01. Sistemas Lineares

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Métodos iterativos para Sistemas Lineares
Everton Lopes
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Métodos iterativos para Sistemas Lineares
Um procedimento iterativo consiste em uma seqüência de instruções que são resolvidas passo a passo. Em cada passo (iteração), uma nova aproximação é obtida e verifica-se se está suficientemente próximo do valor exato.
Chute inicial
Função de iteração
Critério de tolerância
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Método de Jacobi
Seja o sistema: 
 (1)
Explicitando em (1) x1 na 1a equação, x2 na 2a equação, ...
(2) 
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Método de Jacobi
Em (2), temos os elementos aii≠0. Caso isso não ocorra, as equações de (1) devem ser reagrupadas para que se consiga essa condição.
O sistema (2) pode ser colocado na forma x* = Cx + g , onde:
C = 
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Método de Jacobi
x = 
g = 
O método de Jacobi funciona do seguinte modo:	
Escolhe-se uma aproximação inicial x(0) .
Geram-se aproximações sucessivas de x(k) a partir da 
iteração: x(k+1) = C x(k) + g 
 
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Método de Jacobi
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Método de Jacobi
Continua-se a gerar aproximações até que : 
 , 
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Método de Gauss-Siedel
Característica: Em uma iteração k, a nova aproximação para xj será dada usando os valores de x1, x2, ... , xj-1 da própria iteração, e os valores de xj+1, xj+2, ... , xn da iteração anterior.
Equações gerais para o método de Gauss-Siedel em uma iteração k
Seja o sistema: 
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Método de Gauss-Siedel
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Método de Gauss-Siedel
Ex : para sistema de 4 equações