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www.profafguimaraes.net 1 Prof. A.F.Guimarães Física 1 – Questões 14 Questão 1 Considere as forças: 1 F i j= + � ; 2 F i j= − + � ; 3 2 3F i j= − � . A força 1 F � está aplicada no ponto (0,0), a força 2 F � está aplicada no ponto (0,2) e o ponto de aplicação da força 3 F � é o ponto de coordenadas x = y = 1. Determine a força 4 F � necessária para que o sistema permaneça em equilíbrio estático. Resolução: Considere o diagrama abaixo. Para o equilíbrio estático temos: FR = 0 e ℑR = 0. Assim: 4 4 4 4 4 2 0 2. 3 0 1. 2 . Rx x x Ry y y F i i i F i F F j j j F j F F i j = − + + = ⇒ = − = + − + = ⇒ = ∴ = − + � Assumindo como referência para o torque resultante a origem do sistema de coordenadas (0,0), teremos: Para o eixo x (componentes perpendiculares ao eixo x): 3 3 4 4 4 4 0 3 1 1 0 3.y yF x F x x x⋅ + ⋅ = ⇒ − ⋅ + ⋅ = ∴ = E para o eixo y (componentes perpendiculares ao eixo y): 3 3 2 2 4 4 4 4 0 2 1 1 2 2 0 0.x x xF y F y F y y y⋅ + ⋅ + ⋅ = ⇒ ⋅ − ⋅ − ⋅ = ∴ = Lembrando que, os torques envolvidos nesse cálculo são perpendiculares ao plano do diagrama (direção do eixo z). 1 1 0 2 1 F � 2 F � 3 F � www.profafguimaraes.net 2 Questão 2 Uma esfera de peso w está em repouso, presa entre dois planos inclinados de ângulos θ1 e θ2 (ver figura ao lado) (a) Suponha que não haja atrito e determine as forças (sentidos e módulo) que os planos exercem sobre a esfera. (b) Que mudança haveria, em princípio, se o atrito fosse levado em consideração? Resolução: a) Considere o diagrama de forças a seguir: Assim, teremos: 1 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2 ; ;x y x yF F sen F Fcos F F sen e F F cosθ θ θ θ= = = = E do diagrama podemos concluir para a direção do eixo “x”: 1 1 1 2 1 1 2 2 2 2 .x x F sen F F F sen F sen F sen θ θ θ θ = ⇒ = ⇒ = E para o eixo “y”, utilizando o resultado para a direção do eixo “x”, teremos: ( ) 1 2 1 1 2 2 2 1 1 1 2 2 1 2 1 . y yF w F Fcos w F cos cos sen F cos w sen w sen F sen θ θ θ θ θ θ θ θ θ = + ⇒ = + ⋅ − = ⋅ ∴ = − Logo, ( ) 1 2 2 1 . w sen F sen θ θ θ ⋅ = − Questão 3 Duas esferas lisas, idênticas e uniformes, cada uma de peso W, repousam, como mostra a figura ao lado, no fundo de um recipiente retangular, fixo. Determine, em temos de W, as forças atuantes sobre as esferas (a) pelas superfícies do recipiente e (b) por uma sobre a outra se a linha que une os centros das esferas forma um ângulo de 450 com a horizontal. 1 θ 2 θ 1 θ 2 θ ∙ ∙ 2 F � 1 F � w � F2x F2y F1x F1y 2 θ 1 θ www.profafguimaraes.net 3 Resolução: Considere o diagrama de forças abaixo. Para o equilíbrio da esfera inferior, teremos: 4 4 1 4 2 4 2 2 . 2 2 y x F F F W F W e F F= + = + = = E para o equilíbrio da esfera superior, teremos: 4 4 4 3 4 3 2 2 . 2 y x F F W F W e F F F W= = ⇒ = = ⇒ = Logo, podemos concluir: 1 2 2 .F W W W e F W= + = = Questão 4 Uma barra não uniforme de peso W está suspensa, em repouso, na posição horizontal, por duas cordas leves como indica a figura ao lado, o ângulo que uma das cordas forma com a vertical é 040θ = e o que a outra corda forma com a vertical é 500. Se o comprimento L da barra é de 6,2 m, calcule a distância x de sua extremidade esquerda ao centro de gravidade. Resolução: Considere o seguinte diagrama de forças. Do diagrama temos para a direção “x”: 0 0 1 2 1 2 2 1 40 50 0,83 .x xF F F sen F sen F F= ⇒ = ⇒ = W � W � 2 F � 3 F � 1 F � 4 F � 4 F− � 45 0 45 0 W � x L θ φ W � x L θ φ 1 F � 1yF 1xF 2 F � 2 yF 2xF www.profafguimaraes.net 4 Agora para a direção “y”: 0 0 1 2 1 2 1 1 1 2 40 50 0,77 0,83 0,64 ; 0,64 . 