Lista de Exercícios

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1a Lista de Exerc´ıcios de A´lgebra Linear
Professor: Ju´nior Ce´sar Bonafim
1. Verifique se sa˜o espac¸os vetoriais os conjuntos com os pares de operac¸o˜es
definidos abaixo:
a) V = {(x, y, z) ∈ R3}
(x1, y1, z1) + (x2, y2, z2) = (x1 + x2, y1 + y2, z1 + z2) e α(x, y, z) = (αx, y, z)
b) V = {(x, y, z) ∈ R3}
(x1, y1, z1) + (x2, y2, z2) = (x1 + x2, y1 + y2, z1 + z2) e α(x, y, z) = (2αx, 2αy, 2αz)
c) V = {(x, y) ∈ R2}
(x1, y1) + (x2, y2) = (x1 + x2 + 1, y1 + y2 + 1) e α(x, y) = (αx, αy)
d) O conjunto das matrizes de ordem 2 da forma
[
a 0
0 b
]
com a adic¸a˜o e
multiplicac¸a˜o por escalar usual de matrizes.
2. Classifique as afirmac¸o˜es abaixo em verdadeiro (V) ou falso (F).
a) ( ) Um espac¸o vetorial tem va´rios elementos neutros para a adic¸a˜o.
b) ( ) Se na˜o ha´ elemento neutro para uma adic¸a˜o, enta˜o na˜o podemos falar em
oposto para esta mesma adic¸a˜o.
c) ( ) O espac¸o vetorial R2 pode ser tomado sobre o corpo dos nu´meros complexos.
d) ( ) O conjunto dos polinoˆmios reais de grau menor ou igual a n, denotado por
Pn(R) e´ espac¸o vetorial sobre R com a adic¸a˜o de polinoˆmios e multiplicac¸a˜o por
escalar usual.
e) ( ) Todo conjunto de vetores contendo o vetor nulo e´ LI.
f) ( ) Todo conjunto de vetores contendo apenas um vetor e´ LI.
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3. Diga se os conjuntos abaixo sa˜o subespac¸os do R3.
a) V = {(x, y, z) ∈ R3; y = 0, z = 0}
b) V = {(x, y, z) ∈ R3; z = x+ y}
c) V = {(x, y, z) ∈ R3; y = 1, z = 1}
4. Diga se os conjuntos abaixo sa˜o subespac¸os vetoriais.
a) V =
{[
a b
c d
]
∈M2(R); a, b, c, d ∈ Z
}
b) V =
{[
a b
c d
]
∈M2(R); a+ d = 0
}
c) V =
{[
a b
c d
]
∈M2(R); c = 0
}
d) V = {A ∈Mn×n(R); A = At}
e) V = {A ∈Mn×n(R); det(A) = 0}
5. Dar o conjunto de geradores para os subespac¸os abaixo.
a) W = {(x, y, z) ∈ R3; x = z}
b) W = {(x, y, z) ∈ R3; x = y = 0}
c) W = {(x, y, z, t) ∈ R4; x− y + t = 0}
d) W =
{[
a b
c d
]
∈M2(R); a = −b
}
e) W =
{[
a b c
d e f
]
∈M2×3(R); a+ b+ c = 0
}
2
6. Se V = R3, dados u = (1, 0, 0) e v = (2, 0, 1), qual o subespac¸o gerado por
u e v?
7. Verifique se os vetores abaixo geram o R3, caso contra´rio, qual o subespac¸o
gerado?
a) u = (1, 1, 1), v = (2, 2, 0), w = (3, 0, 0)
b) u = (1, 0, 0), v = (2, 0, 1), w = (1, 0, 2)
8. Determine se os vetores abaixo sa˜o LI ou LD.
a) (2,−1, 4), (3, 6, 2), (2, 10,−4)
b) (3, 1, 1), (2,−1, 5), (6, 2, 2)
c) (1, 2, 1,−2), (0,−2,−2, 0), (0, 2, 3, 1), (0, 0, 0, 0)
d) (1, 2), (3, 5)
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