08-Interferência

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 Prof. A.F.Guimarães 
Física 4 – Questões 08 
 Questão 1
Considere a figura de interferência produzida 
pelos raios difratados num dispositivo de fenda 
dupla. Iluminamos as fendas com feixe colimado 
numa direção que forma um ângulo ߙ com a 
direção da normal ao plano das fendas. Obtenha a 
condição para os máximos da figura de 
interferência produzida num anteparo paralelo ao 
plano das fendas. 
Resolução: 
Considere a figura 1.1 abaixo. 
 
Figura 1.1 
Pode-se observar na figura que antes de alcançar 
as fendas, a diferença nos caminhos é dada por: ݀�ݏ݁݊ߙ 
(1.1) 
Após ultrapassar as fendas, a diferença é dada por: ݀�ݏ݁݊�ߠ 
(1.2) 
Assim, tomando a diferença total, teremos: ݀�ݏ݁݊ߙ ൅ ݀�ݏ݁݊�ߠ ൌ ݉ߣ 
(1.3) 
Em que m é um número inteiro para fornecer o 
máximo de interferência. 
 Questão 2
 
Num dispositivo de fenda dupla, as fendas 
estão separadas por uma distância igual a 150 
vezes o comprimento de onda da luz que as 
atravessa. Calcule: (a) A separação angular entre o 
primeiro e o segundo máximos; (b) A distância 
linear entre o primeiro e o segundo máximos, 
supondo que o anteparo se encontre a 50 cm de 
distância das fendas. 
Resolução: 
a) Pode-se encontrar a separação angular 
utilizando a relação (1.2). Assim, teremos: 
 
Para o primeiro máximo: 
 ͳͷͲߣ ή ݏ݁݊�ߠଵ ൌ ͳ ή ߣ� ݏ݁݊�ߠଵ ؆ ͲǡͲͲ͸͹ ׵ ߠଵ ؆ Ͳǡ͵ͺι 
(2.1) 
 
Para o segundo máximo: 
 ͳͷͲߣ ή ݏ݁݊�ߠଶ ൌ ʹ ή ߣ� ݏ݁݊�ߠଶ ؆ ͲǡͲͳ͵Ͷ ׵ ߠଶ ؆ Ͳǡ͹͹ι 
(2.2) 
 
De (2.1) e (2.2), teremos: 
 οߠ ൌ ߠଶ െ ߠଵ ؆ Ͳǡ͵ͻι 
(2.3) 
 
b) Para a determinação da separação linear, 
podemos utilizar a seguinte relação: 
 ݕ௠ ൌ ݉ߣܦ݀ 
(2.4) 
 
Em que ݕ௠ é a distância linear (separação 
referente à ordem m), ܦ é a distância do anteparo 
e ݀ é a separação das fendas. Assim, teremos: 
 
Para o primeiro máximo: 
 
 
 
 
ߙ 
ߙ ߠ ߠ ݀ ݀ݏ݁݊�ߙ ݀ݏ݁݊�ߠ 
 
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2 
ݕଵ ൌ ͷͲߣͳͷͲߣ� ׵ ݕଵ ൌ ͳ͵ ܿ݉ 
(2.5) 
Para o segundo máximo: ݕଶ ൌ ͳͲͲߣͳͷͲߣ� ׵ ݕଶ ൌ ʹ͵ ܿ݉ 
(2.6) 
Logo, de (2.5) e (2.6), teremos: οݕ ൌ ݕଶ െ ݕଵ ൌ ͳ͵ ܿ݉ 
(2.7) 
 Questão 3
Cobrimos uma das fendas da experiência de 
Young com uma placa delgada de vidro de índice 
de refração n e de espessura t. (a) Qual é a 
condição para ocorrer interferência construtiva? 
(b) Calcule a espessura t, sabendo que ݊ ൌ ͳǡͷǢ ݀ ൌ ʹͲͲͲͲՀǡ ߠ ൌ ͵ͲιǢ݉ ൌ ͵Ǣ �ߣ ൌ ͷͲͲͲՀ 
Resolução: 
a) Considere a figura 3.1 a seguir. 
 
Figura 3.1 
Observa-se da figura 3.1 que as duas fendas 
possuem materiais transparentes, a primeira com 
um material de índice ݊ଵ (azul) e a segunda com 
um material de índice ݊ଶ (cinza). Ambas de 
mesma espessura (t). Quando se determina o 
intervalo de tempo para a luz atravessar tais 
materiais, devemos utilizar a seguinte relação: οݐ ൌ ݐݒ௠௘௜௢ � Ǣ ݊ ൌ ܿݒ௠௘௜௢ 
οݐ ൌ ݊ ή ݐܿ 
(3.1) 
 
O termo (݊ ή ݐ) em (3.1), é o caminho óptico 
percorrido pela luz. Devemos determinar a 
diferença de caminho óptico. Logo: 
 ݐሺ݊ଶ െ ݊ଵሻ 
(3.2) 
 
