COV250 - RESUMO 1

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COV250 – Comportamento Hidrodinâmico de Plataformas Oceânicas I 
Resumo Capítulo I – Introdução 
Natalia Amaral #) 
 
 
1. História da Mecânica dos Fluidos: 
 Em 1904, um engenheiro Alemão, Ludwig Prandtl (1874 – 1893), publicou talvez o mais 
importante artigo já escrito sobre mecânica dos fluidos, Prandtl observou que os 
escoamentos dos fluidos com baixa viscosidade, como os escoamentos da agua e do ar, 
podem ser divididos em uma camada viscosa delgada, ou camada-limite, próxima às 
superfícies solidas e interfaces, ligada a uma camada externa que pode ser considerada 
não viscosa, em que são válidas as equações de Euler e Bernoulli. 
 
2. O conceito de Fluido: 
 Do ponto de vista de mecânica dos fluidos toda a matéria encontra-se somente em dois 
estados, sólido e fluido. A diferença principal é que os sólidos conseguem resistir a uma 
tensão de cisalhamento ou tangencial por uma deflexão estática, o fluido não consegue 
resistir a nenhuma tensão desse tipo. Qualquer tensão de cisalhamento, não importa o 
quão pequena ela seja, aplicada a esse fluido resultará em um movimento desse fluido. 
O fluido escoa e se deforma continuamente enquanto essa tensão estiver sendo 
aplicada. Como corolário, podemos dizer que um fluido em repouso deve estar em um 
estado de tensão de cisalhamento igual a zero, chamado de estado hidrostático de 
tensão. Nesse estado o círculo de Mohr para a tensão se reduz a um ponto e não há 
nenhuma tensão de cisalhamento para nenhum corte do plano passando sob o 
elemento sob tensão. 
 Há duas classes de fluidos, líquidos e gases. A diferença está relacionada com o estado 
de coesão das moléculas. Um líquido é formado por moléculas relativamente agrupadas 
e com forças coesivas fortes, logo tende a manter seu volume e a formar uma superfície 
livre em um campo gravitacional, se não estiver confinado na parte superior. Já as 
moléculas do gás são amplamente espaçadas, com forças coesivas desprezíveis, logo um 
gás não tem volume definido e é livre para se expandir até os limites das paredes que o 
confinam, já quando não está confinado forma uma atmosfera essencialmente 
hidrostática. 
 Há também alguns casos intermediários, como a asfalto e o chumbo, que resistem a 
tensões de cisalhamento por curtos períodos de tempo, mas na verdade se deformam 
lentamente e apresentam um comportamento definido de fluido por longos períodos. 
 Finalmente há situações em que a distinção entre um liquido e um gás se torna 
nebulosa. É o que ocorre com temperaturas e pressões acima do ponto crítico de uma 
substância, onde existe somente uma fase, com aparência principalmente de gás, 
porem a medida que a pressão aumenta muito a cima desse ponto, a substância com 
aspecto de gás se torna tão densa que há semelhança com um líquido e as aproximações 
termodinâmicas usuais, como a lei dos gases, tornam-se imprecisas. 
 
3. O Fluido como um meio contínuo: 
 Até aonde sabemos, os fluidos são agregações de moléculas, amplamente espaçadas 
para um gás e pouco espaçadas para um líquido. A distância das moléculas é muito 
grande comparada a um diâmetro molecular e as moléculas movem-se livremente em 
relação umas às outras. Dessa maneira, a massa específica do fluido, ou massa sobre o 
volume, não tem sentido preciso já que o número de moléculas que ocupa um dado 
volume varia continuamente. Porém através de dados experimentais sabemos que esse 
efeito torna-se sem importância se a unidade de volume for grande comparada com o 
cubo do espaçamento molecular, mas não tão grande a ponto de haver uma variação 
notável na agregação global das partículas. Podemos ver isso através do gráfico a baixo: 
 
 Dessa forma, a massa especifica, 𝜌, de um fluido é melhor definida como: 
𝜌 = lim
𝜕𝑉→ 𝜕𝑉°
𝜕𝑀
𝜕𝑉
 
 O volume limite 𝜕𝑉° é aproximadamente 10−9 mm³ para todos os líquidos e gases na 
pressão atmosférica, porém a maioria dos problemas trabalha com dimensões físicas 
muito maiores que esse volume limite e as propriedades do fluido podem ser 
consideradas variando continuamente no espaço. Quando chamamos um fluido de 
meio continuo, dizemos que essas variações são tão suaves que o cálculo diferencial 
pode ser usado para analisar a substância. 
 Para casos limites de gases onde a pressão é muito baixa abandonamos a aproximação 
do meio continuo e usamos a teoria molecular dos gases rarefeitos. 
 
