Apostila Algebra Linear

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UNIVERSO 
 
 Campus Juiz de Fora – MG 
 
 
 
 
CURSO DE ENGENHARIA DE PRODUÇÃO 
 
 
 
 
 
NOTAS DE AULA 
 
DE 
 
ÁLGEBRA LINEAR I 
 
 
Elaborada por 
Fabrízzio Condé de Oliveira 
 
 
 
 
 
 44
PROFESSOR: FABRÍZZIO CONDÉ DE OLIVEIRA 
DISCIPLINA: ÁLGEBRA LINEAR I 
E-MAIL: fabrizzioconde@ig.com.br ou fco03@uaivip.com.br 
 
CURSO: ENGENHARIA DE PRODUÇÃO – 1º Período M/N 
 
Unidade I – Matrizes 
 
1.1 – Definições: 
 
Chamamos de matriz uma tabela de elementos dispostos em linhas e colunas. Por exemplo, 
ao recolhermos os dados referentes a altura, peso e idade de um grupo de 4 pessoas, 
podemos dispô-los na tabela: 
 
 Altura (m) Peso (kg) Idade (anos) 
Pessoa 1 1,70 70 23 
Pessoa 2 1,75 60 45 
Pessoa 3 1,60 52 25 
Pessoa 4 1,81 72 30 
 
Ao abstrairmos os significados das linhas e colunas temos a matriz: 
 
1,70 70 23
1,75 60 45
1,60 52 25
1,81 72 30
A
⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥= ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦
 
 
Observe que em um problema em que o número de variáveis e de observações é muito 
grande, essa disposição ordenada dos dados em forma de matriz torna-se absolutamente 
indispensável. 
Outros exemplos de matrizes são: 
 
 
2 -1
2 3
0
x
x
⎡ ⎤⎢⎢⎢ ⎥⎣ ⎦
⎥⎥ ( )( )3 0,1⎡ ⎤⎣ ⎦ [ ]1− 
 
 
Os elementos de uma matriz podem ser números (reais ou complexos), funções, ou ainda 
outras matrizes. 
Representaremos uma matriz de m linhas e n colunas por: 
 
 
 
 
 
 45
 
11 12 1
21 22 2
Notação Abreviada
1 2
n
n
mxn ij mxn
m m mn
a a a
a a a
A a
a a a
⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎡ ⎤= = ⎣ ⎦⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦
"
"
# # # # ��	�
"
 
 
Ordem de uma matriz 
É dada pelo número de linhas e o número de colunas que a constituem. 
 
Ex.: 
 
1 2
3 4
A ⎡= ⎢⎣ ⎦
⎤⎥ e 
1 2 3
4 5 6
B ⎡ ⎤= ⎢ ⎥⎣ ⎦ 
 
ƒ a ordem de A é 2×2 (lê-se: “dois por dois”) 
ƒ a ordem de B é 2×3 (lê-se: “dois por três”) 
 
Outras notações: 
 
2 1
0 4
B
−⎛ ⎞= ⎜⎝ ⎠⎟ e 
( )i j m nA a ×= 
 
Para localizar um elemento de uma matriz, dizemos a linha e a coluna (nesta ordem) em 
que ele está. Por exemplo, na matriz: 
 
 
2 3
1 0 -4
4 -3 2x
A ⎡ ⎤= ⎢ ⎥⎣ ⎦ 13 4,a = − 11 1,a = 12 0a = 
 
 
Exercícios: 
 
1) Seja a matriz: 
 
1 3 7
0 4 -1
4 3 -2
7 -2 -5
A
⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥= ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦
 
 
a) Qual a sua ordem? 
 
 
 46
 
b) Quantos elementos ela possui? 
 
 
c) Complete: a41 = _____, a22 = _____, a32 = _____, a13 = _____. 
 
 
 
d) Seja aij = 0, então i =_____ e j =_____. 
 
 
 
 
2) Construa a matriz A = [aij]3x3 para a qual aij = i2 – j. 
 
Solução: 
 
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
2 2 2
11 12 13
2 2 2
21 22 23
2 2 231 32 33
1 1 1 2 1 3 0 1 2
2 1 2 2 2 3 3 2 1
8 7 63 1 3 2 3 3
a a a
A a a a
a a a
⎡ ⎤− − − − −⎡ ⎤ ⎡⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢⎢ ⎥= = − − − =⎢ ⎥ ⎢⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢⎣ ⎦ ⎣⎢ ⎥− − −⎣ ⎦
⎤⎥⎥⎥⎦
j
j
 
 
3) Construa a matriz A = [aij]4x4 para a qual: 
 
, <
1,
0, >j
ij
i j se i
a se i
se i
+⎧⎪= =⎨⎪⎩
 
 
11 12 13 14
21 22 23 24
31 32 33 34
41 42 43 44
a a a a
a a a a
A
a a a a
a a a a
⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥= ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦
 
 
Os elementos para os quais i = j pertencem à diagonal principal, eles são todos iguais a 
1; aqueles para os quais i < j estão “acima da diagonal principal”, e para calculá-los 
somamos os seus índices; e , aqueles para os quais i > j estão “abaixo da diagonal 
principal”; e eles são todos iguais a 0. Então: 
 
1 3 4 5
0 1 5 6
0 0 1 7
0 0 0 1
A
⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥= ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦
 
 
 
 47
 
4) O símbolo delta de Kronecker é definido por: 
 
 
0,
1,ij
se i j
se i j
δ ≠⎧= ⎨ =⎩
 
Construa a matriz para a qual 
3 4ij x
A a⎡ ⎤= ⎣ ⎦ 23 .ij i ija j δ= + 
 Solução: 
 
4 3 3 3
6 10 6 6
9 9 18 9
A
⎡ ⎤⎢ ⎥= ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦
 
 
5) Seja a matriz quadrada de ordem n: 
 
ij nxn
A a⎡ ⎤= ⎣ ⎦ . Denomina-se o traço da matriz A à soma 11 22 33 nna a a a+ + + +" dos 
elementos da diagonal principal de A, indica-se: 
 
( ) 11 22 33
1
n
nn ii
i
tr A a a a a a
=
= + + + + =∑"
 
Considere a matriz para a qual 
3 3ij x
A a⎡ ⎤= ⎣ ⎦ ija i= , determine . ( )tr A
Solução: 
 
( ) 11 22 33 1.1 2.2 3.3 1 4 9 14tr A a a a= + + = + + = + + = 
 
1.2 – Matrizes Especiais
 
1.2.1 – Matriz Quadrada
 
É aquela cujo número de linhas é igual ao número de colunas ( )m n= 
 
Obs.: Em uma matriz quadrada ij nxmA a⎡ ⎤= ⎣ ⎦ o conjunto de seus elementos , tais que 
, chama-se 
ija
i = j diagonal principal; o conjunto de seus elementos tais que 
chama-se 
1i j n+ = +
diagonal secundária. 
 
Exemplos: 
 
 
 
 48
1 2 0
3 0 1
4 5 6
−⎡ ⎤⎢⎢⎢ ⎥⎣ ⎦
⎥⎥ 
1 0
0 1
⎡ ⎤⎢ ⎥⎣ ⎦ [ ]1 
 
 
No caso de matrizes quadradas , costumamos dizer que mxmA A é uma matriz de ordem m. 
 
1.2.2 – Matriz Nula: 
 
É aquela em que 0ija = , para todo e i j , ou seja, todos os elementos da matriz são nulos. 
 
Exemplos: 
 
2 2
0 0
0 0x
A ⎡ ⎤= ⎢⎣ ⎦⎥ e 3 5
0 0 0 0 0
0 0 0 0 0
0 0 0 0 0
xB
⎡ ⎤⎢ ⎥= ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦
 
 
 
*Pode ser representada por 2 3
0 0 0
0 0 0x
O ⎡ ⎤= ⎢ ⎥⎣ ⎦ 
 
 
 
1.2.3 – Matriz Diagonal:
 
É uma matriz quadrada ( )m n= onde 0ija = , para i j≠ , isto é, os elementos que não estão 
na diagonal principal são nulos. 
 
Exemplo: 
7 0 0
0 1 0
0 0 1
⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥−⎣ ⎦
 e 
3 0 0 0
0 3 0 0
0 0 3 0
0 0 0 3
⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦
 
 
1.2.4 – Matriz Identidade Quadrada:
 
É aquela matriz diagonal em que 1ija = e 0ija = , para i j≠ . 
 
Exemplos: 
 
 
 
 49
3
1 0 0
0 1 0
0 0 1
I
⎡ ⎤⎢= ⎢⎢ ⎥⎣ ⎦
⎥⎥⎢ ⎥⎣ ⎦
2
1 0
0 1
I e e 2
1 0
0 1
I ⎡ ⎤= ⎢ ⎥⎣ ⎦ 
 
1.2.5 – Matriz Triangular Superior:
 
É uma matriz quadrada onde todos os elementos abaixo da diagonal são nulos, isto é, 
 e , para . m n= 0ija = >ji
 
Exemplo: 
 
2 1 0
0 1 4
0 0 3
−⎡ ⎤⎢ −⎢⎢ ⎥⎣ ⎦
⎥⎥ e 0
a b
c
⎡ ⎤⎢ ⎥⎣ ⎦ 
 
1.2.6 – Matriz Triangular Inferior
 
É uma matriz quadrada onde todos os elementos acima da diagonal são nulos, isto é, 
e , para . m n= 0ija = <ji
 
2 0 0 0
1 1 0 0
1 2 2 0
1 0 5 4
⎡ ⎤⎢ ⎥−⎢⎢⎢ ⎥⎣ ⎦
⎥⎥ e 
5 0 0
7 0 0
2 1 3
⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦
 
 
 
 
1.2.7 – Matriz Transposta: 
 
Seja a matriz A . Chama-se Matriz Transposta de A à matriz obtida de A , trocando-se, 
“ordenadamente” suas linhas por colunas (ou, o que conduz ao mesmo resultado: trocando-
se suas colunas por linhas). 
 
Exemplo: 
 
 
 
 
 
Se 
 
 
 
 
 
 50
1.2.8 – Matriz Simétrica:
 
É aquela onde m e . n= ij jia a=
A é simétrica tA A⇔ = . 
 
Exemplos: 
 
4 3 -1
3 2 0
-1 0 5
⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠
 
a b c d
b e f g
c f h i
d g i k
⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦
 
 
Observe que, no caso de uma matriz simétrica, a parte superior é uma “reflexão” da parte 
inferior, em relação à diagonal. 
 
 
 
 
 
1.2.9 – Matriz Anti-Simétrica
 
Uma matriz quadrada A é anti-simétrica se tA A= − . 
 
Exemplo: 
 
 
1.2.10 – Matriz Linha:
 
É a matriz constituída por uma única linha. 
 
Ex.: 
a) [ ]1 3A = − b) ( )4 4 5 2B = − 
 
1.2.10 – Matriz Coluna:
 
É a matriz constituída por uma única coluna 
 
Exemplo: 
 
a) b) 
0
3
-2
A
⎡ ⎤⎢ ⎥= ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦
1/ 2
0
7
-2
B
⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥= ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦
 
 
 
 51
 
1.2.10 –Matriz de Vandermonde 
 
Toda matriz quadrada de ordem n, , da forma: 2n ≥
 
1 2 3
2 2 2 2 2
1 2 3
1 1 1 1
1 2 3
1 1 1 ... 1 ... 1
... ...
... ...
... ... ... ... ... ... ...
... ...
j n
j n
n n n n n
j n
x x x x x
x x x x x
x x x x x− − − − −
⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦1
 
 
denomina-se matriz de Vandermonde 
 
Note que, por exemplo, a j-ésimacoluna é formada pelas potências de mesma base 
jx , com os expoentes variando de 0 e n – 1; os elementos dessa coluna formam uma 
progressão geométrica de n termos, cujo 1º elemento é 1 e cuja razão é jx . 
Os elementos da 2ª linha são chamados elementos de base da matriz. 
Indica-se o determinante de uma matriz de Vandermonde cujos elementos de base 
são 1 2, ,..., nx x x por: 
 
 
1 2 2 1 3 1 1( , ,..., ) ( )( )...( )n nV x x x x x x x x x= − − − 
 
Exemplo: 
 
Calcule o determinante . (2,3,5)V
Solução
 
2 2 2
1 1 1
(2,3,4) 2 3 4 (3 2)(5 2)(5 3) 6
2 3 4
V = = − − − = 
 
1.3 – Operações com Matrizes
 
Ao utilizar matrizes surge naturalmente a necessidade de efetuarmos certas operações. Por 
exemplo: 
 
 
 
 
 
 52
Produção de grãos (em milhões de unidades) durante o 1º ano 
 SOJA FEIJÃO ARROZ MILHO 
Região A 3000 200 400 600 
Região B 700 350 700 100 
Região C 1000 100 500 800 
 
 
Produção de grãos (em milhões de unidades) durante o 2º ano 
 SOJA FEIJÃO ARROZ MILHO 
Região A 5000 50 200 0 
Região B 2000 100 300 300 
Região C 2000 100 600 600 
 
 
Se quisermos montar uma tabela que dê a produção por produto e por região nos dois anos 
conjuntamente, teremos que somar os elementos correspondentes das duas tabelas 
anteriores: 
 
3000 200 400 600 5000 50 200 0 8000 250 600 600
700 350 700 100 2000 100 300 300 2700 450 1000 400
1000 100 500 800 2000 100 600 600 3000 200 1100 1400
⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢+ =⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣
⎤⎥⎥⎥⎦
⎤⎥⎥⎥⎦
 
 
Podemos considerar agora a seguinte situação. Existem muitos incentivos para se 
incrementar a produção, condições climáticas favoráveis, alta no preço de compra, etc e tal 
forma que a precisão para a safra do 3º ano será o triplo da produção do primeiro. Assim, a 
matriz estimativa de produção de último será: 
 
3000 200 400 600 9000 600 1200 1800
3 700 350 700 100 2100 1050 2100 300
1000 100 500 800 3000 2100 1500 2400
⎡ ⎤ ⎡⎢ ⎥ ⎢⋅ =⎢ ⎥ ⎢⎢ ⎥ ⎢⎣ ⎦ ⎣
 
 
Acabamos de efetuar, neste exemplo, duas operações, com matrizes: soma e multiplicação 
por um número que serão definidos formalmente, a seguir. 
 