Uma vez fora dos meios transparentes, a diferença 
no caminho é dada por (1.2). Assim, a diferença 
total será: 
 ݐሺ݊ଶ െ ݊ଵሻ ൅ ݀�ݏ݁݊�ߠ ൌ ݉ߣ 
(3.3) 
 
Para o máximo. Agora, sendo um dos meios o ar, 
de (3.3), teremos: 
 ݐሺ݊ െ ͳሻ ൅ ݀�ݏ݁݊�ߠ ൌ ݉ߣ 
(3.4) 
 
b) Utilizando os dados numéricos em (3.4), 
teremos: 
 Ͳǡͷݐ ൅ ʹͲͲͲͲ�ݏ݁݊͵Ͳι ൌ ͵ ή ͷͲͲͲ ׵ ݐ ൌ ͳͲͲͲͲ�Հ 
(3.5) 
 
 Questão 4
 
Numa experiência de Young, sabe-se que o 
campo elétrico num ponto P do anteparo é a soma 
dos campos ܧଵ ൌ ܧ଴ݏ݁݊ሺ߱ݐሻ, com ܧଶ ൌ ͷܧ଴ݏ݁݊ሺ߱ݐ ൅ ߶ሻ. Dar a amplitude do campo 
elétrico resultante. 
Resolução: 
Deseja-se encontrar o campo resultante que tenha 
a seguinte forma: 
 ܧோ ൌ ܧ௠ݏ݁݊ሺ߱ݐ ൅ ߚሻ 
(4.1) 
 
Em que: 
 ܧோ ൌ ܧଵ ൅ ܧଶ 
(4.2) 
 
 
 
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Assim, teremos: ܧோ ൌ ܧ଴ሾݏ݁݊�߱ݐ ൅ ͷሺݏ݁݊߱ݐ ή ܿ݋ݏ߶ ൅ ܿ݋ݏ߱ݐ ή ݏ݁݊߶ሻሿ� ܧோ ൌ ܧ଴ሺͳ ൅ ͷܿ݋ݏ߶ሻݏ݁݊߱ݐ ൅ ͷܧ଴ݏ݁݊߶ܿ݋ݏ߱ݐ 
(4.3) 
Comparando (4.3) com (4.1), teremos: ܧ௠ܿ݋ݏߚ ൌ ܧ଴ሺͳ ൅ ͷܿ݋ݏ߶ሻ 
(4.4) 
e ܧ௠ݏ݁݊ߚ ൌ ͷܧ଴ݏ݁݊߶ 
(4.5) 
Agora, utilizando (4.4) e (4.5), teremos: ܧ௠ଶ ൌ ܧ଴ଶሾሺͳ ൅ ͷܿ݋ݏ߶ሻଶ ൅ ʹͷݏ݁݊ଶ߶ሿ� ׵ ܧ௠ ൌ ܧ଴ሺͳͲܿ݋ݏ߶ ൅ ʹ͸ሻଵଶ 
(4.6) 
 Questão 5
As duas fontes luminosas puntiformes, da 
figura 5.1 emitem ondas coerentes. Mostre que 
são hipérboles as curvas (como a dada) que unem 
os pontos cuja defasagem entre os raios ݎଵ e ݎଶ é 
constante. (Sugestão: Uma defasagem constante 
implica uma diferença constante entre os valores 
de ݎଵ e ݎଶ.) 
 
Figura 5.1 
Resolução: 
Observando a figura 5.1, podemos escrever as 
coordenadas do ponto P que será ሺݕǡ ݔሻ. Para a 
obtenção dos máximos, teremos, em P: ݎଵ െ ݎଶ ൌ ݉ߣ 
(5.1) 
Em que m é um número inteiro positivo. Em 
qualquer ponto da curva, sempre teremos a 
diferença dada por (5.1). Assim, para (5.1), 
teremos: 
 ඨݔଶ ൅ ൬ݕ ൅ ݀ʹ൰ଶ െඨݔଶ ൅ ൬ݕ െ ݀ʹ൰ଶ ൌ ݉ߣ� 
ඨݔଶ ൅ ൬ݕ ൅ ݀ʹ൰ଶ ൌ ݉ߣ ൅ඨݔଶ ൅ ൬ݕ െ ݀ʹ൰ଶ 
(5.2) 
 
Em que ݎଵ ൌ ටݔଶ ൅ ቀݕ ൅ ௗଶቁଶ e ݎଶ ൌ ටݔଶ ൅ ቀݕ െ ௗଶቁଶ. De (5.2), poderemos 
escrever: െʹ݉ߣ ή ඨݔଶ ൅ ൬ݕ െ ݀ʹ൰ଶ ൌ ሺ݉ߣሻଶ െ ʹݕ݀� ሺ݉ߣሻଶݔଶ െ ݕଶሺ݀ଶ െ ሺ݉ߣሻଶሻ ൌ ሺ݉ߣሻଶͶ ሺሺ݉ߣሻଶ െ ݀ଶሻ ݕଶሺ݉ߣሻଶ Ͷൗ െ ݔଶሺ݀ଶ െ ሺ݉ߣሻଶሻ Ͷൗ ൌ ͳ 
(5.3) 
 