4. Dimensões e unidades: 
 Uma dimensão é uma medida pela qual uma variável física é expressa 
quantitativamente. Já uma unidade é um modo particular de ligar um numero a uma 
dimensão. Assim o comprimento é uma dimensão e polegadas ou metros são unidades 
para expressar essa dimensão. Há diversas unidades vigentes no mundo e em uma 
tentativa de uniformizar essas unidades vários países concordaram em utilizar o Sistema 
Internacional de Unidades (SI). 
 
Dimensão primária Unidade SI Unidade BG Fator de conversão 
Massa {M} Quilograma (kg) Slug 1 Slug = 14,5939 kg 
Comprimento{L} Metro (m) Pé (ft) 1 ft = 0,3048 m 
Tempo {T} Segundo (s) Segundo (s) 1 s = 1 s 
Temperatura {Ť} Kelvin (K) Rankine (°R) 1K = 1,8 °R 
 
 Em mecânica dos fluidos há apenas quatro dimensões primárias das quais todas as 
outras podem ser derivadas, são elas, massa, comprimento, tempo e temperatura. Para 
representar dimensões podemos usar chaves ao redor de seu símbolo, por exemplo: 
{M}, {L}, {T} e {Ť}. A aceleração tem dimensões {L𝑇−2}, já a força tem dimensões 
{ML𝑇−2}, perceba que essas duas são derivadas das dimensões primárias. 
 Nos sistemas SI e BG de unidades não precisamos usar o fator de conversão, gc, pois eles 
foram definidos para que: 1 Newton = 1kg x 1m/s² e 1 Libra-força = 1 slug x 1 ft/s². Para 
outros sistemas talvez tenhamos que usar esse fator. 
 Princípio da homogeneidade dimensional: Todas as equações devem ser 
dimensionalmente homogêneas, isso é cada termo aditivo em uma equação deve ter as 
mesmas dimensões. 
 Devemos usar também unidades consistentes, isto é, cada termo aditivo deve ter as 
mesmas unidades → Equações dimensionalmente inconsistentes chegam a ocorrer na 
pratica da engenharia, mas são confusas, vagas e até mesmo perigosas, no sentido em 
que frequentemente são mal usadas fora do seu campo de aplicação. 
 
Exemplos do livro (pág. 24 e 25, exemplos 1.1 até 1.3 e pág. 16, exemplo 1.4) → Feitos em folha 
separada; 
 
5. Descrições Eulerianas e Lagrangeanas e Campo de velocidades: 
 Há dois pontos de vista diferentes na análise de problemas em mecânica: a analise 
Euleriana e a analise Lagrangeana. 
 Método Euleriano: observa-se a cinemática em cada ponto do campo do campo a 
medida em que o tempo evolui. É o mais empregado já que, na maioria dos problemas, 
não há necessidade de se conhecer o desenvolvimento no tempo de cada partícula. No 
método Euleriano calculamos o campo de pressão p(x,y,z,t) do padrão do escoamento 
e não as variações p(t) que uma partícula experimenta quando ela se move no campo. 
 Método Lagrangeano: descreve o movimento de cada partícula a medida que o tempo 
evolui. Certas analises numéricas de fluidos claramente delimitados, como uma gota 
isolada, são efetuados muito convenientemente em coordenadas lagrangeanas. 
 
 Em primeiro lugar entre as propriedades de um escoamento está o campo de 
velocidades V(x,y,z,t). Em geral a velocidade é uma função vetorial da posição e do 
tempo e, portanto, tem três componentes u, v e w, sendo cada um deles um campo 
escalar: 
V(x,y,z,t) = u(x,y,z,t)i + v(x,y,z,t)j + w(x,y,z,t)k 
 
 Método Euleriano: 
 �⃗� = 𝐹( 𝑟 ⃗⃗ ⃗, 𝑡) = ui + vj + wk, u = f1(x,y,z,t) 
v = fz(x,y,z,t) 
w = f3(x,y,z,t) 
 
 Método Lagrangeano: 
 𝑟 = 𝐹(𝑟𝑜⃗⃗⃗⃗ , 𝑡)= xi + yj + zk, x = f1(xo,yo,zo,t) 
y = f2(xo,yo,zo,t) 
z = f3(xo,yo,zo,t) 
 
