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Física I com Derivadas e Integrais

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LISTA DE EXERCI´CIOS 1: MECAˆNICA 1D
Este pdf tem links para material externo indicados com a
”cruz de malta”z (sugerindo: navegue), basta clicar que seu ce-
lular/computador abrira´. Quanto menor o nu´mero do exerc´ıcio,
mais importante ele e´.
1. Considere uma sequeˆncia de fotos tirada em sequeˆncia
na ordem enumerada, em intervalos de 1s. A escala do
papel quadriculado e´ de 0,1m.
a) Represente os dados do diagrama em uma tabela com
posic¸a˜o (x), tempo (t), velocidade (v).
b) Fac¸a o gra´fico das posic¸o˜es como func¸a˜o do tempo.
c) Fac¸a o gra´fico das velocidades como func¸a˜o do tempo
admitindo que ela e´ fixa entre duas fotos distintas.
2. Considerando as func¸o˜es abaixo que descrevem a posic¸a˜o
x(t) de um corpo de 5kg, para cada caso obtenha as
func¸o˜es v(t) e a(t) e a forc¸a que atua sobre o corpo.
Calcule as posic¸o˜es onde a velocidade e´ zero e fac¸a os
gra´ficos.
a) x = t2 − 6t+ 8
b) x = −t2 − 10t
c) x = 2t3 − 28t2 + 80t+ 20
3. Se um corpo parte do repouso com acelerac¸a˜o de 2 m/s2.
a) Fac¸a o gra´fico de suas velocidades ao longo do tempo.
b) Calcule as distaˆncia percorida entre os instantes t=0 e
t=1s (a´rea sob o gra´fico do intem anterior); e tambe´m
entre t=5s e t=10s.
4. Considere um mo´vel cuja velocidade e´ descrita pela
func¸a˜o v(t) = −2t+ 1, em m/s.
a) Qual a acelerac¸a˜o? Se o corpo tem massa de 2kg, qual
a forc¸a que sobre ele atua?
b) Obtenha a func¸a˜o x(t), das posic¸o˜es do corpo.
5. Considere o gra´fico de velocidade abaixo.
a) escreva uma frase que caracterize o movimento em
sua concepc¸a˜o;
b) Calcule a acelerac¸a˜o em cada caso;
c) Calcule pelo me´todo gra´fico (item b do exerc´ıcio an-
terior), as distaˆncias percorridas em cada caso.
6. Considere um corpo que executa o movimento descrito
pela func¸a˜o x(t) = t3−6t2+11t+14. (Sugesta˜o: se quiser
ver a func¸a˜o utilize um aplicativo de fazer gra´ficos, ou o
wolframalpha z).
a) Calcule a func¸a˜o velocidade, v(t).
b) Calcule os pontos onde o corpo para (pontos de re-
torno).
c) Calcule a func¸a˜o acelerac¸a˜o, a(t).
d) Existe algum ponto onde a forc¸a sobre o corpo e´ zero?
Qual?
7. Um experimento de baixo custo desenvolvido para estudo
do movimento de queda e do erro estat´ıstico gaussiano
em medidas de tempo. A esfera meta´lica e´ presa a um
eletroima˜, durante a queda por dois fotosensores posici-
onados em S1 e S2 cujo sinal e´ controlado por uma placa
Arduino programada para calcular o tempo gasto pela
esfera durante do deslocamento entre S1 e S2.
Esquema da montagem do experimento de queda livre e
o ajuste do movimento realizado. Revista Brasileira de
Ensino de F´ısica, v.35, n. 2, 2506 (2013) z.
a) Qual o valor da acelerac¸a˜o gravitacional de acordo
com a equac¸a˜o?
b) Qual a velocidade e o tempo para a bola chegar ao
sensor S1 saindo do repouso?
c) Qual o tempo gasto no deslocamento entre os dois
sensores separados de 50cm?
8. Considere um corpo de 10kg sob o qual atua uma forc¸a
que segue a lei F (t) = 5t. Onde t esta´ em segundos.
a) Qual a acelerac¸a˜o a(t)?
b) Qual a func¸a˜o v(t)?
c) Qual a func¸a˜o x(t)?