No resultado de (5.3), pode-se escrever: 
 ܽଶ ൌ ሺ݉ߣሻଶ Ͷൗ 
(5.4) 
 
E 
 ܾଶ ൌ ሺ݀ଶ െ ሺ݉ߣሻଶሻ Ͷൗ 
(5.5) 
 
Assim, (5.3) representa a equação de uma 
hipérbole, dada por: 
 ݕଶܽଶ െ ݔଶܾଶ ൌ ͳ 
(5.6) 
 
 
Em (5.3), para cada ݉ teremos uma hipérbole. 
ݎଶ ݎͳ ܨʹ ܨͳ 
ܲ 
݀ 
ݔ 
ݕ 
 
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 Questão 6
Na figura 6.1 a fonte emite luz monocromática 
de comprimento de onda ߣ. Seja F uma fenda 
muito estreita numa tela opaca I. Um espelho 
plano, cuja superfície inclui o eixo da lente 
mostrado, está localizado a ma distância h abaixo 
de F. A tela II está no plano focal da lente. (a) 
Determinar a condição para franjas de brilho 
máximo e mínimo sobre a tela II em função do 
ângulo usual ߠ, do comprimento de onda ߣ e da 
distância h. (b) Aparecem as franjas somente na 
região A (acima do eixo da lente), somente na 
região B (abaixo do eixo da lente), ou em ambas as 
regiões A e B? Explicar. 
 
Figura 6.1 
Resolução: 
a) Podemos considerar a existência de outra fenda 
(F’) abaixo do espelho plano, devido à imagem 
formada por ele. A fenda F’ se encontra a uma 
distância h abaixo do espelho. Assim, podemos 
encontrar as condições de máximos e mínimos de 
forma semelhante ao que é feito para duas fendas. 
No entanto, devemos recordar que na reflexão, a 
fase sofre inversão, logo, devemos considerar esse 
fato e acrescentar meio comprimento de onda 
para uma interferência construtiva. Logo, teremos 
para o máximo: ʹ݄ݏ݁݊ߠ ൌ ߣ ൬݉ ൅ ͳʹ൰ 
(6.1) 
E para o mínimo: ʹ݄ݏ݁݊ߠ ൌ ߣ݉ 
(6.2) 
b) A fenda F’ não é exatamente uma fonte de luz, 
logo, não teremos nenhuma emissão de luz para a 
região B, a não ser uma pequena parcela de luz 
proveniente de F que consegue atravessar o eixo 
óptico da lente sem desvio. Mas não ocorre 
nenhuma formação de figuras de interferência em 
B. 
 
 Questão 7
 
Tome como referência a questão 4. Suponha 
que a diferença de fase entre ܧଵ e ܧଶ seja igual a ͸Ͳι. (a) Determine a equação da onda resultante. 
(b) Obtenha o valor médio da intensidade 
luminosa I da onda resultante. 
Resolução: 
a) Utilizando a relação (4.6), teremos: 
 ܧ௠ ൌ ܧ଴ሺͳͲ ή ܿ݋ݏ͸Ͳι ൅ ʹ͸ሻభమ ׵ ܧ௠ ؆ ͷǡͷ͹ܧ଴ 
(7.1) 
 
Agora, utilizando (4.4), por exemplo, teremos: 
 ͷǡͷ͹ܧ଴ܿ݋ݏߚ ൌ ܧ଴ሺͳ ൅ ͷܿ݋ݏ͸Ͳιሻ ׵ ܿ݋ݏߚ ؆ Ͳǡ͸͵ ֜ ߚ ؆ ͷͳι 
(7.2) 
 
Agora, utilizando os resultados de (7.1) e (7.2), em 
(4.1), teremos: 
 ܧோ ൌ ͷǡͷ͹ܧ଴ݏ݁݊ሺ߱ݐ ൅ ͷͳιሻ 
(7.3) 
 
b) Para o valor médio da intensidade, teremos: 
 ܫ ҧ ן ܧோଶതതതത 
(7.4) 
 
Lembrando que ݏ݁݊ଶߙതതതതതതതത ൌ ଵଶ, então (7.4) nos 
fornece:ܫ ൌ ͳͷǡͷܧ଴ଶߤ߳଴ 
(7.5) 
 
Em que ߤ߳଴ é a constante de proporcionalidade. 
Vide 4-04, questão 13. 
 
