Apostila de Análise Vetorial

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Unidade I – ANÁLISE VETORIAL 
 
1.1 – Escalares e vetores 
 Esta disciplina pressupõe que os estudantes estejam cursando engenharia elétrica e que já 
tenham trabalhado, no mínimo, o cálculo infinitesimal e integral. 
 O cálculo vetorial, ferramenta fundamental para esta disciplina, será abordado de forma 
contextualizada com a mesma. 
 Para melhor compreensão, será feita uma rápida retomada de alguns conceitos já adquiridos 
em disciplinas precedentes, os quais são considerados pré-requisitos para o assunto em pauta. 
Grandeza Escalar: Grandeza que pode ser completamente caracterizada pela sua magnitude e uma 
unidade. Ex: Tempo, temperatura, densidade, massa, energia, pressão, volume, resistividade, 
potencial etc. 
Grandeza Vetorial: Grandeza que, para ser caracterizada, necessita de módulo (intensidade ou 
magnitude), direção e sentido assim como sua unidade. Ex: Força, velocidade, aceleração, indução, 
intensidade de campo elétrico etc. 
Um vetor é descrito por uma letra com uma pequena flecha sobre si ( 
V
) ou por uma letra 
em negrito (V). 
Um erro muito comum entre os estudantes é o descaso com que tratam as grandezas e 
operações vetoriais. 
Campo: Região ou domínio onde existe um dado fenômeno. Pode ser entendido como a própria 
equação que descreve o fenômeno. Os campos podem ser de dois tipos: escalares ou vetoriais. 
 
 
 
Campos escalares: É aquele em que, a cada 
ponto de uma região, podemos associar um 
número (escalar). Um exemplo clássico é o 
campo de temperaturas onde, a cada ponto da 
região, podemos associar uma temperatura. 
 
 
 
Campos vetoriais – quando a cada ponto do espaço podemos 
associar um vetor. Como exemplo, temos o campo elétrico 
produzido por uma carga pontual. 
 
Fig.1.1 – Campo escalar 
E1 
 
E3 
 
E4 
 
E2 
 
Fig.1.2 – Campo vetorial 
I - 2 Teoria Eletromagnética 
________________________________________________________________________________________________ 
 
1.2 – Álgebra vetorial 
 A álgebra de vetores pode ser resumida em soma de vetores, produto de escalar por vetor, 
produto de vetor por vetor e pelo conjunto de suas propriedades. 
Soma de vetores: 
Regra do triângulo: A soma de dois vetores é obtida graficamente colocando-se o início do 
segundo vetor no final do primeiro vetor. O vetor soma tem seu início no início do primeiro e final 
no final do segundo vetor. 
Regra do paralelogramo: Colocam-se os inícios dos dois vetores juntos e traçam-se paralelas aos 
mesmos passando por seus finais. O vetor soma é obtido na diagonal do paralelogramo. 
 
 
 
Fig. 1.3 – Soma de vetores pelo método: a) do triângulo; b) do paralelogramo. 
 A soma de vetores também pode ser feita somando-se suas componentes ortogonais como 
será explorado nos cálculos desta disciplina. 
 Tem-se na álgebra de vetores as seguintes propriedades: 
Propriedade comutativa: 
 ABBA
 
Propriedade distributiva: 

 C)BA()CB(A
 
Subtração de vetores: A subtração de vetores é obtida pela soma de primeiro com o segundo 
invertido. 
)B(ABA


 
Igualdade de dois vetores: Dois vetores são iguais quando a sua diferença é igual a zero. 
 
0)B(ABA 

 
Produto de escalar por vetor: Os vetores podem ser multiplicados por escalares. Neste caso 
apenas o seu módulo é modificado (e o sentido se o escalar for negativo). A representação do 
produto é a simples justaposição do escalar ao vetor (sem o uso de ponto!). Ex: 
 BA 6
 
Divisão de vetor: A divisão de um vetor por um escalar é igual ao produto do vetor pelo inverso do 
escalar. Ex: 
5/1.

 BA
 
Propriedades distributivas e comutativas: 
 

 BsAsrBAr)BA(s)BA(r)BA)(sr(
 
Produto de vetor por vetor: O produto de dois vetores é mais complexo. Compreende o produto 
escalar ( 
 BAC .
) e o produto vetorial ( 
 BxAC
) como será detalhado logo a seguir. 
 
 

BA
 
A
 
B
 
A

A 
 
B
 
 

BA
A+B 
 
Análise Vetorial - 3 
_______________________________________________________________________________________ 
 
1.3 – Sistema cartesiano de coordenadas 
No sistema de coordenadas cartesianas um ponto é obtido pela interseção de três superfícies 
planas perpendiculares entre si caracterizadas por x = cte, y = cte e z = cte. 
Assim as coordenadas de um ponto são, 
respectivamente, a distância do ponto P ao plano x 
= 0, ao plano y = 0 e ao plano z = 0. 
Apesar de se poder raciocinar de outra 
maneira, esta forma de pensar necessariamente 
deve ser usada quando se tratar de outros sistemas 
de coordenadas onde as superfícies não são 
necessariamente planas, mas são perpendiculares 
entre si no ponto de intersecção. 
Os três eixos estão a 90o entre si de modo a 
formar o triedro direto, ou seja, girando-se um 
parafuso comum de x para y ele avança na direção 
z, caso girarmos o parafuso de y para z o parafuso 
avança na direção x e assim sucessivamente. 
Os vetores unitários são associados a cada uma das variáveis e são chamados de ax, ay e az. 
Cada vetor unitário tem direção normal à superfície em que a variável associada seja 
constante e aponta para o lado em que a grandeza cresce. Assim o vetor unitário ax é perpendicular 
ao plano x = cte e aponta para o lado em que x cresce. O mesmo pode-se dizer em relação aos 
outros dois vetores unitários. 
 Suponhamos um vetor posição que liga 
a origem ao ponto P1(x,y,z) onde há a 
intersecção de três planos perpendiculares. 
Incrementemos a cada coordenada um 
diferencial de distância e teremos um novo 
ponto P2 (x+dx, y+dy, z+dz) onde ocorre a 
intersecção de três outros planos. Os seis 
planos definidos por estes pontos determinam 
um paralelepípedo diferencial retangular com 
volume dv = dx.dy.dz. 
Cada face do paralelepípedo determina 
um diferencial de superfície expresso como 
um vetor cujo módulo é a área e cujo vetor 
unitário é normal à área apontando para o lado 
de fora. 
zzyyxx adxdySdadxdzSdadydzSd