9. Abaixo temos dois sistemas diferentes (a) e (b) en-
volvendo corpos, cordas (inextens´ıveis de massa des-
prez´ıveis) e polias (de dimenso˜es e massas desprez´ıveis).
mA = 2kg, mB = 4kg e mC = 5kg.
a) Qual a acelerac¸a˜o resultante no arranjo (a)?
b) Se na˜o houver atrito, qual a acelerac¸a˜o resultante no
arranjo (b)?
c) Qual deve ser o valor do atrito esta´tico sobre o corpo
B para que na˜o haja movimento no arranjo (b)?
d) Em cada uma das situac¸o˜es calcule o tempo necessa´rio
para, a partir do repouso, um dos corpos tocarem o
cha˜o.
10. Treˆs corpos de massas mA = mB = 2kg e mC = 3kg sa˜o
presos entre si por cordas e polias conforme o esquema
abaixo.
a) Se na˜o houver atrito no plano qual sera´ a acelerac¸a˜o
e o movimento desenvolvido pelo conjunto? Fac¸a o
diagrama de forc¸as, monte as equac¸o˜es de movimento
e enta˜o resolva.
b) Ainda sem atrito no plano, se o conjunto for solto do
repouso qual o corpo (A ou C) que primeiro toca o
cha˜o e qual tempo necessa´rio?
c) Qual deve ser o valor do atrito esta´tico sobre o corpo
B para que na˜o haja movimento? Fac¸a novamente a
soluc¸a˜o de maneira clara.
11. Uma rampa com dois cor-
pos ligados por uma corda
inextens´ıvel de massa
desprez´ıvel e uma polia
(tambe´m de dimenso˜es na˜o
relevantes).
a) Se os dois corpos tive-
rem mesma massa de
10kg, e na˜o houver
atrito entre o corpo A e
o plano inclinado, qual
a acelerac¸a˜o adquirida
pelo sistema? O que
ocorreria se a massa
fosse de 20kg?
b) Se mB = 10kg e mA =
5kg qual a acelerac¸a˜o
adquirida pelo sistema?
Admitindo que o sis-
tema seja liberado a
partir do repouso, in-
tegre as equac¸o˜es do
movimento obtendo o
gra´fico de posic¸a˜o x
tempo de um dos cor-
pos, preveja sua posic¸a˜o
de t entre 0 e 2s. Ad-
mita as refereˆncias de
posic¸a˜o que forem ne-
cessa´rias.
c) No caso do item ante-
rior se houver um atrito
constante entre o corpo
e o plano (atrito de
contato, seco), explique
em que isso afetaria sua
previsa˜o. Para o caso
em que o coeficiente de
atrito dinaˆmico seja 0,2
obtenha as posic¸o˜es dos
mo´veis nos instantes an-
teriores.
12. O futebol e´ um esporte onde cada vez mais a mani-
pulac¸a˜o da informac¸a˜o com vie´s cient´ıfico tem ocorrido,
por exemplo: (Rev. Exame/2016 z). Segundo es-
tat´ıstica divulgada em uma se´rie no programa Fanta´stico
(gra´fico abaixo, 18/05/14), um centroavante consegue
acelerar de 0 a` 32km/h em uma distaˆncia de apenas 20m,
ao passo que um carro popular precisa de 40m para atin-
gir a mesma marca.
a) Para o movimento do jogador: Escreva a func¸a˜o x(t)
da posic¸a˜o como func¸a˜o do tempo, e tambe´m da ve-
locidade como func¸a˜o do tempo. Obtenha o valor da
acelerac¸a˜o e calcule o tempo necessa´rio para o jogador
percorrer os 20m sugeridos.
b) Calcule a forc¸a, em newtons, empreendida pela mus-
culatura da perna do jogador para acelerar seu corpo
do valor calculado para um jogador de massa 85kg?
c) Calcule a acelerac¸a˜o e a forc¸a sobre o carro popular,
de massa 1000kg, para realizar o movimento descrito
para ele no enunciado.