Para acharmos o campo de velocidade no método Lagrangeano devemos fazer: 
 
u = (𝑑𝑥 𝑑𝑡⁄ )𝑟𝑜⃗⃗ ⃗⃗ 
 v = (
𝑑𝑦
𝑑𝑡⁄ )𝑟𝑜⃗⃗ ⃗⃗ 
 w = (𝑑𝑧 𝑑𝑡⁄ )𝑟𝑜⃗⃗ ⃗⃗ 
 
ax = (𝑑
2𝑥
𝑑𝑡2
⁄ )
𝑟𝑜⃗⃗ ⃗⃗ 
 ay = (
𝑑2𝑦
𝑑𝑡2
⁄ )
𝑟𝑜⃗⃗ ⃗⃗ 
 az = (𝑑
2𝑧
𝑑𝑡2
⁄ )
𝑟𝑜⃗⃗ ⃗⃗ 
 
6. Tipos de escoamento: 
 Escoamento uniforme x não uniforme → no escoamento uniforme a velocidade é 
constante em qualquer sessão normal ao escoamento, já no não uniforme velocidades 
variam em cada sessão transversal ao longo do escoamento. 
 Escoamento permanente x transiente → se as propriedades do fluido em um ponto do 
campo não mudam com o tempo, o escoamento é dito permanente. As propriedades 
podem até variar de ponto para ponto, mas devem permanecer iguais em um dado 
ponto. Já se as propriedades do fluido em um dado ponto do campo variam com o 
tempo, ele é dito transiente. 
 Escoamento rotacional x irrotacional → o escoamento rotacional é caracterizado pelo 
movimento de rotação das partículas do fluido em torno deles mesmos. No escoamento 
irrotacional essa rotação é inexistente. 
 
7. Propriedades de um Fluido: 
 Pressão: é a tensão (de compressão) em um fluido estático. Diferenças ou gradientes de 
pressão geralmente causam o escoamento do fluído. Em escoamentos a baixa 
velocidade o valor da pressão nem sempre é importante a não ser que essa seja tão 
baixa que cause a formação de bolhas no liquido. No entanto os escoamentos de gases 
a alta velocidade, escoamentos compressíveis, são sensíveis ao valor da pressão. 
 Temperatura: é uma medida do nível de energia interna de um fluido. Usamos quase 
sempre a temperatura absoluta m problemas de mecânica dos fluidos (kelvin ou 
Ranquine): °R = °F + 459,69 
 K = °C + 273,16 
 Massa especifica (ρ): é a massa por unidade de volume. Ela é quase constante em 
líquidos, dessa forma tratamos escoamentos de líquidos como incompressíveis. Já em 
gases ela pode variar consideravelmente. 
 Peso específico (γ): é o seu peso por unidade de volume. 
 Densidade (d): é a relação entre a massa especifica do fluido e a massa especifica de um 
fluido padrão de referência, usualmente a agua a 4°C para líquidos e o ar para gases. 
 A energia total armazenada em um fluido é igual a soma de suas energias interna (û), 
potencial e cinética: 𝑒 = û + 
1
2
𝑚𝑣2 + 𝑚𝑔𝑧 → para os casos de mecânica dos fluidos 
onde z é positivo para cima. 
 
8. Relações de estados para gases: 
 Todos os gases a altas temperaturas e baixas pressões (em relação ao seu ponto crítico) 
estão em boa concordância com a lei dos gases perfeitos: 𝑝 = 𝜌𝑅𝑇, 𝑜𝑛𝑑𝑒 𝑅 = 𝑐𝑝 − 𝑐𝑣; 
sabemos da termodinâmica que para gases perfeitos, a energia interna (û) só depende 
da temperatura, logo seus calores específicos cp e cv também dó dependerão da 
temperatura. 
→ Pulei algumas observações termodinâmicas do livro pois não pertencem ao escopo 
dessa disciplina. 
 
Exemplos do livro (exemplo 1.5, pág. 35 e exemplo 1.9, pág. 36) → Feitos em folha separada 
(sem necessidade pois é sobre termodinâmica); 
 
 Viscosidade: Relaciona as tensões locais em um fluido em movimento com a taxa de 
deformação por cisalhamento do elemento do fluido. A viscosidade é uma medida 
quantitativa da resistência de um fluido ao escoamento. Mais especificamente, ela 
determina a taxa de deformação do fluido que é gerada pela aplicação de uma dada 
tensão de cisalhamento: 
𝜏 = 𝜇
𝛿𝑢
𝛿𝑦
 