 ;;
 
 A diagonal que determina a variação do vetor posição é dada por: 
222 dzdydxd 
 
 
Z 
Y 
aZ 
X 
aX 
Fig.1.4 – Sistema Cartesiano de Coordenadas 
z = z1 
 
x = x1 
 
y = y1 
 
P(x,y,z) 
aY 
Z 
Y 
X 
dSx=dydz.aX 
dy 
 
dSy=dxdz.aY 
dx 
 
dz 
 
dV =dx.dy.dz 
dSz=dxdy.aZ 
P1 
P2 
Fig.1.5 – Arestas, áreas e volumes infinitesimais 
I - 4 Teoria Eletromagnética 
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1.4 - Componentes de um vetor e 
vetores unitários 
 
 A maneira mais fácil de descrever um vetor é 
através de suas componentes (ou projeções) segundo 
três direções determinadas. O método mais conhecido 
é a decomposição de um vetor segundo o Sistema 
Cartesiano de Coordenadas. 
 Considere-se um vetor posição 
pr
 que se 
origina na origem O e se estende até o ponto P. Ele 
pode ser obtido pela soma vetorial das componentes 

x , y e z que são as suas projeções sobre os eixos 
respectivos. 

 zyxr p
 
 Cada componente está sobre um eixo e pode ser descrita como o produto do seu módulo 
pelo vetor unitário naquela direção (
xa
 , 
ya
 e 
za
 ). 
zyxp azayaxr


 
 
Exemplo: 
 Tem-se um vetor 
pr
 dirigido da origem para o ponto P (1, 2, 3) que é 
zyxp aaar

 321
 
e outro vetor 
qr
 dirigido da origem para o ponto Q (3, -3, 5)dado por 
zyxq aaar

 533
. 
 
 O vetor distância, que une P a Q, pode ser obtido aplicando-se a regra da adição vetorial 
qpqp rrr


 então 
pqpq rrr


 resultando, no caso, 
zyxpq aaar

 252
. 
 
Módulo de um vetor: Seja um vetor B cujas componentes são Bx, By e Bz , isto é: 
 
zzyyxx aBaBaBB


 
O módulo de um vetor pode ser facilmente calculado pelo Teorema de Pitágoras aplicado às 
componentes ortogonais: 
 
222
|| zyx BBBB 
 
 
Vetor unitário numa dada direção: O vetor unitário numa dada direção é o vetor que se obtém 
dividindo-se o vetor pelo seu módulo. Assim um vetor unitário na direção do vetor B é dado por: 
 
||




B
B
a B
 
 
Exemplo 1.1: Dados três pontos A(2,-3,1), B(-4,-2,6) e C(1,5,-3) determine: 
a) o vetor que tem origem em A e termina em C; 
b) o vetor unitário dirigido de B para A; 
c) a distância entre B e C; 
d) o vetor que vai de A até o ponto médio do segmento BC. 
Fig.1.6 – Componentes de vetores 
 
z 
 
y 
 
x 
 
rp 
z 
x 
y 
P 
0 
Análise Vetorial - 5 
_______________________________________________________________________________________ 
 
Solução: 
a) 
zyxa aaar

 132
; 
zyxc aaar

 351
; 
zyxac aaar

 481
 
 
b) 
zyxb aaar

 624
; 
zyxba aaar

 516
; 
zyx
zyx
ba aaa
aaa
a






 635,0127,0762,0
516
516
222
 
c) 
zyxbc aaar

 975
; 
45,12975 222 bcd
 
 
d) 
zyxzyxzyxbcbd aaaaaaaaarrr

 5,15,15,12/)975()624(2/
 
zyxadad aaarrr

 5,05,45,3
 
 
1.5 – Funções e campos escalares e vetoriais 
 Função escalar de uma variável real (t) é uma regra, geralmente expressa em forma de 
equação, que associa a cada valor do parâmetro t do seu domínio um único escalar no 
contradomínio. 
Ex: 
][).(.)( max Wbtsent  
 (função escalar a uma variável) 
 A função escalar pode ser também de duas ou mais variáveis, onde uma combinação de suas 
variáveis independentes leva a um único valor para a função. 
Ex: 
][40.100.200 22),,( VeyxV
z
xyx

 (função escalar a três variáveis) 
 Função vetorial de uma variável real t, definida em um intervalo I, é a função 
)(tf
 que 
associa a cada t um vetor 
)(tf
 do espaço (R2 ou R3). 
Ex: 
][a.4a).(.2a).cos(.2(t)r mttsent zyx

  
 Função vetorial de duas ou três variáveis é a regra que associa a cada conjunto de valores 
das variáveis independentes um único vetor. 
Ex: 
][a)2ln(.4a.3a)(2z)y,(x,B 22 Txzeyx zy
z
x




 
 Campo escalar é uma região do espaço (domínio) acrescida da função escalar que descreve 
a grandeza. O campo escalar, em diversos momentos, será confundido com a própria função. 
Ex: 
mzyxmC
zyx
o
zyx 80,001,0];[
20 222
222
),,( 

 
 Campo vetorial é uma região do espaço (domínio) acrescida da função vetorial que 
descreve a grandeza vetorial ali existente. O campo vetorial, às vezes, é também confundido com a 
própria função vetorial que descreve a grandeza em função da posição do ponto. 
Ex: 
]/[a)2ln(.4a)..1,0(cos..8a02,0v z)y,(x, smyxe zy
z
x

 ; |x|  5 m, |y|  98 m; -35 m  z  0 
 
I - 6 Teoria Eletromagnética 
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1.6 - Produto escalar 
O produto escalar entre dois vetores A e B , é definido como o produto do módulo de A 
pelo módulo de B e pelo cosseno do ângulo AB entre os dois e resulta num escalar. A operação é 
representada por um ponto e pronuncia-se “A escalar B”. É interessante desenhar o ponto bem 
saliente para que não haja esquecimento do mesmo durante os cálculos. 
 
