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LISTA DE EXERCI´CIOS 1: MECAˆNICA 1D Este pdf tem links para material externo indicados com a ”cruz de malta”z (sugerindo: navegue), basta clicar que seu ce- lular/computador abrira´. Quanto menor o nu´mero do exerc´ıcio, mais importante ele e´. 1. Considere uma sequeˆncia de fotos tirada em sequeˆncia na ordem enumerada, em intervalos de 1s. A escala do papel quadriculado e´ de 0,1m. a) Represente os dados do diagrama em uma tabela com posic¸a˜o (x), tempo (t), velocidade (v). b) Fac¸a o gra´fico das posic¸o˜es como func¸a˜o do tempo. c) Fac¸a o gra´fico das velocidades como func¸a˜o do tempo admitindo que ela e´ fixa entre duas fotos distintas. 2. Considerando as func¸o˜es abaixo que descrevem a posic¸a˜o x(t) de um corpo de 5kg, para cada caso obtenha as func¸o˜es v(t) e a(t) e a forc¸a que atua sobre o corpo. Calcule as posic¸o˜es onde a velocidade e´ zero e fac¸a os gra´ficos. a) x = t2 − 6t+ 8 b) x = −t2 − 10t c) x = 2t3 − 28t2 + 80t+ 20 3. Se um corpo parte do repouso com acelerac¸a˜o de 2 m/s2. a) Fac¸a o gra´fico de suas velocidades ao longo do tempo. b) Calcule as distaˆncia percorida entre os instantes t=0 e t=1s (a´rea sob o gra´fico do intem anterior); e tambe´m entre t=5s e t=10s. 4. Considere um mo´vel cuja velocidade e´ descrita pela func¸a˜o v(t) = −2t+ 1, em m/s. a) Qual a acelerac¸a˜o? Se o corpo tem massa de 2kg, qual a forc¸a que sobre ele atua? b) Obtenha a func¸a˜o x(t), das posic¸o˜es do corpo. 5. Considere o gra´fico de velocidade abaixo. a) escreva uma frase que caracterize o movimento em sua concepc¸a˜o; b) Calcule a acelerac¸a˜o em cada caso; c) Calcule pelo me´todo gra´fico (item b do exerc´ıcio an- terior), as distaˆncias percorridas em cada caso. 6. Considere um corpo que executa o movimento descrito pela func¸a˜o x(t) = t3−6t2+11t+14. (Sugesta˜o: se quiser ver a func¸a˜o utilize um aplicativo de fazer gra´ficos, ou o wolframalpha z). a) Calcule a func¸a˜o velocidade, v(t). b) Calcule os pontos onde o corpo para (pontos de re- torno). c) Calcule a func¸a˜o acelerac¸a˜o, a(t). d) Existe algum ponto onde a forc¸a sobre o corpo e´ zero? Qual? 7. Um experimento de baixo custo desenvolvido para estudo do movimento de queda e do erro estat´ıstico gaussiano em medidas de tempo. A esfera meta´lica e´ presa a um eletroima˜, durante a queda por dois fotosensores posici- onados em S1 e S2 cujo sinal e´ controlado por uma placa Arduino programada para calcular o tempo gasto pela esfera durante do deslocamento entre S1 e S2. Esquema da montagem do experimento de queda livre e o ajuste do movimento realizado. Revista Brasileira de Ensino de F´ısica, v.35, n. 2, 2506 (2013) z. a) Qual o valor da acelerac¸a˜o gravitacional de acordo com a equac¸a˜o? b) Qual a velocidade e o tempo para a bola chegar ao sensor S1 saindo do repouso? c) Qual o tempo gasto no deslocamento entre os dois sensores separados de 50cm? 8. Considere um corpo de 10kg sob o qual atua uma forc¸a que segue a lei F (t) = 5t. Onde t esta´ em segundos. a) Qual a acelerac¸a˜o a(t)? b) Qual a func¸a˜o v(t)? c) Qual a func¸a˜o x(t)? 9. Abaixo temos dois sistemas diferentes (a) e (b) en- volvendo corpos, cordas (inextens´ıveis de massa des- prez´ıveis) e polias (de dimenso˜es e massas desprez´ıveis). mA = 2kg, mB = 4kg e mC = 5kg. a) Qual a acelerac¸a˜o resultante no arranjo (a)? b) Se na˜o houver atrito, qual a acelerac¸a˜o resultante no arranjo (b)? c) Qual deve ser o valor do atrito esta´tico sobre o corpo B para que na˜o haja movimento no arranjo (b)? d) Em cada uma das situac¸o˜es calcule o tempo necessa´rio para, a partir do repouso, um dos corpos tocarem o cha˜o. 10. Treˆs corpos de massas mA = mB = 2kg e mC = 3kg sa˜o presos entre si por cordas e polias conforme o esquema abaixo. a) Se na˜o houver atrito no plano qual sera´ a acelerac¸a˜o e o movimento desenvolvido pelo conjunto? Fac¸a o diagrama de forc¸as, monte as equac¸o˜es de movimento e enta˜o resolva. b) Ainda sem atrito no plano, se o conjunto for solto do repouso qual o corpo (A ou C) que primeiro toca o cha˜o e qual tempo necessa´rio? c) Qual deve ser o valor do atrito esta´tico sobre o corpo B para que na˜o haja movimento? Fac¸a novamente a soluc¸a˜o de maneira clara. 