h 
F 
Espelho 
Fonte 
Região A 
Região B 
I II 
 
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 Questão 8
Mostre que a semilargura οߠ das franjas de 
interferência da fenda dupla é dada por οߠ ൌ ߣ ʹ݀Τ , quando ߠ for suficientemente 
pequeno, de forma que se possa admitir ݏ݁݊ߠ ؆ ߠ. 
Resolução: 
Seja ߠ௠ o ângulo para um máximo e ߠ௠ାభమ o ângulo 
para o mínimo consecutivo. Esses ângulos 
marcam o centro das respectias posições de 
máximos e mínimos. Assim, tomando a diferença 
teremos: ݀ ቂݏ݁݊ߠ௠ାభమ െ ݏ݁݊ߠ௠ቃ ൌ ൬݉ ൅ ͳʹ൰ ߣ െ ݉ߣ ݀ ቂݏ݁݊ߠ௠ାభమ െ ݏ݁݊ߠ௠ቃ ൌ ʹߣ 
(8.1) 
Considerando ݏ݁݊ߠ ؆ ߠ, teremos para (8.1): οߠ ൌ ߠ௠ାభమ െ ߠ௠ ؆ ʹ݀ߣ 
(8.2) 
 Questão 9
Uma das fendas de um sistema de fenda dupla é 
mais larga que a outra, de forma que a amplitude 
da luz que atinge a parte central do anteparo, 
proveniente apenas de uma delas (agindo 
sozinha), é igual ao dobro da correspondente à 
outra fenda, também considerada isoladamente. 
Deduzir a expressão ܫఏ (em termos de ߠ). 
Resolução: 
Vamos utilizar aqui, o mesmo procedimento da 
questão 4. Tanto que: ܧோ ൌ ܧ଴ݏ݁݊߱ݐ ൅ ʹܧ଴ݏ݁݊ሺ߱ݐ െ ߶ሻ 
(9.1) 
Em que ܧோ é a resultante da soma dos 
componentes elétricos da luz. Utilizando, ݏ݁݊ሺܣ ൅ ܤሻ ൌ ݏ݁݊ܣܿ݋ݏܤ ൅ ܿ݋ݏܣݏ݁݊ܤ, em (9.1), 
teremos: ܧோ ൌ ݏ݁݊߱ݐሾܧ଴ሺͳ ൅ ʹܿ݋ݏ߶ሻሿ ൅ ܿ݋ݏ߱ݐʹܧ଴ݏ݁݊߶ 
(9.2) 
Procuramos uma solução dada por: 
 ܧோ ൌ ܧఏݏ݁݊ሺ߱ݐ ൅ ߚሻ 
(9.3) 
 
Assim, comparando (9.2) e (9.3), teremos: 
 ܧఏܿ݋ݏߚ ൌ ܧ଴ሺͳ ൅ ʹܿ݋ݏ߶ሻ 
(9.4) 
 
E também: 
 ܧఏݏ݁݊ߚ ൌ ʹܧ଴ݏ݁݊߶ 
(9.5) 
 
Utilizando (9.4) e (9.5), teremos: 
 ܧఏଶ ൌ ܧ଴ଶሺͷ ൅ Ͷܿ݋ݏ߶ሻ 
(9.6) 
 
A intensidade por sua vez, é proporcional ao 
quadrado do componente do elétrico da luz. 
Assim, podemos escrever: 
 ܫఏ ן ܧఏଶ 
(9.7) 
 
Agora, utilizando (9.6) e (9.7), podemos escrever: 
 ܫఏ ן ܧ଴ଶሺͷ ൅ Ͷܿ݋ݏ߶ሻ 
(9.8) 
 
Em (9.8), o ângulo ߶ representa a diferença de 
fase, que os dois sinais possuem para produzir as 
franjas de interferências. Esse ângulo está 
relacionado com a diferença de caminho (pense 
em uma regra de três simples, por exemplo), 
sendo que para o primeiro máximo teremos: 
 ߶ ൌ ʹߨߣ ሺ݀ ή ݏ݁݊ߠሻ 
(9.9) 
 
Logo, para ߠ ൌ Ͳ, teremos: 
 ߶ ൌ Ͳ ֜ ܫఏ ൌ ܫ௠ ן ͻܧ଴ଶ 
(9.10) 
 
Assim, poderemos escrever (9.8) da seguinte 
forma: 
 
