Física 3-03

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 Prof. A.F.Guimarães 
Física 3 – Questões 2 
 Questão 1
 
Calcule o valor do fluxo Ȱா de um campo E 
uniforme, através de uma semiesfera cujo eixo é 
paralelo ao campo. 
Resolução: 
 
 
Para o fluxo teremos: 
 Ȱா ൌ නܧሬԦ ή ݀ܣԦ 
(1.1) 
 
Como o campo elétrico é uniforme, podemos, 
partindo de (1.1), escrever: 
 Ȱா ൌ ܧනܿ݋ݏߠ�݀ܣ 
(1.2) 
 
Em que Ʌ�±�‘�Ÿ‰—Ž‘�‡–”‡�‘�˜‡–‘”�…ƒ’‘�‡Ž±–”‹…‘�‡�‘� ˜‡–‘”� ž”‡ƒ� ‡� …ƒ†ƒ� ’‘–‘� †ƒ� •—’‡”ˆÀ…‹‡Ǥ� �‘� •‡�”‡•‘Ž˜‡”� ƒ� ‹–‡‰”ƒŽǡ� –‡”‡‘•� ƒ� ž”‡ƒ� †ƒ� •—’‡”ˆÀ…‹‡�’”‘Œ‡–ƒ†ƒ�‘�’Žƒ‘�’‡”’‡†‹…—Žƒ”�ƒ‘�˜‡–‘”�…ƒ’‘�‡Ž±–”‹…‘ǡ�Ž‘‰‘ǣ�� Ȱா ൌ ܧߨݎଶ 
(1.3) 
 
Ou seja, o fluxo desse campo elétrico uniforme, 
através de um hemisfério da supracitada 
superfície esférica, é igual ao fluxo desse mesmo 
campo elétrico uniforme através de uma área 
delimitada por uma circunferência, cujo raio é 
igual ao da semiesfera. Sendo a área dessa 
circunferência perpendicular ao referido vetor 
campo elétrico uniforme. 
 
 Questão 2
 
Uma carga puntiforme de ͳǡͲ ൈ ͳͲି଺�ܥ está 
colocada no centro de uma superfície Gaussiana 
cúbica, de aresta igual a 0,5 m. Qual o valor de Ȱா 
para essa superfície? 
Resolução: 
 
 
Segundo a lei de Gauss, temos: 
 Ȱா ൌ රܧሬԦ ή ݀ܣԦ ൌ ்ܳ߳଴ 
(2.1) 
 
Em que ்ܳ é a carga total dentro da superfície 
fechada (superfície Gaussiana). Assim, o fluxo será 
dado por: 
 Ȱா ൌ ͳǡͲ ή ͳͲି଺ͺǡͺͷ ή ͳͲିଵଶ� ׵ Ȱா ൌ ͳǡͳ͵ ή ͳͲହ�ܰ ή ݉ଶ ή ܥିଵ 
(2.2) 
 
 Questão 3
 
Nas vizinhanças da superfície da terrestre 
existe um campo elétrico uniforme cuja 
intensidade depende das condições atmosféricas. 
O módulo deste campo é da ordem de 100 a ͳͷͲ�ܰ ή ܥିଵ. Suponha que o campo elétrico E 
possua um módulo igual a ͳ͵Ͳ�ܰ ή ܥିଵ em todos 
os pontos da superfície terrestre; o vetor E é 
orientado de cima para baixo. Estime o valor da 
carga existente na superfície terrestre. 
Resolução: 
 
Aplicando a lei de Gauss, dada em (2.1), teremos: 
 
 
 
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2 
 රܧሬԦ ή ݀ܣԦ ൌ ்ܳ߳଴ 
(3.1) 
 
Tomando a superfície terrestre como a própria 
superfície gaussiana, e levando em consideração 
que o vetor campo elétrico possui o módulo 
constante e sempre apontando na direção radial, 
para o centro da Terra, então teremos: 
 ܧ ή Ͷߨ்ܴ௘௥௥௔ଶ ൌ ்ܳ߳଴ � ்ܳ ൌ ߳଴ ή ܧ ή Ͷߨ்ܴ௘௥௥௔ଶ ׵ ்ܳ ؆ െͷǡͻʹ ή ͳͲହ�ܥ 
(3.2) 
 
Em que ்ܴ௘௥௥௔ ؆ ͸ǡͶ ή ͳͲ଺�݉. Como o vetor campo 
elétrico aponta para o centro, conclui-se então que 
a carga existente na Terra é negativa. 
 
 Questão 4
 
As componentes do campo elétrico, na figura 
4.1, são ܧ௫ ൌ ܤݔభమ, ܧ௬ ൌ ܧ௭ ൌ Ͳ, onde ܤ ൌ ͺͲͲ�ܰ ή ܥିଵ ή ݉భమ. Calcule: (a) o fluxo Ȱா 
através do cubo da figura, e (b) a carga no seu 
interior. Suponha ܽ ൌ ͳͲ�ܿ݉. 
 
