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COV250 – Comportamento Hidrodinâmico de Plataformas Oceânicas I Resumo Capítulo IV – Relações diferenciais para escoamento de fluidos Natalia Amaral #) 1. Introdução: Esse capítulo trata da análise em pequena escala ou analise diferencial do escoamento, e os resultados mostrados nele levam as equações diferenciais básicas dos movimentos dos fluidos. Além disso, condições de contorno apropriadas são desenvolvidas. Na sua forma mais básica, essas equações diferenciais são muito difíceis de se resolver, no entanto, se supormos escoamento permanente e incompressível, elas se simplificam. Podemos ainda supor o escoamento sem atrito, o que torna valida a equação de Bernoulli, nossa velha amiga. 2. O campo de aceleração de um fluido: Sabemos que o campo de velocidade de um fluido é definido como: V(x,y,z,t) = u(x,y,z,t)i + v(x,y,z,t)j + w(x,y,z,t)k Essa é a variável mais importante do escoamento dos fluidos, achar o campo de velocidades de um fluido é quase o equivalente a resolver o problema de mecânica dos fluidos. Para escrevermos a aceleração de um fluido, calculamos a derivada temporal total do vetor velocidade: 𝑎 = 𝑑𝑉 𝑑𝑡 = 𝑖 𝑑𝑢 𝑑𝑡 + 𝑗 𝑑𝑣 𝑑𝑡 + 𝑘 𝑑𝑤 𝑑𝑡 = 𝜕𝑉 𝜕𝑡 + (𝑉 ∙ ∇)V = 𝜕𝑉 𝜕𝑡 + 𝑢 𝜕𝑉 𝜕𝑥 + 𝑣 𝜕𝑉 𝜕𝑦 + 𝑤 𝜕𝑉 𝜕𝑧 OBS. ∇ = 𝑛𝑎𝑏𝑙𝑎 = 𝑣𝑒𝑡𝑜𝑟𝑖𝑎𝑙 = 𝑖 𝜕 𝜕𝑥 + 𝑗 𝜕 𝜕𝑦 + 𝑘 𝜕 𝜕𝑧 (𝑉 ∙ 𝛻) = 𝑒𝑠𝑐𝑎𝑙𝑎𝑟 = 𝑢 𝜕 𝜕𝑥 + 𝑣 𝜕 𝜕𝑦 + 𝑤 𝜕 𝜕𝑧 (𝑉 ∙ 𝛻)𝑉 = 𝑒𝑠𝑐𝑎𝑙𝑎𝑟 = 𝑢 𝜕𝑉 𝜕𝑥 + 𝑣 𝜕𝑉 𝜕𝑦 + 𝑤 𝜕𝑉 𝜕𝑧 Na última equação, o termo 𝜕𝑉 𝜕𝑡⁄ é chamado de aceleração local, que desaparece se o escoamento for permanente, ou seja, independentemente do tempo, já os outros termos são chamados de aceleração convectiva, que aparece quando a partícula se desloca por uma região de velocidade variável. Exemplo do livro (pág. 239, exemplo 4.1) → Feitos em folha separada; 3. A equação diferencial da conservação de massa: A equação da continuidade ou da conservação de massa não requer nenhuma hipótese exceto que a massa especifica e a velocidade sejam funções continuas, ou seja, o escoamento pode ser permanente ou não, viscoso ou não, incompressível ou não. Porém ela não leva em conta nenhuma fonte ou sumidouro dentro do elemento. Fazendo um balanço de massa dentro de um volume de controle (VC), temos: 𝜕𝜌 𝜕𝑡 + ∇ ∙ (𝜌𝑉) = 0 Considerando um fluido incompressível, temos → 𝜕𝑢 𝜕𝑥 + 𝜕𝑣 𝜕𝑦 + 𝜕𝑤 𝜕𝑧 = 0 Exemplos do livro (pág. 244 e 245, exemplos 4.2 a 4.4) → Feitos em folha separada; 4. A equação diferencial da quantidade de momento linear: Fazendo um balanço de massa dentro de um volume de controle (VC), da mesma