aula23_Juan

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Comportamento Hidrodinâmico
de Plataformas Oceânicas I
Juan Wanderley
Ondas Regulares
Transporte de Energia
A velocidade com a qual a energia da onda é transportada pode ser 
determinada com a ajuda da figura. A figura mostra um plano vertical 
virtual AA’, que é perpendicular à direção de propagação da onda. O 
elemento de área no plano AA’ possui altura dz e comprimento 
unitário.
Ondas Regulares
Quando o fluido passa pelo elemento plano, trabalho dW é realizado.
{ }{ }dtudzpdW ⋅⋅⋅= 1
Ondas Regulares
A potência médio ao longo de um período é mostrada abaixo, após 
linearização. A linearização é feita considerando-se que a contribuição 
dada pelo segmento definido pelo deslocamento da superfície livre é
desprezível.
∫ ∫
∫ ∫ ∫ ∫∫
+
−
+
−
+
−
=
⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧
+==
Tt
t h
Tt
t h
Tt
t h
pudzdt
T
W
pudzdtpudzdt
T
pudzdt
T
W
0
0
0
1
11
ζ ζ
≈0
Ondas Regulares
Substituindo as equações da pressão e da velocidade u, obtemos a 
potência médio. 
∫ ∫+
−
=
Tt
t h
pudzdt
T
W
01
( ) ( )tkx
kh
zhku a ωωζ −+= cossinh
cosh
( ) ( )tkx
kh
zhkggzp a ωζρρ −++−= coscosh
cosh
Ondas Regulares
O primeiro termo é zero, resultando desta forma a seguinte 
expressão para a potência médio: 
( ) ( )
( ) ( )
⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ +=
−++
−+−=
∫ ∫
∫ ∫
+
−
+
−
hkh
kkh
g
W
dzdttkxzhk
khkhT
kg
dzdttkxzhkz
khT
kgW
a
a
Tt
t h
Tt
t h
a
2
12sinh
4
1
2sinh
coscosh
coshsinh
coscosh
sinh
2
0
22
22
02
ωζρ
ωω
ζρ
ωω
ζρ
0
Ondas Regulares
Lembrando que c=ω/k e H=2ζa, resulta o seguinte:
⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ += hkh
kkh
g
W a
2
12sinh
4
1
2sinh
2ωζρ
⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ +=
kh
khcgHW
2sinh
21
28
1 2ρ
Ondas Regulares
Velocidade de Grupo
A potência média por período de onda pode também ser escrita como 
mostrado abaixo. Portanto, E é a energia da onda por unidade de 
área e cg é a velocidade com a qual esta energia é transportada na 
onda, a velocidade de grupo da onda.
gEcW =
onde
⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ +=
=
kh
khcc
gHE
g 2sinh
21
2
8
1 2ρ
Ondas Regulares
Em águas profundas, a velocidade de grupo da onda é exatamente a 
metade da velocidade de fase:
⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ +=
kh
khccg 2sinh
21
2
Em águas rasas, a velocidade de grupo da onda é idêntica à velocidade de 
fase:
⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ +=
kh
khccg 2sinh
21
2
2
ccg =
ccg =
Ondas Regulares
As seqüências de imagens mostram um 
sistema de ondas progressivas planas 
avançando em águas calmas. O 
intervalo entre imagens sucessivas é de 
0,25 segundos e λ/h≈2 (águas 
profundas). A energia de onda está
contida entre as duas diagonais cheias e 
se propaga com a velocidade de grupo. 
A posição de uma crista específica está
conectada em imagens sucessivas por 
uma linha fina; esta avança com a 
velocidade de fase ou celeridade igual a 
duas vezes a velocidade de grupo. 
Portanto, as cristas das ondas morrem 
na fronteira de avanço e surgem na 
fronteira posterior. 
Ondas Regulares
5.2.7 Efeito da variação da profundidade sobre as ondas
A teoria apresentada nas seções anteriores foi desenvolvida para 
águas com profundidade constante. A presente seção discute como 
as ondas variam quando elas encontram águas de profundidade 
variável. Esta seção primeiramente discute a variação da amplitude da 
onda com a profundidade.