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ܫఏ ൌ ܫ௠ͻ ቈͷ ൅ Ͷܿ݋ݏ ቆʹߨߣ ሺ݀ ή ݏ݁݊ߠሻቇ቉ 
(9.11) 
Ou ainda, considerando ܿ݋ݏ߶ ൌ ʹܿ݋ݏଶ థଶ െ ͳ, 
teremos para (9.11): ܫఏ ൌ ܫ௠ͻ ቈͳ ൅ ͺܿ݋ݏଶ ቆߨߣ ሺ݀ ή ݏ݁݊ߠሻቇ቉ 
(9.12) 
 Questão 10
Considere o problema de determinar a soma ܣଵݏ݁݊ሺ߱ݐ ൅ ߶ଵሻ ൅ ܣଶݏ݁݊ሺ߱ݐ ൅ ߶ଶሻ ൅ ڮ൅ ܣ௡ݏ݁݊ሺ߱ݐ ൅ ߶௡ሻ 
do diagrama de fasores. (a) Mostrar que a soma 
pode ser sempre escrita na forma ܤݏ݁݊߱ݐ ൅ܥܿ݋ݏ߱ݐ. (b) Mostrar que ܤଶ ൅ ܥଶ ൑ ሺܣଵ ൅ ܣଶ ൅ڮ൅ ܣ௡ሻଶ. (c) Quando, no item (b) vale o sinal de 
igual? 
Resolução: 
a) Seja a resultante dada por: ܴ ൌ ܣଵݏ݁݊߱ݐܿ݋ݏ߶ଵ ൅ ܣଵݏ݁݊߶ଵܿ݋ݏ߱ݐ൅ ܣଶݏ݁݊߱ݐܿ݋ݏ߶ଶ൅ܣଶݏ݁݊߶ଶܿ݋ݏ߱ݐ ൅ڮ൅ ܣ௡ݏ݁݊߱ݐܿ݋ݏ߶௡ ൅ ܣ௡ݏ݁݊߶௡ܿ݋ݏ߱ݐ 
(10.1) 
Ou ainda: ܴ ൌ ሾܣଵܿ݋ݏ߶ଵ ൅ ܣଶܿ݋ݏ߶ଶ ൅ڮ൅ ܣ௡ܿ݋ݏ߶௡ሿݏ݁݊߱ݐ ൅ ሾܣଵݏ݁݊߶ଵ ൅ ܣଶݏ݁݊߶ଶ ൅ڮ൅ ܣ௡ݏ݁݊߶௡ሿܿ݋ݏ߱ݐ 
(10.2) 
Logo, poderemos escrever ܴ ൌ ܤݏ݁݊߱ݐ ൅ ܥܿ݋ݏ߱ݐ, 
em que: ܤ ൌ ܣଵܿ݋ݏ߶ଵ ൅ ܣଶܿ݋ݏ߶ଶ ൅ڮ൅ ܣ௡ܿ݋ݏ߶௡Ǣ ܥ ൌ ܣଵݏ݁݊߶ଵ ൅ ܣଶݏ݁݊߶ଶ ൅ڮ൅ ܣ௡ݏ݁݊߶௡ 
(10.3) 
b) Esperamos encontrar uma solução com a 
seguinte forma: ܴ ൌ ܴ௠ݏ݁݊ሺ߱ݐ ൅ ߚሻ� 
(10.4) 
Em que: 
 ܤ ൌ ܴ௠ܿ݋ݏߚǢ ܥ ൌ ܴ௠ݏ݁݊ߚ 
(10.5) 
 
Agora, de (10.5), teremos: 
 ܴ௠ଶ ൌ ܤଶ ൅ ܥଶ� 
 (10.6) 
 
Utilizando o resultado (10.3) em (10.6), teremos: 
 ܴ௠ଶ ൌ ሾܣଵܿ݋ݏ߶ଵ ൅ ܣଶܿ݋ݏ߶ଶ ൅ڮ൅ ܣ௡ܿ݋ݏ߶௡ሿଶ ൅ሾܣଵݏ݁݊߶ଵ ൅ ܣଶݏ݁݊߶ଶ ൅ڮ൅ ܣ௡ݏ݁݊߶௡ሿଶ 
(10.7) 
 
Ao não ser que todos os ângulos ߶ sejam iguais, 
sempre teremos: 
 ܴ௠ଶ ൌ ሾܣଵܿ݋ݏ߶ଵ ൅ ܣଶܿ݋ݏ߶ଶ ൅ڮ൅ ܣ௡ܿ݋ݏ߶௡ሿଶ ൅ሾܣଵݏ݁݊߶ଵ ൅ ܣଶݏ݁݊߶ଶ ൅ڮ൅ ܣ௡ݏ݁݊߶௡ሿଶ൏ ሺܣଵ ൅ ܣଶ ൅ڮ൅ ܣ௡ሻଶ 
(10.8) 
 
Caso os ângulos ߶ sejam iguais, teremos: 
 ܴ௠ଶ ൌ ሾܣଵܿ݋ݏ߶ଵ ൅ ܣଶܿ݋ݏ߶ଶ ൅ڮ൅ ܣ௡ܿ݋ݏ߶௡ሿଶ ൅ሾܣଵݏ݁݊߶ଵ ൅ ܣଶݏ݁݊߶ଶ ൅ڮ൅ ܣ௡ݏ݁݊߶௡ሿଶൌ ሺܣଵ ൅ ܣଶ ൅ڮ൅ ܣ௡ሻଶ 
(10.9) 
 
Logo, poderemos escrever: 
 ܴ௠ଶ ൌ ሾܣଵܿ݋ݏ߶ଵ ൅ ܣଶܿ݋ݏ߶ଶ ൅ڮ൅ ܣ௡ܿ݋ݏ߶௡ሿଶ ൅ሾܣଵݏ݁݊߶ଵ ൅ ܣଶݏ݁݊߶ଶ ൅ڮ൅ ܣ௡ݏ݁݊߶௡ሿଶ൑ ሺܣଵ ൅ ܣଶ ൅ڮ൅ ܣ௡ሻଶ 
(10.10) 
 
c) Vide a resolução do item (b). 
 