Onde µ tem dimensões de tensão-tempo: {FT/L²} ou {M/LT}. As unidades SI são 
quilogramas por metro segundo, os fluidos lineares que seguem essa lei são chamados 
de fluidos newtonianos. 
Os fluidos viscosos sempre tem a velocidade u igual a zero na parede, essa é a condição 
de não-escorregamento. 
De uma forma geral a viscosidade dos fluidos aumenta ligeiramente com a pressão, no 
entanto a temperatura tem um forte efeito, com µ aumentando para um aumento de T 
para gases, e diminuindo para um aumento de T para líquidos. 
Também podemos usar o princípio dos estados correspondentes para acharmos µr 
através de um gráfico que relaciona Pr com Tr e µr, como sabemos, “Substâncias 
comportam-se da mesma forma quando em seus estados reduzidos. Substâncias em 
seus estados reduzidos estão em estados correspondentes. Isto é, substâncias em 
estados correspondentes se comportam da mesma forma.” → Usando Pr e Tr, 
independente da substância, acharemos um único valor de µr. Ou seja, podemos usar 
somente um gráfico para todas as substancias conhecendo seus valores no ponto crítico. 
 Número de Reynolds: O principal parâmetro que relaciona o comportamento viscoso de 
todos os fluidos newtonianos é o adimensional número de Reynolds: 
𝑅𝑒 = 
ρVL
µ
= 
𝑉𝐿
𝜈
, 
Onde V e L representam velocidade e comprimento e ν é a viscosidade cinemática, que 
é chamada dessa forma pois a massa não aparece em suas dimensões (ν = µ/ρ), {L²/T}. 
 
9. Escoamento entre placas: Um problema clássico em mecânica dos fluidos é o 
escoamento induzido entre uma placa inferior fixa e uma placa superior que se move a 
uma velocidade uniforme V, o espaçamento entre as placas é h, e o fluido é newtoniano 
e não apresenta escorregamento em relação as placas. Se as placas são largas, esse 
movimento cisalhante terá uma distribuição de velocidades u(y). Com a aceleração 
constante e supondo que não há variação de pressão na direção do escoamento, temos: 
𝜏
𝜇
= 
𝑑𝑢
𝑑𝑦
= 𝑐𝑡𝑒 → 𝑢 = 𝑎𝑦 + 𝑏 
A distribuição de velocidade é linear e as constantes a e b podem ser calculadas pela 
condição de não-escorregamento nas paredes superior e inferior. Achamos 𝑏 = 0 e 𝑎 =
 
𝑉
ℎ
, logo 𝑢 = 𝑉
𝑦
ℎ
. 
Embora a viscosidade tenha um forte efeito sobre o movimento do fluido, as tensões 
viscosas reais são muito pequenas numericamente, mesmo para óleos. 
Exemplo do livro (exemplo 1.7, pág. 41) → Feito em folha separada; 
 
10. Tensão superficial: 
 Um liquido, não tendo a capacidade de se expandir livremente formará uma interface 
com um segundo liquido ou um gás. As moléculas no liquido repelem-se umas das 
outras, mas na sua superfície essas moléculas se atraem, isso se dá devido à ausência 
de metade das moléculas vizinhas, o que provoca o efeito mecânico de deixar essas 
moléculas sob tensão. 
 Υ é chamado de coeficiente de tensão superficial, que é o nome que damos a essa tensão 
que se encontra aplicada nas moléculas da superfície de um liquido. Se for feito um 
corte dL em uma superfície interfacial, forças iguais e opostas de intensidade ΥdL 
estarão presentes, normais ao corte, paralelas a superfície. As unidades de Υ são {F/L}, 
em SI, N/m. Quanto maior é a temperatura, menor é o coeficiente de tensão superficial, 
logo menor será também a tensão superficial. Geralmente, o valor de Υ no ponto crítico 
é zero. 
 Se a interface é curva, um balanço mecânico mostra que há diferença de pressão através 
da interface, sendo a pressão mais alta do lado côncavo. Nesse caso: 
∆𝑝𝑥á𝑟𝑒𝑎 = 𝛶𝑑𝐿 
Para uma gota esférica, sem considerar seu peso, chegamos a ∆𝑝 = 2𝛶 𝑅⁄ , já para 
uma bolha de sabão, que tem duas interfaces com o ar, podemos fazer: ∆𝑝 = 4𝛶 𝑅⁄ . 
 Um segundo efeito de superfície importante é o ângulo de contato θ, que aparece 
quando uma interface liquida tem contato com uma superfície solida. O balanço de 
forças envolveria então Υ e θ. Nesse caso se o ângulo de contato é menor do que 90°, 
diz-se que o líquido molha o sólido, já se esse ângulo é maior do que 90°, diz-se que 
o liquido não molha o sólido. Por exemplo, a água molha o sabão, mas não molha a 
cera.Exemplo do livro (exemplo 1.8, pág. 45) → Feito em folha separada; 
 