1,3 y yF F W Fcos F cos W F F W W F F W + = ⇒ + = ⋅ + ⋅ ⋅ = = = Tomando a extremidade esquerda como ponto de referência para o torque, teremos: 0 2 0,64 50 0,41 2,5 . yW x F L W x Wcos x L x m ⋅ = ⋅ ⇒ ⋅ = ⇒ =/ / ∴ ≅ Questão 5 Em um disco uniforme de raio R, faz-se uma seção circular de raio r, cujo centro está à distância R/2 do centro do disco original. Localize o centro de gravidade do corpo resultante. Resolução: Para um disco uniforme, de massa M, o centro de massa (centro de gravidade, considerando a gravidade uniforme) será exatamente no centro do disco. Mas podemos imaginar o disco como sendo formado pela junção de dois corpos, conforme indica a figura 1 abaixo. Sendo que o primeiro corpo possui massa M – m e um orifício de raio r. O segundo corpo possui massa m e raio r. Juntando esses dois corpos teremos novamente um disco de raio R e massa M com centro de gravidade (massa) exatamente no centro. Para tanto, vamos considerar como coordenada do centro de gravidade do disco, xcm = 0. Logo teremos: Figura 1 Figura 2 O centro de gravidade do corpo resultante é mostrado na figura 2 acima. + x´cm 0 R/2 r x´cm R x´cm supostamente R ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 2 0 ; 4 4 0 1 2 . 2 cm cm cm RM m x m M m r M R r r x R R Rr x R r π π ′− + = = ⋅ ′= − + −′∴ = − www.profafguimaraes.net 5 Questão 6 Uma viga transportada por três homens, um deles segurando-a em uma extremidade e os outros dois suportando-a por uma peça transversal colocada de modo que a carga esteja dividida entre as três pessoas. Determine em que ponto a peça transversal deve ser colocada. Despreze a massa da peça. Resolução: Considere o diagrama de forças abaixo. Para manter a viga em equilíbrio estático na posição horizontal, teremos: 3 . 2 W F W F= ⇒ = E ( ) 32 . 2 4 4 L L F L x W L x L x− = ⋅ ⇒ − = ∴ = Questão 7 Que força F, aplicada horizontalmente no eixo da roda, é necessária para que a roda suba um degrau de altura h? Sendo W o peso da roda e r o seu raio. Ver figura ao lado. Resolução: Considere o diagrama a seguir. Do diagrama podemos concluir: L W � F � F � F � x h F � W � r h F � W � 1 N � 2 N � r h− r α α www.profafguimaraes.net 6 ( )2h r hr h sen cos r r α α −− = ⇒ = Na iminência da subida da roda, temos 2 0N → . Assim: 1 1 1 .y Wr W N N sen N r h α= = ⇒ = − E ( ) 1 1 1 2 xN F N cos F W h r h F r h α= ⇒ = − ∴ = − Questão 8 Uma régua está apoiada sobre uma parede vertical sem atrito. A outra extremidade da régua está apoiada sobre um piso horizontal. O coeficiente de atrito estático entre a régua e o piso vale 0,5. Calcule o maior ângulo que a régua podefazer com a parede sem que ocorra o escorregamento da régua. Resolução: Considere o diagrama de forças esquematizado abaixo: Vamos admitir que a régua seja homogênea. Assim, seu centro de gravidade será exatamente na metade de seu comprimento (L/2). Logo, para que ela permaneça em equilíbrio estático, teremos: 0,5 . N V At N V V F W e F F F F F Wµ = = ⋅ = ⇒ = Agora calculando os torques com relação ao ponto de apoio com o chão, teremos: 2 0,5 2 , . 2 4 V L W sen F Lcos sen Wcos W sen cos para θ θ θ θ π π θ θ θ θ ⋅ ⋅ = ⇒ = ⋅ ∴ = < ⇒ = VF � W � NF � AtF � θ L www.profafguimaraes.net 7 Questão 9 Um engradado com a forma de um cubo de 1,4 m contém uma peça de mecanismo cujo traçado é tal que o centro de gravidade do engradado mais o seu conteúdo está localizado a 0,4 m acima de seu centro geométrico. (a) Determine o ângulo máximo que uma rampa poderá fazer com a horizontal se o engradado deslizar para baixo sobre ela sem se virar. (b) Para este ângulo, determine o valor máximo para o coeficiente de atrito estático entre o engradado e a rampa que permite