forma que foi feito para a equação da continuidade e obtemos: 𝜌�⃗� − ∇⃗⃗⃗𝑝 + ∇⃗⃗⃗ ∙ 𝜏𝑖𝑗 = 𝜌 𝑑𝑉 𝑑𝑡 , em que 𝑑𝑉 𝑑𝑡 é a derivada total. Podemos também expressar a equação a cima em palavras: força gravitacional por unidade de volume + força causada pela pressão por unidade de volume + força viscosa por unidade de volume = massa especifica x aceleração. Essa equação é uma equação vetorial, em que cada uma das componentes envolvidas tem nove termos, tornando-a muito complexa para ser resolvida sem um sistema computacional. Veremos agora algumas simplificações dessa equação: 4.1. O escoamento não viscoso: Equação de Euler No caso do escoamento sem atrito, 𝜏𝑖𝑗 = 0, e a equação se reduz a: 𝜌�⃗� − ∇⃗⃗⃗𝑝 = 𝜌 𝑑𝑉 𝑑𝑡 A equação de Euler pode ser integrada e resulta na equação de Bernoulli para escoamento incompressível, sem atrito, em regime permanente ao longo de uma linha de corrente: 𝑝 𝜌 + 1 2 𝑉2 + 𝑔𝑧 = 𝑐𝑡𝑒 4.2. Fluido Newtoniano: Equação de Navier-Stokes: Navier e Stokes desenvolveram uma equação para a quantidade de movimento linear para um fluido newtoniano com ρ e µ constantes (incompressível): 𝜌𝑔𝑥 − 𝜕𝑝 𝜕𝑥 + 𝜇 ( 𝜕2𝑢 𝜕𝑥2 + 𝜕2𝑢 𝜕𝑦2 + 𝜕2𝑢 𝜕𝑧2 ) = 𝜌 ( 𝑑𝑢 𝑑𝑡 + 𝑢 𝑑𝑢 𝑑𝑥 + 𝑣 𝑑𝑢 𝑑𝑦 + 𝑤 𝑑𝑢 𝑑𝑧 ) 𝜌𝑔𝑦 − 𝜕𝑝 𝜕𝑦 + 𝜇 ( 𝜕2𝑣 𝜕𝑥2 + 𝜕2𝑣 𝜕𝑦2 + 𝜕2𝑣 𝜕𝑧2 ) = 𝜌 ( 𝑑𝑣 𝑑𝑡 + 𝑢 𝑑𝑣 𝑑𝑥 + 𝑣 𝑑𝑣 𝑑𝑦 + 𝑤 𝑑𝑣 𝑑𝑧 ) 𝜌𝑔𝑧 − 𝜕𝑝 𝜕𝑧 + 𝜇 ( 𝜕2𝑤 𝜕𝑥2 + 𝜕2𝑤 𝜕𝑦2 + 𝜕2𝑤 𝜕𝑧2 ) = 𝜌 ( 𝑑𝑤 𝑑𝑡 + 𝑢 𝑑𝑤 𝑑𝑥 + 𝑣 𝑑𝑤 𝑑𝑦 + 𝑤 𝑑𝑤 𝑑𝑧 ) Essas equações fornecem soluções para muitos problemas, porém como elas tem 4 incógnitas, ρ, u, v e w, elas devem ser combinadas com a equação de continuidade incompressível para formar quatro equações e quatro incógnitas. Exemplo do livro (pág. 251, exemplo 4.5) → Feito em folha separada; A equação diferencial da quantidade de movimento angular e para energia → pulei pois não tem na apostila e não foi falado em sala (eu acho.. hahahha) 5. Condições de contorno para equações básicas: Para todos os instantes t a serem analisados devemos conhecer algo sobre as variáveis em cada fronteira que limita o escoamento: Para uma parede sólida 𝑉𝑓𝑙𝑢𝑖𝑑𝑜 = 𝑉𝑝𝑎𝑟𝑒𝑑𝑒 (condição de não escorregamento). Exemplo do livro (pág. 260, exemplo 4.6) → Não fiz porque é sobre temperatura, não importa para COV; 6. A função corrente: A função corrente ᴪ é uma ferramenta engenhosa que nos permite satisfazer a equação da continuidade e então resolver a equação da quantidade de movimento para apenas uma variável, ᴪ. A ideia da função corrente funciona somente se a equação da continuidade puder ser reduzida a dois termos (escoamento permanente e bidimensional). Nesse