Derivadas de funções elementares, propriedades da derivada e regras de derivação (produto e quociente)

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Departamento de Matema´tica e Estat´ıstica
Ca´lculo Diferencial e Integral I – Sistemas de Informac¸a˜o
Prof.ª Beatriz Malajovich ) malajovich@uniriotec.br
4ª Lista de Exerc´ıcios
Derivadas de func¸o˜es elementares, propriedades da derivada
e regras de derivac¸a˜o (produto e quociente)
1. Usando a fo´rmula geral de derivac¸a˜o para a func¸a˜o f(x) = xn, encontre as derivadas das
seguintes func¸o˜es poteˆncia:
(a) g(x) = x4
(b) h(s) = 4√s
(c) f(v) = 14√v
(d) f(t) = −44√
t3
.
2. Sendo a, b e c constantes, calcule as derivadas das func¸o˜es
(a) p(t) = at + bt + c (b) h(z) = az2 + b√z + c√z .
3. Determine a equac¸a˜o da reta tangente ao gra´fico da func¸a˜o f(x) = x2 nos seguintes pontos:
(a) (12 , 14) (b) o ponto com x = −3.
4. Se a reta tangente a y = f(x) em (4,3) passa pelo ponto (0,2), determine f(4) e f ′(4).
5. Determine todos os pontos do gra´fico da func¸a˜o f(x) = x3 + 15 para os quais a inclinac¸a˜o da
reta tangente ao gra´fico e´ igual a 3. Existe algum valor de x para o qual a inclinac¸a˜o da reta
tangente ao gra´fico e´ igual a −1?
6. Determine todos os pontos do gra´fico da func¸a˜o f(x) = √x para os quais a reta tangente e´
paralela a` reta y = 2x − 7.
7. Determine a equac¸a˜o da reta tangente ao gra´fico da func¸a˜o f(x) = 32x + (1/x) no ponto(−1, f(−1)).
8. Se f(x) = x2/3, determine todos os pontos nos quais f ′(x) = 1/6.
1
9. Calcule as derivadas, procurando simplificar as func¸o˜es antes da derivac¸a˜o:
(a)
d
dt
(t2 + 3t + 1
3
) (b) d
ds
(s2 − 3s−2 + 5s1/3) (c) d
dx
(√x
2
+ 2√
x
).
10. Suponha que uma populac¸a˜o de 25.000 indiv´ıduos (no instante t = 0) cresc¸a de acordo com
a fo´rmula N(t) = 25.000 + 45t2, onde o tempo t e´ medido em dias. Encontre a taxa me´dia
de crescimento da populac¸a˜o nos seguintes intervalos de tempo:
(a) de t = 0 a t = 2 (b) de t = 2 a t = 10 (c) de t = 0 a t = 10.
Por que a taxa me´dia encontrada na letra (c) e´ menor que a da letra (b)?
11. Derive as func¸o˜es abaixo usando as propriedades e regras adequadas de derivac¸a˜o.
(a) y(x) = (2 cosx + 3x2)(17 − sinx)
(b) v(x) = (2x3 + 3)(x4 − 2x)
(c) g(x) = ( 1x2 − 3x4 ) (x + 5x3)
(d) y(t) = t23t2−2t+1
(e) p(x) = (x2 − 2x) cosx
(f) q(r) = √r−1√
r+1
(g) y(v) = v3−2v−√vv
(h) g(y) = y
y+ 3
y
.
12. Se f(x) = x
lnx
, encontre f ′(e).
13. Encontre y′(x) e y′′(x) se y(x) = x lnx.
14. De acordo com a fo´rmula de Debye da f´ısico-qu´ımica, a polarizac¸a˜o P de um ga´s satisfaz a`
equac¸a˜o
P (T ) = 4
3
piN ( µ2
3kT
) ,
onde N , µ e k sa˜o constantes positivas e T e´ a temperatura do ga´s. Determine a taxa de
variac¸a˜o de P com a temperatura. A que conclusa˜o (aparente) podemos chegar?