Ondas Regulares
Variação da altura da onda
A relação entre a altura da onda H e a profundidade da água h é
obtida utilizando-se o conceito de conservação da energia 
transportada através de um plano vertical paralelo à crista da onda. 
Portanto, isto é também a potência da onda por unidade de 
comprimento de crista ou o que é as vezes chamado de fluxo de 
energia, veja a equação abaixo.
⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ +=
kh
khcgHW
2sinh
21
28
1 2ρ
Ondas Regulares
Assumindo que o fluxo de energia permanece constante enquanto 
a profundidade da água varia, podemos obter a altura da onda Hh
em qualquer profundidade de água h, desde que conheçamos a 
altura da onda numa determinada profundidade, por exemplo, em 
águas profundas.
⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ +
==
∞
kh
khkhH
HK hsh
2sinh
21tanh
1
28
1~
2sinh
21
28
1~
2
2
∞
∞∞ =
⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ +=
cgHbW
kh
khcgHbWh
ρ
ρ
∞=WWh ~~
Ondas Regulares
A figura mostra como a altura de uma onda varia enquanto ela 
progride em águas onde a profundidade diminui. Vemos que a 
altura da onda inicialmente diminui um pouco e depois se 
recupera. Somente quando a onda chega em águas muito rasas é
que sua altura se torna maior do que a sua altura em águas 
profundas. 
⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ +
==
∞
kh
khkhH
HK hsh
2sinh
21tanh
1
Ondas Regulares
Variações de velocidade
Como a amplitude da velocidade horizontal das partículas de água na onda 
varia com a profundidade? Esta amplitude na superfície da água pode ser 
dada por:
( ) ( )tkx
kh
zhku a ωωζ −+= cossinh
cosh
kh
khHKhu sha sinh
cosh
2
)( ω∞=
kh
khK
u
hu
sh
a
a
sinh
cosh
)(
)( =∞
Ondas Regulares
A razão de velocidade também é mostrada na figura abaixo.
kh
khK
u
hu
sh
a
a
sinh
cosh
)(
)( =∞
Ondas Regulares
Refração 
O período da onda é a única propriedade que não varia com a 
profundidade da água. De fato, enquanto o comprimento de onda 
diminui ( a medida que a profundidade diminui), a onda desloca-se 
mais lentamente.
Tc /λ=
( )khgk tanh2 =ω ghT=λ
h→0
T
k πωλ
π 22 ==
ghc =
Ondas Regulares
Quando uma onda se aproxima da costa e sua crista não é paralela 
aos contornos de profundidade, então uma parte da onda estará em 
águas mais rasas do que a outra. A parte em águas rasas será mais 
lenta do que a parte em águas profundas. O movimento da crista será
tal que a onda ficará paralela à costa; isto é conhecido como refração. 
A crista da onda sempre vira de modo a ficar mais paralela aos 
contornos de profundidade enquanto a onda progride para regiões 
mais rasas.
Ondas Regulares
Reflexão de onda
Quando uma onda regular encontra uma parede vertical perpendicular 
a sua direção de propagação – tal como o lado de um navio – ela é
refletida e enviada de volta de onde veio com a mesma amplitude e 
velocidade. A superfície da água próxima ao navio parece mover-se 
para cima e para baixo – com amplitude duas vezes a amplitude da 
onda incidente – mas sem uma aparente onda progressiva. Isto 
descreve uma onda estacionária, que pode ser formulada pela adição 
de duas ondas idênticas movendo-se em direções opostas.
( ) ( )
( ) ( )tkx
tkxtkx
a
aa
ωζ
ωζωζ
ζζζ
coscos2
coscos
21
=
++−=
+=
Ondas Regulares
A amplitude desta onda resultante é duas vezes a amplitude das duas 
ondas progressivas incidentes e a velocidade de fase resultante é nula.
Ondas Regulares
Se a onda se aproxima da parede com uma inclinação, então a 
abordagem acima é ainda válida para a componente perpendicular à
parede. A onda é refletida para longe da parede com um ângulo igual 
à luz quando é refletida por um espelho plano.
Ondas Regulares
Difração de Onda
Difração de onda é um processo pelo qual energia de onda é
propagada numa região de sombra – uma área que não é
diretamente alinhada com a onda incidente. 
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	Ondas Regulares
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