ABBABA cos.||.||

•
 
Aplicando este conhecimento para os vetores unitários obtemos: 
0aa;0aa;0aa;1aa;1aa;1aa ••••••

xzzyyxzzyyxx
 
Decompondo-se os vetores em componentes cartesianas e fazendo-se as operações tem-se: 
 
zzyyxxzzyyxx a.Ba.Ba.BB;a.Aa.Aa.AA


 
 
)a.a.a.()a.a.a.(BA zzyyxxzzyyxx BBBAAA

••
 
 Utilizando o conhecimento de produto escalar entre vetores unitários chega-se a: 
 
zzyyxx BABABA ...BA •
 (escalar: sem vetores unitários!) 
Aplicações clássicas: 
1- Cálculo de trabalho: Uma das aplicações mais clássicas do produto escalar é no cálculo do 
trabalho mecânico onde se deve considerar o deslocamento L , a força F e o cosseno do ângulo 
entre os mesmos. 
cos.||.||

 LFW
 ou simplesmente cos.||.||  • LFLFW onde o trabalho é um escalar. 
2- Componente de um vetor na direção de outro: A componente escalar de um vetor B na 
direção do vetor A é obtida pelo produto escalar de B pelo vetor unitário a (na direção de A ). 
 
• aBaBB BAa cos.||.||
 (projeção escalar de B na direção de A ) 
 
Exemplo 1.2: Dados 
zyx

 a.4a.5a.2F
e 
zyx

 a.2a.5a.3L
determine: 
a) •LF ; b) o ângulo entre F e L ; c) a componente escalar de F na direção de L ; 
d) a projeção vetorial de F na direção de L . 
Solução: a) 
278256)a.2a.5a.3()a.4a.5a.2(LF ••

zyxzyx
 
 b) 
16,6253||;71,6452|| 222222 

LF
 
o
ABAB arc
BA
BA
8,130)6532,0cos(;6532,0
16,6.71,6
27
||.||
cos 


•



 
c) 
39,4;a.325,0a.812,0a.487,0
16,6
a.2a.5a.3
||
•







LLzyx
zyx
L aFF
L
L
a
 
d) 
zyxzyxLLLLL aaFaFF

• a.43,1a.56,3a.14,2)a.325,0a.812,0a.487,0(39,4)(
 
Análise Vetorial - 7 
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1. 7 - Produto vetorial 
O produto vetorial de dois vetores A e B , 
representado por A x B , é um vetor cujo módulo é 
igual ao produto dos módulos dos dois vetores pelo 
seno do menor ângulo entre eles. 
A direção do vetor resultante é perpendicular 
ao plano que contém os dois vetores e o sentido 
coincide com o do avanço de um parafuso de rosca 
direita, quando A é girado para B . Usa-se a regra 
da mão direita onde os quatro dedos mostram o 
sentido de giro do primeiro vetor para chegar até o 
segundo e o polegar indica o sentido da resultante. 
 
 
NAB
asenBABA

 ..||.||  
 Assim como no produtor escalar, é difícil trabalhar diretamente com o ângulo espacial entre 
um vetor e o outro. Por isto prefere-se trabalhar usando os vetores unitários. 
Aplicando a definição aos vetores unitários teremos a seguinte tabela onde os elementos da 
coluna vertical representam o primeiro fator e os da linha horizontal o segundo fator. 
 
 
Sejam dois vetores A e B , tais que 
zzyyxxzzyyxx BBBeAAA

 a.a.a.Ba.a.a.A
. 
 O produto vetorial entre A e B será igual a: 

A x B = = ( AyBz –AzBy) xa + ( AzBx – AxBz) 
y

a
 + (AxBy – AyBx) 
z

a
 
Isso pode ser mais facilmente memorizado na forma de determinante: 
 
 
x

a
 
y

a
 
z

a
 

A x B = 
AX AY AZ 
 BX BY BZ 
 
Parecer fácil de perceber que o produtor vetorial não é comutativo, ou seja: 
 A x B = - (B x A ) 
 x axay az 
 ax 0 az -ay 
 ay -az 0 ax 
 az ay -ax 0 
 
Fig.1.6 – Componentes de vetores 
 
A 
 
B 
 
C = A x B 
 
aN 
 
I - 8 Teoria Eletromagnética 
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Exemplo 1.3: Se 
zyxzyx a.5a.2a.4Beaa.3a.2A


 temos: 
 
 
x

a
 
y

a
 
z

a
 
x

a
 
y

a
 

A x B = 
2 -3 1 2 -3 
 -4 -2 5 -4 -2 
 

A x B = (-3 ) (5) xa + ( 1)(4) 
y

a
 + (2)(-2) 
z

a
 - [( -3) (-4) 
z

a
 + (1 ) (-2) 
x

a
 + ( 5)(2) a
y

a
 ] 

A x B = - 13 xa -14 
y

a
 -16 
z

a
 
 
 
 
Análise Vetorial - 9 
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1.8 – Sistemas de coordenadas cilíndricas 
 Quando um problema apresenta simetria circular geralmente é mais fácil usar coordenadas 
cilíndricas ou esféricas. O sistema de coordenadas cilíndricas é uma versão tridimensional do 
sistema de coordenadas polares no plano. Neste caso um ponto no espaço é definido pela 
intersecção de três superfícies perpendiculares. Estas superfícies são uma casca cilíndrica de raio 
 = const, um semiplano vertical  = const. e um plano horizontal z = const. 
 São definidos vetores unitários para cada coordenada de modo que eles são perpendiculares 
às superfícies em que a respectiva coordenada é constante e apontam para o lado que a mesma 
cresce. O vetor unitário 


a
 em qualquer ponto P1 (1, 1, z1 ) é normal à superfície  = 1 e 
aponta para fora. Ele também pertence aos planos  = 1 e z = z1. O vetor 


a
 é normal ao plano 
 = 1 e aponta no sentido crescente de  sendo tangente ao plano  = 1 . O vetor unitário 
za
 é 
normal ao plano z = const. e aponta no sentido positivo de z. Os três vetores são perpendiculares 
entre si formando um triedro positivo de modo que: 


a
x


a
=
za
 ; 


a
x
za
 = 


a
; 
za
 x 


a
=


a
; 


a
x


a
= - 
za
 ; 
za
 x


a
= - 


a
; 


a
x
za
 = - 


a
 
 O paralelepípedo diferencial é delimitado pelas arestas d, d e dz e o seu volume é dado 
por dV = d.d.dz. Os elementos diferenciais de área correspondentes às faces são dados por 


