03. Zeros de funções

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Zeros de funções
Everton Lopes
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Zeros de funções
Objetivo : Resolver equações do tipo f(x) = 0 , onde 
 f = função de uma variável qualquer.
 
Em outras palavras, resolver uma equação qualquer, em uma variável, consiste na obtenção de uma raíz ou zero da função de f(x).
Ex 1:
f(x) = 0  
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Zeros de funções
Ex 2: Equação de Van Der Walls 
São conhecidos a, b e R. É dado que para T = 100K, P = 5 atm. Determine v.
f(v) = 0  
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Zeros de funções
Ex 3: Decaimento de um corpo sujeito à resistência do ar. 
v = v(t) = 
São conhecidos g e m. É dado que em t = 0,5 seg , v = 3 m/s. Obter c. 
f(c) = 0  v - = 0 
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Zeros de funções
Ex 4: Projeto de circuitos (circuito RLC)
Dados c = 10-4 F , L = 5H. Em t = 0,05 seg , q = =0,01. 
Determinar R. 
f(R) = 0  
Tem infinitas soluções ou múltiplas raízes em cada exemplo. 
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Zeros de funções
Complexidade do problema: 
Múltiplas raízes
Infinitas raízes
Raízes reais e complexas
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Zeros de funções
Nomenclatura
 
Equações algébricas ou polinomiais Número finito de raízes
 Número de raízes igual ao grau do polinômio
a0+ a1x + a2x2 + ... + an-1xn-1 + anxn = 0
 
Equações transcendentes  não tem formato definido. Contém termos trigonométricos, logarítmicos, etc... (número finito ou infinito de soluções)
 
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Zeros de funções
Grupo de métodos
 
Métodos que determinam apenas uma raiz de uma função qualquer.
Ex: Bisseção, Newton
Métodos que determinam todas as raízes (reais e complexas) de um polinômio de qualquer grau.
Etapas de resolução do problema
 Isolamento ou localização da raiz  consiste em determinar um intervalo [a,b] que contenha uma e somente uma raiz de f(x).
Refinamento  consiste na obtenção da raiz com uma certa precisão, utilizando um método iterativo.
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Isolamento da raiz
Teorema: Se f(x) é uma função contínua em [a,b] e os valores de f(x) nos extremos de [a,b] tem sinais opostos, então existe, pelo menos, uma raiz em [a,b] .
a
b
a
b
x
x
y
y
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Isolamento da raiz
Se f(a) . f(b) < 0  existe, pelo menos, uma raiz
Se f(a) . f(b) < 0 e f ’(x) > 0 para todo x ϵ [a,b] ou f ’(x) < 0 para todo x ϵ [a,b] , então existe apenas uma raiz em [a,b] 
Logo, se f(a) . f(b) < 0  número ímpar de raizes
 se f(a) . f(b) > 0  número par de raizes ou não existem raizes reais no intervalo
a
a
b
b
x
x
y
y
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Isolamento da raiz
Multiplicidade
Uma raiz tem multiplicidade p se : 
 e
Ex: Multiplicidade 2
Ex: Multiplicidade 5
Obs: No gráfico não dá para saber a multiplicidade, só se derivar.
a
b
x
y