Regra da Cadeia para derivação de funções compostas

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Departamento de Matema´tica e Estat´ıstica
Ca´lculo Diferencial e Integral I – Sistemas de Informac¸a˜o
Prof.ª Beatriz Malajovich ) malajovich@uniriotec.br
5ª Lista de Exerc´ıcios
A Regra da Cadeia para derivac¸a˜o de func¸o˜es compostas
1. Derive as func¸o˜es abaixo usando as propriedades e regras adequadas de derivac¸a˜o.
(a) y(x) = sin 4x
(b) v(x) = (1 − x2)10
(c) g(x) = 4√1 + 2x + x3
(d) y(t) = 1(t4+1)3
(e) p(x) = cos(a3 + x3), a constante
(f) q(x) = a3 + cos3 x, a constante
(g) y(x) = (1 + 4x)5(3 + x − x2)8
(h) g(y) = √y−1y+1
(i) y(r) = r√
r2+1
(j) g(x) = tan(cosx)
(k) y(x) = (1 + cos2 x)6
(l) g(x) = √x +√x
(m) y(x) = x sin ( 1x)
(n) g(y) = sin2 ycosy .
2. Para que valores de r a func¸a˜o y(x) = erx satisfaz a equac¸a˜o diferencial y′′ + 5y′ − 6y = 0?
3. Uma massa atada a uma mola vertical tem func¸a˜o posic¸a˜o dada por s(t) = A sinωt, onde A
e´ a amplitude de sua oscilac¸a˜o e ω e´ uma constante relacionada a` natureza da mola.
(a) Encontre a velocidade e a acelerac¸a˜o como func¸a˜o do tempo.
(b) Mostre que a acelerac¸a˜o e´ proporcional ao deslocamento.
4. Encontre uma equac¸a˜o da reta tangente aos gra´ficos das curvas abaixo passando pelos pontos
indicados:
(a) f(x) = (1 + 2x)10, P0 = (0,1)
(b) f(x) = sin(sinx), P0 = (pi,0)
(c) f(x) = lnx, em x0 = e−1
(d) f(x) = ln(−x), em x0 = −e.
5. O deslocamento de uma part´ıcula sobre uma corda vibrante e´ dado pela equac¸a˜o
s(t) = 10 + 14 sin(10pit),
onde s e´ medido em cent´ımetros e t em segundos. Encontre a velocidade da part´ıcula apo´s
t segundos.
1
6. Suponha que f seja uma func¸a˜o diferencia´vel em R e seja α um nu´mero real. Considere as
func¸o˜es F (x) = f(xα) e G(x) = [f(x)]α. Encontre as expresso˜es para:
(a) F ′(x), (b) G′(x).
7. Encontre dydx para as func¸o˜es abaixo.
(a) y = ln(lnx)
(b) y = cos(lnx)
(c) y = ln(sin2 x)
(d) y = x2 log2(x2 − 2x) *
(e) y = 11+log10 x *
(f) y = sin2(lnx)
(g) y = e−3xx2+1
(h) y = ex2+2x−1
(i) y = (1 − 3ex)2
(j) y = ln (x+1x−1).
* A derivada da func¸a˜o exponencial de base a, ou seja, f(x) = ax, com a constante a
satisfazendo a > 0, a ≠ 1, e´ dada por f ′(x) = ax lna. Ja´ a derivada da derivada da func¸a˜o
logaritmo na base a, f(x) = loga x, onde a > 0 e a ≠ 1 e´ constante, e´ dada por f ′(x) = 1x lna .
8. Encontre dydx para as func¸o˜es abaixo, usando inicialmente as boas propriedades da func¸a˜o
logaritmo.
(a) y = ln[(x − 1)3(x2 + 1)4] (b) y = ln cosx√
4−3x2 .
9. Seja f ∶ R→ R uma func¸a˜o deriva´vel e seja p a func¸a˜o dada por p(x) = xf(x2). Calcule p′(1)
supondo f(1) = 4 e f ′(1) = 2.
10. Seja f ∶ R → R uma func¸a˜o deriva´vel tal que f(1) = 2 e f ′(1) = 3. Calcule p′(0), sendo p
dada por p(x) = exf(3x + 1).
Atenc¸a˜o:
y′′ = y′′(x) = d2y
dx2
representa a
derivada de 2ª ordem da func¸a˜o y.