Sd
d.dz


a
, 


Sd
d.dz


a e 

zSd
d.d
za
 ou negativo destas conforme a face usada. 
 As relações entre as variáveis cartesianas e as cilíndricas são dadas por: 
x = .cos , y = .sen , z = z e 
zz
x
y
yx  ,arctan,22 
 
I - 10 Teoria Eletromagnética 
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 Onde  é considerada uma variável positiva e o quadrante onde o ângulo se localiza é 
determinado por inspeção dos sinais de x e de y. Para escalares são suficientes estas relações 
porém para funções vetoriais são requeridas mais informações. 
 Seja um vetor expresso em coordenadas cartesianas, onde as componentes Ax, Ay e Az são 
funções das variáveis x, y e z. 
 
;a.Aa.Aa.AA zzyyxx


 
 Desejamos encontrar um vetor expresso em coordenadas cilíndricas onde as componentes 
sejam função de , , z. 
 
;a.Aa.Aa.AA zz








 
 Quando desejamos obter uma componente de um vetor numa dada direção fazemos o 
produto escalar deste vetor pelo vetor unitário da direção requerida. Assim teremos: 
 
zz aAA;aAA;aAA





 •••
 
 
 Desenvolvendo os produtos escalares teremos: 
 


 • a)a.Aa.Aa.A(A zzyyxx
 
 


 • a)a.Aa.Aa.A(A zzyyxx
 
 
zzzzzzzyyxxz Aaa.Aa)a.Aa.Aa.A(A ••
 
 
 Alguns produtos escalares, pela perpendicularidade, são óbvios como: 
0aaaa zz •• 


 
 Os outros produtos escalares entre os vetores unitários resultam iguais aos cossenos dos 
ângulos entre os mesmos tendo em vista que seus módulos são unitários. 
 Por exemplo 
•• 



sen)90cos(aa;cosaa yx
 
 
 
 
 A tabela ao lado mostra todos os produtos escalares 
dos vetores unitários. 
 
 
 
 
Exemplo 1.4: Transformar o vetor 
zyx a.za.xa.yA


 para coordenadas cilíndricas. 
 
Solução: 
••••• 









 )aa(z)aa(x)aa(ya)a.za.xa.y(aAA zyxzyx
 
0cos.sen.-cos.sen.0sen.x-cos.yA 
 
••••• 







  )aa(z)aa(x)aa(ya)a.za.xa.y(aAA zyxzyx
 

22 cos.sen.0cos.x-sen.yA
 
zz),,(zz azaa0AAA








 
 
 


a
 


a
 
za
 
•

xa
 
cos  - sen  0 
•

ya
 
 sen  cos  0 
•

za
 
0 0 1 
 
Análise Vetorial - 11 
_______________________________________________________________________________________ 
 
1.9 – Sistema de coordenadas esféricas 
 Este sistema contém três variáveis que se lembram o sistema de localização no globo 
terrestre: altura, longitude e latitude. 
 A primeira coordenada é o raio r que representa a distância da origem do sistema de 
coordenadas a um dado ponto P. Enquanto que, no sistema de coordenadas cilíndricas,  = cte 
representava uma casca cilíndrica, aqui r = cte representa uma casca esférica. 
 A segunda coordenada é o ângulo  que mede o ângulo entre o eixo z e a linha que une a 
origem ao ponto P. O ângulo  = cte determina uma superfície cônica que, na intersecção com a 
esfera determina uma circunferência de raio a = r.sen . Estas circunferências lembram os paralelos 
(latitude = cte) porém os mesmos são medidos a partir do equador para o norte e para o sul 
enquanto que  é medido a partir do polo norte. 
 A terceira coordenada é o ângulo  localizado entre o eixo x e a projeção do vetor posição 
do ponto sobre o plano XY (r.sen). Este ângulo coincide com o mesmo ângulo  em coordenadas 
cilíndricas. É similar à longitude porém  cresce no sentido anti-horário (para leste) conforme se vê 
nas figuras. A superfície  = cte é um semiplano vertical que contém o eixo z e, na intersecção 
com a esfera, determina um meridiano. 
 Um ponto será sempre determinado pela intersecção das três superfícies perpendiculares 
entre si no ponto de intersecção e é representado por P (r, , ) nesta ordem de coordenadas. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
I - 12 Teoria Eletromagnética 
________________________________________________________________________________________________ 
 
 Os vetores unitários são sempre perpendiculares à superfície em que a sua coordenada é 
constante e tem sentido coincidente com o sentido de crescimento daquela coordenada. 
 O primeiro vetor unitário 
ra
 é dirigido radialmente para fora da esfera r = cte, pertence ao 
cone  = cte e ao plano  = cte. 
O segundo vetor unitário 


a
 é normal ao cone  = cte, pertence ao plano  = cte e é 
tangente à esfera r = cte e é dirigido no sentido de crescimento de  ( para baixo ). 
 O terceiro vetor unitário 


a
 é normal ao plano  = cte , dirigido para leste (sentido 
antihorário) e é tangente ao cone  = cte e a esfera r = cte. 
 Os três vetores unitários formam um triedro direto demodo que 
ra
 x


a
=


a
. 
 A projeção do raio sobre o plano XY vale r.sen e terá muita aplicação nas deduções a 
seguir. Um paralelepípedo infinitesimal terá, por inspeção, as seguintes arestas: radial (dr), vertical 
(r.d) e horizontal (r.sen.d). 
As superfícies laterais do sólido são expressas por 
 

 arddrSd ..
, 
 

 adrsendrSd ..
 ou 
rr adrsenrdSd

 ..  ou os seus negativos, conforme as faces usadas. 
Por conseqüência o volume diferencial é calculado por: dv = dr. rd. r send. 
 Para converter de um sistema esférico para cartesiano temos as seguintes relações: 
x = r sen  . cos , y = r sen  . sen  e z = r cos  
 E de modo inverso temos o seguinte: 
x
y
arc
zyx
z
arcrzyxr oo tan),1800(cos),0(
222
222 

  
 A componente de um vetor numa direção é o produto escalar do mesmo pelo vetor unitário 
da direção considerada. Assim obtemos rapidamente as seguintes relações: 
;cos••  rzzr aaaa ; senaaaa zz ••  0••   aaaa zz . 
 Os produtos escalares que envolvem 
xa
 e 
ya
 necessitam que o vetor unitário esférico seja 
projetado sobre o plano xy (produzindo sen ou cos ) e a seguir projetado sobre o eixo desejado. 
 Como exemplo de construção da tabela, ao projetarmos sen  no eixo x teremos sen .cos . 
 