1.3.1 – Adição
 
A soma de duas matrizes de mesma ordem, mxn ijA a= ⎡ ⎤⎣ ⎦ e mxn ijB b= ⎡ ⎤⎣ ⎦ é uma matriz m n× 
que denotaremos A B+ , cujos elementos são somas dos elementos correspondentes de A e 
B . Isto é, ij ij mxnA B a b+ = +⎡ ⎤⎣ ⎦
 
 
 
Exemplo: 
 
 
 53
 - 3 (8 - 2 ) = -3 
 - 24 + 6 = -3
 7 = 21 
 = 3
x x
x x
x
x
 
1 -1 0 4 1 3
+ =4 0 -2 5 2 5
2 5 1 0 3 5
⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣
⎤⎥⎥⎥⎦
 
 
Observe que, pela forma com que foi definida, a adição de matrizes tem as mesmas 
propriedades que a adição de números reais. 
 
Propriedades:
Dadas as matrizes A, B e C de mesma ordem mxn, temos: 
 
) ( )
) ( ) ( ) ( )
) , mxn
i A B B A comutatividade
ii A B C A B C associatividade
iii A O A onde O denota a matriz nula mxn
+ = +
+ + = + +
+ =
 
 
1.3.2 – Multiplicação por Escalar
 
Seja e [ ]ij mxnA a= K um número real, então definimos uma nova matriz: 
 . [ . ]ij mxnK A K a=
 
Exemplo: 
 
2 10 -4 -20
-2 =
1 -3 -2 6
⎡ ⎤ ⎡⋅ ⎢ ⎥ ⎢⎣ ⎦ ⎣
⎤⎥⎦ 
 
Dadas as matrizes A e B de mesma ordem mxn e números reais e temos: 1, K K 2K
 
)
)
)
)
1 2 1 2
1 2 1 2
( )
( )
. , , , 
 .
( ) ( )
mxn
i K A B KA KB
ii K K A K A K A
iii O A O isto é se multiplicarmos o número zero por qualquer matriz A teremos
a matriz nula
iv K K A K K A
+ = +
+ = +
=
=
 
 
1.3.3 – Multiplicação de Matrizes
 
Suponhamos que a seguinte matriz forneça as quantidades das vitaminas A , B e C 
obtidas em cada unidade dos alimentos I e II . 
 
 
 54
 A B C 
Alimento I 4(g/kg) 3 0 
Alimento II 5(g/kg) 0 1 
 
Se ingerirmos 5 unidades (5kg) do alimento I e 2 unidades do alimento II , quanto 
consumiremos de cada tipo de vitamina? (quantas gramas de cada vitamina?) 
Podemos representar o consumo dos alimentos I e II (nesta ordem) pela matriz 
“consumo”. 
 
 
[ ]
. .
5 2
Al I Al II
 
 
 
A operação que vai nos fornecer a quantidade ingerida de cada vitamina é o “produto”: 
 
( )[ ] ( )( )( )[ ] [ ]4 3 0* 5 2 5.4 2.5 5.3 2.0 5.0 2.1 30 15 2
5 0 1
g g⎡ ⎤⋅ = + + + =⎢ ⎥⎣ ⎦ g 
 
Isto é, serão ingeridos 30 unidades de vitamina A , 15 de B e 2 de C . 
Agora, se o custo dos alimentos depender do seu conteúdo vitamínico e soubermos que os 
preços por unidade de vitamina A , B e são, respectivamente, 1, 5; 3 e 5 reais, quanto 
pagaríamos pela porção de alimentos indicada anteriormente? 
C
 
( )[ ] ( ) ( ) [ ]
1,5
** 30 15 2 3 30. 1,5 15. 3 2.5 100
5
⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎡ ⎤⋅ = + + =⎣ ⎦⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦
 
 
Ou seja, pagaríamos 100 reais. 
 
Obs.: 
 
Em ( )[ ] [ ] [ ]1 2 2 3 1 3* x x⋅ = x 
Em ( )[ ] [ ] [ ]1 3 3 1 1 1* x x⋅ = x 
 
Exemplo: 
 
11 12 13
2 3
21 2322
x
a a a
A
a a a
⎡ ⎤= ⎢⎣ ⎦⎥
 e 
11 12
21 223 2
31 32
x
b b
b bB
b b
⎡ ⎤⎢ ⎥= ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦
 
 
 
 
 55
A matriz-produto AB é a matriz definida com: 2 2x
 
( )(
( )(
11 12
11 11 12 21 13 31 11 12 12 22 13 3211 12 13
21 22
21 2322 21 11 22 21 23 31 21 12 22 22 23 32
31 32
b b
a b a b a b a b a b a ba a a
b bA B
a a a a b a b a b a b a b a b
b b
⎡ ⎤ + + + +⎛ ⎞⎡ ⎤ ⎢ ⎥⋅ = ⋅ = ⎜ ⎟⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎜ ⎟+ + + +⎣ ⎦ ⎝ ⎠⎢ ⎥⎣ ⎦
)
) 
 
Agora, passemos para a definição geral. 
 
 
Exercício: Seja a tabela abaixo: 
Produto versus Quantidade (em unidades) de insumos empregados 
 Insumo A Insumo B Insumo C Insumo D 
Produto 1 20 3 18.500 20.200 
Produto 2 14.000 14.500 14.200 14.000 
Produto 3 6.000 5.500 7.000 5.450 
Produto 4 1.200 1.200 1.200 1.300 
Produto 5 3.300 2.200 2.800 2.600 
 
Dado que a matriz dos preços dos insumos 1
0,14
0,20
0,28
0,11
P
⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥= ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦
. Qual o custo de produção de cada 
produto? A resposta será fornecida no formato de matriz. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Suponha que existam 3 fornecedores onde as matrizes de preços são dadas abaixo: 
Fornecedor 1 Fornecedor 2 Fornecedor 3 
1
0,14
0,20
0,28
0,11
P
⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥= ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦
 2
0,15
0,20
0,21
0,11
P
⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥= ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦
 1
0,13
0,19
0,28
0,13
P
⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥= ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦
 
 
 
 56
 
 
Como escolheríamos os fornecedores? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Resposta: 
7405,40 6110,60 7809,17
10376,00 9522,00 10371,00
4499,50 4069,50 4493,50
887,00 815,00 889,00
1972,00 1809,00 1969,00
C
⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥= ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦
 
 
 
1.3.4 – Multiplicação de Matrizes
 
Sejam [ ] [ ] . Definimos [ ] , onde:ij mxn rs nxp uv mxpA a e B b AB c= = = 
 
1 1 2 2
1
 ... 
n
uv uk kv u v u v un nm
i
c a b a b a b a
=
= = + + +∑ b 
 
Obs.: 
( )
expi Só podemos efetuar o produto de duas matrizes e se o número de colunas da 
primeira for igual ao número de linhas da segunda , isto é, . Além disso, a matriz-
resultado . será de or
mxnA B
n l
C A B
=
= dem .mxp
 
 
( )ii O elemento (i-ésima linha e j-ésima coluna da matriz-produto) é obtido, multiplicando os 
elementos da i-ésima linha da primeira matriz pelos elementos correspondentes da j-ésima 
coluna da segund
ijc
a matriz, e somando estes produtos.
 
Ex.: 
 
 
 
 57
1) 
( )
( )
( )2 2
3 2
2 1 2.1 1.0 2 22. 1 1.4
1 1
4 2 4.1 2.0 4 44. 1 2.4
0 4
5 3 5 75.1 3.0 5. 1 3.4xx
+⎡ − + ⎤⎡ ⎤ ⎡ ⎤−⎡ ⎤ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⋅ = =+ − +⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥+ − +⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎣ ⎦
 
 
 
 
2) 
NÃO EXISTE
2 2
3 2
2 1
1 1
4 2
0 4
5 3X X
⎡ ⎤−⎡ ⎤ ⎡⎢ ⎥⋅ =⎢ ⎥ ⎢⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣⎢ ⎥⎣ ⎦
����
⎤⎥⎦
 
 
Nãoé possível efetuar esta multiplicação, porque o número de colunas da 1ª é diferente do 
número de linhas da 2ª. 
 
Propriedades:
i) Em geral AB ≠ BA (podendo mesmo um dos membros estar definido e outro 
não). 
 
Ex.: Sejam e 
3x3
1 -1 1
-3 2 -1
-2 1 0
A
⎡ ⎤⎢= ⎢⎢ ⎥⎣ ⎦
⎥⎥
3x3
1 2 3
2 4 6
1 2 3
B
⎡ ⎤⎢ ⎥= ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦
 
 
 
 
Então e 
3x3
0 0 0
0 0 0
0 0 0
AB
⎡ ⎤⎢= ⎢⎢ ⎥⎣ ⎦
⎥⎥
3x3
-11 6 -1
-22 12 -2
-11 6 -1
BA
⎡ ⎤⎢ ⎥= ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦
 
 
 
Note, ainda, que sem que .A B = 0 0A = ou 0B = . 
 
Desde que sejam possíveis as operações, as seguintes propriedades são válidas: 
 
)
)
)
)
)
)
 
.
( )
( ). 
( . ). ( )
( ) .
. .
m n n m m n m n
t t t
i A I I A A
ii A B C AB AC
iii A B C AC BC
iv A B C A BC
v AB B A
vi O A O e A O O
× ×= =
+ = +
+ = +
=
=
= =
×
 
 
 
 
 58
 
1ª Pergunta: ? Não!!! 2 0A A= ⇒ = 0
⎤⎥⎦
2
 
Contra-exemplo: 2
2 4 2 4 2 4 0 0
1 2 1 2 1 2 0 0
A A⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡= ⇒ = =⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢− − − − − −⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣
 
 
Observação: 20 0A A= ⇒ =
 
 
 
2ª Pergunta: Será que ? Quais condições devemos impor às 
matrizes A e B para a igualdade seja verdadeira. 
2 2( ) 2A B A AB B+ = + +
 
 
 
 
 
 
 
Matrizes Comutativas 
 
A e B são matrizes comutativas se AB BA= 
 
Qual a condição que devemos impor às ordens das matrizes comutativas? 
 
Exemplo: e daí, 
1 2
3 4
A ⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎝ ⎠
5 4
6 11
B ⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎝ ⎠
5 12 4 22 17 26
15 24 12 44 39 56
AB
+ +⎛ ⎞ ⎛= =⎜ ⎟ ⎜+ +⎝ ⎠ ⎝
⎞⎟⎠
e 
17 26
39 56
BA ⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎝ ⎠
 
1.3.4 - Potência de uma Matriz
 
Uma matriz quadrada [ ]ijA a= pode ser multiplicada por si mesma n vezes. A notação para 
a matriz resultante desta multiplicação é , chamada nA potência n da matriz A. 
 
Exemplos: 
 
Seja . Então 
1 2
3 4
A ⎡ ⎤= ⎢ −⎣ ⎦⎥
⎤⎥⎦
 
2 1 2 1 2 7 6
3 4 3 4 9 22
A
−⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡= =⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢− − −⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ 
 
 
 59
3 2 7 6 1 2 11 38
9 22 3 4 57 106
A A A
− −⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡= = =⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢− − −⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣
⎤⎥⎦ 
 
 
1.3.4.1 – Matriz Periódica
 
Seja uma matriz quadrada A, diz-se que A é uma matriz periódica se , sendo . nA = A
A
2n ≥
Se n é o menor inteiro para o qual nA = , diz-se que o período de A é . 1n −
 
1.3.4.2 – Matriz Idempotente
 
Dada uma matriz periódica A, tal que 2A A= , diz-se que A é uma matriz idempotente. O 
período da matriz idempotente é 2 1 1− = . 
 
Exemplo: 
 
2 1 1
3 4 3
5 5 4
A
−⎡ ⎤⎢ ⎥= − −⎢ ⎥⎢ ⎥− −⎣ ⎦
. 
 
Faça: 
 
2A = 
 
Conclusão: 
 
Se então __________________________________. 2A = A
 
 
1.3.4.3 - Matriz Nilpotente (ou Nihilpotente)
 
Dada uma matriz quadrada A, se existir um número p, inteiro e positivo, tal que , diz 
que A é uma matriz nilpotente. Se p é o menor inteiro positivo tal que , diz-se que A 
é uma matriz nilpotente de índice p. 
0pA =
0pA =
 
Exemplo: 
 
Seja . Então 
1 1 3
5 2 6
2 1 3
A
⎡ ⎤⎢ ⎥= ⎢ ⎥⎢ ⎥− − −⎣ ⎦
2
1 1 3 1 1 3 0 0 0
5 2 6 5 2 6 3 3 9
2 1 3 2 1 3 1 1 3
A
⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥= =⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥− − − − − − − − −⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦
. 
Assim, 
 
 
 60
3 2
0 0 0 1 1 3 0 0 0
3 3 9 5 2 6 0 0 0
1 1 3 2 1 3 0 0 0
A A A
⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢= = =⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢− − − − − −⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣
⎤⎥⎥⎥⎦
 
 
Conclusão: 
 
Se então __________________________________. 3 0A =
 
 
Exercícios 
 
Fazer os exercícios do livro Álgebra Linear (Autor: Alfredo STEINBRUCH e Paulo 
WINTERLE), páginas 414 a 417. Exercícios: do nº1 ao nº 26. 
 
