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www.profafguimaraes.net 1 Prof. A.F.Guimarães Física 2 – Questões 6 Questão 1 Uma onda ultrassônica possui frequência de 30 kHz. Esta onda quando se propaga num determinado meio, possui comprimento de onda igual a 2 dm; ao passar para outro meio, o comprimento de onda torna-se igual a 3 dm. Calcule a velocidade de propagação desta onda ultrassônica: (a) no meio onde λ = 2 dm, (b) no meio onde λ = 3 dm. Resolução: a) 3 1 1 1 1 1 0,2 30 10 6 v v v km s λυ − = ⇒ = ⋅ ⋅ ∴ = ⋅ (1.1) b) 3 1 2 2 0,3 30 10 9v v km s−= ⋅ ⋅ ∴ = ⋅ (1.2) Questão 2 Os morcegos emitem ultrassônicas. O comprimento de onda mínimo, no ar, da onda emitida por um morcego é aproximadamente igual a 0,33 m. Calcule a frequência máxima que pode ser emitida por um morcego. Resolução: 331,3 1003 0,33 v Hzυ λ = = = (2.1) Questão 3 O módulo de elasticidade de um tipo de aço vale 2,4 x 1011 N·m-2. A massa específica deste aço vale ρ0 = 7,8 g·cm-3. Calcule a velocidade de propagação do som neste material. Resolução: 1 2 0 B v ρ = 1 11 2 1 3 2,4 10 5547 7,8 10 v m s− ⋅ = ≅ ⋅ ⋅ (3.1) Questão 4 A velocidade do som em um determinado metal é V. Uma das extremidades de um tubo longo desse metal, de comprimento l, recebe um golpe forte. Uma pessoa, na outra extremidade, ouve dois sons, um oriundo da onda que se propagou através do tubo e o outro, da onda que se propagou no ar. (a) Se v é a velocidade do som no ar, qual o intervalo de tempo t que decorre entre os dois sons? (b) Suponha t = 1,0 s e que o metal seja ferro. Determine o comprimento l. Resolução: a) No metal: m l t V = (4.1) No ar: ar l t v = (4.2) A diferença será: 1 1 m ar ar m t t l V v V v t t t l Vv − = − − ∴ = − = (4.3) b) 5130 331,3 1 354,2 5130 331,3 l l m − = ∴ ≅ ⋅ (4.4) www.profafguimaraes.net 2 Questão 5 No caso particular de um sólido homogêneo, o módulo de elasticidade B é numericamente igual ao módulo de Young Y. (a) Escreva a expressão da velocidade de propagação do som numa barra sólida em função do módulo de Young do material. (b) O módulo de Young do alumínio é dado aproximadamente por: Y = 6,9 x 1010 N·m-2; calcule a velocidade de propagação do som numa barra de alumínio. Supor ρ = 2,6 g·cm-3. Resolução: a) 1 2 0 Y v ρ = (5.1) b) Utilizando a expressão de (5.1), teremos: 1 10 2 1 3 6,9 10 5151,5 2,6 10 v m s− ⋅ = = ⋅ ⋅ (5.2) Questão 6 O número de onda k para a propagação de uma onda sonora na água vale 2 m-1. Seja ym a amplitude da onda de uma partícula no interior da água. Escreva a expressão do deslocamento y para esta onda. Resolução: ( ) ( ) 2 1 ; 2 1450 2900 2 2900 m H O m y y cos kx t kv s y y cos x t ω ω − = − = = ⋅ = ∴ = − (6.1) Questão 7 Seja B = kx – ωt. Considere as seguintes ondas: ( ) ( )1 2 1 3 2; 2 ; 4y sen B y sen B y sen Bϕ ϕ= = − = − . Obtenha a equação da onda resultante da superposição destas três ondas. As unidades são homogêneas e y é dado em centímetros. Considere 1 2 0,4; . 