 =det(B)=2xdet(A)=2x58=116.Para verificar 
a propriedade, vamos calcular o determinante da matriz B por 
Sarrus.
Propriedade 8 se a combinação linear de duas linhas da 
matriz A fornece como resultado uma linha da matriz, então 
det(A)=0.
Combinação linear: é multiplicar ou dividir todos os ele-
mentos de uma linha e somar ou subtrair o resultado com os 
respectivos elementos de outra linha da matriz
4 temos det(A)=0, pois observe que a ter-
ceira linha da matriz é o resultado da multiplicação dos ele-
mentos da primeira linha por 2, e somando com os respectivos 
elementos da segunda linha, ou seja: Linha 3 = 2xLinha 1 + 
Linha 2:
52 Geometria Analítica e Álgebra Linear
Propriedade 9: (Teorema de Jacobi) Uma matriz quadra-
da A e uma matriz quadrada B - obtida a partir de A -, onde 
trocamos uma das linhas (Li) de A pela combinação linear de 
Li e outra linha Lj de A, então det(A)=det(B).
Combinação linear: é multiplicar ou dividir todos os ele-
mentos de uma linha e somar ou subtrair o resultado com os 
respectivos elementos de outra linha da matriz.
Temos as possibilidades de criar combinação linear: Li é 
substituída por (kLi+Lj), ou Li é substituída por (Li+kLj).
 podemos construir uma matriz B, onde a L2 
é substituída por:
(-2L1+L2), ou seja: –2xLinha 1+ Linha 2.
Verifique que det(A)=46 e det(B)=46.
Capítulo 2 Determinante de uma Matriz 53
Propriedade 10: uma matriz quadrada A, cujo determi-
nante é zero, não tem inversa, e qualquer matriz que não tem 
inversa tem determinante nulo.
Recapitulando
O determinante de uma matriz quadrada é um número asso-
ciado a esta matriz.
Neste capítulo vimos como se representa o determinante de 
uma matriz como ele é calculado.
Através do Teorema de Laplace definimos o determinante 
de qualquer matriz quadrada.
Como cada matriz quadrada possui um e somente um nú-
mero, chamado determinante, associado a ela, podemos dizer 
que o determinante é uma função do conjunto das matrizes 
quadradas para o conjunto dos reais.
Referências
ANTON, H. Álgebra Linear com Aplicações. 4. ed. Porto 
Alegre: Bookman, 2004.
BOLDRINI, J. L. et al. Álgebra Linear. 3. ed. São Paulo: Harper 
& Row do Brasil, 1980.
54 Geometria Analítica e Álgebra Linear
LEON, S. J. Álgebra Linear com Aplicações. 4. ed. Rio de 
Janeiro: LTC, 1999.
SANDOVAL JUNIOR, L. Álgebra Linear: para ciências econô-
micas, contábeis e da administração. São Paulo: Cengage 
Learning, 2010.
SANTOS, N. M. Vetores e matrizes: uma introdução à álge-
bra linear. 4. ed. São Paulo: Thompson, 2007.
Atividades
1) Considerando a matriz , assinale nas alternativas 
a seguir a propriedade verdadeira:
a) ( ) det(At)=108
b) ( ) det(3A)=324
c) ( ) det(A)= -108
d) ( ) det(At)=36
e) ( ) det(A)=0
2) Qual das alternativas a seguir é o valor correto para o nú-
mero real x que satisfaça a equação ?
a) ( ) x=11/7
b) ( ) x=-3
c) ( ) x=-0,9
Capítulo 2 Determinante de uma Matriz 55
d) ( ) x=2
e) ( ) x= -1
3) Considerando as matrizes da coluna da esquerda, associe 
qual a equação da coluna da direita que se aplica para 
calcular o determinante pelo teorema de Laplace.
 4) Considerando a matriz de ordem 2x2 com 
, qual das alternativas a seguir é correta:
a) ( ) A matriz A é a matriz identidade de ordem 2x2.
b) ( ) 
c) ( ) det(A)=-2
56 Geometria Analítica e Álgebra Linear
d) ( ) A é matriz triangular superior.
e) ( ) det(A)=4
5) Qual das alternativas a seguir se aplica para avaliar o de-
terminante da matriz:
a) ( ) O determinante é nulo, pois a matriz tem uma linha 
onde todas as posições são zero.
b) ( ) O determinante é a multiplicação das posições da 
diagonal principal, pois a matriz é triangular superior.
c) ( ) O determinante é nulo, pois duas linhas são iguais.
d) ( ) O determinante é nulo, pois a segunda linha é o 
dobro da terceira linha.
e) ( ) O determinante é nulo, pois a matriz é nula.
6) Sabendo que 
523
142
231
−
−
−
=X e , calcule 24 YX − .
7) Calcule o valor de x na igualdade:
)()cos(
)cos()(
124
232
01
xsenx
xxsen
x
x
−
=−
−
Capítulo 2 Determinante de uma Matriz 57
8) Calcule os determinantes:
a) 
2312
2383
1412
2312
−
−
 b) 
1123
1324
2332
2112
−
−−
Sistemas Lineares: 
Classificação e 
Resolução1
1 Mestre, Professora da Ulbra.
Magda Leyser1
Capítulo 3
Capítulo 3 Sistemas Lineares: Classificação e Resolução 59
Introdução
Neste capítulo, estudaremos como resolver um sistema de 
equações lineares. Trata-se do mais significativo problema em 