 
 
 
 
 
1.3.4.4 – Matriz Inversa 
 
Uma matriz B que satisfaz a condição AB BA I= = diz-se inversa de A e é representada 
por . Assim, . 1A− 1 1AA A A I− −= =
A inversa de uma matriz é única. 
 
Exemplo: 
 
Verifique que é a inversa de . Para isso, calcule 
2 3
7 11
B
−⎛= ⎜−⎝ ⎠
⎞⎟ ⎞⎟11 37 2A
⎛= ⎜⎝ ⎠ AB e BA . 
 
 
 
 
 
1.3.4.5 - Matriz Ortogonal 
 
Uma matriz A cuja inversa coincide com a transposta é denominada matriz ortogonal. 
Ou seja, . Ou ainda, 1 tA− = A
. .t tA A A A I= = 
 
Exemplo: 
 
 
 61
Verifique que
1 3
2 2
3 1
2 2
A
⎡ ⎤⎢ ⎥⎢= ⎢ ⎥−⎢ ⎥⎣ ⎦
⎥ é ortogonal. 
 
1ª Lista de Exercícios de Álgebra Linear I 
 
Professor: Fabrízzio 
 
1) Classificar em verdadeira ou falsa cada uma das sentenças: 
 
 a) Se A é uma matriz 3×4 e B é uma matriz 4×5 então AB é 3×5 e BA∃ . 
 
 b) Se A é 2×4 e B é 4×2 então AB é 2×2 e BA é 4×4. 
 
 c) Se A e B são matrizes quadradas de ordem 3 então AB e BA também o são. 
 
 d) Se A é 3×2, B é 2×4 e C é 4×3 então (AB)C é uma matriz de ordem 3. 
 
 e) Se A é 2×2, B é 2×1 e C é 2×1 então C(AB) é uma matriz 1×1. 
 
 
2) Calcular, se existir, cada produto abaixo: 
 
 
a) 
3 2 4
5 1 6
⎛ ⎞⎛⎜ ⎟⎜−⎝ ⎠⎝
⎞⎟⎠
⎞⎟⎠b) 
5 1 3 2
2 4 1 2
⎛ ⎞⎛⎜ ⎟⎜− −⎝ ⎠⎝
c) 
2 3
1 1
1 5
2 4
4 7
⎛ ⎞⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎜ ⎟⎝ ⎠
d) ( )
3
1 2 3 6
2
⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟−⎝ ⎠
e) [ ]
2
9 4 5 7
1
⎡ ⎤⎢ ⎥ −⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦
f) 
3 4 5
5 1 9
− −⎛ ⎞⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟− −⎝ ⎠⎝ ⎠
 
 
 62
g) 
1 2 1 1
3 1 8 4
4 5 2 2
−⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥−⎣ ⎦
⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦
⎞⎟⎟⎟⎠
h) 
7 11 4 4 6 3
1 1 1 3 7 2
2 1 0 3 1 1
−⎛ ⎞⎛⎜ ⎟⎜− −⎜ ⎟⎜⎜ ⎟⎜ −⎝ ⎠⎝
 
 
3) Antônio, Bernardo e Cláudio saíram para tomar chope, de bar em bar, tanto 
no sábado quanto no domingo. As matrizes a seguir resumem quantos 
chopes cada um consumiu e como a despesa foi dividida. 
 
5 5 3
0 3 0
2 1 3
D
⎡ ⎤⎢ ⎥= ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦
 e 
4 1 4
0 2 0
3 1 5
S
⎡ ⎤⎢ ⎥= ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦
 
S refere-se às despesas de sábado e D às de domingo. Cada elemento nos dá 
o número de chopes que i pagou a j, sendo Antônio o nº 1, Bernardo o nº 2 e 
Cláudio o nº 3. Assim, no sábado Antônio pagou 4 chopes que ele próprio 
bebeu, 1 chope de Bernardo e 4 de Cláudio (primeira linha da matriz S). 
 a) Quem bebeu mais chope no fim de semana? 
 b) Quantos chopes Cláudio ficou devendo para Antônio? 
 
 
 
4) Dadas as matrizes 
0
0
a
A
a
⎡ ⎤= ⎢ ⎥⎣ ⎦ e 
1
1
b
B
b
⎡ ⎤= ⎢ ⎥⎣ ⎦ , determine a e b, de modo que 
AB I= , onde I é a matriz identidade de ordem 2. 
 
 
 
5) Um construtor tem contratos para construir 3 estilos de casa: moderno, 
mediterrâneo e colonial. A quantidade de material empregada em cada tipo 
de casa é dada pela tabela abaixo: 
 Ferro Madeira Vidro Tinta Tijolo 
Moderno 5 20 16 7 17 
Mediterrâneo 7 18 12 9 21 
Colonial 6 25 8 5 13 
 
a) Se ele vai construir 5, 7 e 12 casas dos tipos moderno, mediterrâneo e 
colonial, respectivamente, quantas unidades de cada material serão 
empregadas. 
 
 
 
 63
 b) Suponha agora que os preços por unidade de ferro, madeira, vidro, tinta e 
tijolo sejam, respectivamente, 15, 8, 5, 1 e 10 reais. Qual é o preço unitário 
de cada tipo de casa? 
 
c) Qual o custo total do material empregado? 
 
6) Resolva o sistema abaixo pela Eliminação de Gauss dizendo se o mesmo é 
possível ou impossível: 
2 2
3 2 2
5 4 3
x y z 10
1
4
x y z
x y z
+ − =⎧⎪ + + =⎨⎪ + + =⎩
 
 
7) Seja 
22
2 1 0
x
A
x
⎡ ⎤= ⎢ ⎥−⎣ ⎦
. Se tA A= , então x =? A é simétrica? 
 
8) Em cada afirmação abaixo diga se é verdadeira (V) ou falsa (F), justificando 
sua resposta: 
 
a) ( )t tA A= −
b) ( )t tA B A B+ = + t
c) AB BA= para toda matriz quadrada A e B. 
d) Se A é uma matriz triangular superior então é uma matriz triangular 
inferior. 
2A
 
 
 
9) Seja a matriz 
4 4ij
A a ×⎡ ⎤= ⎣ ⎦ para a qual: 
 
0 
 
 se 1 4
ii
ij ji
ij
a
a a
a i j i j
⎧ =⎪ =⎨⎪ = + ≤ < ≤⎩
 
 Determine A e . A é simétrica? Justifique. tA
 
10) Uma fábrica produz três produtos (banheiras, pias e tanques) e os envia para 
armazenamento em dois depósitos. O número de unidades enviadasde cada 
produto para cada depósito é dado pela matriz: 
 
200 75
150 100
100 125
A
⎡ ⎤⎢ ⎥= ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦
 
 
 
 
 64
(em que é o número de unidades enviadas do produto i para o depósito j, e os produtos 
são colocados em ordem alfabética). O custo de remessa de uma unidade de cada produto, 
por caminhão, é: R$ 1,50 por banheira, R$ 1,00 por pia e R$ 2,00 por tanque. Os custos 
unitários correspondentes ao envio por trem são: R$ 1,75, R$ 1,50 e R$ 1,00. Organize 
esses custos em uma matriz B e use essa matriz para mostrar como a fábrica pode comparar 
os custos de remessa – por caminhão e por trem – de seus produtos para cada um dos dois 
depósitos. 
ija
 
 
11) Uma rede de computadores tem cinco locais com transmissores de potências 
distintos. Estabelecemos que 1ija = , na matriz a seguir, significa que a 
estação i pode transmitir diretamente à estação j; significa que a 
transmissão da estação i não alcança a estação j. 
0ija =
 
0 1 1 1 1
1 0 1 1 0
0 1 0 1 0
0 0 1 0 1
0 0 0 1 0
A
⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥= ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦
 
 
a) Qual o significado da diagonal principal desta matriz? 
b) Qual o significado de 2 .A A A= ? Seja 2 ijA c⎡ ⎤= ⎣ ⎦ , calcule e informe seu 
significado. 
13c
c) Se A fosse simétrica, o que significaria? 
 
 
12) Determine x, , sabendo-se que: x∈\
 
3
2 0 7 14 7
0 1 0 0 1 0
1 2 1 4 2
x x x
I
x x x
− −⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥ =⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥−⎣ ⎦ ⎣ ⎦
 
 
13) Resolva a equação matricial: 
1 1 2 3 1 2 1 0
3
1 1 4 1 2 0 0 1
X
− −⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡+ = +⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢−⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣
⎤⎥⎦ 
 
 
14) Sejam as matrizes 
3 2ij
A a ×⎡ ⎤= ⎣ ⎦ e 2 3ijB b ×⎡ ⎤= ⎣ ⎦ tais que e 
. Seja 
2ija i j= − +
2ijb i j= + − i 3 3ijAB c ×⎡ ⎤= ⎣ ⎦ . Determine e . 32c 13c
 
 
 
 65
15) Seja . Descubra uma fórmula para . 
1 2
0 1
A ⎡= ⎢⎣ ⎦
⎤⎥ nA
 
 
 
Gabarito da 1ª Lista de Álgebra Linear I 
 
Professor: Fabrízzio 
 
1) a) V b) V c) V d) V e) F 
 
2) a) b) c) 
24
14
⎡ ⎤⎢ ⎥⎣ ⎦
14 8
2 4
⎡ ⎤⎢ ⎥−⎣ ⎦
8 14
11 21
18 32
⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦
 d) [ ]9 e) 
8 10 14
36 45 63
4 5 7
−⎡ ⎤⎢ ⎥−⎢ ⎥⎢ ⎥−⎣ ⎦
 
 
f) Não existe o produto. g) h) 
7
23
20
⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦
73 39 39
4 0 6
11 5 8
⎡ ⎤⎢ ⎥− −⎢ ⎥⎢ ⎥−⎣ ⎦
 
 
 
3) a) Cláudio bebeu (4 chopes. 0 5) (3 0 3) 9 6 15+ + + + + = + =
 
b) Cláudio ficou devendo para Antônio (7 5) 2− = chopes. 
 
 
4) e . 1=a 0=b
 
5) a) [ ]146 526 260 158 388 b) 
492
528
465
⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦
 c) [ ]11.736 
 
6) S.P.D. {(1,2, 3)}= −S
 
7) e A é uma matriz simétrica. 1=x
 
8) a) F b) V c) F d) F 
 
9) 
0 3 4 5
3 0 5 6
4 5 0 7
5 6 7 0
⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥= ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦
A
 
 
 66
 
10) . Então a firma deve utilizar o caminhão para 
transportar seus produtos até o depósito 1 e trem para transportar até o depósito 2. 
650 462,50
Matriz custo
675 406,25
⎡= ⎢⎣ ⎦
⎤⎥
 
11) a) Uma estação não consegue comunicar-se com ela mesma. 
 
b) significa o número de possibilidades da estação 1 comunicar-se com a 
estação 3 através de uma terceira estação. Se A fosse simétrica, significaria que i 
comunica com j e vice-versa. 
13 2=c
 
 
12) 1
5
=x 
 
13) 
0 0
1/3 0
⎡ ⎤= ⎢ ⎥⎣ ⎦X
 
14) e 32 24=c 13 13=c
 
15) 
1 2
0 1
⎡ ⎤= ⎢ ⎥⎣ ⎦
n nA
 
 
 67
Unidade II - Sistemas de Equações Lineares 
 
Exemplo (a): 
 
Resolva o sistema abaixo: 
 
(1) 2 8
3 3
x y
x y
+ =⎧⎨⎩ − = −
4
− = −
(2) 
 
Solução: 
1º Método: Método da Substituição
 
Isolando y em (1) temos: 
y = 8 – 2x (3) 
 
x -
Substituindo (3) em (2): 
 3 (8 - 2x) = -3 
6 3 2
3 3
x x
x y
+ =⎧⎨⎩
2 8
2 6
x y
x y
+ =
6− + =
 24 + 6x = -3
 = 21 
 = 3
x - 
 7x
 
 x
 tituindo este valor em (1), (2) ou (3) Subs
 y = 8 – 2 . 3 →
 y = 8 – 6 
y = 2 
 
 
2º Método: Método da Adição
 
Multiplique a 1ª equação (1) por 3 e some com a (2), obtendo: 
 
 
 + 
⎧⎨⎩
 
 
4
 
 7x = 21 
 x = 3 (Substitua este valor em qualquer das duas equações iniciais.) 
 
x – 3y = – 3 ⇒ 3 – 3y = – 3 ⇒ – 3y = – 6 ⇒ y = 2 
 
(Poderíamos ter feito da seguinte forma: Multiplique a 2ª equação (2) por –2 e some a (1), 
obtendo: ) 
 
 + 
 
 
 Substituindo em (1) 
7 1
2
y
y
=
=
 
 
 68
 → 2x + 2 = 8 
 x = 3 
 
 
 
3º Método: Método da Comparação
 
Escolha uma variável (x ou y), por exemplo, vamos escolher y. depois isole a mesma nas 
duas equações e então, iguale as equações. 
 
⎧2 8 8 2
3 3 33 3
3 3 3
x y y x
x x xx y y y
+ = → = −⎪ − − + +⎨ − = − → = = → =⎪ −⎩
 (*) 
38 2 3.(8) 3.(2) 3
3
xy x x x+= − = → − = +
= +24 6 3x x→ −
 (**) 
 
 
1
 
De (*) e (**): 
 
 
 
 
 7 2x = 
 
 
Logo, o conjunto solução do sistema linear é ( ){ }3,2S = . 
Obs.: Os pontos do plano cartesiano ( ),x y podem ser encarados como as extremidades de 
um vetor que tem como origem o ponto ( )0,0 . 
 