5 π ϕ ϕ= = Resolução: Em Física 2 – 05, página 7, a questão 12 foi resolvida tomando a derivada para determinar a amplitude da onda resultante. Aqui, também poderemos tomar o mesmo caminho. Porém, vamos resolver de uma forma diferente. A resultante será dada por: ( ) ( ) 2 0,4 4 5 y senB sen B sen B sen a b sena cosb senbcos a π = + − + − − = − (7.1) Logo, [ ]2 0,4 0, 4 4 5 5 1 2 0,4 4 5 2 0,4 4 5 y sen B sen Bcos cos B sen sen Bcos cos B sen y cos cos sen B sen sen cos B π π π π = + − + − = + + − + (7.2) A resultante da soma de ondas senoidas será uma senoidal. Logo, teremos: ( )y Acos senB Asen cosB Asen Bφ φ φ= − = − (7.3) Utilizando o resultado de (7.2) em (7.3), temos: 1 2 0,92 4 0,81 6,08 2 0,39 4 0,59 3,14 0, 4 0,92; 0,4 0,39; 0,81 0,59 5 5 Acos Asen cos sen cos e sen φ φ π π = + ⋅ + ⋅ = = ⋅ + ⋅ = ≅ ≅ ≅ ≅ (7.4) E, como ( )2 2 2 2A sen a cos a A+ = , teremos de (7.4): 1 3,14 6,84; 6,84 A senφ −≅ = (7.5) www.profafguimaraes.net 3 Questão 8 Duas ondas produzem variações na pressão, em um certo ponto do espaço, dadas por: ( ) 1 2 2 2 p Psen t p Psen t πυ π υ φ = = − Qual a amplitude da onda resultante neste ponto, para os casos 1 1 0, 6 8 eφ φ φ= = = ? Os valores de φ são dados em radianos. Resolução: Para 0φ = : 1 2 2 2p p Psen tπυ+ = (8.1) Para 1 6 φ = : 1 2 2 2 3 2 2 3 2 3 1 2 2 3 3 p p Psen t Psen t Psen t P sen tcos cos t sen cos Psen t Psen cos t π πυ πυ π πυ πυ π πυ π π πυ πυ + = + − = + − = + − (8.2) Assim, de (8.2) temos: 2 2 3 cos 1,5 ; 2 9 3 3 1,73 4 4 P A P Asen A P A P P φ φ= = = + ⇒ = ≅ (8.3) Para 1 8 φ = : 1 2 2 2 4 2 2 2 4 4 p p Psen t Psen t Psen t P sen tcos cos t sen π πυ πυ π π πυ πυ πυ + = + − = + − 1 2 2 4 4 cos Psen t Psen cos t π π πυ πυ = + − Logo, cos 1,71 ; 0,71 1,85 A P Asen P A P φ φ≅ ≅ ∴ ≅ (8.4) Questão 9 Na figura é mostrado um interferômetro acústico, usado para demonstrar a interferência de ondas sonoras. S é um diafragma que vibra sob a influência de um microfone. O comprimento do caminho SBD pode ser variado, mas a trajetória SAD é fixa. O interferômetro contém ar e verifica- se que a intensidade do som apresenta um valor mínimo de 100 unidades para certa posição de B e cresce continuamente até o valor máximo de 900 unidades para uma segunda posição, a 1,65 cm da primeira. Calcule (a) a frequência do som emitido pela fonte e (b) a relação entre as amplitudes das ondas que chegam ao detector, para cada posição de B. (c) Como é possível que estas ondas tenham amplitudes diferentes, se foram produzidas pela mesma fonte? Resolução: a) Para uma interferência destrutiva temos: 1 2 SBD SAD n λ − = − (9.1) E para uma interferência construtiva temos: SB D SAD nλ′ − = (9.2) Tomando a diferença entre as equações (9.1) e (9.2), teremos para o comprimento de onda: 2 0,0165 0,066 2 m λ λ⋅ = ⇒ = (9.3) A B S D www.profafguimaraes.net 4 Com o resultado de (9.3), poderemos determinar a frequência utilizando a velocidade do som no ar. Assim, teremos: 331,3 0,066 5019 v Hz λυ υ υ = ⇒ = ∴ ≅ (9.4) b) A intensidade da onda também pode ser escrita como: dW v dWdtI A A v dt I v e = = ⋅ ⋅ ∴ = ⋅ (9.5) Em que e é a densidade de energia, A é a área transversal e v a velocidade da onda no meio. No caso, metade da energia é transferida para cada lado. Como será mostrado na questão 10, a intensidadeda onda também depende da amplitude da onda. Assim, para o lado direito (SBD) temos, de (9.5): 2 2 2 0 1 2 2 2 0 22 ; 4 m SBD m SBD W vy e v e A L W y A L π ρ υ π ρ υ = ⋅ =/ / ⋅ ∴ = ⋅ ⋅ (9.6) c) A amplitude depende da densidade de energia. Como o caminho SBD é variável e a densidade de energia depende do comprimento do caminho, observa-se que as amplitudes