Figura 4.1 
Resolução: 
 
a) Admitindo que o vetor campo elétrico esteja 
orientado no sentido positivo de 0x, teremos: 
 
 
 Ȱா ൌ රܧሬԦ ή ݀ܣԦ ൌ ൤නܧ௫݀ܣ൨௫ୀ௔ ൅ ൤නܧ௫݀ܣ൨௫ୀଶ௔ Ȱா ൌ ൫െξܽ ൅ ξʹܽ൯ͺͲͲܽଶ 
(4.1) 
 
Substituindo o valor de a em (4.1), teremos: 
 ׵ Ȱா ؆ ͳǡͲͷ�ܰ ή ݉ଶ ή ܥିଵ 
(4.2) 
 
b) Utilizando o resultado (4.2), teremos para a 
carga: 
 Ȱா ൌ ܳ߳଴ ׵ ܳ ؆ ͻǡ͵ ή ͳͲିଵଶ�ܥ 
(4.3) 
 
 Questão 5
 
Numa esfera dielétrica oca existe uma 
densidade volumétrica de cargas ߩ constante. O 
raio externo da esfera é igual a b e o raio do 
buraco esférico concêntrico é igual a a, conforme 
indica a figura 5.1. Determine o módulo do campo 
elétrico da esfera para: (a) todos os pontos 
externos à esfera ሺݎ ൒ ܾሻ, (b) todos os pontos da 
parte maciça da esfera, isto é, para ܽ ൑ ݎ ൑ ܾ, para 
todos os pontos situados no interior do buraco, ou 
seja, para ݎ ൑ ܽ. 
 
Figura 5.1 
Resolução: 
a) ݎ ൒ ܾǣ 
Seja uma esfera de raio r (superfície gaussiana) 
que esteja envolvendo a esfera de raio b. Assim, 
podemos escrever: 
 
 
 
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3 
 රܧሬԦ ή ݀ܣԦ ൌ ்ܳ߳଴ Ǣ ��்ܳ ൌ ߩ்ܸ 
(5.1) 
 
Em que ்ܸ é o volume total, dado por: 
 ்ܸ ൌ Ͷ͵ߨ ሺܾଷ െ ܽଷሻ 
(5.2) 
 
Utilizando (5.1) e (5.2), teremos: 
 ܧ ή Ͷߨݎଶ ൌ ߳ߩ଴ ή Ͷ͵ߨ ሺܾଷ െ ܽଷሻ�� ׵ ܧ ൌ ߩሺܾଷ െ ܽଷሻ͵߳଴ݎଶ 
(5.3) 
 
b) ܽ ൑ ݎ ൑ ܾ: 
O procedimento é semelhante, porém, não 
tomaremos o volume total. Assim, o volume será 
dado por: 
 ܸ ൌ Ͷ͵ߨ ሺݎଷ െ ܽଷሻ 
(5.4) 
 
Assim, utilizando (5.1) e (5.4), teremos: 
 ܧ ൌ ߩሺݎଷ െ ܽଷሻ͵߳଴ݎଶ 
(5.5) 
 
c) ݎ ൏ ܽ: 
Como a carga nesta região é nula, o fluxo também 
será nulo. Portanto: 
 ܧ ൌ Ͳ 
(5.6) 
 
 Questão 6
 
Duas cascas esféricas, finas, esféricas e 
concêntricas, de raios a e b (b > a), estão 
carregadas, respectivamente, com as cargas ݍ௔ e ݍ௕. Obtenha, a partir da Lei de Gauss, a 
intensidade do campo elétrico a uma distância r 
do centro do sistema, para (a) r < a. (b) a < r < b, e 
(c) r > b. (d) Como está distribuída a carga de cada 
casca esférica, entre suas superfícies interna e 
externa? 
Resolução: 
A figura abaixo representa a configuração do 
nosso problema. 
 
 
a) Para ݎ ൏ ܽ: 
Dentro da casca menor não existe destruição de 
carga elétrica, logo, o fluxo é nulo. Assim, teremos: 
 ܧ ൌ Ͳ 
(6.1) 
 
b) Para ܽ ൏ ݎ ൏ ܾ: 
 
Utilizando a lei de Gauss, teremos: 
 රܧሬԦ ή ݀ܣԦ ൌ ݍ௔߳଴ � ׵ ܧ ൌ ͳͶߨ߳଴ ή ݍ௔ݎଶ 
(6.2) 
 
c) Para ݎ ൐ ܾ: 
 
Novamente, utilizando a lei de Gauss, teremos: 
 රܧሬԦ ή ݀ܣԦ ൌ ݍ௔ ൅ ݍ௕߳଴ �� ׵ ܧ ൌ ͳͶߨ߳଴ ή ݍ௔ ൅ ݍ௕ݎଶ 
(6.3) 
 
d) Observamos que a distribuição de cargas será 
da seguinte forma: Na casca de raio a, a carga qa 
será distribuída uniformemente ao longo da 
superfície externa da mesma. Na casca de raio b, 
teremos uma distribuição de carga –qa na 
superfície interna e uma carga qa + qb na 
superfície externa. 
 