 
 
GRÁFICO 
 
 
 
 
 
 
Assim, o vetor solução do sistema é (3, 2)v =G ou 3
2
v ⎡ ⎤= ⎢ ⎥⎣ ⎦
G ou v =G [3 2]. 
* Note que as duas equações do sistema linear representam no plano cartesiano duas retas 
cuja a interseção é o ponto (3,2). 
 GRÁFICO 
 
 
 69
 
 
 
 
 
Exemplo(b): 
2
2 2
x y
x y
− =⎧⎨ − =⎩ 4
 
A segunda equação é exatamente o dobro da 1ª, por isso as soluções são as soluções da 1ª. 
Graficamente, representam duas retas coincidentes. 
GRÁFICO 
 
 
 
 
 
 
Conjunto solução: ( ){ }2 , ;S t t t= + ∈\ , ou seja, pondo y t= , vem que . Neste 
caso, temos infinitas soluções. 
2x = + t
 
Exemplo(c): 
1
3
x y
x y
− =⎧⎨ − =⎩
 
Dois números e não podem ter uma diferença de 1 e de 3 simultaneamente. Portanto, 
esse sistema não tem soluções. (Uma forma mais algébrica de aproximação pode ser 
subtrair a segunda equação da primeira, levando à absurda conclusão de que 0 = 2). 
x y
−
 
GRÁFICO 
 
 
 
 
 
 
Equação Linear:
 
 
 
 70
Definição:
Uma equação linear nas n variáveis 1 1 2 2 ... n na x a x a x b+ + + = onde os coeficientes 
 1 2, ,..., na a a
E o termo independente b são constantes. 
 
Exemplo: 
 
São equações lineares: 
 
( )
( )
( )
( )
( )
1 2 3 4
1 2
1 3 4 1
1 152 9
2 3
3 5 3 2
4 2
4 5
5 3,2 0,01 4,6
x y
r s t
x x x x
1x y sen z
x x
π π
− = −
− − =
+ = − +
⎛ ⎞+ − =⎜ ⎟⎝ ⎠
− =
 
 
 
Não são equações lineares: 
( )
( )
( )
( )
( )
2 2
1 2
3
1 2
1 2 1
2 3
3 2
4 2 1
4 5
5 3 2 0x
xy z
x x
x z
y
x y sen z
senx x
π π
+ =
− =
+ =
⎛ ⎞+ − =⎜ ⎟⎝ ⎠
− + =
 
 
* Um sistema de equações lineares com coeficientes reais tem: 
 
(a) uma única solução (um sistema possível e determinado); 
(b) infinitas soluções (um sistema possível e indeterminado); 
(c) nenhuma solução (um sistema impossível). 
 
 
Resolução de um sistema linear
 
Dois sistemas lineares são chamados equivalentes quando têm os mesmos conjuntos 
solução. Por exemplo: 
1
3
x y
x y
− =⎧⎨ + =⎩ e 
1
1
x y
y
− =⎧⎨ =⎩ 
 
 
 
 
71
 
 
1 1 1 2
3 3 16
2 1 9
− −⎡ ⎤⎢ ⎥−⎢ ⎥⎢ ⎥−⎣ ⎦
são equivalentes, já queambos têm ( )2,1 como única solução. (Verifique) 
 
Ex.: 
(a) Resolva o sistema 
2 3
3 5
5 10 2
x y z x
y z y
z z
− − = ⇒ =⎧⎪ + = ⇒ = −⎨⎪ = ⇒ =⎩
1
6− + =
⎪ − + =⎩
 
 
Portanto, a única solução é ( ) . 3, 1,2−
 
(b) Resolva o sistema 
 ⎪⎨ 
2
3 3 2 1
2 9
x y z
x y z
x y z
− − =⎧
 
Solução.:
Para transformas esse sistema em que exila a estrutura triangular do exemplo anterior, 
precisamos eliminar a variável das equações e . Em seguida, observe que estamos 
operando com os coeficientes, não com as variáveis, por isso podemos economizar alguma 
escrita se escrevermos apenas os coeficientes e os termos constantes na matriz. 
x 2 3
 
 
 
1 1 1
2
1
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( )
'
'
'
2 3 1 2
3 2 1 3
1 1
= − +
= − +
=
2
0 0 5 10
0 1 3 5
− −⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦
(1) 
1 1 1 2
0 1 3 5
0 0 5 10
− −⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦
(2) 
(3) 
 
 
 
( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
'' '
' ' '
'' '
2 3
Trocar 2 por 3 e 3 por 2
3 2
⎫= ⎪⎬= ⎪⎭
' 
 
Voltando para a “forma” de sistema, temos: 
 
( ){ }
2
3, 1,23 5
5 10
x y z
Sy z
z
− − =⎧⎪ ⇒ = −+ =⎨⎪ =⎩
 
 
 
Métodos Diretos de Resolução de Sistemas Lineares:
 
 72
Existem duas matrizes importantes associadas a um Sistema Linear. A matriz dos 
coeficientes contém os coeficientes das variáveis, e a matriz completa é a matriz dos 
coeficientes acrescentada de uma coluna extra que contém os termos constantes. 
 
Para o Sistema 
 
2 3
5 1
3 2
x y z
x z
x y z
+ − =⎧⎪ + =⎨⎪− + − =⎩ 0
⎥⎥
0
−⎡ ⎤⎢ ⎥ ⇒⎢ ⎥⎢ ⎥− −⎣ ⎦
 
 
2 1 1
1 0 5
1 3 2
−⎡ ⎤⎢ ⇒⎢⎢ ⎥− −⎣ ⎦
 Matriz dos Coeficientes 
 
 
2 1 1 3
1 0 5 1
1 3 2
 Matriz Completa 
 
Definição: Uma matriz na forma escalonada por linha quando satisfaz as seguintes 
propriedades: 
1 – Todas as linhas que consistem inteiramente em zero, estão na parte inferior da matriz. 
2 – Em cada linha não nula, o primeiro elemento não nulo (chamado elemento líder) está 
em uma coluna à esquerda de qualquer outro elemento líder abaixo dele. 
 
Exemplo: 
 
 
 
( ) ( ) ( )1 , 2 , 3 estão na forma escalonada. 
 
( ) ( )4 5e não estão. 
 
 
 
 
 
 73
Operações Elementares com as Linhas: 
 
Definição:
 
As seguintes operações elementares com as linhas podem ser realizadas em uma matriz: 
 
1 - Trocar duas linhas; 
2 - Multiplicar uma linha por uma constante não nula; 
3 - Somar um múltiplo de uma linha com outra linha. 
 
Usaremos a seguinte notação para as três operações elementares com linhas: 
 
1 - ↔Li Lj significa trocar as linhas i e j 
2 - significa multiplicar a linha pelo nº KLi i K ∈\ 
3 - Li KLj+ significa somar K vezes a linha j à linha (e trocar a linha i pelo resultado). i
 
O processo de aplicar operações elementares com linhas para transformas uma matriz em 
uma matriz escalonada é chamado escalonamento. 
 
Ex.: Reduza a seguinte matriz à forma escalonada: 
 
1 2 4 4 5
2 4 0 0 2
2 3 2 1 5
1 1 3 6 5
− −⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥−⎣ ⎦
 
 
* Trabalhamos coluna por coluna, da esquerda para a direita e de cima pra baixo. A 
estratégia é criar um elemento líder em uma coluna e usá-lo para criar zeros abaixo dele. O 
elemento escolhido para ser o elemento líder é chamado pivô, e essa fase do processo é 
chamada pivoteamento.] 
 
Solução: 
 
1 2 -4 -4 5
2 4 0 0 2
2 3 2 1 5
-1 1 3 6 5
⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦
 
1 1
2 1
3 1
4 1 4
2
2
L L
L L
L L
L L L
→
→− +
→ − +
→ +
2
3
L
L
1 2 -4 -4 5
0 0 8 8 -8
0 -1 10 9 -5
0 3 -1 2 10
⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦
 2 3L L↔
 
1 2 -4 -4 5
0 -1 10 9 -5
0 0 8 8 -8
0 3 -1 2 10
⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎥⎢⎢ ⎥⎣ ⎦
4 2 43L L L→ + 
1 2 -4 -4 5
0 -1 10 9 -5
0 0 8 8 -8
0 0 29 29 -5
⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦
 3 31/ 3L L→
 
 
 
 74
 
1 2 -4 -4 5
0 -1 10 9 -5
0 0 1 1 -1
0 0 29 29 -5
⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎥⎢⎢ ⎥⎣ ⎦
4 3 429L L L+→ − 
1 2 -4 -4 5
0 -1 10 9 -5
0 0 1 1 -1
0 0 0 0 24
⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦
 
 
Com esse passo final, reduzimos a matriz dada à forma escalonada. 
 
Obs.:1) A forma escalonada não é única 
 2) O elemento líder de cada linha é usado para criar zeros abaixo dele. 
 
Definição:
 
As matrizes A e B serão linha-equivalentes se existir uma seqüência de operações 
elementares com as linhas que converta A em B . 
 
Ex.: As matrizes do exemplo anterior são linha-equivalentes. 
 
Teorema 
 
As matrizes A e B são linha-equivalentes se, e somente se, puderem ser reduzidas à 
mesma forma escalonada por linhas. 
 
O Método de eliminação de Gauss 
 
1 – Escreva a matriz completa do sistema de equações lineares; 
2 – Use operações elementares com as linhas para reduzir a matriz completa à forma 
escalonada por linhas. 
3 – Usando substituição de trás para frente, resolva o sistema equivalente que corresponde à 
matriz linha-reduzida. 
 
Exemplo: 
 
1) Resolva o sistema 
1 2 3
1 2 3
1 2 3
3
2 3
2 5
x x x
x x x
x x x
+ + =
+ + =
− − = −
5 
 
Solução: 
 
A matriz completa é: 
 
 
 
 
 
75
 
 
⎤⎥− ⎥⎥⎦
1L
1 -1 -2 -5
1 1 1 3
2 3 1 5
⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦
 
 
 
1 1 1 3
2 3 1 5
1 -1 -2 -5
⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦
2 2
3 3 1
2L L
L L L
→ −
→ − 
1 1 1 3
0 1 -1 -1
0 -2 -3 -8
⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦
3 22L L→ + 3L
1
2 2 1 3
1 1 1 0 3
− −⎡ ⎤⎢ − −⎢⎢ ⎥− −⎣ ⎦ 3 1 3
2L L L
L L L
→− +
→ +
1 1 1 1
0 0 1 1
0 0 2 2 2
− −
 
 
 
1 2 3
2 3
3
31 1 1 3
0 1 -1 -1 1
0 0 -5 -10 5 1
x x x
x x
x
+ + =⎧⎡ ⎤ ⎪⎢ ⎥ ⇒ − = −⎨⎢ ⎥ ⎪⎢ ⎥ − = −⎣ ⎦ ⎩
 
 
 
 
 
2) Resolva o sistema 
 
2 1
2 2 3 3
3
w x y z
w x y z
w x y
− − + =⎧⎪ − − + =⎨⎪− + − = −⎩
 
 
Solução: 
 
1 1 1 2
1
1 1 1 2 1
0 0 1 1 1
0 0 0 0 0
− −⎡⎢⎢⎢⎣
2
3 ⎥⎥
−
2 1 2 
⎡ ⎤⎢ ⎥−⎢ ⎥⎢ ⎥− −⎣ ⎦
2L L→ +3 2 3L 
 
 
 
 
 
 
 
O sistema associado é: 
 
2 1
1
w x y z
y z
− − + =
− = 
que têm infinitas soluções. Há mais de uma maneira de atribuir parâmetros, mas 
continuaremos usando a substituição de trás para frente, escrevendo as variáveis 
 76
correspondentes aos elementos líderes (as variáveis dependentes) em termos das outras 
variáveis (as variáveis líderes). 
 
Como , vem que . 1y = + z z2w x= + −
Se atribuirmos parâmetros e x s= z t= , a solução pode ser escrita na forma vetorial como: 
 
 
2 2 1
0 1 0
1 1 0
0 0 1
w s t
x s
s t
y t
z t
+ − −⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥= = + +⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥+⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦
1
1
 
 
 
* Embora a forma escalonada da matriz não seja a única, o nº de linhas nulas é o mesmo em 
qualquer forma escalonada de uma matriz dada. Portanto, faz sentido atribuir um nome a 
esse número. 
 
Definição: 
 
O posto de uma matriz é o número de linhas não nulas de qualquer uma de suas formas 
escalonadas por linhas. A nulidade é a diferença entre colunas de A e o posto, isto é, é o 
número . 
mxnA
n p−
3) Resolva o sistema: 
 
1 2 3
1 2 3
2 3
2 3
2 3
2 2 1
x x x
x x x
x x
− − =⎧⎪ + − = −⎨⎪ − =⎩
 
 
 
Solução: 
 
 
1 1 2 3
1 2 1 3
0 2 2 1
− −⎡ ⎤⎢ ⎥− −⎢ ⎥⎢ ⎥−⎣ ⎦
 2 1L L→− + 2L
1 1 2 3
0 3 1 6
0 2 2 1
−⎡ ⎤⎢ ⎥−⎢ ⎥⎢ ⎥−⎣ ⎦
2 21/ 3L L→ 
 
 
 
 
 
 77
1 1 2
2
−
3
10 1 2
3
0 2 1
−⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥−⎣ ⎦
3L 3 22L L→− +
1 1 2 3
10 1 2
3
80 0 5
3
−⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥−⎢ ⎥⎢ ⎥−⎢ ⎥⎣ ⎦
 
 
levando à equação possível 15
8
z = − . 
Logo, o sistema é possível e determinado. (S.P.D.) 
 