13. As dimenso˜es do gol oficiais do gol incluindo a marca de
penalty sa˜o apresentadas na imagem abaixo.
Atualmente massa de uma bola deve estar entre 400 e
450g de acordo com a regra 2 (no total sa˜o 17 regras)
zfifa/2014.
a) Estime a velocidade de um chute forte supondo que a
distaˆncia em que ela e´ acelerada pelo contato com o
pe´ do batedor e´ desprez´ıvel calcule o tempo dispon´ıvel
para o goleiro pegar o penalty se chutado no canto,
junto a trave e rasteiro.
b) Calcule a velocidade com que o goleiro deve se deslo-
car (suponha constante) para chegar a` bola, supondo
que 0,5s e´ gasto no processo de impulsa˜o que o coloca
a essa velocidade.
c) Para um goleiro de 90kg qual deve ser a forc¸a impri-
mida por suas pernas para o goleiro considerando o
cena´rio anterior.
d) Considere um chute forte sobre um goleiro (estime a
velocidade), e considere que o impacto se da´ em 0,1s.
Calcule a forc¸a me´dia sobre as ma˜os do goleiro.
14. Em um laborato´rio de ensaios mecaˆnicos monta-se o
experimento como abaixo com as massas de prova, m
= 5kg, indicadas e uma mola de constante ela´stica
k=120N/m. Apo´s montado espera-se ate´ a situac¸a˜o em
que todo o sistema fica em repouso. Ha´ atrito apenas no
corpo que esta´ sobre a superf´ıcie horizontal, de coefici-
ente de atrito esta´tico igual a` 0,5.
a) Qual a forc¸a sobre a mola?
b) Qual o valor da distensa˜o da mola?
15. Em um laborato´rio de ensaios mecaˆnicos monta-se o ex-
perimento como abaixo com as massas de prova indicadas
e um dinamoˆmetro para medir a tensa˜o na corda. Um
dinaˆmometro e´ um dispositivo mecaˆnico que consiste de
uma mola a partir da distenc¸a˜oda qual se pode saber
qual a forc¸a que a traciona.
a) Se na˜o houver atrito, qual a tensa˜o no dinamoˆmetro?
b) Para o caso sem atrito, se dureza da mola do di-
namoˆmetro e´ de 100N/m qual o valor da distensa˜o
da mola?
c) Se houver atrito de coeficiente esta´tico µe = 0, 2 qual
sera´ o valor da tensa˜o aplicada ao dinamoˆmetro?
16. O movimento de corpos em meios fluidos (quando esta´
submetido a` forc¸a de resisteˆncia portanto) e´ muito pre-
sente em nossa vida cotidiana. Do combust´ıvel gasto
pelos automo´veis (que levou a melhora da aerodinaˆmica
dos carros z–BMW ez2–v´ıdeo com explicac¸a˜o/MIT) ao
movimento de queda de um paraquedista z, e tambe´m
ao fato de que corpos com mais massa podem se deslocar
a maiores velocidades durante o movimento de queda.
Considere o movimento de queda de um corpo em meio
viscoso. O corpo esta´ submetido a` ac¸a˜o da forc¸a peso (P)
e a uma forc¸a de resisteˆncia do ar, ou forc¸a de arrasto,
Fa, oposta ao seu deslocamento e que e´ maior quanto
maior velocidade do corpo. Considere o modelo:
Fa = bv
onde b e´ o ”coeficiente de arrasto”, ele depende das ca-
racter´ısticas do corpo (rugosidade e sec¸a˜o), e e´ estudado
para diferentes corpos. Este modelo e´ va´lido para bai-
xas velocidades quando o escoamento do fluido ao redor
do corpo e´ laminar (ver comenta´rios em sala e os v´ıdeos
acima com respeito aos carros).