Matemática, encontrado em aplicações científicas e industriais. 
Um sistema de equações lineares permite construir, através de 
equações lineares, a relação das variáveis de um problema, 
em que desejamos determinar a solução, encontrando os nú-
meros reais que resolvem todas as equações que formam o 
sistema de equações.
Considere a seguinte situação para exemplificar o comen-
tário do parágrafo acima. Temos R$ 2,00 e desejamos com-
prar 10 selos do correio. Estão à venda selos no valor R$ 0,25, 
R$ 0,10 e R$ 0,05. Quantos selos de cada um desses valores 
poderão ser comprados com R$ 2,00?
Primeiro definiremos o significado de cada variável.
X é a quantidade de selos comprados por $0,25
Y é a quantidade de selos comprados por $0,10
Z é a quantidade de selos comprados por $0,05
Nosso problema tem 3 variáveis (incógnitas) que satisfa-
zem as seguintes equações, que devem satisfazer as seguintes 
igualdades:
60 Geometria Analítica e Álgebra Linear
Como precisamos comprar uma quantidade inteira de se-
los, é interessante transformar a segunda equação, de forma a 
termos os coeficientes inteiros. Para isso, multiplicaremos am-
bos os lados da equação por 20 e teremos: 5x+2y+z=40.
Como veremos ao longo desse capítulo, também podemos 
multiplicar por (-1) ambos os membros da primeira equação. 
Assim, o sistema de equação que teremos que resolver será:
Se somarmos as equações do sistema, obteremos uma 
terceira equação, 4x+y=30, que também é solução do pro-
blema. Nessa equação, se isolarmos a variável y e partirmos 
do raciocínio que x, y e z devem ser números naturais e que 
desejamos que ocorra compra da maior quantidade possível 
de selos de maior valor, no caso de R$ 0,25, teremos que ana-
lisar, por exemplo, as seguintes igualdades:
x y=30-4x z=40-5x-2y
1 26 -17
2 22 -14
3 18 -11
4 14 -8
5 10 -5
6 6 -2
7 2 1
8 -2 4
9 -6 7
Capítulo 3 Sistemas Lineares: Classificação e Resolução 61
Portanto, uma solução do problema é comprar 7 selos de 
$0,25, 2 selos de $0,10 e 1 selo de $0,05. Observe que essa 
não é uma solução única para a segunda equação, pois po-
deríamos optar por comprar 200 selos de 0,05 ou 100 selos 
de 0,10. No entanto essas soluções não satisfazem a primeira 
equação que exige a compra de 10 selos.
1 O que é uma equação linear?
Toda equação da forma bxa...xaxa nn =+++ 2211 é denomi-
nada equação linear, em que:
 na,..,a,a 21 são coeficientes;
 nx,...,x,x 21 são as incógnitas;
 b é um termo independente.
Exemplos:
a) 532 321 =+− xxx é uma equação linear de três incóg-
nitas.
b) 1−=+−+ tzyx é uma equação linear de quatro in-
cógnitas.
Observações:
1º) Quando o termo independente b for igual a zero, a 
equação linear denomina-se equação linear homo-
gênea. Por exemplo: 05 =+ yx .
62 Geometria Analítica e Álgebra Linear
2º) Uma equação linear não apresenta termos da forma 
21
2
1 , xxx × , isto é, cada termo da equação tem uma úni-
ca incógnita, cujo expoente é sempre 1.
As equações 323 2
2
1 −=+ xx e 24 =+× zyx não são li-
neares.
3º) A solução de uma equação linear com n incóg-
nitas é a sequência de números reais ou ênupla 
( )n,...,, ααα 21 , que, colocados respectivamenteno lugar 
de nx,...,x,x 21 , tornam verdadeira a igualdade dada.
4º) Uma solução evidente da equação linear homogênea 
03 =+ yx é a dupla ( )00, .
Exemplo: dada a equação linear 24 =+− zyx , podemos 
escolher valores para x e y e encontrar uma de suas soluções 
calculando o valor de z, por exemplo:
Portanto, uma das soluções é a tripla ordenada (2, 0, -6).
Exemplo: dada a equação 523 =− yx , determinar o nú-
mero real α para que a dupla ( )α,1− seja solução da equa-
ção.
Capítulo 3 Sistemas Lineares: Classificação e Resolução 63
Exemplo: determine o número real m para que 
(x,y,z)=(-1,1,2) seja solução da equação .
Para que (x,y,z)=(-1,1,2) seja solução da equação, substi-
tuiremos x=-1, y=1 e z=2 na equação, obtendo:
2 Sistema Linear
Denomina-se sistema linear de m equações nas n incógnitas 
nxxx ,...,, 21 todo sistema da forma:
onde são números reais. São 
os coeficientes das incógnitas.
64 Geometria Analítica e Álgebra Linear
Se o conjunto ordenado de números reais ( )n'2'1' ,...,, ααα 
satisfizer a todas as equações do sistema, será denominado 
solução do sistema linear.
Observações
1ª) Se o termo independente de todas as equações do sis-
tema for nulo, isto é, 021 ==== n'' b...bb , o sistema 
linear será dito homogêneo. Veja o exemplo:



=+−
=++
=−+
0325
04
02
zyx
zyx
zyx
Uma solução evidente do sistema linear homogêneo é x = 
y = z = 0.
Essa solução chama-se solução trivial do sistema homogê-
neo. Se o sistema homogêneo admitir outra solução em que 
as incógnitas não são todas nulas, a solução será chamada 
solução não trivial.
2ª) Se dois sistemas lineares, S1 e S2, admitem a mesma 
solução, eles são chamados de sistemas equivalentes. 
Veja o exemplo:
( ){ }21
42
53
1 −=⇒

=−
−=+
,S
yx
yx
:S
( ){ }21
1
3
2
2
3
2 −=⇒



−=
+−
=+
,S
yx
yx
:S
Capítulo 3 Sistemas Lineares: Classificação e Resolução 65
Como os sistemas admitem a mesma solução {(1, -2)}, S1 
e S2 são equivalentes.
Exemplo: considere o sistema 


−=++−
=+−
=−+
2
52
032
321
321
321
1
xxx
xxx
xxx
:S .
a) Verifique se (2, -1, 1) é solução de S.
Substituindo nas respectivas equações os valores x1=2, 
x2=-1 e x3=1, verificamos que as 3 equações são verdadeiras.
Portanto, (2,-1,1) não é solução de S.
b) Verifique se (0,0,0) é solução de S.
Substituindo, nas respectivas equações, os valores x1=0, 
x2=0 e x3=0, verificamos que somente a primeira equação 
é verdadeira, entretanto a segunda e terceira equações são 
falsas.
Portanto, (0,0,0) não é solução de S.
66 Geometria Analítica e Álgebra Linear
3 Expressão matricial de um sistema de 
equações lineares
Dentre suas variadas aplicações, as matrizes são utilizadas na 
resolução de um sistema de equações lineares.
Observe o sistema linear:



=+−
=++
=+−
32
6
32
321
321
321
xxx
xxx
xxx
Utilizando matrizes, podemos representar este sistema da 
seguinte forma:








−
−
211
111
112
=








×
3
2
1
x
x
x








3
6
3
onde a matriz
 








−
−
211
111
112
 é chamada de matriz dos coe-
ficientes das respectivas variáveis, a primeira coluna são os 
coeficientes da variável x1 , a segunda coluna são os coefi-
cientes da variável x2 e a terceira coluna são os coeficientes da 
variável x3,
Capítulo 3 Sistemas Lineares: Classificação e Resolução 67
onde a matriz 







3
2
1
x
x
x
 é chamada de matriz coluna das incóg-
nitas (variáveis) e
onde a matriz 







3
6
3
 é chamada de matriz coluna dos termos 
independentes.
Exemplo: represente, na forma matricial, os sistemas line-
ares a seguir:
a) 


=−+
−=+−
=−+
827
1634
052
321
321
321
xxx
xxx
xxx
.
Pode ser representado por meio de matrizes, da seguinte 
forma:








−=








×








−
−
−
8
1
0
217
634
152
3
2
1
x
x
x
b) 

=−
=+
03
52
yx
yx
Esse sistema de equações na forma matricial é



=


×


− 0
5
31
12
y
x
c) 


=−+−
=+
−=++
253
0
12
cba
ca
cba
68 Geometria Analítica e Álgebra Linear
O sistema de equações, representado por meio de matri-
zes, é da forma:







−
=








×








−− 2
0
1
153
101
112
c
b
a
Podemos generalizar uma descrição matricial do sistema de 
equações. No caso de n=3 (3 equações e 3 variáveis), tere-
mos um sistema de equações descrito pela equação bxA =× 
da seguinte forma:
4 Classificação dos sistemas lineares
Os sistemas lineares são classificados quanto ao número de 
soluções, da seguinte forma:
Capítulo 3 Sistemas Lineares: Classificação e Resolução 69
Exemplo:
O sistema de equações lineares tem solução 
única (x,y)=(5,3), pois somente esses valores de x e y satisfa-
zem as duas equações.
O sistema de equações lineares 

=+
=+
624
32
yx
yx
 tem várias 
soluções. Por exemplo: (x,y)=(1,1).
Outras soluções são (x,y)=(2,-1), também (3,-3), também é 
solução (-2,7), ou seja, todo o par ordenado onde ( αα 23, − ) 
para α número real.
O sistema de equações lineares 

=+
=+
22
32
yx
yx
 não tem so-
lução, ou a solução é impossível, isto é, não encontra (x,y) 
para satisfazer as duas equações, pois, verificando o que as 
equações estabelecem de igualdade, teríamos que, na primei-
ra equação, diz que 32 =+ yx , mas, na segunda equação, terí-
amos que 22 =+ yx . Observe que o membro da esquerda das 
duas equações é igual, ou seja, poderíamos escrever que 2=
32 =+ yx , ou seja, teria que ser verdadeiro que 2=3.
70 Geometria Analítica e Álgebra Linear
5 Regra de Cramer
A regra de Cramer consiste em um método para se resolver um 
sistema linear de n-equações e n-incógnitas.
Vamos determinar a matriz A dos coeficientes das incógnitas:
Vamos determinar agora a matriz Ax1, que se obtém a partir 
da matriz A, substituindo-se a coluna dos coeficientes de x1 
pela coluna dos termos independentes:
Capítulo 3 Sistemas Lineares: Classificação e Resolução 71
Pela regra de Cramer: Adet
Adetx x11 = .
De maneira análoga, podemos determinar os valores das 
demais incógnitas:
Generalizando, em um sistema linear, o valor da incógnita 
x1 é dado pela expressão:
Vejamos alguns exemplos:
Resolva, pelo método de Cramer, o sistema 