caso temos: 𝜕𝑢 𝜕𝑥 + 𝜕𝑣 𝜕𝑦 = 0 Essa equação é satisfeita identicamente se uma função ᴪ(x,y) é definida da seguinte forma: 𝜕 𝜕𝑥 ( 𝜕ᴪ 𝜕𝑦 ) + 𝜕 𝜕𝑦 (− 𝜕ᴪ 𝜕𝑥 ) = 0 Logo, ᴪ é definida como: 𝑢 = ( 𝜕ᴪ 𝜕𝑦 ) 𝑒 𝑣 = (− 𝜕ᴪ 𝜕𝑥 ) 𝑜𝑢 𝑉 = 𝑖 ( 𝜕ᴪ 𝜕𝑦 ) + 𝑗 (− 𝜕ᴪ 𝜕𝑥 ) VORTICIDADE: a vorticidade, ou o rotacional de V (∇ 𝑋 𝑉), ela quantifica a rotação de um fluido. A presença de vorticidade em um fluido sempre implica a rotação das partículas fluidas, acompanhada ou não de alguma deformação transversal. Em um fluido real sua existência está intimamente ligada às tensões tangenciais. A vorticidade se origina fundamentalmente nos contornos sólidos. Com a função corrente reduzimos a equação da vorticidade para: ∇ 𝑋 𝑉 = −�⃗⃗�∇²ᴪ; → Uma aplicação muito importante da função corrente é para o escoamento incompressível, não viscoso e irrotacional, em que ∇ 𝑋 𝑉 = 0, logo, ∇2ᴪ = 𝜕²ᴪ 𝜕𝑥² + 𝜕²ᴪ 𝜕𝑦² = 0 Essa é a equação de Laplace de segunda ordem, para a qual se conhecem muitas soluções e técnicas analíticas. Além disso as equações de contorno se reduzem a: no infinito: ᴪ = 𝑈∞𝑦 + 𝑐𝑡𝑒 e no corpo ᴪ = cte. Além da função corrente ser uma função super útil ela ainda tem uma interpretação geométrica: ao longo de uma linha de corrente (linha de corrente: 𝑢𝑑𝑦 − 𝑣𝑑𝑥 = 0, ᴪ é constante. Ou seja, as linhas de função corrente constante são as linhas de corrente. Exemplo do livro (pág. 264, exemplo 4.7) → Feito em folha separada; Escoamento plano incompressível em coordenadas polares: 𝑣𝑟 = 1 𝑟 𝜕ᴪ 𝜕𝜃 𝑒 𝑣𝜃 = − 𝜕ᴪ 𝜕𝑟 Exemplo do livro (pág. 268, exemplo 4.8) → Ver no livro; 7. Vorticidade e irrotacionalidade: A hipótese de velocidadeangular do fluido nula, ou irrotacionalidade, é uma simplificação muito útil, os fluidos com vorticidade nula são chamados irrotacionais ∇ 𝑋 𝑉 = 0 → A vorticidade na verdade não é nada menos que 2x a velocidade angular. 8. Potencial de velocidade: A irrotacionalidade dá origem a uma função escalar similar e complementar a função corrente ᴪ. Essa função é a função potencial ф. ф(x,y,z,t) é a função potencial da velocidade. Logo, o conhecimento de ф fornece imediatamente o conhecimento dos componentes da velocidade: 𝑢 = 𝜕ф 𝜕𝑥 , 𝑣 = 𝑢 = 𝜕ф 𝜕𝑦 𝑒 𝑤 = 𝜕ф 𝜕𝑧 Linhas de ф constante são chamadas de linhas equipotenciais do escoamento. Obs. Linhas de corrente e linhas equipotenciais são ortogonais. Exemplo do livro (pág. 275, exemplo 4.9) → Feito em folha separada; → O capítulo continua com descrição de alguns tipos de escoamento → caso haja interesse ver no livro. =)
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