 
 
 ar a a 
ax.. sen . cos  cos . cos  - sen  
ay . sen . sen  cos . sen  cos  
az . cos  - sen  0 
 
Análise Vetorial - 13 
_______________________________________________________________________________________ 
 
Exemplo 1.5: Transformar o vetor 
xa
y
xz
G


 para coordenadas esféricas. 
••

cos.sen.
y
xz
aa
y
xz
aGG rxrr
 
•• 



 cos.cos.
y
xz
aa
y
xz
aGG x
 
•• 



 sen.
y
xz
aa
y
xz
aGG x
 




 











asena.cos.cosa.cos.sen
y
xz
aGaGaGG rrr),,r(
 







 





asena.cos.cosa.cos.sen
sen.sen.r
)cos.r).(cos.sen.r(
G r),,r(
 




 





a1a.cot.cosa.cot.sencos.cos.rG r),,r(
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
I - 14 Teoria Eletromagnética 
________________________________________________________________________________________________ 
 
Exercícios (HAYT- Eletromagnetismo, 4ª.ed.) 
 
Item 1.1 
 
1.1.1- Diferencie uma grandeza vetorial de uma grandeza escalar. 
 
1.1.2- Cite quatro exemplos de grandezas escalares e quatro de grandezas vetoriais. 
 
Item 1.2 
1.2.1- Um vetor F tem uma componente de 4 unidades horizontal para a direita e outra 
componente vertical para cima que vale 3 unidades. Calcule: (a) o seu módulo; (b) o ângulo que ele 
faz com a horizontal. 
 
1.2.2- O vetor acima será somado com outro que possui a componente horizontal para direita com 
1,5 unidades e uma componente vertical descendente que vale 2 unidades. Calcule: (a) o módulo da 
resultante; (b) o ângulo que ela forma com a horizontal. 
 
Item 1.3 
 
1.3.1- Um paralelepípedo tem os seus lados paralelos aos planos coordenados. Um de seus vértices 
está em A(-1; 2; 2) enquanto que o vértice oposto encontra-se em B(4; 6; 5). Calcule a distância 
entre seus vértices opostos. 
 
1.3.2- Com relação ao sólido acima forneça o vetor área correspondente: 
a) à face inferior. 
b) à face da direita. 
 
Item 1.4 
1.4.1- Encontrar em coordenadas cartesianas, o vetor A que liga (2, -4, 1) a (0, -2, 0), calculando 
também o vetor unitário associado a A. 
1.4.2- Os vetores A = 4 ax + 5 ay –2 az e B = 2 ax + 8 ay + 3 az possuem origens coincidentes 
com a do sistema de coordenadas cartesianas. Determinar: 
(a) distância entre suas extremidades. (b) vetor unitário na direção de A; 
(c) um vetor C que seja paralelo ao vetor A e que possua módulo igual ao do vetor B. 
Item 1.5 
1.5.1- Tomemos o campo de velocidades das águas de um canal profundo, reto e com uma 
declividade de 2% que pode ser representado por V = Vx ax + Vy ay + Vz az. Cada uma destas 
componentes depende das coordenadas do ponto onde a estamos observando. 
Suponhamos que o mesmo corre, por exemplo, na direção y. No centro do canal (x = 0) e na 
superfície da água (z = 0) tem-se a maior componente da velocidade da água na direção y que vale 
12,0 m/s. Em regiões próximas às margens (|x| < larg/2) ou próximas ao fundo (z < 0) a velocidade 
da água diminui. Observe as afirmações com relação a este campo vetorial. 
I - Vx(x,y,z) = 0; Vy (0,y,z ) > Vy (10,y,z ); 
II - Vy (3,y,z )  Vy (-3,y,z ); Vy(0,0,0) < Vy(-7,0,0) 
III - Vy(0,y,0) > Vy(0,y,-6); Vz(0,0,0) = 0,24 m/s; 
Quais as alternativas que só possuem assertivas corretas? 
Análise Vetorial - 15 
_______________________________________________________________________________________ 
 
1.5.2 - Um campo vetorial é definido por W = 4x2yax – (7x+2z)ay + (4xy + 2z2)az. Determinar: 
(a) o módulo do vetor no ponto P(2, -3, 4); (b) o vetor unitário na direção do campo W no ponto P; 
(c) em que ponto no eixo z a intensidade de W é unitária. 
 
Item 1.6 
1.6.1 - Mostrar que A . A = | A |2 
1.6.2- Dados A = 2ax + 4ay – 3az e B = ax – ay. Calcular A . B. 
1.6.3- Dados A = 2ax + 4ay e B = 6ay – 4az. Calcular o menor ângulo θ entre os vetores. 
1.6.4- Dados F = (y – 1) ax + 2x ay , calcular o valor desse vetor aplicado ao ponto (2, 2, 1) bem 
como sua projeção sobre B dado por B = 5 ax – ay + 2 az. 
Item 1.7 
1.7.1- Dados A = 2ax + 4ay – 3az e B = ax – ay. 
(a) calcular A x B. 
(b) determinar um vetor unitário na direção do vetor resultante. 
(c) calcular o menor ângulo θ entre esses vetores usando o produto vetorial. 
1.7.2 - Sejam dois vetores F = - 45 ax + 70 ay + 25 az e G = 4 ax – 3 ay + 2 az determinar: 
 (a) F x G; (b) ax x ( ay x F ); (c) ( ax x ay ) x F ; (d) um vetor perpendicular a F e G. 
 