o deslizamento do mesmo. Resolução: Observe o diagrama de forças abaixo: Para que o engradado não vire, temos que o torque de Wx seja anulado pelo torque de Wy, com relação ao ponto mais inferior do engradado. Nessa situação, FN → 0. Logo teremos: 0 1,1 0,7 0,7 32, 47 1,1 W sen W cos tan θ θ θ θ ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ ∴ = ⇒ ≅ Nesse caso, para o engradado deslizar, teremos: ; 0,64. X At N NW F W sen F F W cos sen cos tan θ µ θ θ µ θ µ θ > ⇒ ⋅ > ⋅ = ⋅ > ⋅ ∴ < ≅ Questão 10 O sistema ilustrado pela figura ao lado está em equilíbrio. O corpo que pende da extremidade da escora S tem massa igual a 460 kg e a própria escora tem massa igual a 90 kg. Determine: (a) a tração T no cabo (b) a força exercida sobre a escora pelo pivô P. Resolução: Considere o diagrama de forças: Para o equilíbrio estático, teremos: 0,3m 1,4m θ W � yW � xW � NF � AtF � 30 0 45 0 S T P 30 0 45 0 S T P Ty Tx FH FV WS WC www.profafguimaraes.net 8 0 0 30 882 4508 30 . y C S V V H x H T W W F Tsen F F T F Tcos + + = ⇒ + + = = ⇒ = (10.1) E tomando o torque com relação ao pivô, teremos: 0 0 0 0 0 0 45 45 45 45 2 441 4508 30 30 13375,7 . S C y x L W cos W L cos T L cos T L sen Tsen Tcos T N ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ + + = ∴ = Onde L é o comprimento da escora S. Agora utilizando as relações (10.1), teremos: 12077,9 11583,7 .V HF N e F N= = Questão 11 Uma escada de 40 kg e de comprimento igual a 8 m repousa no solo e sobre um rolamento (não mostrado), sem atrito, no topo de um muro de altura h = 3 m (veja figura ao lado). O centro de gravidade da escada coincide com o seu centro. Ela permanece em equilíbrio para qualquer valor do ângulo θ ≥ 700, mas escorrega se θ < 700. (a) Desenhe um diagrama que mostre todas as forças que atuam na escada. (b) Ache o coeficiente de atrito entre a prancha e o solo. Resolução: a) Seja o diagrama abaixo: Como a escada tangencia o rolamento, a força FN2 será perpendicular à escada. b) Para o ângulo igual a 700, teremos: 0 1 2 1 2 0 2 1 2 70 0,34 392 70 0,94. N N N N At N N N F F cos W F F F F sen F Fµ + ⋅ = ⇒ + = = ⋅ ⇒ ⋅ = ⋅ (11.1) Agora, tomando o torque com relação ao ponto de apoio no chão, teremos: 0 2 2 0 2 3 392 3,2 392 1,37; 4 70 70 168 . N N N F H x F H e x cos sen F N ⋅ = ⋅ ⇒ ⋅ = ⋅ = = ⋅ ≅ L θ h θ 2NF � W � 1NF � AtF � www.profafguimaraes.net 9 Agora utilizando as relações (11.1), teremos: 1 1 1 2 0,34 168 392 334,9 0,94 334,9 157,9 0,47. N N N N F F N F Fµ µ µ + ⋅ = ⇒ = ⋅ = ⋅ ⇒ ⋅ = ∴ ≅ Questão 12 Uma esfera homogênea de raio r e peso W escorrega sobre o assoalho, sob a ação de uma força horizontal constante, P, aplicada como se mostra na figura ao lado. (a) Mostrar que, sendo μ o coeficiente de atrito entre a esfera e o assoalho, a altura h é dada por ( )1 Wh r Pµ= − . (b) Mostrar que a esfera não está em equilíbrio de translação nessas circunstâncias. Há algum ponto em torno do qual a esfera esteja em equilíbrio rotacional? (c) A esfera pode estar em equilíbrio tanto rotacional como translacional, mediante uma escolha diferente de h? E variando a direção de P? Explique. Resolução: Observemos o diagrama de forças na esfera: Teremos: NW F= , pois não se espera nenhuma componente da aceleração na vertical. Agora, para o equilíbrio de rotação, o torque resultante com relação ao centro da esfera deve ser nulo, então: ( ) ( ) 1 At N f r P r h F r P r h P h P r Wr W h r P µ µ µ ⋅ = ⋅ − ⋅ ⋅ = ⋅ − ⋅ = ⋅ − ∴ = − Agora, para que ocorra o equilíbrio de translação na horizontal, devemos ter: Atf P= , mas se isso ocorresse, não teríamos como ter o equilíbrio de rotação dado acima. Com isso, só