−=+
=−
25
72
yx
yx
.
72 Geometria Analítica e Álgebra Linear
Primeiro, é interessante representar, na forma matricial, o 
sistema linear, no caso:
.
Iniciamos calculando o determinante da matriz dos coeficien-
tes .
Calculamos o determinante de
 
.
Calculamos o determinante de
 
.
Agora calcularemos a componente x da solução: 
E finalmente a componente y da solução:
Portanto, o sistema linear é compatível determinado, isto é, 
tem solução única:
( ){ }1,3 −=S .
Podemos representar, no plano cartesiano, o gráfico das 
duas equações desse sistema. Observe que a solução do sis-
tema consiste no par ordenado, onde os gráficos das respec-
tivas equações lineares se cruzam. Dessa forma, o encontro 
das duas retas que se cortam, esse ponto representado pelo 
ordenado (3,-1), identifica o valor de x=3 e y=-1 que são os 
Capítulo 3 Sistemas Lineares: Classificação e Resolução 73
valores reais que são solução simultâneadas duas equações 
lineares.
Figura 1 Sistema determinado
Exemplo: resolva pelo método de Cramer o sistema linear 

=−−
=+
2
5
yx
yx
.
A representação matricial do sistema linear, no caso:



=


×


−− 2
5
11
11
y
x
O determinante da matriz dos coeficientes é:
0
11
11
=⇒


−−
= AdetA
74 Geometria Analítica e Álgebra Linear
7
12
15
−=⇒


−
= xx AdetA
7
21
51
=⇒


−
= yy AdetA
Portanto, a solução é
0
7−
==
Adet
Adetx x impossível 
0
7
==
Adet
Adet
y y impossível.
Portanto, o sistema linear é incompatível ou impossível, não 
admite solução.
φ=S
Podemos representar, no plano cartesiano, o gráfico das duas 
equações desse sistema. Observe que a solução do sistema con-
siste no par ordenado, onde os gráficos das respectivas equações 
lineares se cruzam. Como os gráficos dessas equações estão re-
presentados por duas retas paralelas, temos um sistema sem cru-
zamento, portanto, sem solução ou de solução impossível.
Capítulo 3 Sistemas Lineares: Classificação e Resolução 75
Figura 2 Sistema impossível.
Exemplo: resolva pelo método de Cramer o sistema 

=+
=+
624
32
yx
yx
.
A representação matricial do sistema linear é:



=


×


6
3
24
12
y
x
.
O determinante da matriz dos coeficientes é
044
24
12
=−==A
.
O determinante de 066
26
13
=−==xA
O determinante de
76 Geometria Analítica e Álgebra Linear
Portanto, a solução é:
0
0
det
det
==
A
Ax x
 é uma indeterminação 0
0
det
det
==
A
A
y y é uma 
indeterminação.
Portanto, o sistema linear é compatível indeterminado, pois 
admite infinitas soluções. Por exemplo, (x,y)=(1,1), outras so-
luções são: (2,-1), (3,-1) , (-2,7), ou seja, todo o par ordenado 
do tipo ( ) para .
S={(x,y)= ( ) para } -> esta solução é chama-
da de solução geral ou solução própria do sistema.
Podemos representar, no plano cartesiano, o gráfico das 
duas equações desse sistema. Agora, o gráfico das equações 
está representado por duas retas coincidentes, ou seja, as duas 
equações têm o mesmo gráfico. Portanto, as duas equações 
são satisfeitas simultaneamente para vários pares ordenados. 
Logo, o sistema tem infinitas soluções.
Capítulo 3 Sistemas Lineares: Classificação e Resolução 77
Exemplo: resolva, pelo método de Cramer, o sistema
.
A representação matricial do sistema linear é
.
1º) Cálculo do determinante da matriz dos coeficientes:
78 Geometria Analítica e Álgebra Linear
2º) Cálculo do determinante das incógnitas:
3º) Cálculo das incógnitas (variáveis) que são as compo-
nentes da solução:
Portanto, o sistema linear é compatível determinado, isto é, 
tem solução única:
Capítulo 3 Sistemas Lineares: Classificação e Resolução 79
( ){ }012 ,,S −= .
6 Discussão de um sistema linear
Considere o sistema linear de n equações a n incógnitas.
Discutir o sistema é saber se ele é possível determinado, 
possível indeterminado ou impossível.
Utilizando a regra de Cramer, temos:
Exemplo: discuta o sistema para os valores de m.
80 Geometria Analítica e Álgebra Linear
Vamos calcular o valor dos determinantes:
Portanto, analisando as considerações a respeito do valor 
do determinante, teremos:
SPD 3−≠⇒ m (sistema possível e determinado);
SPI m∃/⇒ (sistema possível e indeterminado), pois det Ay = 
1 para qualquer valor de m
SI 3−=⇒ m (sistema impossível).
Exemplo: determine m, de modo que o sistema 
seja incompatível (impossível).
Iniciamos calculando o determinante da matriz dos coefi-
cientes, ou seja,
Capítulo 3 Sistemas Lineares: Classificação e Resolução 81
A seguir, calculamos o determinante da matriz dos coefi-
cientes, onde substituímos os coeficientes das respectivas vari-
áveis, ou seja:
Portanto, o sistema linear será impossível (SI) 1−=⇒ m
82 Geometria Analítica e Álgebra Linear
Capítulo 3 Sistemas Lineares: Classificação e Resolução 83
7 Escalonamento de Sistemas Lineares
Considerando um sistema genérico m x n, a solução por es-
calonamento de um sistema linear consiste em transformar o 
sistema de equações lineares original em um sistema linear 
equivalente, onde a nova matriz A dos coeficientes tem suas 
posições aij, com i > j, todas nulas. Dessa forma, essa é uma 
matriz triangular superior, pois essas selas são de resolução 
imediata. Lembre que uma matriz triangular superior é aque-
la onde todas as posições a seguir da diagonal principal são 
iguais a zero. Exemplo de sistema de equações escalonado é 
o sistema:
Para obter um sistema linear escalonado que tem a mesma 
solução, iremos transformar as entradas da matriz A em uma 
matriz triangular superior, realizando as seguintes operações 
elementares:
 Â Eliminamos uma equação que tenha todos os coeficien-
tes e o termo independente nulos. Por exemplo: 0x + 0y 
+ 0z = 0 pode ser eliminada, pois todos os termos de 
números reais são soluções.
 Â Podemos trocar a posição das equações. Exemplo:
84 Geometria Analítica e Álgebra Linear
 Â Podemos multiplicar todos os termos de uma equação 
pelo mesmo número real diferente de zero:
 Â Podemos multiplicar os 2 membros de uma equação por 
um mesmo número real diferente de zero e somarmos 
aos membros correspondentes da outra equação. Regra 
de Chio de matrizes = 10ª propriedade. Exemplo:
•	 Se, no processo de escalonamento, obtivermos uma 
equação com todos os coeficientes nulos e o termo indepen-
dente diferente de zero, esta equação é suficiente para afirmar 
que o sistema é impossível, isto é, S = ∅ .
Exemplo: resolva, por escalonamento, o sistema de equa-
ções lineares (SELA):
Capítulo 3 Sistemas Lineares: Classificação e Resolução 85
Nesse conjunto de equações, iremos multiplicar a primeira 
equação por 3 e o resultado somar com a segunda equação, 
isto é:
3E1 terá como resultado ,
E2 é igual a equação 8253 321 −=+−− xxx .
Somando as duas equações, teremos 
,
Obtendo .
Essa equação ocupará o lugar da segunda equação do 
sistema de equações, onde continuaremos o processo de es-
calonamento. Reescrevendo o sistema, teremos:
.
Nesse conjunto de equações, iremos multiplicar a primeira 
equação por (-2) e o resultado somar com a terceira equação, 
isto é:
-2E1 terá como resultado .
E3 é igual a equação .
Somando as duas equações teremos: 
,
obtendo 7)3( 32 =− xx .
86 Geometria Analítica e Álgebra Linear
Essa equação ocupará o lugar da terceira equação do sis-
tema de equações, onde continuaremos o processo de escalo-
namento. Reescrevendo o sistema teremos:
.
Nesse novo conjunto de equações equivalentes, isto é, que 
representam a mesma solução das equações anteriores, ire-
mos multiplicar a segunda equação por (-3) e o resultado so-
mar com a terceira equação, isto é:
-3E2 terá como resultado .
E3 é igual a equação .
Somando as duas equações, teremos 
,
obtendo .
Essa equação ocupará o lugar da terceira equação do sis-
tema de equações, onde continuaremos o processo de escalo-
namento, obtendo o sistema de equações equivalente:
.
Capítulo 3 Sistemas Lineares: Classificação e Resolução 87
Agora, podemos determinar o valor 3x pela terceira equa-
ção do sistema anterior:
O valor 2x será calculado pela segunda equação do SELA 
(sistema de equações lineares), onde substituiremos o valor co-
nhecido de 3x
O valor 1x será calculado pela primeira equação do siste-
ma de equações, onde substituiremos o valor conhecido de 3x
e 2x
88 Geometria Analítica e Álgebra Linear
Conclusão: o sistema de equações lineares (SELAS) tem solução 
única, isto é, um sistema determinado,onde a solução é ( 1x , 2x ,
3x ) = ( -1, 3,2).
Exemplo: resolva o sistema de equações lineares (SELA) 
por escalonamento, apresentando as combinações lineares 
usadas e, ao final, classifique a solução:



=−
=+−
=++
33
82
932
31
321
321
xx
xxx
xxx
Podemos melhorar a representação desse processo de 
cálculo associando a representação matricial do sistema de 
equações, onde:








−
−=
101
112
321
A
 denomina-se matriz dos coeficientes do sela;








=
→
3
2
1
x
x
x
x
 denomina-se vetor solução do sela;