 
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 Questão 7
 
Uma esfera não condutora, de raio a, é colocada 
no centro de uma casca esférica condutora, de raio 
interno b e raio externo c, como mostra a figura 
7.1. Uma carga +Q está distribuída uniformemente 
através da esfera interior (densidade ɏ, C൉m-3). A 
casca externa tem carga –Q. Calcule E(r), (a) 
dentro da esfera (r < a), (b) entre a esfera e a 
casca (a < r < b), (c) dentro da casca (b < r < c), (d) 
fora da casca (r > c). (e) Quais são as cargas que 
surgem nas superfícies interna e externa da casca? 
 
 
 
Figura 7.1 
Resolução: 
a) Para ݎ ൏ ܽ: 
 
Utilizando a lei de Gauss, teremos: 
 රܧሬԦ ή ݀ܣԦ ൌ ߳ݍ଴ Ǣ ��ݍ ൌ Ͷߨߩ͵ ή ݎଷ�� ׵ ܧ ൌ ߩݎ͵߳଴ 
(7.1) 
 
b) Para ܽ ൏ ݎ ൏ ܾ: 
 
Novamente utilizando a lei de Gauss, temos: 
 රܧሬԦ ή ݀ܣԦ ൌ ܳ߳଴ ׵ ܧ ൌ ͳͶߨ߳଴ ή ܳݎଶ 
(7.2) 
 
c) Para ܾ ൏ ݎ ൏ ܿ: 
A superfície interna da casca terá uma 
distribuição de carga negativa. Logo, teremos um 
campo nulo na casca. 
d) No lado externo, o campo será nulo, pois a 
carga total será nula. 
e) Na superfície externa da casca a carga será 
nula. 
 
 Questão 8
 
A região esférica ܽ ൏ ݎ ൏ ܾ possui uma 
densidade de carga, por unidade de volume, dada 
por ߩ ൌ ஺௥ , onde A é uma constante. No centro (r = 
0) existe uma carga puntiforme Q. Qual deve ser o 
valor de A para que o campo elétrico na região ܽ ൏ ݎ ൏ ܾ tenha intensidade constante? 
Resolução: 
O problema se assemelha à questão anterior 
(figura 7.1), com a diferença de ser uma carga 
puntiforme no interior da casca. O campo elétrico, 
na região indicada, fornecido pela carga 
puntiforme é dado por: 
 ܧଵ ൌ ͳͶߨ߳଴ ή ܳݎଶ 
(8.1) 
 
Existe também nesta região, o campo produzido 
pela distribuição de carga pela casca. Utilizando a 
densidade, a expressão da carga presente na 
casca, desde a até r será dada por: 
 ݍ ൌ න ܣͶߨݎƴ ଶݎƴ ݀ݎƴ௥௔ �� ׵ ݍ ൌ ʹߨܣሺݎଶ െ ܽଶሻ 
(8.2) 
 
Em que ܸ݀ ൌ Ͷߨݎଶ݀ݎ. Assim, utilizando a lei de 
Gauss, e (8.2), temos a contribuiçãodessa carga, 
para o campo elétrico, dada por: 
 රܧሬԦ ή ݀ܣԦ ൌ ߳ݍ଴ ׵ ܧଶ ൌ ܣሺݎଶ െ ܽଶሻʹ߳଴ 
(8.3) 
 
Assim, na região indicada, o campo elétrico 
resultante, vale: 
 ܧோ ൌ ͳʹ߳଴ݎଶ ቆ ܳʹߨ ൅ ܣሺݎଶ െ ܽଶሻቇ 
(8.4) 
 
 
 
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Logo, para o campo tenha sua intensidade 
constante, temos que impor: 
 ݀ܧோ݀ݎ ൌ Ͳ 
(8.5) 
 
Assim, temos: 
 ݀ܧோ݀ݎ ൌ െͳʹߨ߳଴ ή ܳݎଷ ൅ ܣܽଶ߳଴ݎଷ 
(8.6) 
 
Utilizando (8.5)em (8.6), teremos: 
 ܣ ൌ ܳʹߨܽଶ 
(8.7) 
 Questão 9
 
Uma esfera isolante maciça possui uma 
densidade de carga, por unidade de volume, 
uniforme ɏ. Seja ݎԦ o vetor que liga o centro da 
esfera até um ponto qualquer P no seu interior. (a) 
Mostrar que o campo elétrico em P é dado por: 
 ܧሬԦ ൌ ߩݎԦ͵߳଴ 
 
(b) Uma cavidade esférica é produzida na esfera, 
como mostra a figura 9.1. Usando conceitos de 
superposição, mostrar que o campo elétrico em 
todos os pontos no interior da cavidade é dado 
por: ܧሬԦ ൌ ߩ Ԧܽ͵߳଴ 
 
(campo uniforme), onde Ԧܽ é o vetor que une o 
centro da esfera ao centro da cavidade. Notar que 
ambos os resultados são independentes dos raios 
da esfera e da cavidade. 
 