poderemos ter o equilíbrio de translação na horizontal com o equilíbrio de rotação se h = 0, e nesse caso, as forças estariam atuando na mesma linha de ação. Mesmo que fosse mantido o h, e a direção de P fosse alterada, isso também não seria garantia de obter os dois equilíbrios simultaneamente. P � h P � h W � Atf � NF � www.profafguimaraes.net 10 Questão 13 Na escada da figura ao lado, as pernas AC e CE têm cada uma 2,4 m e estão unidas por dobradiças em C. BD é uma barra que une as duas pernas, tem 0,75 m de comprimento e está a meia altura do solo. Um homem de 72 kg sobe 1,8 m sobre a escada. Supondo que não haja atrito entre o pavimento e a escada, e desprezando o peso desta, determinar: (a) a tração na barra e (b) as forças exercidas na escada pelo pavimento. Resolução: Considere o diagrama de forças que atuam nas pernas AC e CE: Onde não foram representadas as forças em “C”. Do diagrama, podemos encontrar para o ângulo θ os valores de cosseno e seno: 0,75 2 0,31 0,95. 1, 2 cos senθ θ= ≅ ⇒ ≅ Para o equilíbrio estático, teremos, para as forças verticais: 706A EF F W N+ = ≅ (13.1) Agora, tomando o torque com relação ao ponto C, teremos: 2,4 0,6 2,4; .Ay y Ey Ay A Ey EF W F F F cos e F F cosθ θ⋅ = ⋅ + ⋅ = ⋅ = ⋅ (13.2) Os torques referentes às trações nas duas pernas se anulam mutuamente. Assim, utilizando as equações (13.1) e (13.2), teremos: 441,5 264 .A EF N e F N≅ ≅ A B C D E C θ W � AF � EF � T � T � yTyT yW AyF EyF xW AxF ExF xT xT www.profafguimaraes.net 11 Agora, tomando o torque com relação ao ponto “C”, somente para perna AC, teremos: 0,6 1,2 2, 4 164 ; 173 . y y Ay y y W T F T N T T sen T N θ ⋅ + ⋅ = ⋅ = = ⋅ ∴ ≅ Questão 14 Um cubo de densidade uniforme e aresta a é equilibrado sobre uma superfície cilíndrica, de raio r, como mostraa figura ao lado. Mostre que o critério para estabelecer o equilíbrio estável do cubo, supondo que o atrito seja suficiente para evitar o deslizamento, é 2 ar > . Resolução: Vamos supor que o cubo sobre uma inclinação para a direita: Supondo que a força de atrito equilibre a força Wx, o cubo estará em equilíbrio estável se o torque da força Wy, suplantar o torque da força Wx, tomando como referência o ponto P. Assim, teremos: ; 2 2 1 ; 2 . 2 y x y x y x a a W W W W W W cos e W W sen cos sen a tan tan r a r θ θ θ θ θ θ ⋅ > ⋅ ⇒ > = ⋅ = ⋅ > > = ∴ > Questão 15 A energia potencial de uma partícula é dada pela expressão: 3U ay by= − , onde U é dado em J, y é dado em metros, 32a J m−= ⋅ e 11b J m−= ⋅ . Verifique em que pontos a partícula está em equilíbrio. Diga se o equilíbrio é estável, instável ou indiferente. Resolução: Tomando a derivada de U, teremos: 2 6 1 dU y dy = − r a a r a/2 W Wx Wy P θ www.profafguimaraes.net 12 Agora, encontrando o ponto onde a derivada se anula, teremos: 6 6 y = ± Tomando agora a segunda derivada, e analisando o sinal, teremos: 2 2 12 6 12 2 6 0 . 6 6 12 2 6 0 . 6 d U y dy ponto de mínimo equilíbrio estável ponto de máximo equilíbrio instável = = > − − = − < − Questão 16 A energia potencial de uma partícula num campo conservativo é dada por: 2 2 2 2U xy x y z= − − − . Obtenha as expressões dos componentes da força que atua na partícula oriunda da ação do campo sobre a partícula. Resolução: Tomaremos as derivadas parciais com relação às variáveis x, y e z. Quando tomamos a derivada parcial com relação à variável x, por exemplo, as outras variáveis aparecem como constantes. Assim, teremos: ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 . x y z U F y x x y x U F x y y x y U F z x ∂ = − = − + = − ∂ ∂ = − = − + = − ∂ ∂ = − = ∂
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