11. Uma rampa com dois cor- pos ligados por uma corda inextens´ıvel de massa desprez´ıvel e uma polia (tambe´m de dimenso˜es na˜o relevantes). a) Se os dois corpos tive- rem mesma massa de 10kg, e na˜o houver atrito entre o corpo A e o plano inclinado, qual a acelerac¸a˜o adquirida pelo sistema? O que ocorreria se a massa fosse de 20kg? b) Se mB = 10kg e mA = 5kg qual a acelerac¸a˜o adquirida pelo sistema? Admitindo que o sis- tema seja liberado a partir do repouso, in- tegre as equac¸o˜es do movimento obtendo o gra´fico de posic¸a˜o x tempo de um dos cor- pos, preveja sua posic¸a˜o de t entre 0 e 2s. Ad- mita as refereˆncias de posic¸a˜o que forem ne- cessa´rias. c) No caso do item ante- rior se houver um atrito constante entre o corpo e o plano (atrito de contato, seco), explique em que isso afetaria sua previsa˜o. Para o caso em que o coeficiente de atrito dinaˆmico seja 0,2 obtenha as posic¸o˜es dos mo´veis nos instantes an- teriores. 12. O futebol e´ um esporte onde cada vez mais a mani- pulac¸a˜o da informac¸a˜o com vie´s cient´ıfico tem ocorrido, por exemplo: (Rev. Exame/2016 z). Segundo es- tat´ıstica divulgada em uma se´rie no programa Fanta´stico (gra´fico abaixo, 18/05/14), um centroavante consegue acelerar de 0 a` 32km/h em uma distaˆncia de apenas 20m, ao passo que um carro popular precisa de 40m para atin- gir a mesma marca. a) Para o movimento do jogador: Escreva a func¸a˜o x(t) da posic¸a˜o como func¸a˜o do tempo, e tambe´m da ve- locidade como func¸a˜o do tempo. Obtenha o valor da acelerac¸a˜o e calcule o tempo necessa´rio para o jogador percorrer os 20m sugeridos. b) Calcule a forc¸a, em newtons, empreendida pela mus- culatura da perna do jogador para acelerar seu corpo do valor calculado para um jogador de massa 85kg? c) Calcule a acelerac¸a˜o e a forc¸a sobre o carro popular, de massa 1000kg, para realizar o movimento descrito para ele no enunciado. 13. As dimenso˜es do gol oficiais do gol incluindo a marca de penalty sa˜o apresentadas na imagem abaixo. Atualmente massa de uma bola deve estar entre 400 e 450g de acordo com a regra 2 (no total sa˜o 17 regras) zfifa/2014. a) Estime a velocidade de um chute forte supondo que a distaˆncia em que ela e´ acelerada pelo contato com o pe´ do batedor e´ desprez´ıvel calcule o tempo dispon´ıvel para o goleiro pegar o penalty se chutado no canto, junto a trave e rasteiro. b) Calcule a velocidade com que o goleiro deve se deslo- car (suponha constante) para chegar a` bola, supondo que 0,5s e´ gasto no processo de impulsa˜o que o coloca a essa velocidade. c) Para um goleiro de 90kg qual deve ser a forc¸a impri- mida por suas pernas para o goleiro considerando o cena´rio anterior. d) Considere um chute forte sobre um goleiro (estime a velocidade), e considere que o impacto se da´ em 0,1s. Calcule a forc¸a me´dia sobre as ma˜os do goleiro. 