 Questão 11
 
A luz branca possui no espectro visível, ao ser 
refletida após incidir normalmente sobre uma 
bolha de sabão, um só máximo de interferência 
(com ߣ ൌ ͸ͲͲͲ�Հ) e um único mínimo na 
extremidade violeta do espectro. Calcular a 
espessura da película, sabendo que ݊ ൌ ͳǡ͵͵. 
Resolução: 
Sejam os comprimentos de ondas de 
interferências máxima e mínima, dados por: 
 
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7 
ߣ௠ž௫ ൌ ͸ͲͲͲՀǢ�ߣ௠À௡ ൌ ͶͷͲͲՀ�� 
 (11.1) 
A reflexão que ocorre na interface ar/bolha de 
sabão sofre inversão de fase. Logo, para 
interferências máximas teremos: ʹ݀݊ ൌ ൬݉௠ž௫ ൅ ͳʹ൰ ߣǢ݉௠ž௫ ൌ Ͳǡ ͳǡ ʹǡڮ 
 (11.2) 
E para as interferêncisa mínimas: ʹ݀݊ ൌ ݉௠À௡ߣǢ�݉௠À௡ ൌ Ͳǡ ͳǡ ʹǡ ڮ 
(11.3) 
Utilizando (11.2) e (11.3), teremos: ͶͷͲͲ݉௠À௡ ൌ ͸ͲͲͲ ൬݉௠ž௫ ൅ ͳʹ൰ ͳͷ݉௠À௡ െ ʹͲ݉௠ž௫ ൌ ͳͲ 
(11.4) 
Em (11.4), ݉௠À௡�‡�݉௠ž௫ são inteiros, e nesse caso, 
poderemos escolher ݉௠À௡ ൌ ʹ�‡�݉௠ž௫ ൌ ͳ. Esses 
valores satisfazem (11.4). Assim, utilizando (11.3), 
teremos: ݀ ൌ ͶͷͲͲͳǡ͵͵ ؆ ͵͵ͺ͵ǡͷՀ 
(11.5) 
 Questão 12
Vidro não refletor. As lentes são, 
frequentemente, recobertas por películas finas de 
substâncias transparentes, como �‰	ଶ�ሺ ൌ ͳǡ͵ͺሻ, 
para reduzir e reflexão na superfície do vidro, 
aproveitando o fenômeno de interferência. 
Considere que seja nula a intensidade da reflexão, 
para a luz de comprimento de onda de ͷͷͲͲ�Հ, em 
incidência normal. Calcular a taxa com que fica 
reduzida a reflexão, devido ao revestimento, para 
os comprimentos de onda de ͶͷͲͲ�Հ�݁�͸ͷͲͲ�Հ. 
Resolução: 
Entre o vidro e o ar é colocada uma película de �‰	ଶ�ሺ ൌ ͳǡ͵ͺሻ. Desta forma, ocorrem duas 
reflexões, uma na interface ar/película e a outra 
na interface película/vidro. Ambas com inversão 
de fase. Para essas interferências, podemos aplicar 
a relação dada por (9.9), aqui escrita como: 
 ߶ ൌ ʹߨߣ ή ߜ 
(12.1) 
 
Em que ߶ é a diferença de fase e ߜ é a diferença de 
caminho. Para ߣ ൌ ͷͷͲͲ�Հ, a diferença de fase 
deve ser necessariamente igual a ߨ. Caso 
contrário, teríamos uma quantidade pequena de 
intensidade de luz refletida por esse comprimento 
de onda. Assim, utilizando esses resultados em 
(12.1), teremos: 
 ߜ ൌ ͷͷͲͲʹ Հ 
 (12.2) 
 
A intensidade devido à interferência será dada 
por: 
 ܫథ ൌ ܫ௠ܿ݋ݏଶ ߶ʹ 
 (12.3) 
 
Para ߣଵ ൌ ͶͷͲͲ�Հ, teremos: 
 ߶ଵ ൌ ʹߨͶͷͲͲ ή ͷͷͲͲʹ ؆ ͳǡʹʹߨ�ݎܽ݀ 
(12.4) 
 
Que equivale a uns ʹʹͲι. Logo, de (12.3): 
 ܫథଵ ൌ ܫ௠ଵܿ݋ݏଶͳͳͲι ൌ Ͳǡͳͳܫ௠ଵ 
(12.5) 
 
Fica reduzida de 88%. E para ߣଶ ൌ ͸ͷͲͲ�Հ 
 ߶ଶ ൌ ʹߨ͸ͷͲͲ ή ͷͷͲͲʹ ؆ Ͳǡͺͷߨ�ݎܽ݀ 
(12.6) 
 
Cerca de ͳͷʹǡ͵ι. Assim: 
 ܫథଶ ൌ ܫ௠ଶܿ݋ݏଶ͹͸ǡʹι ൌ ͲǡͲͷ͹ܫ௠ଶ 
(12.7) 
 
Uma redução em torno de 94%. 
 