a) No movimento de queda com forc¸a de arrasto, quando
temos Fa = P o corpo deixa de acelerar, e apresenta
velocidade constante, chamada velocidade limite. Ex-
plique porque e´ poss´ıvel que uma pessoa de maior
massa que desce um plano inclinado (rampa, ou des-
cida, ou um toboga˜) possa chegar antes ao final da
rampa considerado esse modelo.
b) Escreva a equac¸a˜o de Newton para o corpo de massa
m sob ac¸a˜o da forc¸a peso e da forc¸a de arrasto do
exerc´ıcio anterior. Verifique que substituindo a =
dv
dt
,
leva a uma equac¸a˜o que e´ resolvida por uma func¸a˜o
do tipo v = A(1 − e−Bt). Dica: resolva por substi-
tuic¸a˜o obtendo as constantes A e B em termos das
constantes f´ısicas.
c) Fac¸a um gra´fico esquema´tico da soluc¸a˜o.
17. Um modelo de resisteˆncia de arrasto que leva em consi-
derac¸a˜o a ocorreˆncia de turbuleˆncia a forc¸a de arrasto e´
dada pela depeˆncia com v2, como: Fa = Cv
2.
a) interprete o gra´fico abaixo do movimento de um pa-
raquedista (adapt. pontociencia.org.br) abaixo.
b) Calcule o coeficiente C para um paraquedista com o
paraquedas fechado que chega a 120 milhas por hora
e que com o paraquedas aberto chega a 5 milhas por
hora, conforme descrito neste v´ıdeoz. Esses dados do
v´ıdeo concordam com o gra´fico da refereˆncia anterior?
Obs: Se quiser ver outras coisas interessantes sobre o mo-
vimento de corpos em meios fluidos veja esse famoso e
interessante fenoˆmeno chamado ”Efeito Magnus”: 1) So-
bre o movimento de uma bola de basquete em rotac¸a˜o z.
2) A aerodinaˆmica de uma bola de futebol, com aplicac¸a˜o
sobre ”o gol que o Pele´ na˜o fez”z. 3) A turbuleˆncia pode
provocar ate´ mesmo efeitos enormes como o famoso caso
da Ponte de Tacoma z (fenoˆmeno de ressonaˆncia).
EXTRAS. Obs: Os exerc´ıcios seguintes envolvem ape-
nas movimento a velocidade constante, e sugerem outros
aplicac¸o˜es relevantes do controle sobre o fenoˆmeno do
movimento.
18. O fenoˆmeno de ressonaˆncia comentado nas observac¸o˜es
ao final da pa´gina anterior (caso da destruic¸a˜o da ponte)
pode ser visto no v´ıdeo do canal Martys3’s do youtubez.
Aqui temos apresentada a quebra de uma tac¸a de vinho
(de diaˆmetro da boca de cerca de 10cm) pela ac¸a˜o de
um autofalante que faz o copo realizar um movimento de
337,5 vibrac¸o˜es completas por segundo. A supercaˆmera
coleta 10mil quadros por segundo.
a) Qual o tempo entre dois quadros da supercaˆmera?
b) Desenhe o movimento do copo. Qual o tempo para
um movimento completo da vibrac¸a˜o da tac¸a?
c) Quantos quadros envolvem um movimento completo
de vai-e-vem do copo?
d) Se o deslocamento total das paredes do copo tiver
entre de 0,5cm e 1cm (valor estimado em sala), qual
e´ aproximadamente a velocidade me´dia com que as
paredes do copo se movem?
19. A sequeˆncia de imagens e´
retirada do v´ıdeo a respeito
da ressonaˆncia da tac¸a do
exerc´ıcio anterior, pro´ximo
a 4:10 z. O apresentador
observa que a primeira fra-
tura ocorre logo a frente
de onde se localiza o auto-
falante, e diz que demora
cerca de 3 quadros para ela
se propagar pelo copo.
Baseado na estimativa para
o tamanho da tac¸a e da
taxa dos quadros observa-
dos no exerc´ıcio, estime a
velocidade com que a fra-
tura se desloca. Faz sen-
tido dizer que sob o as-
pecto do movimento da ra-
chadura, o copo permanece
praticamente parado com
respeito a sua vibrac¸a˜o?