15. Encontre uma equac¸a˜o da reta tangente ao gra´fico da func¸a˜o dada no ponto indicado.
(a) f(x) = tanx, P0 = (pi/4,1)
(b) f(x) = x + cosx, P0 = (0,1)
(c) g(x) = x cosx, P0 = (pi,−pi)
(d) f(x) = exx , P0 = (1, e).
2
16. Seja g ∶ R → R uma func¸a˜o deriva´vel. Se f(x) = exg(x), com g(0) = 2 e g′(0) = 5, encontre
f ′(0).
17. Se s = s(t) e´ a func¸a˜o posic¸a˜o de um objeto que se move ao longo de uma linha reta, sabemos
que sua primeira derivada representa a velocidade v(t) do objeto como uma func¸a˜o do tempo:
v(t) = s′(t) = ds
dt
.
A taxa de variac¸a˜o instantaˆnea da velocidade em relac¸a˜o ao tempo e´ denominada acelerac¸a˜o
a(t) do objeto. Assim, a func¸a˜o acelerac¸a˜o e´ a derivada da func¸a˜o velocidade e e´, portanto,
a segunda derivada da func¸a˜o posic¸a˜o:
a(t) = v′(t) = s′′(t),
que equivale, na notac¸a˜o de Leibniz, a
a(t) = dv
dt
= d2s
dt2
.
Considere uma part´ıcula cuja posic¸a˜o seja descrita pela equac¸a˜o s(t) = t3 − 6t2 + 9t, onde t e´
medido em segundos e s em metros.
(a) Encontre a acelerac¸a˜o no instante t. Qual e´ a acelerac¸a˜o depois de 4 segundos?
(b) Fac¸a o gra´fico da func¸a˜o posic¸a˜o, da func¸a˜o velocidade e da func¸a˜o acelerac¸a˜o para
0 ≤ t ≤ 5.
18. Se g(θ) = θ sin θ, determine g′′(pi/6).
19. Considere a func¸a˜o f(x) = ∣x∣.
(a) Calcule os limites
lim
h→0+ f(x + h) − f(x)h e limh→0− f(x + h) − f(x)h
em x = 0.
(b) A func¸a˜o f e´ deriva´vel em x = 0? (Ela sera´ deriva´vel em x = 0 apenas se o limite
f ′(0) = limh→0 f(x+h)−f(x)h existir.) Que caracter´ıstica possui o gra´fico da func¸a˜o dada em
x = 0?
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Respostas da 4ª Lista de Exerc´ıcios
Observac¸a˜o. Para as questo˜es que pedem esboc¸o de gra´fico, utilize um recurso computacio-
nal para conferir a sua resposta. Uma sugesta˜o e´ o aplicativo Geogebra, encontrado no s´ıtio
www.geogebra.org/cms/en/download/, que e´ de fa´cil utilizac¸a˜o.
1. (a) g′(x) = 4x3
(b) h′(s) = 1
4
4√
s3
(c) f ′(v) = −1
4
4√
v5
(d) f ′(t) = 34√
t7
.
2. (a) p′(t) = a − bt2 (b) h(z) = 2az + b2√z − c2√z3 .
3. (a) y = x − 14 (b) y = −6x − 9.
4. f(4) = 3 e f ′(4) = 14 .
5. f ′(x) = 3⇔ 3x2 = 3⇔ x2 = 1⇔ x = 1 ou x = −1.
Na˜o ha´, pois a inclinac¸a˜o da reta tangente e´ dada por f ′(x) = 3x2, que fornece um nu´mero
positivo, qualquer que seja x.
6. y′(x) = 2⇔ 12x−1/2 = 2⇔ x−1/2 = 4⇔ x1/2 = 14 ⇔ x = 116 .
7. A equac¸a˜o e´ y = 12x − 2.
8. x = 64.