 
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8 
12 cm 
0,048 mm y 
 Questão 13
Sabemos que o campo elétrico da luz refletida 
em uma superfície depende da razão entre os 
índices de refração de dois meios. Seja ݊ଵ o índice 
de refração do meio onde se encontra uma fonte 
de luz e ݊ଶ o índice de refração de um outro meio 
que está separado do primeiro por uma interface 
plana. Desejamos eliminar o feixe refletido sem, no 
entanto, eliminar o feixe transmitido. Podemos 
usar para isto uma película transparente de tal 
modo que ocorra interferência destrutiva entre o 
feixe que provém da reflexão da interface superior 
da película e o feixe refletido na interface inferior 
da película. (a) Qual deve ser o índice de refração 
da película para se obter a maior eliminação 
possível dos feixes refletidos? (b) Calcule a 
espessura aproximada da película para eliminar a 
parte mais intensa do feixe refletido, sabendo que 
o feixe monocromático incidente possui 
comprimento de onda iguala ߣ. 
Resolução: 
a) Utilizando o que foi sugerido pelo texto, temos: ܧ௥ ൌ ݊ଵ݊ଶ ή ܧ଴ 
(13.1) 
Em que ܧ௥ é o campo elétrico refletido. E ݊ଵ ൏ ݊ଶ. 
Assim, colocando-se a película, podemos escrever: ܧ௥ଵǡ௡ ൌ ݊ଵ݊ ή ܧ଴ 
(13.2) 
E ܧ௥௡ǡଶ ൌ ݊݊ଶ ή ܧ଴� 
 (13.3) 
Quando a luz refletida pela interface 2 atingir a 
interface 1, para se eliminar os raios refletidos os 
campos devem ter a mesma intensidade. Logo: ܧ௥ଵǡ௡ ൌ ܧ௥௡ǡଶ ݊ଵ݊ ή ܧ଴ ൌ ݊݊ଶ ή ܧ଴ ׵ ݊ ൌ ඥ݊ଵ݊ଶ 
(13.4) 
No entanto, para esse estudo, se faz necessário a 
utilização do coeficiente de reflexão, que é dado 
por: 
 ܴଵǡଶ ൌ ܧ௥ଵǡଶܧ଴ ൌ ݊ଵ െ ݊ଶ݊ଵ ൅ ݊ଶ 
(13.5) 
 
Veja por exemplo, Alonso e Finn, edição de 1972 
(5ª reimpressão) pág. 359, volume II; editora 
Edgard Blucher. Ou Sears e Zemansky (Young e 
Freedman), Física IV, Ótica e Física Moderna, Ed. 
Pearson, 10ª edição, 2004. Para esse caso, espera-
se que os coeficientes de reflexão sejam iguais, ou 
seja, o coeficiente de reflexão da interface 1, seja 
igual ao coeficiente da interface 2. Logo: 
 ܴଵǡ௡ ൌ ܴ௡ǡଶ 
 ݊ଵ െ ݊݊ଵ ൅ ݊ ൌ ݊ െ ݊ଶ݊ ൅ ݊ଶ ׵ ݊ ൌ ඥ݊ଵ ή ݊ଶ 
(13.6) 
 
b) Utilizando a relação (12.1), teremos: 
 ߶ ൌ ߨ ൌ ʹߨߣ ή ʹ݊ݐ ׵ ݐ ൌ ߣͶ݊ 
(13.7) 
 
 Questão 14
 
Uma fonte extensa de luz (ߣ ൌ ͸ͲͲͲՀ) ilumina 
perpendicularmente duas placas de vidro de 12cm 
de comprimento que se tocam, numa das 
extremidades e na outra estão separadas por um 
arame de 0,048 mm de diâmetro (figura 14.1). 
Quantas franjas claras aparecem ao longo dos 
12cm de extensão? 
 
 
 
 
 
 
Figura 14.1 
 
Resolução: 
Na interface vidro/ar do vidro de cima não 
fornece uma reflexão com inversão de fase. Mas a 
 
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reflexão na interface ar/vidro no vidro inferior 
ocorre com inversão de fase. Assim, para uma 
interferência construtiva, teremos: ʹݕ ൌ ൬݉ ൅ ͳʹ൰ ߣ 
(14.1) 
Utilizando os dados numéricos em (14.1), 
teremos: ʹ ή ͲǡͲͶͺ ή ͳͲିଷ ൌ ൬݉ ൅ ͳʹ൰ ͸ͲͲͲ ή ͳͲିଵ଴ ׵ ݉ ൌ ͳͷͻ 
(14.2) 
 Questão 15
O diâmetro do décimo anel claro, produzido em 
um dispositivo de anéis de Newton, passa de 1,50 
para 1,20 cm quando se introduz um líquido entre 
a lente e a placa. Determine o índice de refração 
do líquido. 
Resolução: 
Os raios dos anéis de Newton são dados por: 
ݎ ൌ ඨ൬݉ ൅ ͳʹ൰ ߣܴ 
(15.1) 
Em que ܴ representa o raio de curvatura da lente 
utilizada para produzir as interferências. Para ݉ ൌ ͳͲ, temos: ͳǡͷͲʹ ൌ ඨʹͳʹ ή ߣ ή ܴ 
(15.2) 
Com a introdução do líquido, para esse mesmo 
valor de ݉, teremos: ͳǡʹͲʹ ൌ ඨʹͳʹ ή ݊ߣ ή ܴ 
(15.3) 
Em que ݊ é o índice de refração do líquido. 
Utilizando (15.1) e (15.2), teremos: 
 ͳǡͷͲͳǡʹͲ ൌ ξ݊ ׵ ݊ ൌ ͳǡͷ͸ʹͷ 
(15.4) 
 