20. Um ce´rebro esta´ sendo examinado por um exame de ul-
trassom. Sobre um ponto do craˆnio esta´ apoiado o emis-
sor/receptor de ultra-som. Suponha que a velocidade
do som na regia˜o intracraniana seja de cerca de 1500
m/s. Se na˜o ha´ qualquer tipo de lesa˜o no interior da
massa encefa´lica na˜o ocorrem reflexo˜es significativas do
som emitido e a reflexa˜o se da´ no extremo oposto da caixa
craniana. Se, por outro lado, houver lesa˜o no interior do
ce´rebro ocorre espalhamento do som na regia˜o.
Adaptado de The Macmil-
lan visual dictionary. New
York: Macmillan Publishing
Company, 1992.
a) Determine o tempo gasto para ser obtido o eco origi-
nado do ponto A da figura.
b) Se houver uma lesa˜o, sabendo que o tempo gasto para
o registro do eco foi de 0, 5×10−4s, obtenha a posic¸a˜o
da regia˜o lesionada.
21. Em sala vimos que a ana´lise da integridade de pec¸as pode
ser realizada a partir das medidas de tempo da reflexa˜o
do som em seu interior, isso e´ feito na te´cnica de ultras-
som ((video youtube z)). No gra´fico abaixo temos um
pico a 67,568 µs vindo da reflexa˜o na extremidade de
baixo da pec¸a analisada. Se a velocidade do som em um
bloco de ac¸o e´ de 5920m/s, se supomos que esse e´ o ma-
terial do bloco, qual a profundidade da pec¸a analisada?
22. A te´cnica de ultrassom pode ser utilizada para medir
profundidade de rachaduras, como visto neste v´ıdeo z-
TechRentals do qual extra´ımos as imagens abaixo.
Sa˜o necessa´rias medidas de
tempo para duas distaˆncias
de afastamento entre o re-
ceptor e o emissor (ambos
chamados transdutores) de
ultrassom, porque na˜o se
define previamente a velo-
cidade do som no material.
Mede-se o menor tempo
de recepc¸a˜o do som.
No v´ıdeo a primeira me-
dida usa 10cm de distaˆncia
entre cada transdutor e
a rachadura – levando a
89,1µs de tempo. Na se-
gunda medida a distaˆncia
a` rachadura e´ 20cm e o
tempo medido e´ 167,2 µs.
a) Fac¸a um desenho esquema´tico representando os trans-
dutores e a rachadura em corte frontal, indique
distaˆncias com as letras: D – distaˆncia transdu-
tor/rachadura, H – profundidade da rachadura, trace
o menor caminho do som (linha reta) que conecta os
transdutores ultrapassando a rachadura. Escreva as
equac¸o˜es que relacionam D, H com o tempo de pro-
pagac¸a˜o.
b) Calcule a profundidade da rachadura.
c) Calcule a velocidade do som no material (parece as-
falto, va´ a internet e cheque se o valor obtido e´
razoa´vel para o asfalto).
23. A velocidade de propagac¸a˜o da luz e´ finita e, no va´cuo,
vale 300.000 km/s. A distaˆncia entre o Sol e a Terra e´
de cerca de 150 milho˜es de quiloˆmetros. Calcule o tempo
que leva para a luz sair do Sol e chegar a` terra.
24. A velocidade da luz foi estimada por Galileo (mas a me-
dida dele foi muito ruim, mas como sempre ele estava
adiante de seu tempo). Para ele, que descobriu as luas
de Jupiter, o experimento da primeira medida o deixa-
ria particularmente entusiasmado. O problema e´ que o
valor da velocidade de propagac¸a˜o da luz e´ muito alto:
3× 108m/s.