 
Figura 9.1 
 
Resolução: 
a) Seja uma carga positiva na esfera. Utilizando a 
lei de Gauss, temos: 
 රܧሬԦ ή ݀ܣԦ ൌ ߳ݍ଴ � Ǣ ��ݍ ൌ ߩܸ ൌ Ͷߨߩ͵ ή ݎଷ ܧ ൌ ߩݎ͵߳଴ ׵ ܧሬԦ ൌ ߩݎԦ͵߳଴ 
(9.1) 
 
Pois o vetor campo elétrico estará orientado na 
direção radial ሺݎԦሻ e apontando para fora da esfera 
(q > 0). 
 
b) Para simular uma cavidade esférica, podemos 
tomar uma esfera com o mesmo raio da cavidade e 
com a mesma densidade de carga da esfera maior, 
porém com carga de sinal oposto, ou seja, 
negativa. Assim, teremos para o vetor campo 
elétrico resultante: 
 ܧሬԦோ ൌ ͵߳ߩ଴ ൫ݎԦ െ ݎƴԦ൯ 
(9.2) 
 
Em que ݎƴԦ é o raio vetor da cavidade. Sejam as duas 
superfícies gaussianas representadas na figura 
9.2. 
 
Figura 9.2 
 
Da figura, podemos concluir que: 
 ݎԦ െ ݎƴԦ ൌ Ԧܽ 
(9.3) 
 
Logo, de (9.2), teremos: 
 ܧሬԦோ ൌ ߩ Ԧܽ͵߳଴ 
(9.4) 
 
 
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 Questão 10
 
Uma distribuição de cargas esfericamente 
simétrica porém não uniforme possui uma 
densidade ߩሺݎሻ dada por: 
 ߩሺݎሻ ൌ ൝ߩ଴ ൬ͳ െ Ͷݎ͵ܴ൰ ǡ ݎ ൑ ܴǢͲǡ ݎ ൒ ܴ 
 
Onde ߩ଴ é uma constante positiva. a) Calcule a 
carga total contida na distribuição de cargas. b) 
Obtenha uma expressão para o campo elétrico na 
região ݎ ൒ ܴ. c) Determine uma expressão para o 
campo elétrico na região ݎ ൑ ܴ. d) Faça um gráfico 
do módulo do campo elétrico E em função da 
distância r. e) Encontre o ponto r para o qual o 
campo elétrico atinge seu valor máximo e calcule 
o valor desse campo elétrico máximo. 
Resolução: 
a) A carga total será dada por: 
 ்ܳ ൌ න ߩܸ݀ோ଴ 
(10.1) 
 
Em que ܸ݀ ൌ Ͷߨݎଶ݀ݎ. Substituindo em (10.1), 
teremos: 
 ்ܳ ൌ Ͷߨߩ଴න ቆݎଶ െ Ͷݎଷ͵ܴ ቇோ଴ ݀ݎ�� ்ܳ ൌ Ͷߨߩ଴ ቈݎଷ͵ െ Ͷݎସͳʹܴ቉଴ோ ׵ ்ܳ ൌ Ͳ 
(10.2) 
 
b) Utilizando a lei de Gauss, e o resultado de 
(10.2), teremos, para ݎ ൒ ܴ: 
 රܧሬԦ ή ݀ܣԦ ൌ ்ܳ߳଴ ൌ Ͳ ׵ ܧ ൌ Ͳ 
(10.3) 
 
c) Para ݎ ൑ ܴ, teremos para a carga: 
 ݍ ൌ Ͷߨߩ଴න ቆݎƴ ଶ െ Ͷݎƴ ଷ͵ܴ ቇ݀ݎƴ௥଴ � 
�ݍ ൌ Ͷߨߩ଴ ቈݎƴ ଷ͵ െ ݎƴ ସ͵ܴ቉଴௥ ׵ ݍ ൌ Ͷߨߩ଴͵ ቆݎଷ െ ݎସܴቇ 
(10.4) 
 
Agora, utilizando a lei de Gauss, e (10.4), teremos: 
 රܧሬԦ ή ݀ܣԦ ൌ ߳ݍ଴ � ׵ ܧ ൌ ߩ଴͵߳଴ ቆݎ െ ݎଶܴቇ 
(10.5) 
 
d) A função de (10.5) é uma função do segundo 
grau, logo o gráfico deve ser uma parábola com a 
concavidade para baixo. A figura 10.1 representa o 
gráfico do campo elétrico. 
 
