COV250 - RESUMO 2

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COV250 – Comportamento Hidrodinâmico de Plataformas Oceânicas I 
Resumo Capítulo IV – Relações diferenciais para escoamento de fluidos 
Natalia Amaral #) 
 
1. Introdução: 
 Esse capítulo trata da análise em pequena escala ou analise diferencial do escoamento, 
e os resultados mostrados nele levam as equações diferenciais básicas dos movimentos 
dos fluidos. Além disso, condições de contorno apropriadas são desenvolvidas. 
 Na sua forma mais básica, essas equações diferenciais são muito difíceis de se resolver, 
no entanto, se supormos escoamento permanente e incompressível, elas se simplificam. 
Podemos ainda supor o escoamento sem atrito, o que torna valida a equação de 
Bernoulli, nossa velha amiga. 
 
2. O campo de aceleração de um fluido: 
 Sabemos que o campo de velocidade de um fluido é definido como: 
V(x,y,z,t) = u(x,y,z,t)i + v(x,y,z,t)j + w(x,y,z,t)k 
Essa é a variável mais importante do escoamento dos fluidos, achar o campo de 
velocidades de um fluido é quase o equivalente a resolver o problema de mecânica dos 
fluidos. 
 Para escrevermos a aceleração de um fluido, calculamos a derivada temporal total do 
vetor velocidade: 
𝑎 = 
𝑑𝑉
𝑑𝑡
= 𝑖
𝑑𝑢
𝑑𝑡
+ 𝑗
𝑑𝑣
𝑑𝑡
+ 𝑘
𝑑𝑤
𝑑𝑡
= 
𝜕𝑉
𝜕𝑡
+ (𝑉 ∙ ∇)V = 
𝜕𝑉
𝜕𝑡
+ 𝑢
𝜕𝑉
𝜕𝑥
+ 𝑣
𝜕𝑉
𝜕𝑦
+ 𝑤
𝜕𝑉
𝜕𝑧
 
 
OBS. ∇ = 𝑛𝑎𝑏𝑙𝑎 = 𝑣𝑒𝑡𝑜𝑟𝑖𝑎𝑙 = 𝑖
𝜕
𝜕𝑥
+ 𝑗
𝜕
𝜕𝑦
+ 𝑘
𝜕
𝜕𝑧
 
(𝑉 ∙ 𝛻) = 𝑒𝑠𝑐𝑎𝑙𝑎𝑟 = 𝑢
𝜕
𝜕𝑥
+ 𝑣
𝜕
𝜕𝑦
+ 𝑤
𝜕
𝜕𝑧
 
(𝑉 ∙ 𝛻)𝑉 = 𝑒𝑠𝑐𝑎𝑙𝑎𝑟 = 𝑢
𝜕𝑉
𝜕𝑥
+ 𝑣
𝜕𝑉
𝜕𝑦
+ 𝑤
𝜕𝑉
𝜕𝑧
 
 
 Na última equação, o termo 𝜕𝑉 𝜕𝑡⁄ é chamado de aceleração local, que desaparece se 
o escoamento for permanente, ou seja, independentemente do tempo, já os outros 
termos são chamados de aceleração convectiva, que aparece quando a partícula se 
desloca por uma região de velocidade variável. 
 
Exemplo do livro (pág. 239, exemplo 4.1) → Feitos em folha separada; 
 
3. A equação diferencial da conservação de massa: 
 A equação da continuidade ou da conservação de massa não requer nenhuma hipótese 
exceto que a massa especifica e a velocidade sejam funções continuas, ou seja, o 
escoamento pode ser permanente ou não, viscoso ou não, incompressível ou não. 
Porém ela não leva em conta nenhuma fonte ou sumidouro dentro do elemento. 
 Fazendo um balanço de massa dentro de um volume de controle (VC), temos: 
𝜕𝜌
𝜕𝑡
+ ∇ ∙ (𝜌𝑉) = 0 
 Considerando um fluido incompressível, temos → 
𝜕𝑢
𝜕𝑥
+ 
𝜕𝑣
𝜕𝑦
+ 
𝜕𝑤
𝜕𝑧
 = 0 
 