11. Seja y = xe2x. Verifique que d2y
dx2
− 4 dy
dx
+ 4y = 0.
12. Determine α de modo que y = eαx verifique a equac¸a˜o y′′ − 4y = 0.
2
13. Seja y = e−t cos 2t. Verifique que d2y
dt2
+ 2 dy
dt
+ 5y = 0.
14. Identifique os limites abaixo como limites de formas indeterminadas do tipo 00 ou
∞∞ e, em
seguida, resolva-os usando a Regra de L’Hoˆspital.
(a) lim
x→1 x
5 − 3x4 + 5x − 3
4x5 + 2x3 − 5x2 − 1
(b) lim
x→2 2x − 4x2 + 3x − 10
(c) lim
x→0 1 − ex2 sinx
(d) lim
x→+∞ 3 − exx2 .
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Ca´lculo Diferencial e Integral I – Sistemas de Informac¸a˜o
Prof.ª Beatriz Malajovich ) malajovich@uniriotec.br
Respostas da 5ª Lista de Exerc´ıcios
Observac¸a˜o. Para as questo˜es que pedem esboc¸o de gra´fico, utilize um recurso computacio-
nal para conferir a sua resposta. Uma sugesta˜o e´ o aplicativo Geogebra, encontrado no s´ıtio
www.geogebra.org/cms/en/download/, que e´ de fa´cil utilizac¸a˜o.
1. (a) y′(x) = 4 cos 4x
(b) v′(x) = −20x(1 − x2)9
(c) g′(x) = 2+3x2
4 4
√(1+2x+x3)3
(d) y′(t) = − 12t3(t4+1)4
(e) p′(x) = −3x2 sin(a3 + x3)
(f) q′(x) = −3 cos2 x sinx
(g) y′(x) = 20(1 + 4x)4(3 + x − x2)8 + . . .
. . . + 8(1 + 4x)5(3 + x − x2)7(1 − 2x)
(h) g′(y) = 1(y−1)1/2(y+1)3/2
(i) y′(r) = 1(r2+1)3/2
(j) g′(x) = − sinx sec2(cosx)
(k) y′(x) = −12(1 + cos2 x)5 cosx sinx
(l) g′(x) = 1+1/(2√x)
2
√
x+√x
(m) y′(x) = − 1x cos ( 1x) + sin ( 1x)
(n) g′(y) = 2 sin y + sin3 ycos2 y .
2. r = 1 ou r = −6.
3. (a) Pela Regra da Cadeia, temos que
v(t) = s′(t) = Aω cosωt e a(t) = v′(t) = −Aω2 sinωt.
(b) A acelerac¸a˜o dividida pelo deslocamento e´ igual a uma constante.
4. (a) y = 20x + 1
(b) y = −x + pi
(c) y = ex − 2
(d) y = −xe .
5. A velocidade sera´ s′(t) = 10pi4 cos(10pit) cm/s.
6. (a) F ′(x) = αxα−1f ′(xα), (b) G′(x) = α[f(x)]α−1f ′(x).
4
7. (a) dydx = 1x lnx
(b) dydx = − 1x sin(lnx)
(c) dydx = 2 cosxsinx
(d) dydx = 2x log2(x2 − 2x) + x2 2x−2(x2−2x) ln 2
(e) dydx = − 1(1+log10 x)2 1x ln 10
(f) dydx = 2x sin(lnx) cos(lnx)
(g) dydx = −3(x2+1)e−3x−2xe−3x(x2+1)2
(h) dydx = (2x + 2)ex2+2x−1
(i) dydx = −6(1 − 3ex)(ex)
(j) dydx = 1x+1 − 1x−1 .
8. (a) y′(x) = 3x−1 + 8xx2+1 , (b) y′(x) = − tanx + 3x4−3x2 .
9. p′(1) = 8.
10. p′(0) = 11.
11. Calcule as derivadas de primeira e segunda ordem e substitua-as adequadamente na equac¸a˜o
dada.
12. Calcule a derivada de segunda ordem e substitua-as adequadamente na equac¸a˜o dada. Os
valores procurados para α sa˜o α = ±2.
13. Calcule as derivadas de primeira e segunda ordem e substitua-as adequadamente na equac¸a˜o
dada.
14. (a) −1/8 (b) 2/7 (c) −1/2 (d) −∞.
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