14. Em um laborato´rio de ensaios mecaˆnicos monta-se o experimento como abaixo com as massas de prova, m = 5kg, indicadas e uma mola de constante ela´stica k=120N/m. Apo´s montado espera-se ate´ a situac¸a˜o em que todo o sistema fica em repouso. Ha´ atrito apenas no corpo que esta´ sobre a superf´ıcie horizontal, de coefici- ente de atrito esta´tico igual a` 0,5. a) Qual a forc¸a sobre a mola? b) Qual o valor da distensa˜o da mola? 15. Em um laborato´rio de ensaios mecaˆnicos monta-se o ex- perimento como abaixo com as massas de prova indicadas e um dinamoˆmetro para medir a tensa˜o na corda. Um dinaˆmometro e´ um dispositivo mecaˆnico que consiste de uma mola a partir da distenc¸a˜oda qual se pode saber qual a forc¸a que a traciona. a) Se na˜o houver atrito, qual a tensa˜o no dinamoˆmetro? b) Para o caso sem atrito, se dureza da mola do di- namoˆmetro e´ de 100N/m qual o valor da distensa˜o da mola? c) Se houver atrito de coeficiente esta´tico µe = 0, 2 qual sera´ o valor da tensa˜o aplicada ao dinamoˆmetro? 16. O movimento de corpos em meios fluidos (quando esta´ submetido a` forc¸a de resisteˆncia portanto) e´ muito pre- sente em nossa vida cotidiana. Do combust´ıvel gasto pelos automo´veis (que levou a melhora da aerodinaˆmica dos carros z–BMW ez2–v´ıdeo com explicac¸a˜o/MIT) ao movimento de queda de um paraquedista z, e tambe´m ao fato de que corpos com mais massa podem se deslocar a maiores velocidades durante o movimento de queda. Considere o movimento de queda de um corpo em meio viscoso. O corpo esta´ submetido a` ac¸a˜o da forc¸a peso (P) e a uma forc¸a de resisteˆncia do ar, ou forc¸a de arrasto, Fa, oposta ao seu deslocamento e que e´ maior quanto maior velocidade do corpo. Considere o modelo: Fa = bv onde b e´ o ”coeficiente de arrasto”, ele depende das ca- racter´ısticas do corpo (rugosidade e sec¸a˜o), e e´ estudado para diferentes corpos. Este modelo e´ va´lido para bai- xas velocidades quando o escoamento do fluido ao redor do corpo e´ laminar (ver comenta´rios em sala e os v´ıdeos acima com respeito aos carros). a) No movimento de queda com forc¸a de arrasto, quando temos Fa = P o corpo deixa de acelerar, e apresenta velocidade constante, chamada velocidade limite. Ex- plique porque e´ poss´ıvel que uma pessoa de maior massa que desce um plano inclinado (rampa, ou des- cida, ou um toboga˜) possa chegar antes ao final da rampa considerado esse modelo. b) Escreva a equac¸a˜o de Newton para o corpo de massa m sob ac¸a˜o da forc¸a peso e da forc¸a de arrasto do exerc´ıcio anterior. Verifique que substituindo a = dv dt , leva a uma equac¸a˜o que e´ resolvida por uma func¸a˜o do tipo v = A(1 − e−Bt). Dica: resolva por substi- tuic¸a˜o obtendo as constantes A e B em termos das constantes f´ısicas. c) Fac¸a um gra´fico esquema´tico da soluc¸a˜o. 17. Um modelo de resisteˆncia de arrasto que leva em consi- derac¸a˜o a ocorreˆncia de turbuleˆncia a forc¸a de arrasto e´ dada pela depeˆncia com v2, como: Fa = Cv 2. a) interprete o gra´fico abaixo do movimento de um pa- raquedista (adapt. pontociencia.org.br) abaixo. b) Calcule o coeficiente C para um paraquedista com o paraquedas fechado que chega a 120 milhas por hora e que com o paraquedas aberto chega a 5 milhas por hora, conforme descrito neste v´ıdeoz. Esses dados do v´ıdeo concordam com o gra´fico da refereˆncia anterior? Obs: Se quiser ver outras coisas interessantes sobre o mo- vimento de corpos em meios fluidos veja esse famoso e interessante fenoˆmeno chamado ”Efeito Magnus”: 1) So- bre o movimento de uma bola de basquete em rotac¸a˜o z. 2) A aerodinaˆmica de uma bola de futebol, com aplicac¸a˜o sobre ”o gol que o Pele´ na˜o fez”z. 3) A turbuleˆncia pode provocar ate´ mesmo efeitos enormes como o famoso caso da Ponte de Tacoma z (fenoˆmeno de ressonaˆncia). EXTRAS. Obs: Os exerc´ıcios seguintes envolvem ape- nas movimento a velocidade constante, e sugerem outros aplicac¸o˜es relevantes do controle sobre o fenoˆmeno do movimento. 