 
 
 
 
*Teorema: 
 
i) Um sistema de m equações e n incógnitas admite solução se, e somente se o posto da 
matriz ampliada é igualao posto da matriz dos coeficientes. 
 
ii) Se as duas matrizes têm o mesmo posto p e p n= a solução será única. 
 
iii)Se as duas matrizes têm o mesmo posto p e p n< , podemos escolher n incógnitas, 
e as outras p incógnitas serão dadas em função destas. 
p−
 
Para finalizarmos este assunto, convém ilustrá-lo. 
Dizemos no caso (iii) que o grau de liberdade do sistema é n p− . 
 
Exemplos:
 ( n p 3 3 0 ) − = − =
Exemplo 1:
 
1 1 1 3
0 1 -1 -1
0 0 -5 -10
⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦
 3p pc a= =
 
3, 3m n= = e . Então, a solução é única e 3p = 1 20, 1x x= = e 3 2x = . 
 
 
Exemplo 2: 
 
 
 
 78
1 -1 -1 2
1
1
0 0 1 - 1
0 0 0 0 0
⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦
 p pc a=
 
3, 4m n= = . Temos 2 graus de liberdade 4 2 2n p− = − = (grau de liberdade) 
 
Exemplo 3:
 
1 -1 2 3
0 1 -1 -2
0 0 0 5
⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦
 2 3p pc a= ≠ =
 
⇒ O sistema é impossível, portanto não existe solução. 
 
 
Exercícios: 
Resolva e discuta os sistemas lineares abaixo pelo método da eliminação de Gauss e de 
Gauss-Jordan: 
 
a) 
1 2 3
1 2 3
1 2 3
2 3
2 0
4 4
x x x
x x x
x x x
+ − =⎧⎪ − + =⎨⎪ − + =⎩
9
2
0
3
1
 
b) 
0
3 5
3 7
x y z
x y z
x y z
− + =⎧⎪− + + =⎨⎪ + + =⎩
 
c) 
1 2 3 4
1 2 3 4
1 2 3 4
3 2 4
2 6 2
3 4 8 2
x x x x
x x x x
x x x x
− + − + =⎧⎪ − + − = −⎨⎪ − + − =⎩
 
d) 
2 3
4 7
2 5
r s
r s
r s
+ =⎧⎪ + =⎨⎪ + = −⎩
 
 
 
 
 
 
 
 
 79
 
 
O Método de Eliminação de Gauss-Jordan 
 
Uma modificação do método de eliminação de Gauss simplifica bastante a fase de 
substituição de trás para frente. Essa variante, conhecida como método de eliminação de 
Gauss-Jordan, baseia-se em reduzir ainda mais a matriz completa. 
 
 
Definição:
 
Uma matriz está na forma escalonada reduzida (por linhas) se ela satisfaz às 
seguintes propriedades: 
 
1 – Quaisquer linhas que consistem inteiramente de zeros estão na parte inferior da matriz. 
2 – O elemento líder em cada linha não nula é igual a 1 (chamado 1 líder) 
3 – Cada coluna que contém um líder tem zeros em todas as outras posições. 
 
Ex.: A matriz abaixo está na forma escalonada reduzida: 
 
1 2 0 0 -3 1 0
0 0 1 0 4 -1 0
0 0 0 1 3 -2 0
0 0 0 0 0 0 1
0 0 0 0 0 0 0
⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦
 
 
*Obs.: A forma escalonada reduzida de uma matriz é única. 
 
 
 
 
 
 
Método de eliminação de Gauss-Jordan
 
1 – Escreva a matriz completa do sistema de equações lineares. 
2 – Use operações elementares com linhas para reduzir a matriz completa à forma 
escalonada reduzida. 
3 – Se o sistema resultante for possível, resolva-o para as variáveis lineares que tenham 
sobrado. 
 
 
 
 
 
 
 
 80
Observação: A matriz escalonada reduzida por linhas, calculada pelo método da 
Eliminação de Gauss-Jordan é única, ou seja, toda vez que utilizarmos o método de Gauss-
Jordan para reduzirmos uma matriz na forma escalonada através de quaisquer operações 
elementares sobre as linhas, chegaremos sempre à mesma forma escalonada reduzida. (A 
forma escalonada reduzida é independente das operações sobre as linhas utilizadas) 
 
No caso da Eliminação de Gauss, a forma escalonada não é única, isto é, a forma final da 
matriz escalonada depende das operações sobre as linhas que adotamos durante o 
escalonamento. 
 
Resolva o sistema pelo método de Gauss-Jordan: 
 
1 2 3
1 2 3
1 2 3
x + 4 x + 3x = 1
2 x + 5x + 4 x = 4
x -3x - 2 x = 5
⎧⎪⎨⎪⎩
 
 
1 4 3 1
2 5 4 4
1 -3 -2 5
⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦
 2 1
3 1
2L L
L L L
→− +
→ − + 
2
3
L
1 4 3 1
0 -3 -2 2
0 -7 -5 4
⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦
 2 21/ 3L L→−
 
1 4 3 1
0 1 2 / 3 -2 / 3
0 -7 -5 4
⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦
 1 2 1
3 2 3
4
7
L L L
L L L
+→ −
→ +
1 0 1/ 3 11/ 3
0 1 2 / 3 -2 / 3
0 0 -1/ -2 / 33
⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦
11/ 3
0 1 2 / 3 -2 / 3
0 0 1 2
⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦ 2 3
1/ 3
2 / 3
L L L
L L
→− +
→ − +
1 0 3
0 1 2
0 0 2
 3 33L L→−
 
 
1 0 1/ 3
 1 3 1
2L
0
0
1
⎡ ⎤⎢ ⎥−⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦
⎨⎪⎩
7
 ⇒ 
1
2
3
x = 3
x = -2
x = 2
⎧⎪
 
3
S = -2
2
⎧ ⎫⎡ ⎤⎪ ⎪⎢ ⎥⎨ ⎬⎢ ⎥⎪ ⎪⎢ ⎥⎣ ⎦⎩ ⎭
 
 
Exercício: Resolva e discuta o sistema linear abaixo pela Eliminação de Gauss-Jordan: 
 
2 3 4 2
2 5 2 1
5 12 7 6
x y z t
x y z t
x y z t
+ − + =⎧⎪ + − + =⎨⎪ + − + =⎩
 
 
 
 
 
 81
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Sistema Linear Homogêneo 
 
Diz-se que o sistema de equações lineares é homogêneo se todas as constantes (termos 
independentes) são iguais a zero. 
 
Ex.: 
11 1 12 2 1
21 1 22 2 2
1 1 2 2
... 0
... 0
...........................................
... 0
n n
n n
m m mn n
a x a x a x
a x a x a x
a x a x a x
+ + + =⎧⎪ + + + =⎪⎨⎪⎪ + + + =⎩
 
 
O sistema homogêneo tem sempre uma solução 0 (0,0,..., 0)= , que se chama solução 
trivial ou não-zero. Se existir outras soluções, as mesmas serão denominadas de soluções 
não-triviais. 
 
Teorema 
 
Um sistema homogêneo de equações lineares com mais incógnitas do que equações têm 
uma solução não-trivial. 
 
 
O resultado acima nos garante que quando um sistema linear homogêneo não for SPD 
então, necessariamente, será SPI. 
 
Um sistema linear homogêneo nunca será um sistema impossível. (SI) 
 
 
 
 82
Ex.: (Resolva!) 
2 3 0
3 2
2 3 5
x y z w
x y z w
x y z w
+ − + =⎧⎪ − + − =⎨⎪ + − + =⎩
0
0
0
0
0
0
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Determine se cada sistema tem solução não-trivial: 
 
a) 
2 3 2 0
3 7 2 4
4 3 5 2
x y z w
x y z w
x y z w
− + − =⎧⎪ − − + =⎨⎪ + + + =⎩
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
b) 
2 3 0
2 5 2
3 4
x y z
x y z
x y z
+ − =⎧⎪ + + =⎨⎪ − − =⎩
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 83
 
 
 
 
 
 
11 1 12 2 1n n 1
21 1 22 2 2n n 2
m1 1 m2 2 mn n m
a x + a x + + a x = b
a x + a x + + a x = b
a x + a x + + a x = b
⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩
"
"
#
"
0
c) 
2 0
2 5 2
4 7 0
3 3 0
x y z
x y z
x y z
x y z
+ − =⎧⎪ + + =⎪⎨ + + =⎪⎪ + + =⎩
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Sistema e Matrizes:
 
Podemos escrever o sistema 
⎤ ⎡ ⎤⎥ ⎢ ⎥⎥ ⎢ ⎥⎥ ⎢ ⎥⎥ ⎢ ⎥⎥ ⎢ ⎥⎦ ⎣ ⎦
 
 
 
 
 
numa forma matricial: 
 
11 12 1n 1 1
21 22 2n 2 2
m1 m 2 mn n m
a a a x b
a a a x b
• =
a a a x b
⎡ ⎤ ⎡⎢ ⎥ ⎢⎢ ⎥ ⎢⎢ ⎥ ⎢⎢ ⎥ ⎢⎢ ⎥ ⎢⎣ ⎦ ⎣
"
"
# # " # # #
"
 
 
 
 84
 
ou A X B⋅ = onde 
 
11 1n
m1 mn
a a
A =
a a
⎡ ⎤⎢⎢⎢ ⎥⎣ ⎦
"
# " #
"
⎥⎥ é a matriz dos coeficientes. 
 
A matriz das incógnitas é: 
 
1
n
x
X =
x
⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦
# 
 
a matriz dos termos independentes é: 
 
1
2
m
b
b
B =
b
⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦
# e é a matriz ampliada do sistema. 
11 12 1n 1
21 22 2n 2
m1 m2 mn m
a a a b
a a a b
a a a b
⎡ ⎤⎢ ⎥⎢⎢⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦
"
"
# "
"
⎥⎥#
0
0
 
*Obs.: O método de eliminação de Gauss é mais rápido que a versão Gauss-Jordan para 
sistemas grandes de equações lineares. 
 
 
Exemplo: Escreva o sistema linear abaixo sob a forma matricial: 
 
a) b) 
2 3 2 7
5 9 11 10 1
4 2 3 6
2
x y z w
x y z w
x y z w
x y z w
+ + − =⎧⎪− + − + =⎪⎨ + − − = −⎪⎪ + + − =⎩
2 3 0
2 5 2
3 4
x y z
x y z
x y z
+ − =⎧⎪ + + =⎨⎪ − − =⎩
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 85
Aplicações de Sistemas Lineares: 
 
Alocação de Recursos
 
Exemplo 1 
 
Um biólogo colocou três espécies de bactéria (denotadas por I, II e III) em um tubo de 
ensaio, onde elas serão alimentadas por três fontes diferentes de alimentos (A, B e C). A 
cada dia serão colocadas no tubo de ensaio 2300 unidades de A, 800 unidades de B e 1500 
unidades de C. Cada bactéria consome um certonúmero de unidades de cada alimento por 
dia, como mostra a tabela abaixo. Quantas bactérias de cada espécie podem coexistir no 
tubo de ensaio de modo a consumir todo alimento? 
 
 
 Bactéria da Espécie I Bactéria da Espécie II Bactéria da Espécie III 
Alimento A 2 2 4 
Alimento B 1 2 0 
Alimento C 1 3 1 
 
Solução: ( ) 1 2 3Resp.: x = 100, x = 350, x = 350
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exemplo 2: Repita o exemplo anterior usando os dados de consumo diário de alimento 
(unidades por dia) mostrados na tabela abaixo. Assuma desta vez que serão colocadas no 
tubo de ensaio 1500 unidades de A, 3000 unidades de B e 4500 unidades de C por dia. 
 
 Bactéria da Espécie I Bactéria da Espécie II Bactéria da Espécie III 
Alimento A 1 1 1 
Alimento B 1 2 3 
Alimento C 1 3 5 
 
 
 
 86
 
Solução: R 
1
2
3
x t
esp.: x = 1500 - 2 t
x t
⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦⎣ ⎦
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Como e vem que 1 20, 0x x≥ ≥ 3 0x ≥ 750t ≤ , assim 0 75t 0≤ ≤ . (embora 
matematicamente esse sistema tenha infinitas soluções, fisicamente há uma quantidade 
finita). 
 
 
 
 
Balanceamento de Equações Químicas: 
 
2 2 22 2H O H O+ → 
 
Quando uma reação química ocorre, certas moléculas (os reagentes) se combinam 
para formar novas moléculas (os produtos). Uma equação química balanceada é uma 
equação algébrica que dá o número relativo de reagentes, e produtos na reação e tem o 
mesmo número de átomos de cada tipo dos lados esquerdo e direito. Note que nunca haverá 
uma única equação balanceada. Por exemplo, 2 2 26 3 6H O H O+ → é também balanceada. 
 
Assim, usualmente procuramos a equação balanceada mais simples para uma reação. 
 