Figura 10.1 
 
e) Observando a figura 10.1, pode-se concluir que 
o campo elétrico assume seu valor máximo em ݎ ൌ ோଶ. Analiticamente, temos: 
 ݀ܧ݀ݎ ൌ ߩ଴͵߳଴ ൬ͳ െ ʹܴݎ൰ Ǣ�݀ܧ݀ݎ ൌ Ͳ�� ׵ ݎ ൌ ܴʹ 
(10.6) 
 
Agora, substituindo o resultado de (10.6) em 
(10.5), teremos o campo máximo: 
 ܧ௠ž௫ ൌ ܴߩ଴͸߳଴ 
(10.7) 
 
 
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7 
 Questão 11
 
Uma região do espaço contém uma carga 
positiva Q que está distribuída uniformemente ao 
longo de uma esfera de tal modo que a densidade 
volumétrica de carga ߩሺݎሻ é dada por: 
 
ߩሺݎሻ ൌ ۖەۖ۔
ۓ ߙǡ ݎ ൑ ܴʹʹߙ ቀͳ െ ܴݎቁ ǡ ܴʹ ൑ ݎ ൑ ܴͲǡ ݎ ൒ ܴ� 
 
Nessas relações ߙ é uma constante positiva com 
unidade de ܥ ή ݉ିଷ. A) Determine ߙ em função de 
Q e de R. B) Aplicando a lei de Gauss, deduza uma 
expressão para o módulo do campo elétrico ܧሬԦ em 
função da distância r. Faça esse cálculo 
separadamente para cada uma das três regiões. 
Expresse suas respostas em termos da carga total 
Q. Verifique cuidadosamente se seus resultados 
coincidem quanto às fronteiras entre as três 
regiões. C) Que fração da carga total está contida 
no interior da região ݎ ൑ ோଶ? D) Se um elétron com 
carga q = –e está oscilando em torno do ponto r = 
0 (o centro da distribuição) com amplitude menor 
do que 
ோଶ, mostre que esse movimento é 
harmônico simples. E) Qual é o período do 
movimento da parte D? F) Se a amplitude do 
movimento descrito na parte E é maior do 
ோଶ, o 
movimento resultante é harmônico simples? Por 
quê? 
Resolução: 
a) Para a carga total temos: 
 ܳ ൌ න ߩܸ݀ோ଴ 
(11.1) 
 
Substituindo a expressão da densidade de carga 
na expressão (11.1), teremos: 
 ܳ ൌ Ͷߨߙන ݎଶ݀ݎೃమ଴ ൅ ͺߨߙන ቆݎଶ െ ݎଷܴቇோೃమ ݀ݎ 
(11.2) 
 
Integrando a expressão (11.2) e resolvendo para ߙ, teremos: 
 ߙ ൌ ͺܳͷߨܴଷ 
(11.3) 
 
b) Para ݎ ൑ ோଶ, temos, utilizando (11.3): 
 ݍଵ ൌ Ͷߨߙන ݎଶ݀ݎோଶ଴ �� ׵ ݍଵ ൌ ͵ʹܳͳͷ ή ቀܴݎቁଷ 
(11.4) 
 
Agora utilizando a lei de Gauss e a expressão 
(11.4), teremos: 
 රܧሬԦ ή ݀ܣԦ ൌ ݍଵ߳଴ �� ׵ ܧ ൌ ͳͶߨ߳଴ ή ͵ʹܳͳͷ ή ܴݎଷ 
(11.5) 
 
Para 
ோଶ ൑ ݎ ൑ ܴ, temos, utilizando (11.3) e (11.4): 
 ݍଶ ൌ ݍଵȁ௥ୀோଶ ൅ ͺߨߙන ቆݎଶ െ ݎଷܴቇ݀ݎோோଶ �� ׵ ݍଶ ൌ െʹܳ͵Ͳ ൅ ͸Ͷܳݎଷͳͷܴଷ െ ͳ͸ܳݎସͷܴସ 
(11.6) 
 
Agora utilizando a lei de Gauss e a expressão 
(11.6), teremos: 
 රܧሬԦ ή ݀ܣԦ ൌ ݍଶ߳଴ ܧ ൌ ͳͶߨ߳଴ ቆെʹܳ͵Ͳ ൅ ͸Ͷܳݎଷͳͷܴଷ െ ͳ͸ܳݎସͷܴସ ቇ�� ׵ ܧ ൌ ܳ͸Ͳߨ߳଴ ൤͸Ͷ ቀܴݎቁଷ െ Ͷͺ ቀܴݎቁସ െ ͳ൨ 
(11.7) 
 
Para ݎ ൐ ܴ, temos: 
 ܧ ൌ ͳͶߨ߳଴ ή ܳݎଶ 
(11.8) 
 
c) Utilizando a expressão dada por (11.4) para ݎ ൌ ோଶ,temos:
 
 
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8 
 ݍଵܳ ൌ Ͷͳͷ 
(11.9) 
 
d) Para um elétron nessa região temos: 
 ܨ ൌ െ݁ܧ 
(11.10) 
 