=
→
9
8
3
b
 denomina-se vetor termo independente do sela.
Para simplificar a representação dos sistemas equivalentes, 
até chegar à matriz de coeficientes escalonada, tomaremos a 
representação matricial do sistema:
Capítulo 3 Sistemas Lineares: Classificação e Resolução 89
Nessa representação, omitiremos durante o processo de 
escalonamento o vetor solução e o símbolo da multiplicação e 
da igualdade, colocando uma barra para representar a posi-
ção da igualdade. Assim, o processo de escalonamento pode 
ser descrito da seguinte forma:
Efetuando a multiplicação teremos:
Determinaremos o valor de 3x pela terceira equação do 
sistema acima:
90 Geometria Analítica e Álgebra Linear
O valor 2x será calculado pela segunda equação do siste-
ma, onde substituiremos o valor conhecido de 3x :
O valor 1x será calculado pela primeira equação do siste-
ma de equações na forma escalonada, onde substituiremos o 
valor conhecido de 3x e 2x :
Capítulo 3 Sistemas Lineares: Classificação e Resolução 91
Conclusão: o sistema de equações é determinado (tem so-
lução única) x1= 2, x2= –1 e x3=3, que também pode ser 
representado por ( 1x , 2x , 3x ) = (2, –1, 3).
Exemplo: resolva o sistema de equações lineares (SELA) 
por escalonamento, apresentando as combinações lineares 
usadas e classifique o tipo de solução:



−=++
=++
=−+
825
1633
524
321
321
321
xxx
xxx
xxx
Omitiremos, durante o processo de escalonamento, o vetor 
solução e os símbolos. Assim, o processo de escalonamento 
poder ser descrito da seguinte forma:
Determinaremos o valor de 3x pela terceira equação do 
sistema acima:
92 Geometria Analítica e Álgebra Linear
O valor 2x será calculado pela segunda equação do siste-
ma, onde substituiremos o valor conhecido de 3x :
O valor de 1x será calculado pela primeira equação do 
sistema de equações, onde substituiremos o valor conhecido 
de 3x e 2x :
Capítulo 3 Sistemas Lineares: Classificação e Resolução 93
Conclusão: o sistema de equações é determinado (tem so-
lução única) , e , que também pode ser 
representado por .
Exemplo: resolva o sistema de equações lineares (SELA) 
por escalonamento, apresentando as combinações lineares 
usadas, e classifique a solução das incógnitas pelo sela esca-
lonado equivalente:
Depois de representar na forma matricial o sistema linear, 
omitindo durante o processo de escalonamento o vetor solu-
ção e os símbolos das operações, o processo de escalona-
mento pode ser descrito da seguinte forma:
94 Geometria Analítica e Álgebra Linear
Determinaremos o valor de 4x pela quarta equação do 
sistema acima:
14
646
−=
=−
x
x
Capítulo 3 Sistemas Lineares: Classificação e Resolução 95
O valor 3x será calculado pela terceira equação do SELA, 
onde substituiremos o valor conhecido de 4x :
O valor 2x será calculado pela segunda equação do SELA, 
onde substituiremos o valor conhecido de 3x e 4x :
O valor 1x será calculado pela primeira equação do sistema 
de equações, onde substituiremos o valor conhecido de 3x , 2x 
e 4x :
96 Geometria Analítica e Álgebra Linear
Conclusão: o sistema de equações é determinado (tem so-
lução única) , 12 −=x , 03 =x e 14 −=x , que também pode 
ser representado por ( 1x , 2x , 3x , 4x )= .
8 Classificação e resolução de sistemas 
lineares escalonados
Quando realizamos o escalonamento de uma matriz, podem 
ocorrer os seguintes casos:
1ºcaso: o sistema terminar na forma de .
Temos um sistema 3x3 já escalonado (número de equações 
= número de incógnitas), onde na 3ª equação tiramos z = 2. 
Da 2ª equação, fazendo z =2, tiramos y=1. E, finalmente, 
fazendo y =1 e z = 2, na 1ª equação tiramos x = -2.
Assim, podemos concluir que o sistema é possível e deter-
minado, com S={(-2,1,2)}.
2ºcaso: o sistema terminar na forma de .
Temos um sistema 4x4 já escalonado. A 4ª equação permi-
te dizer que o sistema é impossível, logo S = ∅ .
3ºcaso: o sistema assume a forma de 

=−
=++
063
0
zy
zyx
.
Temos um sistema 2x3 já escalonado, nesse caso, o núme-
ro de equações é menor que o número de incógnitas (número 
de equações < número de incógnitas).
Capítulo 3 Sistemas Lineares: Classificação e Resolução 97
Quando um sistema escalonado tem mais incógnitas que 
equações e pelo menos um coeficiente não nulo em cada 
equação, ele é possível e indeterminado. A variável que não 
aparece no começo das equações é chamada variável livre. 
Nesse exemplo, z é a variável livre. Fazemos z = k, com k ∈R, 
para descobrir a solução geral do sistema.
Da 2ª equação, temos kyzy 2063 =⇒=− .
Usando z = k e y = 2k, temos kxkkx 302 −=⇒=++ .
Portanto, o sistema é possível e indeterminado e sua solu-
ção geral é (-3k,2k,k).
Pode ocorrer que o sistema termine na forma de 
.
Aqui, o sistema escalonado tem mais variáveis do que 
equações, mas também se trata de um sistema possível e inde-
terminado (está escalonado e tem 2 equações e 4 incógnitas) 
e duas são variáveis livres (y e t).
Fazemos ReRcom,tey ∈β∈αβ=α= . Substituindo na 
segunda equação, teremos:
2
31
312
132
132
β
β
β
−
=
−=
=+
=+
z
z
z
tz
Substituindo na primeira equação, teremos:
98 Geometria Analítica e Álgebra Linear
4
352
3524
423124
2
2
312
22
++
=
++=
+++−=
=−
−
+−
=−+−
βα
βα
ββα
ββα
x
x
x
x
tzyx
Portanto, o sistema é possível e indeterminado e sua solu-
ção geral é 

