Lista de limites 3

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Departamento de Matema´tica e Estat´ıstica
Ca´lculo Diferencial e Integral I – Sistemas de Informac¸a˜o
Prof.ª Beatriz Malajovich ) malajovich@uniriotec.br
3ª Lista de Exerc´ıcios
1. A func¸a˜o f e´ cont´ınua em x = c se f estiver definida em c, se existir lim
x→c f(x) e se ............... .
2. Considere as func¸o˜es
f(x) = ⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩ 1, se x ≠ 4,−1, se x = 4 e g(x) =
⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩ 4x − 10, se x ≠ 4,−6, se x = 4.
E´ cont´ınua em x = 4 cada uma das func¸o˜es dadas a seguir?
(a) f(x)
(b) g(x) (c) −g(x)(d) ∣f(x)∣ (e) f(x)g(x)(f) g (f(x)) (g) g(x) − 6f(x).
3. Para quais valores de x, se houver, a func¸a˜o
f(x) = x2 − 16
x2 − 5x + 4
e´ descont´ınua?
4. Suponha que f e g sejam func¸o˜es cont´ınuas tais que f(2) = 1 e lim
x→2 [f(x) + 4g(x)] = 13.
Encontre:
(a) g(2) (b) lim
x→2 5g(x).
5. Encontre os valores de x, se houver, nos quais a func¸a˜o dada na˜o e´ cont´ınua.
(a) f(x) = 5x4 − 3x + 7
(b) f(x) = x + 2
x2 + 4
(c) f(x) = x
2x2 + x
(d) f(x) = 3
x
+ x − 1
x2 − 1
(e) f(x) = x2 + 6x + 9∣x∣ + 3
(f) f(x) = ⎧⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩
2x + 3, se x ≤ 4,
7 + 16
x
, se x > 4.
1
6. Encontre um valor para a constante k, se poss´ıvel, que torne cada uma das func¸o˜es a seguir
cont´ınua em toda a parte.
(a) f(x) = ⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩ 7x − 2, se x ≤ 1,kx2, se x > 1. (b) f(x) =
⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩ kx
2, se x ≤ 2,
2x + k, se x > 2.
7. Encontre valores para as constantes k e m, se poss´ıvel, que torne a func¸a˜o
f(x) =
⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎩
x2 + (k + 1)x + k, se x ≤ −5,
mx3 + 4x2 − kx, se − 5 < x ≤ 2,−7x + 28, se 2 < x
cont´ınua em toda a parte. Apo´s determinar as constantes, esboce o gra´fico da func¸a˜o f(x).
8. Suponha que a func¸a˜o f seja cont´ınua em toda a parte e que f(−2) = 3, f(−1) = −1,
f(0) = −4, f(1) = 1 e f(2) = 5. O Teorema do Valor Intermedia´rio garante que f tem ra´ız
em quais dos intervalos a seguir?
(a) [−2, −1] (b) [−1, 0] (c) [−1, 1] (d) [0, 2].
9. Mostre que a equac¸a˜o x3+x2−2x = 1 tem, no mı´nimo, uma soluc¸a˜o real no intervalo [−1, 1].
10. Prove que, se f e g sa˜o func¸o˜es cont´ınuas em [a, b] e f(a) > g(a) e f(b) < g(b), enta˜o existe
ao menos uma soluc¸a˜o real para a equac¸a˜o f(x) = g(x) em (a, b). (Dica: considere a func¸a˜o
f(x) − g(x).)
11. Prove que, se p(x) e´ um polinoˆmio de grau ı´mpar, enta˜o a equac¸a˜o p(x) = 0 tem ao menos
uma soluc¸a˜o real.
12. Prove que, se a e b sa˜o forem reais positivos, enta˜o a equac¸a˜o
a
x − 1 + bx − 3 = 0
tem no mı´nimo uma soluc¸a˜o no intervalo (1,3).