são diferentes. Questão 10 Mostre que a intensidade de uma onda sonora (a) quando expressa em função da amplitude de pressão, P, é dada por 2 0 2 P I vρ = , onde v é a velocidade da onda e ρ0 é a densidade do ar em condições normais e (b) quando expressa em função da amplitude de deslocamento, ym, é dada por 2 2 0 2 mI vyπ ρ υ= , (c) Admitindo agora que duas ondas sonoras, uma no ar e a outra na água, tem a mesma intensidade, qual é a razão entre as amplitudes de pressão da onda na água e da onda no ar?(d) Se, em vez disso, fossem iguais as amplitudes de pressão, qual seria a razão entre as intensidades das duas ondas? Resolução: a) De (9.5), temos: 3 2 2 0 2 2 0 0 1 1 ; 2 ; 2 m m v y kW W I A t A t P I P k v y v ρ ρ ρ ∂ ∂ ⋅ = = ⋅ ∂ ∂ ∴ = = (10.1) b) De (10.1), temos: 3 2 2 2 20 2 2 2 2 0 ; ; 2 2 2 m m v y k I v k I vy ρ ω ω πυ π ρ υ = = = ∴ = (10.2) c) Para 2ar H O I I= , temos: 2 2 2 2 2 2 22 1 2 2 2 H Oar ar ar H O H O H O H O H O ar ar ar PP v v P v P v ρ ρ ρ ρ = = 2 2 1 3 2 10 1460 57,7 1, 29 340 H O H O ar ar P P P P ⋅ = ∴ ≅ ⋅ (10.3) d) Para 2ar H O P P= , temos: ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 11 222 2 3328,8 ar ar ar H O H O H O H O H Oar H O ar ar I v I v vI I v ρ ρ ρ ρ ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ = = ⋅ (10.4) www.profafguimaraes.net 5 Questão 11 Uma nota cuja frequência é de 400 Hz possui uma intensidade igual a 1,5 μW·m-2. Estime a amplitude das vibrações do ar, causadas por este som. Resolução: Sejam 31,29ar kg mρ −= ⋅ e 1340arv m s −= ⋅ , logo, teremos, de (10.2): 6 2 8 1,5 10 19,7 1,29 340 160000 3,29 10 m m y y m − − ⋅ ≅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ∴ = ⋅ (11.1) Questão 12 Duas fontes de som estão separadas por uma distância d = 8 m. Ambas emitem sons com a mesma amplitude e com a mesma frequência (de 400 Hz), mas estas ondas possuem uma diferença de fase de 1800. Considere a reta mediatriz perpendicular ao segmento que une as duas fontes. Determine os pontos ao longo desta reta para os quais a intensidade do som terá valores mínimos por causa da interferência destrutiva. Resolução: O comprimento de onda para essa frequência vale: 340 400 0,85 v m λυ λ λ = ⇒ = ⋅ ∴ = (12.1) Sabemos que sobre a mediatriz, as ondas devem percorrer a mesma distância para que ocorra uma interferência destrutiva. Logo: 1 2 L L nλ= = (12.2) Onde n é um número inteiro. Assim, para que, 1 2 4L L m= > devemos ter 5n ≥ . Assim sobre a mediatriz, teremos, para n = 5: ( )22 24 5 0,85 1, 44 med med x x m + = ⋅ ∴ = (12.3) Para n = 6: ( )22 24 6 0,85 3,16 med med x x m + = ⋅ ∴ ≅ (12.4) Questão 13 Um certo alto-falante produz um som com uma frequência de 2000 Hz e uma intensidade de 9,6 x 10-4 W·m-2 a uma distância de 6,1 m. Admita que não haja reflexões e que o alto-falante emite igualmente em todas as direções. (a) Qual seria a intensidade a 30 m?