 
 87
 
Exemplo: A combustão de amônia ( )3NH em oxigênio produz nitrogênio ( e água. 
Encontre uma equação química balanceada para essa reação. 
)2N
 
Solução:
 
Nº de moléculas de oxigênio: x
Nº de moléculas de amônia: w
Nº de moléculas de nitrogênio: y 
Nº de moléculas de água: z
 
3 2 2 2wNH + xO yN + zH O→ 
 
Comparando os números de átomos de nitrogênio, hidrogênio e oxigênio nos reagentes e 
nos produtos, 
 
Nitrogênio: 2w y=
Hidrogênio: 3 2 w z=
Oxigênio: 2 x z=
 
w - 2 y = 0
3w - 2 z = 0
2 x - z = 0
⎧⎪⎨⎪⎩
1 0 -2 0
3 0 0 0
0 2 0 0
⎡ ⎤⎢ ⎥→ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦
 
1 0 0 -2 / 3 0
0 1 0 -1/ 2 0
0 0 1 -1/ 3 0
⎡ ⎤⎢ ⎥→ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦
 , logo 
2
3
1
2
1
3
w z
x z
y z
= −
=
=
 
 
O menos valor positivo de que fornecerá valores inteiros para todas as quatro variáveis é 
o menor denominador comum das frações 
z
2 1 1, ,
3 2 3
 (é 6) que fornece e 
. 
4, 3, 2w x y= = =
6z =
Assim a equação química balanceada é: 
3 2 2 24 NH + 3O 2 N + 6H O→ 
 
 
Exercício: Faça o balanceamento da equação química para cada reação abaixo: 
 
a) 2 2 2 3FeS O Fe O SO+ → + 2
 
 
 
 88
b) (Essa reação ocorre quando uma planta verde converte 
dióxido de carbono e água em glicose e oxigênio durante a fotossíntese.) 
2 2 6 12 6CO H O C H O O+ → + 2
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Análise de Redes: 
 
Para nós, uma rede consiste em um número finito de nós (também chamados 
junções ou vértices) conectados por uma série de segmentos dirigidos, conhecidos como 
ramos ou arcos. 
Cada ramo é rotulado com um fluxo que representa a quantidade de alguma 
mercadoria que pode fluir ao longo ou através daquele ramo na direção indicada. (Pense em 
carros viajando ao longo de uma rede de ruas de mão única). 
 
As redes ocorrem em duas modalidades: abertas, nas quais o que flui pode entrar ou sair da 
rede, e fechadas, nas quais o que flui circula continuamente pela rede, sem sair nem entrar. 
Muitos dos mais importantes tipos de redes têm a 3 propriedades básicas: 
1- Fluxo unidirecional – Em qualquer instante, o fluxo por um ramo 
é sempre num único e mesmo sentido. 
2- Conservação do fluxo num nó – A taxa de fluxo para dentro de 
um nó é igual à taxa de fluxo para fora do nó. 
3- Conservação do fluxo na rede – A taxa de fluxo para dentro da 
rede é igual à taxa de fluxo para fora da rede. 
 
 
Regra Fundamental: Conservação do fluxo 
 
Em cada nó, o fluxo de entrada é igual ao fluxo de saída. 
 
Exemplo: 
 
 
 
 89
 
 
Fluxo em um nó: 1 2 50f f+ = . 
 
Exemplo: Descreva os possíveis fluxos através da rede de encanamento de água mostrada 
na figura abaixo, onde o fluxo é medido em litros por minuto. 
 
 
 
 
 
 
 Solução:
Nó A:15 1 4f f= + 1 4
1 2
2 3
3 4
15
10
25
20
f f
f f
f f
f f
+ =⎧⎪ − =⎪= ⎨ + =⎪⎪ − =⎩
Nó B: 1 2 10f f= +
Nó C: 2 3 5 30f f+ + =
Nó D: 4 320f f+ = 
 
Usando o .M G J− temos: 
 
 
 
 90
 
1 0 0 1 15 1 0 0 1 15
1 -1 0 0 10 0 1 0 0 5
0 1 1 0 25 0 0 1 -1 20
0 0 1 -1 20 0 0 0 0 0
⎡ ⎤ ⎡⎢ ⎥ ⎢⎢ ⎥ ⎢→⎢ ⎥ ⎢⎢ ⎥ ⎢⎣ ⎦ ⎣
⎤⎥⎥⎥⎥⎦
 
1
2
4
3
4
15
5
20
f t
f t
f t
f t
f t
= −⎧⎪ = −⎪= ⇒ ⎨ = +⎪⎪ =⎩
 
 
Se controlarmos o fluxo no ramo AD de modo que t L5 / min= , os outros fluxos são 
, , e . 1 10f = 2 0f = 3 25f =
 
Podemos fazer melhor: encontrar os fluxos máximos e mínimos em cada ramo. 
 
1 2 3 40, 0, 0, 0f f f f≥ ≥ ≥ ≥ 
 
 
 15 e 
Logo, (2) é mais restritiva que (1). 
0 0 15 (1)t t− ≥ ⇒ ≤ ≤ 5 0 0 5 (t t− ≥ ⇒ ≤ ≤ 2)
 
Portanto, 
1
2
3
4
10 15
0 5
20 25
0 5
f
f
f
f
≤ ≤
≤ ≤
≤ ≤
≤ ≤
 
Leis de Kirchoff 
 
Lei da Corrente (nós) 
A soma das correntes que entram em qualquer nó é igual à soma das correntes que saem 
dele. 
 
Lei da Voltagem (circuitos) 
A soma das quedas de voltagem ao longo de qualquer circuito é igual à voltagem total em 
torno do circuito (fornecido pelas baterias) 
 
Figuras ilustrativas 
 
 
 
 
 
 
 
 91
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Determine as correntes 1I , 2I e 3I no circuito elétrico mostrado abaixo. 
 
 
Resposta: 1 1I A= , 2 4I A= e 3 3I A= . 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 92
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exercício: A rede mostrada na figura a seguir tem uma única fonte de energia A e cinco 
resistores. Encontre as correntes I , 1I , 2I , 3I , 4I e 5I 
 
Resposta: , 7I A= 1 3I A= , 2 4I A= , 3 1I A= − , 4 4I A= e 5 3I A= . 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 93
Interpolação de Funções 
 
A seguinte tabela relaciona calor específico da água e temperatura: 
 
Temperatura 
(ºC) 
20 25 30 35 40 
Calor 
Específico 
0,99907 0,99852 0,99826 0,99818 0,99828 
 
Suponhamos que se queira calcular: 
 
i) o calor específico da água a 32,5ºC; 
ii) a temperatura para a qual o calor específico é 0,99837. 
 
A interpolação nos ajuda a resolver este tipo de problema. 
 
Interpolar uma função consiste em aproximar essa função por uma outra função 
, escolhida entre uma classe de funções definidas a priori e que satisfaça algumas 
propriedades. A função é então usada em substituição à função . 
( )f x
( )g x
( )g x ( )f x
 
Definição: 
 
Consideremos pontos distintos: ( 1n + ) 0 1, ,..., nx x x , chamados nós da interpolação, e os 
valores de nesses pontos: ( )f x 0 1( ), ( ),..., ( )nf x f x f x . A forma de interpolação de 
 consiste em se obter uma determinada função tal que: ( )f x ( )g x
0 0
1 1
2 2
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )n n
g x f x
g x f x
g x f x
g x f x
=⎧⎪ =⎪⎪ =⎨⎪⎪ =⎪⎩
#
 
Em nosso caso, usaremos como um polinômio de grau n estabelecido a priori. Logo, ( )g x
 
2
0 1 0 2 0 0 0
2
0 1 1 2 1 1 1
2
0 1 2 2 2 2 2
2
0 1 2
... ( )
... ( )
... ( )
... ( )
n
n
n
n
n
n
n
n n n n
a a x a x a x f x
a a x a x a x f x
a a x a x a x f x
a a x a x a x f x
⎧ + + + + =⎪ + + + + =⎪⎪+ + + + =⎨⎪⎪⎪ + + + + =⎩
#
n
) )
 
 
com equações e ( variáveis: . ( 1n + 1n + 0 1, ,..., na a a
A matriz A dos coeficientes é: 
 
 
 94
2
0 0 0
2
1 1 1
2
2 2 2
2
1
1
1
1 n n n
x x x
x x x
A x x x
x x x
⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥= ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦
"
"
"
# # # " #
"
 
 
que é a transposta de uma matriz de Vandermonde e, portanto, desde que 0 1, ,..., nx x x sejam 
pontos distintos, temos e, então o sistema linear admite solução única. det( ) 0A ≠
 
Sabemos, da geometria elementar, que existe uma única reta que passa por dois pontos 
distintos de um plano. É menos conhecido o fato de que existe uma única parábola que 
passa por quaisquer três pontos não colineares de um plano, que é justificado pela 
explicação acima. 
 
1) Para cada conjunto de pontos a seguir, encontre uma parábola com equação da forma 
 que passe pelos pontos dados. (Esboce a parábola para conferir a validade 
de sua resposta.) 
2y ax bx c= + +
 
a) (0,1), (-1,4) e (2,1) 
b) (-3,1), (-2,2) e (-1,5) 
 
 
2) Encontre o polinômio de grau 2 que interpola os pontos da tabela: 
 
x -1 0 2 
( )f x 4 1 -1 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 95
 
 
 
 
 
Exemplo 
 
Uma fábrica produz três tipos de fertilizantes para o solo, A, B e C, cada um deles 
contendo determinada quantidade de nitrogênio (N), de fósforo (P) e de potássio (K). A 
tabela abaixo mostra, em g/Kg as concentrações de N, P e K em cada tipo de fertilizante. 
 
 N P K 
A 1 3 4 
B 2 3 5 
C 3 0 3 
 
Para corrigir o solo de um determinado terreno, um agricultor necessita de 11g de 
N, 9g de P e 20g de K. Se o fertilizante A é vendido a R$ 6,00 o Kg enquanto B e C são 
vendidos a R$ 1,00 o Kg, determine as quantidades necessárias de A, B e C que fornecem 
as medidas desejadas pelo agricultor e que tenha um preço de R$ 10,00. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
LISTA DE EXERCÍCIOS 
 
1) (FEI) – Um comerciante adquiriu 80 rolos de arame, alguns com 30 metros e 
outros com 20 metros, num total de 2.080 metros de comprimento. Quantos 
rolos de 30 metros foram adquiridos? (justifique sua resposta) 
a. 40 
b. 52 
c. 28 
d. 32 
e. 48 
 
 
 96
 
2) (PUC-GO) – Resolver o sistema 
1
2
3
x y
y z
z x
− =⎧⎪ − =⎨⎪ − =⎩
 
 
3) (UNICAMP) – As pessoas A, B, C e D possuem juntas R$ 2.718,00. Se A 
tivesse o dobro que tem, B tivesse a metade do que tem, C tivesse R$ 10,00 
a mais do que tem e, finalmente, D tivesse R$ 10,00 a menos do que tem, 
então todos teriam a mesma importância. Quanto possui cada uma das 
quatro pessoas? 
 
 
4) (MACK) – A equação matricial: 
 
1 1 1 5
1 1 1 . 2
1 3 1
x
y
z k
−⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟− =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟−⎝ ⎠ ⎝ ⎠
⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠
 
a) não admite solução qualquer que seja k. 
b) admite solução qualquer que seja k. 
c) admite solução se 4k = . 
d) admite solução somente se 8k = . 
e) admite solução somente se 12k = . 
 
5) Se , , e x a y b z c w d= = = = é solução do sistema , então o 
produto vale: 
0
0
0
1
x y
y z
z w
y w
+ =⎧⎪ + =⎪⎨ + =⎪⎪ + =⎩
abcd
a. 1 
b. -1 
c. 1
16
 
d. 1
8
− 
e. -20 
 
6) Escolha entre as alternativas abaixo, aquela que representa o valor da 
constante m, de modo que o sistema 
2 1
2 4
7 4 11
x y z t
x y z t 2
x y z t m
− + + =⎧⎪ + − + =⎨⎪ + − + =⎩
 admita solução. 
 
 
 
 97
a) 3m =
b) 4m =
c) 2
3
m = 
d) 5m =
e) 6m =
 
 
7) (FEI) – O professor João tem R$ 275,00 em notas de R$ 5,00 e R$ 10,00; se 
o número total de cédulas é 40, a diferença entre o número de notas de R$ 
5,00 e R$ 10,00 é: 
 
 
8) Há 5 anos a idade de João era o dobro da idade de Maria. Daqui a 5 anos a 
soma das duas idades será 65 anos. Quantos anos João é mais velho que 
Maria? 
 
 
9) (UNICAMP) – Um copo cheio de água pesa 385g; com 2/3 da água pesa 
310g. Pergunta-se: 
a. Qual o peso do copo vazio? 
b. Qual o peso do copo com 3/5 de água? 
 
 
10) (FUVEST) – Um casal tem filhos e filhas. Cada filho tem o número de 
irmãos igual ao número de irmãs. Cada filha tem o número de irmãos igual 
ao dobro do número de irmãs. Qual o total de filhos e filhas do casal? 
 
 
11) (UNICAMP) – O IBGE contratou um certo número de entrevistadores para 
realizar o recenseamento em uma cidade . Se cada um deles recenseasse 100 
residências, 60 delas não seriam visitadas. Como, no entanto, todas as 
residências foram visitadas e cada recenseador visitou 102, quantas 
residências tem a cidade? 
 
 
12) Num quintal encontram-se galinhas e coelhos, num total de 30 animais. 
Contando os pés seriam, ao todo, 94. Quantos coelhos e quantas galinhas 
estão no quintal? 
 
 
13) O mago Paulo Coelho tem em seu “laboratório” algumas cobras, sapos e 
morcegos. Ao todo são 14 cabeças, 26 patas e 6 asas. Quantos animais de 
cada tipo estão no laboratório? 
 
 
 
 
 98
14) Calcular três números tais que a soma do 1º com o 2º é 40, a soma do 2º com 
o 3º é 70 e a soma do 1º com o 3º é 60. 
 
 
15) José Antônio tem o dobro da idade que Antônio José tinha quando José 
Antônio tinha a idade que Antônio José tem. Quando Antônio José tiver a 
idade que José Antônio tem, a soma das idades deles será 63 anos. Quantos 
anos tem cada um deles? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Unidade III – Matriz Inversa 
 
3.1 Cálculo da matriz inversa através de operações elementares 
 
Exemplo 1: Se possível, encontre a inversa da matriz A. 
 