13. Um estacionamento para estudantes em uma universidade cobra R$2,00 para a primeira
meia hora (ou para qualquer frac¸a˜o) e R$1,00 para cada meia hora subsequente (ou para
qualquer frac¸a˜o), ate´ uma dia´ria ma´xima de R$10,00. Esboce o gra´fico do custo (C) como
func¸a˜o do tempo (t) de estacionamento, ressaltando os pontos de descontinuidade de C(t).
2
14. Certa massa e´ distribu´ıda ao longo do eixo x continuamente. A unidade de comprimento e´
o cent´ımetro (cm) e a da massa e´ o grama (g). Se M(x) = x2/3 representa a massa que cai
no intervalo (de comprimento) [0, x], encontre a densidade* me´dia nos seguintes intervalos
de comprimento:
(a) [10; 11] (b) [10; 10,1] (c) [10; 10,01].
Qual dos treˆs itens apresenta como resultado o valor mais pro´ximo da densidade instantaˆnea
em x = 10 cm? Explique brevemente.
15. Usando a relac¸a˜o trigonome´trica sin2 x + cos2 x = 1, o fato ja´ mostrado que limx→0 sinxx = 1 e
as operac¸o˜es de limites, prove que limx→0 1−cosxx = 0.
16. Calcule os limites a seguir. Assuma que limx→0 sinxx = 1 e limx→0 1−cosxx = 0 e use a continui-
dade da func¸a˜o logaritmo e das func¸o˜es trigonome´tricas em seus domı´nios, quando necessa´ria.
(a) lim
x→+∞ cos(1x)
(b) lim
θ→0 sin 3θθ
(c) lim
θ→0+ sin θθ2
(d) lim
x→0 sin 3xsin 5x
(e) lim
x→+∞ sin( pix2 − 3x)
(f) lim
x→+∞ ln(x + 1x )
(g) lim
t→0 t
2
1 − cos2 t
(h) lim
θ→0 θ
2
1 − cos θ .
Conceitos u´teis nas pro´ximas questo˜es:
Definic¸a˜o 1 (Derivada de uma func¸a˜o f em x0). Seja f uma func¸a˜o cont´ınua em um ponto
x0. O limite
lim
h→0 f(x0 + h) − f(x0)h , (1)
quando existe, e´ chamado de derivada da func¸a˜o f em x0 e notado por f ′(x0).
*A densidade (linear) e´ uma taxa determinada pela raza˜o entre a massa e o comprimento.
3
O nu´mero f ′(x0) tem duas interpretac¸o˜es:
i. f ′(x0) representa a inclinac¸a˜o da reta tangente ao gra´fico de f passando pelo ponto(x0, f(x0)). A equac¸a˜o da reta tangente em (x0, f(x0)) e´ encontrada fazendo
y − f(x0) = f ′(x0)(x − x0). (2)
ii. f ′(x0) representa a taxa de variac¸a˜o instantaˆnea da func¸a˜o f com relac¸a˜o a x quando
x = x0.
Definic¸a˜o 2 (Func¸a˜o derivada f ′(x)). Seja f uma func¸a˜o cont´ınua em um intervalo aberto
I e considere x ∈ I. O limite
lim
h→0 f(x + h) − f(x)h , (3)
quando existe, e´ chamado de func¸a˜o derivada de f e notado por f ′(x).
Observe que f ′(x) e´ uma func¸a˜o. Ao avaliarmos a func¸a˜o f ′(x) em x = x0, encontraremos o
mesmo resultado f ′(x0) fornecido pelo limite em (1).
Com as definic¸o˜es acima, desenvolva as questo˜es a seguir.
17. Considere a func¸a˜o f(x) = 3x2 − 2x. Calcule, simplificando ao ma´ximo cada uma das ex-
presso˜es encontradas:
(a) f(0), f(0 + h), f(0 + h) − f(0) e f(0+h)−f(0)h . Em seguida, calcule
f ′(0) = lim
h→0 f(0 + h) − f(0)h .
(b) f(3), f(3 + h), f(3 + h) − f(3) e f(3+h)−f(3)h . Em seguida, calcule
f ′(3) = lim
h→0 f(3 + h) − f(3)h .