 Questão 16
 
Na experiência dos anéis de Newton, utilize o 
resultado (15.1) para mostrar que a diferença 
entre os raios de anéis adjacentes é igual a 
 οݎ ൌ ݎ௠ାଵ െ ݎ௠ ؆ ଵଶටఒோ௠ . 
 
Suponha ݉ ب ͳ e use o teorema binomial. 
Resolução: 
Utilizando (15.1), temos: 
 ݎ௠ାଵ െ ݎ௠ ൌ ඨ൬݉ ൅ ͵ʹ൰ ߣܴ െ ඨ൬݉ ൅ ͳʹ൰ ߣܴ ൌ ξ݉ߣܴ ൥൬ͳ ൅ ͵ʹ݉ ൰భమ െ ൬ͳ ൅ ͳʹ݉ ൰భమ൩ 
(16.1) 
 
Aplicando a expansão binomial ሺͳ ൅ ݔሻ௡ ؆ ͳ ൅௡௫ଵǨ Ǣ ݔ ൏ ͳ, teremos: 
 
 ݎ௠ାଵ െ ݎ௠ ؆ ξ݉ߣܴ ൤ͳ ൅ Ͷ͵݉ െ ͳ െ ͳͶ݉൨ ׵ ݎ௠ାଵ െ ݎ௠ ؆ ξ݉ߣܴʹ݉ ൌ ͳʹඨߣܴ݉ 
(16.2) 
 
 Questão 17
 
Na experiência dos anéis de Newton, utilize o 
resultado (15.1) e a questão 16 a fim de mostrar 
que a área entre anéis adjacentes é dada, para ݉ ب ͳ, por 
 ܣ௠ ൌ ߨߣܴሺൌ ݑ݉ܽ�ܿ݋݊ݏݐܽ݊ݐ݁ሻ. 
 
 
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Resolução: 
Procedendo de maneira semelhante ao que foi 
efetuado na questão anterior, temos: ܣ௠ାଵ െ ܣ௠ ൌ ߨሺݎ௠ାଵଶ െ ݎ௠ଶሻ ൌ ߨ ൤൬݉ ൅ ͵ʹ൰ ߣܴ െ ൬݉ ൅ ͳʹ൰ ߣܴ൨ ׵ ܣ௠ାଵ െ ܣ௠ ൌ ߨߣܴ 
(17.1) 
 Questão 18
Uma câmara hermeticamente fechada, de 5,0 
cm de comprimento e com janelas de vidro, é 
colocada num dos braços de um interferômetro de 
Michelson, como mostra a figura 18.1. Utiliza-se 
luz de ͷͲͲͲ�Հ. O ar é lentamente evacuado da 
câmara por meio de uma bomba de vácuo. 
Enquanto o ar está sendo removido, observam-se 
60 franjas passarem pela vista. A partir destes 
dados, determinar o índice de refração do ar à 
pressão atmosférica. 
 
Figura 18.1 
Resolução: 
Antes da remoção do ar temos, para as franjas de 
interferências: ʹ݀݊௔௥ ൌ ݉ߣ 
(18.1) 
Em que ݀ representa a diferença de caminho ݀ ൌ ݈ଵ െ ݈ଶ. Removendo-se o ar, temos: ʹ݊௔௥݈ଵ െ ʹ݊௔௥ߜ െ Ͳǡͳ ൌ ሺ݉ ൅ ͸Ͳሻߣ 
(18.2) 
Em (18.2), ݈ଶ ൌ ߜ ൅ ͷ, ou seja, é a parte do 
caminho 2 que possui ar mais a parte sem ar. 
Utilizando (18.1) em (18.2), teremos: 
 ʹ݊௔௥݈ଵ െ ʹ݊௔௥ߜ െ Ͳǡͳ ൌ ʹ݊௔௥݈ଵ െ ʹ݊௔௥ሺߜ ൅ ͲǡͲͷሻ ൅ ͸Ͳߣ ׵ ݊௔௥ ൌ ͸ͲߣͲǡͳ ൅ ͳ 
(18.3) 
 
Utilizando o comprimento de onda fornecido pela 
questão, teremos: 
 ݊௔௥ ൌ ͸Ͳ ή ͷͲͲͲ ή ͳͲିଵ଴Ͳǡͳ ൅ ͳ ൌ ͳǡͲͲͲ͵ 
(18.4) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Fonte 
Espelho 
Espelho 
Saída para a 
bomba de vácuo 
Observador 
5 cm