1 2 3
2 5 3
1 0 8
A
⎡ ⎤⎢ ⎥= ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦
 
 
Solução 
 
Aplicando o algoritmo da inversão, temos: 
 
 
 99
1 1 1 1
2 1 2 2 2
3 3 1 3 2 1
1 1 1 3 1
2 2 2
3 3
1 2 3 1 0 0 1 2 3 1 0 0
2 5 3 0 1 0 2 0 1 3 2 1 0
1 0 8 0 0 1 0 2 5 1 0 1 2
1 2 3 1 0 0 1 2 3 1 0 0 3
0 1 3 2 1 0 0 1 3 2 1 0 3
0 0 1 5 2 1 0 0 1 5 2 1
L L L L
L L L L L
L L L L L L
L L L L L
L L L L
L L
→ →⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥→ − + → − − → →⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥→ − − − → +⎣ ⎦ ⎣ ⎦
→ →⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥− − → → − − →⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥− − → − − −⎣ ⎦ ⎣ ⎦
− +
3 2
3 3
1 2 1
2 2
3 3
1 2 0 14 6 3 2 1 0 0 40 16 9
0 1 0 13 5 3 0 1 0 13 5 3
0 0 1 5 2 1 0 0 1 5 2 1
L
L L
L L L
L L
L L
+ →
→
− → − + −⎡ ⎤ ⎡⎢ ⎥ ⎢− − → → − −⎢ ⎥ ⎢⎢ ⎥ ⎢− − → − −⎣ ⎦ ⎣
⎤⎥⎥⎥⎦
 
Logo, 
 
1
40 16 9
13 5 3
5 2 1
A−
−⎡ ⎤⎢ ⎥= − −⎢ ⎥⎢ ⎥− −⎣ ⎦
 
 
Exemplo 2: Se possível, encontre a inversa da matriz A. 
 
1 6 4
2 4 1
1 2 5
A
⎡ ⎤⎢ ⎥= −⎢ ⎥⎢ ⎥−⎣ ⎦
 
 
 
 
 
3.2 Resolução de Sistemas Lineares por Inversão de Matrizes 
 
AX B= . 
 
Se A é invertível, então existe . Logo, 1A−
 
1 1 1 1 1( ) ( )A AX A B A A X A B IX A B X A B− − − − −= ⇔ = ⇔ = ⇔ = 1− 
 
Assim, podemos enunciar o seguinte teorema: 
 
Teorema 
Se AX B= é um sistema linear de n equações a n incógnitas e se a matriz de coeficientes A 
é invertível, então o sistema tem uma única solução, a saber, 1X A B−= . 
 
Exemplo 1: 
 
 
 100
 
Se possível, resolva o sistema linear abaixo pelo método da inversão da matriz dos 
coeficientes: 
 
1 2 3
1 2 3
1 3
2 3 5
2 5 3
8 17
x x x
x x x
x x
+ + =⎧⎪ + + =⎨⎪ + =⎩
3 
 
Solução 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exemplo 2: 
 
Se possível, resolva o sistema linear abaixo pelo método da inversão da matriz dos 
coeficientes: 
 
1 2 3
1 2 3
1 3
2 3
2 5 3
8 3
x x x
x x x
x x
+ + =⎧⎪ + + =⎨⎪ + =⎩
1
2 
 
Solução 
 
 
 
 
 
 
 
 101
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Observação: 
 
Este método não é empregado pelos sistemas computacionais para a resolução de sistemas 
lineares, porém, ele amplia nossa compreensão sobre matrizes e sistemas lineares. 
 
 
 
 
 
Teorema 1 
Se é um sistema linear homogêneo de n equações a n incógnitas.O sistema tem 0AX =
somente a solução trivial se, e somente se, a matriz dos coeficientes A é invertível. 
 
Observação 
 
Seja uma matriz 2 × 2 invertível, assim: 
a b
A
c d
⎡= ⎢⎣ ⎦
⎤⎥ 1 1det( )
d b
A
c aA
− −⎡ ⎤= ⎢ ⎥−⎣ ⎦ 
 
 
 
 
Teorema 2 
Se A é uma matriz n×n, então as seguintes afirmações são equivalentes: 
 
(a) A forma escalonada reduzida por linhas de A é nI . 
 
(b) A pode ser expressa como um produto de matrizes elementares. 
 
(c) A é invertível. 
 
(d) tem somente a solução trivial. 0AX =
 
 
 
 
 
 
 
 102
 
Matriz Elementar 
Uma matriz n × n que pode ser obtida da matriz identidade nI de tamanho n × n 
executando uma única operação elementar sobre as linhas é chamada uma matriz 
elementar. 
 
Exemplo:Considere a matriz 
 
1 0 2 3
2 1 3 6
1 4 4 0
A
⎡ ⎤⎢= −⎢⎢ ⎥⎣ ⎦
⎥⎥ e considere a matriz elementar 
1 0 0
0 1 0
3 0 1
E
⎡ ⎤⎢ ⎥= ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦
 que resulta de somar 3 
vezes a primeira linha de 3I à terceira linha. O produto EA é 
 
1 0 2 3
2 1 3 6
4 4 10 9
EA
⎡ ⎤⎢= −⎢⎢ ⎥⎣ ⎦
⎥⎥ que é precisamente a mesma matriz que resulta quando nós 
somamos 3 vezes a primeira linha de A à terceira linha. 
 
 
Assim, supondo que A é invertível, temos Teorema 2 que: 
1
2 1 2 1... ...k n k nE E E A I E E E I A
−= ⇒ = . 
 
Como cada multiplicação à esquerda por uma destas matrizes elementares efetua uma 
operação sobre as linhas, resulta, comparando as equações acima, que a seqüência de 
operações sobre linhas que reduz A a nI também reduz nI a 
1A− . Logo, segue o seguinte 
resultado: 
Para encontrar a inversa de uma matriz invertível A, nós devemos encontrar uma seqüência 
de operações elementares sobre linhas que reduz A à identidade e depois efetuar esta 
mesma seqüência de operações em nI para obter 
1A− . 
 
Exercício 
 
Resolva, se possível, os sistemas lineares abaixo: 
 
(a) (b) (c) 
2 3 1
2 5 3
0 8 3
x y z
x y z
x y z
+ + =⎧⎪ + + =⎨⎪ + + =⎩
2 6 1
2 3 3
2 5 3
0 8 1
x y z
x y z
x y z
+ + =⎧⎪ + + =⎨⎪ + + =⎩
2 3 1
2 5 3
0 8 5
x y z
x y z
x y z
+ + =⎧⎪ + + =⎨⎪ + + =⎩
 (d) 
2 3 1
2 5 3
0 8 7
x y z
x y z
x y z
+ + = −⎧⎪ + + = −⎨⎪ + + =⎩
4
 
Solução 
 
 
 
 
 103
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
3.3 Aplicação de Matriz Inversa: CRIPTOGRAFIA 
 
Uma maneira de codificar uma mensagem é através de multiplicação por matrizes. 
Vamos associar números às letras do alfabeto, segundo a correspondência abaixo: 
 
AA B C D E F G H I J L M N O P Q R S T U V W X Y Z - 
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 0 
 
Suponhamos que a nossa mensagem seja “PUXA VIDA”. Podemos formar uma matriz 3 × 
3 assim: 
 
P U X
A V
I D A
⎡ ⎤⎢ −⎢⎢ ⎥⎣ ⎦
⎥⎥ cuja correspondência numérica será: 
15 20 23
1 0 21
9 4 1
⎡ ⎤⎢ ⎥= ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦
M . 
 
Agora, seja C uma matriz qualquer 3 × 3 inversível, como por exemplo: 
 
1 0 1
1 3 1
0 1 1
C
⎡ ⎤⎢ ⎥= −⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦
 
 
Se multiplicarmos nossa matriz de mensagem por C, obtendo-se M.C: 
 
15 20 23 1 0 1 5 83 58
1 0 21 1 3 1 1 21 22
0 4 1 0 1 1 5 13 14
−⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢− =⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣
⎤⎥⎥⎥⎦
 
 
 
 
 104
Transmitimos esta nova mensagem (na prática, envia-se a cadeia de números –5 83 58 1 21 
22 5 13 14, correspondentes às linhas). Quem recebe a mensagem decodifica-a através da 
multiplicação pela inversa e transcrição dos números para letras. C é 
chamada matriz chave de código. 
-1((M.C).C )
 
a) Você recebeu a mensagem: -12 48 23 7 27 29 –18 59 23. Utilizando a mesma chave, 
traduza a mensagem. 
 
 
b) Aconteceu que o inimigo descobriu sua chave. Seu comandante (ou mestre) manda 
você substituir a matriz por: 
 
*
1 1 1
1 1 0
0 0 2
C
−⎡ ⎤⎢ ⎥= ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦
 
 
Você transmite a mensagem “CRETINO” ao inimigo (codificada, naturalmente). Por que 
ele não será capaz de decodificar sua mensagem? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 105
 
Lista Complementar sobre Matrizes 
 
Professor: Fabrízzio 
 
1) Ache uma matriz triangular superior A tal que . 3
8 57
0 27
A
−⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎝ ⎠
 
2) Que tipo de matrizes são triangulares superiores e triangulares inferiores. 
 
 
3) Determine a inversa de . 
3 5
2 3
⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠
 
4) Dada a matriz 
1 3
4 3
A ⎛ ⎞= ⎜ ⎟−⎝ ⎠ . Determine uma matriz coluna não nula 
x
U
y
⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎝ ⎠ tal que 3AU U= . 
 
 
5) Seja . (a) Determinar e . (b) Determinar , onde 
1 2
4 3
A ⎛= ⎜ −⎝ ⎠
⎞⎟ 2A 3A ( )f A
3( ) 2 4 5f x x x= − + . 
 
6) Seja 
1 2 3
2 5 1
5 12 5
A
−⎛ ⎞⎜= ⎜⎜ ⎟
⎟− ⎟
−⎝ ⎠
. Determine todas as matrizes 
x
U y
z
⎛ ⎞⎜ ⎟= ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠
 tais que 
. 0AU =
 
7) Ache, se existir, a inversa de (a) 
1 2 4
1 1 5
2 7 3
A
−⎛ ⎞⎜ ⎟= − −⎜ ⎟⎜ ⎟−⎝ ⎠
 e (b) 
1 3 4
1 5 1
3 13 6
B
−⎛ ⎞⎜ ⎟= −⎜ ⎟⎜ ⎟−⎝ ⎠
. 
8) Seja . Determine 
1 2
0 1
A ⎛ ⎞= ⎜⎝ ⎠⎟
nA . 
Que condições as matrizes A e B devem satisfazer para que 2 2 ( )(A B A B A B)− = + − ? 
 
 
 
 106
9) Seja e . Determine: (a) 
0 1 0 0
0 0 1 0
0 0 0 1
0 0 0 0
A
⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟= ⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠
1 1 0
0 1 1
0 0 1
B
⎛ ⎞⎜= ⎜⎜ ⎟⎝ ⎠
⎟⎟ nA para todos os 
inteiros positivos n, (b) para todos os inteiros positivos n. nB
 
10) Seja . Determine uma matriz A tal que 
1 0
26 27
⎡⎢⎣ ⎦
⎤⎥ 3A B= . 
 
11) Seja . Determine todos os números k para os quais A é raiz do 
polinômio (a) 
5 2
0
A
k
⎡= ⎢⎣ ⎦
⎤⎥
2( ) 7 10f x x x= − + . (b) 2( ) 25g x x= − . (c) . 2( ) 4h x x= −
 
 
12) Se então qual é a matriz . 
1 1
0 1
A ⎛ ⎞= ⎜⎝ ⎠⎟
⎥
nA
 
13) Se , calcule , e 
1 1
1 2
A
−⎡ ⎤= ⎢⎣ ⎦
2A 3A 4.A 
 
14) Dê todas as matrizes 
0
0
a
A
b
⎡ ⎤= ⎢ ⎥⎣ ⎦ que satisfazem 
3 0A A+ = . 
 
15) Uma matriz A, quadrada, diz-se involutiva quando 2A I= . Uma matriz 
diagonal, de ordem 2, é involutiva; determine-a. 
 
16) As matrizes A e B são quadradas e de mesma ordem n. Demonstre que : 
[ ( )]t t tnA B I B A A+ = + . 
 
17) Sejam as matrizes 3 2[ ]ijA a ×= , 2 3[ ]ijB b ×= tais que 2ija i j= − + e 
 Seja 2 .ijb i j= + − i 3 3[ ]ijAB c ×= ; determine e . 32c 13c
 
18) Resolva a equação matricial: 
 
1 1 2 3 1 2 1 0
3
1 1 4 1 2 0 0 1
X
− −⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡+ = +⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢−⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣
⎤⎥⎦ 
 
 
 
 
 
 
 107
19) Determine x, , sabendo-se que: x∈\
 
2 0 7 14 7
0 1 0 0 1 0
1 2 1 4 2
x x x
I
x x x
− −⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥ =⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥−⎣ ⎦ ⎣ ⎦
 
 
 
20) Se as matrizes e 
1 2
3 0
⎡ ⎤⎢ ⎥⎣ ⎦
a b
c d
⎡ ⎤⎢ ⎥⎣ ⎦ comutam, qual a relação que “liga” a, b, c 
e d? 
Mostre que: 
2 31 1 1 0 1 0 0 1 0
0 1 0 1 1 1 0 0 1
0 0 1 0 0 1 1 1 1
4
I
− − −⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥= − − − = =⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥− − −⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦
 
 
 
21) Demonstre que uma matriz A, quadrada, é involutiva se, e somente se, 
. ( )( )I A I A− + = 0
⎥⎥
 
22) Para a matriz verifique que: 
1 2 2
2 1 2
2 2 1
A
⎡ ⎤⎢= ⎢⎢ ⎥⎣ ⎦
2
3 34 5 0A A I− − = . 
 
