Lista de Limites 2

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Departamento de Matema´tica e Estat´ıstica
Ca´lculo Diferencial e Integral I – Sistemas de Informac¸a˜o
Prof.a Beatriz Malajovich ) malajovich@uniriotec.br
2a Lista de Exerc´ıcios
1. Suponha que lim
x→+∞
f(x) = −5.
(a) O que quer dizer a expressa˜o acima?
(b) Fac¸a um esboc¸o do gra´fico de uma func¸a˜o que satisfac¸a esse limite.
2. Suponha que lim
x→−∞
f(x) = 3.
(a) O que quer dizer a expressa˜o acima?
(b) Fac¸a um esboc¸o do gra´fico de uma func¸a˜o que satisfac¸a esse limite.
3. Esboce o gra´fico de uma func¸a˜o que satisfac¸a a todas as condic¸o˜es a seguir:
lim
x→2
f(x) = −∞, lim
x→+∞
f(x) = +∞, lim
x→−∞
f(x) = 0, lim
x→0+
f(x) = +∞ e lim
x→0−
f(x) = −∞.
4. Sabendo que
lim
x→+∞
f(x) = 3, lim
x→+∞
g(x) = −5 e lim
x→+∞
h(x) = 0,
encontre os limites abaixo.
(a) lim
x→+∞
[f(x) + 3g(x)]
(b) lim
x→+∞
[h(x)− 4g(x) + 1]
(c) lim
x→+∞
[f(x)g(x)]
(d) lim
x→+∞
[g(x)]2
(e) lim
x→+∞
3
√
5 + f(x)
(f) lim
x→+∞
3
g(x)
(g) lim
x→+∞
3h(x) + 4
x2
(h) lim
x→+∞
6f(x)
5f(x) + 3g(x)
.
1
5. Calcule os limites e justifique cada passagem indicando a propriedade de limite utilizada.
(a) lim
x→+∞
3x2 − x + 4
2x2 + 5x− 8 (b) lim
x→+∞
√
12x3 − 5x + 2
1 + 4x2 + 3x3
.
6. Encontre os limites abaixo.
(a) lim
x→+∞
1
2x + 3
(b) lim
x→−∞
1− x− x2
2x2 − 7
(c) lim
x→+∞
x3 + 5x
2x3 − x2 + 4
(d) lim
u→+∞
4u4 + 5
(u2 − 2)(2u2 − 1)
(e) lim
x→+∞
√
9x6 − x
x3 + 1
(f) lim
x→+∞
(√
9x2 + x − 3x
)
(g) lim
x→+∞
(√
x2 + ax −
√
x2 + bx
)
, com a e
b constantes
(h) lim
x→+∞
√
x
(i) lim
x→+∞
(
x−√x)
(j) lim
x→−∞
(
x4 + x5
)
(k) lim
x→+∞
x + x3 + x5
1− x2 + x4 .
7. Encontre as ass´ıntotas horizontal e vertical de cada curva, quando existirem.
(a) y =
x
x + 4 (b) y =
x3
x2 + 3x− 10
(c) y =
x
4
√
x4 + 1
.
8. Sejam P e Q polinoˆmios. Encontre lim
x→+∞
P (x)
Q(x)
se o grau de P for
(a) menor que o grau de Q (b) maior que o grau de Q (c) igual ao grau de Q.
9. Sob certas condic¸o˜es, a velocidade v(t) de uma gota de chuva caindo no instante t e´
v(t) = v∗(1− e−gt/v∗) ,
onde g = 9, 8 m/s2 e´ a acelerac¸a˜o gravitacional e v∗ e´ a velocidade final da gota. Encontre
lim
t→+∞
v(t).
10. Seja
f(x) =
{
2x2 + 5, para x < 0
3−5x3
1+4x+x3
, para x ≥ 0.
2
Encontre
(a) lim
x→−∞
f(x) (b) lim
x→+∞
f(x).
11. Encontre os limites abaixo.
(a) lim
x→0+
e1/x
(b) lim
x→0+
ecscx (cscx = 1/ senx)
(c) lim
x→−∞
1− ex
1 + ex
(d) lim
x→+∞
ex + e−x
ex − e−x
(e) lim
x→1−
ln(1− x)
(f) lim
x→+∞
ln
(
2
x
)
(g) lim
x→+∞
ln(2x)
ln(3x)
(h) lim
x→+∞
ln(x2 − 1)− ln(x + 1).
3
Departamento de Matema´tica e Estat´ıstica
Ca´lculo Diferencial e Integral I – Sistemas de Informac¸a˜o
Prof.a Beatriz Malajovich ) malajovich@uniriotec.br
Respostas da 2a Lista de Exerc´ıcios
Observac¸a˜o. Para as questo˜es que envolvem esboc¸o de gra´fico, utilize um recurso computa-
cional para conferir a sua resposta. Uma sugesta˜o e´ o aplicativo Geogebra, encontrado no s´ıtio
www.geogebra.org/cms/en/download/, que e´ de fa´cil utilizac¸a˜o.
1. (a) Quer dizer que os valores de f(x) podem ser tornados arbitrariamente pro´ximos de −5
a` medida que os valores de x ficam cada vez maiores (crescem sem cota).
(b) Use a criatividade.
2. (a) Quer dizer que os valores de f(x) podem ser tornados arbitrariamente pro´ximos de
3 a` medida que os valores de x ficam cada vez maiores em mo´dulo, pore´m negativos
(decrescem sem cota).
(b) Use a criatividade.
3. Use a criatividade.
4. (a) −12
(b) 21
(c) −15
(d) 25
(e) 2
(f) −3/5
(g) 0
(h) na˜o existe.
5. (a) 3/2 (b)
√
12/3 = 2.
6. (a) 0
(b) −1/2
(c) 1/2
(d) 2
(e) 3
(f) 1/6
(g) (a− b)/2
(h) +∞
(i) +∞
(j) −∞
(k) +∞.
7. (a) AH: y = 1, AV: x = −4
(b) AH: na˜o ha´, AV: x = 2 e x = −5
4
(c) AH: y = 1 e y = −1, AV: na˜o ha´.
8. (a) 0
(b) ±∞, dependendo do sinal do coeficiente do termo de maior grau de P (x)
(c) o coeficiente do termo de maior grau de P (x) sobre o coeficiente do termo de maior grau
de Q(x).
9. v∗.
10. (a) +∞ (b) −5.
11. (a) +∞
(b) +∞
(c) 1
(d) 1
(e) −∞
(f) −∞
(g) 1
(h) +∞.
5