Em que E é dado por (11.5). Assim, substituindo 
em (11.10), teremos: 
 ݉௘ ݀ଶݎ݀ݐଶ ൌ െ ݁ܳͳͷߨ߳଴ܴଷ ή ݎ�� ׵ ݀ଶݎ݀ݐଶ ൌ െ ݁݉௘ ή ܳͳͷߨ߳଴ܴଷ ή ݎ 
(11.11) 
 
Em que ݉௘ é a massa do elétron. Observa-se que a 
expressão (11.11) é uma expressão do tipo: 
 ݀ଶݎ݀ݐଶ ൌ െ߱ଶ ή ݎ 
(11.12) 
 
Em que ߱ é uma constante. A expressão (11.12) é 
uma expressão do M.H.S. Logo o elétron executa 
um M.H.S. com frequência angular dada por: 
 ߱ ൌ ൤ ݁݉௘ ή ܳͳͷߨ߳଴ܴଷ൨ଵଶ 
(11.13) 
 
e) Da expressão (11.13), poderemos obter o 
período que será: 
 ܶ ൌ ʹ߱ߨ�� ׵ ܶ ൌ ʹߨ ቈͳͷߨ߳଴ܴଷ݉௘݁ܳ ቉ଵଶ 
(11.14) 
 
f) Para essa região, o elétron não executará um 
M.H.S. Pois não podemos escrever uma expressão 
do tipo dado em (11.12). 
 
 Questão 12
 
Dois cilindros concêntricos carregados têm 
raios de 3,0 cm e 6,0 cm. A carga por unidade de 
comprimento no cilindro interno é de ͷǡͲ ή ͳͲି଺�ܥ ή ݉ିଵ e no cilindro externo é de െ͹ǡͲ ή ͳͲି଺�ܥ ή ݉ିଵ. Determine o campo elétrico 
em (a) ݎ ൌ ͶǡͲ�ܿ݉, (b) ݎ ൌ ͺǡͲ�ܿ݉. 
Resolução: 
a) Tomando uma superfície gaussiana cilíndrica, 
cujo fluxo do campo elétrico se dá somente pela 
área lateral, temos: 
 රܧሬԦ ή ݀ܣԦ ൌ ߳ݍ଴ Ǣ ��ݍ ൌ ߣ ή ݈� ܧ ή ʹߨݎ݈ ൌ ߣ ή ݈߳଴ ׵ ܧ ൌ ͳʹߨ߳଴ ή ߣݎ 
(12.1) 
 
Assim, utilizando o resultado de (12.1) em r = 4,0 
cm, teremos: 
 ܧସ ൌ ͳʹߨ߳଴ ή ͷ ή ͳͲି଺Ͷ ή ͳͲିଶ ׵ ܧସ ؆ ʹǡʹͷ ή ͳͲ଺�ܰ ή ܥିଵ 
(12.2) 
 
b) Utilizando a expressão de (12.1), temos: 
 ܧ ൌ ͳʹߨ߳଴ ή ሺͷ െ ͹ሻͳͲି଺ͺ ή ͳͲିଶ ׵ ܧ ؆ െͶǡͷ ή ͳͲହ�ܰ ή ܥିଵ 
(12.3) 
 
Obs.: O sinal negativo no resultado de (12.3), 
indica que o vetor campo elétrico é radial, 
perpendicularao eixo comum dos dois cilindros e 
aponta para o eixo comum dos cilindros (ou seja, 
para dentro dos cilindros). 
 
 Questão 13
 
Um cilindro infinito de raio R é uniformemente 
carregado com uma densidade volumétrica ߩ. (a) 
Mostre que o valor de E a uma distância r do eixo 
do cilindro é (r < R) 
 ܧ ൌ ߩݎʹ߳଴ 
 
 
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9 
(b) Que resultado você espera para r > R? 
Resolução: 
a) Utilizando a lei de Gauss, para uma superfície 
gaussiana cilíndrica, temos: 
 රܧሬԦ ή ݀ܣԦ ൌ ݍ௥߳଴ Ǣ �ݍ௥ ൌ ߩ ή ߨݎଶ݈� ܧ ή ʹߨݎ݈ ൌ ߩ ή ߨݎଶ݈߳଴ �� ׵ ܧ ൌ ߩݎʹ߳଴ 
(13.1) 
 
 
b) Para ݎ ൒ ܴ, temos: 
 රܧሬԦ ή ݀ܣԦ ൌ ߩߨܴଶ݈߳଴ ׵ ܧ ൌ ߩܴଶʹ߳଴ݎ 
(13.2) 
 
 Questão 14
 
Uma placa quadrada de 8,0 cm de lado tem uma 
carga total de ͸ǡͲ ή ͳͲି଺�ܥ. (a) Estime o campo 
elétrico 0,50 cm acima da superfície da placa e 
perto do seu centro. (b) Estime o campo elétrico a 
uma distância de 3,0 m. 
Resolução: 
a) A figura 14.1, mostra a configuração do nosso 
problema. 
 