23) Se A e B são matrizes quadradas tais que AB BA= − dizemos que A e B são 
anticomutativas. Mostre que as matrizes: 
1 1
2 1
A
−⎡ ⎤= ⎢ ⎥−⎣ ⎦ e são 
anticomutativas e que 
1 1
4 1
B ⎡ ⎤= ⎢ ⎥−⎣ ⎦
2 2( )A B A B2+ = + . 
 
24) Uma matriz quadrada [ ]ij n nA a ×= diz-se anti-simétrica quando 
para todo i, 1 e para todo j, 1
ij jia a= −
i n≤ ≤ j n≤ ≤ . Observe que se A é anti-
simétrica e inversamente. Determine os números a, b, c, x, y e z 
para que a matriz 
tA = −A
4⎥⎥
3
2 3
1 2
4
a
A x b y
z c
−⎡ ⎤⎢= − −⎢⎢ ⎥⎣ ⎦
 seja anti-simétrica. 
 
25) A, B e C são matrizes quadradas de ordem n. Se a matriz C é anti-simétrica, 
demonstre que: 
( 3 )t t tA B C BA C+ = − 
 
 
 
 10826) Seja a matriz 4 4[ ]ijA a ×= para a qual: 
0
1 4
ii
ij ji
ij
a
a a
a i j se i j
⎧ =⎪ =⎨⎪ = + ≤ < ≤⎩
 
Determine A e . A é simétrica? tA
 
27) Seja D uma matriz diagonal de ordem 3×3. D é simétrica? 
 
28) Se é simétrica, em A há, no máximo, quantos elementos 
distintos? 
3 3[ ]ijA a ×=
 
29) Seja a matriz 3 2[ ]ijA a ×= para a qual ( ) ( )ija f i f j= + , onde . 
Construa . 
( ) 1f x x= +
tA
 
30) Seja a matriz A, quadrada de ordem n. Demonstre que é anti-
simétrica. 
tA A−
 
31) Uma rede de computadores tem cinco locais com transmissores de potências 
distintos. Estabelecemos que 1ija = , na matriz a seguir, significa que a 
estação i pode transmitir diretamente à estação j; 0ija = significa que a 
transmissão da estação i não alcança a estação j. 
 
0 1 1 1 1
1 0 1 1 0
0 1 0 1 0
0 0 1 0 1
0 0 0 1 0
A
⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥= ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦
 
a) Qual o significado da diagonal principal desta matriz? 
b) Qual seria o significado de 2 .A A A= ? Seja 2 ijA c⎡ ⎤= ⎣ ⎦ , calcule e informe seu 
significado. 
13c
c) Se A fosse simétrica, o que significaria? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 109
Respostas dos Exercícios da Lista Complementar sobre Matrizes 
 
1) 
2 3
0 3
−⎡ ⎤= ⎢ ⎥⎣ ⎦A
 
2) São as matrizes diagonais. 
 
3) 1
3 5
2 3
− −⎡ ⎤= ⎢ ⎥−⎣ ⎦A
 
4) ;2
3
⎧ ⎫⎡ ⎤⎪ ⎪⎢ ⎥ ∈⎨ ⎬⎢ ⎥⎪ ⎪⎢ ⎥⎣ ⎦⎩ ⎭
\
x
S x
x
 
 
5) a) e 2
9 4
8 17
−⎡ ⎤= ⎢ ⎥−⎣ ⎦A
3 7 30
60 67
−⎡ ⎤= ⎢ ⎥−⎣ ⎦A b) 
13 52
( )
104 117
−⎡ ⎤= ⎢ ⎥−⎣ ⎦f A 
 
 
6) {(13 , 5 , ); }= − ∈\S z z z z
 
7) a) 1
16 11 3
7 5 1
2 2 2
5 3 1
2 2 2
−
⎡ ⎤⎢ ⎥− −⎢ ⎥⎢= ⎢⎢ ⎥⎢ ⎥− −⎢ ⎥⎣ ⎦
A ⎥− ⎥ b) Não existe 
1−B , pois . det 0=B
 
8) 
1 2
0 1
⎡ ⎤= ⎢ ⎥⎣ ⎦
n nA
 
9) =AB BA , ou sejam, A e B comutam. 
 
10) A) Faça b) Faça 
 
11) Faça. 
 
12) Faça. 
 
 
13) 
1
0 1
⎡ ⎤= ⎢ ⎥⎣ ⎦
n nA
 
 
 110
 
14) , 2
0 3
3 3
−⎡ ⎤= ⎢ ⎥⎣ ⎦A
3 3 6
6 3
− −⎡ ⎤= ⎢ ⎥⎣ ⎦A e 
4 9 9
9 0
− −⎡ ⎤= ⎢ ⎥⎣ ⎦A 
 
 
15) ou 
0 1/
0
−⎡ ⎤= ⎢ ⎥⎣ ⎦
b
A
b
0 0
0 0
⎡ ⎤= ⎢ ⎥⎣ ⎦A 
 
16) 
1 0 1 0 1 0 1 0
 ou ou ou 
0 1 0 1 0 1 0 1
A
− −⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡= ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎤⎥− −⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ 
 
17) Demonstração. 
 
18) Já fiz na outra lista. 
 
19) 
0 0
1/3 0
⎡ ⎤= ⎢ ⎥⎣ ⎦X
 
20) 1
5
=x 
 
21) Faça. 
 
22) Demonstração. 
 
23) Demonstração. 
 
24) Verificação. 
 
25) Demonstração. 
 
26) Faça. 
 
27) Demonstração. 
 
28) e A é simétrica. 
0 3 4 5
3 0 5 6
4 5 0 7
5 6 7 0
⎡ ⎤⎢ ⎥⎢= ⎢⎢ ⎥⎣ ⎦
A ⎥⎥
 
29) Sim. D é simétrica. 
 
30) 6 elementos. 
 
 
 111
 
31) 
4 5 6
5 6 7
tA ⎡ ⎤= ⎢ ⎥⎣ ⎦
 
32) Demonstração. 
 
33) a) A estação não transmite para ela própria diretamente. 
b) Cada elemento de representa o número de modos que uma estação 
transmite para outra de uma terceira estação. 
 e significa que a estação 1 transmite para a 
estação 3 de uma terceira estação de dois modos (através da estação 2 e da 
estação 4) 
2A
13 0.1 1.1 1.0 1.1 1.0 2= + + + + =c
c) Se A fosse simétrica, isto é, =ij jia a , isso significaria que a estação i 
transmite para a estação j sempre que a estação j transmite para a i. 
 
 
Unidade IV – Determinantes 
 
4.1 Definição 
 
O determinante é um certo tipo de função que associa a cada matriz quadrada n × n um 
número real. 
Nosso objetivo é definirmos esta função e aplicá-la a matrizes 2 × 2,3 × 3 e n × n. 
 
Seja o sistema linear abaixo: 
 
ax by e
cx dy f
+ =⎧⎨ + =⎩ 
 
Para eliminarmos a variável y, efetuamos a seguinte operação: multiplicamos a 1ª linha por 
(d) e a 2ª linha por (-b) e depois somamos o resultado de ambas. 
 
( )
ax by e adx bdy de de bfad bc x de bf x
cx dy f bcx bdy bf ad bc
+ = + =⎧ ⎧ −⇒ ⇒ − = − ⇒ =⎨ ⎨+ = − − = − −⎩ ⎩ 
 
Que será possível e determinado se, e somente se, 0ad bc− ≠ . 
 
Como este número caracteriza o sistema linear, vamos “batizá-lo” de determinante da 
matriz dos coeficientes do sistema. Além disso, a expressão ad bc− ocorre com tanta 
freqüência em Matemática que é recebeu o nome de determinante da matriz A. 
 
det
a b
A A ad bc
c d
⎡ ⎤= ⇒ = −⎢ ⎥⎣ ⎦ 
 
 
 112
 
Notação para o determinante: 
 
det ou 
a b
A
c d
 
 
 
4.2 Determinantes de Matrizes 2 × 2 e 3 × 3 
 
Regra Prática de Sarrus 
 
(a) 11 12 11 22 12 21
21 22
det
a a
a a a a
a a
⎡ ⎤ = −⎢ ⎥⎣ ⎦
 
(b) 
11 12 13
21 22 23 11 22 33 12 23 31 13 21 32 13 22 31 12 21 33 11 23 32
31 32 33
det
a a a
a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a
a a a
⎡ ⎤⎢ ⎥ = + + − − −⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦
 
Exemplos: 
 
Calcule os determinantes de 
3 1
4 2
A ⎡ ⎤= ⎢ ⎥−⎣ ⎦ e 
1 2 3
4 5 6
7 8 9
B
⎡ ⎤⎢ ⎥= −⎢ ⎥⎢ ⎥−⎣ ⎦
. 
 
Solução 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Observações: 
1) Só podemos calcular determinantes de matrizes quadradas. 
2) O método de Sarrus não funcionam para determinantes de matrizes 4 × 4 ou 
maiores. 
 
Exercícios 
1) Calcule os determinantes: 
 
 
 113
a. 
3 5
2 4− 
b. 
4 1
8 2
 
c. 
2 6
4 3
 
d. 
3 5
3 2
a
a
−
− − 
e. 
2 7 6
5 1 2
3 8 4
−
− 
f. 2
4 3
2 1
4 1
c
c
c
−
− 2
 
g. 
2 1 4
3 5 7
1 6 2
−
− 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2) Encontre todos os valores de λ para os quais det( ) 0A = . 
a. 
2 1
5 4
λ
λ
−⎡ ⎤⎢ ⎥− +⎣ ⎦
b. 
4 0 0
0 2
0 3 1
λ
λ
λ
−⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥−⎣ ⎦
 
 
 114
3) Resolva em x. 
 
1 0 3
1
2 6
3 1
1 3 5
x
x
x
x
−− = −− −
 
 
 
 
 
 
 
4.3 Calculando Determinantes Através de Redução por Linhas 
 
Teorema 
 
Seja A uma matriz quadrada. 
 
(a) Se A tem uma linha ou coluna de zeros, então det( ) 0A = . 
(b) d . et( ) det( )tA A=
 
Exemplos: 
 
1) 
1 2
0 0
A ⎡ ⎤= ⎢ ⎥⎣ ⎦
 
 
2) 
1 2
3 4
B ⎡ ⎤= ⎢ ⎥⎣ ⎦
 
 
 
 
 
 
 
 
Teorema 
Se A é uma matriz triangular (triangular superior, triangular inferior ou diagonal) de tamanho 
n × n, então det( )A é o produto das entradas na diagonal principal da matriz; ou seja, 
11 12det( ) ... nnA a a a= . 
 
Exemplo: 
 
 
 115
1) 
3 6 7 9 8
0 5 5 2 1
0 0 1 9 6
0 0 0 1 8
0 0 0 0 4
−
−
=
−
 
2) 
1 0 0
4 2 0
6 2 5
− = 
3) 
2 0 0
0 6 0
0 0 7
= 
 
 
Teorema 
Seja A uma matriz n × n. 
 
(a) Se B é a matriz que resulta quando uma única linha ou uma única coluna de A é 
multiplicada por um escalar k, então det( ) det( )B k A= . 
 
(b) Se B é a matriz que resulta quando duas linhas ou duas colunas de A são permutadas, então 
det( ) det( )B A= − . 
 
(c) Se B é a matriz que resulta quando um múltiplo de uma linha de A é somado a uma outra 
linha ou quando um múltiplo de uma coluna de A é somado a uma outra coluna, então 
det( ) det( )B A= . 
 
 
Exemplos: 
 
a) . Assim, pode-se verificar que: de2 2
1 2 1 2
2
3 4 6 8
A L L B⎡ ⎤ ⎡= → ⇒ =⎢ ⎥ ⎢⎣ ⎦ ⎣
⎤⎥⎦ t( ) 2det( )B A= 
 
b) . Assim, pode-se verificar que: det(2 1
1 2 3 4
3 4 1 2
A L L B⎡ ⎤ ⎡= ↔ ⇒ =⎢ ⎥ ⎢⎣ ⎦ ⎣ ⎦
⎤⎥ ) det( )B A= − 
d) . Assim, pode-se verificar que: 1 2 1
1 2 7 10
2
3 4 3 4
A L L L B⎡ ⎤ ⎡= → + ⇒ =⎢ ⎥ ⎢⎣ ⎦ ⎣
⎤⎥⎦ det( ) det( )B A= . 
 
 
 
Teorema 
Se A é uma matriz quadrada com duas linhas proporcionais ou duas colunas proporcionais, 
então de . t( ) 0A =
 
Exemplos: 
 
 
 116
 
a) , pois 
1 2
det( ) 0
2 4
A A⎡ ⎤= ⇒⎢ ⎥⎣ ⎦ = 2 12L L= . 
 
b) , pois 
1 2
det( ) 0
7 14
B B⎡ ⎤= ⇒⎢ ⎥⎣ ⎦ = 2 12C C= . 
 
c) Calcule det( )A , onde . 
0 1 5
3 6 9
2 6 1
A
⎡ ⎤⎢ ⎥= −⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦
 
1 2 1 1 3 1 3
3 2 3
0 1 5 3 6 9 1 2 3
1det( ) 3 6 9 ( ) 0 1 5 ( ) 3 0 1 5 ( 2 )
3
2 6 1 2 6 1 2 6 1
1 2 3 1 2 3 1 2 3
3 0 1 5 ( 10 ) 0 1 5 ( 3)( 55) 0 1 5 ( 3)( 55)(1)