Item 1.8 
1.8.1- Dados os pontos P ( = 6,  = 60o, z = -3 ) e Q(x = 3, y = -1, z = 4 ) determine a distância: 
a) de P até a origem; 
b) de Q até o pé da perpendicular ao eixo z que passa por este ponto. 
c) entre P e Q. 
 
1.8.2 - Expresse o campo de temperaturas T = 240 + z2 –2xy em coordenadas cilíndricas. 
 
1.8.3 - Determine a densidade no ponto P (-2, -5, 1) sendo que a mesma é expressa por: 
 
)cos2( 23)(
2   Zed 
1.8.4 - Expresse o campo vetorial W = ( x-y ) ay em coordenadas cilíndricas. 
 
1.8.5 - Expresse o campo vetorial F =  cos  a em coordenadas cartesianas. 
 
Item 1.9 
1.9.1 - Dados os pontos P (r = 6,  = 75o,  = 60o) e Q (x = 3, y = - 1, z = 4), determine a distância: 
 (a) de Q à origem; (b) de P até o plano y = 0; (e) entre P e Q. 
1.9.2 - Expresse o campo de temperaturas T = 240 + z2 - 2xy em coordenadas esféricas. 
 
1.9.3 - Se a densidade é obtida por r.e–r/2(5 + cos  + sen .cos ), determine-a em P (- 2, - 5, 1). 
 
1.9.4 - Expresse o campo vetorial W = (x - y) ay em coordenadas esféricas. 
 
1.9.5 - Expresse o campo vetorial F = r cos  ar em coordenadas cartesianas. 
I - 16 Teoria Eletromagnética 
________________________________________________________________________________________________ 
 
Respostas dos exercícios: 
1.1.1 Veja no texto.1.1.2 Veja no texto. 
1.2.1 (a) 5,00 unid; (b) 36,87o 
1.2.2 (a) 5,59 unid; (b) 10,30o 
1.3.1 7,07 unid. 
1.3.2 (a) -20,0 az; (b) 15,0 ay 
1.4.1 (a) 2 ax + 2ay - 1az ; (b) - 0,667ax+ 0,667ay –0,333az. 
1.4.2 (a) 6,164 ; (b) 0,596ax + 0,745ay - 0,298az; (c) 5,23 ax + 6,54 ay - 2,61 az. 
1.5.1 I e III; 
1.5.2 (a) |W| = 53,4; (b) aw = -0,889ax – 0,412ay + 0,150az; (c) z =  0,4551; 
1.6.1 |A|.|A|.cos 0o = |A|2 
1.6.2 -2; 
1.6.3 41,9o; 
1.6.4 0,1826; 
1.7.1 (a) -3 ax – 3 ay – 6 az (b) -0,408ax – 0,408ay – 0,816az (c) 74,80º 
1.7.2 (a) 215 ax + 190 ay -145 az ; (b) - 45 ay ; -70 ax - 45 ay ; (c)  (0,669 ax + 0,591 ay - 0,451 az ) 
1.8.1 (a) 6,71; (b) 3,16; (c) 9,348 
1.8.2 T = 240 + z2 - 2 sen 2; 
1.8.3 d = 8,66 
1.8.4 W =  ( cos  - sen  ) ( sen  a + cos  a ) 
1.8.5 
)..(
22
yx ayax
yx
x
F




 
1.9.1 (a) 5,10; (b) 5,019; (c) 6,498 
1.9.2 240 + r2 (cos2  - sen 2 sen2 ); 
1.9.3 1,706 
1.9.4 W = r sen  (cos  - sen ) [ sen  (sen  ar + cos  a) + cos  a ] 
1.9.5 
)azaya.x(
yx
x
F zyx
22




 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Análise Vetorial - 17 
_______________________________________________________________________________________ 
 
PROBLEMAS (HAYT – Eletromagnetismo 4ª.ed. p.19) 
 
Item 1.1 a 1.4 
1.1 - Dados os vetores 
zyx a4a2a6A


 e 
zyx a2a3a4B


, ache: 
(a) um vetor unitário na direção de  B2A ; 
(b) o módulo de  B2A ; 
(c) um vetor 
C
 tal que 
 0CBA
. 
 
 
1.2 - Os três vértices de um triângulo estão localizados nos pontos A (- l, 2, 5), B( -4, -2, 3) e 
C (1, 3, -2) . Determine: 
(a) o perímetro do triângulo, (b) o vetor unitário na direção do segmento que une os pontos médios 
dos lados AB e BC, com o sentido do ponto médio de AB para o ponto médio de BC. 
 
 
1.3 - Os vetores 
zyx a2a5a4A


 e 
zyx a3a8a2B


 possuem origens coincidentes com a 
do sistema de coordenadas cartesianas. Determine: 
(a) a distância entre suas extremidades; 
(b) um vetor unitário na direção de A ; 
(c) um vetor 
C
 que seja paralelo ao vetor A e que possua módulo igual ao do vetor B . 
 
 
1.4 - (a) Determine as componentes de um vetor B tal que | B | = 2 e 
zyxB a.na4,0a5,0a


, 
sendo n um escalar positivo. (b) Se 
zzyx aCa3a8C


, determine Cz de tal modo que 
|
zyx aaaC


| seja mínimo. 
 
Item 1.5 
 
1.5 - O campo de velocidades em um gás é dado por 
)2zyx/()azayax(5v 222zyx 
 . 
Para o ponto P (- 2, 3, 1), determine: 
(a) o módulo da velocidade; (b) um vetor unitário especificando sua direção. 
**(c) Determine a equação do lugar geométrico dos pontos do espaço para os quais a velocidade 
tem módulo unitário. 
 
 
1.6 - Um certo campo vetorial é especificado por 
zyx azyxaxyza
zyx
zyx
A




 )(8
)(100
222
 
Para o intervalo 0  x 10 ao longo da reta y = 1, z = 2, esboce a variação de: 
*(a) AX vs x; * (b) | A | vs x. 
 
 
 
I - 18 Teoria Eletromagnética 
________________________________________________________________________________________________ 
 
 1.7 - Sendo 
zyx a)z2x4(a)zy4(a)yx2(G


: 
(a) determine um vetor unitário que represente a direção de 
G
 no ponto P (1, 1, 1); 
(b) o lugar geométrico dos pontos para o qual a direção de 
G
 é a mesma do vetor 
zyx aaa


. 
 