 −++
= ββαβα ,
2
31,,
4
352),,,( tzyx .
Exemplo: resolva, por escalonamento, se o sela a seguir 
tem solução:
Capítulo 3 Sistemas Lineares: Classificação e Resolução 99
Exemplo: determine se o sistema de equações a seguir tem 
solução.
100 Geometria Analítica e Álgebra Linear
Para determinar as infinitas soluções, iniciamos fazendo 
ℜ∈= kx3 . Substituindo esse valor na segunda equação, te-
remos:
Substituindo kx =3 e kx 412 −= na primeira equação, te-
remos:
Capítulo 3 Sistemas Lineares: Classificação e Resolução 101
Portanto, o sistema é possível e indeterminado e sua solu-
ção geral é: para k número real teremos .
Recapitulando
Neste capítulo vimos um dos assuntos mais importantes da 
Álgebra Linear: sistemas lineares.
A aplicação de sistemas lineares é muito ampla na área 
das ciências exatas e econômicas. Utilizamos sistemas lineares 
para modelar e resolver problemas onde muitas variáveis são 
envolvidas no mesmo.
Vimos a classificação, a discussão e a resolução dos siste-
mas lineares. Em relação à resolução vimos dois métodos: de 
Cramer e do Escalonamento.
Referências
ANTON, H. Álgebra Linear com Aplicações. 4. ed. Porto 
Alegre: Bookman, 2004.
102 Geometria Analítica e Álgebra Linear
BOLDRINI, J. L. et al. Álgebra Linear. 3. ed. São Paulo: Harper 
& Row do Brasil, 1980.
ESPINOSA, I. C. O. N. Álgebra Linear para Computação. 
Rio de Janeiro: LTC, 2007.
LEON, S. J. Álgebra Linear com Aplicações. 4. ed. Rio de 
Janeiro: LTC, 1999.
SANDOVAL JUNIOR, L. Álgebra Linear: para ciências econô-
micas, contábeis eda administração. São Paulo: Cengage 
Learning, 2010.
SANTOS, N. M. Vetores e matrizes: uma introdução à álge-
bra linear. 4. ed. São Paulo: Thompson, 2007.
Atividades
 1) Considere o sistema de equações . Qual das 
alternativas a seguir é uma solução para esse sistema?
a) ( ) a=2,b=-1 e c=1
b) ( ) a=0,b=-1 e c=0
c) ( ) a=0,b=-2 e c=1
d) ( ) a=-1,b=2 e c=1
e) ( ) a=1,b=-1 e c=2
Capítulo 3 Sistemas Lineares: Classificação e Resolução 103
 2) Resolvendo o sistema de equações , assinale 
com V as assertivas verdadeiras e com F as assertivas fal-
sas a respeito da solução, através do método de Cramer:
a) ( ) det 
b) ( ) det 
c) ( ) det 
d) ( ) O sistema é impossível, pois detA=0 e det Ax=9.
e) ( ) O sistema é indeterminado, pois det detA=0 e det 
Ax=9.
f) ( ) O sistema é determinado, e a solução única é 
x=6.75 e y=4.5.
 3) Apresenta-se, a seguir, um conjunto de selas equivalentes 
que representam parte da resolução do sistema por esca-
lonamento:
Parte da solução do sistema por escalonamento é:
104 Geometria Analítica e Álgebra Linear
Qual das alternativas a seguir identifica uma combinação 
linear correta para a próxima etapa do escalonamento, man-
tendo a primeira coluna com os valores já calculados?
a) ( ) -3E1+E3 substitui a E3
b) ( ) -3E2+E3 substitui a E3
c) ( ) -E1+E2 substitui a E3
d) ( ) -3E2-E3 substitui a E3
e) ( ) 3E2+E3 substitui a E3
 4) Marque apenas uma das alternativas a seguir que repre-
senta a matriz escalonada do sela:
a) ( ) 
b) ( ) 
Capítulo 3 Sistemas Lineares: Classificação e Resolução 105
c) ( ) 
d) ( ) 
e) ( ) 
 5) (ENADE-2005) A transposição do rio São Francisco é um 
assunto que desperta grande interesse. Questiona-se, en-
tre outros aspectos, os efeitos no meio ambiente, o eleva-
do custo do empreendimento relativamente à população 
beneficiada e à quantidade de água a ser retirada – o que 
poderia prejudicar a vazão do rio, que hoje é de 1.850 
m³/s.
Visando promover em sala de aula um debate acerca desse 
assunto, um professor de matemática propôs a seus alunos o 
problema seguinte, baseando-se em dados obtidos do Minis-
tério da Integração Nacional.
Considere que o projeto prevê a retirada de x m³/s de 
água. Denote por y o custo total estimado da obra, em bi-
lhões de reais, e por z o número, em milhões, de habitantes 
que serão beneficiados pelo projeto. Relacionando-se essas 
quantidades, obtém-se o sistema de equações lineares A.X = 
B, em que:
106 Geometria Analítica e Álgebra Linear