(b) Qual é a amplitude de deslocamento a 6,1 m? (c) Qual é a amplitude de pressão a 6,1 m? Resolução: a) Para a intensidade temos: dW dWdtI I A A dt = ⇒ = ⋅ (13.1) Assim, de (13.1), teremos: 2 2 6 30 4 30 5 2 30 4 6,1 4 30 9,6 10 37,21 900 3,97 10 I I I I W m π π − − ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ ∴ = ⋅ ⋅ (13.2) b) Da expressão de (10.2), teremos: 4 2 2 6 7 9,6 10 2 1,29 340 4 10 1,7 10 m m y y m π− − ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ∴ = ⋅ (13.3) c) Da expressão de (10.1), temos: 2 4 2 9,6 10 2 1,29 340 0,92 P P N m − − = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ∴ = ⋅ (13.4) Questão 14 Dois alto-falantes, A e B, emitem sons de frequência 172 Hz uniformemente em todas as www.profafguimaraes.net 6 direções (ondas tridimensionais), no ar a 200C. A potência acústica emitida por A é igual a 8,00 x 10-4 W, e a potência de B é igual a 6,00 x 10-5 W. Os alto-falantes estão vibrando em fase e estão distanciados 7,0 m. Considere um ponto P que está a 4,0 m de A e 3,0 m de B. (a) Qual é a diferença de fase entre as duas ondas que chegam a P? Qual é a intensidade de som em P se (b) B for desligado (A ligado), (c) A for desligado (B ligado) e (d) com A e B ligados? Resolução: A velocidade do som na temperatura de 200 é de 344 m·s-1. Logo o comprimento de onda para essa frequência vale: 344 172 2 v m λυ λ λ = ⇒ = ∴ = (14.1) a) Estando P a 4 m de A, temos: 4 4 2 2 2 AP λ λ = = ⇒ = (14.2) E estando P a 3 m de B, temos: 3 3 1,5 1,5 2 BP λ λ = = ⇒ = (14.3) Tomando a diferença dos resultados de (14.2) e (14.3), teremos: 0,5AP BP λ− = (14.4) Assim, para a diferença de fase vale: 0,5λ π= (14.5) b) A intensidade para A ligado e S2 desligado: ( ) 2 4 6 2 4 8,00 10 3,98 10 4 16 A A A A dW dt I r I W m π π − − − = ⋅ = ≅ ⋅ ⋅ ⋅ (14.6) c) Para S2 ligado e S1 desligado, teremos: ( ) 2 5 7 2 4 6,00 10 5,31 10 4 9 B B B B dW dt I r I W m π π − − − = ⋅ = ≅ ⋅ ⋅ ⋅ (14.7) d) Poderemos determinar a amplitude das duas ondas utilizando a expressão de (10.2) juntamente com os resultados de (14.6) e (14.7). Assim, teremos: 6 2 2 2 7 3,98 10 2 1,29 340 172 1,24 10 mAP mAP y y m π− − ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ (14.8) 7 2 2 2 8 5,31 10 2 1,29 344 172 4,53 10 mBP mBP y y m π− − ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ (14.9) A amplitude resultante em P será: ( ) ( )8 7 8 4,53 10 1 1,24 10 7,87 10 mP mBP mAP mP mP y y cos y y y m π − − − = + = ⋅ ⋅ − + ⋅ ∴ ≅ ⋅ (14.10) Assim, em P teremos uma intensidade dada por: ( )22 8 2 6 2 2 1,29 344 7,87 10 172 1,61 10 P P I I W m π − − − = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ∴ ≅ ⋅ ⋅ (14.11) Questão 15 Uma corda de violino de 31,6 cm, cuja densidade linear é de 0,65 g·m-1 está colocada junto a um alto-falante que é alimentado por um oscilador de áudio de frequência variável. Verifica-se que quando a frequência do oscilador varia continuamente na faixa de 500 a 1500 Hz, a corda oscila apenas nas frequências de 880 Hz a 1320 Hz. Qual é a tensão da corda? www.profafguimaraes.net 7 Resolução: Para as frequências de ressonância na corda temos: 2 n n v l υ = ⋅ (15.1) Assim, utilizando as frequências de oscilação da corda, teremos: 880 55616 63,2 nv nv= ⇒ = (15.2) e 132083424 63,2 n v n v ′ ′= ⇒ = (15.3) Agora, sabendo que n’=n+1 (os dois modos de ressonância devem ser consecutivos), teremos: ( )1 83424 83424 n v nv v + = + = (15.4) Agora substituindo o valor de (15.2) em (15.4), teremos: 1 55616 83424 27808 v v m s− + = ∴ = ⋅ (15.5) Agora que temos a velocidade da onda na corda, poderemos utilizar o valor da densidade linear e determinar a tensão na corda: 2 3 5 27808 0,65 10 5 10 F F N − = ⋅ ∴ = ⋅ (15.6) Questão 16 Um tubo de 1,0 m de