9. (a) 23t + 1 (b) 2s + 6s−3 + 53s−2/3 (c) 14x−1/2 − x−3/2.
10. (a) de t = 0 a t = 2:
∆N
∆t
= N(2) −N(0)
∆t
= 25.180 − 25.000
2 − 0 = 1802 = 90 indiv´ıduos/dia
4
(b) de t = 2 a t = 10:
∆N
∆t
= N(10) −N(2)
∆t
= 29.500 − 25.180
10 − 2 = 4.3208 = 540 indiv´ıduos/dia
(c) de t = 0 a t = 10:
∆N
∆t
= N(10) −N(0)
∆t
= 29.500 − 25.000
10 − 0 = 4.50010 = 450 indiv´ıduos/dia.
Porque ela leva em considerac¸a˜o os dois primeiros dias (t = 0 a t = 2), nos quais a populac¸a˜o
cresceu de forma bem mais discreta do que nos dias subsequentes. Isso faz com que a taxa
me´dia em todo o intervalo de dias considerados (t = 0 a t = 10) caia em relac¸a˜o a` taxa me´dia
nos u´ltimos oito dias (t = 2 a t = 10).
11. As expresso˜es abaixo podem ser simplificadas.
(a) y′(x) = (2 cosx + 3x2)(− cosx) + (−2 sinx + 6x)(17 − sinx)
(b) v′(x) = (2x3 + 3)(4x3 − 2) + (6x2)(x4 − 2x)
(c) g′(x) = ( 1x2 − 3x4 ) (1 + 15x2) + (− 2x3 + 12x5 ) (x + 5x3)
(d) y′(t) = [(3t2 − 2t + 1)(2t) − (t2)(6t − 2)] /(3t2 − 2t + 1)2
(e) p′(x) = (x2 − 2x)(− sinx) + (2x − 2) cosx
(f) q′(r) = [(√r + 1) ( 1
2
√
r
) − (√r − 1) ( 1
2
√
r
)] /(√r + 1)2
(g) y′(v) = 2v + 1
2
√
v3
(h) g′(y) = [(y + 3y) − y (1 − 3y2)] / (y + 3y)2 .
12. f ′(e) = 0.
13. y′(x) = 1 + lnx, y′′(x) = 1x .
14. dPdT = −43piN ( µ23kT 2). A polarizac¸a˜o diminui com a variac¸a˜o de temperatura.
15. (a) y = 2(x − (pi/4)) + 1
(b) y = 1(x − 0) + 1 ou y = x + 1
(c) y = −1(x − pi) − pi ou y = −x
(d) y = e.
16. f ′(0) = 7.
5
17. (a) A func¸a˜o velocidade e´ a derivada da func¸a˜o posic¸a˜o:
v(t) = ds
dt
= 3t2 − 12t + 9 m/s.
A func¸a˜o acelerac¸a˜o e´ a derivada da func¸a˜o velocidade:
a(t) = dv
dt
= d2s
dt2
= 6t − 12 m/s2.
Em t = 4, a(4) = 6(4) − 12 = 12 m/s2.
(b) Represente o gra´fico das treˆs func¸o˜es no mesmo par de eixos.
18. g′′(θ) = 2 cos θ − θ sin θ, g′′(pi/6) = √3 − pi12 .
19. (a)
lim
h→0+ f(0 + h) − f(0)h = limh→0+ ∣0 + h∣ − ∣0∣h = limh→0+ hh = 1
e
lim
h→0− f(0 + h) − f(0)h = limh→0− ∣0 + h∣ − ∣0∣h = limh→0− −hh = −1.
(b) A func¸a˜o f na˜o e´ deriva´vel em x = 0, pois na˜o existe limh→0 f(x+h)−f(x)h , ja´ que os limites
laterais sa˜o diferentes. O gra´fico de f apresenta um ‘bico’ em x = 0.
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