Exemplos do livro (pág. 244 e 245, exemplos 4.2 a 4.4) → Feitos em folha separada; 
4. A equação diferencial da quantidade de momento linear: 
 Fazendo um balanço de massa dentro de um volume de controle (VC), da mesma forma 
que foi feito para a equação da continuidade e obtemos: 
𝜌�⃗� − ∇⃗⃗⃗𝑝 + ∇⃗⃗⃗ ∙ 𝜏𝑖𝑗 = 𝜌
𝑑𝑉
𝑑𝑡
 , em que 
𝑑𝑉
𝑑𝑡
 é a derivada total. 
 Podemos também expressar a equação a cima em palavras: força gravitacional por 
unidade de volume + força causada pela pressão por unidade de volume + força viscosa 
por unidade de volume = massa especifica x aceleração. 
 Essa equação é uma equação vetorial, em que cada uma das componentes envolvidas 
tem nove termos, tornando-a muito complexa para ser resolvida sem um sistema 
computacional. Veremos agora algumas simplificações dessa equação: 
4.1. O escoamento não viscoso: Equação de Euler 
 No caso do escoamento sem atrito, 𝜏𝑖𝑗 = 0, e a equação se reduz a: 
𝜌�⃗� − ∇⃗⃗⃗𝑝 = 𝜌
𝑑𝑉
𝑑𝑡
 
A equação de Euler pode ser integrada e resulta na equação de Bernoulli para 
escoamento incompressível, sem atrito, em regime permanente ao longo de uma linha 
de corrente: 
𝑝
𝜌
+
1
2
𝑉2 + 𝑔𝑧 = 𝑐𝑡𝑒 
4.2. Fluido Newtoniano: Equação de Navier-Stokes: 
 Navier e Stokes desenvolveram uma equação para a quantidade de movimento linear 
para um fluido newtoniano com ρ e µ constantes (incompressível): 
 
𝜌𝑔𝑥 − 
𝜕𝑝
𝜕𝑥
+ 𝜇 (
𝜕2𝑢
𝜕𝑥2
+ 
𝜕2𝑢
𝜕𝑦2
+ 
𝜕2𝑢
𝜕𝑧2
) = 𝜌 (
𝑑𝑢
𝑑𝑡
+ 𝑢
𝑑𝑢
𝑑𝑥
+ 𝑣
𝑑𝑢
𝑑𝑦
+ 𝑤
𝑑𝑢
𝑑𝑧
) 
𝜌𝑔𝑦 − 
𝜕𝑝
𝜕𝑦
+ 𝜇 (
𝜕2𝑣
𝜕𝑥2
+ 
𝜕2𝑣
𝜕𝑦2
+ 
𝜕2𝑣
𝜕𝑧2
) = 𝜌 (
𝑑𝑣
𝑑𝑡
+ 𝑢
𝑑𝑣
𝑑𝑥
+ 𝑣
𝑑𝑣
𝑑𝑦
+ 𝑤
𝑑𝑣
𝑑𝑧
) 
𝜌𝑔𝑧 − 
𝜕𝑝
𝜕𝑧
+ 𝜇 (
𝜕2𝑤
𝜕𝑥2
+ 
𝜕2𝑤
𝜕𝑦2
+ 
𝜕2𝑤
𝜕𝑧2
) = 𝜌 (
𝑑𝑤
𝑑𝑡
+ 𝑢
𝑑𝑤
𝑑𝑥
+ 𝑣
𝑑𝑤
𝑑𝑦
+ 𝑤
𝑑𝑤
𝑑𝑧
) 
 
 Essas equações fornecem soluções para muitos problemas, porém como elas tem 4 
incógnitas, ρ, u, v e w, elas devem ser combinadas com a equação de continuidade 
incompressível para formar quatro equações e quatro incógnitas. 
Exemplo do livro (pág. 251, exemplo 4.5) → Feito em folha separada; 
 
A equação diferencial da quantidade de movimento angular e para energia → pulei pois não tem 
na apostila e não foi falado em sala (eu acho.. hahahha) 
 
5. Condições de contorno para equações básicas: 
 Para todos os instantes t a serem analisados devemos conhecer algo sobre as variáveis 
em cada fronteira que limita o escoamento: Para uma parede sólida 𝑉𝑓𝑙𝑢𝑖𝑑𝑜 = 𝑉𝑝𝑎𝑟𝑒𝑑𝑒 
(condição de não escorregamento). 
 
