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Ca´lculo Diferencial e Integral III - 2013.2 Prof. Israel Galva˜o REPOSIC¸A˜O 1a PROVA DA 1a UNIDADE ALUNO: DATA: 10/12/2013 Obs.: Procure expressar suas ideias com clareza e organizac¸a˜o. Esta avaliac¸a˜o tem durac¸a˜o ma´xima de 1h:40m (UMA HORA E QUARENTA MINUTOS). 1. Enuncie o Teorema de Fubini. Use o teorema que voceˆ enunciou para calcular a integral ∫∫ R xyexy 2 dA R : 0 ≤ x ≤ 2, 0 ≤ y ≤ 1. 2. Encontre o volume da regia˜o delimitada superiormente pelo cilindro z = x2 e inferiormente pela regia˜o delimitada pela para´bola y = 2−x2 e pela reta x = y no plano xy. 3. Um Cilindro So´lido reto (na˜o circular) tem sua base R no plano xy e e´ delimitado superiormente pelo parabolo´ide z = x2 + y2. O Volume do cilindro e´ V = ∫ 1 0 ∫ y 0 (x2 + y2) dxdy + ∫ 2 1 ∫ 2−y 0 (x2 + y2) dxdy. Esboce a regia˜o da base R e expresse o volume do cilindro como uma u´nica integral iterada. Em seguida, calcule a integral para encontrar o volume. 4. Integre a func¸a˜o f(x, y) = ln(x2 + y2)√ x2 + y2 sobre a regia˜o 1 ≤ x2 + y2 ≤ e. 5. Converta a integral ∫ pi/2 pi/6 ∫ cossecθ 1 r2 cos θ drdθ para coordenadas cartesianas. Cada questa˜o vale 2,0 pontos. VAI DAR TUDO CERTO! 1
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