(c) f(x + h), f(x + h) − f(x) e f(x+h)−f(x)h . Em seguida, calcule
f ′(x) = lim
h→0 f(x + h) − f(x)h
e, usando o resultado obtido, f ′(0) e f ′(3).
18. Considere a func¸a˜o f(x) = 2x+15 . Calcule, simplificando ao ma´ximo cada uma das expresso˜es
encontradas:
4
(a) f(a), f(a + h), f(a + h) − f(a) e f(a+h)−f(a)h . Em seguida, calcule
f ′(a) = lim
h→0 f(a + h) − f(a)h .
(b) f(3), f(3 + h), f(3 + h) − f(3) e f(3+h)−f(3)h . Em seguida, calcule
f ′(3) = lim
h→0 f(3 + h) − f(3)h .
(c) f(x + h), f(x + h) − f(x) e f(x+h)−f(x)h . Em seguida, calcule
f ′(x) = lim
h→0 f(x + h) − f(x)h
e, usando a expressa˜o obtida, f ′(a) e f ′(3).
19. Considere a func¸a˜o f(x) = √x + 2 . Calcule, simplificando ao ma´ximo cada uma das ex-
presso˜es encontradas:
(a) f(−1) , f(−1 + h), f(−1 + h) − f(−1) e f(−1+h)−f(−1)h . Em seguida, calcule
f ′(−1) = lim
h→0 f(−1 + h) − f(−1)h .
(b) f(„), f(„+ h), f(„+ h) − f(„) e f(„+h)−f(„)h . Em seguida, calcule
f ′(„) = lim
h→0 f(„+ h) − f(„)h .
(c) f(x + h), f(x + h) − f(x) e f(x + h) − f(x)
h
. Em seguida, calcule
f ′(x) = lim
h→0 f(x + h) − f(x)h
e, usando a expressa˜o obtida, f ′(−1) e f ′(„).
20. Calcule limh→0 f(a+h)−f(a)h se
(a) f(x) = x2 + 1, a = 2
(b) f(x) = 3x2 + x, a = 0
(c) f(x) = x(1 − x), a = 1
(d) f(x) = (x − 3)2, a = 1
(e) f(x) = ∣x∣2, a = 2.
Como limh→0 f(a+h)−f(a)h = f ′(a), os valores encontrados sa˜o as derivadas de cada uma das
func¸o˜es dadas calculadas nos valores de a correspondentes.
Esboce o gra´fico de cada func¸a˜o dada e sua respectiva reta tangente no ponto (a, f(a)).
(Para o esboc¸o desta u´ltima, utilize a equac¸a˜o da reta tangente ao gra´fico de uma func¸a˜o
em um ponto dado.)
5
21. Calcule o quociente de diferenc¸as ∆y∆x = y(x+h)−y(x)(x+h)−x da func¸a˜o y(x) = ax2 + b, na qual a e b sa˜o
constantes. Em seguida, determine a derivada da func¸a˜o y pela definic¸a˜o, ou seja, calcule o
limite de ∆y∆x quando h vai a 0.
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Respostas da 3ª Lista de Exerc´ıcios
Observac¸a˜o. Para as questo˜es que pedem esboc¸o de gra´fico, utilize um recurso computacio-
nal para conferir a sua resposta. Uma sugesta˜o e´ o aplicativo Geogebra, encontrado no s´ıtio
www.geogebra.org/cms/en/download/, que e´ de fa´cil utilizac¸a˜o.
1. lim
x→c f(x) = f(c).
2. (a) na˜o(b) na˜o
(c) na˜o
(d) sim
(e) sim
(f) na˜o
(g) sim.
3. x = 1 e x = 4.
4. (a) 3 (b) 15.
5. (a) nenhum
(b) nenhum
(c) −1/2 e 0
(d) −1, 0 e 1
(e) nenhum
(f) nenhum.
6. (a) k = 5 (b) k = 4/3.
7. k = 5 e m = 1.