O astroˆnomo Roemer em 1676 (340 anosno ano pas-
sado celebrado, por exemplo, pelo Google z em uma
animac¸a˜o no buscador) obteve a melhor primeira medida
da histo´ria da velocidade da luz. Isso se deu a partir de
um fenoˆmeno de aberrac¸a˜o quando observava eclipse das
luas de Jupiter: o tempo de in´ıcio dos eclipses diferia
do esperado nas tabelas dependendo da posic¸a˜o relativa
entre a Terra e Jupiter. Pelo atraso obteve a velocidade
da luz em 200.000 km/s (Calcule o erro percentual desta
medida).
Devido a` forma eliptica da o´rbita de Ju´piter e da Terra
(mas a Terra e´ bem pouco oval) a distaˆncia entre a Terra
e Ju´piter varia de 587 milho˜es de quiloˆmetros a 967
milho˜es de quiloˆmetros (fonte: space.com z). Calcule
a diferenc¸a de tempo para a recepc¸a˜o do sinal luminoso
(e portanto visualizac¸a˜o de eclipse) nessas duas situac¸o˜es
limite (na˜o foram necessariamente as posic¸o˜es usadas por
Roemer, mas servem para dar uma ide´ia da faixa de va-
lores de tempo a serem comparados).
25. A descoberta de que a luz consiste de radiac¸a˜o ele-
tromagne´tica e´ devida a J.C. Maxwell. A partir das
suas equac¸o˜es para o eletromagnetismo obteve que era
poss´ıvel a ocorreˆncia de ondas envolvendo os campos
ele´trico e magne´tico (ou seja obteve equac¸o˜es de onda
para esses campos) com velocidade de propagac¸a˜o no
va´cuo:
c =
1√
µ0�0
onde µ0 = 1, 26 × 10−7 [N/A2] (SI) e´ a permeabilidade
magne´tica do va´cuo e �0 = 8, 85× 10−12 [F/m] (SI).
Ao calcular o valor de c Maxwell viu que o valor con-
cordava muito bem com o valor que era medido para a
velocidade da luz* obtendo a evideˆncia sobre a natureza
da luz em termos do eletromagnetismo. Calcule c, como
fez Maxwell**.
* A melhor medida da e´poca foi obtida por Fizeau em
1849 z, utilizando um espelho, um vidro e uma roda
dentada separados da fonte luminosa em lugares altos
afastados de pouco mais de 8,5km, em um experimento
feito (do artigo z– pag.92) entre os bairros Suresnes e
Montmartre em Paris [link do google desses bairros de
hoje z]. O valor medido por ele esta´ dentro de uma
faixa de 5% do valor hoje aceito.
** A u´ltima passagem que deu forc¸a a seu trabalho que
daria origem as telecomunicac¸o˜es em dois passos: 15 anos
depois com experimentos de Hertz e em 30 anos (virada
do se´culo) com o tele´grafo de Marconi que levou os ex-
perimentos de Hertz adiante compondo o sistema de co-
municac¸a˜o.
26. Em 2016 o planeta mais pro´ximo e semelhante a terra
foi identificado. Localizado orbitando a estrela pro´xima-
B (constelac¸a˜o de Centauro) que esta´ a 4,2 anos-luz da
terra (1 ano-luz = distaˆncia percorrida pela luz em 1 ano
terrestre).
a) Calcule a distaˆncia em km entre a terra e a estrela.
b) As sonda espaciais Voyager 1 e 2 sa˜o o aparelhos cons-
tru´ıdos pelos seres humanos que esta˜o mais longe da
terra. Nesse site da Nasa z a distaˆncia entre ela e a
terra e´ oferecida em tempo real. No momento desta
lista Voyager 1 (lanc¸ada em setembro de 1977) esta´
a 20.861.283.488 km da Terra, ja´ no espac¸o interes-
telar (saiu de nosso sistema solar). Calcule quanto
tempo levaria para uma sonda com a mesma veloci-
dade de deslocamento levaria para chegar ao planeta
na pro´xima-B.
Obs: sobre ir longe no espac¸o, por exemplo a outras
gala´xias, ha´ uma exposic¸a˜o muito interessante do f´ısico
Neil deGrasse Tyson z(leg. port.), que vai pra ale´m de
se falar sobre ir...

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