18. O fenoˆmeno de ressonaˆncia comentado nas observac¸o˜es ao final da pa´gina anterior (caso da destruic¸a˜o da ponte) pode ser visto no v´ıdeo do canal Martys3’s do youtubez. Aqui temos apresentada a quebra de uma tac¸a de vinho (de diaˆmetro da boca de cerca de 10cm) pela ac¸a˜o de um autofalante que faz o copo realizar um movimento de 337,5 vibrac¸o˜es completas por segundo. A supercaˆmera coleta 10mil quadros por segundo. a) Qual o tempo entre dois quadros da supercaˆmera? b) Desenhe o movimento do copo. Qual o tempo para um movimento completo da vibrac¸a˜o da tac¸a? c) Quantos quadros envolvem um movimento completo de vai-e-vem do copo? d) Se o deslocamento total das paredes do copo tiver entre de 0,5cm e 1cm (valor estimado em sala), qual e´ aproximadamente a velocidade me´dia com que as paredes do copo se movem? 19. A sequeˆncia de imagens e´ retirada do v´ıdeo a respeito da ressonaˆncia da tac¸a do exerc´ıcio anterior, pro´ximo a 4:10 z. O apresentador observa que a primeira fra- tura ocorre logo a frente de onde se localiza o auto- falante, e diz que demora cerca de 3 quadros para ela se propagar pelo copo. Baseado na estimativa para o tamanho da tac¸a e da taxa dos quadros observa- dos no exerc´ıcio, estime a velocidade com que a fra- tura se desloca. Faz sen- tido dizer que sob o as- pecto do movimento da ra- chadura, o copo permanece praticamente parado com respeito a sua vibrac¸a˜o? 20. Um ce´rebro esta´ sendo examinado por um exame de ul- trassom. Sobre um ponto do craˆnio esta´ apoiado o emis- sor/receptor de ultra-som. Suponha que a velocidade do som na regia˜o intracraniana seja de cerca de 1500 m/s. Se na˜o ha´ qualquer tipo de lesa˜o no interior da massa encefa´lica na˜o ocorrem reflexo˜es significativas do som emitido e a reflexa˜o se da´ no extremo oposto da caixa craniana. Se, por outro lado, houver lesa˜o no interior do ce´rebro ocorre espalhamento do som na regia˜o. Adaptado de The Macmil- lan visual dictionary. New York: Macmillan Publishing Company, 1992. a) Determine o tempo gasto para ser obtido o eco origi- nado do ponto A da figura. b) Se houver uma lesa˜o, sabendo que o tempo gasto para o registro do eco foi de 0, 5×10−4s, obtenha a posic¸a˜o da regia˜o lesionada. 21. Em sala vimos que a ana´lise da integridade de pec¸as pode ser realizada a partir das medidas de tempo da reflexa˜o do som em seu interior, isso e´ feito na te´cnica de ultras- som ((video youtube z)). No gra´fico abaixo temos um pico a 67,568 µs vindo da reflexa˜o na extremidade de baixo da pec¸a analisada. Se a velocidade do som em um bloco de ac¸o e´ de 5920m/s, se supomos que esse e´ o ma- terial do bloco, qual a profundidade da pec¸a analisada? 22. A te´cnica de ultrassom pode ser utilizada para medir profundidade de rachaduras, como visto neste v´ıdeo z- TechRentals do qual extra´ımos as imagens abaixo. Sa˜o necessa´rias medidas de tempo para duas distaˆncias de afastamento entre o re- ceptor e o emissor (ambos chamados transdutores) de ultrassom, porque na˜o se define previamente a velo- cidade do som no material. Mede-se o menor tempo de recepc¸a˜o do som. No v´ıdeo a primeira me- dida usa 10cm de distaˆncia entre cada transdutor e a rachadura – levando a 89,1µs de tempo. Na se- gunda medida a distaˆncia a` rachadura e´ 20cm e o tempo medido e´ 167,2 µs. a) Fac¸a um desenho esquema´tico representando os trans- dutores e a rachadura em corte frontal, indique distaˆncias com as letras: D – distaˆncia transdu- tor/rachadura, H – profundidade da rachadura, trace o menor caminho do som (linha reta) que conecta os transdutores ultrapassando a rachadura. Escreva as equac¸o˜es que relacionam D, H com o tempo de pro- pagac¸a˜o. b) Calcule a profundidade da rachadura. c) Calcule a velocidade do som no material (parece as- falto, va´ a internet e cheque se o valor obtido e´ razoa´vel para o asfalto). 23. A velocidade de propagac¸a˜o da luz e´ finita e, no va´cuo, vale 300.000 km/s. A distaˆncia entre o Sol e a Terra e´ de cerca de 150 milho˜es de quiloˆmetros. Calcule o tempo que leva para a luz sair do Sol e chegar a` terra. 