Exemplo do livro (pág. 260, exemplo 4.6) → Não fiz porque é sobre temperatura, não importa 
para COV; 
 
6. A função corrente: 
 A função corrente ᴪ é uma ferramenta engenhosa que nos permite satisfazer a equação 
da continuidade e então resolver a equação da quantidade de movimento para apenas 
uma variável, ᴪ. 
 A ideia da função corrente funciona somente se a equação da continuidade puder ser 
reduzida a dois termos (escoamento permanente e bidimensional). Nesse caso temos: 
𝜕𝑢
𝜕𝑥
+
𝜕𝑣
𝜕𝑦
= 0 
 Essa equação é satisfeita identicamente se uma função ᴪ(x,y) é definida da seguinte 
forma: 
𝜕
𝜕𝑥
(
𝜕ᴪ
𝜕𝑦
) + 
𝜕
𝜕𝑦
(−
𝜕ᴪ
𝜕𝑥
) = 0 
Logo, ᴪ é definida como: 
 
𝑢 = (
𝜕ᴪ
𝜕𝑦
) 𝑒 𝑣 = (−
𝜕ᴪ
𝜕𝑥
) 𝑜𝑢 𝑉 = 𝑖 (
𝜕ᴪ
𝜕𝑦
) + 𝑗 (−
𝜕ᴪ
𝜕𝑥
) 
 
 VORTICIDADE: a vorticidade, ou o rotacional de V (∇ 𝑋 𝑉), ela quantifica a rotação de 
um fluido. A presença de vorticidade em um fluido sempre implica a rotação das 
partículas fluidas, acompanhada ou não de alguma deformação transversal. Em um 
fluido real sua existência está intimamente ligada às tensões tangenciais. A vorticidade 
se origina fundamentalmente nos contornos sólidos. 
 
 Com a função corrente reduzimos a equação da vorticidade para: ∇ 𝑋 𝑉 = −�⃗⃗�∇²ᴪ; 
→ Uma aplicação muito importante da função corrente é para o escoamento 
incompressível, não viscoso e irrotacional, em que ∇ 𝑋 𝑉 = 0, logo, 
∇2ᴪ =
𝜕²ᴪ
𝜕𝑥²
+
𝜕²ᴪ
𝜕𝑦²
= 0 
Essa é a equação de Laplace de segunda ordem, para a qual se conhecem muitas 
soluções e técnicas analíticas. Além disso as equações de contorno se reduzem a: no 
infinito: ᴪ = 𝑈∞𝑦 + 𝑐𝑡𝑒 e no corpo ᴪ = cte. 
 Além da função corrente ser uma função super útil ela ainda tem uma interpretação 
geométrica: ao longo de uma linha de corrente (linha de corrente: 𝑢𝑑𝑦 − 𝑣𝑑𝑥 = 0, ᴪ é 
constante. Ou seja, as linhas de função corrente constante são as linhas de corrente. 
 
Exemplo do livro (pág. 264, exemplo 4.7) → Feito em folha separada; 
 
 Escoamento plano incompressível em coordenadas polares: 
𝑣𝑟 =
1
𝑟
𝜕ᴪ
𝜕𝜃
 𝑒 𝑣𝜃 = − 
𝜕ᴪ
𝜕𝑟
 
 
Exemplo do livro (pág. 268, exemplo 4.8) → Ver no livro; 
 
7. Vorticidade e irrotacionalidade: 
 A hipótese de velocidadeangular do fluido nula, ou irrotacionalidade, é uma 
simplificação muito útil, os fluidos com vorticidade nula são chamados irrotacionais 
∇ 𝑋 𝑉 = 0 → A vorticidade na verdade não é nada menos que 2x a velocidade angular. 
 
8. Potencial de velocidade: 
 A irrotacionalidade dá origem a uma função escalar similar e complementar a função 
corrente ᴪ. Essa função é a função potencial ф. ф(x,y,z,t) é a função potencial da 
velocidade. Logo, o conhecimento de ф fornece imediatamente o conhecimento dos 
componentes da velocidade: 
𝑢 =
𝜕ф
𝜕𝑥
, 𝑣 = 𝑢 =
𝜕ф
𝜕𝑦
 𝑒 𝑤 =
𝜕ф
𝜕𝑧
 
Linhas de ф constante são chamadas de linhas equipotenciais do escoamento. 
 
Obs. Linhas de corrente e linhas equipotenciais são ortogonais. 
 
Exemplo do livro (pág. 275, exemplo 4.9) → Feito em folha separada; 
 
→ O capítulo continua com descrição de alguns tipos de escoamento → caso haja interesse ver 
no livro. =)