 
Figura 14.1 
 
Utilizando a lei de Gauss, temos: 
 රܧሬԦ ή ݀ܣԦ ൌ ߳ݍ଴ Ǣ ��ݍ ൌ ܳܣ ή ܣሖ 
 
 ܧ ή ʹܣሖ ൌ ߪܣሖ߳଴ � ׵ ܧ ൌ ʹ߳ߪ଴ 
(14.1) 
 
Em que ߪ ൌ ொ஺ ൌ ͻǡ͵͹ͷ ή ͳͲିସܥ ή ݉ିଶ. Assim, 
teremos: 
 ܧ ؆ ͷǡ͵ ή ͳͲ଻ܰ ή ܥିଵ 
(14.2) 
 
Obs.: Neste caso, não foi levado em consideração a 
espessura da placa. Se a espessura da placa fosse 
levada em consideração, teríamos que tomar 
metade da carga para cada lado da placa. Porém, o 
resultado seria o mesmo. 
 
b) Tomando uma esfera como superfície 
gaussiana, temos: 
 රܧሬԦ ή ݀ܣԦ ൌ ܳ߳଴ Ǣ �රܧሬԦ ή ݀ܣԦ ؆ ܧ ή Ͷߨݎଶ� ׵ ܧ ൌ ͳͶߨ߳଴ ή ܳݎଶ 
(14.3) 
 
Assim, temos: 
 ܧ ؆ ͸ ή ͳͲଷ�ܰ ή ܥିଵ 
(14.4) 
 
Para esse caso, levamos em consideração que o 
módulo do campo elétrico é constante e sempre 
paralelo ao vetor área. Isso não é exatamente 
verdadeiro. Porém para uma aproximação é 
válido. No final deste conteúdo será apresentado 
um cálculo mais preciso. 
 
 Questão 15
 
Um elétron é projetado com uma energia 
cinética de 100 eV, diretamente sobre uma placa 
cuja densidade superficial de carga é igual a െʹǡͲ ή ͳͲି଺�ܥ ή ݉ିଶ. A partir de que distância deve 
ser projetado o elétron para que consiga atingir a 
placa? 
Resolução: 
 
 
 
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10 
Para este caso, vamos admitir que a placa possua 
espessura. Logo, utilizando a expressão (14.1), 
teremos: 
 ܧ ൌ ʹߪʹ߳଴ ؆ ʹǡʹ͸ ή ͳͲହ�ܰ ή ܥିଵ 
(15.1) 
 
Agora, com o resultado de (15.1) e utilizando o 
trabalho, teremos: 
 ܹ ൌ οܭ ֜ െ݁ܧ݀ ൌ ܭ௙ െ ݇௜ െ݁ ή ʹǡʹ͸ ή ͳͲହ݀ ൌ Ͳ െ ͳͲͲ݁ ׵ ݀ ؆ ͶͶǡʹͷ ή ͳͲିଷ�݉ 
(15.2) 
 
Obs.: Na expressão de (15.1), foi levado em 
consideração que para a densidade é igual nos 
dois lados da placa. 
 
 Questão 16
 
Considere uma partícula de carga q e massa m 
presa à extremidade de um fio isolante de 
comprimento l. A outra extremidade do fio está 
presa ao teto. Suponha que exista nesta região um 
campo elétrico uniforme, na direção vertical, 
produzido por um plano infinito com densidade 
de cargas ߪ, situado no solo. Considere pequenas 
oscilações da partícula em torno da posição de 
equilíbrio; determine o período das oscilações 
deste pêndulo simples. 
Resolução: 
Um plano infinito fornece um campo elétrico dado 
por (14.1). Assim, temos uma força adicional na 
vertical para cima, dada por: 
 ܨ ൌ ݍ ή ʹ߳ߪ଴ 
(16.1) 
 
Utilizando (16.1), a expressão da força resultante 
que atua na carga será: 
 ܨோ ൌ ݉൬݃ െ ݍߪʹ݉߳଴൰ 
(16.2) 
 
A expressão para o período de um pêndulo 
simples é dada por: ܶ ൌ ʹߨ ൤ ݈݃ ൨ଵଶ 
(16.3) 
 
Então, podemos utilizar uma aceleração dada pela 
expressão (16.2), ou seja: 
 ƴ݃ ൌ ݃ െ ݍߪʹ݉߳଴ 
(16.4) 
 
Agora, utilizando (16.4) em (16.3), teremos: 
 ܶ ൌ ʹߨ ቎ ݈݃ െ ݍߪʹ݉߳଴቏
ଵଶ
 
(16.5) 
 
Complemento da questão 14 
 
Determinando o campo elétrico a uma distância 
de 3 m do centro da placa as com o ponto no 
mesmo plano da placa: 
 
 
Utilizando a expressão (8.11) de Física 3-02, 
questão 8, temos: 
 ݀ܧ ൌ ͳʹߨ߳଴ ή ݀ݍݎሺ݈ଶ ൅ Ͷݎଶሻభమ 
(C.1) 
 