−
−
−
=
201
140
221
A
, e 








=
z
y
x
X
.
Com base nessas informações, assinale a opção correta:
a) ( ) O sistema linear proposto pelo professor é indeter-
minado, uma vez que det(A) = 0.
b) ( ) A transposição proposta vai beneficiar menos de 11 
milhões de habitantes.
c) ( ) Mais de 2% da vazão do rio São Francisco serão 
retirados com a transposição, o que pode provocar 
sérios danos ambientais.
d) ( ) O custo total estimado da obra é superior a 4 bi-
lhões de reais.
e) ( ) A matriz linha reduzida à forma escalonada, que é li-
nha equivalente à matriz A, possui uma coluna nula.
 6) (ENADE–2008) Considere o sistema de equações a seguir:



=++
=++
=++
5433
4222
1
zyx
zyx
zyx
Analise as asserções seguintes relativas à resolução desse 
sistema de equações lineares.
O sistema não tem solução
Capítulo 3 Sistemas Lineares: Classificação e Resolução 107
porque
o determinante da matriz dos coeficientes é igual a zero.
A respeito dessa afirmação, assinale a opção correta:
a) ( ) As duas asserções são proposições verdadeiras e a 
segunda é uma justificativa da primeira.
b) ( ) As duas asserções são proposições verdadeiras, mas 
a segunda não é uma justificativa correta da primei-
ra.
c) ( ) A primeira asserção é uma proposição verdadeira, e 
a segunda é falsa.
d) ( ) A primeira asserção é uma proposição falsa, e a 
segunda é verdadeira.
e) ( ) Ambas as asserções são proposições falsas.
 7) (ENADE-2003) Escalonando o sistema 
chegou-se a 



=
=−
=−
00
13
12
zy
zx .
Então, os três planos dados pelas equações do sistema inicial:
a) ( ) são paralelos.
b) ( ) têm apenas um ponto em comum.
c) ( ) têm uma reta em comum.
108 Geometria Analítica e Álgebra Linear
d) ( ) têm interseção vazia, porque dois deles são parale-
los.
e) ( ) têm interseção vazia, embora não haja entre eles 
dois que sejam paralelos.
 8) (ENADE-2014) Em uma loja de material escolar, as mer-
cadorias caneta, lápis e borracha, de um único tipo cada 
uma, são vendidas para três estudantes. O primeiro com-
prou uma caneta, três lápis e duas borrachas, pagando 
R$ 10,00; o segundo adquiriu duas canetas, um lápis e 
uma borracha, pagando R$ 9,00; o terceiro comprou três 
canetas, quatro lápis e três borrachas, pagando R$ 19,00.
Os estudantes, após as compras, sem verificarem os valo-
res de cada mercadoria, procuraram resolver o problema: “A 
partir das compras efetuadas e dos respectivos valores totais 
pagos por eles, qual o preço da caneta, do lápis e da borra-
cha?”. Para isso, montaram um sistema de equações lineares 
cujas incógnitas são os preços das mercadorias.
Esse sistema de equações é:
a) ( ) possível determinado, sendo o preço da borracha 
mais caro que o do lápis.
b) ( ) impossível, pois saber os totais das compras não 
garante a existência de solução.
c) ( ) possível determinado, podendo admitir como solu-
ção o valor do preço da caneta, do lápis e da borracha.
Capítulo 3 Sistemas Lineares: Classificação e Resolução 109
d) ( ) possível indeterminado, de forma que a soma dos 
valores possíveis da caneta, do lápis e da borracha é 
igual a cinco vezes o preço do lápis subtraído de R$ 9,00.
e) ( ) possível indeterminado, de forma que a soma dos va-
lores possíveis da caneta, do lápis e da borracha é igual 
a 1/5 da adição do preço da borracha com R$ 28,00.
 9) Resolva o sistema a seguir usando a regra de Cramer: 
.
Sugestão: faça ny
m
x
==
1 e 1 .
Generalidades sobre 
Vetores1
1 Mestre, Professor da Universidade Luterana do Brasil.
Leomir Joel Schweig1
Capítulo 4
Capítulo 4 Generalidades sobre Vetores 111
Introdução
Neste capítulo, é apresentado o vetor, que é um ente mate-
mático importante, utilizado no estudo da Física, no Cálculo, 
na Engenharia etc. Este ente é utilizado para representar as 
grandezas vetoriais, que necessitam, além de um número e 
unidade (módulo), também uma direção e um sentido, para 
ficarem perfeitamente definidas. São exemplos de grandezas 
vetoriais: velocidade, aceleração, força, quantidade de movi-
mento, impulso etc. Outros tipos de grandezas necessárias são 
as grandezas escalares. Essas, por sua vez, necessitam apenas 
de um número com unidade para ficarem perfeitamente defi-
nidas. São exemplos de grandezas escalares: tempo, massa, 
volume, área, comprimento, temperatura etc. Estes dois tipos 
de grandezas – vetoriais e escalares – são chamadas de gran-
dezas matemáticas ou físicas. Normalmente, o número com 
unidade, ou módulo, destas grandezas é determinado por um 
instrumento de medida.
No final do estudo deste capítulo, você deverá ser capaz 
de definir o vetor, representar os vetores através de suas ca-
racterísticas e representar e calcular o vetor resultante de um 
sistema de vetores.
1 Segmento orientado
Um segmento orientado é um segmento de um eixo e é de-
terminado por dois pontos, onde o primeiro é a origem do 
segmento e o segundo é a extremidade do segmento.
112 Geometria Analítica e Álgebra Linear
O segmento orientado de origem A e extremidade B será 
representado por AB e, geometricamente,