8. Nos itens (a), (c) e (d).
9. Defina a func¸a˜o h(x) = x3 + x2 − 2x − 1, cont´ınua em toda a parte, e aplique o tvi a` func¸a˜o
h no intervalo [−1, 1].
10. Defina a func¸a˜o h(x) = f(x) − g(x), cont´ınua em toda a parte, e aplique o tvi a` func¸a˜o h
no intervalo [a, b].
7
11. Como p(x) e´ uma func¸a˜o cont´ınua em toda a parte e como
lim
x→+∞p(x) = +∞ e limx→−∞p(x) = −∞,
obrigatoriamente o gra´fico de p(x) deve interceptar o eixo x ao menos uma vez. A abcissa
do ponto de intercessa˜o e´ uma ra´ız de p(x).
12. Escreva as frac¸o˜es sob o mesmo denominador comum. Defina uma func¸a˜o a partir dela e
aplique o Teorema do Valor Intermedia´rio.
13. O gra´fico de C(t) e´ uma func¸a˜o do tipo escada entre t = 0 e t = 4 e, apo´s t = 4, e´ constante e
igual a 10. As descontinuidades de C(t) ocorrem em t = 0, 12 ,1, 32 ,2, 52 ,3, 72 e 4.
14. (a) [10; 11]:
∆M
∆x
= M(11) −M(10)
∆x
= (121/3) − (100/3)
11 − 10 = (21/3)1 = 7 g/cm
(b) [10; 10,1]:
∆M
∆x
= M(10,1) −M(10)
∆x
= (102,01 /3) − (100/3)
10,1 − 10 = (2,01 /3)0,1 = 20130 = 6,7 g/cm
(c) [10; 10,01]:
∆M
∆x
= M(10,01) −M(10)
∆x
= (100,2 /3) − (100/3)
10,01 − 10 = (0,2 /3)0,01 = 203 ≈ 7 g/cm .
15. Siga as dicas sugeridas no enunciado.
16. (a) 1
(b) 3
(c) +∞
(d) 3/5
(e) −√3/2
(f) 0
(g) 1
(h) 2.
17. (a) f(0) = 0, f(0 + h) = 3(0 + h)2 − 2(0 + h) = 3(0)2 + 6(0)h + 3h2 − 2(0) − 2h = h(3h − 2),
f(0 + h) − f(0) = h(3h − 2), f(0+h)−f(0)h = 3h − 2 e
f ′(0) = lim
h→0 f(0 + h) − f(0)h = limh→0 (3h − 2) = −2 .
(b) f(3) = 21, f(3 + h) = 3(3 + h)2 − 2(3 + h) = 3(3)2 + 6(3)h + 3h2 − 2(3) − 2h = 27 + 18h +
3h2 − 6 − 2h = 21 + h(16 + 3h), f(3 + h) − f(3) = h(16 + 3h) , f(3+h)−f(3)h = 16 + 3h e
f ′(3) = lim
h→0 f(3 + h) − f(3)h = limh→0 (16 + 3h) = 16 .
8
(c) f(x+ h) = 3(x+ h)2 − 2(x+ h) = 3x2 + 6xh+ 3h2 − 2x− 2h, f(x+ h)− f(x) = (3x2 + 6xh+
3h2 − 2x − 2h) − (3x2 − 2x) = 6xh + 3h2 − 2h = h(6x + 3h − 2), f(x+h)−f(x)h = 6x + 3h − 2 e
f ′(x) = lim
h→0 f(x + h) − f(x)h = limh→0 6x + 3h − 2 = 6x − 2.
Conferindo:
f ′(0) = 6(0) − 2 = −2 e f ′(3) = 6(3) − 2 = 16.
18. (a)
f ′(a) = lim
h→0 f(a + h) − f(a)h = limh→0 2(a+h)+15 − 2(a)+15h =
= lim
h→0
2a+2h+1
5 − 2a+15
h
= lim
h→0
2h
5
h
= lim
h→0 2h5 ⋅ 1h = limh→0 25 = 25 .