Em que ݀ݍ ൌ ߪ݈݀ݎ. Substituindo em (C.1), 
teremos: 
 
 
 
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11 
 ݀ܧ ൌ ͳʹߨ߳଴ ή ߪ݈݀ݎݎሺ݈ଶ ൅ Ͷݎଶሻభమ 
(C.2) 
 
Agora integrando, teremos: 
 ܧ ൌ ߪ݈ʹߨ߳଴න ݀ݎݎሺ݈ଶ ൅ Ͷݎଶሻభమଷା೗మଷି೗మ � ܧ ൌ െ ߪʹߨ߳଴ ቈ݈݊ ቆ݈ ൅ ξ݈ଶ ൅ Ͷݎଶʹݎ ቇ቉ଷି೗మଷା
೗మ
 
(C.3) 
 
Em que ݈ ൌ ͺǡͲ ή ͳͲିଶ�݉ e ߪ ൌ ͻǡ͵͹ͷ ή ͳͲିସܥ ή ݉ିଶ 
Substituindo os valores, teremos: 
 ܧ ؆ ͸ǡ͹ͷ ή ͳͲଷ�ܰ ή ܥିଵ 
(C.4) 
 
Agora, vamos determinar o campo em um ponto 
que esteja a 3 m acima do centro, conforme 
mostra a figura abaixo. 
 
 
A exemplo do procedimento anterior, vamos 
tomar o elemento de campo dado por (C.1). Assim, 
temos: 
 
݀ܧ ൌ ͳʹߨ߳଴ ή ݀ݍݎሺ݈ଶ ൅ Ͷݎଶሻభమ 
(C.5) 
 
Em que ݀ݍ ൌ ߪ݈݀ݔ. Assim, (C.5) fica: 
 ݀ܧ ൌ ߪ݈ʹߨ߳଴ ή ݀ݔݎሺ݈ଶ ൅ Ͷݎଶሻభమ 
(C.6) 
 
Da figura podemos concluir que: 
 ݎଶ ൌ ݔଶ ൅ ݕଶ 
(C.7) 
 
E também, podemos concluir que somente o 
componente perpendicular do campo não será 
nulo. Logo: 
 ݀ܧ௬ ൌ ݀ܧ ή ܿ݋ݏߠ 
(C.8) 
 
Em que ܿ݋ݏߠ ൌ ௭௥. Utilizando (C.6), (C.7) e (C.8), 
teremos: 
 ݀ܧ௬ ൌ ߪ݈ݖͶߨ߳଴ ή ݀ݔሺݔଶ ൅ ݖଶሻට௟మସ ൅ ݔଶ ൅ ݖଶ 
(C.9) 
 
Agora multiplicando (C.9) por 2 e integrando, 
teremos: 
 ܧோ ൌ ʹܧ௬ ൌ ߪ݈ݖʹߨ߳଴න ௗ௫ሺ௫మା௭మሻට೗మర శೣమశ೥మ೗మ଴ � ܧோ ൌ ߪߨ߳଴ ܽݎܿݐ݃ ቌඨ ݈ଶͳ͸ݖଶቍ ή ݈ට݈ଶʹ ൅ ݖଶ 
(C.10) 
 
Utilizando os dados numéricos, teremos para 
(C.10): 
 ܧோ ؆ ͸ǡͳͲͷ ή ͳͲଷ�ܰ ή ܥିଵ 
(C.11) 
 
 
 
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12 
Observa-se que os resultados obtidos em (C.4) e 
(C.11) estão bem próximos daquele obtido em 
(14.4). 
 
Para a solução de (C.3): 
 න ௗ௫௫ξ௫మା௔మ ൌ െଵ௔௟௡ቆ௔ାξ௫మା௔మ௫ ቇ 
 
M. R. Spiegel, Manual de fórmulas 
 e tabelas Matemáticas, p. 67 
1973, McGraw-Hill, Brasil 
 
 
Para a solução de (C.10): 
 න ஺௫ା஻ሺ௣ାோሻξோௗ௫ ൌ ஺௖ூభା ଶ஻௖ି஺௕ඥ௖మ௣ሾ௕మିସሺ௔ା௣ሻ௖ሿூమ ܴ ൌ ܽ ൅ ܾݔ ൅ ܿݔଶ ܫଵ ൌ ͳʹඥെ݌ ݈݊ ቆඥെ݌ െ ξܴඥെ݌ ൅ ξܴቇ Ǣ �݌ ൏ Ͳ ܫଶ ൌ ܽݎܿݐ݃ඨ ݌ܾଶ െ Ͷሺܽ ൅ ݌ሻܿ ή ܾ ൅ ʹܿݔξܴ Ǣ ݌ሼܾଶ െ Ͷሺܽ ൅ ݌ሻܿሽ ൐ Ͳǡ ݌ ൏ Ͳ 
 
I.S. Gradshteyn and I.M. Ryzhik, Table of 
Integrals, Series and Products 
6 edição, p. 101 e 102 
2000, Academic Press