 
1.8 - Um campo escalar é representado por T = 2xy - 5z. (a) Determine o campo vetorial 
S
 
definido por 
zyx azTayTaxTS

 ./././
. Para o ponto P (l, 2, 3), determine: (b) T; (c) 

S
; (d) 
Sa
 . (Obs: Esta função 
S
 é chamada de gradiente de T) 
 
 
Item 1.6 
1.9 - Dados os campos vetoriais 
zy
2
x
2 a)zyx(3ayz4ax2F


 e 
)zyx/()axazay(G 222zyx 
 , determinar: (a) |F (2,-1,3)|; (b) Fa (- l, 2, - 2); (c) •GF 
no ponto (2, -2, 4); (d) o ângulo entre F e G no ponto (2, -2, 4). 
 
 
1.10 - Sendo 
zyx a5a3a2A


, 
zyx a4a3aB


 e 
zyx aa2a4C


, determine: (a) o 
módulo de 
 B3A
; (b) um vetor unitário na direção de 
 CB
; 
(c) A componente de 
C
 na direção do vetor B ; (d) o ângulo entre A e C . 
 
 
 1.11 - (a) Determine o ângulo entre
zyxx a4a7aA


 e 
zyx a3a4a5


 sendo Ax = 10. Qual deve 
ser o valor de Ax de tal modo que o ângulo seja: (b) 90° ? (c) 62,1
o ? 
 
 
**1.12 - Dados os vetores 
zyx a9a8a6B


, 
zyx a4a3a5C


 e os pontos P ( 1, 2, 3 ) 
e Q (4, 0, -3), determine: (a) 
1B
 e 
2B
 , sendo 
21 BBB


, e 
1B
 paralelo a 
C
 e perpendicular a 
2B
 ; 
(b) o ângulo entre B e o vetor que une P a Q. 
 
 
Item 1.7 
1.13 - Dados 
zyx a5a4a3A


 e 
zyx a3a2aB


, determine: (a) 
 BxAC
; 
 (b) 
)BxA(A

•
 (c) 
)CxB(xA
 ; (d) o ângulo entre A e B . 
 
 
1.14 - Sendo 
zyx a5a3a2A


A = - 2ax + 3ay + 5az, 
zyx a4a3aB


 e 
zyx aa2a4C


, 
determine: 
(a)  BxA ; (b)  •C)BxA( ; (c) )CxB(A • ; (d) um vetor unitário normal a B e a C . 
Análise Vetorial - 19 
_______________________________________________________________________________________ 
 
 
1.15 - Os três pontos A (- l, 6, 2), B (2, 4 - 3) e C (4, l,- 5) definem um triângulo e um plano. 
Sabendo-se que um triângulo é a metade de um paralelogramo, pede-se determinar: (a) a área do 
triângulo; (b) um vetor unitário normal ao plano. 
 
 
1.16 - Sejam os vetores que interligam a origem aos pontos A (4, 7, - 5) e B (2, - 3, 6). Estes dois 
vetores determinam dois lados de um paralelogramo. (a) Especifique as coordenadas do ponto C 
coincidente com o quarto vértice. (b) Determine a área do paralelogramo. (c) Ache os quatro 
ângulos internos. 
 
 
Item 1.8 
1.17 - No ponto C (2, 30°, 5), um vetor A é expresso, em coordenadas cilíndricas, como sendo 
za10a30a20A






. Determine: (a) | A | no ponto C; (b) a distância da origem ao ponto C; 
(c) o ângulo entre A e a superfície  = 2 no ponto C. 
 
 
1.18 - Em um certo ponto dois vetores são dados em coordenadas cilíndricas, por: 
za3a8a5M






 e 
za10a2a4N






. Determine: (a) 
•NM
; (b) componente escalar de 

M na direção de N ; (c) a componente vetorial de M na direção de N ; (d)  NxM ; (e) vetor 
unitário normal a M e a N . 
 
 
1.19 - Um campo de força é representado no ponto P (8; 120°; 5) por 
za20a12a25F






. 
Determine a componente vetorial de F que é: 
(a) perpendicular ao cilindro  = 8; (b) tangente ao cilindro  = 8; (c) tangente ao plano  = 120°. 
(d) Determine um vetor unitário que seja perpendicular a F e tangente ao cilindro  = 8. 
 
 
1.20 - As superfícies que delimitam um volume são definidas por:  = 5 e  = 12,  = 0,1 e  = 
0,4 , z = - l e z = 3. Determine: 
(a) o comprimento de segmento linear que une dois vértices opostos do volume; 
(b) o volume delimitado pelas superfícies em questão. 
 
 
1.21 - Um campo elétrico é dado por 
za.4a)/50(E




. Determine: 
(a) o vetor unitário 
Ea
 , em coordenadas cartesianas,no ponto P (10, 20°, 2); 
(b) a equação do lugar geométrico dos pontos para os quais | E | = 10. 
 
I - 20 Teoria Eletromagnética 
________________________________________________________________________________________________ 
 
1.22 - Um campo vetorial é representado por 
za.z.4a sen..5a cos.z.10G






. Determine: 
(a) | 
G
(2;30°;1,5)|; **(b) os vetores 
NG
 e 
TG
 , em coordenadas cilíndricas, tais que 
TN GGG


 e 
TG
 é paralelo a 
Xa
 e perpendicular a 
NG
 no ponto (2; 30°; 1,5). 
 
 
1.23 - Sejam os pontos P (8, 2, 1) e Q (- 2, 7,4) expressos em coordenadas cartesianas. Determine: 
(a) as coordenadas cilíndricas de cada ponto; (b) a expressão de um vetor no ponto P, em 
coordenadas cilíndricas, sabendo que tal vetor une o ponto P ao ponto Q; (c) idem para um vetor no 
ponto Q, sabendo que tal vetor une o ponto Q ao ponto P. Note que o último resultado não é o 
simétrico ao resultado anterior porque 


a
e 


a
 têm direções diferentes nos dois pontos. 
 
Item 1.9 
1.24 - Um vetor 
C
 é expresso no ponto K (r = 2,  = 30°,  = 160°), em coordenadas esféricas, 
como 




 a10a30a.20C r
. Determine: (a) | C | no ponto K; 
(b) a distância da origem ao ponto K; (c) o ângulo entre 
C
 e o cone  = 30° no ponto K. 
 