(b)
f ′(3) = lim
h→0 f(3 + h) − f(3)h = limh→0 2(3+h)+15 − 2(3)+15h =
= lim
h→0
7+2h
5 − 75
h
= lim
h→0
2h
5
h
= lim
h→0 2h5 ⋅ 1h = limh→0 25 = 25 .
(c)
f ′(x) = lim
h→0 f(x + h) − f(x)h = limh→0 2(x+h)+15 − 2(x)+15h =
= lim
h→0
2x+2h+1
5 − 2x+15
h
= lim
h→0
2h
5
h
= lim
h→0 2h5 ⋅ 1h = limh→0 25 = 25 .
Conferindo:
f ′(a) = f ′(3) = 2
5
.
19. (a)
f ′(−1) = lim
h→0 f(−1 + h) − f(−1)h = limh→0
√(−1 + h) + 2 −√(−1) + 2
h
=
= lim
h→0
√
h + 1 −√1
h
= lim
h→0
√
h + 1 −√1
h
⋅ √h + 1 +√1√
h + 1 +√1 =
= lim
h→0
√
h + 1 −√1
h
⋅ √h + 1 +√1√
h + 1 +√1 = limh→0 (h + 1) − (1)h (√h + 1 +√1) =
= lim
h→0 hh (√h + 1 +√1) = limh→0 1√h + 1 +√1 = 12√1 = 12 .
9
(b)
f ′(„) = lim
h→0 f(„+ h) − f(„)h = limh→0
√(„+ h) + 2 −√(„) + 2
h
=
= lim
h→0
√„+ h + 2 −√„+ 2
h
= lim
h→0
√„+ h + 2 −√„+ 2
h
⋅ √„+ h + 2 +√„+ 2√„+ h + 2 +√„+ 2 =
= lim
h→0
√„+ h + 2 −√„+ 2
h
⋅ √„+ h + 2 +√„+ 2√„+ h + 2 +√„+ 2 = limh→0 („+ h + 2) − („+ 2)h (√„+ h + 2 +√„+ 2 ) =
= lim
h→0 hh (√„+ h + 2 +√„+ 2 ) = limh→0 1√„+ h + 2 +√„+ 2 = 12√„+ 2 .
(c)
f ′(x) = lim
h→0 f(x + h) − f(x)h = limh→0
√(x + h) + 2 −√(x) + 2
h
=
= lim
h→0
√
x + h + 2 −√x + 2
h
= lim
h→0
√
x + h + 2 −√x + 2
h
⋅ √x + h + 2 +√x + 2√
x + h + 2 +√x + 2 =
= lim
h→0
√
x + h + 2 −√x + 2
h
⋅ √x + h + 2 +√x + 2√
x + h + 2 +√x + 2 = limh→0 (x + h + 2) − (x + 2)h (√x + h + 2 +√x + 2 ) =
= lim
h→0 hh (√x + h + 2 +√x + 2 ) = limh→0 1√x + h + 2 +√x + 2 = 12√x + 2 .
Conferindo:
f ′(−1) = 1
2
√(−1) + 2 = 12√1 = 12 e f ′(„) = 12√„+ 2 .
20. (a) limh→0 f(2+h)−f(2)h = . . . = limh→0 4 + h = 4
(b) limh→0 f(0+h)−f(0)h = . . . = limh→0 3h + 1 = 1
(c) limh→0 f(1+h)−f(1)h = . . . = limh→0 −(1 + h) = −1
(d) limh→0 f(1+h)−f(1)h = . . . = limh→0 −4 + h = −4
(e) limh→0 f(2+h)−f(2)h = . . . = limh→0 4 + h = 4.
10
21. O quociente de diferenc¸as e´
∆y
∆x
= (a(x + h)2 + b) − (ax2 + b)(x + h) − x = 2axh + ah2h = 2ax + ah.
Para calcular a derivada procurada, tomamos o limite quando h vai a 0:
y′(x) = lim
h→0 ∆y∆x = limh→0 2ax + ah = 2ax.
�
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