24. A velocidade da luz foi estimada por Galileo (mas a me- dida dele foi muito ruim, mas como sempre ele estava adiante de seu tempo). Para ele, que descobriu as luas de Jupiter, o experimento da primeira medida o deixa- ria particularmente entusiasmado. O problema e´ que o valor da velocidade de propagac¸a˜o da luz e´ muito alto: 3× 108m/s. O astroˆnomo Roemer em 1676 (340 anosno ano pas- sado celebrado, por exemplo, pelo Google z em uma animac¸a˜o no buscador) obteve a melhor primeira medida da histo´ria da velocidade da luz. Isso se deu a partir de um fenoˆmeno de aberrac¸a˜o quando observava eclipse das luas de Jupiter: o tempo de in´ıcio dos eclipses diferia do esperado nas tabelas dependendo da posic¸a˜o relativa entre a Terra e Jupiter. Pelo atraso obteve a velocidade da luz em 200.000 km/s (Calcule o erro percentual desta medida). Devido a` forma eliptica da o´rbita de Ju´piter e da Terra (mas a Terra e´ bem pouco oval) a distaˆncia entre a Terra e Ju´piter varia de 587 milho˜es de quiloˆmetros a 967 milho˜es de quiloˆmetros (fonte: space.com z). Calcule a diferenc¸a de tempo para a recepc¸a˜o do sinal luminoso (e portanto visualizac¸a˜o de eclipse) nessas duas situac¸o˜es limite (na˜o foram necessariamente as posic¸o˜es usadas por Roemer, mas servem para dar uma ide´ia da faixa de va- lores de tempo a serem comparados). 25. A descoberta de que a luz consiste de radiac¸a˜o ele- tromagne´tica e´ devida a J.C. Maxwell. A partir das suas equac¸o˜es para o eletromagnetismo obteve que era poss´ıvel a ocorreˆncia de ondas envolvendo os campos ele´trico e magne´tico (ou seja obteve equac¸o˜es de onda para esses campos) com velocidade de propagac¸a˜o no va´cuo: c = 1√ µ0�0 onde µ0 = 1, 26 × 10−7 [N/A2] (SI) e´ a permeabilidade magne´tica do va´cuo e �0 = 8, 85× 10−12 [F/m] (SI). Ao calcular o valor de c Maxwell viu que o valor con- cordava muito bem com o valor que era medido para a velocidade da luz* obtendo a evideˆncia sobre a natureza da luz em termos do eletromagnetismo. Calcule c, como fez Maxwell**. * A melhor medida da e´poca foi obtida por Fizeau em 1849 z, utilizando um espelho, um vidro e uma roda dentada separados da fonte luminosa em lugares altos afastados de pouco mais de 8,5km, em um experimento feito (do artigo z– pag.92) entre os bairros Suresnes e Montmartre em Paris [link do google desses bairros de hoje z]. O valor medido por ele esta´ dentro de uma faixa de 5% do valor hoje aceito. ** A u´ltima passagem que deu forc¸a a seu trabalho que daria origem as telecomunicac¸o˜es em dois passos: 15 anos depois com experimentos de Hertz e em 30 anos (virada do se´culo) com o tele´grafo de Marconi que levou os ex- perimentos de Hertz adiante compondo o sistema de co- municac¸a˜o. 26. Em 2016 o planeta mais pro´ximo e semelhante a terra foi identificado. Localizado orbitando a estrela pro´xima- B (constelac¸a˜o de Centauro) que esta´ a 4,2 anos-luz da terra (1 ano-luz = distaˆncia percorrida pela luz em 1 ano terrestre). a) Calcule a distaˆncia em km entre a terra e a estrela. b) As sonda espaciais Voyager 1 e 2 sa˜o o aparelhos cons- tru´ıdos pelos seres humanos que esta˜o mais longe da terra. Nesse site da Nasa z a distaˆncia entre ela e a terra e´ oferecida em tempo real. No momento desta lista Voyager 1 (lanc¸ada em setembro de 1977) esta´ a 20.861.283.488 km da Terra, ja´ no espac¸o interes- telar (saiu de nosso sistema solar). Calcule quanto tempo levaria para uma sonda com a mesma veloci- dade de deslocamento levaria para chegar ao planeta na pro´xima-B. Obs: sobre ir longe no espac¸o, por exemplo a outras gala´xias, ha´ uma exposic¸a˜o muito interessante do f´ısico Neil deGrasse Tyson z(leg. port.), que vai pra ale´m de se falar sobre ir...
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