 
1.25 - Dois vetores são definidos em um ponto P 




 a5a3a.10F r
 e 




 a3a5a2G r
. 
Determine no ponto P: (a) 
•GF
 ; (b) a componente escalar de 
G
 na direção de F ; (c) a 
componente vetorial 
G
 na direção de F ; (d)  FxG ; (e) um vetor unitário perpendicular a F e a G . 
 
 
1.26 - Um campo vetorial é definido no ponto B(r = 5;  = 120°;  = 75°) como sendo 




 a15a5a12A r
. Determine a componente vetorial de A que: (a) é normal à superfície r = 
5; (b) tangente à superfície r = 5; (c) tangente ao cone  = 120°. (d) Determine um unitário 
perpendicular a A e tangente ao cone  = 120°. 
 
 
1.27 - As superfícies que delimitam um volume são definidas r = 5 e r = 12,  = 20° e  = 80°,  = 
0,1 e  = 0,4. Determine: (a) o comprimento de um segmento linear que una dois vértices 
opostos do volume; (b) as áreas das superfícies externas; (c) o volume determinado pelas superfícies 
em questão. 
 
 
**1.28 - Um campo vetorial é definido, em coordenadas esféricas, por 


 a]r/)sen[(a]r/)[(cosF r
. Determine: (a) a expressão deste campo em coordenadas 
cartesianas; (b) F (l, 2, 3). 
 
 
Análise Vetorial - 21 
_______________________________________________________________________________________ 
 
**1.29 - Dados os pontos P (4, 7, 3) e Q (- 3, 6, - 5), determine: (a) as coordenadas cilíndricas do 
ponto P; (b) as coordenadas esféricas do ponto P; (c) o vetor 
PQR
 , em coordenadas cilíndricas, no 
ponto P. 
 
 
**1.30 - Transforme o campo vetorial 
yaxA


 para: 
(a) coordenadas cilíndricas e determine-o no ponto P (2, -5, 3); 
(b) para coordenadas esféricas e determine-o no ponto P. 
 
 
**1.31 - Expresse o campo vetorial 
zy
22 axza)yx(W


 em: 
(a) coordenadas cilíndricas no ponto P ( = 6,  = 60°, z = - 4); 
(b) coordenadas esféricas no ponto Q (r = 4,  = 30°,  = 120°). 
 
I - 22 Teoria Eletromagnética 
________________________________________________________________________________________________ 
 
Resposta dos problemas (Hayt; p.393) 
 
1.1 (a) 0,1741 ax + 0,696 ay – 0,696 az ; (b) 11,49; (c) 2 ax - 5 ay + 6 az. 
1.2 (a) 21,39 u.c. (b) 0,2722ax + 0,1361ay – 0,9526az ; 
1.3 (a) 6,16 u.c.; (b) 0,596ax + 0,745ay – 0,298az ; (c) C = 5,23ax + 6,5ay – 2,62az ; 
1.4 (a) 1,0 ax - 0,8y +1, 5362az ; (b) Cz = 1; 
1.5 (a) 1,169; (b) av= -0,5345ax+ 0,8018ay + 0,2673az ; (c) esferas de raio = 4,56 ou 0,438 u.c. 
1.6 Gráficos 
1.7 (a) aG= 0,1826ax+ 0,913ay + 0,365az ; (b) reta: y = 2x/11 e z = 12x/11; 
1.8 (a) S = 2y ax+ 2x ay – 5 az; (b) – 11; (c) 6,7082; (d) aS= 0,5963ax+ 0,2981ay - 0,7454az 
1.9 (a) 37,4º; (b) aF = 0,0601ax- 0,9609ay + 0,2703az; (c) 19,67; (d) 41,6º 
1.10 (a) 13,298; (b) aB-C = -0,390ax + 0,651ay - 0,651az; (c) -1,176; (d) 108,57º 
1.11 (a) 83,68º; (b) 8; (c) 25,9 ou 2,43; 
1.12 (a) B1 = 3ax – 1,8ay + 2,4az; B2 = -9ax – 6,2ay + 6,6az; (b) 126,5º 
1.13 (a) 2ax +4ay + 2az; (b) 0; (c) -28 ax +4 ay + 20 az; (d) 169,3º 
1.14 (a) -27ax -3ay - 9az; (b) -111; (c) -111; (d) -0,2214 ax - 0,7527 ay – 0,6199 az; 
1.15 (a) 6,36 u.a.; (b)aN =  (0,864ax + 0,314ay + 0,393az; 
1.16 
1.17 (a) 37,2; (b) 5,39; (c) 57,7º 
1.18 (a) -6; (b) 0,54772; (c) -0,2a + 0,1a - 0,5az 
 (d) -8,6a - 62a - 22az; (e) (0,7943a +0,5726a +0,2032az); 
1.19 (a) 25a; (b) 12a - 20az; (c) 25a - 20az; (d) (0,857a - 0,514az) 
1.20 (a) 6,05 u.c; (b) 224,3 u.v. 
1.21 (a) 0,734ax -0,267ay – 0,625az; (b) cilindro: =5.46 u.c. 
1.22 (a) 15,16; (b) GT = 13,75 ax; GN = 2,165 ay + 6,0 az; 
1.23 (a) P(8,25; 14,04º; 1); Q(7,28; 105,9º; 4); (b) -8,49a +7,28a + 3az; 
1.24 (a) 37,41; (b) 2; (c) 24 ax – 8,88 ay + 15 az; (d) -36,69º; 
1.25 (a) 20; (b) 1,728; (c) 1,493ar - 0,448a + 0,746a; (d) 34 ar + 20a - 56a; 
 (e) (0,496ar + 0,292a - 0,818a); 
1.26 (a) -12ar; (b) -5 a + 15a; (c) -12ar + 15a; (d) (0,781 ar + 0,6246a); 
1.27 (a) 11,21 u.c. (b) 385,81 u.v. 
1.28 
1.29 (a) P(8,06; 60,3º 3); (b) P (8,60; 69,6º 60,3º) 
1.30 
1.31 (a) -15,59a - 9a - 12az; (b) -3,87 ar + 0,323a + a;