comprimento é fechado em um dos extremos. Um arame esticado é colocado junto à extremidade aberta. O comprimento do arame é de 0,30 m e sua massa é de 0,010 kg. Está fixado por ambas as pontas e vibra na sua frequência fundamental. Ele faz com que a coluna de ar no tubo vibre na sua frequência fundamental, por ressonância. Ache (a) a frequência de oscilação da coluna de ar e (b) a tração no arame. Resolução: a) A frequência fundamental do arame é igual à frequência do tubo de ar. E por sua vez, a frequência do tubo vale: 4 1 4 340 4 85 T T T T T T m v Hz λ λ υ υ υ = ⋅ = = ⋅ ⇒ = ∴ = (16.1) b) Com a frequência do tubo, poderemos determinar a velocidade da onda no arame e consequentemente a tração. Logo: 1 2 1 ; 2 0,60 51 ; 0,033 0,033 86 A T A A A A A v l m v m s T m v kg m l T N υ υ λ λ µ − − = = = = = ⋅ = = = ⋅ ≅ (16.2) Questão 17 Duas cordas de piano idênticas têm frequência fundamental de 600 Hz quando mantidas à mesma tensão. Que aumento relativo de tensão de uma das cordas provocará a ocorrência de seis batimentos por segundo quando as cordas vibrarem simultaneamente? Resolução: A diferença de frequência será igual ao número de batimentos por segundo. Assim, teremos: 1 1 600 6 606Hzυ υ′ ′− = ∴ = (17.1) www.profafguimaraes.net 8 A relação de velocidade será dada por: 1 1 1 1 2 600 2 606 600 606 v l v l v v = ⋅ ′ = ⋅ ∴ = ′ (17.2) Assim, podemos determinar a relação de tensão. Assim: 1 2 1 11 2 1 1 600 600 606 606 606 600 T T TT T T µ µ = ⇒ = ′′ ′∴ = (17.3) Para determinar o aumento relativo: 2 1 2 2 1 1 2 1 1 1 1 1 606 1 600 606 600 600 0,02 2% T T T T T T T T − ′− − = = ′− ∴ ≅ = (17.4) Questão 18 Um avião reflete as micro-ondas emitidas por uma fonte distante, da qual ele se aproxima; a velocidade de propagação das micro-ondas é a mesma da luz. Quando as ondas refletidas se superpõem às ondas emitidas pela fonte, produzem-se batimentos cuja frequência é de 990 Hz. Determinar a velocidade com a qual o avião se aproxima da fonte, sabendo que o comprimento das micro-ondas é de 0,10 m. Resolução: A frequência das micro-ondas vale: 8 93 10 3 10 0,1 c Hzυ λ ⋅ = = = ⋅ (18.1) A frequência que chega até o avião devido ao movimento do mesmo é dado por: 9 3 10 10Av Av c v v c υ υ + ′ = = ⋅ + (18.2) O avião por sua vez reflete essas ondas e para o observador o avião passa a ser uma fonte em movimento. Logo: 8 1 ; 3 10 Av Av v c vυ υ ′′ ′≅ + ⋅ ≫ (18.3) Substituindo (18.2) em (18.3), teremos: 2 9 7 3 10 20 3 10 Av Av v vυ′′ − ⋅ = + ⋅ (18.4) A frequência da amplitude dos batimentos é dada por: 2 amp υ υ υ ′′ − = (18.5) Assim, utilizando a expressão de (18.5), teremos: 2 8 10 1 6 10 5,94 10 0 356,4 Av Av Av v v v km h− + ⋅ − ⋅ = ∴ ≅ ⋅ (18.6) Questão 19 Uma fonte sonora se desloca com velocidade u da direita para a esquerda. Um observador, que se move com velocidade u’ da esquerda para a direita, detecta uma frequência υ (em vez da frequência υ0 da fonte). O meio se desloca da esquerda para a direita com velocidade vm. Ache a razão υ/υ0. www.profafguimaraes.net 9 Resolução: Para vm = 0, temos: 0 v u v u υ υ ′+ = − (19.1) Em que v é a velocidade do som no meio. Agora para vm≠0, o som sofre arreste. Logo vsom = v±vm. No caso, vsom = v – vm. Logo: 0 m m v v u v v u υ υ ′− + = − − (19.2)
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