11. Pressão de vapor: 
 A pressão de vapor é a pressão na qual um liquido vaporiza e está em equilíbrio com seu 
próprio vapor. Se a pressão cai abaixo da pressão de vapor começam a aparecer bolhas 
no liquido, se isso se dá devido a um fenômeno do escoamento chamamos de cavitação. 
A cavitação pode acontecer devido a aceleração do fluido. A cavitação é perigosa para 
o escoamento e tentamos evita-la, pois quando essas bolhas entram em uma região de 
alta pressão elas tendem a entrar em colapso de forma impulsiva, podendo provocar 
erosão em superfícies metálicas e até mesmo destruí-las. 
 Existe um parâmetro adimensional chamado número de cavitação (Ca). Para 
determinadas geometrias, o escoamento tem um valor critico de Ca abaixo do qual a 
cavitação ocorrerá. 
𝐶𝑎 = 
𝑝𝑎−𝑝𝑣
𝜌𝑉²
2
, 
Onde pa é pressão ambiente, pv e pressão de vapor, V é a velocidade característica do 
escoamento e ρ é a massa especifica do fluido. 
 
Exemplo do livro (exemplo 1.9, pág. 47) → Feito em folha separada; 
 
12. Condições de não escorregamento e de não continuidade para a temperatura: 
 Todos os líquidos e gases, exceto aqueles em condições muito rarefeitos, quando em 
contato com uma superfície, assumem a velocidade e temperatura dessa superfície. Ou 
seja, estão sempre em equilíbrio com a superfície. Essas condições são chamadas de não 
escorregamento e não descontinuidade na temperatura respectivamente. Elas servem 
como condições de contorno para a análise de um escoamento sobre uma superfície 
solida. 
 
Exemplo do livro (exemplo 1.10, pág. 50) → Feito em folha separada; 
13. Velocidade do som: 
 Nos escoamentos de gases devemos estar atentos aos efeitos da compressibilidade. E a 
velocidade do som está ligada a essa compressibilidade, dizemos que devemos nos 
preocupar com a compressibilidade no escoamento se o número de Mach (Ma) do 
escoamento alcança valores iguais ou maiores que 0,3. 
𝑀𝑎 = 
𝑉
𝑎
, 𝑎 = (𝑘𝑅𝑇)1/2, 
Onde R é a constante do gás, T é a temperatura absoluta, e 𝑘 = 𝑐𝑝/𝑐𝑣. 
 
Exemplo do livro (exemplo 1.11, pág. 51) → Feito em folha separada; 
 
14. Técnicas básicas de análise de escoamento: 
 Há três modos básicos de se abordar o problema do escoamento de um fluido. 
1. Volume de controle ou analise da integral 
2. Sistema infinitesimal ou analise diferencial; 
3. Estudo experimental ou analise dimensional; 
 Em todos os casos, o escoamento deve satisfazer as três leis básicas da mecânica mais 
uma relação de estado termodinâmica e as condições de contorno associadas: 
1. Conservação de massa (continuidade); 
2. Quantidade de movimento linear (segunda lei de Newton); 
3. Primeira lei da termodinâmica (conservação da energia); 
4. Uma relação de estado como ρ = ρ(p,T); 
5. Condições de contorno apropriadas nas superfícies solidas, nas interfaces, entradas 
e saídas; 
 
15. Campos de escoamento: linhas de corrente, linhas de emissão e linhas de trajetória: 
 Quatro tipos básicos de linhas são usadas para visualizar o escoamento: 
1. Linha de corrente é a linha tangente em todos os pontos do vetor velocidade em 
um dado instante → um tubo de corrente é formado por um conjunto fechado de 
linhas de corrente; 
2. Linha de trajetória é o caminho real percorrido por uma determinada partícula de 
fluido; 
3. Linha de emissão é a linha formada por todos os pontos que passaram 
anteriormente por um ponto prescrito; 
4. Linha de filete é um conjunto de partículas de fluido que formam uma linha em um 
dado instante. 
→ Linhas de corrente, de trajetória e de emissão são coincidentes em escoamento 
permanente. 
 
Mais algumas coisas e exemplos sem importância. → FIM DO CAPÍTULO 1! =)